waarheidstabellen boolese algebra · boolese algebra boole’s taalkundige stelling •elk denkbaar...
TRANSCRIPT
(p!q)↔r ! p!(q↔r) p!(q↔r) " (p!q)↔r p!(q↔r), p#r ! (p!q)↔r
Waarheidstabellen
p ! (q ↔ r)
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
(p ! q) ↔ r
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
p # r
0 0 0
0 1 1
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 1
Boolese algebra
Boole’s taalkundige stelling
• Elk denkbaar connectief is te definiëren met behulp van de Boolese connectieven ¬, $ en #.
Boole’s rekenkundige stelling
• Elk tweetal Boolese formules is logisch equivalent dan en slechts dan als die equivalentie (alleen) met de wetten van de Boolese algebra te berekenen is.
• (p % q) & r ! p # (q $ r)
• (p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) ' (
(p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) '
(p % q) & r $ ¬p $ ¬(q $ r) '
((p # q) $ ¬p) $ r $ (¬q # ¬r) '
((p$¬p) # (q$¬p)) $ ((¬q$r) # (¬r$r)) '
(( # (q $ ¬p)) $ ((¬q $ r) # () '
(q $ ¬p) $ (¬q $ r) '
(q $ ¬q) $ ¬p $ r '
( $ (¬p $ r) '
(
(p!q)↔r ! p!(q↔r) p!(q↔r) " (p!q)↔r p!(q↔r), p#r ! (p!q)↔r
Waarheidstabellen
p ! (q ↔ r)
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
(p ! q) ↔ r
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
p # r
0 0 0
0 1 1
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 1
Boolese algebra
Boole’s taalkundige stelling
• Elk denkbaar connectief is te definiëren met behulp van de Boolese connectieven ¬, $ en #.
Boole’s rekenkundige stelling
• Elk tweetal Boolese formules is logisch equivalent dan en slechts dan als die equivalentie (alleen) met de wetten van de Boolese algebra te berekenen is.
• (p % q) & r ! p # (q $ r)
• (p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) ' (
(p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) '
(p % q) & r $ ¬p $ ¬(q $ r) '
((p # q) $ ¬p) $ r $ (¬q # ¬r) '
((p$¬p) # (q$¬p)) $ ((¬q$r) # (¬r$r)) '
(( # (q $ ¬p)) $ ((¬q $ r) # () '
(q $ ¬p) $ (¬q $ r) '
(q $ ¬q) $ ¬p $ r '
( $ (¬p $ r) '
(
(p!q)↔r ! p!(q↔r) p!(q↔r) " (p!q)↔r p!(q↔r), p#r ! (p!q)↔r
Waarheidstabellen
p ! (q ↔ r)
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
(p ! q) ↔ r
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
p # r
0 0 0
0 1 1
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 1
Boolese algebra
Boole’s taalkundige stelling
• Elk denkbaar connectief is te definiëren met behulp van de Boolese connectieven ¬, $ en #.
Boole’s rekenkundige stelling
• Elk tweetal Boolese formules is logisch equivalent dan en slechts dan als die equivalentie (alleen) met de wetten van de Boolese algebra te berekenen is.
• (p % q) & r ! p # (q $ r)
• (p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) ' (
(p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) '
(p % q) & r $ ¬p $ ¬(q $ r) '
((p # q) $ ¬p) $ r $ (¬q # ¬r) '
((p$¬p) # (q$¬p)) $ ((¬q$r) # (¬r$r)) '
(( # (q $ ¬p)) $ ((¬q $ r) # () '
(q $ ¬p) $ (¬q $ r) '
(q $ ¬q) $ ¬p $ r '
( $ (¬p $ r) '
(
(p!q)↔r ! p!(q↔r) p!(q↔r) " (p!q)↔r p!(q↔r), p#r ! (p!q)↔r
Waarheidstabellen
p ! (q ↔ r)
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1
(p ! q) ↔ r
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
p # r
0 0 0
0 1 1
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
1 1 0
1 1 1
Boolese algebra
Boole’s taalkundige stelling
• Elk denkbaar connectief is te definiëren met behulp van de Boolese connectieven ¬, $ en #.
Boole’s rekenkundige stelling
• Elk tweetal Boolese formules is logisch equivalent dan en slechts dan als die equivalentie (alleen) met de wetten van de Boolese algebra te berekenen is.
• (p % q) & r ! p # (q $ r)
• (p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) ' (
(p % q) & r $ ¬ (p # (q $ r)) '
(p % q) & r $ ¬p $ ¬(q $ r) '
((p # q) $ ¬p) $ r $ (¬q # ¬r) '
((p$¬p) # (q$¬p)) $ ((¬q$r) # (¬r$r)) '
(( # (q $ ¬p)) $ ((¬q $ r) # () '
(q $ ¬p) $ (¬q $ r) '
(q $ ¬q) $ ¬p $ r '
( $ (¬p $ r) '
(
Normaalvormen• Een negatievorm is een Boolese formule met
alle negaties slechts direct voorkomend voor de propositionele variabelen.
• Een disjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele disjunctie voorkomend binnen het bereik van een conjunctie.
• Een conjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele conjunctie voorkomend binnen het bereik van een disjunctie.
Normaalvormstelling
• Elke propositionele formule is logisch equivalent met een disjunctieve en met een conjunctieve normaalvorm.
• De wetten van de Boolese algebra zijn voldoende om voor elke formule een equivalente disjunctieve of conjunctieve normaalvorm te berekenen.
(p!q)↔r
((p!q)!r) ! (r!(p!q))
(¬(p!q)"r) ! (¬r"(p!q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"(¬p"q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((¬¬p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p"r) ! (¬q"r)) ! (¬r"¬p"q)
(p"r) ! (¬q"r) ! (¬r"¬p"q)
(p!q)↔r
((p!q)!r) " (¬(p!q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬(¬p"q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬¬p!¬q!¬r)
((¬p"q)!r) " (p!¬q!¬r)
((¬p!r) " (q!r)) " (p!¬q!¬r)
(¬p!r) " (q!r) " (p!¬q!¬r)
Deductie
• Hf 3: Tableaus. Een ‘semantische’ methode voor het opsporen van tegenmodellen (Beth ca 1950)
• Hf 4: Natuurlijke deductie. ‘Syntactische’ bewijzen in menselijke redeneerstijl (Gentzen 1935, Prawitz 1965).
Tableaus Tableaus p!(q"r) # (p!q)"r
• Opdracht: vind (mbv tableau) een tegenmodel. Dwz een valuatie V die p!(q"r) waar maakt en
(p!q)"r onwaar:
V( p!(q"r) ) = 1 en V( (p!q)"r ) = 0
• De tableaumethode is zo sterk in het vinden van tegenmodellen dat de redenering gegarandeerd geldig is in het geval dat geen tegenmodel gevonden zou worden.
?
Normaalvormen• Een negatievorm is een Boolese formule met
alle negaties slechts direct voorkomend voor de propositionele variabelen.
• Een disjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele disjunctie voorkomend binnen het bereik van een conjunctie.
• Een conjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele conjunctie voorkomend binnen het bereik van een disjunctie.
Normaalvormstelling
• Elke propositionele formule is logisch equivalent met een disjunctieve en met een conjunctieve normaalvorm.
• De wetten van de Boolese algebra zijn voldoende om voor elke formule een equivalente disjunctieve of conjunctieve normaalvorm te berekenen.
(p!q)↔r
((p!q)!r) ! (r!(p!q))
(¬(p!q)"r) ! (¬r"(p!q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"(¬p"q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((¬¬p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p"r) ! (¬q"r)) ! (¬r"¬p"q)
(p"r) ! (¬q"r) ! (¬r"¬p"q)
(p!q)↔r
((p!q)!r) " (¬(p!q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬(¬p"q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬¬p!¬q!¬r)
((¬p"q)!r) " (p!¬q!¬r)
((¬p!r) " (q!r)) " (p!¬q!¬r)
(¬p!r) " (q!r) " (p!¬q!¬r)
Deductie
• Hf 3: Tableaus. Een ‘semantische’ methode voor het opsporen van tegenmodellen (Beth ca 1950)
• Hf 4: Natuurlijke deductie. ‘Syntactische’ bewijzen in menselijke redeneerstijl (Gentzen 1935, Prawitz 1965).
Tableaus Tableaus p!(q"r) # (p!q)"r
• Opdracht: vind (mbv tableau) een tegenmodel. Dwz een valuatie V die p!(q"r) waar maakt en
(p!q)"r onwaar:
V( p!(q"r) ) = 1 en V( (p!q)"r ) = 0
• De tableaumethode is zo sterk in het vinden van tegenmodellen dat de redenering gegarandeerd geldig is in het geval dat geen tegenmodel gevonden zou worden.
?
Normaalvormen• Een negatievorm is een Boolese formule met
alle negaties slechts direct voorkomend voor de propositionele variabelen.
• Een disjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele disjunctie voorkomend binnen het bereik van een conjunctie.
• Een conjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele conjunctie voorkomend binnen het bereik van een disjunctie.
Normaalvormstelling
• Elke propositionele formule is logisch equivalent met een disjunctieve en met een conjunctieve normaalvorm.
• De wetten van de Boolese algebra zijn voldoende om voor elke formule een equivalente disjunctieve of conjunctieve normaalvorm te berekenen.
(p!q)↔r
((p!q)!r) ! (r!(p!q))
(¬(p!q)"r) ! (¬r"(p!q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"(¬p"q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((¬¬p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p"r) ! (¬q"r)) ! (¬r"¬p"q)
(p"r) ! (¬q"r) ! (¬r"¬p"q)
(p!q)↔r
((p!q)!r) " (¬(p!q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬(¬p"q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬¬p!¬q!¬r)
((¬p"q)!r) " (p!¬q!¬r)
((¬p!r) " (q!r)) " (p!¬q!¬r)
(¬p!r) " (q!r) " (p!¬q!¬r)
Deductie
• Hf 3: Tableaus. Een ‘semantische’ methode voor het opsporen van tegenmodellen (Beth ca 1950)
• Hf 4: Natuurlijke deductie. ‘Syntactische’ bewijzen in menselijke redeneerstijl (Gentzen 1935, Prawitz 1965).
Tableaus Tableaus p!(q"r) # (p!q)"r
• Opdracht: vind (mbv tableau) een tegenmodel. Dwz een valuatie V die p!(q"r) waar maakt en
(p!q)"r onwaar:
V( p!(q"r) ) = 1 en V( (p!q)"r ) = 0
• De tableaumethode is zo sterk in het vinden van tegenmodellen dat de redenering gegarandeerd geldig is in het geval dat geen tegenmodel gevonden zou worden.
?
Normaalvormen• Een negatievorm is een Boolese formule met
alle negaties slechts direct voorkomend voor de propositionele variabelen.
• Een disjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele disjunctie voorkomend binnen het bereik van een conjunctie.
• Een conjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele conjunctie voorkomend binnen het bereik van een disjunctie.
Normaalvormstelling
• Elke propositionele formule is logisch equivalent met een disjunctieve en met een conjunctieve normaalvorm.
• De wetten van de Boolese algebra zijn voldoende om voor elke formule een equivalente disjunctieve of conjunctieve normaalvorm te berekenen.
(p!q)↔r
((p!q)!r) ! (r!(p!q))
(¬(p!q)"r) ! (¬r"(p!q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"(¬p"q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((¬¬p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p"r) ! (¬q"r)) ! (¬r"¬p"q)
(p"r) ! (¬q"r) ! (¬r"¬p"q)
(p!q)↔r
((p!q)!r) " (¬(p!q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬(¬p"q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬¬p!¬q!¬r)
((¬p"q)!r) " (p!¬q!¬r)
((¬p!r) " (q!r)) " (p!¬q!¬r)
(¬p!r) " (q!r) " (p!¬q!¬r)
Deductie
• Hf 3: Tableaus. Een ‘semantische’ methode voor het opsporen van tegenmodellen (Beth ca 1950)
• Hf 4: Natuurlijke deductie. ‘Syntactische’ bewijzen in menselijke redeneerstijl (Gentzen 1935, Prawitz 1965).
Tableaus Tableaus p!(q"r) # (p!q)"r
• Opdracht: vind (mbv tableau) een tegenmodel. Dwz een valuatie V die p!(q"r) waar maakt en
(p!q)"r onwaar:
V( p!(q"r) ) = 1 en V( (p!q)"r ) = 0
• De tableaumethode is zo sterk in het vinden van tegenmodellen dat de redenering gegarandeerd geldig is in het geval dat geen tegenmodel gevonden zou worden.
?
Normaalvormen• Een negatievorm is een Boolese formule met
alle negaties slechts direct voorkomend voor de propositionele variabelen.
• Een disjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele disjunctie voorkomend binnen het bereik van een conjunctie.
• Een conjunctieve normaalvorm is een negatievorm met geen enkele conjunctie voorkomend binnen het bereik van een disjunctie.
Normaalvormstelling
• Elke propositionele formule is logisch equivalent met een disjunctieve en met een conjunctieve normaalvorm.
• De wetten van de Boolese algebra zijn voldoende om voor elke formule een equivalente disjunctieve of conjunctieve normaalvorm te berekenen.
(p!q)↔r
((p!q)!r) ! (r!(p!q))
(¬(p!q)"r) ! (¬r"(p!q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"(¬p"q))
(¬(¬p"q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((¬¬p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p!¬q)"r) ! (¬r"¬p"q)
((p"r) ! (¬q"r)) ! (¬r"¬p"q)
(p"r) ! (¬q"r) ! (¬r"¬p"q)
(p!q)↔r
((p!q)!r) " (¬(p!q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬(¬p"q)!¬r)
((¬p"q)!r) " (¬¬p!¬q!¬r)
((¬p"q)!r) " (p!¬q!¬r)
((¬p!r) " (q!r)) " (p!¬q!¬r)
(¬p!r) " (q!r) " (p!¬q!¬r)
Deductie
• Hf 3: Tableaus. Een ‘semantische’ methode voor het opsporen van tegenmodellen (Beth ca 1950)
• Hf 4: Natuurlijke deductie. ‘Syntactische’ bewijzen in menselijke redeneerstijl (Gentzen 1935, Prawitz 1965).
Tableaus Tableaus p!(q"r) # (p!q)"r
• Opdracht: vind (mbv tableau) een tegenmodel. Dwz een valuatie V die p!(q"r) waar maakt en
(p!q)"r onwaar:
V( p!(q"r) ) = 1 en V( (p!q)"r ) = 0
• De tableaumethode is zo sterk in het vinden van tegenmodellen dat de redenering gegarandeerd geldig is in het geval dat geen tegenmodel gevonden zou worden.
?