uvod u viŠekriterijsko programiranje (23.05.2012.) · uvod u viŠekriterijsko programiranje doc....
TRANSCRIPT
1. Pojam višekriterijskog programiranja
Višekriterijsko programiranje je složen proces određivanja
nedominiranih rješenja iz skupa mogućih rješenja i određivanje
preferiranog rješenja iz skupa nedominiranih rješenja. Osnovne
su faze višekriterijskog programiranja:
o definiranje ciljeva sustava i određivanje načina postizanja tih
ciljeva
o matematički opis sustava i definiranje načina vrednovanja
kriterijskih (ciljnih) funkcija
o primjena postojećih metoda VP
o donošenje konačne odluke
o ako konačno rješenje nije usvojeno, srediti nove informacije i
ponoviti postupak od 2. faze ponovnim definiranjem zadatka
(Opricović[1986]).
9.5.2017 2
I u jednokriterijskom programiranju javljaju se navedene faze, ali
nisu naglašene jer se tu pod programiranjem obično
podrazumijeva određivanje optimalnog rješenja, što odgovara
trećoj fazi višekriterijskog programiranja.
Pri rješavanju problema s više funkcija kriterija, koje su
istovremeno nesrazmjerne i/ili konfliktne, želi se postići više
nego jednim kriterijem u izboru pravaca akcije,
zadovoljavajući uvjete diktirane okolinom, procesima i
resursima.
Za rješavanje modela VP u posljednjih tridesetak godina razvijen
je veliki broj metoda. Metode VP zasnivaju se na konceptu
optimalnosti koji je dao talijanski ekonomist V. Pareto 1896.
godine.
U literaturi se pored termina višekriterijsko programiranje za
izražavanje istog sadržaja koriste i termini: vektorska
optimizacija i multikriterijalna optimizacija.9.5.2017 3
Pojam Pareto optimalnosti uveden je u operacijska istraživanja
1951. godine u pionirskom radu Koopmansa (Koopmans [1951]).
Uopćeniji prilaz, promatran kao problem maksimizacije
vektorske funkcije nad ograničenim skupom ograničenja,
naveden je u radu Kuhna i Tuckera [1951]. Treba također
spomenuti i rad: Markowitz [1956], koji je primijenio pojam
nedominiranog skupa.
2. Model višekriterijskog programiranja
Pod modelom VP podrazumijeva se model programiranja s dvije
ili više funkcija kriterija na nekom skupu mogućih rješenja.
Matematički oblik ovog modela možemo prikazati na sljedeći
način:
pri ograničenjima (p.o.)
1max ( ),..., ( ) , (k 2)
kf f x f x
( ) 0, 1,...,i
g x i m 9.5.2017 4
ili u vektorskom obliku:
p.o.
gdje je n-dimenzionalni vektor.
• Iz izraza (2.1) vidljivo je da u modelu VP postoji k funkcija
kriterija koje treba maksimizirati, m ograničenja i n varijabli. Ako
su u modelu sve funkcije i linearne, onda je riječ o
modelu višekriterijskog linearnog programiranja. Međutim, ako
je neka od tih funkcija nelinearna, radi se o modelu
višekriterijskog nelinearnog programiranja.
• Ako se u modelu nađu funkcije koje je potrebno minimizirati,
dovoljno je te funkcije pomnožiti s (-1).
max ( )f x
( ) 0g x
x
(2.1)
(2.2)
( )j
f x ( )i
g x
9.5.2017 5
3. Klasifikacija metoda višekriterijskog programiranja
• Do sada je u literaturi poznato više klasifikacija metoda VP.
Najznačajniji pregled metoda VP i njihova klasifikacija dani su u
radovima: Roy [1971], Mac-Crimmon [1973], Cohon i Marks
[1975], Bell, Keeney i Raiffa [1975], Star i Zeleny [1977],
Hwang i Masud [1979], Ho [1979], Despontion i Spronk [1979],
Zionts [1980], Chankong i Haimes [1983], Yu [1985], Steuer
[1985], Fandel i Spronk (Editors) [1985], Lai i Hwang [1996],
Figueira, Greco i Erhgott (Editors) [2005].
• Sve poznate klasifikacije metoda u biti su različite jer polaze od
različitog skupa metoda i različitih kriterija klasifikacije. Mi
ćemo dati klasifikaciju metoda VP imajući u vidu sve značajnije
metode, a polazeći od odgovarajućih kriterija.
• Naša klasifikacija uglavnom se oslanja na rad: Hwang i Masud
[1979].9.5.2017 6
• Prema prirodi varijabli u sustavu koji se optimizira sve metode
VP možemo podijeliti na determinističke i stohastičke. Prema
kvaliteti elementarnih aktivnosti sve metode VP možemo
podijeliti na metode s kontinuiranim varijablama i metode s
diskretnim varijablama, a prema kriteriju linearnosti funkcija
kriterija i ograničenja na metode linearnog i nelinearnog
višekriterijskog programiranja.
• Prema broju mogućih rješenja determinističke metode VP
možemo podijeliti na: (1) metode za određivanje jednog ili više
nedominiranih rješenja i (2) metode za izbor preferiranog rješenja
iz konačnog skupa nedominiranih rješenja.
• Karakteristike proizvodnih problema uvjetuju razmatranje
uglavnom detrminističkih linearnih i nelinearnih metoda VP s
kontinuiranim i diskretnim varijablama. Zbog toga će se u ovom
radu obrađivati samo ovu klasu metoda.
9.5.2017 7
Determinističke metode VP s kontinuiranim varijablama za
određivanje jednog ili više nedominiranih rješenja prema
kriteriju postojanja i karaktera preferencije donositelja
odluke možemo svrstati u četiri grupe:
1. metode kod kojih ne postoji jasno izražena preferencija
donositelja odluke
2. metode kod kojih postoji jasno izražena preferencija donositelja
odluke
3. interaktivne metode
4. metode s a posteriori izraženom preferencijom donositelja
odluke.
Najznačajnije su linearne metode VP kod kojih ne postoji jasno
izražena preferencija donositelja odluke:
1. metoda globalnog kriterija
2. Riderova metoda.
9.5.2017 8
Metode VLP s a priori jasno izraženom preferencijom donositelja
odluke možemo podijeliti u dvije grupe:
1. metode kod kojih postoji “glavna” informacija donositelja
odluke, među kojima se ističu: (a) metoda funkcija korisnosti,
(b) granična ciljna metoda, (c) Briskinova metoda, (d) Haimes i
Wismerova metoda, (e) Philipova metoda, (f) Staintonova
metoda i (g) Waltzova metoda.
2. metode kod kojih postoji “glavna” i “redna” informacija
donositelja odluke, a među njima značajno mjesto zauzimaju: (a)
linearno ciljno programiranje, (b) leksikografska metoda, (c)
metoda postignuća cilja i (d) Klahrova metoda.
Glavna informacija odnosi se na poželjne vrijednosti funkcija
kriterija koje određuje donositelj odluke.
Redna informacija odnosi se na značajnosti pojedinih
kriterijskih funkcija koje određuje donositelj odluke.
9.5.2017 9
Interaktivne metode VLP možemo podijeliti u dvije grupe:
1. metode s eksplicitnom razmjenom informacija, među kojima se
ističu: (a) metoda surogat vrijednosti razmjene, (b) metoda
Zionts - Walleniusova, (c) Geoffrionova metoda, (d) interaktivno
ciljno programiranje, (e) metoda zadovoljenja ciljeva, (f)
Candlerova metoda i (g) Flavell i Salkinova metoda.
2. metode s implicitnom razmjenom informacija, među koje
možemo ubrojiti: (a) metodu STEM, (b) Stewartovu metodu, (c)
metodu SEMOPS, (d) metodu GP STEM, (e) Whiteovu metodu
i (f) Steuerovu metodu.
9.5.2017 10
Metode s a posteriori jasno izraženom preferencijom kod kojih
postoji implicitna informacija o razmjenama jesu: (a)
parametarska metoda, (b) metoda ograničenja, (c) metoda MOLP
i (d) metoda pretraživanja.
Najznačajnije metode za izbor preferiranog rješenja iz skupa
nedominiranih rješenja jesu:
1. iterativno kompromisno rangiranje
2. metoda PROMETHEE
3. metoda ELECTRE
4. metoda AHP.
9.5.2017 11
4. Osnovni pojmovi i terminologija
U literatuturi koja obrađuje probleme VP najčešće se upotrebljavaju sljedeća četiri pojma: atributi, objekti, ciljevi i kriteriji (Engleski: Attributtes, Objectives, Goals, Criteria).
Definicija 1: Atributi
Atributi su osobine ili kvalitete parametara alternativa. Ovaj se termin upotrebljava kod tzv. višeatributnog odlučivanja kod kojeg se vrši selekcija “najboljih” iz skupa unaprijed određenih alternativa. Određivanje “najboljih” alternativa vrši se na temelju njihovih atributa. Neke od metoda višeatributnog odlučivanja mogu se upotrebljavati za izbor preferiranog rješenja iz skupa nedominiranih rješenja pa je ovaj termin često prisutan u literaturi koja obrađuje probleme višekriterijskog odlučivanja.
Definicija 2: Objekti
Objekti su pravci aktivnosti koji odražavaju želju donositelja odluke i ukazuju na pravac u kojemu donositelj odluke želi organizirati posao.
9.5.2017 12
Definicija 3: Ciljevi
Ciljevi su razine želja koje je donositelj odluke odredio u
uvjetima specifičnog stanja u prostoru i vremenu. Prema tome,
postoji razlika između objekata i ciljeva. Objekti daju željeni
pravac, a ciljevi željenu razinu ostvarenja. Međutim, u
literaturi ova je razlika zamagljena i ove dvije riječi se često
upotrebljavaju zamjenski. Mi ćemo u ovom radu upotrebljavati
ove termine u smislu gornjih definicija.
Definicija 4: Kriteriji
Etimološko značenje riječi kriterij jest standard za ocjenu ili
pravilo za ispitivanje prihvatljivosti. Međutim, u literaturi koja
obrađuje probleme VP obično se ne pravi razlika između riječi
kriterij i cilj. Po našem mišljenju između kriterija i cilja postoji
razlika. Naime, kriterij je neposredna dimenzija dostizanja cilja.
9.5.2017 13
Definicija 5: Skup dopustivih rješenja X
Skup dopustivih rješenja X jest skup vektora x koji zadovoljavaju
ograničenja
, tj. X = (2.3)
Skup X jest podskup vektora realnog n-dimenzionalnog
vektorskog prostora, tj. X Rn.
Definicija 6: Kriterijski skup F
• Svakom elementu iz X pridružen je vektor , što znači da je
moguće preslikati X u F u prostoru funkcija kriterija. F je
kriterijski skup koji možemo definirati na sljedeći način:
F= . (2.4)
( ) 0g x ( ) 0 .x g x
( )f x
( )f x x X
9.5.2017 14
• Definicija 7: Optimalno (marginalno) rješenje
• Optimalno (marginalno) rješenje predstavlja maksimum svake
komponente vektora na skupu dopustivih rješenja X, to jest:
max ,
p.o.
(2.5)
Definicija 8: Idealna vrijednost vektorske funkcije (ideal)
• Vektor , čija je j-ta komponenta
ekstremna vrijednost funkcije na skupu dopustivih rješenja
X, naziva se idealna vrijednost vektorske funkcije
( )f x* *
( ) ( ) , 1, ...,j
j j jf x f x f j k
x X
* * * *
1 2, , ...,
kf f f f
( )j
f x
( ).f x
9.5.2017 15
Definicija 9: Savršeno rješenje
Savršeno rješenje modela VP jest ono koje daje maksimalnu
vrijednost svake funkcije kriterija istovremeno. Tako je,
savršeno rješenje danog modela ako i samo ako je
i za svako Budući da je u prirodi modela
VP da imaju konfliktne ciljeve, oni uglavnom nemaju savršeno
rješenje, odnosno ono je nedopustivo.
Definicija 10: Nedominirano rješenje
je nedominirano rješenje modela VP ako ne postoji neko
drugo dopustivo takvo da je , podrazumijevajući
da je za sve j = 1, ... , k, sa striktnom
nejednakošću za najmanje jedno j.
U literaturi je nedominirano rješenje poznato i kao: Pareto
optimalno rješenje, efikasno ili neinferiorno rješenje.
Pored pojma nedominiranosti rješenja uveden je i pojam tzv.
prave nedominiranosti rješenja (Kuhn i Tucker [1951], Geoffrion
[1968]).
*x
*x X
*( ) ( )f x f x .x X
*x
x *( ) ( )f x f x
*( ) ( )
j jf x f x
9.5.2017 16
Definicija 11: Preferirano rješenje
Preferirano rješenje jest nedominirano rješenje koje je izabrao
donositelj odluke, uz pomoć nekih drugih kriterija, kao konačno.
Kao takvo, ono leži u području prihvatljivom za vrijednosti svih
funkcija kriterija danog modela. Preferirano rješenje poznato je i
pod nazivom najbolje kompromisno rješenje.
5. Metode višekriterijalnog linearnog programiranja
Kao što je prethodno naglašeno, u literaturi je poznat veliki broj
metoda za rješavanje modela VLP kojima se određuje jedno ili
više nedominiranih rješenja. Mi smo sve te metode svrstali u
četiri grupe primjenom kriterija postojanja i karaktera
preferencije donositelja odluke.
9.5.2017 17
Ovdje ćemo dokazati najznačajnije teoreme koji služe kao osnova
algoritamskih pristupa metoda koje ćemo razmatrati. Sve metode
VLP koje ćemo obrađivati zasnivaju se na karakterizaciji
nedominiranih rješenja u uvjetima rješavanja odgovarajućih
skalarnih modela optimizacije.
• Teorem 2.1.
• je nedominirano rješenje modela VLP ako i samo ako je
rješenje modela
max
p.o.
(2.9)
• gdje je
,
• za svako l = 1, ... , k, gdje je za j = 1, ..., k; j l.
*x
*x
( )l
f x
x X
( ) , 1,..., , j j
f x j k j l
T
1 1 1, ..., , , ...,
l l k
*( )
j jf x
9.5.2017 18
Dokaz: (1) Nužan uvjet: neka je nedominirano rješenje.
Pretpostavimo da ono ne rješava model -ograničenja za neko l gdje
je za j = 1, ... , k; j l. Tada tu postoji rješenje
takvo da je i kada je j l. Ovo je u
kontradikciji s nedominiranošću rješenja , pa nije rješenje
modela (2.9) za bilo koju kriterijsku funkciju.
(2) Dovoljan uvjet: Budući da je rješenje modela (2.9) za svako l
= 1, ..., k, onda tu ne postoji ni jedno drugo takvo da je
Ovo je definicija nedominiranog rješenja za .
Teorem 2.2.
Ako je rješenje modela (2.9) za neko l i ako je rješenje
jedinstveno, onda je nedominirano rješenje modela
višekriterijskog programiranja.
Dokaz. Slijedi direktno iz definicije nedominiranosti.
*x X
*
( )j j
f x x X*
( ) ( )l l
f x f x*
( ) ( )j j
f x f x *
x*
x
*x
x X*
( ) ( )l l
f x f x i*
( ) ( ),j j
f x f x j = 1, ..., k, kada je j l. *
x
*x
*x
9.5.2017 19
Budući da je jedinstveno rješenje modela (2.9) za neko l, onda je
za svako x koje zadovoljava j l,
Prema tome, niti jedno fj, j l ne može se povećati bez smanjenja fl.
Teoremi 1 i 2 upotrebljavaju se u stvaranju nedominiranih rješenja
te u testiranju nedominiranosti neke točke kod modela s
procedurom (model 2.9)).
• Teorem 2.3.
je nedominirano rješenje modela VP ako postoji takvo da
je rješenje modela
max
p.o.
gdje je skup nenegativnih težina W =
i ako vrijedi jedan od sljedeća dva uvjeta:
*x
*( ) ( ),
j jf x f x
*( ) ( ).
l lf x f x
*x w W
*x
1
( )k
j j
j
w f x
,x X
1
, 0, 1 ,k
n
j j
j
w w R w w
9.5.2017 20
(2.10)
(1) za sve j = 1, ... , k (Geoffrion [1968], Kuhn i Tucker
[1951] ili Yu [1974]) ili
(2) je jedinstveno rješenje modela (2.10) (Zadeh[1963] i Yu
[1974]).
Dokaz:
• Neka je x* rješenje modela (2.10) za neko . Onda,
• Pretpostavimo da je x X*. Onda tu postoji takvo da
je Ova pretpostavka zajedno s (1) implicira da
je što je u suprotnosti s (2.11).
0j
w
*x
w W
*
1
( ) ( ) 0k
j j j
j
w f x f x
za sve x X. (2.11)
x X*
( ) ( ).f x f x
*
1
( ) ( ) 0k
j j j
j
w f x f x
9.5.2017 21
Ako (2) važi, onda izraz (2.11) postaje
za sve x X, dok pretpostavka implicira postojanje x X takvo da
je , što je u kontradikciji jedno s
drugim. Prema tome, ako važi ili (1) ili (2), a x* je rješenje modela
(2.11) za neko w W, onda je x* X*.
Teorem 2.3., uz pretpostavku konveksnosti skupa dopustivih
rješenja, osigurava osnove za stvaranje nedominiranih rješenja
modela s težinskom procedurom za neko w W (model (2.11)).
*
1
( ) ( ) 0k
j j j
j
w f x f x
*
1
( ) ( ) 0k
j j j
j
w f x f x
9.5.2017 22
Teorem 2.4.
• Neka je x* rješenje modela
p.o.
x X, (2.12)
gdje je , pri čemu je x X, a wj težinski
koeficijenti i za bilo koje . Kada je (1) x*
jedinstveno rješenje modela (2.12) ili je (2) wj > 0 za sve j = 1, ... ,
k, onda je x* nedominirano rješenje modela VLP.
*
1
min ( )
pk
j j j
j
w f f x
*(max) ( )
j jf f x
1
1k
j
j
w
1 p
9.5.2017 23
Dokaz:
Neka je x* rješenje modela (2.12) za bilo koje i za neko
w W. Tada je
za sve x X. (2.13)
• Pretpostavimo da je x X. Onda tu postoji takvo da
je , pri čemu važi striktna nejednakost za najmanje
jedno j = 1, ... , k, budući da je po definiciji za
sve x X. Prema tome, za bilo koje ,
1 p
** *
1
( ( ) ( ) ) 0
pk p
j j j j j
j
w f f x f f x
x X
*( ) ( )
j jf x f x
*( )
j jf f x
1 p
** *( ) ( )
p p
j j j jf f x f f x sa striktnom nejednakošću koja
važi za najmanje jedno j = 1, ... , k.
9.5.2017 24
Uzimajući u obzir nenegativnost wj, iz posljednje nejednakosti
slijedi da je
. (2.14)
Sada kad važi (1) iz gornjeg teorema, striktna nejednakost
dominira u (2.13), što je u kontradikciji s (2.14). Ili, ako važi (2) iz
teorema 2.4., tada dominira striktna nejednakost u (2.14), što je
ponovno u kontradikciji s (2.13). Prema tome, ako važi ili (1) ili (2)
iz ovog teorema, x* mora biti nedominirano rješenje modela VLP.
** *
1
( ( ) ( ) ) 0k p p
j j j j j
j
w f f x f f x
9.5.2017 25
Teorem 2.4. primjenjuje se kod prilaza težinske norme, koji se može
interpretirati kao pokušaj minimizacije odstupanja od idealne
(utopijske) točke . Rješenje dobiveno na taj
način za bilo koje i naziva se kompromisno rješenje
(Yu [1973], Zeleny [1973]).
Dobro je poznata varijanta modela težinske norme dobivena tako da
se idealni vektor zamijenio s tzv. ciljnim vektorom ,
koji je unaprijed odredio donositelj odluke. Na taj način formiran
model postaje generalizirana (uopćena) verzija tzv. ciljnog
programiranja:
p. o. (2.15)
* * * *
1 2, , ...,
kf f f f
0w 1 p
1 2, , ...,
kf f f f
min ( )p
j jjw f f x
.x X9.5.2017 26
Međutim, ako nije “prikladan skup”, rješenje modela ciljnog
programiranja nije nedominirano, čak i ako su zadovoljeni uvjeti
(1) i (2) iz teorema 2.4.
5.1. Interaktivne metode VP koje se zasnivaju na implicitnoj
informaciji na razmjenama
Metode iz ove grupe ne zahtijevaju eksplicitnu informaciju od
donositelja odluke. Za razliku od metoda koje se zasnivaju na
eksplicitnoj informaciji o razmjenama, kod ovih metoda donositelj
odluke ima više povjerenja prilikom označavanja dostizanja
prihvatljivih razina kriterija. Najznačajnija metoda iz ove grupe jest
“metoda koraka” (STEM).
jf
9.5.2017 27
5.1.1. Metoda STEM
Seriju sličnih i međusobno povezanih metoda predložili su:
Benayoun, Larichev, de Montgolfier te Tergny i Keuneman
( [1970], [1971] i [1971a]).
Ova metoda jedna je od prvih interaktivnih metoda za rješavanje
modela VLP. Matematička formulacija modela VLP (specifični
slučaj modela (2.1) ima sljedeći oblik:
p.o.
ili u vektorskoj formi
1 2
1 1 1
max , , ...,n n n
i i i i ki i
i i i
f c x c x c x
1
1,...,n
il i l
i
a x b l m
0, 1,..., ,i
x i n
9.5.2017 28
p.o.
Metoda STEM dopušta donositelju odluke prepoznavanje “dobrih”
rješenja i relativnu važnost funkcija kriterija. Kod ove metode faze
računanja interaktivno se izmjenjuju s fazama odlučivanja.
Rješavanje modela VLP primjenom ove metode vrši se primjenom
sljedećeg algoritma:
• Korak 0: Konstrukcija pay-off tablice optimalnih
(marginalnih) rješenja.
• Pay-off tablica optimalnih (marginalnih) rješenja konstruira se prije
prvog iterativnog ciklusa.
T T T
1 2max , ,..., kf c x c x c x
,Ax b
0.x
(2.38)
9.5.2017 29
• Neka su , j = 1, ..., k optimalna rješenja sljedećih k modela:
p.o.
• Formirajmo tablicu čiji j-ti redak odgovara vektoru , koji
maksimizira funkciju kriterija fj; zij vrijednost je funkcije fi, kad j-
ta funkcija kriterija dostiže svoj maksimum .
*
jf
T T 1 2
max ( ), ( ), ..., ( ) ( ) , 1,...,k j j
f f x f x f x f x c x j k
,Ax b
0.x
jx
*.
jf
9.5.2017 30
Korak 1. Faza računanja
U m-tom ciklusu treba naći dopustivo rješenje koje je “najbliže”, u
minimaks smislu, idealu , rješavajući sljedeći model linearnog
programiranja:
*
jf
9.5.2017 31
min f
p.o. (2.40)*( ) , 1,...,
j j jf f x j k
,m
x X
0,
Gdje Xm uključuje sve za koje je te neka ograničenja
dodana u (m-1)-om ciklusu; daje relativnu važnost odstupanja
od optimuma. Napomenimo da su koeficijenti samo lokalno
značajni i da nemaju toliko značenje kao težine u metodi funkcija
korisnosti.
Razmotrimo j-ti stupac tablice 2.9. je maksimalna vrijednost
stupca. Neka je minimalna vrijednost, pa će se onda birati
tako da je:
0x ,Ax b
j
j
*
jf
min
jf j
9.5.2017 32
,j
j
i
i
a
a
gdje je ako je
ako je
a cji koeficijenti j-te funkcije kriterija. Vrijednost aj sastoji se iz dva
izraza:
* min
*
2
1
1,
( )
j j
jn
j
ji
i
f fa
fc
*0,
jf
min *
min
2
1
1,
( )
j j
jn
j
ji
i
f fa
fc
*0,
jf
* min
*
j j
j
f f
f
min *
min
j j
j
f f
f
2
1
1.
( )n
ji
i
c
ili i
9.5.2017 33
Prvi dio izraza aj znači da ako se optimalno (marginalno) rješenje i
minimalna vrijednost funkcije kriterija za dano optimalno
(marginalno) rješenje međusobno puno ne razlikuju, tada pri
variranju x odgovarajuća funkcija kriterija nije previše osjetljiva na
promjene u težinskim koeficijentima pa joj je dodijeljena mala
težina . Povećanjem osjetljivosti, na odgovarajući način,
povećava se i težina . Drugi dio izraza normalizira vrijednost
funkcija kriterija. aj se upotrebljava pri određivanju težina , na
takav način da zbroj bude jednak 1. Na taj se način omogućuje
usporedivost različitih rješenja dobivenih raznim metodama
težinskih koeficijenata.
j
j
j
j
9.5.2017 34
Korak 2. Faza odlučivanja
Kompromisno rješenje prezentira se donositelju odluke koji
uspoređuje njegov kriterijski vektor s idealnim vektorom.
Ako su neke od funkcija kriterija zadovoljavajuće, a druge nisu,
donositelj odluke mora ublažiti zadovoljavajući kriterij
dovoljno da dopusti poboljšanje nezadovoljavajućih kriterija u
sljedećem iterativnom ciklusu. Donositelj odluke daje kao
iznos prihvatljivog ublažavanja.
Za sljedeći iterativni ciklus dopustivo je područje modificirano:
mx
mf
*f
m
jf
jf
1( ) ( )
( ) ( ); ; , 1, ..., .
m
mm
j j j
m
i i
X
X f x f x f
f x f x i j i j k
9.5.2017 35
Određuje se težina = 0 i tada počinje faza računanja ( m+1)-og
ciklusa.
Pomoć donositelju odluke u određivanju zadovoljavajućih razina
funkcija kriterija i iznosa ublažavanja u fazi odlučivanja, analitičar
može ostvariti standardnom analizom osjetljivosti, prikazujući
ponašanje različitih funkcija kriterija o okolici optimalnog rješenja
xm (na m-toj iteraciji modela linearnog programiranja).
Jednostavan način na koji analitičar može pomoći jest rješavanjem
u tijeku faze računanja m-tog ciklusa nekoliko modela linearnog
programiranja s dopustivim područjima Xm kojima odgovara
nekoliko ulaza , takvim da je
j
jf 1 2
0 ... .m
j j jf f f
9.5.2017 36
( je maksimalno dopustivo ublažavanje). Iz tih rješenja
donositelj odluke može izabrati za njega zadovoljavajuće rješenje.
Numerički primjer:
Poduzeće proizvodi dva proizvoda, proizvod I i proizvod II. Za
proizvodnju jedne jedinice proizvoda I potrebna su 2 sata i 1 sat na
strojevima A i B, respektivno. Za jednu jedinicu proizvoda II
potrebna su 3 sata na stroju A i 4 sata na stroju B. Oba stroja
raspoloživa su 12 sati. Prodajne cijene za proizvod I i II su 0.8 i 2
novčanih jedinica po kg, respektivno. Potrebno je maksimizirati
prihod od prodaje proizvoda i ukupnu proizvodnju.
m
jf
9.5.2017 37
Formulacija modela:
p.o.
Prvo je potrebno izračunati i prikazati pay-off tablicu optimalnih
(marginalnih) rješenja:
1 1 2max ( ) 0.8 2f x x x
2 1 2max ( )f x x x
1 22 3 12x x
1 24 12x x
1 2, 0.x x
9.5.2017 38
Iteracija broj 1:
Korak 1. Faza računanja
a) Izračunavanje težina
* min
1 1
1 * 2 2 2 21 11 12
1 6.72 4.8 10.133;
6.72 0.8 2
f fa
f c c
* min
2 2
2 * 2 2 2 22 21 22
1 6 4.8 10.142;
6 1 1
f fa
f c c
9.5.2017 39
1
1
1 2
0.1330.484;
0.133 0.142
a
a a
2
2
1 2
0.1420.516.
0.133 0.142
a
a a
Rješavanje modela LP:
p.o.
Prvo ponuđeno kompromisno rješenje jest:
min
1 2
1 2
, 0
0.484(0.8 2 ) 0.484 6.721
0.516( ) 0.516 6.
x X
x x
x x
1 1 1
1 2( , ) (3.84, 1.44);x x x
1 1 1
1 2( , ) (5.95, 5.28).f f f
9.5.2017 40
Korak 2. Faza odlučivanja
Kompromisno rješenje prezentira se donositelju odluke, koji
uspoređuje dobiveno rješenje s idealnom točkom. Ako je donositelj
odluke zadovoljan razinom vrijednosti , tada on/ona mora
smanjiti dovoljno da dopusti poboljšanje nezadovoljenog .
• Ako je = 0,20 prihvatljiv iznos smanjenja, dopustivo se rješenje
modificira u sljedećem iterativnom ciklusu:
1
2f
1
2f 1
1f
2f
1
12
2 2 2
1
1 1
( ) ( ) 5.28 0.20 5.08
( ) ( ) 5.95
X
X f x f x f
f x f x
9.5.2017 41
• Iteracija broj 2:
• Korak 1: Faza računanja
a) Izračunavanje težina
.
• Rješava se sljedeći model LP:
min
p.o.
• Dobiveno je sljedeće rješenje:
1 21, 0
2
1 2, 0, 0.8 2 6.72.x X x x
2 22 2 2 2
1 2 1 2( , ) (3.24, 1.84), ( , ) (6.27, 5.08).x x x f f f
9.5.2017 42
• Korak 2. Faza odlučivanja
• Kompromisno rješenje prezentira se donositelju odluke, koji
uspoređuje dobiveno rješenje s idealnom točkom. Ako su obje
vrijednosti vektora zadovoljavajuće, je konačno
(preferirano) rješenje.
• Treba napomenuti da su točke i nedominirana rješenja na
segmentu pravca BC (sve točke na segmentu pravca BC
nedominirana su rješenja).
2x
2f
2f
1x
2x
9.5.2017 43
Analiza osjetljivosti:
Kako bi se pomoglo donositelju odluke u određivanju
zadovoljavajućih razina kriterijskih funkcija i iznosa smanjenja
vrijednosti tih funkcija u fazi odlučivanja, analitičar može izvesti
standardnu analizu osjetljivosti, kako bi dobio ponašanje različitih
kriterijskih funkcija u okolici točke xm (na m-toj iteraciji rješavanja
modela LP). Najjednostavnije je riješiti nekoliko modela LP na
dopustivom skupu , tako da je:
U našem primjeru analitičar provodi analizu osjetljivosti u 2.
iteraciji, prije 2. koraka, faze odlučivanja.
mX
1 2
1 10 ... ;
m
jf f f ( je maksimum prihvatljivog
smanjenja).
m
jf
9.5.2017 44
Pri tome se rješavaju sljedeći modeli LP:
p.o.
Dobivena nedominirana rješenja prikazana su u sljedećoj tablici:
min
, 0x X
1 20.8 2 6.72x x
1 20.8 2 5.95x x
1
2 2 2( ) ( ) ; 1,2,...
lf x f x f l
9.5.2017 45