VIBRAÇÕES DE SISTEMAS MECÂNICOS

1. VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO

Como base para um sistema de vibrações mecânicas, estabeleceremos uma

condição teórica de analise de sistemas, utilizando um sistema elástico de

suspensão, genericamente designado por mola e desprezando, inicialmente a

massa da mola e as resistências passivas que promovem o amortecimento.

1.1 Constantes das Molas

Chamamos genericamente de mola, todo sistema elástico de sustentação que

obedece a “lei de Hook”, a qual estabelece as proporcionalidades entre cargas e

deformações.

1.1.1 Constantes das molas que resistem a deslocamentos de translação

Este sistema é todo aquele que fica sujeito a esforços normais ou a momentos

fletores.

A experiência demostra que o equilíbrio de P, colocado cuidadosamente a não

adquirir velocidade, não se da imediatamente no comprimento original da

suspensão elástica, mas sim depois de um deslocamento δᵉ (deslocamento

elástico).

De acordo com a lei de Hook, as cargas são proporcionais as deformações,

sendo assim, podemos admitir que:

Onde Ҡ é o coeficiente de proporcionalidade da mola, que também é chamado

de coeficiente de rigidez, ou, simplesmente, constante de mola.

Exemplos:

a) No caso da mola ser constituída por um prisma de seção transversal S,

comprimento l e módulo de elasticidade E. A resistência dos materiais

estabelece que a deformação elástica é:

Dessa forma, temos:

b) No caso da mola ser constituída por uma viga engastada livre, de

comprimento l, Módulo de elasticidade longitudinal E e o momento de

inércia da seção transversal J, a resistência dos materiais estabelece que

a deformação na linha de ação da carga P é:

Dessa forma, temos:

c) No caso da mola ser constituída por uma viga bi apoiada, também de

módulo de elasticidade E e momento principal de inércia J (sempre em

relação a linha neutra). A resistência dos materiais nos fornece:

Dessa forma, temos:

d) No caso das molas em série, em que as constantes das molas,

isoladamente são Ҡ1 e Ҡ2, teremos:

Chamando de δᵉ1 e δᵉ2 as deformações elásticas de cada uma das molas e

de δᵉ = δᵉ1 + δᵉ2 a deformação elástica total, temos:

E, portanto, aplicando a expressão básica, obteremos Ҡ, como sendo a

constante da mola conjunto ou constante equivalente das molas associadas

em série, temos:

Aplicação: Determinar a constante equivalente das 3 molas associadas em

série:

e) No caso das molas agrupadas em paralelo:

Chamando de P1 e P2 as componentes paralelas de P que solicitam as molas

Ҡ1 e Ҡ2 e de δᵉ1 e δᵉ2 as deformações estáticas em cada uma dessas molas,

teremos:

Da expressão básica, sendo Ҡ a constante equivalente, temos:

Como P = P1 + P2, temos, finalmente:

Sempre que as deformações estáticas individuais se somarem para formar a

deformação estática final, temos uma associação de molas em série e sempre

que as deformações estáticas individuais forem iguais a deformação estática

final, temos uma associação de molas em paralelo.

1.1.2 Exercícios

1) Determinar a constante equivalente a associação de 4 molas em

paralelo:

2) Determinar a constante equivalente da sustentação representada abaixo:

Ҡʹ = Ҡ1+Ҡ2

3) Determinar a constante da suspensão representada na figura abaixo

admitindo que a barra AB é rígida e de peso desprezível.

4) Desprezando a massa da barra AB, suposta rígida, determinar a

constante equivalente para a suspensão representada abaixo:

5) Desprezando a massa da barra AB, suposta rígida, determinar a

constante equivalente para a suspensão representada abaixo:

Respostas:

1)

2)

3)

4)

5)

TABELA DE VALORES DE “K”

Exercícios de Aplicação - ENADE

1. Evaristo avalia o peso de dois objetos utilizando um dinamômetro cuja mola tem constante elástica K = 35 N/m. Inicialmente, ele pendura um objeto A no dinamômetro e a deformação apresentada pela mola é 10 cm. Em seguida, retira A e pendura B no mesmo aparelho, observando uma distensão de 20 cm. Após essas medidas, Evaristo conclui, corretamente, que os pesos de A e B valem, respectivamente, em newtons: a) 3,5 e 7,0 b) 3,5 e 700 c) 35 e 70 d) 350 e 700

2. Uma bolinha pendurada na extremidade de uma mola vertical executa um movimento oscilatório. Na situação da figura, a mola encontra-se comprimida e a bolinha está subindo com velocidade V. Indicando por F a força da mola e por P a força peso, aplicadas na bolinha, o único esquema que pode representar tais forças na situação descrita é:

3. As figuras mostram uma mola elástica de massa desprezível em 3 situações distintas: a 1ª sem peso, a 2ª com um peso de 10 N e a 3ª com um peso P. O valor de P é: a) 0,75 N b) 1,0 N c) 3,0 N d) 7,5 N e) 9,0 N

4. Dispõe-se de duas molas idênticas e de um objeto de massa m. O objeto pode ser pendurado em apenas uma das molas ou numa associação entre elas, conforme a figura. O objeto provocará uma deformação total:

a) igual nos três arranjos. b) maior no arranjo I. c) maior no arranjo II. d) maior no arranjo III.

5. A intensidade da força elástica (F), em função das deformações (x) das molas A e B, é dada pelo gráfico a seguir. Quando um corpo de peso 8 N é mantido em repouso, suspenso por essas molas, como ilustra a figura anexa, a soma das deformações das molas A e B é: a) 4 cm. b) 8 cm. c) 10 cm. d) 12 cm e) 14 cm

6. Duas molas verticais idênticas, com constante elástica de 100 N/m, são ligadas (sem deformação) a um pequeno bloco, como ilustra a figura 1. Soltando-o lentamente, nota-se que as molas equilibram o bloco após este deslocar 0,20 m (veja a figura 2). Desprezando-se os pesos das molas, conclui-se que o bloco pesa:

a) 80 N b) 40 N c) 30 N d) 20 N e) 10 N

2. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE

A noção de vibração começa com a ideia do equilíbrio. Um sistema está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças atuantes sobre o mesmo é nula. Qualquer sistema que esteja sob esta condição somente sairá dela quando ocorrer alguma perturbação externa. A oscilação irá ocorrer quando, após a perturbação atuar, o sistema apresentar a tendência a retornar à sua posição de equilíbrio. Ao se conceder ao pêndulo um ângulo inicial o mesmo entrará em movimento tendendo a retornar à sua posição de equilíbrio inicial. Ao passar por ela o movimento não se interrompe porque a massa do pêndulo adquiriu energia cinética. Enquanto esta energia permanecer presente no sistema o movimento oscilatório continuará. Se, entretanto, a energia inicial concedida for muito elevada, o pêndulo entrará em movimento rotativo. Situação semelhante ocorre com uma bola rolando dentro de uma superfície circular. Uma balança, com dois pesos iguais, apresentará comportamento equivalente (Fig. 2.1).

O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentam características básicas capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico, assim mesmo com grande simplificação. Por outro lado, estes mesmos sistemas apresentam características que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que estão presentes em sistemas mais complexos. Problemas como ressonância, transmissibilidade, balanceamento e isolamento podem ser devidamente estudados em sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com relativa facilidade e simplicidade matemática quando se cria um modelo simples para um sistema complexo. Razões como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibrações em engenharia. A vibração livre, como já foi conceituada, ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. O movimento de um pêndulo é um exemplo de vibração livre. Ao ser abandonado, com uma determinada condição inicial (ângulo inicial, por exemplo), o mesmo oscilará livremente. 2.1 – Modelos de Análise de Vibrações Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis tais como as excitações (causas, entradas, inputs) e respostas (efeitos, saídas, outputs) são dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratório depende, geralmente, das condições iniciais e das ações externas. Isto faz com que seja necessário estabelecer um procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores. O procedimento geral é o que começa com o estabelecimento de um modelo físico, determinação das equações diferenciais que governam o movimento (modelo matemático), solução destas equações e interpretação dos resultados.

2.1.1 - Modelo Físico O propósito da modelagem física é representar todos os aspectos importantes existentes no sistema para a determinação das equações matemáticas que governam o movimento do sistema. O modelo deve então traduzir as características físicas do sistema nos elementos vibratórios básicos, como ilustra a Fig. 2.2.

Os elementos que compõem um sistema vibratório são de três tipos, relacionando forças com deslocamentos, velocidades e acelerações, respectivamente.

Elemento Mola O elemento responsável por relacionar forças com deslocamentos é representado, nos sistemas vibratórios, pela mola, como mostra a Fig. 2.3a. Assume-se que a mola não possui massa, de forma que uma força Fm atuando em uma extremidade deve ser equilibrada por outra força de igual magnitude mas de sentido contrário, atuando na outra extremidade. Pela atuação da força Fm, a mola se deforma (alongamento ou contração). Esta deformação é igual à diferença entre os deslocamentos x2 e x1. A Fig. 2.3b mostra uma curva força/deformação típica de uma mola comum. Esta curva é não linear, entretanto, para pequenas deformações, pode-se considerar que existe uma proporcionalidade entre a força e a deformação, sendo k a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de mola ou rigidez. As unidades de k no Sistema Internacional (SI), são N/m. Fm é uma força elástica, conhecida como força de restauração, porque uma mola alongada ou comprimida tende sempre retornar à sua posição não deformada.

A relação entre força e deslocamento é expressa por:

O elemento mola representa a capacidade que o sistema físico tem em armazenar energia potencial. Esta capacidade é, muitas vezes, expressa pela elasticidade presente. Em analogia com um sistema elétrico, a mola pode ser comparada a um capacitor sendo o elemento que armazena energia na forma de energia potencial em um determinado instante do movimento e depois a devolve para que o sistema vibratório a transforme em energia cinética ou a dissipe. A energia potencial armazenada pela mola é dada por:

Associação de molas em paralelo As molas podem ser associadas de várias formas. As associações em paralelo e em série, mostradas na Fig. 2.4a e 2.4b, respectivamente, são as mais comuns.

Associação de molas em série

Sistemas elásticos

Um elemento elástico pode ser deformado em várias direções. Cada relação

entre uma força em uma direção e uma deformação na mesma ou em outra

direção produz uma diferente constante de mola. A equação (2.12) pode,

portanto se apresentar na forma mais geral:

onde i e j podem indicar, por exemplo, translações e rotações ao longo ou em

torno de três eixos de um sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, i e j

podem assumir seis valores diferentes. Globalmente, existirão 6x6 coeficientes

independentes kij, relacionados com uma possível aplicação do esforço (força

ou momento) e a direção do deslocamento produzido.

Figura 2.5 – Definição de constantes de mola para a viga engastada.

Considere-se, por exemplo, a viga engastada da Fig. 2.5, com o sistema de

coordenadas xyz, como indicado. Se a viga possui uma seção transversal de

área A e momentos de inércia Ix, Iy, Iz, comprimento L, módulo de elasticidade

E, módulo de elasticidade transversal G, e se u, v, w, são as deflexões e , ,

as rotações da sua extremidade livre com relação ao sistema de coordenadas

xyz, da Resistência dos Materiais, se tem:

(2.13a)

(2.13b)

Exemplo 2.1 - Um tambor, com um cabo de aço, é montado na extremidade

de uma viga em balanço como mostra a Fig. 2.6(a). Determinar a constante de

mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo é l. São

conhecidos o comprimento da viga b, sua largura a e sua espessura t. Assumir

que o diâmetro do cabo é d e os módulos de elasticidade da viga e do cabo são

iguais a E.

Exemplo 2.2 - A lança AB do guindaste mostrado na Fig. 2.7 é uma barra de

aço uniforme de comprimento 10 m e área da seção transversal 2,5 x 10-3 m2.

A massa de 1000 kg, suspensa pelo guindaste está parada. O cabo CDEBF é de

aço e tem área da seção transversal de 0,1 x 10-3 m2. Desprezando o efeito do

segmento do cabo CDEB, determinar a constante de mola equivalente do

sistema na direção vertical. O módulo de elasticidade do aço é 2,07 x 1011

N/m2.