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VorlesungEinfuhrung
in dieMathematische Optimierung
(Wintersemester 2016/17)Einleitung
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg
(Version vom 17. Oktober 2016)
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Kommunikationsnetzwerke. . .
DatenI uij : Maximale Bitrate uber Link (i , j)
I cij : Kosten Ubertragung ein Bit uber (i , j)
I bk`: (Konstante) Bitrate von k nach `
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. . . Kommunikationsnetzwerke
Ziel
Route Daten unter minimalen Kosten.
Modellierung: Variablen
xk`ij : Datenrate fur die Verbindung von k nach ` auf Link (i , j)
Konnen zulassen (weil Bitraten groß sind): xk`ij ∈ R
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Lineares Optimierungsmodell
Minimiere ∑(i ,j) Link
∑k
∑`
cijxk`ij
unter den Nebenbedingungen
∑j :(j ,i) Link
xk`ji −∑
j :(i ,j) Link
xk`ij =
−bk` (i = k)
bk` (i = `)
0 sonst
∀i , k , `
∑k
∑`
xk`ij ≤ uij ∀(i , j)
xk`ij ≥ 0 ∀(i , j), k , `
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(Kontinuierliche) Lineare Optimierung
Optimierung von
I linearen Zielfunktionen
unter (endlich vielen)
I linearen Nebenbedingungen (=, ≤, ≥)
in (endlich vielen)
I kontinuierlichen Variablen.
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Variante
Zusatzliche Daten
fij : Fixkosten fur Verwendung von Link (i , j)
Zusatzliche Variablen
yij ∈ {0, 1}: 1, falls Link (i , j) verwendet, sonst 0
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Gemischt ganzzahliges Modell
Minimiere ∑(i ,j) Link
∑k
∑`
cijxk`ij +
∑(i ,j) Link
fijyij
unter den Nebenbedingungen
∑j :(j ,i) Link
xk`ji −∑
j :(i ,j) Link
xk`ij =
−bk` (i = k)
bk` (i = `)
0 sonst
∀i , k , `
∑k
∑`
xk`ij ≤ uijyij ∀(i , j)
xk`ij ≥ 0 ∀(i , j), k , `
yij ∈ {0, 1} ∀(i , j)
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(Gemischt) Ganzzahlige Lineare Optimierung
Optimierung von
I linearen Zielfunktionen
unter (endlich vielen)
I linearen Nebenbedingungen (=, ≤, ≥)
in (endlich vielen)
I Variablen, von denen einige nur ganzzahlige Werte annehmendurfen.
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(Kontinuierliche) Lineare Optimierung
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Ganzzahlige Lineare Optimierung. . .
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. . . Ganzzahlige Lineare Optimierung
I Machtig (z.B. 0/1-Entscheidungsvariablen)
I Baut auf (kontinuierlicher) LP auf
I Einblick am Ende dieser VLI Vertiefung:
I WiSem 17/18: VL Kombinatorische OptimierungI SoSem 18: VL Ganzzahlige Optimierung
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(Kontinuierliche) Lineare Optimierung
I Sehr gutes strukturelles Verstandnis (Zertifikate, Dualitat)
I Theoretisch effizient losbar (polynomial)
I Praktisch effizient losbar
I Hintergrund: Konvexitat
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Konvexe Optimierung
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Portfolio-Optimierung
DatenI n Anlagemoglichkeiten (Anlage)
I Zu investierendes Kapital: K = 1
I Ri : Rendite Anlage i (Zufallsvariable)
Variablen
xi : Anteil des in Anlage i investierten Kapitals
Gesamtrendite (Zufallsvariable)
G (x ,R) =∑n
i=1 Rixi
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Optimierungsmodell
I Ziel: Maximale erwartete Rendite unter der Nebenbedingung,dass die Wahrscheinlichkeit, einen Anteil von b zu verlieren,hochstens α ist.
I MaximiereE[G (x ,R)]
unter den Nebenbedingungen
n∑i=1
xi = 1
P[G (x ,R) ≥ −b] ≥ 1− αx ≥ O
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Optimierungsmodell (umformuliert)
Maximiere〈r , x〉
unter den Nebenbedingungen
〈1, x〉 = 1
zα√xTCx − 〈r , x〉 − b ≤ 0
x ≥ O
I zα: (1− α)-Quantil Standardnormalverteilung
I C : Kovarianzmatrix (positiv definit) der normalverteilten Ri
I r i : Erwartungswerte der Ri
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Konvexe Optimierung
Minimierung von
I konvexen Zielfunktionen
uber
I konvexen (abgeschlossenen) Mengen X ⊆ Rn
I Hier: Differenzierbare Zielfunktionen
I Oft: X = {x ∈ X0 | gi (x) ≤ 0 fur i = 1, . . . ,m} mit einfacherkonvexer Menge X0, gi konvex
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Inhalt
I Optimierung ohne Nebenbedingungen
I Konvexe Mengen und Kegel
I Optimalitatsbedingungen fur konvexe Optimierungsprobleme
I Dualitat und Konische Optimierung
I Polynomiale Verfahren fur konvexe Optimierung
I Die Geometrie der Linearen Optimierung
I Der Simplex-Algorithmus
I Ganzzahlige und Kombinatorische Optimierung
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Literatur. . .
I R. J. VanderbeiLinear ProgrammingSpringer, 2001.
I J. Matousek und B. GartnerUsing and Understanding Linear ProgrammingSpringer, 2006.
I V. ChvatalLinear ProgrammingFreeman, 1983.
I D. Bertsimas and J. N. TsitsiklisIntroduction to Linear OptimizationAthena, 1997
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. . . Literatur
I G. B. DantzigLinear Programming and ExtensionsPrinceton University Press, 1998 (1963).
I A. RuszcynskiNonlinear OptimizationPrinceton University Press, 2006
I A. SchrijverTheory of Linear and Integer ProgrammingWiley, 1986.
I M. Grotschel, L. Lovasz, A. SchrijverGeometric Algorithms and Combinatorial Optimization.Springer, 1988.
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Materialien
I www.math.uni-magdeburg.de/~kaibel/
I LATEX-Folien: Vor VL im Netz
I Empfehlung: Zur VL mitbringen (Notizen)
I Handschriftliche Folien: Nach VL im Netz
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Organisatorisches
I VorlesungI Montag 15:15-16:45 G05-307I Dienstag 15:15-16:45 G05-307
I UbungenI Verantwortlich: Tobias WeberI Dienstag, 7:30-9:00 (G22A-211)
I LeistungsnachweisI Klausur (Ubung letzte VL-Woche, 24.1.2017)I Teilnahmenvoraussetzungen
I Ubungspunkte, VorrechnenI Details in Ubungen
I ModulprufungI September 2017 (Februar/Marz 2017)I In der Regel: Gemeinsam mit Numerik