VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20

Lineární funkce – graf, definiční obor a obor hodnot funkce

Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí a jejich poznávání. Žák sestrojí graf lin. funkce a určuje rovnici lin. funkce z grafu. Procvičuje si vlastnosti lin. funkcí na cvičeních.Vzdělávací oblast: MatematikaAutor: Mgr. Robert KecskésJazyk: ČeskýOčekávaný výstup: Rozezná funkční vztahy, určí definiční obor funkce a obor hodnot. Druh učebního materiálu: PrezentaceCílová skupina: ŽákStupeň a typ vzdělávání: Druhý stupeň, základní školaDatum (období), ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Školní rok 2012-2013Ročník, pro který je vzdělávací materiál určen: Devátý ročník základní školy

Lineární funkce

Každá funkce y = ax + b, kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce.

Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo.

Lineární funkce

Funkci obvykle zapisujeme:

y = f(x), např. y = 2x+1

nebo

f: y = 2x + 1

Proměnná x je argumentem funkce.Její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Říkáme jí nezávisle proměnná.

Definiční obor - množina všech hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, označujeme ho D(f)

Lineární funkceKe všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot).

Obor hodnot je množina všech reálných čísel, kterou dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f).

Obor hodnot funkce označujeme H(f).

Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Obvykle ji značíme y nebo f(x).

Lineární funkce

Lineární funkci můžeme zadat rovnicí, tabulkou nebo grafem.

Grafem lineární funkce je množina bodů ležící na přímce.

Graf – konstanta bSestrojte graf lineární

funkce y = 3x – 2.

x 1 2

y = 3x – 2 1 4

01 2 3 4-4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

A[0; – 2]Všímejte si souřadnic průsečíku grafu s osou y.

Označíme jej bodem A, platí A[0; -2],

y-nová souřadnice bodu A je rovna konstantě b v rovnici funkce.

y = 3x – 2

Cvičení

1. Urči konstantu b v zadání lineární funkce y = 3x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o A souřadnicích [0; 4]?

b = 4y = 3x + 4

2. Urči, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 4x – 1 osu y.

3. Zapište lineární funkci rovnicí, jestliže víte, že platí: a = 4, b = 1. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y?

[0; – 1]

y = 4x + 1bodem [0; 1]

Graf – konstanta b

Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; b].

Graf lineární funkce y = ax (b = 0) prochází počátkem soustavy souřadnic [0; 0].

Graf – konstanta aFunkce je rostoucí, právě když

pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 < y2.

x 1 2

y = 2x – 1 1 3

01 2 3 4-4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

A[0; – 1]

y = – 2x – 1

y = 2x – 1

Funkce je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 > y2.

x – 1 – 2

y = – 2x – 2 1 2

Všimni si konstanty a v rovnicích!

Graf – konstanta a

x –1 3

y = –2 –2 –2

Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce.Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b].

y = –2

01 2 3 4-4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-1

-2

-3

-4

y = –2

y = 3

x –1 2

y = 3 3 3

y = 3

Druhy lineárních funkcí

Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže

a > 0.

Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0.

Lineární funkce y = ax + b je konstantní, jestliže a = 0.

Cvičení

1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. Df = R.a) y = 3x + 1 b) y = x2 – 2 c) y = 1,3 – 2x

d) e) f)

Řešení:a), c), e), f)

2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y:a) y = – x – 5 b) y = 0,3x + 3 c) y = 1 – 0,6x

3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí, klesající nebo konstantní:

a) y = – 5 b) y = 4x + 5 c) y = – 1,2x + 0,5

d) y = – 4 e) y = 1 – 2x

a) [0; –5]a) [0; 3]a) [0; 1]

a) konstantníb) rostoucíc) klesajícíd) konstantníe) klesající

     

Cvičení1. Rozhodněte, zda se jedná o lineární funkci.

ANO

ANOANO

NE

Cvičení1. Rozhodněte, zda se jedná o lineární funkci.

x 0 1 2 3 4 5

y 1 3 5 7 9 11

x 0 1 3 5 9 10

y 3 2 0 -2 -6 -7

x 0 2 1 7 5 7

y 2 2 2 2 2 2

x 0 1 5 2 3 5

y 2 3 1 4 1 2

ANO

ANO

NE

ANO