UNIVERSITE PARIS-SACLAYMASTER M2 DFE et PIE

POLYCOPIE DU COURS DE THERMIQUE

cyprien.morize@u-psud.fr

Annee 2017-2018

Ce polycopie est inspire des references suivantes :

Initiation aux transferts thermiques de J.F. Sacadura pour le chapitre sur le rayonnement,

Convection Heat Transfer de A. Bejan pour le chapitre sur la convection,

Fundamentals of Heat and Mass Transfer de F.P. Incropera.

Dans de tres nombreux secteurs industriels, on se trouve confronte a des problemes de transfert de cha-leur qui ont pris une importance particuliere ces dernieres annees en raison du cout energetique et desimperatifs economiques.Le transfert de chaleur est l’un des modes les plus communs d’echange d’energie. Il intervient naturelle-ment entre deux systemes des qu’il existe une difference de temperature entre eux, quelque soit le milieuqui les separe. De ce fait, les transferts thermiques ont, aussi bien dans le domaine des sciences puresque dans celui des applications industrielles, souvent un role majeur.A la base de l’etude des transferts thermiques se trouvent les concepts de quantite de chaleur et dedifference de temperature. Ceux-ci sont definis par les principes de la thermodynamique :

• il y a une equivalene entre la chaleur et le travail comme etant des formes particulieres d’energie(premier principe).

• la difference de temperature entre deux systemes caracterise le sens et l’intensite de l’energiecalorifique transferee (second principe).

La thermodynamique ne s’attache toutefois dans sa forme classique qu’a des etats d’equilibre, negligeantles mecanismes d’echange qui y conduisent. En raison de son importance, l’etude de ces echanges s’estdeveloppee parallelement pour constituer une discipline : les transferts thermiques.Il est usuel de distinguer trois modes de transferts de chaleur : la conduction, la convection et le rayonne-ment. Chacun de ces modes etant lui-meme lie a un processus physique bien determine. En effet, commel’energie thermique d’un milieu materiel correspond a l’energie cinetique de ses constituants fondamen-taux ayant une certaine liberte de mouvement (molecules, atomes...), ces derniers pourront echanger leurenergie thermique, c’est-a-dire de gagner ou de perdre de l’energie cinetique :

• soit par interaction directe avec les particules voisines (choc de molecules par exemple), ce quicorrespond a la conduction de chaleur.

• soit par absorption ou emission de radiations electromagnetiques, ce qui correspond au rayonne-ment.

Dans le cas d’un gaz ou d’un liquide, on considere les echanges, a l’echelle macroscopique, resultantdu melange de couches de fluide a des temperatures differentes comme un mode de transfert appeleconvection.

Conduction

Ce mode de transfert tend a homogeneiser au sein d’un milieu l’energie cinetique moyenne des diversesparticules par diffusion des zones ou la temperature moyenne est elevee vers les zones ou elle est plusfaible. La loi correspondant a ce processus particulier de diffusion de la chaleur montre que la densiteflux de chaleur φ en un point est une fonction lineaire du gradient de temperature en ce point −→φ = λ

−→∇T .

L’operateur λ designe la conductivite thermique du milieu considere est un tenseur symetrique du secondordre. Pour un milieu isotrope, la conductivite thermique se caracterise simplement par un scalaire uniqueλ.La relation ci-dessus, dite loi de Fourier, se demontre a partir des lois de la mecanique statistique ap-pliquees aux atomes, molecules ou electrons libres du milieu considere. La conduction est le seul modede transfert de chaleur qui intervient dans les milieux solides et opaques.

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Convection

Les transferts thermiques interviennent quelque soit l’etat du milieu considere, qu’il soit solide, liquideou gazeux. Neanmoins, dans ces deux derniers cas, la possibilite de deformation importante des fluidespermet a differentes parties de ces milieux d’avoir a l’echelle macroscopique une liberte de mouvementimportante et par la meme de transporter une quantite de chaleur directement liee a leur capacite calori-fique. On distingue la convection forcee dans laquelle le mouvement du fluide est produit par une actionexterieure (pompe, ventilateur,... ) de la convection libre ou naturelle dans laquelle le mouvement estinduit par la difference de densite entre les parties chaudes et froides de ce meme fluide.L’etude des processus de transfert de chaleur par convection pose des problemes de mecanique des fluidesextremement difficiles qu’il n’est pas toujours possible de resoudre analytiquement. Cependant, commele plus souvent on ne s’interesse qu’a la quantite de chaleur echangee entre le fluide et la paroi solide quile limite, on introduit par analogie avec avec les echanges conductifs un coefficient d’echange superficielh tel que la densite flux de chaleur φ a travers une element de surface de la paroi soit proportionnel a ladifference de temperature entre un element de surface de la paroi et la temperature moyenne du fluideφ = h (Tp − Tf ).

Rayonnement

Que ce soit de facon spontanee ou au cours d’interactions mutuelles, les atomes, molecules et electronslibres des corps peuvent ceder une partie de leur energie cinetique par emission d’un rayonnementelectromagnetique. Reciproquement, lorsqu’un tel rayonnement est emis a la surface d’un corps, unefraction est absorbee par ce corps et se retrouve dans l’energie cinetique de ses composants, c’est-a-diresous forme de chaleur.Le rayonnement thermique, comme toutes les radiations electromagnetiques, n’exigent aucun supportmateriel pour se propager et represente la seule possibilite d’echanges de chaleur entre des corps distantsplaces dans le vide. Tous les corps qui ont une temperature superieure au zero absolu (0 K) emettent unrayonnement electromagnetique. Un exemple tres caracteriqtique est fourni par le rayonnement solairequi nous parvient apres avoir parcouru une distance considerable dans le vide.

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Chapitre 1

Rayonnement

1.1 Definitions et lois du rayonnement thermique

1.1.1 Le rayonnement electromagnetique

La matiere emet des ondes electromagnetiques sous l’effet de diverses excitations. On reunit sous l’appel-lation de rayonnement l’ensemble des echanges d’energie par ondes electromagnetiques a distance entreles corps. Ces echanges peuvent avoir lieu lorsque les corps sont separes par le vide ou par n’importequel milieu intermediaire suffisamment transparent pour les ondes electromagnetiques.

FIGURE 1.1 – Le spectre des ondes electromagnetiques.

On denombre differents type d’ondes electromagnetiques : les ondes radio, micro ondes, infra rouge,ultra violet, les rayons X , rayons γ ou cosmiques. Ces rayonnements peuvent etre decomposes en unspectre de radiations monochromatiques caracterisees par leur frequence ν ou leur longueur d’onde λ.La longueur d’onde est reliee a la frequence de l’onde par la relation v = λν ou v est la vitesse depropagation des ondes dans le milieu traverse. La vitesse de propagation des ondes est donnee par v =

c/n, ou c = 3108 m/s est la celerite de la lumiere dans le vide et n est l’indice de refraction du milieuconsidere.

La figure 1.1 represente le spectre des ondes electromagnetiques depuis les ondes electriques caracteriseespar une basse frequence et une grande longueur d’onde jusqu’aux rayons cosmiques de haute frequenceet de tres courte longueur d’onde. La frequence d’une radiation monochromatique demeure constantelorsque celle-ci se propage dans des milieux d’indices de refraction differents, tandis que v et λ varientavec l’indice du milieu. Cependant, comme en thermique industrielle on considere essentiellement desechanges radiatifs entre surface separees par de l’air, d’indice de refraction proche de l’unite, l’habitude a

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ete prise de se referer plutot a la longueur d’onde. Cela n’est en revanche plus possible lorsqu’on abordele rayonnement dans les milieux semi-transparents non homogene au sein desquels il peut y avoir desvariations d’indice de refraction.

1.1.2 Le rayonnement thermique

Le rayonnement thermique est le rayonnement emis par la matiere du fait de sa temperature et audetriment de son energie calorifique. Pour rappel, l’energie calorifique correspond a l’agitation moleculairepour les liquides ou les gaz et a l’agitation de vibration autour d’une position pour les solides.

Comme le montre la figure 1.1, le rayonnement thermique occupe qu’une petite portion du spectre desondes electromagnetiques situee dans une gamme de longueur d’onde allant d’environ 0,1 a 100 µm.Dans ce domaine, nos sens percoivent le rayonnement sous la forme d’une sensation de chaleur. Al’interieur de la bande, encore plus etroite, appelee spectre visible allant de 0,4 a 0,8 µm, le rayonnementdevient perceptible a l’œil nu. On appelle lumiere cette partie visible du rayonnement electromagnetique.Le rayonnement thermique dans la partie non visible du spectre porte le nom d’ultra-violet (UV) ducote des courtes longueurs d’onde, et d’infra-rouge (IR) du cote des grandes longueurs d’onde. Lerayonnement des sources thermiques de temperature inferieure a 500 C qui sont les plus courantesest entierement situe dans l’infra-rouge.

Cependant, tous les rayonnements lumineux ne sont pas d’origine thermique comme par exemple laphosphorescence, la fluorescence, les decharges electriques dans les gaz rarefies, ect... Nous ne nousinteresserons donc pas a ces phenomenes dans le cadre de ce cours.

1.1.3 Classification des grandeurs physiques

Les grandeurs physiques G utilisees dans le cadre de ce cours sont classees selon deux criteres independants :la composition spectrale du rayonnement, ainsi que la distribution spatiale du rayonnement.

Les grandeurs physiques relatives a l’ensemble du spectre du rayonnement thermique sont appeleestotales, tandis que les grandeurs relatives a un interval de longueur d’onde dλ etroit et centre autour deλ sont dites monochromatiques. On affecte ces grandeurs physiques d’un indice λ pour les differencierdes grandeurs totales.

Les grandeurs sont dites hemispheriques lorsqu’elles concernent toutes les directions de l’espace danslesquelles un element de surface peut rayonner ou recevoir du rayonnement. Les grandeurs sont ditesdirectionnelles lorsqu’elles caracterisent au contraire une direction de propagation, relativement a lasurface consideree.

1.1.4 Surfaces emettantes

Flux total d’une source

Le flux total d’une source ϕ designe la puissance emise par cette source dans tout l’espace ou elle peutrayonner (en W).

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Intensite totale d’une source dans une direction donnee

On considere une direction Ox issue de la surface d’un corps radiant. Cette direction est reperee par sonangle θ avec la normale a la surface et un azimut φ. Si dϕOx est la portion de flux rayonne dans un anglesolide elementaire dΩ entourant la direction Ox, on designe sous le nom d’intensite IOx le flux danscette direction par unite d’angle solide

IOx =dϕOx

dω. (1.1)

FIGURE 1.2 – Definition de l’intensite.

Emittance totale d’une source

L’emittance totale d’une source correspond au flux total emis par unite de surface de la source. Onconsidere globalement la puissance dϕ emise par un element de surface dS dans l’ensemble des direc-tions ou il peut rayonner.

M =dϕ

dS. (1.2)

Cette grandeur est utile pour comparer les puissances emises par des sources d’etendues differentes.

Luminance totale d’une source dans une direction donnee

On definit la luminance LOx d’une source d’aire dS dans une direction Ox comme l’intensite de lasource dans cette direction divisee par l’aire apparente dS′ (surface projetee) de cette source dans lameme direction LOx = IOx

dS′ .

Comme dS′ = dS cos θ, on obtient

LOx =IOx

dS cos θ=

d2ϕOx

dΩdS cos θ, (1.3)

en introduisant la definition de l’intensite de la source. La luminance correspond donc a la puissancerayonnee par unite d’angle solide entourant la direction Ox et par unite de surface projetee (perpendicu-laire a cette direction).

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FIGURE 1.3 – Definition de la luminance.

Loi de Lambert

Les sources dont la luminance est independante de la direction, on parle de sources a emission isotropeou diffuse, obeıssent a la loi de Lambert. Dans ce cas, LOx = L et il vient IOx = IOn cos θ.

a) b)

FIGURE 1.4 – Indicatrices de l’intensite d’un rayonnement : a) emission diffuse ou isotrope ; b) emissionnon diffuse.

L’indicatrice de l’intensite qui se construit en portant, sur la direction Ox issue de la surface, une longueurproportionnelle a IOx est une sphere tangente a 0 a la surface emettrice lorsque celle-ci suit la loi deLambert en emission.

Emission diffuse ou isotrope

Le flux emis par une surface elementaire dS dans un angle solide dω entourant une direction Ox a pourexpression

d2ϕOx = LOxdΩdS cos θ.

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FIGURE 1.5 – Relation entre l’emittance et la luminance dans le cas d’une emission diffuse.

Pour trouver une relation entre l’emittance et la luminance dans le cas d’une emission diffuse, on calculele flux total dϕ emis par dS dans tout l’hemisphere. On trouve finalement que

M = πL. (1.4)

Grandeurs monochromatiques

Toutes les grandeurs introduites a propos du rayonnement total peuvent egalement etre rapportees auxechanges confines dans un domaine spectral etroit de largeur dλ centre sur λ. On definit ainsi

1. Flux monochromatique ϕλ (W/m),

2. Emittance monochromatique Mλ (W/m3),

3. Intensite monochromatique IOx,λ,

4. Luminance monochromatique LOx,λ.

Chaque grandeur monochromatique est reliee a la grandeur totale correspondante par la relation :

G =

∫ ∞

0Gλdλ

.

1.1.5 Lois du rayonnement thermique

Il en existe cinq : la loi de Planck, les deux lois de Wien et la loi de Stefan-Boltzmann regissant l’emissiondu rayonnement. La cinquieme loi correspond a la loi de Kirchhoff qui relie l’emission a l’absorptiond’un corps. On s’attarde pour le moment aux lois regissant l’emission des corps, on reviendra plus tardsur la loi de Kirchhoff.

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Corps noir

Les corps rayonnent differemment d’une substance a l’autre. On a pu cependant evaluer, a partir deconsiderations thermodynamiques, le maximum d’energie calorifique pouvant etre rayonne par la matierea chaque temperature et chaque longueur d’onde. L’emetteur ideal qui rayonne cette energie est appelecorps noir. Le rayonnement noir n’a pas de directions de propagation preferentielles : il s’agit d’uneemission diffuse obeissant a la loi de Lambert.

Les corps noir servent d’etalon et permettent d’evaluer l’energie emise par les differents corps relati-vement a celle qu’emettrait un corps noir dans les memes conditions, a l’aide de coefficients que l’onappelle emissivites. Leur determination est assez experimentale et necessite l’emploi de techniques delaboratoire.

Dans tout ce qui suit, les grandeurs relatives au corps noir seront affectees d’un indice . Ainsi, Mλ

designe l’emittance monochromatique du corps noir a la longueur d’onde λ.

Loi de Planck

La loi de Planck relie l’emittance monochromatique du corps noir Mλ a la longueur d’onde et a sa

temperature. Elle s’exprime sous la forme

Mλ =

2πhv2λ−5

exp(hv/kλT )− 1, (1.5)

dans laquelle v est la vitesse des ondes electromagnetiques dans le milieu ou se propage le rayonnement,h = 6, 63 10−34 J s est la constante de Planck et k = 1, 38 10−23 J/K est la constante de Boltzmann.

Lorsque le rayonnement se propage dans le vide ou, en premiere approximation, dans l’air, l’indice derefraction est egal a l’unite et la loi de Planck devient

Mλ =

C1λ−5

exp(C2/λT )− 1, (1.6)

ou C1 = 2πhc2 et C2 = hc/k sont deux constantes physiques.

La figure 1.6 donne une representation de la loi de Planck : a chaque temperature correspond une courbeayant un maximum d’emittance situe a une valeur λm de la longueur d’onde qui varie avec T . La courberelative a une temperature T1 est toujours situee au-dessus de celle correspondant a une temperature T2

plus petite.

Lois de Wien

Il s’agit de deux lois qui fournissent respectivement l’abscisse et l’ordonnee du maximum d’emittancemonochromatique du corps noir pour chaque temperature.

La 1ere loi de Wien ou loi du deplacement exprime que l’abscisse λm du maximum d’emittance sedeplace vers les courtes longueur d’onde a mesure que la temperature croıt :

λmT = 2898 µm.K. (1.7)

La deuxieme loi de Wien nous permet de calculer le maximum d’emittance en fonction de la temperature :

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FIGURE 1.6 – Distribution spectrale de l’emittance du corps noir en fonction de la temperature absolue.

Mλm = BT 5, (1.8)

avec B = 1, 287 10−5 W/(m3 K5).

Loi de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann fournit l’emittance totale du rayonnement du corps noir dans le vide enfonction de sa temperature absolue. On peut l’etablir par integration de la formule de Planck (1.6) surl’ensemble du spectre rayonne. On trouve, apres integration, que

M = σT 4, (1.9)

ou σ = 5, 67 10−8 W/(m2 K4) est la constante de Stefan-Boltzmann.

Fraction de l’emittance totale contenue dans une bande spectrale

On a souvent besoin d’evaluer la fraction de l’emission totale d’un corps noir qui se trouve dans uncertain intervalle de longueur d’onde. Pour une temperature donnee sur l’intervalle [λ1;λ2], cette fractionest determinee par le rapport

Fλ1−λ2 =

∫ λ2

λ1M

λdλ∫∞0 M

λdλ=

1

σT 4

[∫ λ2

0M

λdλ−∫ λ1

0M

λdλ

]= F0−λ2 − F0−λ1 . (1.10)

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FIGURE 1.7 – Fonction F0−λT (λT ).

Emission des corps reels

Apres avoir developpe la notion de corps noir pour decrire le comportement radiatif de surfaces ideales,nous pouvons maintenant examiner le comportement des surfaces reelles. Rappelons que le corps noirest un emetteur ideal dans le sens qu’aucune surface ne peut emettre plus de rayonnement qu’un corpsnoir a la meme temperature. Il parait donc judicieux de choisir le corps noir comme reference dans ladescription de l’emission d’une surface reelle. L’evaluation des proprietes emissives des surfaces reellesse fait a l’aide de coefficients appeles emissivites, definis comme le rapport du rayonnement emis par lasurface reelle au rayonnement emis par un corps noir a la meme temperature.

Ainsi, les emittances totale ou monochromatique d’une surface sont donnees par :

M = ϵM ; Mλ = ϵλMλ, (1.11)

ou ϵ et ϵλ designent les emissivites hemispheriques du corps, respectivement totale et monochromatiquepour la longueur d’onde λ.

Les luminances seront elles reliees a celles du corps noir par les relations

LOx = ϵOxL = ϵOx

M

π; LOx,λ = ϵOx,λL

= ϵOx,λM

π, (1.12)

ou ϵOx et ϵOx,λ sont respectivements les emissivites directionnelles totale et monochromatique.

L’emissivite des surfaces depend de plusieurs facteurs : de leur nature physico-chimique, de leur etatde surface (defauts de planeite, rugosite), de la longueur d’onde, de la direction d’emission et de leurtemperature.

Comme le montre la figure 1.22, il existe deux grandes classes de comportement radiatifs : celui desmateriaux conducteurs (les metaux) et celui des dielectriques. Pour les metaux, l’emissivite monochro-matique decroıt lorsque λ augmente et croıt avec T . Leur emissivite directionnelle est importante dans lesdirections rasanteset relativement faible dans les directions voisines de la normale a la surface. Pour les

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FIGURE 1.8 –

dielectriques, l’emissivite monochromatique augmente avec λ dans l’infrarouge, tandis que l’emissivitedirectionnelle est reltivement constante axcepte dans les directions rasantes a la surface. Les dielectriquesrespectent donc relativement la loi de Lambert.Ces considerations tres qualitatives sont relatives a des surfaces lisses et non contaminees. La rugositetend a rendre toutes les surfaces plus ou moins diffusantes. L’oxydation qui peut recouvrir un materiauconducteur d’une mince pellicule dielectrique peut faire basculer le comportement radiatif de la surfacedans la seconde categorie.Dans le cadre de ce cours, nous admettrons que toutes les surfaces ont une emissivite independante dela longueur d’onde et de la direction, autrement dit qu’il s’agit de surfaces grises et diffusantes. Dans

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ces conditions, les emissivites d’une surface se reduisent a un parametre unique ϵ representant la valeurmoyenne des emissivites monochromatiques et directionnelles. Lorsqu’il n’est pas possible de considererle corps comme gris dans tout le domaine de longueur d’onde de son rayonnement, on partagera ledomaine en bandes spectrales a l’interieur desquelles le corps sera considere comme gris et affecte d’unϵ different pour chaque bande.

1.1.6 Surfaces receptrices

Les notions de flux, d’intensite et de luminance s’appliquent egalement pour les surfaces receptrices. Enrevanche, la notion d’emittance est remplacee par la notion d’eclairement de la surface receptrice.

Eclairement

L’eclairement d’une surface correspond a la puissance recue par unite de surface receptrice en provenancede l’ensemble des directions d’ou elle peut recevoir.

E =dϕ

dS. (1.13)

Reflexion, absorption et transmission

Lorsqu’un rayonnement atteint la surface d’un corps, une fraction ρ de la puissance totale incidente estreflechie (renvoyee sans avoir penetre le materiau), une fraction α est absorbee par le materiau consti-tuant un apport energetique pour ce dernier et une fraction τ est transmise dans le materiau. On designel’absorptivite totale, la reflectivite totale et la transmittivite totale, les quantites :

α =ϕa

ϕi, ρ =

ϕr

ϕiet τ =

ϕt

ϕi, (1.14)

ou ϕi, ϕa, ϕr et ϕt designent respectivement les flux totaux incident, reflechis, absorbes et transmis. Cestrois grandeurs sont reliees par la relation

α+ ρ+ τ = 1. (1.15)

FIGURE 1.9 – Schematisation de la (a gauche) reflexion speculaire ou (a droite) reflexion diffuse pouvantavoir lieu sur une surface.

En pratique, les surfaces parfaitement lisses ou polies ont une reflexion speculaire qui obeit aux lois deSnell-Descartes, tandis que les surfaces tres rugueuses reflechissent le rayonnement de maniere assez

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diffuse. Les surfaces que l’on rencontre dans la nature ont generalement un comportement intermediaireet leur evolution par vieillissement les rapproche plutot de la reflexion diffuse.

Lorsque c’est possible, on considere que les surfaces sont grises, c’est-a-dire non selectives vis-a-vis dela longueur d’onde du rayonnement. Dans ces conditions : αλ = α, ρλ = ρ et τλ = τ . Cependant, pourcertains materiaux comme les materiaux semi-transparents (verres, plastiques, certains gaz...) il devientnecessaire de considerer separement plusieurs bandes spectrales affectees chacune d’une absorptivite,reflectivite ou transmittivite propre. La figure 1.10 illustre la courbe de transmission τλ(λ) d’un verre dedifferentes epaisseurs. On rermarque sur cette figure que le verre est quasiment transparent au rayonne-ment visible (de 0,4 a 0,8 µm) : τvisible ≃ 0, 9, tandis qu’il est quasiment opaque a l’infra-rouge (de 0,8µm a 0,1 mm) : τIR ≃ 0. Cette propriete est d’ailleurs utilisee dans les serres et les capteurs solaires.

FIGURE 1.10 – Exemple de courbes de transmission du verre.

Loi de Kirchhoff : relation entre emission et absorption

Cette loi relie les proprietes emissives et absorbantes des corps. Elle indique que, pour chaque λ et chaquedirection de propagation du rayonnement emis ou du rayonnement incident, les emissivites et absorpti-vites monochromatiques directionnelles sont egales ϵOx,λ = αOx,λ. On demontre cette loi generalementen considerant un petit corps place dans une enceinte fermee aux parois noires et parfaitement isolee del’exterieur (voir figure 1.11).

FIGURE 1.11 –

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Si on suppose que l’emission et l’eclairement sont diffus et les corps comme etant des corps gris, la loide Kirchhoff peut s’ecrire

ϵ = α. (1.16)

On a vu, pour simplifier, que chaque fois que c’est possible, on assimile les corps en presence a descorps gris. Cependant, les corps emettent le plus souvent leur rayonnement dans des plages spectralesdifferentes de celle du rayonnement qu’ils recoivent. La regle pratique consiste alors a prendre enconsideration pour chaque composant d’un systeme radiatif, l’absorptivite correspondant a la bandespectrale et a la temperature du rayonnement qu’il recoit et l’emissivite correspondant a sa temperaturepropre.

FIGURE 1.12 – Exemple de courbes d’emissivite monochromatique hemispherique ϵλ(λ) a 20C et a1000C d’un materiau refractaire.

Exemple : effet de serre terrestre et rechauffement climatique

La principale source de chaleur sur Terre provient de l’energie solaire, transmise sous forme de rayonne-ment. Ce rayonnement est absorbe par la Terre et converti en chaleur a sa surface. La Terre se refroiditen emettant un rayonnement infra rouge (IR) vers l’espace. La temperature a la surface depend de laquantite de rayonnement solaire incident, de la reflectivite de la planete (albedo planetaire) et de l’effetde serre de l’atmosphere. Sans l’effet de serre, la temperature moyenne sur Terre serait nettement endessous de 0C.Les constituants majoritaires de l’atmosphere (N2, O2, Ar) ne sont pas des gaz a effet de serre car iln’absorbent pas le rayonnement IR. En revanche, de nombreux constituants presents a l’etat de trace dansl’atmosphere sont des gaz a effet de serre. Les gaz les plus importants sont ceux presents en quantitessuffisamment importantes pour absorber une fraction significative du rayonnement tellurique commeH2O, CO2, CH4, N2O, O3. Le plus puissant des gaz a effet de serre est la vapeur d’eau compte tenuqu’on en trouve, d’une part, en quantite abondante et presente, d’autre part, une forte absorption dansl’IR.La particularite des gaz a effet de serre, comme le montre la figure 1.14, c’est qu’ils sont presque transpa-rents au rayonnement visible (ϵ est proche de 0), et donc presque transparent au rayonnement solaire. En

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FIGURE 1.13 – Bilan energetique de la Terre. L’apport d’energie par rayonnement solaire doit etreequilibre par l’energie re-emise par la Terre.

FIGURE 1.14 – a) Distribution spectrale des rayonnements solaire et tellurique. b) Emissivite monochro-matique des gaz a effet de serre constituant l’atmosphere terrestre.

revanche, ces gaz absorbent le rayonnement IR (et donc le rayonnement tellurique) avec une efficaciteproche de 100%. Il existe toutefois une fenetre entre 8 et 13 µm ou l’absorption atmospherique est faible.Une fraction de l’energie rayonnee par la Terre est transmise vers l’espace sans etre absorbee par l’at-mosphere. Cette fenetre coıncide avec la gamme de longueurs d’onde ou l’energie tellurique rayonneeest maximale.

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On comprend donc bien l’importance de limiter l’emission des gaz a effet de serre dans l’avenir afinde limiter son impact sur le climat et le rechauffement climatique. L’impact sur le climat d’un gaz aeffet de serre depend cependant etroitement de son spectre d’absorption. Par exemple, l’injection d’ungaz absorbant a 15 µm n’aura qu’un impact minime, l’atmosphere etant d’ores et deja opaque a cettelongueur d’onde (absorption par le CO2). En revanche, si le gaz emis absorbe a 11 µm (c’est-a-dire dansla fenetre atmospherique), il modifiera sensiblement le bilan radiatif de la Terre et sera ainsi susceptiblede perturber significativement le climat de notre planete.

1.2 Echanges radiatifs entre surfaces

On considere dans un premier temps des surfaces separees par un milieu parfaitement transparent.

1.2.1 Echanges radiatifs entre surfaces noires

On considere deux surfaces noires S1 et S2, schematisees sur la figure 1.15, maintenues a des temperaturesuniformes T1 et T2. Les deux surfaces rayonnent mutuellement l’une vers l’autre.

FIGURE 1.15 – Echanges radiatifs entre deux surfaces.

Le flux total hemispherique emis par S1 est ϕ1 = M1S1 dont seule la fraction ϕ12 atteint S2. On ecrit

ϕ12 = F12ϕ1 = F12S1M1, (1.17)

ou F12 est un nombre sans dimension, compris entre 0 et 1, representant la fraction du flux total hemispheriqueemis par S1 et intercepte par S2. F12 est appele facteur de forme.En considerant deux elements de surface dS1 et dS2 sur S1 et S2, puis en integrant le flux emis par dS1

vers dS2 sur S2 puis sur S1, on obtient finalement le flux total ϕ12 emis par S1 vers S2

ϕ12 = M1S1

1

S1

∫S1

∫S2

cos θ1 cos θ2dS1dS2

πℓ2,

faisant apparaitre le facteur de forme

F12 =1

S1

∫S1

∫S2

cos θ1 cos θ2dS1dS2

πℓ2. (1.18)

F12 est une quantite purement geometrique qui ne depend pas des proprietes radiatives des materiaux.Le flux emis simultanement par S2 vers S1 s’ecrit de maniere similaire

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ϕ21 = F21ϕ2 = F21S2M2. (1.19)

Flux net echange par rayonnement entre S1 et S2

Les deux surfaces etant noires, tout le flux recu par l’une ou l’autre est entierement absorbe (pas dereflexion ni de transmission).

Le flux net echange entre ces deux surfaces, note ϕnet12 , correspond au bilan sur S1 entre la puissance

emise par S1 vers S2 (perte d’energie thermique pour S1) et la puissance absorbee par S1 en provenancedu rayonnement emis par S2 (gain d’energie thermique pour S1).

ϕnet12 = ϕ12 − ϕ21 = S1F12 (M

1 −M

2) = S1F12σ(T 41 − T 4

2

).

Le signe de ϕnet12 nous renseigne si S1 emet davantage de rayonnement vers S2 qu’elle n’en absorbe en

provenance de S2. On compte donc positivement, avec cette convention, les pertes d’energie d’une sur-face par rayonnement. Bien que cette convention soit en opposition avec celle generalement adoptee enthermodynamique, on la trouve cependant dans presque tous les ouvrages sur le rayonnement thermique.

Relations algebriques entre facteurs de forme

Le rapprochement des expressions (1.17), (1.18) et (1.19) montre que

S1F12 = S2F21. (1.20)

Cette derniere expression est la relation de reciprocite.

Par ailleurs, si on considere une enceinte fermee constituee de N surfaces noires : le flux total ϕi emispar la surface Si est absorbee par toutes les surfaces de l’enceinte, y compris Si si elle est concave. Onpeut alors ecrire

ϕi =

j=N∑j=1

ϕij = ϕi

j=N∑j=1

Fij .

On obtient alors la relation d’additivite qui s’ecrit

j=N∑j=1

Fij = 1. (1.21)

L’evaluation d’un facteur de forme se ramene au calcul d’une integrale de surface, mais le calcul peutetre long. Par ailleurs, il n’est jamais necessaire de calculer directement tous les facteurs de forme parune integrale de surface car il est tres souvent possible de trouver certains d’entre eux a partir de simplesconsiderations geometriques. D’autre part, il existe des abaques ou des tables de facteur de forme d’untres grand nombre de situations courantes. Ces abaques permettent generalement de trouver quelques-unsdes facteurs de forme du systeme etudie et on deduit les autres par application des relations algebriques(1.20) et (1.21).

17

FIGURE 1.16 – Quelques abaques permettant de determiner les facteurs de forme de quelques configura-tions simples.

Echanges radiatifs dans une enceinte noire

On peut toujours considerer que plusieurs surfaces constituent une enceinte fermee, quitte a combler sibesoin certains espaces vides par des surfaces fictives de temperature uniforme prise egale a la temperaturedu milieu ambiant. Il est important que chaque surface de l’enceinte soit individuellement isotherme. Ilarrive cependant que ce ne soit pas toujours le cas dans la pratique. Dans ce cas, on fractionne les surfacesen question pour remplir cette condition.En faisant un bilan d’echanges radiatifs sur l’une des surfaces Si :

- Elle emet un flux total ϕi.

- Elle absorbe, en provenance de toutes les surfaces de l’enceinte, des flux ϕji.

Le flux net de la surface Si s’ecrit

ϕneti = ϕi −

j=N∑j=1

ϕji.

Compte tenu des relations d’additivite et de reciprocite, on peut ecrire que

18

ϕneti =

N∑j=1

SiFij (Mi −M

j) =

N∑j=1

ϕnetij . (1.22)

Le flux net echange par Si est la somme des flux nets provenant des echanges individuels entre Si etchacune des surfaces de l’enceinte.

Representation des echanges radiatifs par analogie electrique

La relation exprimant le flux net echange entre deux surfaces noires S1 et S2

ϕnet12 = S1F12 (M

1 −M

2)

peut etre rapprochee de la loi d’Ohm I12 = (V1 − V2)/R12. On peut donc representer l’echange radiatifentre deux surfaces noires a l’aide du schema electrique analogique de la figure 1.17.

φ12

net

M°

1M°

2

R12=1/S

1F12

FIGURE 1.17 – Repesentation analogique des echanges radiatifs entre deux surfaces noires.

Surfaces adiabatiques ou sans flux

De tres nombreux equipements thermiques, comme les fours ou les chaudieres, font intervenir des sur-faces adiabatiques. Le role de ces surfaces est de canaliser l’energie rayonnee et agissent comme desreflecteurs diffusants pour l’energie incidente. Ces surfaces sont generalement recouvertes d’une coucherefractaire (qui resiste a la chaleur) qui les rend adiabatiques. La temperature de ces surfaces est imposeepar les echanges radiatifs dans le systeme. Dans un schema analogique, le potentiel du nœud correspon-dant a cette surface adiabatique SR est M

R et aparait comme un potentiel flottant. Le calcul du potentielflottant se fait en ecrivant que le flux radiatif echange par cette surface adiabatique est strictement nul.

1.2.2 Echanges radiatifs entre surfaces opaques grises

Pour simplifier, nous n’avons considere les echanges qu’entre surfaces noires. Ceci est realiste si etseulement si les surfaces en question ont des emissivites superieure a 0,9. En pratique, ce n’est pastoujours le cas et nous devons considerer des surfaces non noires, mais nous allons nous restreindre aquelques cas particuliers faisant intervenir des hypotheses simplificatrices : les surfaces que nous allonsconsiderer seront grises et diffusantes en emission.

19

Surfaces opaques grises et diffusantes en emission et en reflexion

Si ϕi est le flux incident sur une surface S grise et diffusante, seule une fraction ϕa est absorbee et unefraction ϕr est reflechie, contrairement aux surfaces noires. L’eclairement de la surface est E = ϕi/S etson emittance M = ϵM. Pour les surfaces grises, il faut tenir compte du flux reflechi. On introduit pourcela une nouvelle grandeur, la radiosite, notee J , qui correspond a tout ce qui quitte la surface : il s’agitde la somme de l’emittance de la surface et du flux reflechi par l’unite de surface ρE :

J = ϵM + ρE. (1.23)

Pour une surface noire, la radiosite correspond en fait a l’emittance de la surface. Dans la mesure oul’eclairement d’une surface a emission diffuse est suppose uniforme, sa radiosite l’est egalement. Pourune surface grise opaque, la radiosite devient

J = ϵM + (1− ϵ)E. (1.24)

Le flux net de la surface S correspond a la difference entre les flux emis et absorbe par cette surface(ou difference entre les flux quittant et recu par S). Sachant qu’il s’agit d’une surface grise, la loi deKirchhoff impose que α = ϵ et en eliminant l’eclairement, en introduisant son expression, on obtient

ϕnet =ϵS

1− ϵ(M − J) = S (J − E) . (1.25)

Ainsi, la densite de flux nette cedee par une surface grise est aussi egale a la difference entre sa radiositeet son eclairement. Tout comme pour les surfaces noires, on peut utiliser l’analogie electrique pour ca-racteriser les echanges radiatifs entre surfaces grises. L’expression du flux net rayonne peut s’interpretercomme un circuit dans lequel une resistance 1− ϵ/ϵS, sumise a une difference de potentiel M − J esttraversee par un courant egal a ϕnet.

φnet

M° J

R=1-ε/εS

FIGURE 1.18 – Repesentation analogique d’une surface grise.

Si on considere deux surfaces grises qui rayonnent l’une vers l’autre, on peut utiliser l’analogie electriquepour resoudre le probleme (figure 1.19).

Par analogie avec les echanges entre deux surfaces noires, on peut ecrire pour les echanges entre deuxsurfaces grises que

ϕnet = S1F12 (M1 −M

2) , (1.26)

ou F12 est le facteur de forme gris defini par

20

M°J1

R1=1-ε

1/ε1S1

1

J2 M°

2

R12=1/S

1F12

R2=1-ε

2/ε2S2

FIGURE 1.19 – Repesentation analogique du systeme.

F12 =1

1−ϵ1ϵ1

+ 1F12

+ 1−ϵ2ϵ2

S1S2

. (1.27)

Contrairement aux facteurs de forme noirs qui sont purement geometriques, les facteurs de forme grisdependent des proprietes radiatives des materiaux.

Systeme d’equations lineaires decrivant les echanges radiatifs dans une enceinte vide aux paroisgrises et diffusantes en emission et reflexion

On considere le cas general d’une enceinte constituee de N surfaces Si, i = 1...N . Dans ce cas, on estamene a la resolution d’un systeme lineaire de N equations a N inconnues Ji, fourni dans le tableau(1.1) ci-dessous. Notez bien qu’on doit differencier les surfaces a temperature imposee Ti des surfaces aflux impose ϕi.

N∑j=1

AijJj = Bi pour i = 1 a N

surfaces Si a temperature Ti imposee surfaces Si a densite de flux net φneti impose

Aij δij − (1− ϵi)Fij δij − Fij

Bi ϵiσT4i φnet

i

TABLE 1.1 – Parametres du systeme lineaire.

Une fois que l’on a obtenu les radiosites Ji des differentes surfaces par resolution du systeme lineaire, ilne reste plus qu’a calculer les flux et temperatures qui nous interessent a l’aide de la relation (1.25).

1.3 Echanges radiatifs entre surfaces separees par un milieu semi-transparent

Nous avons consideres jusqu’a present que les milieux qui separaient les surfaces comme parfaite-ment transparents, c’est-a-dire comme etant non absorbants, non emissifs et ne participent donc pasaux echanges radiatifs. Cette approximation est valable pour les milieux constitues de gaz a moleculessymetriques tels que H2, N2, O2 et leurs melanges dont l’air sec et pur. Mais cette simplification n’estplus valable pour les gaz et vapeurs a molecule heteropolaire tels que le CO2, H2O, SO2, les vapeursd’hydrocarbures et alcools. Autrement dit, la plupart des gaz presents dans les equipements industriels(gaz de combustion dans les fours, les chaudieres et les moteurs a combustion interne) ; Ces gaz sonttransparents au rayonnement dans certaines zones du spectre thermique, et absorbants dans d’autres. De

21

tels milieux sont dits semi-transparents. Certains solides (verres, plastiques) et liquides sont egalementdes milieux semi-transparents puisque le rayonnement ne les traverse que partiellement.

Un certain nombre de milieux semi-transparents presentent en outre la propriete de diffuser ou de dis-perser le rayonnement, qui agissent toutes deux dans le sens de l’attenuation du rayonnement. Ce com-portement est celui des milieux contenant une phase dispersee dans une autre, d’indice de refractiondifferent.

Si le rayonnement des surfaces opaques est un phenomene surfacique (l’absorption du rayonnement parun materiau opaque a lieu dans une couche extremement mince situee au voisinage de la surface), lerayonnement des milieux semi-transparents est par contre un phenomene volumique.

1.3.1 Propagation du rayonnement dans les milieux semi-transparents non diffusants

Attenuation du rayonnement par absorption

Le rayonnement traversant un milieu absorbant froid subit une attenuation qui depend de la naturephysico-chimique, de l’epaisseur, de la temperature et de la pression du milieu traverse, ainsi que dela longueur d’onde du rayonnement. La luminance initiale d’un rayonnement monochromatique Lλ0

penetrant selon une direction Ox dans un milieu semi-transparent, diminue avec la profondeur de penetrationet vaut Lλx a une profondeur x. L’attenuation par absorption sur le trajet elementaire dx s’ecrit

dLλx = −KλLλxdx,

ou Kλ est le coefficient d’absorption monochromatique du milieu pour la longueur d’onde λ. Dans le casgeneral ou le milieu n’est pas isotherme, Kλ varie avec la profondeur Kλ(x). L’epaisseur optique Kλ(x)

du milieu pour la longueur d’onde λ est definie comme

Kλ(x) =

∫ x

0Kλ(x

′)dx′.

Dans ces conditions, dKλ = Kλ(x)dx et dLλx = −dKλLλx, et la loi d’attenuation de la luminances’ecrit

Lλx = Lλ0 exp [−Kλ(x)] .

L’epaisseur optique du milieu correspond au degre de transparence aux radiations de longueur d’ondeλ. Lorsque Kλ < 1, il s’agit d’un milieu transparent. On le dit optiquement mince. Lorsque Kλ > 1,le milieu est dit optiquement dense pour λ. Enfin le milieu peut etre considere comme opaque des queKλ > 5

Si le milieu est homogene et isotherme, alors le coefficient d’absorption monochromatique est constantet la loi d’attenuation devient

Lλx = Lλ0 exp (−Kλx) . (1.28)

On ne considerera que des milieux homogene et isotherme dans le cadre de ce cours.

22

Emission du rayonnement par un milieu semi-transparent

Lorsque le milieu ne peut pas etre considere comme froid, il faut alors prendre en compte, simultanementau phenomene d’absorption, une emission de rayonnement en chaque point du milieu. La loi de Kirchhoffs’applique a l’emissivite et a l’absorptivite monochromatiques directionnelles correspondant a la memelongueur d’onde et au meme trajet dans le milieu. Dans ce cas ϵλx = αλx.

1.3.2 Proprietes radiatives d’un milieu semi-transparent homogene et isotherme

Transmittivite et absorptivite monochromatiques moyennes

Pour analyser les echanges radiatifs dans une enceinte grises et diffusantes contenant un milieu semi-transparent homogene et isotherme, il faut evaluer la transmittivite et l’absorptivite du milieu pour unrayonnement issu d’une paroi et en atteignant une autre, ainsi que l’emissivite du milieu par rapport acette surface.

FIGURE 1.20 – Enceinte constituee de N surfaces contenant un milieu semi-transparent.

En considerant deux elements de surface dSi et dSj d’une enceinte, on peut montrer que la transmittiviteet l’absorptivite moyennes du milieu pour l’ensemble des trajets reliant Si et Sj sont donnees par

τλ,ji =

∫Si

∫Sj

exp(−Kλℓ) cos θi cos θjdSidSj

πℓ2

SjFji,

αλ,ji =

∫Si

∫Sj

[1−exp(−Kλℓ)] cos θi cos θjdSidSj

πℓ2

SjFji,

ou ℓ correspond a la distance moyenne entre ces deux surfaces. Ces relations montrent que l’on aevidemment pour chaque λ,

τλ,ij = τλ,ji, αλ,ij = αλ,ji et τλ,ij = 1− αλ,ij .

Emissivite monochromatique du milieu par rapport a une surface

L’element de surface dSi recoit simultanement le rayonnement de longueur d’onde λ emis par le volumedu milieu sur le trajet ℓ separant ces deux surfaces. On definit alors l’emissivite monochromatique ϵλℓ

du milieu sur ce trajet egale a αλℓ. Le flux emis par le milieu vers Si est alors au prorata de l’emissivitemonochromatique moyenne

23

ϵλ,ji =

∫Si

∫Sj

[1−exp(−Kλℓ)] cos θi cos θjdSidSj

πℓ2

SjFji.

Ces expressions montrent que ϵλ,ji = αλ,ji pour chaque longueur d’onde λ.

Toute la difficulte de ce probleme repose sur la determination de ces trois grandeurs : ϵλ,ji, αλ,ji et τλ,ji.Il existe cependant un cas ou ce calcul est tres simple lorsque Sj limite un hemisphere semi-transparentisotherme.

FIGURE 1.21 – Couche semi-transparente isotherme de forme hemispherique rayonnant vers le centre desa base.

Dans ces conditions, les distances ℓ separant Si de Sj sont toutes egales a R. On a alors

τλ,ij =1

SiFij

Si

πR2exp(−KλR)

∫Sj

cos θidSj = exp(−KλR),

compte tenu que Fij = 1 et l’integrale a pour valeur πR2. Ainsi αλ,ij = ϵλ,ij = 1− exp(−KλR).

Hemisphere gazeux equivalent

Dans la pratique, les volumes semi-transparents ont generalement une autre forme qu’hemispherique.Une methode pratique, valable que pour les milieux gazeux isothermes, qui evite de devoir calculerdes integrales doubles pour obtenir les proprietes radiatives des milieux, consiste a remplacer la vraiecouche gazeuse par un hemisphere gazeux de rayon R qui aurait des effets radiatifs equivalents a ceuxdu volume etudie par rapport a une surface donnee. Le rayon R correspondant a un certain nombre deconfigurations courantes se trouvent dans les abaques. Pour les configurations non repertoriees, il estpossible d’estimer approximativement R a l’aide de la formule R = 4V/S pour un milieu optiquementmince (R est purement geometrique independant de λ).

Evaluation de l’emissivite totale d’un milieu optiquement mince

Une serie d’abaque fournit, pour les gaz absorbants les plus courants (CO2, H2O, CO, methane...),l’emissivite totale d’une couche homogene et isotherme de forme hemispherique rayonnant vers unelement de surface place au centre de sa base. Les figures (1.22) repertorient l’emissivite totale d’unecouche gazeuse hemispherique pour le gaz carbonique et la vapeur d’eau.

24

FIGURE 1.22 – Emissivite totale de CO2 et H2O a une pression totale de 1 atm et une pression partiellede gaz absorbant proche de 0.

Les grandeurs d’entree sont la temperature du gaz (suppose isotherme) et le produit PGR de la pres-sion partielle du gaz absorbant (melange dans un gaz transparent) par le rayon de l’hemisphere gazeuxequivalent. Ces abaques ont ete etablis pour une pression totale du melange gaz absorbant/gaz transparentde 1 atm et une pression partielle du gaz absorbant tendant vers zero.En pratique, on rencontre generalement des pressions totales autres que 1 atm. Pour tenir compte del’influence des pressions totales sur ϵCO2 , et des pressions totales et partielles sur ϵH2O, on multiplieles emissivites obtenues a partir des abaques de la figure (1.22) par des coefficients correcteurs CH2O etCCO2 obtenus a partir des abaques de la figure (1.23).Dans l’hypothese ou du CO2 et du H2O sont simultanement presents dans le melange gazeux, parmid’autres constituants non absorbants, on evalue l’emissivite totale du melange en additionnant les contri-butions des deux calcules separement. Du fait du leger recouvrement des bandes spectrales d’emissionde ces deux gaz, on doit la corriger en lui soustrayant une quantite ∆ϵ fournie par l’abaque de la figure(1.24).Finalement, l’emissivite totale du melange gazeux par rapport a la surface Si est obtenue a partir de laformule :

ϵgi = CCO2 ϵCO2 + CH2O ϵH2O −∆ϵ. (1.29)

Lorsque la pression totale est egale a 1 atm pour un melange gazeux CO2 + H2O, un facteur decorrelation est donne figure 1.25 pour la pression partielle de vapeur d’eau. Dans ce cas

ϵgi = ϵCO2 + βϵH2O.

25

FIGURE 1.23 – Correction des pressions sur les valeurs des emissivites.

FIGURE 1.24 – Correction tenant compte du recouvrement des bandes d’absorption de CO2 et H2O pourun melange de ces gaz.

Evaluation des τji et αji

On peut evaluer αji, dans le cas ou Tj = TG, a l’aide des expressions suivantes :

αjiCO2= CCO2

(TG

Tj

)0,65

ϵCO2

(Tj , PCO2Rj

Tj

TG

), (1.30)

αjiH2O= CH2O

(TG

Tj

)0,45

ϵH2O

(Tj , PH2ORj

Tj

TG

), (1.31)

ce qui implique de re-utiliser les abaques precedents. Cette fois-ci, la temperature d’entree n’est plus latemperature du gaz TG, mais celle du rayonnement emis a la temperature Tj et absorbe par le gaz. De

26

FIGURE 1.25 – Facteur de correlation β pour la pression partielle de H2O.

plus Rj est corrige dans le rapport Tj/TG.

Dans le cas d’un melange de CO2 et de H2O, on applique encore la correction pour le recouvrement desbandes spectrales en prenant

∆α = (∆ϵ)Tj.

1.3.3 Systeme d’equations lineaires decrivant les echanges radiatifs dans une enceinteaux parois grises et diffusantes, remplie d’un gaz semi-transparent isotherme

On procede comme dans le cas vu precedemment concernant les echanges radiatifs dans une enceintevide, en tenant compte cette fois du caractere participatif du gaz dans ces echanges. On considere toujourspour cela une enceinte constituee de N surfaces Si, i = 1...N en prenant le soin de differencier lessurfaces a temperature imposee Ti des surfaces a flux impose ϕi.

Le resume du systeme de N equations a N inconnues est donne sur le tableau (1.2).

N∑j=1

AijJj = Bi pour i = 1 a N

surfaces Si a temperature Ti imposee surfaces Si a densite de flux net φneti impose

Aij δij − (1− ϵi)Fijτji δij − Fijτji

Bi ϵiσT4i + (1− ϵi) ϵgiσT

4G φnet

i + ϵgiσT4G

TABLE 1.2 – Resume du systeme d’equations.

Ici on a, en plus par rapport au systeme du tableau (1.1), les parametres relatifs au gaz et en particulierTG, qui peut etre une donnee ou une inconnue du probleme.

27

1.3.4 Gaz gris et isotherme

En considerant un gaz comme gris, cela implique que sa transmittivite et son absorptivite sont independantesde λ. De ce fait, on obtient trois parametres uniques : αg, τg et ϵg. On peut alors montrer que les echangesradiatifs entre ce gaz gris et une surface noire se caracterisent par un flux net cede par le gaz a la surface

ϕneti = Siϵg (M

g −M

i) ,

que l’on peut representer en utilisant l’analogie electrique de la figure (1.26).

φnet

M°

gM°

i

R=1/Siεg

FIGURE 1.26 –

28

Chapitre 2

Convection

La convection thermique est le mode de transfert qui implique le deplacement d’un fluide, liquide ougazeux. Dans un fluide, il est pratiquement impossible d’assister a de la conduction pure car le moindregradient de temperature entraıne des courants de convection, c’est-a-dire un transport de masse. Ondistingue deux formes de convection en fonction de l’origine du mouvement du fluide permettant untransfert de chaleur d’une region de l’espace a une autre :

- on parle de convection forcee lorsque le fluide est mis en mouvement par des actions mecaniqueexterieures (pompe, ventilateur...). Dans ce cas le fluide echange de la chaleur avec les parois,mais le mouvement du fluide n’est pas influence par des variations locales de temperature. Pourun fluide incompressible, les equations thermique et dynamique sont decouplees et les champs detemperature et de vitesse peuvent etre determines separement.

- on parle de convection naturelle (ou de convection libre) lorsque le mouvement du fluide est duaux variations de masse volumique generees par des gradients de temperature au sein du fluide.On sait bien qu’un fluide chaud se dilate et devient moins dense que ce meme fluide froid et descourants de convection apparaissent. Dans ce cas, le champ de vitesse est couple au champ detemperature et il n’est plus possible de les determiner separement.

- on parle de convection mixte lorsque convection forcee et convection naturelle coexistent dansun systeme.

La convection apparaıt dans de nombreuses applications, qu’elles soient geophysiques (l’atmosphere, lescourants marins, le manteau terrestre ou les etoile) ou industrielles comme pour le refroidissement ducircuit primaire d’une centrale nucleaire par exemple.

2.1 Problematique

2.1.1 Coefficient d’echange h

On considere le cas simplifie de l’ecoulement d’un fluide de vitesse U∞ et de temperature T∞ au voi-sinage d’une plaque plane de temperature T0. La paroi est placee en y = 0. Le fluide agit comme unconvoyeur d’energie qu’il soutire a la paroi (ou qu’il cede a la paroi dans la cas d’une paroi froide).Generalement, ce que l’ingenieur veut savoir c’est

29

1. la force exercee par l’ecoulement sur la paroi,

2. la resistance au transfert de chaleur de la paroi au fluide en ecoulement.

FIGURE 2.1 – Profils de temperature et de vitesse au voisinage d’une paroi de temperature T0 parallele aun ecoulement uniforme de temperature T∞.

La premiere question legitime a se poser lorsqu’on est confronte a ce genre de probleme c’est commentl’ecart de temperature T0 − T∞ et la vitesse de l’ecoulement U∞ vont gouverner le transfert de chaleurentre la paroi et le fluide en mouvement ?L’approche traditionnelle consiste a ecrire que la densite flux de chaleur a la paroi est proportionnellea l’ecart de temperature qui lui a donne naissance avec un coefficient de proportionnalite qui est lecoefficient d’echange convectif h

φ(x) = h(x) (T0 − T∞) . (2.1)

Ce coefficient d’echange s’exprime en W/m2/K et represente une grandeur locale positive. Si le problemese ramene a un probleme de conduction pure (U∞ = 0), la temperature varie lineairement entre T0 etT∞ sur une epaisseur δT et la densite flux de chaleur suit la loi de Fourier φ = −λdT

dy , d’ou

h =λ

δT.

Representation des echanges convectifs par analogie electrique

On a vu que la puissance thermique echangee entre une paroi solide et un fluide s’ecrit sous la forme

ϕ = hS (T0 − T∞) .

Par analogie avec la loi d’Ohm, on peut representer l’echange convectif entre la paroi de temperature T0

et le fluide de temperature T∞ a l’aide du schema electrique analogique de la figure 2.2.Exemple : on considere un mur d’epaisseur e et de conductivite thermique λ en contact avec un fluidede temperature T∞. On peut utiliser l’analogie electrique pour caracteriser le flux de chaleur entre le muret l’air exterieur.Si on calcule le rapport d’ecart de temperature dans le solide et dans le fluide, on trouve que

30

φ

T0

T∞

R=1/hS

FIGURE 2.2 – Repesentation analogique des transferts de chaleur par convection entre une paroi et unfluide.

λ

e

Tp1 Tp2

T∞h

Tp2

Tp1

T∞

eλ

1h

FIGURE 2.3 – Repesentation analogique des transferts de chaleur a travers un mur au contact d’un fluide.

φ =λ

e(Tp1 − Tp2) = h (Tp2 − T∞) ,

soitTp1 − Tp2

Tp2 − T∞=

he

λ= Bi,

ou Bi est le nombre de Biot, nombre sans dimension qui compare la variation de temperature dans lesolide a la variation de temperature dans le fluide. Un nombre de Biot Bi ≪ 1 indique que le champ detemperature dans le solide peut etre considere comme quasi uniforme, tel que Tp1 ≃ Tp2. Un nombre deBiot Bi ≫ 1 indique au contraire que le fluide impose sa temperature au solide, Tp2 ≃ T∞.

2.1.2 Comment determiner h ?

Cependant la determination de h est essentielle. Toute la physique du probleme est contenue dans cecoefficient qui depend d’un grand nombre de parametres comme la nature de l’ecoulement (laminaire outurbulent), la geometrie, les proprietes du fluide (viscosite, coefficient de dilatation thermique, densite)...et il est difficile de lui attribuer des valeurs a priori.

Pour determiner h, il faut considerer que le transfert de chaleur au voisinage de la paroi est essentielle-ment conductif, de sorte que la temperature T (y) varie lineairement. Le flux de chaleur obeit alors a laloi de Fourier au voisinage immediat de la paroi et

31

φ(x) = −λ∂T (x, y)

∂y

∣∣∣∣y=0

.

En introduisant l’equation (2.1), on obtient l’expression du coefficient d’echange

h(x) = − λ

T0 − T∞

∂T (x, y)

∂y

∣∣∣∣y=0

. (2.2)

Pour calculer h, il est necessaire de determiner ∂T (x,y)∂y

∣∣∣y=0

qui depend du champ de vitesse au voisi-

nage de la paroi. Il est alors indispensable d’analyser les couches limites thermique et dynamique pourdeterminer u(x, y) et T (x, y).

Il est usuel de distinguer dans les ecoulements fluides les ecoulements internes des ecoulements ex-ternes. Cette classification est dictee par la geometrie de l’ecoulement. Dans les ecoulements libres telsque jets et panaches, les conditions aux limites sont rejetees a l’infini, sauf au voisinage de la source.Au contraire, les ecoulements internes sont essentiellement confines entre des parois. Les ecoulementsexternes occupent une position intermediaire, avec a la fois des conditions a l’infini et des conditions deparoi.

2.2 Convection forcee externe

La convection forcee externe correspond a un ecoulement le long d’une plaque plane, ou plus generalementa l’exterieur d’une structure, a partir du bord d’attaque en x = 0 jusqu’au bord de fuite en x = L (voirfigure 2.1).

2.2.1 Equations de conservation

On considere l’ecoulement d’un fluide incompressible newtonien dont les proprietes physiques sontconstantes. Les equations de conservation sont les suivantes :

- conservation de la masse ou equation de continuite

−→∇ .−→v = 0 (2.3)

- conservation de la quantite de mouvement

∂−→v∂t

+(−→v .

−→∇)−→v = −1

ρ

−→∇p+ ν∆−→v +

1

ρ

−→f . (2.4)

- conservation de l’energie

ρcp

[∂T

∂t+(−→v .

−→∇)T

]= λ∆T + σ + µΦ, (2.5)

ou cp est la chaleur specifique massique en J/kg/K, λ est la conductivite thermique du fluide enW/m/K, σ represente une eventuelle source de chaleur interne par reaction chimique, nucleaire...et µΦ correspond a un terme lie a l’echauffement du fluide par frottement visqueux.

32

2.2.2 Conditions aux limites

Meme dans le cas tres simple sans source interne de chaleur, sans echauffement du fluide par frottementvisqueux et en regime stationnaire, la resolution de l’equation de la chaleur necessite l’adjonction deconditions aux limites, aux frontieres du domaine etudie, qui peuvent etre de trois types :

Conditions aux limites isothermes

La temperature de la frontiere est imposee. Elle peut dependre du temps et meme varier le long de lafrontiere. Le cas le plus simple est T = T0 uniforme sur toute la frontiere. Cette condition aux limitesest delicate a realiser experimentalement.

Conditions aux limites a flux constant

Une densite flux de chaleur est imposee sur la frontiere. Cette condition impose donc la valeur du gradientde temperature a la frontiere, tel que −λ ∂T/∂n|P = φ0 (loi de Fourier) ou n est la normale a la frontiere.Dans le cas particulier d’une paroi isolee thermiquement ou adiabatique, on a ∂T/∂n|P = 0.

Echanges sur une paroi

- Echanges convectifs : Lorsqu’une paroi echange de la chaleur par convection avec l’exterieur, ladensite flux de chaleur est donnee par φ = h (Tp − Tf ). En chaque point de la frontiere, ce fluxetant fourni par conduction a travers le solide impose que

−λ∂T

∂n

∣∣∣∣P

= h (Tp − Tf ) .

- Echanges radiatifs : Comme on l’a vu, le flux qu’une paroi de temperature Tp echange parrayonnement avec l’exterieur de temperature Text est σ

(T 4p − T 4

ext

)si la surface est noire. Dans

ce cas

−λ∂T

∂n

∣∣∣∣P

= σ(T 4p − T 4

ext

).

- Echanges entre deux solides : On doit ecrire une condition aux limites a chaque frontiere entredeux solides en contact. La conservation de la chaleur de part et d’autre de la frontiere imposeque

λ1∂T1

∂n

∣∣∣∣P

= λ2∂T2

∂n

∣∣∣∣P

,

ou λ1 et λ2 sont les conductivites thermiques des solides 1 et 2 et T1 et T2 sont les distributionsde temperature dans ces solides.

2.2.3 Hypotheses de couche limite

En se basant sur la figure 2.1, il est naturel de penser que la vitesse et la temperature doivent varierrespectivement de u = 0 a u = U∞ et de T = T0 a T = T∞ dans un espace situe relativement proche

33

de la paroi solide. Ces regions de l’espace sont appeles couches limites. On note δ(x) l’epaisseur de lacouche limite dynamique et δT (x) l’epaisseur de la couche limite thermique a une position x de la paroi.Les equations de couche limite sont obtenues a partir des equations de conservation completes (2.3),(2.4) et (2.5). Cette theorie a ete developpee par Prandtl (1875-1953) et consiste a ne garder que lestermes preponderants dans les equations de conservation a partir de considerations en ordre de gran-deur. L’analyse en ordre de grandeur repose sur le fait qu’on considere que les profils de vitesse et detemperature sont lineaires, en premiere approximation, dans les couches limites. L’hypothese de couchelimite consiste a considerer que l’epaisseur de la couche limite a une position x, qu’elle soit dynamiqueou thermique, est negligeable devant x

δ(x) ≪ x. (2.6)

A - Equation de la couche limite dynamique

Dans l’epaisseur δ(x) de la couche limite dynamique, la vitesse varie de 0 a U∞ tel que

u(y = 0) = 0 et u(y = δ(x)) = U∞.

On considere l’ecoulement stationnaire bidimensionnel de la figure 2.1 et on note respectivement u et vles composantes de vitesse selon x et y, les equations bilans s’ecrivent sous la forme :

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

Compte tenu des hypotheses de couche limite (2.6), on en deduit que la dissipation visqueuse se produitessentiellement dans l’epaisseur de la couche limite ∂2u/∂x2 ≪ ∂2u/∂y2. Par ailleurs, la conditiond’incompressibilite permet d’ecrire que l’ordre de grandeur de la vitesse verticale est donnee par

v ∼ δ(x)

xU∞.

Enfin, on peut montrer que ∂p/∂y est negligeable dans l’epaisseur de la couche limite de sorte quep(x, y) = p(x) = p∞(x). Finalement les equations bilans se reduisent a

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (2.7)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2(2.8)

dans le cas ou p∞ = C te. En analysant l’ordre de grandeur des termes inertiels et visqueux, on trouvefinalement que l’epaisseur de la couche limite dynamique varie comme

34

δ(x)

x∼ Re−1/2

x . (2.9)

On en deduit l’ordre de grandeur de la contrainte de cisaillement a la paroi

τ0(x) = ν∂u(x, y)

∂y

∣∣∣∣y=0

∼ ρU2∞Re−1/2

x

et le coefficient de frottement parietal local

Cf =τ0(x)

1/2ρU2∞

∼ Re−1/2x

B - Equation de la couche limite thermique

Dans l’epaisseur δT (x) de la couche limite thermique, la temperature varie de T0 a T∞ tel que

T (y = 0) = T0 et T (y = δT (x)) = T∞.

L’analyse en ordre de grandeur permet de reduire l’equation de conservation de l’energie (2.5) a

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= α

∂2T

∂y2, (2.10)

avec α = λ/ρcp qui correspond a la diffusivite thermique du fluide en m2/s.

Adimensionnement de l’equation de la chaleur

On note l’ecart de temperature ∆T = T∞ − T0 et on choisit la longueur de la plaque L comme echellede longueur de reference. En posant

θ =T − T0

∆T; u =

u

U∞; v =

v

U∞; x =

x

Let y =

y

L,

on obtient l’equation de la chaleur adimensionnee

u∂θ

∂x+ v

∂θ

∂y=

α

U∞L

∂2θ

∂y2. (2.11)

L’equation (2.11) fait apparaitre le nombre de Peclet PeL = U∞L/α qui compare les termes inertielsaux termes de conduction. Ce nombre de Peclet peut se re-ecrire sous la forme

PeL = ReLPr,

ou Pr correspond au nombre de Prandtl

Pr =ν

α,

qui compare la diffusion visqueuse a la conduction de chaleur dans le fluide. Ce nombre de Prandtl estune propriete du fluide.Par consequent, il est necessaire de distinguer les cas extremes ou Pr ≪ 1 et Pr ≫ 1 pour analyser endetail δT (x).

35

Cas : fluide tres conducteur Pr ≪ 1

Les fluides avec Pr ≪ 1 correspondent aux metaux liquides qui conduisent mieux la chaleur qu’ils nediffusent la quantite de mouvement, ce qui se traduit au niveau des couches limites par δ(x) ≪ δT (x).

T0

δ(x)

T∞

δΤ(x)

U∞

FIGURE 2.4 – Effet du nombre de Prandtl sur l’epaisseur relative des couches limites thermique et dyna-mique pour un fluide caracterise par Pr ≪ 1.

Dans ce cas de figure, l’ordre de grandeur de la vitesse a l’echelle de δT est U∞. L’analyse en ordre degrandeur de l’equation (2.10) permet d’ecrire

U∞∆T

x∼ α

∆T

δ2T

et ainsi obtenir que

δT (x)

x∼ Pr−1/2Re−1/2

x . (2.12)

On remarque alors que le rapport des epaisseurs des couches limites, en comparant les equations (2.9) et(2.12), est fixe par le nombre de Prandtl

δTδ

≃ Pr−1/2.

A l’aide des equations (2.2) et (2.12), on peut montrer que le coefficient d’echange varie comme

h(x) ∼ λ

δT∼ λ

xPr1/2Re1/2x . (2.13)

On peut definir le nombre de Nusselt local qui compare le flux de chaleur convectif au flux de chaleurconductif en ecrivant

Nux =h(x)x

λ∼ Pr1/2Re1/2x . (2.14)

On peut egalement definir un nombre de Nusselt global

NuL =1

λ

∫ L

0h(x)dx.

36

Cas : fluide tres visqueux Pr ≫ 1

Les fluides avec Pr ≫ 1 correspondent aux fluides classiques qui conduisent moins bien la chaleur qu’ilsne diffusent la quantite de mouvement, ce qui se traduit au niveau des couches limites par δ(x) ≫ δT (x).

T0

δT(x)

T∞

δ(x)

U∞

FIGURE 2.5 – Effet du nombre de Prandtl sur l’epaisseur relative des couches limites thermique et dyna-mique pour un fluide caracterise par Pr ≫ 1.

La question legitime a se poser en premier lieu, c’est quel est l’ordre de grandeur de la vitesse u dansla couche limite thermique d’epaisseur δT ? On peut, en premiere approximation, l’assimiler a un profillineaire de vitesse en proche paroi, tel que

u ∼ δTδU∞.

L’analyse en ordre de grandeur de l’equation de continuite (2.7) nous permet d’ecrire que

v ∼δ2Tδx

U∞,

et l’analyse de l’equation de la chaleur (2.10) permet de montrer que

δTδ

∆T

xU∞ ∼ α

∆T

δ2T.

On determine ainsi la loi de variation de l’epaisseur de la couche limite thermique

δT (x)

x∼ Pr−1/3Re−1/2

x . (2.15)

Finalement, pour un fluide a Pr ≫ 1, le coefficient d’echange est donne par

h(x) ∼ λ

xPr1/3Re1/2x ,

et le nombre de Nusselt local

Nux ∼ Pr1/3Re1/2x .

37

2.2.4 Methode integrale

Jusqu’a present, on s’est contente d’analyse en ordre de grandeur pour determiner les epaisseurs descouches limites. La methode integrale va nous permettre d’affiner les lois d’echelles (2.9), (2.12) et(2.15) etablies precedemment en determinant les coefficients de proportionnalites. Le principe de cettemethode consiste a modifier les equations et de les integrer a travers toute l’epaisseur de la couche limite.

A - Probleme dynamique

On considere le volume de controle fluide de la figure 2.6.

x

y

δ(x)

Volume de contrôle

0 X

YU∞

U∞

FIGURE 2.6 – Volume de controle fluide pour la methode integrale.

Le debit volumique qui entre dans le volume de controle est Q0 = U∞Y . Le debit volumique en x > 0

est donne par

Q(x) =

∫ Y

0u(x, y)dy = U∞Y −

∫ δ

0(U∞ − u(x, y)) dy.

Le debit qui sort du volume de controle en x > 0 est donc plus petit que Q0. La conservation du debitimplique alors qu’une fraction de l’ecoulement entrant est evacue de la couche limite entre x = 0 etx > 0, de sorte que la vitesse verticale est non nulle en y = Y .

En combinant l’equation de continuite (2.7) et l’equation de conservation de la quantite de mouvementprojetee dans la direction du mouvement (2.8), on obtient

∂(u2)

∂x+

∂ (uv)

∂y= ν

∂2u

∂y2, (2.16)

avec comme conditions aux limites u(y = 0) = 0, v(y = 0) = 0, u(y = δ) = U∞ et ∂u/∂y|y=δ = 0.

En integrant membre a membre les equations (2.7) et (2.16) de 0 a Y , on obtient respectivement

v(x, y) = − d

dx

∫ Y

0u(x, y)dy = −dQ(x)

dx

etd

dx

∫ Y

0u2dy + u(x, y)v(x, y) = −ν

∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

.

38

On injecte v(x, y) dans la deuxieme equation et on fait tendre Y vers δ(x), on obtient finalementl’equation de Von Karman

d

dx

∫ δ

0

u

U∞

(1− u

U∞

)dy =

τ0ρU2

∞.

En definissant l’epaisseur de deplacement δ1 et l’epaisseur de quantite de mouvement δ2

δ1 =

∫ δ

0

(1− u

U∞

)dy

δ2 =

∫ δ

0

u

U∞

(1− u

U∞

)dy,

l’equation de Von Karman s’ecrit finalement

dδ2dx

=τ0

ρU2∞. (2.17)

Pour resoudre cette equation, on doit choisir un profil de vitesse dans la couche limite dynamique sousforme polynomiale

par exemple :u

U∞=

i=n∑i=0

ai

(yδ

)i.

On determine les coefficients ai a l’aide des conditions aux limites, on calcule δ2 et τ0 en fonction de δ,puis on injecte dans l’equation de Von Karman (2.17) pour en deduire l’expression de δ(x) en fonctiondu nombre de Reynolds.

Exemple : on choisit un profil de vitesse lineaire dans la couche limite

u

U∞= a0 + a1η, ou η = y/δ.

Montrer que :δ

x= 3, 46Re−1/2

x .

B - Probleme thermique

On procede de la meme facon que pour le probleme dynamique. En combinant l’equation de continuite(2.7) et l’equation de la chaleur (2.10), on obtient

∂ (uT )

∂x+

∂ (vT )

∂y= α

∂2T

∂y2, (2.18)

avec comme conditions aux limites T (y = 0) = T0, T (y = δT ) = T∞ et ∂T/∂y|y=δT= 0.

On integre l’equation (2.18) membre a membre de 0 a Y , de sorte que l’on obtient

d

dx

∫ Y

0uTdy + T∞v(x, y) = −α

∂T

∂y

∣∣∣∣y=0

.

On injecte v(x, y) = −dQ(x)/dx et on fait tendre Y vers δT (x), on obtient finalement

39

d

dx

∫ δT

0u (T − T∞) dy = −α

∂T

∂y

∣∣∣∣y=0

=φ0

ρcp.

En posant θ = T − T0 et θ∞ = T∞ − T0 de sorte que T − T∞ = θ∞ (θ/θ∞ − 1), on obtient finalementl’equation equivalente a l’equation de Von Karman, mais pour le probleme thermique

d

dx

[θ∞

∫ δT

0

u

U∞

(1− θ

θ∞

)dy

]= − φ0

ρcpU∞.

On peut alors definir l’epaisseur thermique

δ2T =

∫ δT

0

u

U∞

(1− θ

θ∞

)dy, (2.19)

de sorte que l’equation du probleme thermique se reduit a

d

dx(θ∞δ2T ) = − φ0

ρcpU∞. (2.20)

On utilise la meme methode que pour le probleme dynamique, on choisit un profil de temperature dansla couche limite thermique sous forme polynomiale

par exemple :θ

θ∞=

i=n∑i=0

bi (ηT )i ,

ou ηT = y/δT .

On determine les coefficients bi a l’aide des conditions aux limites, on calcule δ2T et φ0 en fonction deδ et δT , puis on injecte dans (2.20) pour en deduire l’expression de δT (x) en fonction des parametres duprobleme.

Pour le probleme thermique, il existe deux types de configuration :

1. plaque chauffee a temperature uniforme : T0 = C te et φ0 = φ0(x),

Dans ce cas, θ∞ = T∞ − T0 = C te et on doit integrer

θ∞dδ2Tdx

= − φ0

ρcpU∞.

2. plaque chauffee a flux constant : φ0 = C te et T0 = T0(x).

Dans ce cas, φ0 = −λ ∂T/∂y|y=0 = C te, θ∞ = T∞ − T0(x) = θ∞(x) et on doit integrer

d (θ∞δ2T )

dx= C te.

Par ailleurs, pour chaque type de chauffage, il faut tenir compte du fluide considere et differencier les casou Pr > 1 des cas ou Pr < 1.

- Pr > 1 : dans ce cas, δ > δT et l’epaisseur thermique se calcule a partir de l’expression (2.19).

40

- Pr < 1 : dans ce cas, δ < δT , et il faut ecrire

δ2T =

∫ δ

0

u

U∞

(1− θ

θ∞

)dy +

∫ δT

δ

(1− θ

θ∞

)dy,

puisque u = U∞ en dehors de la couche limite dynamique ∀y > δ. Dans le cas ou Pr ≪ 1, alorsle premier terme devient negligeable par rapport au second terme et le calcul de δ2T se reduit a

δ2T =

∫ δT

δ

(1− θ

θ∞

)dy.

Exemple : on considere une plaque chauffee a flux constant au contact d’un fluide a haut nombre dePrandtl Pr ≫ 1. On choisit un profil de temperature lineaire dans δT

θ

θ∞= b0 + b1ηT .

Montrer que : Nux ≃ 0, 36Pr1/3Re1/2x .

Remarque : en regime turbulent, le transfert de chaleur est augmente par les fluctuations turbulentes.Pour une couche limite turbulente, on adopte couramment la relation

Nux = 0, 029Re4/5x Pr1/3,

lorsque le fluide utilise a un nombre de Prandtl 0, 5 ≤ Pr ≤ 50.

2.3 Convection forcee interne

La convection interne est associee aux ecoulements dans les conduites ou les canaux, avec des applica-tions aux echangeurs de chaleur. On se limitera aux conduites de section constante en regime stationnaire.

2.3.1 Probleme dynamique

On considere l’ecoulement dans une conduite de section S. Le debit entrant dans la conduite est Q0 =

US. Lorsque le fluide penetre dans la conduite, on observe le developpement de couches limites dyna-mique le long des parois par effets visqueux.Pour un fluide incompressible, la conservation du debit implique que

Q(x) = −∫∫

S

−→v .−→n dS = Q0 = US,

ou U correspond a la vitesse moyenne ou debitante. Il s’ensuit une acceleration de la vitesse au centre, al’exterieur des couches limites.La longueur d’entree Le correspond a la position a partir de laquelle les couches limites se rejoignent,c’est-a-dire tel que

δ(x = Le) = D/2 ∼ D.

41

U

y

x

Le

δ(x)

u(y) D

0

FIGURE 2.7 – Profils de vitesse de l’ecoulement dans la zone d’entree d’un conduite formee entre deuxplaques paralleles.

En combinant ce resultat a l’equation (2.9), on trouve finalement que la longueur d’entree varie comme

Le ∼ DReD.

A partir des equations de conservation de la masse et de la quantite de mouvement

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

et des conditions aux limites u(±D/2) = 0, on montre que lorsque le regime de l’ecoulement estpleinement developpe ou etabli (c’est-a-dire lorsque x > Le), alors

v = 0 et∂u

∂x= 0.

On peut montrer que le profil de vitesse dans cette region est parabolique de la forme

u(y) =D2

8η

(−dp

dx

)(1−

(y

D/2

)2)

= Umax

[1−

(2y

D

)2],

ou Umax = u(y = 0) = 3U/2 et U = (1/D)∫ D/2−D/2 u(y)dy est la vitesse moyenne.

2.3.2 Longueur d’etablissement du regime thermique

La longueur d’etablissement du regime thermique LTe correspond a la position a partir de laquelle les

couches limites thermiques se rejoignent, c’est-a-dire tel que

δT (LTe ) =

D

2∼ D.

42

y

x

Leδ(x)

T(y)D

LeT

δΤ(x)

Tp(x)U ; T0

0

Tp(x)

FIGURE 2.8 – Profils de temperature du fluide dans la zone d’entree d’un conduite formee entre deuxplaques paralleles de temperatures Tp(x).

Pour un fluide a Pr ≫ 1, δ ≫ δT et LTe ≫ Le, tandis que pour un fluide a Pr ≪ 1, δ ≪ δT et

LTe ≪ Le.

Tant que les couches limites sont separees (zone d’etablissement), on utilise les resultats obtenus enconvection forcee le long d’une plaque plane. Dans le cas ou Pr ≪ 1, l’equation (2.12) permet d’ecrireque

δT (LTe )

LTe

∼ Pr−1/2Re−1/2

LTe

,

soit

LTe

D∼ Pr ReD.

Dans la suite, on se placera dans le cas ou x > sup (Le, LTe ).

2.3.3 Temperature de melange

Pour un ecoulement en conduite, le fluide soutire (ou cede) de la chaleur a la paroi, de sorte que latemperature du fluide varie selon x. La question que l’on peut se poser est de savoir quel est l’ecart detemperature pertinent pour caracteriser le flux de chaleur a la paroi sous la forme

φ(x) = h(x)∆T (x)

en x donne. Il est donc primordial de determiner la temperature caracteristique (ou de reference) du fluideen ecoulement en x donne. On introduit alors une temperature appelee temperature de melange telleque

mTm(x) =

∫∫SρuTdS,

ou m = ρUS est le debit massique a travers la section S. Cette temperature de melange represente doncune moyenne ponderee de la temperature locale du fluide se deplacant a la vitesse u,

43

Tm(x) =1

US

∫∫SuTdS, (2.21)

de sorte que la densite flux de chaleur a la paroi soit donnee par

φ(x) = h(x) (Tp(x)− Tm(x)) .

Comment evolue Tm(x) ?

Pour evaluer comment varie la temperature de melange en fonction des parametres du probleme, onconsidere une tranche d’epaisseur dx.

Entre x et x+ dx, le fluide recoit un flux de chaleur

dΦ0 = φ0dΣ0,

ou dΣ0 = Pdx correspond a la surface d’echange pour la tranche d’epaisseur dx et P correspond auperimetre de la conduite.

La quantite d’energie sous forme de chaleur echangee par la conduite avec le fluide correspond a lavariation d’enthalpie dh. Il s’agit d’une enthalpie par unite de masse de fluide (en J/kg). L’application dupremier principe (stationnaire) de thermodynamique au volume de controle s’ecrit

mdh = dΦ0.

Si le systeme recoit de la chaleur et que sa temperature varie en retour de dT , on peut ecrire que

dh = cpdT,

ou cp est la capacite thermique massique en J/(K.kg). La capacite calorifique massique (ou chaleur mas-sique ou chaleur specifique) correspond a la quantite d’energie thermique a fournir au systeme pourelever la temperature de l’unite de masse de 1 K.

Dans ce cas, il vient que la temperature de melange varie selon x telle que

x x+dx

Tm(x) Tm(x+dx)

ϕ0

ϕ0

m m

FIGURE 2.9 – Bilan energetique dans une tranche de conduite d’epaisseur dx.

44

dTm(x)

dx=

P

S

φ0

ρcpU. (2.22)

2.3.4 Regime thermique etabli

On a vu que le regime dynamique etabli se traduit par le critere ∂u/∂x = 0. La question que l’on peutse poser est de savoir qu’elle est son equivalent pour le regime thermique etabli ?

U

r

x

Tp(x)

Tp(x)

FIGURE 2.10 – Ecoulement fluide de vitesse U circulant dans une conduite cylindrique de temperatureTp(x).

On considere une conduite de rayon r0 et de temperature Tp(x). Si on suppose que l’ecoulement eststationnaire, laminaire en regime dynamique etabli, qu’il n’y a pas de source interne de chaleur σ = 0

et que l’echauffement du fluide par frottement visqueux est negligable Φ, alors l’equation de la chaleurdans la base cylindrique (−→er ,−→eθ ,−→ex) s’ecrit

u∂T

∂x= α

(1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+

∂2T

∂x2

). (2.23)

Le regime thermique etabli suppose que la conduction de chaleur a atteint le centre de la conduite, desorte que x > LT

e . Par une analyse en ordre de grandeur des termes de convection axiale, de diffusionradiale et de diffusion axiale de l’equation (2.23), on montre que

NuD︸ ︷︷ ︸convection axiale

∼ 1︸ ︷︷ ︸diffusion radiale

;D

xNuDPe−1

D︸ ︷︷ ︸diffusion axiale

Lorsque PeD ≫ 1, le terme de diffusion axiale devient negligeable et le nombre de Nusselt NuD =

h(x)D/λ ∼ 1 devient constant et independant de x. Dans ce cas, le coefficient d’echange est egalementindependant de x. Le regime thermique etabli se caracterise donc par un coefficient d’echange

h = C te,

et la densite flux de chaleur s’exprime simplement par φ0(x) = h (Tp(x)− Tm(x)).Pour les ecoulements a PeD ≫ 1, on doit donc resoudre d’apres l’equation (2.23)

u

α

∂T

∂x=

1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

). (2.24)

45

Pour determiner le profil de temperature dans la conduite, on cherche une solution autosimilaire et onintroduit la coordonnee reduite R = r/r0. On peut montrer que le profil de temperature est donne par

T (x,R) = Tp(x)−φ0(x)

hF (R) = Tp(x)− (Tp(x)− Tm(x))F (R), (2.25)

avec F (R = 1) = 0 (a la paroi, T = Tp). On cherche donc un profil de temperature adimensionne

θ(x) =T (x)− Tp(x)

Tm(x)− Tp(x)= F (R).

Cette derniere equation implique que θ est constante et que

∂θ

∂x= 0.

Ceci est la deuxieme consequence du regime thermique etabli. En resume le regime dynamique etabliimplique que v = 0 et ∂u/∂x = 0, tandis que le regime thermique etabli implique que h = C te et∂θ/∂x = 0 lorsque le regime de l’ecoulement verifie PeD ≫ 1.

2.3.5 Variation axiale de temperature

Pour determiner la variation axiale de la temperature du fluide en ecoulement dans la conduite, on doitdistinguer les parois a flux uniforme des parois a temperature imposee.

Flux uniforme a la paroi φ0 = Cte

Dans ce cas, le flux est constant a la paroi, tel que

φ0 = h (Tp(x)− Tm(x)) = C te.

On montre alors que la variation axiale de la temperature a la paroi est egale a la variation axiale de latemperature de melange

dTp

dx=

dTm

dx.

Par ailleurs, l’equation (2.25) nous permet d’ecrire que

∂

∂x(T (x,R)− Tp(x,R)) = 0.

On en deduit alors que

∂T

∂x=

dTp

dx=

dTm

dx=

P

S

φ0

ρcpU= C te,

d’apres l’equation (2.22). La temperature du fluide dans une section droite varie alors lineairement avecx (comme le montre la figure 2.11) et la pente est proportionnelle au flux de chaleur a la paroi φ0. L’ecartde temperature ∆T = Tp(x)− Tm(x) = C te, tel que Tp(x1)− Tm(x1) = Tp(x2)− Tm(x2).

46

T

x

∆T=cst

x1 x2

Tm(x1)

Tp(x1) Tp(x2)

Tm(x2)

Tp(x)

Tm(x)

FIGURE 2.11 – Variation axiale de la temperature de melange du fluide dans le cas ou le flux de chaleurest uniforme a la paroi.

Temperature de paroi uniforme Tp = Cte

On cherche un profil de temperature de la forme de l’equation (2.25)

T (x,R) = Tp − (Tp − Tm(x))F (R).

On en deduit que dans ce cas,

∂T

∂x=

dTm

dxF (R) =

P

S

φ0(x)

ρcpUF (R).

Par ailleurs, sachant que le flux de chaleur a la paroi est donne par φ0(x) = h(Tp − Tm(x)), on montreque

Tp − Tm(x) = (Tp − Tm(0)) exp

(−P

S

h

ρcpUx

).

On observe alors, comme illustre sur la figure 2.12, une decroissance exponentielle du flux de chaleur ala paroi. A l’infini, on tend vers un etat isotherme tel que Tm(x → ∞) = Tp.

2.3.6 Variation radiale de temperature

Pour determiner le profil radial de temperature, il suffit de determiner F (R). On re-ecrit l’equation dela chaleur (2.24) en introduisant la coordonnee reduite R = r/r0 et en y injectant le profil de vitesseparabolique et le profil de temperature

u(R) = 2U(1−R2)

T (x,R) = Tp(x)−φ0(x)

hF (R).

47

T

x

∆T(x)

x1 x2

Tm(x1)

Tp Tp

Tm(x2)

Tp

Tm(x)

FIGURE 2.12 – Variation axiale de la temperature de melange du fluide dans le cas ou la temperature deparoi Tp est uniforme.

On trouve finalement que

2U

α

(1−R2

) ∂T∂x

=4

D2

(−φ0

h

) 1

R

d

dR

(RdF

dR

). (2.26)

Pour determiner F (R), on doit resoudre cette equation (2.26) en differenciant les parois a flux imposedes parois a temperature imposee.

Flux uniforme a la paroi φ0 = Cte

Nous avons deja vu que dans le cas d’un flux uniforme a la paroi, alors

∂T

∂x=

dTp

dx=

dTm

dx=

4

D2

φ0

ρcpU,

sachant que P = 2πr0, S = πr20. En introduisant cette equation dans l’equation (2.26), on montre que

1

R

d

dR

(RdF

dR

)= −2NuD(1−R2),

ou NuD = hD/λ. On integre en utilisant les conditions aux limites F (R = 1) = 0 et dFdR

∣∣R=0

= 0 (parsymetrie) et on trouve finalement

F (R) = NuD

(3

8− R2

2+

R4

8

),

soit le profil de temperature

48

T (x,R) = Tp(x)− (Tp(x)− Tm(x))NuD

(3

8− R2

2+

R4

8

).

A ce stade, seul le nombre de Nusselt est inconnu. Pour le determiner, on reprend la definition (2.21) dela temperature de melange et on ecrit

Tp(x)− Tm(x) =1

US

∫∫Su(R)(Tp(x)− T (x,R))dS,

=1

US

∫∫Su(R)(Tp(x)− Tm(x))F (R)dS,

avec dS = (D2/4)RdRdθ. Soit

US =D2

4

∫∫Su(R)F (R)RdRdθ.

On procede a l’integration et on aboutit a NuD = 48/11 = 4, 36.

Temperature de paroi uniforme Tp = Cte

Dans le cas d’une paroi a temperature uniforme, nous avons deja vu que

∂T

∂x=

4

D

φ0

ρcpUF (R).

On injecte cette equation dans (2.26) et on obtient l’equation differentielle suivante a resoudre

1

R

d

dR

(RdF

dR

)= −2NuD(1−R2)F (R),

avec comme conditions aux limites F (R = 1) = 0 et dFdR

∣∣R=0

= 0. Cette equation differentielle non-lineaire ne possede pas de solution analytique. On peut en revanche la resoudre numeriquement et ontrouve que NuD = 3, 66.

2.3.7 Application aux echangeurs de chaleur

Un echangeur de chaleur est un dispositif tres frequemment utilise dans l’industrie qui permet d’echangerde la chaleur entre deux fluides sans les melanger. On peut mentionner par exemple l’eau du circuitprimaire de refroidissement d’une centrale nucleaire.On considere l’echangeur annulaire de longueur L de la figure 2.13 constitue d’une conduite internede rayon R1 dans laquelle circule un fluide, et une conduite externe de rayon R2 dans laquelle circulede l’eau destinee a refroidir le fluide interne. Les deux fluides peuvent circuler dans une configurationqui soit co-courant ou contre-courant. Dans chacune des conduites, on considere l’ecoulement commeetant stationnaire, laminaire et les regimes thermiques et dynamique sont etablis. La paroi cylindriquequi separe les deux fluides est a la temperature Tp et on note hc et hf les coefficients d’echange convectifrespectivement entre le fluide chaud et la paroi et entre le fluide froid et la paroi.On peut montrer (ce sera l’objet d’un exercice en seance de travaux diriges) que le flux de chaleur totalsur toute la longueur de l’echangeur entre les deux fluides vaut

49

r

xTp

Tp

fluide chaud

fluide froid

fluide froid

ϕ0(x)

ϕ0(x)

R1

R2

0 L

FIGURE 2.13 – Schematisation de l’echangeur annulaire.

ϕ0 = heqS∆TLM ,

ou S est la surface d’echange entre les deux fluides, heq est le coefficient d’echange equivalent, tel que

1

heq=

1

hc+

1

hf,

et ∆TLM est la difference de temperature logarithmique moyenne telle que

∆TLM =∆TL

m −∆T 0m

ln (∆TLm/∆T 0

m),

ou ∆T 0m et ∆TL

m correspondent aux differences de temperature de melange entre les fluides chaud etfroid respectivement en x = 0 et x = L.

2.4 Convection naturelle

La convection naturelle differe fondamentalement de la convection forcee et apparaıt lorsqu’on chauffeun fluide sans aucun ecoulement exterieur impose mecaniquement. La convection naturelle est inexpli-cable dans le cadre precedent puisqu’aucun mouvement ne serait possible du fait du decouplage entreles equations de la thermique et de la dynamique. Pour lever ce paradoxe, on doit alors tenir compte dela legere dilatabilite des fluides. L’ecoulement apparait donc naturellement par la poussee d’Archimededu fait des variations de densite d’une couche fluide a une autre par des variations de temperature. De cefait, l’ecoulement est couple au champ de temperature. La temperature n’est plus un scalaire passivementadvecte par l’ecoulement et on ne peut plus determiner le champ de vitesse et le champ de temperatureseparemment.

2.4.1 Origine du mouvement

La premiere question que l’on peut se poser, c’est de savoir quelles sont les conditions pour voir ap-paraıtre un ecoulement de convection naturelle au sein d’un fluide ? Apparaıt-il systematiquement deslors qu’un gradient de temperature (aussi petit soit-il) est present a travers le fluide ? Pour repondre a

50

cette question, nous devons etudier si un etat hydrostatique peut exister dans une configuration donneeet verifier, le cas echeant, s’il est stable.

Pour un fluide incompressible mais dilatable, sa masse volumique est variable et depend de sa temperatureρ(T ). L’equation de l’hydrostatique s’ecrit

−→∇p = ρ(T )−→g .

Un etat hydrostatique peut exister s’il existe un champ de pression dont le gradient equilibre en tout pointdu fluide son poids volumique.

−→∇p derive d’un potentiel de sorte que

−→∇ ∧

(−→∇p)= 0. On doit donc

avoir−→∇∧(ρ−→g ) = ρ

−→∇∧−→g +(−→∇ρ

)∧−→g = 0, pour qu’un etat hydrostatique puisse exister. Finalement,

comme le poids volumique est une force conservative, il derive d’un potentiel tel que −→g =−→∇V et

(−→∇ρ)∧(−→∇V

)= 0.

Ainsi les isochores (ρ(T ) = C te) doivent correspondre a des isopotentielles (V = C te) pour qu’un etathydrostatique puisse exister. Si −→g est vertical, les isopotentielles sont horizontales et il y a equilibrehydrostatique si les isochores sont egalement horizontales.

La configuration (a) de la figure 2.14 est une situation dans laquelle les isothermes (ie les isochores) sontverticales et ne coıncident pas avec les isopotentielles. Dans ce cas, aucun etat hydrostatique ne peutexister. Le fluide le plus chaud (respectivement froid) au contact de la paroi T0 + ∆T/2 (T0 − ∆T/2)se dilate (comprime) et devient moins (plus) dense et monte (descend) par l’intermediaire de la pousseed’ Archimede. Ainsi, meme pour un ∆T ≪ 1, un ecoulement de convection naturelle sera induit. Il y achauffage de fluide au voisinage de la paroi T0 +∆T/2 par conduction, et un apport de fluide froid parconvection naturelle.

En revanche, les isochores coıncident bien avec les isopotentielles dans la configuration (b) de la figure2.14. Compte tenu que la stratification en densite est stable (le fluide le plus dense est en-dessous), l’etathydrostatique existe bien dans ce cas et aucun ecoulement de convection naturelle n’apparaıt, meme pourun ∆T ≫ 1.

T0+∆T/2T0-∆T/2

T0+∆T/2

T0-∆T/2

T0-∆T/2

T0+∆T/2

(a) (b) (c)

g

FIGURE 2.14 – Convection naturelle en cavites differentiellement chauffees. Le fluide contenu dans cescavites est initialement a la temperature T0 et les parois achurees correspondent a des parois adiabatiques.

51

FIGURE 2.15 – Cellules de convection qui apparaıssent entre deux plaques planes, chauffee par le dessouset refroidit par le dessus, lorsque ∆T excede une certaine valeur critique ∆Tc. Il s’agit de l’instabilite deRayleigh-Benard. Source : An Album of fluid motion, Van Dyke, 1982.

Finalement, la situation (c) est la plus delicate a analyser. Dans cette situation les isochores coıncidentbien avec les isopotentielles de sorte qu’un etat hydrostatique peut exister. Cependant, le chauffage parle dessous et le refroidissement par le dessus genere une situation instable puisque les particules fluidesde plus faible densite sont situees en dessous les plus denses. Cependant, contrairement a la situation(a), le mouvement du fluide n’apparait que lorsque ∆T excede une valeur, appelee seuil de l’instabilite.Tant que ∆T est inferieur a une valeur critique ∆Tc, les echanges de chaleur sont purement conductifs,comme dans le cas (b) ou l’on chauffe le fluide par le dessus. A partir d’une valeur ∆T = ∆Tc, le fluideva alors se mettre en mouvement et s’organiser en un ensemble de rouleaux contra-rotatifs comme lemontre la photographie de la figure 2.15.

Finalement, la configuration (b) correspond a une situation de conduction pure qui ne nous interesse pasici et la configuration (c) est en fait une introduction aux instabilites hydrodynamique qui sort du cadrede ce cours. Nous nous limiterons donc a la situation (a) dans la suite de ce chapitre.

2.4.2 Problematique et coefficient d’echange

La configuration la plus simple a considerer c’est l’etude du flux de chaleur par un mur vertical detemperature T0 et de hauteur H . Le fluide au contact de ce mur de masse volumique ρ∞ est initialementau repos a la temperature T∞, tel que T0 > T∞.

0

H

T0

x

y

T∞

ρ∞g

FIGURE 2.16 – Phenomene de convection naturelle au voisinage d’un mur vertical.

52

Le probleme essentiel, comme pour la convection forcee, consiste a exprimer le flux de chaleur entre laparoi et le fluide lorsque la difference de temperature ∆T = T0 − T∞ est connue. Par analogie avec laconvection forcee, on peut ecrire que le flux de chaleur est donne par

ϕ = h0−HS(T0 − T∞).

Pour predire le flux de chaleur par convection naturelle entre une paroi et un fluide, il faut alors determinerle coefficient d’echange convectif moyen h0−H .

Dans le regime de couche limite, ce coefficient d’echange convectif moyen est donne par h0−H ∼ λ/δT

et l’epaisseur de la couche limite verifie δT ≪ H . On ecrit les equations de conservation en considerantle probleme comme etant bidimensionnel et on obtient

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (2.27)

ρ∞

(u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= −∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)(2.28)

ρ∞

(u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)− ρg (2.29)

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= α

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

). (2.30)

On doit tenir compte ici de la force volumique de pesanteur dans l’equation (2.29) compte tenu quel’ecoulement est induit par le champ de densite ρ(x, y) genere par le champ de temperature T (x, y). Afinde simplifier l’analyse, on fait l’hypothese que les proprietes thermophysiques du fluide sont supposeesuniformes (λ, µ, cp) a l’exception de la masse volumique ρ qui est supposee constante partout saufdans le terme de la force motrice (Archimede) de la convection naturelle. Il s’agit d’une des hypothesesde Boussinesq.

Par ailleurs, etant donne que le terme ∂2

∂x2 est dominant dans l’operateur laplacien et que la pression estfonction de la position longitudinale ∂p

∂y = dpdy = dP∞

dy ou dP∞dy = −ρ∞g est le gradient de pression

hydrostatique, les equations de conservation (2.29) et (2.30) se reduisent a

ρ∞

(u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= µ

∂2v

∂x2+ (ρ∞ − ρ) g (2.31)

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= α

∂2T

∂x2. (2.32)

Les equations (2.31) et (2.32) sont couplees par l’equation d’etat du fluide (par exemple P = ρRT ). Lamasse volumique du fluide est alors reliee a sa temperature (a pression constante),

ρ =P∞RT

et ρ∞ =P∞RT∞

, tel que ρ− ρ∞ =P∞R

(1

T− 1

T∞

)= ρ

(1− T

T∞

).

On peut alors ecrire que

53

(ρ− ρ∞ρ∞

)ρ∞ρ

= −(T − T∞T∞

),

avecρ∞ρ

=ρ∞

ρ∞ + (ρ− ρ∞)=

1

1−(ρ∞−ρρ∞

) ≃ 1 +ρ∞ − ρ

ρ∞,

dans la limite ou ρ∞ − ρ ≪ ρ∞ (le DL de 1/(1− x) est a peu pres egal a 1 + x a l’ordre 1 au voisinagede 0).

Le terme en(ρ−ρ∞ρ∞

)2etant negligeable, on trouve finalement que la masse volumique du fluide varie

avec sa temperature comme

ρ ≃ ρ∞ [1− β(T − T∞) + ...] , (2.33)

ou β = −1ρ

∂ρ∂T

∣∣∣P

est le coefficient d’expansion volumique a pression constante. Dans le cas d’un gazparfait, ce coefficient est donne par β = 1/T∞. Cette equation (2.33) correspond a l’approximation deBoussinesq qui est valable tant que β(T − T∞) ≪ 1 (deuxieme hypothese de Boussinesq).

En injectant finalement (2.33) dans (2.31), on obtient l’equation

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= ν

∂2v

∂x2+ gβ(T − T∞). (2.34)

Pour etablir cette equation, on a suppose que la masse volumique ρ du fluide est constante partout etegale a ρ∞ sauf dans le terme de la force motrice justement. Cette derniere equation (2.34) illustre lecouplage entre u(x, y) et T (x, y), ce qui rend la convection naturelle delicate a traiter theoriquement.Pour determiner u(x, y) et T (x, y), on doit alors resoudre simultanement les equations (2.27), (2.32) et(2.34). Le terme gβ(T − T∞), quant a lui, correspond a la force motrice de l’ecoulement. Cette forcemotrice ne peut, bien entendu, pas etre negligee dans un probleme de convection naturelle : sans luiaucun ecoulement n’apparaıt.

Echelle de vitesse

L’une des particularites de la convection naturelle, c’est qu’aucune echelle de vitesse n’est fournie a prioriet on ne peut pas definir de nombre de Reynolds. A la place, c’est une echelle de difference de temperaturequi gouverne l’intensite de l’ecoulement. On peut cependant estimer la vitesse de l’ecoulement en ordrede grandeur, en equilibrant par exemple le terme d’advection a la force motrice, tel que

v∂v

∂y∼ gβ∆T.

On trouve ainsi l’ordre de grandeur de la vitesse de convection naturelle

V ∼ (gβ∆TH)1/2 .

54

Nombre de Rayleigh

Le nombre de Rayleigh caracterise l’intensite de l’ecoulement par convection naturelle et correspondau rapport des phenomenes moteur, comme la poussee d’Archimede, aux phenomenes resistants, commela diffusion de quantite de mouvement et la conduction de chaleur, de sorte que

Ra =gβ∆TH3

να.

2.4.3 Analyse dimensionnelle : theoreme de Buckingham

Le theoreme de Buckingham (ou theoreme π) etablit qu’un probleme physique qui met en jeu k variablesphysiques qui dependent de r unites fondamentales, alors il existe une equation mettant en relation k− r

nombres sans dimension, tel que

Π1 = f (Π2, ...,Πk−r) .

On souhaite appliquer ce theoreme au probleme de la figure 2.16 correspondant a un fluide de temperatureT∞ au voisinage d’une paroi chaude de hauteur H et de temperature T0. Quels sont les nombres sansdimensions pertinents pour caracteriser ce probleme ?On peut considerer que le coefficient d’echange h entre la paroi et le fluide va dependre de la conductivitethermique du fluide λ, de sa masse volumique ρ∞, sa viscosite dynamique µ, sa capacite calorifiquemassique cp, la hauteur du mur H et gβ∆T . On ecrit que

h = f (H,λ, ρ∞, µ, cp, gβ∆T ) ,

de sorte que ce probleme fasse intervenir k = 7 variables physiques et r = 4 unites fondamentales.Le theoreme de Buckingham nous apprend alors qu’il existe 3 nombres sans dimension independantstels que Π1 = f (Π2,Π3). Pour determiner ces 3 nombres sans dimension, on selectionne 4 grandeurs(H ,µ,ρ∞ et λ) telles que

Π1 = h Ha1µb1ρc1∞λd1

Π2 = cp Ha2µb2ρc2∞λd2

Π3 = gβ∆T Ha3µb3ρc3∞λd3

On determine les exposants par analyse dimensionnelle et on trouve

Π1 = NuH = hHλ

Π2 = Pr = να

Π3 = Gr = gβ∆TH3

ν2,

ou Gr est le nombre de Grashof qui est relie aux nombres de Rayleigh et de Prandtl tel que Gr = Ra/Pr.On obtient alors une equation de la forme

Nu = f (Pr,Gr) . (2.35)

55

2.4.4 Analyse phenomenologique de la couche limite

On considere le mur vertical de la figure 2.16. On suppose que ce mur est impermeable tel que u = v = 0

et T = T0 en x = 0 et que le fluide est stagnant a l’infini tel que u = v = 0 et T = T∞ en x → ∞.L’analyse dimensionnelle de l’equation de continuite (2.27) permet de determiner l’ordre de grandeur dela vitesse horizontale

u ∼ vδTy.

Par ailleurs, l’analyse en ordre de grandeur de l’equation de la chaleur (2.32) permet d’ecrire que

v ∼ αy

δ2T,

ou l’epaisseur δT est inconnue a ce stade. Enfin, l’analyse en ordre de grandeur de l’equation (2.34)permet d’ecrire l’equilibre entre 3 forces

v2

y︸ ︷︷ ︸inertie

∼ νv

δ2T︸ ︷︷ ︸friction

; gβ∆T︸ ︷︷ ︸force motrice

On obtient finalement

(y

δT

)4

Ra−1y Pr−1︸ ︷︷ ︸

inertie

∼(

y

δT

)4

Ra−1y︸ ︷︷ ︸

friction

; 1︸ ︷︷ ︸force motrice

Dans quelles conditions la couche limite est-elle etablie ? Par un equilibre entre les forces inertie/archimedeou par un equilibre friction/archimede ? On constate que la competition entre l’inertie et la friction estfixee par le nombre de Prandtl du fluide en question. Si Pr ≫ 1, alors la couche limite δT est gouverneepar l’equilibre entre les forces de friction et la force motrice, tandis que si Pr ≪ 1, δT est gouvernee parl’equilibre inertie-archimede. On va donc devoir examiner les deux cas.

Cas : fluide tres viqueux Pr ≫ 1

Dans ce cas c’est l’equilibre entre les forces de friction et les forces de flottabilite qui gouvernent lacouche limite et son epaisseur δT est donnee par

δTy

∼ Ra−1/4.

On en deduit que l’ordre de grandeur de la vitesse verticale est donnee par

v ∼ αy

δ2T∼ α

yRa1/2y ,

et le nombre de Nusselt local (puisque h ∼ λ/δT )

Nuy =hy

λ∼ Ra1/4y .

56

FIGURE 2.17 – Profils de temperature et de vitesse d’un fluide tres visqueux Pr ≫ 1 au contact d’uneparoi chaude et verticale.

On retrouve donc bien une relation de la forme de l’equation (2.35) predite par le theoreme de Buckin-gham.Cependant, comme on considere un fluide tres visqueux tel que Pr ≫ 1, l’ecoulement n’est pas restreintdans l’epaisseur de la couche limite δT . On appelle δ l’epaisseur de la couche limite visqueuse tel queδ ≫ δT . Dans cette couche d’epaisseur δ, le fluide est isotherme et la force motrice y est absente. Parconsequent, l’equation (2.34) dicte qu’il doit y avoir equilibre entre les forces d’inertie et les forces defriction dans cette couche d’epaisseur δ, de sorte que

δ

y∼ Pr1/2Ra−1/4

y .

Dans ce probleme de convection naturelle, le profil de vitesse est decrit par deux echelles de longueur,comme l’illustre la figure 2.17, δ et δT : la vitesse v est alors atteinte dans l’epaisseur δT , tandis que ledeclin de v se fait a travers δ.

Cas : fluide tres conducteur Pr ≪ 1

La couche limite est gouvernee ici par l’equilibre entre les forces de flottabilite et d’inertie. Dans ce cas,l’epaisseur de la couche limite thermique verifie

δTy

∼ Pr−1/4Ra−1/4.

La vitesse verticale est alors donnee par

v ∼ α

yPr1/2Ra1/2y ,

et le nombre de Nusselt local

Nuy ∼ Pr1/4Ra1/4y .

57

FIGURE 2.18 – Profils de temperature et de vitesse d’un fluide tres conducteur Pr ≪ 1 au contact d’uneparoi chaude et verticale.

En dehors de la couche δT , le fluide est isotherme et au repos. Comme le fluide est tres conducteur,le profil de vitesse doit etre aussi large que le profil de temperature, comme le montre la figure 2.18.Cependant, la condition de non glissement impose que la vitesse du fluide soit nulle en x = 0 a la paroide sorte que la position du point correspondant au maximum de vitesse corresponde a une deuxiemeechelle de longueur : soit δv l’epaisseur de cette couche dans laquelle le fluide ascensionnel est ralentiepar les forces visqueuses au voisinage de la paroi.

Dans cette epaisseur δv, la force motrice doit etre equilibree par les forces de friction, de sorte que

νv

δ2v∼ gβ∆T.

On montre finalement que l’epaisseur δv est fixee par le nombre de Grashof telle que

δvy

∼ Gr−1/4y = Pr1/4Ra−1/4

y .

Remarques

- Le cas des cylindres verticaux est analogue a celui de la plaque plane verticale et on peut utiliserles memes formules de correlation.

- Nous savons qu’un ecoulement est turbulent lorsqu’on depasse une certaine valeur critique dunombre de Reynolds. Comme le nombre de Reynolds n’est plus pertinent pour un ecoulementde convection libre, le regime turbulent apparaıt au-dela d’une valeur critique du nombre deRayleigh (ou Grasshof). L’experience montre que cette valeur critique Grc se situe aux environsde 109, mais la zone de transition est assez grande car elle varie de 108 a 1010 environ. Enregime turbulent, le transfert de chaleur au voisinage d’une plaque plane verticale est donne parla correlation empirique de Kreith

58

NuH = 0, 021Ra2/5.

RaRac

NuH

2/5

1/4

laminaire turbulent

FIGURE 2.19 – Variation du nombre de Nusselt moyen avec le nombre de Rayleigh.

- On appelle convection mixte un regime d’echange dans lequel les phenomenes de convectionforcee coexistent avec ceux de la convection naturelle. Le probleme devient alors encore pluscomplexe. Il faut introduire le nombre de Richardson, note Ri, qui compare la force de flottabilitea la force inertielle, telle que

Ri =||gβ∆T ||||(u.∇)u||

=gβ∆TH

U2.

La solution d’un probleme de convection mixte se presente sous la forme d’une relation de type

Nu = f(Re, Pr,Ri) ou Nu = f(Re, Pr,Ra).

Notons que les ecoulements geophysiques (couches limites atmospheriques, courants marins)sont souvent des ecoulements qui sont le siege de phenomenes de convection mixte. Cela esttres important pour les problemes de pollution compte tenu que la gravite peut, selon les cas,augmenter ou diminuer l’intensite de la turbulence et par consequent augmenter ou diminuer lestransferts de chaleur.

2.5 Convection avec changement de phase

Lorsque la difference de temperature entre un fluide et une surface solide est suffisamment grande, lefluide ou la surface peut subir un changement de phase. Les circonstances dans lesquelles on rencontrece genre de probleme sont extremement diverses, on ne peut pas tout couvrir, mais l’objectif de cettepartie consiste a montrer comment les principes de base et les outils d’analyse de la convection classiquepeuvent etre etendus aux problemes avec changement de phase.

59

2.5.1 Quelques rappels et definitions

Pression de vapeur saturante et temperature de saturation

Si on enferme un liquide et sa vapeur dans une enceinte, il existe une valeur de pression, pour chaquetemperature, ou les phases liquide et vapeur coexistent a l’equilibre. Ce qu’on appelle pression de va-peur saturante Psat (ou encore tension de vapeur saturante), c’est la pression maximum de vapeur alaquelle le liquide peut se vaporiser a une temperature donnee. La vapeur en equilibre avec le liquide quilui a donne naissance est la vapeur saturante.

Reciproquement, si on fixe P (a condition que celle-ci reste inferieure a une certaine limite appeleepression critique P < Pc), l’equilibre entre les phases liquides et vapeur a lieu pour une valeur detemperature notee Tsat, c’est la temperature de saturation ou temperature d’ebullition.

Il existe des formules empiriques qui fournissent la relation Psat = f(Tsat) pour un certain nombre defluide. Dans le cas d’un melange d’une vapeur avec un gaz incondensable, la pression de vapeur saturantereste inchangee et il y a equilibre entre les phases liquide et vapeur lorsque la pression partielle Pv de lavapeur au sein du melange est egale a Psat.

Humidite absolue et relative

On definit le rapport de melange, ou humidite absolue, d’un melange gaz-vapeur d’eau comme le rapportentre la masse de vapeur d’eau et la masse de la phase gazeuse contenues dans un meme volume.

L’humidite relative est le rapport Pv/Psat a la temperature consideree.

Chaleur latente de vaporisation

La chaleur latente de vaporisation est la quantite d’energie qu’il faut fournir a l’unite de masse d’uncorps pour le faire passer de l’etat liquide a l’etat gazeux en restant a temperature constante. La meme

FIGURE 2.20 – Diagramme de phase de l’eau.

60

quantite est liberee lors de la condensation. Pour l’eau a 100 C, la chaleur latente de vaporisation vautLv = 2250 J/kg.

2.5.2 Condensation

Une vapeur pure est en equilibre avec sa phase liquide si sa pression et sa temperature correspondent auxconditions de saturation psat et Tsat. Si une vapeur a l’etat (Pv, T ) est en contact avec une paroi dont latemperature Tp est inferieure a celle de saturation Tsat correspondant a pv, une certaine masse de liquidese depose sur la paroi froide.

Si le liquide mouille cette surface, le condensat forme un film continu. Si, a l’inverse, du fait de la nonmouillabilite de la paroi par le film de condensat, le liquide ne mouille pas la surface, il se produit unecondensation en gouttes.

Le changement de phase s’accompagne de la liberation d’une certaine quantite de chaleur qui transitevers la paroi froide a travers l’epaisseur du condensat deja forme. Le coefficient d’echange a la surfacede la paroi sera donc d’autant plus eleve que cette epaisseur sera reduite.

Theorie de Nusselt : condensation en film d’une vapeur pure

Nusselt a pose les bases en 1916 de l’analyse theorique de la condensation d’une vapeur pure sur uneplaque plane verticale. Pour cela, Nusselt a fait les hypotheses suivantes :

- Ecoulement 2D d’un film sur une plaque plane verticale de longueur H .

- La vapeur pure est au repos a la temperature Tsat correspondant a pv. L’avantage de cette confi-guration est de pouvoir negliger le mouvement de la vapeur proche du film.

- La temperature de paroi Tp est constante sur toute sa surface et le phenomene est stationnaire.

- Le film liquide s’ecoule vers le bas sous l’effet de la pesanteur et son epaisseur δ reste suffisam-ment petite pour que le regime d’ecoulement soit laminaire.

- En se condensant, la vapeur libere sa chaleur latente de vaporisation et le liquide forme est refroidia une temperature inferieure a Tsat. La chaleur ainsi degagee se transmet a la paroi par conductiona travers le fil de condensat.

- La variation de temperature dans le film de condensat d’epaisseur δ est lineaire.

Du fait de la minceur du film, δ(y) ≪ y, le gradient de pression vertical dans le liquide est egal au gra-dient de pression hydrostatique dans la vapeur. L’equation de conservation de la quantite de mouvementprojetee selon Oy se reduit alors a

ρℓ

(u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)︸ ︷︷ ︸

inertie

= µℓ∂2v

∂x2︸ ︷︷ ︸friction

+ g (ρℓ − ρv)︸ ︷︷ ︸force motrice

.

En supposant que le terme inertiel est negligeable devant le terme de friction , on integre facilement

∂2v

∂x2= − g

µℓ(ρℓ − ρv) , (2.36)

61

0 x

y

H

Tp Tsat

δ(y)

g

FIGURE 2.21 – Schematisation du probleme.

avec comme conditions aux limites v(0, y) = 0 (adherence a la paroi) et ∂v/∂x|x=δ = 0 (pas de frictiona l’interface). On trouve que le profil de vitesse dans le film de condensat est donne par

v(x, y) =g

µℓ(ρℓ − ρv) δ

2

[x

δ− 1

2

(xδ

)2]. (2.37)

Le debit massique par unite de profondeur est donne par

m(y) =gρℓ3µℓ

(ρℓ − ρv) δ3.

La masse de condensat dm forme sur dy entraine un accroissement dδ de l’epaisseur du film telle que

dm

dy=

gρℓµℓ

(ρℓ − ρv) δ2 dδ

dy.

La quantite dm etant generee par la condensation de vapeur, le bilan thermique a la paroi donne undegagement de chaleur

dφ = L′v

dm

dy,

avec L′v = Lv + 0, 68 cp (Tsat − Tp). L′

v represente la chaleur latente de vaporisation equivalente aug-mentee qui tient compte du refroidissement du condensat a T < Tsat. en regime permanent, cette chaleurse transmet integralement a la paroi

L′v

dm

dy=

λℓ

δ(y)(Tsat − Tp) .

On trouve finalement que l’epaisseur du film liquide laminaire

δ(y) =

(4νℓλℓ (Tsat − Tp) y

L′vg (ρℓ − ρv)

)1/4

. (2.38)

62

Connaissant l’epaisseur du film laminaire, nous pouvons en deduire le coefficient d’echange local

h(y) =λℓ

δ(y)=

(λ3ℓL

′vg (ρℓ − ρv)

4νℓ (Tsat − Tp) y

)1/4

,

et le nombre de Nusselt local

Nuy =h(y) y

λℓ=

λℓ

δ(y)=

(gL′

v (ρℓ − ρv) y3

4νℓλℓ (Tsat − Tp)

)1/4

.

Le coefficient d’echange moyen est obtenu par integration

hH =1

H

∫ H

0h(y)dy =

4

3h(y = H) = 0, 943

(λ3ℓL

′vg (ρℓ − ρv)

νℓ (Tsat − Tp)H

)1/4

. (2.39)

Il s’agit de la formule de Nusselt. Le nombre de Nusselt moyen est donne par

NuH = 0, 943

(gL′

v (ρℓ − ρv)H3

νℓλℓ (Tsat − Tp)

)1/4

. (2.40)

On remarque que

- hH diminue lorsque H augmente par suite de l’epaississement du film de condensat. Tout dispo-sitif susceptible de rompre le film ameliore significativement le coefficient d’echange.

- hH augmente si (Tsat − Tp) diminue. Un condenseur est donc un excellent echangeur a faibleecart de temperature.

Forme adimensionnelle de la formule de Nusselt

Dans de nombreux cas, la temperature de vapeur d’eau Tsat ≪ Tc = 374, 15 C. Dans ce cas la massevolumique de la vapeur d’eau est negligeable et ρℓ − ρv ≃ ρℓ. Le nombre de Reynolds du film decondensat est defini par Re = UℓDh/νℓ, ou Uℓ est la vitesse moyenne dans le film de condensat etDh = 4δ(y) son diametre hydraulique. Le nombre de Reynolds s’ecrit

Rey =4m

µℓ=

4

3

gρ2ℓµℓ

δ3(y),

avec δ(y) = λℓ/h(y). On obtient alors que

h(y)

λℓ

(ν2ℓg

)1/3

=

(4

3

)1/3

Re−1/3y .

En introduisant le coefficient d’echange moyen hH de l’equation (2.39), on obtient finalement la formeadimensionnelle de l’equation de Nusselt

hHλℓ

(ν2ℓg

)1/3

≃ 1, 47Re−1/3H . (2.41)

C’est cette forme de l’equation de Nusselt qui est generalement utilisee, car le nombre de Reynolds,la conductivite thermique ainsi que la viscosite cinematique du liquide sont generalement facilementaccessibles.Quelques remarques :

63

- La resistance thermique de contact vapeur-condensat n’a pas ete prise en compte ici. Toutefois,elle est negligeable dans le cas de la vapeur d’eau mais peut devenir considerable dans le cas demateriaux a haut point d’ebullition comme le sodium.

- Les ecoulements dans les films sont laminaires jusqu’a un nombre de Reynolds critique de l’ordrede 1800. Cependant, bien avant cette valeur, la surface du film ondule du fait de la tension super-ficielle, ce qui tend legerement a augmenter le coefficient d’echange.

- En regime turbulent, les transferts de chaleur sont fortement accrus. La formule de base a etedonnee par Kirbride :

hHλℓ

(ν2ℓg

)1/3

≃ 0, 0077Re0,4H .

ReRec~1800

hHgλℓ( )

1/3νℓ2

-1/3 0,4

Nusselt

Kirbride

FIGURE 2.22 – Variation du coefficient d’echange avec le nombre de Reynolds.

Condensation en gouttes

La condensation en gouttes se produit generalement sur une surface hydrophobe. Elle permet d’obtenirdes coefficients d’echanges jusqu’a 80 fois la valeur obtenue par la formule de Nusselt. La condensationen gouttes est donc tres avantageuse pour le transfert de chaleur.

2.5.3 Ebullition

...

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