vom: vibrations et ondes mécaniques chap.i: généralités
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APPLICATIONS:
Cas de systèmes à 1 degré de liberté
Nkesri. VOM
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APPLICATIONS: Règles
• 1) Détermination de l’énergie potentielle:
• - de gravitation
• - élastique
• 2) Détermination de l’énergie cinétique
• 3) Assemblage d’un ensemble de ressorts
• - en parallèle : k=i ki
• - en série: 1/k= i(1/ki)
• 4) Conditions d’équilibre: stable, instable
• 5) Conditions d’oscillation
• 6) Equations du mouvement et solutions
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Détermination de l’énergie potentielle: Cas où Ep dérive d’une force F A/ de gravitation: F = mg
B/ d’un ressort élastique: F=-kx
rdFE p
.
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C) Conditions d’équilibre:
pEF
Conditions d’équilibre :
00
p
pEF
x
E
instable équilibre stable ;équilibre
0
²
²0
²
²
x
E
x
E pp
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A/ Energie potentielle de gravitation (pesanteur)
Ep dérive d’une force de gravitation agissant sur m
A11) Exemples: signe et expression de Ep:
(a) (b)
(c) (d)
Dans les 4 cas, l’origine de Ep(m) est en xo .
Donner le signe de Ep quand la masse m est déplacée en x.
(Ep =0) – xo
0-
0 -
(Ep =0) - xo
x-
x-
x-
x-
(Ep =0) – xo
0 -
0 -
(Ep =0) - xo
gmF
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A12) Cas d’un pendule de longueur L:
0 i) Ep=0 à y=0: quel est le signe de Ep(m) pour θ ≠ 0?
ii) Ep=0 à y =L: ″ ″ ″ ″ ″ ″
L θ
y
A13) Energie potentielle d’une masse accrochée à un ressort:
k m Ep=0
xo Ep(m)? k
x xo-
x Ep(m)?
Dans les 2 cas la masse m est en équilibre en xo
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B) Energie potentielle de déformation élastique
d’un ressort de cte d’élasticité k:
B11)
A comprimé en A’; B allongé en B’
xB – xA = lo ; xB’ – xA’ = l ; Δl = l –lo x
Si la déformation coté A est XA et celle coté B est XB
x= l –lo = |XA|+|XB|
kxF
B A
A’ B’
x
teconsllkE ondéformatiop tan)²(2
1,
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Applications (suite) • Ex.1: masse ponctuelle+ ressort
K
lo K
m
leq
∆leq =leq -lo l(t)= leq+ x(t)
=lo +Δleq +x(t)
K
lo
leq
x(t)
m
Résolution: i) par la mécanique de Newton: mx"+kx=0 avec kleq =mg
ii) par application de l’équation de Lagrange: (q1=x):
Ec =½mx’²; Ep = Epm+ Epk ; Epm= -mgx +cte ;
Ep= -mgx+½K(x+ Δleq)²+ cte : La condition d’équilibre: Ep/x|x=0 =0
donne KΔleq = mg
La solution x(t) est sinusoïdale
0 kxxm
te
eqeqpk ClxKdxlxKE )²(2
1)(
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Applications (suite)
2) Masse ponctuelle + ressort sur un plan incliné d’angle
Ec=½mx’² , Ep=Epm+Epk
k Epk=½k(x+ ∆l)²
x Le poids mg est décomposé en 2
α composantes, l’une // au plan
mg mg//=mgsinα, l’autre perpendiculaire
Epm=-ʃx+∆l mgsinα dx= -mg(x+∆l)sinα +Cte
Ep= ½k(x+ ∆l)² -mg(x+∆l)sinα +Cte
Condition d’équilibre:k(x+∆l)|x=0+mgsinα=0 ou
k∆l+mgsinα=0 Ep= ½k²x +Cte
l’équation du mouvement est inchangée par rapport au
cas (1) précédent.
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Ex.3:Le pendule - simple (a) - le métronome (b)
(a)
m θ
l1
m1
m2
l2
O L
θ
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
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4) Masse +tige (sans poids)+ressort
K
O A B
X
m
q
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Déduire les
conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
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4bis) Masse +tige (sans poids)+ressorts
k1
L
θ
m
k2
1)Exprimer l’énergie potentielle du système.Conditions
d’équilibre?
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
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5) Ressorts + tige pesante (horizontale)
2K 2K
O A B
x q
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
Condition d’oscillation
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
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5bis) Ressorts + tige pesante (verticale)
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
Condition d’oscillation
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
O
q
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5bis) Tige pesante (verticale) + ressort
K θ
M
L
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
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6) Cylindre (M,R) +ressort k
Axe de rotation fixe (+masse m)
G
m
K
M,R
L’axe de rotation passe par G et est fixe:
1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation
différentielle du mouvement
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6) Cylindre (M,R) +ressort k
Axe de rotation fixe (+masse m)
L’axe de rotation passe par G et est fixe:
1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du
mouvement
G
m
q K
M,R G
m
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6) Cylindre (M,R) +ressort k
Axe de rotation mobile
G G M,R K
Le cylindre peut rouler sans glisser (2 cas a,b)
1)Exprimer l’énergie potentielle du ressort
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
(a) (b)
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7) Cylindre +masse + ressort:
- Axe de rotation mobile: le cylindre peut rouler
sans glisser (exemples (a), (b))
θ K
M,R
K
M,R
θ
(a) (b)
1)Exprimer l’énergie potentielle du système. Conditions d’équilibre
2) Exprimer l’énergie cinétique du système
3) Equation de Lagrange et équation différentielle du mouvement
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