vektor mattek 1
DESCRIPTION
matematika teknik, vektorTRANSCRIPT
VEKTORDEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS INDONESIA
Pengertian Dasar
Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah
Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah, panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor
Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan titik terminal
P
S
R
Q
Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan
v = PQ
Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama)
Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0
P
Q
v
t
x
Penjumlahan Vektor
cb + c
a + b + c
a + b
b
a
Pengurangan Vektor
Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka pengurangan vektor a dari b didefinisikan oleh : a – b = a + (-b)
a + b
b
a
- b
a - b
Skalar dikalikan Vektor
Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0
v
2v
0,5v
-1v-1,5 v
Operasi Vektor di R2
xv1 w1
w2
v2
w
v
( v1+w1 , v2+w2 )
(v1,v2)
(w1,w2)
v +
w
y
CONTOH :
Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka :
v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3)
v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7)
5v = 5 (3,-2) = (15,-10)
Operasi Vektor di R2
Operasi Vektor di R2
Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal, jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan titik terminal P2 (x2,y2) maka
P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)
x
(x1,y1)
y
P1P2
P1
P2 (x2,y2)
Panjang Vektor
Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan dengan
Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah
aatau a
22
21 a a a
y
x
(a1,a2)
a
CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2
Salah satu sistem yang menggunakan vektor adalah perhitungan daya pada bidang Listrik
Terdapat tiga Komponen Daya Listrik Daya Kompleks (S) -- VA Daya Aktif (P) -- Watt Daya Reaktif (Q) -- VAr
P(Watt)
QL (VAr)
Qc(VAr)
S = P + QL
P = (x,0)Q = (0,y)S = P + Q = (x,y)
Power Factor Correction
P(Watt)
Qc(VAr)
S (VA) last
lastlast
QL(VAr)
S new
Panjang Vektor di R-3
x
y
z
0D
CB
A (a1,a2,a3)
a
23
22
21
23
22
21
2
2222
222
)()0()0(
)()0(
aaaa
aaaa
CADBa
CACa
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah :
212
212
21221
12121221
)()()(
),,(
zzyyxxPPd
zzyyxxPP
x
y
z
P2 (x2,y2,z2)
P1 (x1,y1,z1)
v
DOT PRODUCT
ORIENTASI RUANG
Vektor i panjangnya 1 unit searah sumbu x
Vektor j panjangnya 1 unit searah sumbu y
Vektor k panjangnya 1 unit searah sumbu z
x
y
z
k
j
i
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
Triple i,j,k disebut vektor basisSetiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k
Definisi
Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :
. cos jika u 0 dan v 0
. 0 jika u=0 dan v=0
u v u v
u v
v
u
v
u
Contoh
Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar) maka u.v adalah :
x
y
z
(0,2,2)
u
v
(0,0,1)
22
1220100.
cos.
222222
vu
vuvu
Jika u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar, maka:
i.i=1 j.j=1 k.k=1 i.j=0 j.k=0 k.i=0
x
y
z
k
j
i
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH
Jika u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang panjangnya satu, maka u disebut vektor satuan.
ux = u.i = 1 x 1 cos = cos dengan adalah sudut antara vektor u dan arah positif sumbu x.
uy = cos
uz = cos
VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH
Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a adalah vektor bukan nol maka :
Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :
a
kajaia
a
a zyx
a
a
a
a
a
a zyx cos cos cos
Sudut antar Vektor
332211
222
222
222
.
)(21.
)(21cos
cos2
vuvuvuvu
uvvuvu
uvvuvu
uvPQ
vuvuPQ
x
y
z
(v1,v2,v3)
u
v
(u1,u2,u3)
Q
P
vu
vu.cos
Contoh
Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v.
u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3
= (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2)
= 3
6dan 6 vu
o
vu
vu
60
5,06
3
)6)(6(
3.cos
(2,-1,1)
x
y
z
u
v
(1,1,2)
Resume sudut
Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan adalah sudut diantara kedua vektor tersebut maka :
lancip , jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0 tegaklurus (/2), jika dan hanya jika u.v = 0
PROYEKSI ORTHOGONAL
w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada aDinyatakan dengan : proyau
w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - proyau
a
w2
w1
u
Formula Proyeksi
a) orthogonalu (komponen .
2
a) sepanjangu (komponen .
1
2
2
aa
auuuproyuw
aa
auuproyw
a
a
a
w2
w1
u
aa
au
a
a
a
auw
a
au
au
auuuw
au
au
21
cos1
cos
w1=ka u= w1 + w2 = ka + w2 u.a = (ka+w2).a = k + w2.a Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0
2a
2
.
a
auk
Panjang Komponen Proyeksi
coscos
1
.1
.
.
1 22
ua
auuproyw
a
auuproyw
aa
aua
a
auuproyw
a
a
a
a
w2
w1
u
Contoh
Carilah rumus untuk jarak D diantara titik Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0
Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q
22
1111
11
22
11
22
11
11
:
sehingga 0
maka tersebut garis pada terletak),( titik karena
)()(
)()(.
),(
ba
cbyaxD
Substitusi
byaxccbyax
yxQba
yybxxaD
ban
yybxxanQP
yyxxQP
oo
oo
ooo
ooo
ax+by+c=0
x
y
Q(x1,y1) P(x0,y0)
n=(a,b)
CROSS PRODUCT
DEFINISI CROSS PRODUCT
Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut antara keduanya.
Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan w membentuk sebuah sistem tangan kanan
n sin x uvvu
Hasil Cross pada Vektor basis
i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j
x
y
z
k
j
i
(0,0,1)
(1,0,0)
(0,1,0)
kji
)1,0,0(
10
01,
00
01,
01
00 x
j x i = - k k x j = -i i x k = -j
i
k j
DEFINISI CROSS PRODUCT
Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh :
u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k)
= u1i x (v1i + v2j + v3k) +
u2j x (v1i + v2j + v3k) +
u3z x (v1i + v2j + v3k)
= ( u2v3- u3v2)i + (u3v1- u1v3)j + ( u1v2- u2v1 )k
Atau dalam notasi determinan :
k
vv
uuj
vv
uui
vv
uuvu
21
21
31
31
32
32 ,, x
321
321 x
vvv
uuu
kji
vu
Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka : u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke u) v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal ke v) u x v = - ( v x u ) u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v) u x u = 0
Contoh Soal
Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)
1 2 2
3 0 1
2 2 1 2 1 2 x , ,
0 1 3 1 3 0
x (2, 7, 6)
i j k
u v i j k
u v
HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL
Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c ) dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor tripel.
Tanda kurung sangat mempengaruhi : ( i x i ) x j = 0 i x ( i x j ) = i x k = - j
Latihan
Diketahui segitiga ABC
Buktikanab
c
2 2 21. 2 cosa b c bc
2.sin sin sin
a b c
13. Luas Segitiga ABC = ( )
2AB AC
A B
C
2 2
2 2
( )
2 cos 180
2 cos
b c b c
b b b c c b c c
b c b c
b c b c
a a
0
sin sin
sin sin
a a a b c
a b a c
a b a c
a b a c
b c
1
21
sin21
2
L ABC AB t
AB AC
AB AC
SOAL Vector
Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi :
2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah
skalar c1, c2 dan c3 sehingga :
c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga dimana v =
(1,2,4)
3kv
SOAL Dot Product Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut
lancip, tumpul atau ortogonal u=(7,3,5) v=(-8,4,2) u=(1,1,1) V=(-1,0,0) u=(6,1,3) v=(4,0,6) u=(4,1,6) v=(-3,0,2)
Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya
carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika : u=(-7,1,3) v=(5,0,1) u=(0,0,1) v=(8,3,4)
SOAL Cross Product Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah
vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut
Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0 (Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A terhadap bidang 0BC A
b
a
0
C
B
c
s