1

1. Uvod

Tema našeg projekta je Višekriterijsko programiranje. Na kolegiju „Menadžersko

odlučivanje“ susreli smo se sa pojmom višekriterijsko odlučivanje te naučili da u procesu

odlučivanja često nije moguće definirati samo jednu funkciju cilja. Rješenje kojemu težimo i

koje treba biti zadovoljeno obično ima više kriterija.

Primjerice, kod kupnje mobitela želimo ostvariti što bolju kvalitetu, brzinu, velik broj

funkcija, ali i estetski izgled. Konačno rješenje predstavlja kompromis između nekoliko

zahtjeva koji su najčešće konfliktni. Od donositelja odluke zahtijeva se da odabere

najprihvatljiviju alternativu. U tome pomažu i metode višekriterijskog programiranja.

Projekt se sastoji od pet poglavlja. Prvo poglavlje je uvod, u drugom poglavlju upoznajemo se

sa odlučivanjem i odlukama. Treće poglavlje donosi podjelu višekriterijalnog odlučivanja dok

četvrto poglavlje govori o metodama višekriterijalnog programiranja. U petom poglavlju

donosimo primjer problema rasporeda policijskih patrola koji je riješen metodom ciljnog

programiranja, jednom od metoda višekriterijskog programiranja.

2

2. Pojam i definiranje odlučivanja

Odlučivanje je kao pojam u vrlo širokoj uporabi. Ono je prisutno u svakodnevnom životu,

kako profesionalnom, tako i u privatnom.

Donošenje odluke, odnosno odlučivanje, staro je isto toliko koliko je staro ljudsko društvo,

odnosno ljudski rod. Svaka ljudska aktivnost posljedica je nekog ranijeg procesa odlučivanja

ili je ona sama odlučivanje. Odlučivanje je po samoj definiciji proces koji traje određeno

(duže ili kraće) vrijeme, a završava donošenjem odluke. Trajanje procesa odlučivanja, zavisno

od vrste odluka, kreće se u rasponu od djelića sekunde pa do dugotrajnijeg procesa koji se

mjeri, ne samo satima i danima, već mjesecima pa i godinama. I dok se odluka, npr. o tome

što smo odjenuli danas, u pravilu donosi u jednom trenutku, istovremeno, npr. odluka o tome

koji proizvodni program izabrati, na koje se tržište kupaca orijentirati i slično, traje znatno

duže.

Čovjek se stalno, svakodnevno susreće s odlučivanjem. U suvremenim uvjetima rada i života,

s obzirom da se živi intenzivnije i brže, i odlučivanje je neusporedivo češće i intenzivnije.

U literaturi koja obrađuje problematiku odlučivanja susrećemo brojne definicije odlučivanja.

Za H. Koontza i H. Weihricha1 odlučivanje (decision making) bi se moglo definirati kao

izabiranje smjera odnosno načina djelovanja između više inačica. U svezi s odlučivanjem jest

i davanje odgovora na sljedeća pitanja:

Gdje se neki posao mora obaviti (mjesto odlučivanja)?

Kada se određeni posao mora obaviti (vrijeme odlučivanja)?

Kako se taj posao mora obaviti (način odlučivanja)?

Tko će obaviti taj posao (osoba koja donosi odluke)

U svim definicijama odlučivanja, zajedničko je to što se radi o izboru između više inačica pa

bismo odlučivanje mogli definirati kao proces izbora između dvije ili više mogućnosti

rješavanja nekog problema.

Dakle, za odlučivanje je bitno da se radi o »procesu«, koji traje kraće ili duže vrijeme, u

kojem se vrši »izbor« između najmanje »dvije ili više mogućnosti«, a da bi se »riješio

problem« zbog kojega smo se i odlučili na odlučivanje.

1 Harold Koontz, Heinz Wcihrich: Essentials of Management, Fifth Edition, Mc Graiv--Hill Publishing Company, New York, 1990.,

str. 108.

3

a) Pojam odluke2

Kada su u pitanju odluke, njih možemo lako definirati kao izbor između više alternativa. Ono

što svaka odluka treba sadržavati je:

subjekt, objekt, strukturu ili sastav na koji se odluka odnosi i koju odluku treba

realizirat

aktivnosti koje treba izvrsiti radi realizacije odluke

sustav ciljeva koje treba ostvariti kroz realizaciju odluke

sustav ograničenja ili limitirajućih faktora

termine, rokove, prostorne, vremenske kao i druge resurse

sustav materijalno-tehničkog, financijskog i drugog osiguranja realizacije odluke.

S aspekta prirode problema o kojem se odlučuje razlikujemo:

strukturirane odluke – donose se u okviru neke strukture i uvjetovane su tom

strukturom i to su najčešće programirane odluke na nižim razinama menadžmenta

nestrukturirane odluke - donose se u situacijama gdje nema stalnih uloga ni linija

komunikacija. Neprogramirane odluke su na razini top menadžmenta.

b) Rješavanje problema i odlučivanje

Rješavanje problema je proces identificiranja razlike između aktualnog stanja sustava i

poželjnog stanja, te poduzimanje aktivnosti za uklanjanje uočenih razlika.

Faze procesa odlučivanja: 3

1. Priprema odluke (podfaze)

- Identifikacija problema

- Definiranje zadatka

- Snimanje i analiza postojećeg stanja

2 Barković Dražen, Menadžersko odlučivanje, Ekonomski fakultet u Osijeku

3 Hunjak Tihomir, Nina Begčević, Teorija odlučivanja, Fakultet organizacije i informatike, Varaždin.

4

- Traženje alternativnih rješenja problema

- Vrednovanje svih alternativnih rješenja

2. Donošenje odluke

3. Provođenje odluke

4. Kontrola provođenja odluke

Slika 1: Proces odlučivanja – strukturiranje i analiziranje problema

Izvor: Hunjak Tihomir, Nina Begčević, Teorija odlučivanja, Fakultet organizacije i informatike, Varaždin.

STRUKTURIRANJE PROBLEMA ANALIZIRANJE PROBLEMA

5

3. Višekriterijalno odlučivanje

U području gospodarenja, zbog složenosti sustava, na višim razinama odlučivanja proces

donošenja odluka, po svojim osobinama, pripada višekriterijalnom odlučivanju koje se koristi

u situacijama kada postoji veći broj, najčešće konfliktnih kriterija, što predstavlja veliko

približenje stvarnim zadaćama u procesima odlučivanja.

Karakteristike višekriterijalnog odlučivanja4:

veći broj kriterija, atributa

konflikti izemđu kriterija

neusporedive jedinice mjere

rješenje ovakve vrste problema je projektiranje najbolje akcije (alternative) ili izbor

najbolje iz prethodno definiranog skupa akcija

Zadaće iz skupine višekriterijalnog odlučivanja mogu se klasificirati kao:

višeatributativno odlučivanje (VAO) ili višekriterijalna analiza (VKA)

višeciljno odlučivanje (VCO)

Višeatributivno odlučivanje Višeciljno odlučivanje

Kriterij (definiranje) atributima ciljevima

Cilj implicitan (loše definiran) eksplicitan

Atribut eksplicitan implicitan

Ograničenja neaktivna (uključena u atribute) aktivna

Akcije (alternative) konačan broj (diskretna) beskonačan broj (kontinuirana)

Interakcije s donositeljima

odluke nije izrazita izrazita

Primjena izbor/evaluacija projektiranje

4 http://bib.irb.hr/datoteka/407750.mag-rad-vlah-final.pdf

6

a) Višeatributivno odlučivanje (Multiple attribute decision making)

Metoda se temelji na atributima koji služe u procesu ocjene ili evaluacije pojedinog kriterija.

Veći broj atributa karakterizira pojedinu akciju (alternativu), a biraju se na temelju izabranih

kriterija od strane donositelja odluke.

Višeatributivno odlučivanje se najčešće prikazuje u matričnom obliku.

Matrica odlučivanja D=

Xij je vrijednost i-te akcije ai (i=1,… ,m) u odnosu na j-ti atribut Aj (j=1,…,n)

Skale mjerenja za kvalitative atribute:

ordinalna skala - formira redoslijed akcija, te ne vodi računa o relativnim razlikama

između skala

intervalna skala - osigurava jednake intervale između akcija i označava odstupanje

akcija od unaprijed definirane referentne akcije

skala odnosa - osigurava jednake intervale između akcija i označava odstupanje akcija

od referentne akcije koja nije unaprijed definirana

b) Višeciljno odlučivanje

Za višeciljno odlučivanje karakteristično je da sve do sada razvijene metode imaju slijedeće

zajedničke osobine:

skup ciljeva koji mogu biti kvantificirani,

skup dobro definiranih ograničenja,

7

proces dobijanja trade-off informacija (eksplicitnih ili implicitnih) o identificiranim

ciljevima (koji recimo nisu kvantificirani).

Posljednja osobina je posebno značajna. Naime, većinu realnih ciljeva je vrlo teško

kvantificirati, pa je za korištenje metoda iz ove grupe (višeciljno odlučivanje), potrebno

raspolagati procesom koji bi bio u stanju da osigura određenu razinu kvantifikacije svih

ciljeva.

4. Višekriterijsko programiranje

U procesu odlučivanja često nije moguće definirati samo jednu funkciju cilja. Kriterija koje

traženo rješenje treba zadovoljavati obično ima više. Kod izbora automobila, na primjer, bilo

pri kupovini ili proizvodnji, želimo ostvariti što veću udobnost, brzinu i ubrzanje uz najmanju

cijenu i utrošak goriva. Problem prehrane traži zadovoljenje dnevnih potreba organizma uz

najmanje troškove i minimalnu konzumiranu količinu štetnih tvari. Kod planiranja

proizvodnje želi se postići maksimalni doprinos za pokriće (kontribucija), tj. razlika između

prihoda i direktnih troškova, ali cilj može biti i zadovoljenje potreba tržišta u što kraćem roku.

Izbor konačnog rješenja tada predstavlja kompromis između nekoliko zahtjeva, često

suprotnih. Od donosioca odluke zahtijeva se da procijeni prihvatljivost ponuđenog rješenja i

eventualno usmjeri proces optimizacije prema boljemu. Metoda višekriterijskog

programiranja ima mnogo, od kojih svaka ima neke prednosti, ali i nedostatke. Ovdje će biti

spomenute najpoznatije i najčešće korištene metode.

4.1. Podjela metoda višekriterijskog programiranja

Višekriterijsko programiranje može se podijeliti u dvije osnovne kategorije5:

1. Metode optimalnog izbora (Multiple Attribute Decision Making Methods) koriste se u

slučaju da treba izabrati najbolju mogućnost između ograničenog broja prethodno definiranih

mogućnosti. Svaka će mogućnost biti opisana s nekoliko atributa, koji mogu biti kvalitativni i

kvantitativni. Kao optimalno rješenje odabire se mogućnost čiji su atributi po nekim

kriterijima bolji od atributa ostalih mogućnosti. Te će se metode koristiti, na primjer, pri

5 Kalpić Damir, Mornar Vedran, Operacijska istraživanja, Zagreb 1996.

8

kupovini elektroničkog računala kad treba izabrati najpovoljniju između nekoliko ponuda

raznih proizvođača, pri odabiranju poslovnih partnera i slično.

2. Metode optimizacije s više funkcija cilja (Multiple Objective Decision Making Methods)

nisu povezane s izborom iz skupa prethodno definiranih rješenja. Problemi kojima se te

metode bave sastoje se od određenog broja funkcija cilja koje treba maksimizirati ili

minimizirati i skupa ograničenja koja se postavljaju na varijable modela. Takvi problemi

imaju beskonačno mnogo rješenja. Kao primjer za tu grupu metoda može se navesti problem

smjese, prehrane, ili oblikovanja novog proizvoda.

Svaka metoda višekriterijskog programiranja zahtijeva prisutnost čovjeka koji postavlja

zahtjeve, usmjerava proces optimizacije i na kraju prihvaća ili odbija ponuđeno rješenje. Za tu

osobu, ili više njih, uobičajeni je naziv donosilac odluke. Dalja podjela obiju grupa uslijedit će

prema učešću donosioca odluke u procesu optimizacije.

4.2. Metode optimizacije s više funkcija cilja

4.2.1. Osnovni pojmovi i definicije

Problem optimizacije s više funkcija cilja matematički se može prikazati kao

max ( f ( x ) , f 2 ( x ) , . . . . . . . f k ( x ) )

gdje su fi(x), i=1,...,k funkcije cilja, uz ograničenja

gj ( x ) < 0 , j=1, . . . , m x jest n-dimenzionalan vektor.

Rješavanjem k problema max fj (x)

j = 1 , . . . , k uz ograničenja

g ( x ) < 0

dobijemo k optimalnih rješenja.

Rješenja mogu biti:

1. Savršeno rješenje – rijetko će se postići zbog najčešće konfliktnih zahtjeva na funkciju

cilja

2. Efikasno rješenje takvo je rješenje kod kojeg nije moguće postići poboljšanje niti

jedne funkcije cilja bez istovremenog pogoršanja barem jedne od preostalih funkcija

cilja. Drugim riječima, ne postoji niti jedno rješenje koje je po jednom kriteriju bolje, a

9

da po ostalima nije lošije od njega. Za efikasno rješenje nalazimo još i sljedeće

nazive: nedominirano, neinferiorno ili paretovski optimalno rješenje.

3. Efikasno rješenje koje donosilac odluke prema nekim vlastitim mjerilima prihvati kao

konačno naziva se najbolje rješenje.

4. Zadovoljavajuće rješenje ne mora biti ujedno i efikasno, ali ga donosilac odluke

prihvaća u nemogućnosti da svojim znanjem, sposobnostima, ili metodom koju

koristi dođe do boljega

Za ilustraciju navedenih pojmova može poslužiti sljedeći primjer.

Potrebno je maksimizirati dvije funkcije cilja

max f1 = x1 + x2

max f2 = x2 - x1

Uz ograničenja:

3

, 0

Skup dozvoljenih rješenja X i funkcije cilja u svojim optimumima prikazani su na slici 1

Skup dozvoljenih rješenja nalazi se unutar konveksnog skupa ABCD, dok se skup efikasnih

rješenja nalazi na dužini BC. Na slici 2 prikazana je ovisnost među iznosima rješenja za

funkcije cilja. Konveksni skup ABCD tu predstavlja skup funkcionalnih vrijednosti. Donosilac

odluke može sada izabrati najbolje rješenje iz skupa efikasnih rješenja, tj. sa spojnice

optimalnih rješenja BC.

10

Slika 1 Skup mogućih rješenja

Izvor: Kalpić Damir, Mornar Vedran, Operacijska istraživanja, Zagreb 1996.

Slika 2 Skup funkcionalnih rješenja

Izvor: Kalpić Damir, Mornar Vedran, Operacijska istraživanja, Zagreb 1996.

Općenito postoje dva pristupa u rješavanju linearnog problema optimizacije s više funkcija

cilja. Prvi pristup sastoji se u optimizaciji jedne funkcije cilja dok se na ostale dodaju

ograničenja koja predstavljaju ciljeve koji se u procesu moraju postići. Takav pristup naziva se

ciljno programiranje i može se formulirati kao

max fi(x)

uz uvjete

g(x) ≤ 0

fj(x) ≤ aj, j=1,...,k j≠i

11

aj jest cilj koji želimo postići za funkciju cilja j.

Drugi pristup, ekvivalentan traženju efikasnog rješenja, uključuje optimizaciju nove funkcije

cilja

k

max Σ wi fi(x)

i=1

uz uvjete

g(x) ≤ 0

wi jesu težine ili ponderi koji se obično normaliziraju tako da je

k

Σ wi = 1 , wi > 0

i=1

Naravno, kod složenijih modela nije moguće unaprijed odrediti ciljeve odnosno težine, tako

da oba postupka, u jednostavnu obliku u kojem su prikazana ovdje, nisu prikladna za

rješavanje problema iz prakse. To, naravno, ne znači da se njihovom doradom ne mogu

dobiti efikasni i vrlo upotrebljivi algoritmi.

4.2.2. Metode kod kojih se informacije o preferencijama daju prije rješavanja problema

Donosilac odluke, odlučivši se za jednu od ovih metoda, dužan je saopćiti svoje preferencije

prije nego započne s rješavanjem problema, a nakon formiranja modela. Informacije mogu biti

kardinalne ili mješovite (kardinalne i ordinalne). Kod zadavanja kardinalnih informacija

preferencije će biti definirane nekim brojčanim iznosom, dok će se u slučaju ordinalnih

informacija funkcije cilja zadavati redom prema značenju.

12

a) Metoda globalnog kriterija

Osnovna ideja metode vidljiva je već iz naziva: sastoji se u optimizaciji nekog globalnog

kriterija, npr. minimizaciji sume kvadrata udaljenosti od idealnih rješenja za pojedine

funkcije cilja.

b) Metode funkcije korisnosti

Karakterizira stav donositelja odluke prema problemu donošenja odluke pri riziku i

neizvjesnosti.

Slika 3 Osoba s averzijom prema riziku

Izvor:http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.p(17.05.2012.)

Slika 4 Osoba sklona riziku

Izvor:http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.p(17.05.2012.)

Slika 5 Sklonost riziku pri malim novčanim iznosima

Izvor:http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.p(17.05.2012.)

13

i(x

c) Metoda ograničavanja funkcije cilja

Kod tih metoda donosilac odluke postavlja minimalne prihvatljive iznose na pojedine

funkcije cilja kao što je već prije bilo opisano i pristupa optimizaciji jedne od njih.

max fr(x)

gi ) ≤ 0, i=1,...,m

fj(x) ≥ 1j, j=1,...,k, j≠r

Moguće je zadati i najveći dozvoljeni iznos, pa tako gornjim nejednadžbama

dodajemo još i

fj(x) ≤ hj, j=1,...,k, j≠r

Poteškoću kod korištenja te metode predstavlja zadavanje korektnih iznosa koje funkcije

cilja moraju postići. Nedostatak informacija o ponašanju modela u trenutku zadavanja lako

može odvesti k nemogućem rješenju, a odabiranje jedne od funkcija cilja za optimizaciju

zapravo je degradiranje višekriterijalnosti.

d) Leksikografska metoda

Ova metoda polazi od predpostavke da je DO u stanju utvrditi strogu hijerarhiju između

kriterija. On treba odrediti takozvani leksikografski poredak kriterija. U ovom poretku su

kriteriji poredani po prioritetu: na prvom mjestu se nalazi kriterij najvišeg prioriteta i njega

najprije treba optimizirati. Slijedi kriterij drugog prioriteta, koji se primjenjuje samo za ona

rješenja koja su optimalna po prvom kriteriju. Postupak se tim slijedom nastavlja dalje.

Time se zadatak višekriterijalnog odlučivanja svodi na rješavanje najviše p zadataka

jednokriterijske optimizacije. Zato se ova metoda zove i metoda sekvencijalnih

optimizacija.6

6 M. Vujošević,„Uvod u optimizaciju“, Internet izvor,(http://www.laboi.fon.bg.ac.yu/download/MetOpt/uvoduvko.pdf)

14

e) Ciljno programiranje

Ciljno programiranje je vrsta linearnog programiranja nastala s ciljem uklanjanja

nedostataka i limitacija linearnog programiranja. Pojam se prvi put koristi u tekstu autora

Abraham Charnes i William Wager Cooper. Tekst je opisivao modele linearnog

programiranja s više ciljeva. Ti ciljevi su najčešće konfliktni tako da se metodom ciljnog

programiranja traži najbolje zadovoljavajuće rješenje s obzirom na dana ograničenja i

ciljeve.

Glavno obilježje ciljnog programiranja je definiranje odstupanja od zadanog cilja. Na

primjer, uzmemo li običan oblik cilja linearnog programiranja: „Maksimiziraj profit“, njega

bi mogli preoblikovati u: „Osiguraj x jedinica profita“. Moguća stanja su da je profit manji,

jednak ili veći od x. Situaciju s profitom manjim od x nazivamo nepoželjno odstupanje.

Zadatak ciljnog programiranja je minimizirati nepoželjna odstupanja modela.7

f) Interaktivne metode

Sljedeća, vjerojatno najvažnija grupa metoda višekriterijskog programiranja, gdje donosilac

odluke u toku optimizacije progresivno utječe na usmjeravanje procesa, naziva se

interaktivnim metodama.

U te metode spadaju:

1. Metode zadovoljavajućih ciljeva

2. STEM metode

4.2.3. Metode kod kojih se informacije o preferencijama daju naknadno

Ta grupa metoda određuje podskup efikasnih rješenja i predočava ga donosiocu odluke koji

na temelju nekih svojih naknadno zadanih preferencija iz toga podskupa izabire najbolje

rješenje.

Najpoznatija metoda je metoda Variranje težine.

7 Ignizio, J. P. (1985). Introduction to Linear Goal Programming: Quantitative Applications in the Social Sciences. Sage Publications Inc.

15

4.3. Metoda optimalnog izbora

Problemi koji se rješavaju metodama optimalnog izbora sastoje se od nekoliko mogućnosti

između kojih treba pronaći najprikladniju. Svaka mogućnost opisana je skupom atributa, a

atributi mogu biti kvalitativni i kvantitativni.

U te metode spadaju:

1. Transformacija atributa

2. Metoda dominacije

3. Maximin

4. Maximax

5. Leksikografska metoda

6. Aditivna metoda

7. Metoda ELECTRE

8. Metoda TOPSIS

9. Metoda LINMAP8

8http://www.cbmn.org/slike_i_fajlovi//fajlovi/fajlovi_o_nama/nagrada_cbcg/doktorat__zdenka_dragasevic.pdf

(17.05.2012.)

16

5. Primjer rješavanja problema razmještaja gradskih policijskih

patrola korištenjem leksikografskog ciljnog programiranja

Kao primjer korištenja ciljnog programiranja, odabrali smo problem rješavanja

problema razmještaja (alokacije) policijskih patrola u indijskom gradu Delhiju. Primjer je

riješen u časopisu Information and Management Sciences [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str.

173-188]. Iako je za primjer uzet dotični indijski grad, primjer se može upotrijebiti na svakom

gradu.

a) Opis primjera

Model razmještaja policijskih patrola pomaže policiji (odjel prometne policije)

utvrđivanje broja patrolnih vozila koji mora biti prisutan u određenoj smjeni na određenoj

lokaciji u gradu (ulični segment). Također, ovaj model uzima u obzir prometnije dijelove

grada i dijelove grada sa učestalijim prometnim nesrećama te u skladu s tim informacijama

usklađuje broj patrolnih vozila na tim lokacijama.

Za kreiranje modela koristila se metoda leksikografskog ciljnog programiranja.

Leksikografsko ciljno programiranje je, kao što je već rečeno ranije u radu, jedna od metoda

ciljnog programiranja. U obzir se uzimaju različiti ulični segmenti (skupine ulica) i smjene.

U obradi primjera nećemo se fokusirati na opisivanje načina rješavanja problema

putem leksikografskog ciljnog programiranja, jer je to već napravljeno u prethodnim

dijelovima ovog projektnog rada. Više ćemo obratiti pozornost na same ciljeve koji trebaju

biti postignuti, te na načine predstavljanja problema kako bi se mogla iskoristiti metoda

leksikografskog ciljnog programiranja za njegovo rješavanje.

Za ovaj problem, kao što je već rečeno, uzeo se primjer indijskog grada Delhija. Za

potrebe modela, ulice Delhija su podijeljene na tri ulična segmenta: međugradski ulični

segment (povezuje dijelove grada Delhija sa ostalim gradovima u županiji i šire), gradski

17

ulični segment (povezuje dijelove grada) te obilaznice. Ukupan broj radnih sati svakog

patrolnog vozila podijeljen je u 3 smjene jednakog broja sati (8).

b) Analiza (obrada) primjera

Prije svega, napominjemo da je tokom cijele analize primjera korištena prethodno

spomenuta literatura, dakle [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str. 173-188]. Stoga, nećemo

prilikom uzimanja svake jednadžbe, formule ili nejdednadžbe referencirati izvor, budući da bi

to bilo nepregledno, pa smo zato napravili ovu napomenu.

Za rješavanje problema leksikografskom metodom ciljnog programiranja korištena

je sljedeća notacija:

- Indeksi:

o – predstavlja indeks uličnog segmenta .

o – predstavlja indeks smjene .

- Varijable i parametri:

o – broj patrolnih vozila razmještenih na ulični segment i u smjeni j.

o – broj uličnih segmenata u gradu.

o – ukupan broj smjena u jednom danu.

o – ukupan broj dostupnih patrolnih vozila.

o – ukupni budžet dostupan za jedan dan, za sva patrolna vozila9.

o – prosječni dostupni dnevni budžet za svako patrolno vozilu u

uličnom segmentu j.

o – procijenjeni minimalni broj potrebnih patrolnih vozila na uličnom

segmentu i u smjeni j.

o – procijenjeni maksimalni broj potrebnih patrolnih vozila na

uličnom segmentu i u smjeni j.

o – ukupan broj patrolnih vozila na t-tom nizu povezanih uličnih

segmenata .

o – broj uličnih segmenata koji imaju jednaku gustoću prometa

o – minimalni broj patrolnih vozila dodijeljenih za ulični segment i.

9 Budžet se odnosi na količinu novca potrebnu za benzin te eventualne kvarove patrolnih vozila.

18

- Definirani ciljevi (poredani po prioritetima, s time prvi cilj ima najveći

prioritet):

o Cilj 1, prioritet 1: Minimiziranje broja dodijeljenih patrolnih vozila

o Cilj 2, prioritet 2: Minimiziranje ukupnog budžeta

o Cilj 3, prioritet 3: Osiguravanje dovoljnog broja patrolnih vozila za

prometnije ulične segmente tijekom specifičnih razdoblja

o Cilj 4, prioritet 4: Zadovoljavanje potreba manje prometnih uličnih

segmenata i minimalnih potreba pojedinih smjena.

Također, zadana su i ograničenja kojih se treba pridržavati tijekom izračunavanja

cilja. Ta ograničenja su:

Broj patrolnih vozila koja su dostupna za pojedine ulične segmente u

određenim smjenama. To se ograničenje može izraziti i ciljnom jednadžbom:

Kao što je prikazano u objašnjenju notacije, P predstavlja ukupan broj

dostupnih vozila. Varijable i

predstavljaju varijable odstupanja

(specifične za ciljno programiranje, budući da se ciljno programiranje temelji

na tome da se pokušava što je bliže moguće približiti cilju, a razlika između

postignutog i planiranog cilja je – varijabla odstupanja ili devijacije).

predstavlja devijacijsku varijablu prekoračenja, a predstavlja devijacijsku

varijablu podbačaja.

Budžet – policijska uprava ograničava dnevnu količinu benzina koji patrolna

vozila smiju iskoristiti. Ta ograničenja, naravno, ovise o duljini puta kojeg će

patrolno vozilo morati prijeći (tj. ovise o uličnom segmentu). Ciljna jednadžba

za ukupni budžet izražava se:

Donja i gornja granica patrolnih vozila određuje se kako bi se osigurao

dovoljan broj vozila na svakom uličnom segmentu. Te granice se određuju

19

prema gustoći prometa i učestalosti prometnih nesreća na pojedinom uličnom

segmentu. Ciljna jednadžba za donju granicu izražava se:

Ciljna jednažba za gornju granicu izražava se:

Minimalna količina patrolnih vozila po smjeni – određuje se prema gustoći

prometa i učestalosti prometnih nesreća u određenom uličnom segmentu. Da bi

se utvrdila minimalna potrebna količina vozila po smjeni, potrebno je izraziti

ciljne jednadžbe za svaki od tipova uličnih segmenata:

o Ulični segmenti koji su spojeni:

s time da je i .

o Ulični segmenti koji imaju jednaku gustoću prometa:

s time da je , i .

o Svaki ulični segment:

s time da je .

I ovime je sada završeno definiranje ciljeva i njihovih ograničenja. Prije nego što

krenemo dalje, treba još definirati smjene:

Prva smjena - = Između 6.00 i 14.00 sati

Druga smjena - = Između 14.00 i 22.00 sati

Treća smjena - = Između 22.00 i 6.00 sati

20

U leksikografskom ciljnom programiranju sva ograničenja su fleksibilna zbog već

spomenutih varijabli odstupanja i prioriteta nad svakim ciljem. Sada ćemo pokazati

ograničenja koja su postavljena:

- Patrolna vozila

o Ukupno 60 patrolnih vozila dodijeljuje se na 17 uličnih segmenata

tijekom tri dnevne smjene. Ukupan broj patrolnih vozila može se

prikazati jednadžbom:

- Budžet

o Maksimalni dnevni dostupni budžet iznosi 5500 indijskih rupija (Rs).

Jednadžba se može izraziti:

- Gornja i donja granica broja patrolnih vozila po uličnom segmentu

o Kao što je već spomenuto, ukupan broj dostupnih patrolnih vozila je 60.

Kako bi se osigurao uvijek dovoljan broj vozila, potrebno je definirati

minimalni broj patrolnih vozila na svakom uličnom segmentu. Raspon

između donje i gornje granice broja vozila može se zapisati pomoću

nejednadžbe , gdje i predstavljaju procijenjene

vrijednosti minimalnog i maksimalnog broja patrolnih vozila u uličnom

segmentu i za vrijeme trajanja smjene j. Slijedi prikaz gornjih i donjih

granica za odgovarajuće ulične segmente, putem gore navedene

nejednadžbe:

Interpretacija: Na uličnim segmentima 1, 2, 3, 4, 10 i 14

u prvoj smjeni minimalan broj patrolnih vozila je 2, a

maksimalan 4. Za ostale nejednadžbe interpretacije su

identične (treba uzeti u obzir parametre).

21

o Sada se gore navedene nejednadžbe mogu prikazati kao ciljne jednadžbe

(uz dodane varijable odstupanja). Dakle, pojednostavljuje se zapis za

svaki pojedini ulični segment i smjenu (nema više varijable i koja

određuje ulični segment, sada se ciljna jednadžba definira za svaki

segment. U tablici 4.1. dan je prikaz navedenih ciljnih jednadžbi. Kraj

svake jednadžbe u zagradi je napisan broj ograničenja. (1) i (2) su redni

brojevi ograničenja za patrolna vozila i budžet, pa je logično da se kreće

sa brojem (3) kao rednim brojem prve ciljne jednadžbe ograničenja za

gornju i donju granicu patrolnih vozila, po pojedinom uličnom

segmentu. Osim ako se radi o slučaju da je donja granica jednaka nuli

(nakon 70. ciljne jednadžbe), vrijednosti u lijevom stupcu predstavljaju

ciljne jednadžbe za gornju granicu (maks. broj) patrolnih vozila, dok one

vrijednosti u lijevom stupcu predstavljaju ciljne jednadžbe za donju

granicu (min. broj) patrolnih vozila (uz vrijednosti odstupanja).

Tablica 4.1. Ciljne jednadžbe za gornju i donju granicu patrolnih vozila

22

23

Izvor: [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str. 181-182]

- Minimalna količina patrolnih vozila po smjeni – slijede ciljne jednadžbe za

određivanje minimalnog broja patrolnih vozila po smjeni. Kao što je već

spomenuto, ta količina se određuje kroz 3 kategorije uličnih segmenata:

o Ulični segmenti koji su spojeni:

(Interpretacija: vrijednost jednadžbe iznad znači da na uličnim segmentima 7,

11, i 16, koji su spojeni, kroz prvu i drugu smjenu minimalna količina

potrebnih vozila, uz moguća odstupanja, iznosi 22. Na isti način se

interpretiraju ostale jednadžbe, uzevši u obzir njihove parametre.)

24

o Ulični segmenti koji imaju podjednaku gustoću prometa:

o Svaki pojedini ulični segment (dakle, minimalni broj potrebnih patrolnih

vozila za svaki ulični segment u svakoj smjeni):

25

s time da su

gdje su .

26

c) Rezultati i zaključak primjera

Problem koji je prethodno zadan postavljen je u odgovarajući softver, koji je

napravljen pomoću Microsoftovog IDE-a Visual C++. Ukupno je izvršeno 39 iterativnih

koraka kako bi se dobio završni rezultat. Rezultat u obliku rasporeda patrolnih vozila po

uličnim segmentima u pojedinim smjenama prikazan je u tablici 4.2.

Tablica 4.2. Rezultat kao raspored patrolnih vozila po uličnim segmentima i smjenama

Segment i

Smjena j

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Izvor: [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str. 185]

Nakon provedene analize, zaključeno je da su postignuti ciljevi 1, 2 i 3. Naime,

vidljivo je iz tablice da je broj ukupnih patrolnih vozila reduciran na 50 (cilj 1). Ukupni

budžet je reduciran sa 5.500 Rs na 5.250 Rs (cilj 2). Također, ispunjen je i cilj 3, tj. ispunjen

je uvjet zadovoljenja broja patrolnih vozila na uličnim segmentima tijekom veće gužve u

prometu. Ipak, cilj 4 nije ispunjen, a s njime ni alokacija vozila u trećoj smjeni.

Nakon pristupa problemu pomoću metode leksikografskog ciljnog programiranja,

može se zaključiti da nije postignuto optimalno rješenje (najbolje moguće), ali je postignuto

zadovoljavajuće rješenje. Što je najvažnije, problemi čiji je prioritet viši su riješeni.

27

6. Zaključak

U seminarskom radu su proučeni aspekti višekriterijalnog programiranja u teoriji odlučivanja

te je naglašena opširnost i interdisciplinarnost polja rada. Odlučivanje je staro koliko i svijet u

kojemu živimo i djelujemo. S novim vremenima dolaze i novi izazovi. Tako je pojavom

interneta i novih informacijskih tehnologijama život eksponencijalno ubrzan. Samim time je i

proces donošenja odluka prešao iz kontinuiranog razmatranja alternative u akciju koja mora

biti brza, precizna i kvalitetna.

U radu je prikazan osvrt na metode višekriterijalnog odlučivanja koje u konačnici

nisu problematične za implementaciju, a imaju svoju korisnost na svim razinama života.

Navedene su prednosti i mane metoda, no razmislimo o njima u kontekstu svakodnevne

upotrebe u poslovanju kroz primjer rješavanja problema razmještaja gradskih policijskih

patrola korištenjem leksikografskog ciljnog programiranja. Teško se može reći da su metode

precizne za korištenje, izričito bez upotrebe nekog programskog rješenja koje automatizira

proces. No, njihova korisnost je neupitna te svakako ima svoje prednosti.

Postoji niz različitih pristupa problemu konačnog odabira samo jedne alternative iz skupa

ponuđenih rješenja ili problemu njihova rangiranja, najčešće zasnovano na nekom principu

preferencije. Prilikom donošenja odluke pomažemo si prethodno navedenim metodama

višekriterijalne optimizacije. Međutim, valja računati i na brojne izvore neizvjesnosti

vrijednosti s kojima se ulazi u problem višekriterijalnog programiranja i i neizvjesnosti

uzrokovanih nedostatkom dostupnog znanja.

28

Literatura

Knjige:

1. Barković, D. Operacijska istraživanja u investicijskom odlučivanju, Osijek: Ekonomski

fakultet u Osijeku, 2004.

2. Kalpić, D., Mornar, V. Operacijska istraživanja, Zagreb: DRIP, 1996.

3. Perić, T. Višekriterijsko programiranje, Zagreb: Alka script, 2008.

4. Tepeš, B. Višekriterijalno programiranje, Zagreb: Informator, 1978.

Znanstveni članci:

1. Tepeš, B., Rješenje problema uništavanja ciljeva metodom višekriterijalnog programiranja,

Radovi TVA, 13(1977); 3 – 11.

2. Martić, Lj. Višekriterijalno programiranje, Zagreb: Informator, 1998.

Internet:

1. http://gradst.hr/~knezic/nastava/prezentacije/visekriterijalno_odlucivanje.pdf (12.5.2012.)

2. http://www.scribd.com/doc/16640211/Ciljno-programiranje (12.5.2012.)

3. http://matematika.fkit.hr/staro/izborna/referati/Daniela%20Petkovicek%20-

%20Linearno%20programiranje.pdf (13.5.2012.)

4. http://www.hupi.hr/zoran/Zoran%20Lukic%20-%20Portfelji%20-%20Seminarski%20rad.pdf

(14.5.2012.)

5. http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-

skripta_for_dummies.pdf (16.5.2012.)

6. http://bib.irb.hr/datoteka/407750.mag-rad-vlah-final.pdf (16.5.2012.)

7. http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.scribd.com%2Fdoc%2F65614823

%2FVI%25C5%25A0EKRITERIJSKA-OPTIMIZACIJA&h=0AQE-qvA_ (16.5.2012.)

8. http://web.efzg.hr/dok/INF/Ceric/SPO/%282c%29_vi%C5%A1ekriterijsko_odlu%C4%8Diva

nje.pdf (16.5.2012.)

9. http://web.efzg.hr/dok/OIM/dtipuric/7%20-Vi%C5%A1ekriterijsko%20odlu%C4%8Divanje-

2010.pdf (17.5.2012.)

10. http://www.scribd.com/doc/71739581/Teorije-odlucivanja