uvod u viŠekriterijsko programiranje (23.05.2012.) · uvod u viŠekriterijsko programiranje doc....

46
UVOD U VIŠEKRITERIJSKO PROGRAMIRANJE Doc. dr. sc. Tunjo Perić

Upload: others

Post on 16-Jan-2020

18 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

UVOD U VIŠEKRITERIJSKO

PROGRAMIRANJE

Doc. dr. sc. Tunjo Perić

1. Pojam višekriterijskog programiranja

Višekriterijsko programiranje je složen proces određivanja

nedominiranih rješenja iz skupa mogućih rješenja i određivanje

preferiranog rješenja iz skupa nedominiranih rješenja. Osnovne

su faze višekriterijskog programiranja:

o definiranje ciljeva sustava i određivanje načina postizanja tih

ciljeva

o matematički opis sustava i definiranje načina vrednovanja

kriterijskih (ciljnih) funkcija

o primjena postojećih metoda VP

o donošenje konačne odluke

o ako konačno rješenje nije usvojeno, srediti nove informacije i

ponoviti postupak od 2. faze ponovnim definiranjem zadatka

(Opricović[1986]).

9.5.2017 2

I u jednokriterijskom programiranju javljaju se navedene faze, ali

nisu naglašene jer se tu pod programiranjem obično

podrazumijeva određivanje optimalnog rješenja, što odgovara

trećoj fazi višekriterijskog programiranja.

Pri rješavanju problema s više funkcija kriterija, koje su

istovremeno nesrazmjerne i/ili konfliktne, želi se postići više

nego jednim kriterijem u izboru pravaca akcije,

zadovoljavajući uvjete diktirane okolinom, procesima i

resursima.

Za rješavanje modela VP u posljednjih tridesetak godina razvijen

je veliki broj metoda. Metode VP zasnivaju se na konceptu

optimalnosti koji je dao talijanski ekonomist V. Pareto 1896.

godine.

U literaturi se pored termina višekriterijsko programiranje za

izražavanje istog sadržaja koriste i termini: vektorska

optimizacija i multikriterijalna optimizacija.9.5.2017 3

Pojam Pareto optimalnosti uveden je u operacijska istraživanja

1951. godine u pionirskom radu Koopmansa (Koopmans [1951]).

Uopćeniji prilaz, promatran kao problem maksimizacije

vektorske funkcije nad ograničenim skupom ograničenja,

naveden je u radu Kuhna i Tuckera [1951]. Treba također

spomenuti i rad: Markowitz [1956], koji je primijenio pojam

nedominiranog skupa.

2. Model višekriterijskog programiranja

Pod modelom VP podrazumijeva se model programiranja s dvije

ili više funkcija kriterija na nekom skupu mogućih rješenja.

Matematički oblik ovog modela možemo prikazati na sljedeći

način:

pri ograničenjima (p.o.)

1max ( ),..., ( ) , (k 2)

kf f x f x

( ) 0, 1,...,i

g x i m 9.5.2017 4

ili u vektorskom obliku:

p.o.

gdje je n-dimenzionalni vektor.

• Iz izraza (2.1) vidljivo je da u modelu VP postoji k funkcija

kriterija koje treba maksimizirati, m ograničenja i n varijabli. Ako

su u modelu sve funkcije i linearne, onda je riječ o

modelu višekriterijskog linearnog programiranja. Međutim, ako

je neka od tih funkcija nelinearna, radi se o modelu

višekriterijskog nelinearnog programiranja.

• Ako se u modelu nađu funkcije koje je potrebno minimizirati,

dovoljno je te funkcije pomnožiti s (-1).

max ( )f x

( ) 0g x

x

(2.1)

(2.2)

( )j

f x ( )i

g x

9.5.2017 5

3. Klasifikacija metoda višekriterijskog programiranja

• Do sada je u literaturi poznato više klasifikacija metoda VP.

Najznačajniji pregled metoda VP i njihova klasifikacija dani su u

radovima: Roy [1971], Mac-Crimmon [1973], Cohon i Marks

[1975], Bell, Keeney i Raiffa [1975], Star i Zeleny [1977],

Hwang i Masud [1979], Ho [1979], Despontion i Spronk [1979],

Zionts [1980], Chankong i Haimes [1983], Yu [1985], Steuer

[1985], Fandel i Spronk (Editors) [1985], Lai i Hwang [1996],

Figueira, Greco i Erhgott (Editors) [2005].

• Sve poznate klasifikacije metoda u biti su različite jer polaze od

različitog skupa metoda i različitih kriterija klasifikacije. Mi

ćemo dati klasifikaciju metoda VP imajući u vidu sve značajnije

metode, a polazeći od odgovarajućih kriterija.

• Naša klasifikacija uglavnom se oslanja na rad: Hwang i Masud

[1979].9.5.2017 6

• Prema prirodi varijabli u sustavu koji se optimizira sve metode

VP možemo podijeliti na determinističke i stohastičke. Prema

kvaliteti elementarnih aktivnosti sve metode VP možemo

podijeliti na metode s kontinuiranim varijablama i metode s

diskretnim varijablama, a prema kriteriju linearnosti funkcija

kriterija i ograničenja na metode linearnog i nelinearnog

višekriterijskog programiranja.

• Prema broju mogućih rješenja determinističke metode VP

možemo podijeliti na: (1) metode za određivanje jednog ili više

nedominiranih rješenja i (2) metode za izbor preferiranog rješenja

iz konačnog skupa nedominiranih rješenja.

• Karakteristike proizvodnih problema uvjetuju razmatranje

uglavnom detrminističkih linearnih i nelinearnih metoda VP s

kontinuiranim i diskretnim varijablama. Zbog toga će se u ovom

radu obrađivati samo ovu klasu metoda.

9.5.2017 7

Determinističke metode VP s kontinuiranim varijablama za

određivanje jednog ili više nedominiranih rješenja prema

kriteriju postojanja i karaktera preferencije donositelja

odluke možemo svrstati u četiri grupe:

1. metode kod kojih ne postoji jasno izražena preferencija

donositelja odluke

2. metode kod kojih postoji jasno izražena preferencija donositelja

odluke

3. interaktivne metode

4. metode s a posteriori izraženom preferencijom donositelja

odluke.

Najznačajnije su linearne metode VP kod kojih ne postoji jasno

izražena preferencija donositelja odluke:

1. metoda globalnog kriterija

2. Riderova metoda.

9.5.2017 8

Metode VLP s a priori jasno izraženom preferencijom donositelja

odluke možemo podijeliti u dvije grupe:

1. metode kod kojih postoji “glavna” informacija donositelja

odluke, među kojima se ističu: (a) metoda funkcija korisnosti,

(b) granična ciljna metoda, (c) Briskinova metoda, (d) Haimes i

Wismerova metoda, (e) Philipova metoda, (f) Staintonova

metoda i (g) Waltzova metoda.

2. metode kod kojih postoji “glavna” i “redna” informacija

donositelja odluke, a među njima značajno mjesto zauzimaju: (a)

linearno ciljno programiranje, (b) leksikografska metoda, (c)

metoda postignuća cilja i (d) Klahrova metoda.

Glavna informacija odnosi se na poželjne vrijednosti funkcija

kriterija koje određuje donositelj odluke.

Redna informacija odnosi se na značajnosti pojedinih

kriterijskih funkcija koje određuje donositelj odluke.

9.5.2017 9

Interaktivne metode VLP možemo podijeliti u dvije grupe:

1. metode s eksplicitnom razmjenom informacija, među kojima se

ističu: (a) metoda surogat vrijednosti razmjene, (b) metoda

Zionts - Walleniusova, (c) Geoffrionova metoda, (d) interaktivno

ciljno programiranje, (e) metoda zadovoljenja ciljeva, (f)

Candlerova metoda i (g) Flavell i Salkinova metoda.

2. metode s implicitnom razmjenom informacija, među koje

možemo ubrojiti: (a) metodu STEM, (b) Stewartovu metodu, (c)

metodu SEMOPS, (d) metodu GP STEM, (e) Whiteovu metodu

i (f) Steuerovu metodu.

9.5.2017 10

Metode s a posteriori jasno izraženom preferencijom kod kojih

postoji implicitna informacija o razmjenama jesu: (a)

parametarska metoda, (b) metoda ograničenja, (c) metoda MOLP

i (d) metoda pretraživanja.

Najznačajnije metode za izbor preferiranog rješenja iz skupa

nedominiranih rješenja jesu:

1. iterativno kompromisno rangiranje

2. metoda PROMETHEE

3. metoda ELECTRE

4. metoda AHP.

9.5.2017 11

4. Osnovni pojmovi i terminologija

U literatuturi koja obrađuje probleme VP najčešće se upotrebljavaju sljedeća četiri pojma: atributi, objekti, ciljevi i kriteriji (Engleski: Attributtes, Objectives, Goals, Criteria).

Definicija 1: Atributi

Atributi su osobine ili kvalitete parametara alternativa. Ovaj se termin upotrebljava kod tzv. višeatributnog odlučivanja kod kojeg se vrši selekcija “najboljih” iz skupa unaprijed određenih alternativa. Određivanje “najboljih” alternativa vrši se na temelju njihovih atributa. Neke od metoda višeatributnog odlučivanja mogu se upotrebljavati za izbor preferiranog rješenja iz skupa nedominiranih rješenja pa je ovaj termin često prisutan u literaturi koja obrađuje probleme višekriterijskog odlučivanja.

Definicija 2: Objekti

Objekti su pravci aktivnosti koji odražavaju želju donositelja odluke i ukazuju na pravac u kojemu donositelj odluke želi organizirati posao.

9.5.2017 12

Definicija 3: Ciljevi

Ciljevi su razine želja koje je donositelj odluke odredio u

uvjetima specifičnog stanja u prostoru i vremenu. Prema tome,

postoji razlika između objekata i ciljeva. Objekti daju željeni

pravac, a ciljevi željenu razinu ostvarenja. Međutim, u

literaturi ova je razlika zamagljena i ove dvije riječi se često

upotrebljavaju zamjenski. Mi ćemo u ovom radu upotrebljavati

ove termine u smislu gornjih definicija.

Definicija 4: Kriteriji

Etimološko značenje riječi kriterij jest standard za ocjenu ili

pravilo za ispitivanje prihvatljivosti. Međutim, u literaturi koja

obrađuje probleme VP obično se ne pravi razlika između riječi

kriterij i cilj. Po našem mišljenju između kriterija i cilja postoji

razlika. Naime, kriterij je neposredna dimenzija dostizanja cilja.

9.5.2017 13

Definicija 5: Skup dopustivih rješenja X

Skup dopustivih rješenja X jest skup vektora x koji zadovoljavaju

ograničenja

, tj. X = (2.3)

Skup X jest podskup vektora realnog n-dimenzionalnog

vektorskog prostora, tj. X Rn.

Definicija 6: Kriterijski skup F

• Svakom elementu iz X pridružen je vektor , što znači da je

moguće preslikati X u F u prostoru funkcija kriterija. F je

kriterijski skup koji možemo definirati na sljedeći način:

F= . (2.4)

( ) 0g x ( ) 0 .x g x

( )f x

( )f x x X

9.5.2017 14

• Definicija 7: Optimalno (marginalno) rješenje

• Optimalno (marginalno) rješenje predstavlja maksimum svake

komponente vektora na skupu dopustivih rješenja X, to jest:

max ,

p.o.

(2.5)

Definicija 8: Idealna vrijednost vektorske funkcije (ideal)

• Vektor , čija je j-ta komponenta

ekstremna vrijednost funkcije na skupu dopustivih rješenja

X, naziva se idealna vrijednost vektorske funkcije

( )f x* *

( ) ( ) , 1, ...,j

j j jf x f x f j k

x X

* * * *

1 2, , ...,

kf f f f

( )j

f x

( ).f x

9.5.2017 15

Definicija 9: Savršeno rješenje

Savršeno rješenje modela VP jest ono koje daje maksimalnu

vrijednost svake funkcije kriterija istovremeno. Tako je,

savršeno rješenje danog modela ako i samo ako je

i za svako Budući da je u prirodi modela

VP da imaju konfliktne ciljeve, oni uglavnom nemaju savršeno

rješenje, odnosno ono je nedopustivo.

Definicija 10: Nedominirano rješenje

je nedominirano rješenje modela VP ako ne postoji neko

drugo dopustivo takvo da je , podrazumijevajući

da je za sve j = 1, ... , k, sa striktnom

nejednakošću za najmanje jedno j.

U literaturi je nedominirano rješenje poznato i kao: Pareto

optimalno rješenje, efikasno ili neinferiorno rješenje.

Pored pojma nedominiranosti rješenja uveden je i pojam tzv.

prave nedominiranosti rješenja (Kuhn i Tucker [1951], Geoffrion

[1968]).

*x

*x X

*( ) ( )f x f x .x X

*x

x *( ) ( )f x f x

*( ) ( )

j jf x f x

9.5.2017 16

Definicija 11: Preferirano rješenje

Preferirano rješenje jest nedominirano rješenje koje je izabrao

donositelj odluke, uz pomoć nekih drugih kriterija, kao konačno.

Kao takvo, ono leži u području prihvatljivom za vrijednosti svih

funkcija kriterija danog modela. Preferirano rješenje poznato je i

pod nazivom najbolje kompromisno rješenje.

5. Metode višekriterijalnog linearnog programiranja

Kao što je prethodno naglašeno, u literaturi je poznat veliki broj

metoda za rješavanje modela VLP kojima se određuje jedno ili

više nedominiranih rješenja. Mi smo sve te metode svrstali u

četiri grupe primjenom kriterija postojanja i karaktera

preferencije donositelja odluke.

9.5.2017 17

Ovdje ćemo dokazati najznačajnije teoreme koji služe kao osnova

algoritamskih pristupa metoda koje ćemo razmatrati. Sve metode

VLP koje ćemo obrađivati zasnivaju se na karakterizaciji

nedominiranih rješenja u uvjetima rješavanja odgovarajućih

skalarnih modela optimizacije.

• Teorem 2.1.

• je nedominirano rješenje modela VLP ako i samo ako je

rješenje modela

max

p.o.

(2.9)

• gdje je

,

• za svako l = 1, ... , k, gdje je za j = 1, ..., k; j l.

*x

*x

( )l

f x

x X

( ) , 1,..., , j j

f x j k j l

T

1 1 1, ..., , , ...,

l l k

*( )

j jf x

9.5.2017 18

Dokaz: (1) Nužan uvjet: neka je nedominirano rješenje.

Pretpostavimo da ono ne rješava model -ograničenja za neko l gdje

je za j = 1, ... , k; j l. Tada tu postoji rješenje

takvo da je i kada je j l. Ovo je u

kontradikciji s nedominiranošću rješenja , pa nije rješenje

modela (2.9) za bilo koju kriterijsku funkciju.

(2) Dovoljan uvjet: Budući da je rješenje modela (2.9) za svako l

= 1, ..., k, onda tu ne postoji ni jedno drugo takvo da je

Ovo je definicija nedominiranog rješenja za .

Teorem 2.2.

Ako je rješenje modela (2.9) za neko l i ako je rješenje

jedinstveno, onda je nedominirano rješenje modela

višekriterijskog programiranja.

Dokaz. Slijedi direktno iz definicije nedominiranosti.

*x X

*

( )j j

f x x X*

( ) ( )l l

f x f x*

( ) ( )j j

f x f x *

x*

x

*x

x X*

( ) ( )l l

f x f x i*

( ) ( ),j j

f x f x j = 1, ..., k, kada je j l. *

x

*x

*x

9.5.2017 19

Budući da je jedinstveno rješenje modela (2.9) za neko l, onda je

za svako x koje zadovoljava j l,

Prema tome, niti jedno fj, j l ne može se povećati bez smanjenja fl.

Teoremi 1 i 2 upotrebljavaju se u stvaranju nedominiranih rješenja

te u testiranju nedominiranosti neke točke kod modela s

procedurom (model 2.9)).

• Teorem 2.3.

je nedominirano rješenje modela VP ako postoji takvo da

je rješenje modela

max

p.o.

gdje je skup nenegativnih težina W =

i ako vrijedi jedan od sljedeća dva uvjeta:

*x

*( ) ( ),

j jf x f x

*( ) ( ).

l lf x f x

*x w W

*x

1

( )k

j j

j

w f x

,x X

1

, 0, 1 ,k

n

j j

j

w w R w w

9.5.2017 20

(2.10)

(1) za sve j = 1, ... , k (Geoffrion [1968], Kuhn i Tucker

[1951] ili Yu [1974]) ili

(2) je jedinstveno rješenje modela (2.10) (Zadeh[1963] i Yu

[1974]).

Dokaz:

• Neka je x* rješenje modela (2.10) za neko . Onda,

• Pretpostavimo da je x X*. Onda tu postoji takvo da

je Ova pretpostavka zajedno s (1) implicira da

je što je u suprotnosti s (2.11).

0j

w

*x

w W

*

1

( ) ( ) 0k

j j j

j

w f x f x

za sve x X. (2.11)

x X*

( ) ( ).f x f x

*

1

( ) ( ) 0k

j j j

j

w f x f x

9.5.2017 21

Ako (2) važi, onda izraz (2.11) postaje

za sve x X, dok pretpostavka implicira postojanje x X takvo da

je , što je u kontradikciji jedno s

drugim. Prema tome, ako važi ili (1) ili (2), a x* je rješenje modela

(2.11) za neko w W, onda je x* X*.

Teorem 2.3., uz pretpostavku konveksnosti skupa dopustivih

rješenja, osigurava osnove za stvaranje nedominiranih rješenja

modela s težinskom procedurom za neko w W (model (2.11)).

*

1

( ) ( ) 0k

j j j

j

w f x f x

*

1

( ) ( ) 0k

j j j

j

w f x f x

9.5.2017 22

Teorem 2.4.

• Neka je x* rješenje modela

p.o.

x X, (2.12)

gdje je , pri čemu je x X, a wj težinski

koeficijenti i za bilo koje . Kada je (1) x*

jedinstveno rješenje modela (2.12) ili je (2) wj > 0 za sve j = 1, ... ,

k, onda je x* nedominirano rješenje modela VLP.

*

1

min ( )

pk

j j j

j

w f f x

*(max) ( )

j jf f x

1

1k

j

j

w

1 p

9.5.2017 23

Dokaz:

Neka je x* rješenje modela (2.12) za bilo koje i za neko

w W. Tada je

za sve x X. (2.13)

• Pretpostavimo da je x X. Onda tu postoji takvo da

je , pri čemu važi striktna nejednakost za najmanje

jedno j = 1, ... , k, budući da je po definiciji za

sve x X. Prema tome, za bilo koje ,

1 p

** *

1

( ( ) ( ) ) 0

pk p

j j j j j

j

w f f x f f x

x X

*( ) ( )

j jf x f x

*( )

j jf f x

1 p

** *( ) ( )

p p

j j j jf f x f f x sa striktnom nejednakošću koja

važi za najmanje jedno j = 1, ... , k.

9.5.2017 24

Uzimajući u obzir nenegativnost wj, iz posljednje nejednakosti

slijedi da je

. (2.14)

Sada kad važi (1) iz gornjeg teorema, striktna nejednakost

dominira u (2.13), što je u kontradikciji s (2.14). Ili, ako važi (2) iz

teorema 2.4., tada dominira striktna nejednakost u (2.14), što je

ponovno u kontradikciji s (2.13). Prema tome, ako važi ili (1) ili (2)

iz ovog teorema, x* mora biti nedominirano rješenje modela VLP.

** *

1

( ( ) ( ) ) 0k p p

j j j j j

j

w f f x f f x

9.5.2017 25

Teorem 2.4. primjenjuje se kod prilaza težinske norme, koji se može

interpretirati kao pokušaj minimizacije odstupanja od idealne

(utopijske) točke . Rješenje dobiveno na taj

način za bilo koje i naziva se kompromisno rješenje

(Yu [1973], Zeleny [1973]).

Dobro je poznata varijanta modela težinske norme dobivena tako da

se idealni vektor zamijenio s tzv. ciljnim vektorom ,

koji je unaprijed odredio donositelj odluke. Na taj način formiran

model postaje generalizirana (uopćena) verzija tzv. ciljnog

programiranja:

p. o. (2.15)

* * * *

1 2, , ...,

kf f f f

0w 1 p

1 2, , ...,

kf f f f

min ( )p

j jjw f f x

.x X9.5.2017 26

Međutim, ako nije “prikladan skup”, rješenje modela ciljnog

programiranja nije nedominirano, čak i ako su zadovoljeni uvjeti

(1) i (2) iz teorema 2.4.

5.1. Interaktivne metode VP koje se zasnivaju na implicitnoj

informaciji na razmjenama

Metode iz ove grupe ne zahtijevaju eksplicitnu informaciju od

donositelja odluke. Za razliku od metoda koje se zasnivaju na

eksplicitnoj informaciji o razmjenama, kod ovih metoda donositelj

odluke ima više povjerenja prilikom označavanja dostizanja

prihvatljivih razina kriterija. Najznačajnija metoda iz ove grupe jest

“metoda koraka” (STEM).

jf

9.5.2017 27

5.1.1. Metoda STEM

Seriju sličnih i međusobno povezanih metoda predložili su:

Benayoun, Larichev, de Montgolfier te Tergny i Keuneman

( [1970], [1971] i [1971a]).

Ova metoda jedna je od prvih interaktivnih metoda za rješavanje

modela VLP. Matematička formulacija modela VLP (specifični

slučaj modela (2.1) ima sljedeći oblik:

p.o.

ili u vektorskoj formi

1 2

1 1 1

max , , ...,n n n

i i i i ki i

i i i

f c x c x c x

1

1,...,n

il i l

i

a x b l m

0, 1,..., ,i

x i n

9.5.2017 28

p.o.

Metoda STEM dopušta donositelju odluke prepoznavanje “dobrih”

rješenja i relativnu važnost funkcija kriterija. Kod ove metode faze

računanja interaktivno se izmjenjuju s fazama odlučivanja.

Rješavanje modela VLP primjenom ove metode vrši se primjenom

sljedećeg algoritma:

• Korak 0: Konstrukcija pay-off tablice optimalnih

(marginalnih) rješenja.

• Pay-off tablica optimalnih (marginalnih) rješenja konstruira se prije

prvog iterativnog ciklusa.

T T T

1 2max , ,..., kf c x c x c x

,Ax b

0.x

(2.38)

9.5.2017 29

• Neka su , j = 1, ..., k optimalna rješenja sljedećih k modela:

p.o.

• Formirajmo tablicu čiji j-ti redak odgovara vektoru , koji

maksimizira funkciju kriterija fj; zij vrijednost je funkcije fi, kad j-

ta funkcija kriterija dostiže svoj maksimum .

*

jf

T T 1 2

max ( ), ( ), ..., ( ) ( ) , 1,...,k j j

f f x f x f x f x c x j k

,Ax b

0.x

jx

*.

jf

9.5.2017 30

Korak 1. Faza računanja

U m-tom ciklusu treba naći dopustivo rješenje koje je “najbliže”, u

minimaks smislu, idealu , rješavajući sljedeći model linearnog

programiranja:

*

jf

9.5.2017 31

min f

p.o. (2.40)*( ) , 1,...,

j j jf f x j k

,m

x X

0,

Gdje Xm uključuje sve za koje je te neka ograničenja

dodana u (m-1)-om ciklusu; daje relativnu važnost odstupanja

od optimuma. Napomenimo da su koeficijenti samo lokalno

značajni i da nemaju toliko značenje kao težine u metodi funkcija

korisnosti.

Razmotrimo j-ti stupac tablice 2.9. je maksimalna vrijednost

stupca. Neka je minimalna vrijednost, pa će se onda birati

tako da je:

0x ,Ax b

j

j

*

jf

min

jf j

9.5.2017 32

,j

j

i

i

a

a

gdje je ako je

ako je

a cji koeficijenti j-te funkcije kriterija. Vrijednost aj sastoji se iz dva

izraza:

* min

*

2

1

1,

( )

j j

jn

j

ji

i

f fa

fc

*0,

jf

min *

min

2

1

1,

( )

j j

jn

j

ji

i

f fa

fc

*0,

jf

* min

*

j j

j

f f

f

min *

min

j j

j

f f

f

2

1

1.

( )n

ji

i

c

ili i

9.5.2017 33

Prvi dio izraza aj znači da ako se optimalno (marginalno) rješenje i

minimalna vrijednost funkcije kriterija za dano optimalno

(marginalno) rješenje međusobno puno ne razlikuju, tada pri

variranju x odgovarajuća funkcija kriterija nije previše osjetljiva na

promjene u težinskim koeficijentima pa joj je dodijeljena mala

težina . Povećanjem osjetljivosti, na odgovarajući način,

povećava se i težina . Drugi dio izraza normalizira vrijednost

funkcija kriterija. aj se upotrebljava pri određivanju težina , na

takav način da zbroj bude jednak 1. Na taj se način omogućuje

usporedivost različitih rješenja dobivenih raznim metodama

težinskih koeficijenata.

j

j

j

j

9.5.2017 34

Korak 2. Faza odlučivanja

Kompromisno rješenje prezentira se donositelju odluke koji

uspoređuje njegov kriterijski vektor s idealnim vektorom.

Ako su neke od funkcija kriterija zadovoljavajuće, a druge nisu,

donositelj odluke mora ublažiti zadovoljavajući kriterij

dovoljno da dopusti poboljšanje nezadovoljavajućih kriterija u

sljedećem iterativnom ciklusu. Donositelj odluke daje kao

iznos prihvatljivog ublažavanja.

Za sljedeći iterativni ciklus dopustivo je područje modificirano:

mx

mf

*f

m

jf

jf

1( ) ( )

( ) ( ); ; , 1, ..., .

m

mm

j j j

m

i i

X

X f x f x f

f x f x i j i j k

9.5.2017 35

Određuje se težina = 0 i tada počinje faza računanja ( m+1)-og

ciklusa.

Pomoć donositelju odluke u određivanju zadovoljavajućih razina

funkcija kriterija i iznosa ublažavanja u fazi odlučivanja, analitičar

može ostvariti standardnom analizom osjetljivosti, prikazujući

ponašanje različitih funkcija kriterija o okolici optimalnog rješenja

xm (na m-toj iteraciji modela linearnog programiranja).

Jednostavan način na koji analitičar može pomoći jest rješavanjem

u tijeku faze računanja m-tog ciklusa nekoliko modela linearnog

programiranja s dopustivim područjima Xm kojima odgovara

nekoliko ulaza , takvim da je

j

jf 1 2

0 ... .m

j j jf f f

9.5.2017 36

( je maksimalno dopustivo ublažavanje). Iz tih rješenja

donositelj odluke može izabrati za njega zadovoljavajuće rješenje.

Numerički primjer:

Poduzeće proizvodi dva proizvoda, proizvod I i proizvod II. Za

proizvodnju jedne jedinice proizvoda I potrebna su 2 sata i 1 sat na

strojevima A i B, respektivno. Za jednu jedinicu proizvoda II

potrebna su 3 sata na stroju A i 4 sata na stroju B. Oba stroja

raspoloživa su 12 sati. Prodajne cijene za proizvod I i II su 0.8 i 2

novčanih jedinica po kg, respektivno. Potrebno je maksimizirati

prihod od prodaje proizvoda i ukupnu proizvodnju.

m

jf

9.5.2017 37

Formulacija modela:

p.o.

Prvo je potrebno izračunati i prikazati pay-off tablicu optimalnih

(marginalnih) rješenja:

1 1 2max ( ) 0.8 2f x x x

2 1 2max ( )f x x x

1 22 3 12x x

1 24 12x x

1 2, 0.x x

9.5.2017 38

Iteracija broj 1:

Korak 1. Faza računanja

a) Izračunavanje težina

* min

1 1

1 * 2 2 2 21 11 12

1 6.72 4.8 10.133;

6.72 0.8 2

f fa

f c c

* min

2 2

2 * 2 2 2 22 21 22

1 6 4.8 10.142;

6 1 1

f fa

f c c

9.5.2017 39

1

1

1 2

0.1330.484;

0.133 0.142

a

a a

2

2

1 2

0.1420.516.

0.133 0.142

a

a a

Rješavanje modela LP:

p.o.

Prvo ponuđeno kompromisno rješenje jest:

min

1 2

1 2

, 0

0.484(0.8 2 ) 0.484 6.721

0.516( ) 0.516 6.

x X

x x

x x

1 1 1

1 2( , ) (3.84, 1.44);x x x

1 1 1

1 2( , ) (5.95, 5.28).f f f

9.5.2017 40

Korak 2. Faza odlučivanja

Kompromisno rješenje prezentira se donositelju odluke, koji

uspoređuje dobiveno rješenje s idealnom točkom. Ako je donositelj

odluke zadovoljan razinom vrijednosti , tada on/ona mora

smanjiti dovoljno da dopusti poboljšanje nezadovoljenog .

• Ako je = 0,20 prihvatljiv iznos smanjenja, dopustivo se rješenje

modificira u sljedećem iterativnom ciklusu:

1

2f

1

2f 1

1f

2f

1

12

2 2 2

1

1 1

( ) ( ) 5.28 0.20 5.08

( ) ( ) 5.95

X

X f x f x f

f x f x

9.5.2017 41

• Iteracija broj 2:

• Korak 1: Faza računanja

a) Izračunavanje težina

.

• Rješava se sljedeći model LP:

min

p.o.

• Dobiveno je sljedeće rješenje:

1 21, 0

2

1 2, 0, 0.8 2 6.72.x X x x

2 22 2 2 2

1 2 1 2( , ) (3.24, 1.84), ( , ) (6.27, 5.08).x x x f f f

9.5.2017 42

• Korak 2. Faza odlučivanja

• Kompromisno rješenje prezentira se donositelju odluke, koji

uspoređuje dobiveno rješenje s idealnom točkom. Ako su obje

vrijednosti vektora zadovoljavajuće, je konačno

(preferirano) rješenje.

• Treba napomenuti da su točke i nedominirana rješenja na

segmentu pravca BC (sve točke na segmentu pravca BC

nedominirana su rješenja).

2x

2f

2f

1x

2x

9.5.2017 43

Analiza osjetljivosti:

Kako bi se pomoglo donositelju odluke u određivanju

zadovoljavajućih razina kriterijskih funkcija i iznosa smanjenja

vrijednosti tih funkcija u fazi odlučivanja, analitičar može izvesti

standardnu analizu osjetljivosti, kako bi dobio ponašanje različitih

kriterijskih funkcija u okolici točke xm (na m-toj iteraciji rješavanja

modela LP). Najjednostavnije je riješiti nekoliko modela LP na

dopustivom skupu , tako da je:

U našem primjeru analitičar provodi analizu osjetljivosti u 2.

iteraciji, prije 2. koraka, faze odlučivanja.

mX

1 2

1 10 ... ;

m

jf f f ( je maksimum prihvatljivog

smanjenja).

m

jf

9.5.2017 44

Pri tome se rješavaju sljedeći modeli LP:

p.o.

Dobivena nedominirana rješenja prikazana su u sljedećoj tablici:

min

, 0x X

1 20.8 2 6.72x x

1 20.8 2 5.95x x

1

2 2 2( ) ( ) ; 1,2,...

lf x f x f l

9.5.2017 45

Na temelju analize osjetljivosti, donositelju odluke je olakšano

usvajanje preferiranog rješenja.

9.5.2017 46