Vectori proprii şi valori proprii

Coordonatori ştiinţifici

Prof. Univ. Dr. Ioan Purdea,

Asist. Univ. Dr. Camelia Dicu

prof. Isac Monica

CUPRINS

Introducere

Capitolul I. Elemente introductive § 1.1. Spaţii vectoriale § 1.2. Subspaţii vectoriale § 1.3. Transformări liniare § 1.4. Baze. Dimensiuni Capitolul II. Vectori proprii şi valori proprii § 2.1. Transformări liniare şi matrici § 2.2. Vectori proprii şi valori proprii § 2.3. Implementări Maple

Bibliografie2

Capitolul IElemente introductive

§ 1.1. Spaţii vectoriale

3

Definiţie. Fie un corp𝕂 . O pereche ordonată formată dintr-un grup abelian (V,+) şi o funcţie φ: x V → V se numeşte 𝕂 -spaţiu 𝕂vectorial (liniar) stâng sau spaţiu vectorial (liniar) stâng peste 𝕂 dacă verifică următoarele axiome:

φ(α+β, x) = φ(α, x) + φ(β, x)

φ(α, x+y) = φ(α, x) + φ(α, y)

φ(αβ, x) = φ(α, φ(β, x))

φ(1, x) = x

pentru orice α, β є şi 𝕂 x, y є V.

Elementele din se numesc 𝕂 scalari iar cele din V se numesc vectori. Funcţia φ se numeşte operaţie externă pe V sau înmulţire cu scalari, iar adunarea din V se numeşte operaţie internă sau adunarea vectorilor.

Observaţie. Dacă corpul este comutativ, atunci orice -spaţiu 𝕂 𝕂

vectorial stâng este -spaţiu vectorial drept şi invers. De aceea se poate 𝕂

renunţa la adjectivul „stâng” sau „drept”.

Exemple.

(Mm,n( ), ) este spaţiul vectorial real al matricilor de tipul (m,n) cu ℝ ℝ

elemente numere reale. ( [ℝ X], ) este spaţiul vectorial real al polinoamelor înℝ nedetermi-nata X, cu coeficienţi reali.

4

§ 1.2. Subspaţii vectoriale

Definiţie. Fie V un -spaţiu vectorial. O submulţime nevidă A a 𝕂

lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă A este un K-spaţiu

vectorial şi au loc următoarele:

i. oricare ar fi a1, a2 є A avem a1+a2 є A;

ii. oricare ar fi α є , oricare ar fi a𝕂 є A avem α·a є A .

Exemplu.

Pentru orice spaţiu vectorial V submulţimile {0} şi V sunt

subspaţii ale lui V. Orice subspaţiu al lui V diferit de {0} şi V se

numeşte subspaţiu propriu.

5

Teorema de caracterizare a subspaţiului.

Fie V un – spaţiu vectorial şi A 𝕂 o submulţime a lui V.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1° A este subspaţiu al lui V.

2° A verifică condiţiile:

α) A ≠ ∅;

β) a1, a2 є A a⇨ 1-a2 є A;

γ) α є , a𝕂 є A ⇨ αa є A.

3° A verifică condiţiile:

α) A ≠ ∅ ;

β´) a1, a2 є A a⇨ 1+a2 є A;

γ) α є , a𝕂 є A ⇨ αa є A.

4° A verifică condiţiile:

α) A ≠ ∅;

β´´) α1, α2 є ,𝕂 a1, a2 є A ⇨ α1a1+α2a2 є A.

6

§ 1.3. Transformări liniare

Definiţie. Fie 𝕂 un corp şi V, V´ două 𝕂 – spaţii vectoriale. O

funcție f : V → V´ se numeşte transformare liniară , funcţie liniară

sau aplicaţie liniară dacă

f ( x1 + x2) = f ( x1 ) + f ( x2 )

f ( αx ) = α f ( x )

oricare ar fi x1, x2, x є V şi oricare ar fi α є 𝕂.

Observaţie.

O funcţie f : V → V´ este liniară dacă şi numai dacă

f (α1x1+α2x2 ) = f (α1x1 ) + f (α2x2 )

oricare ar fi x1, x2 є V şi oricare ar fi α1, α2 є 𝕂.

7

§ 1.4. Baze. Dimensiuni.1.4.1. Bază

Definiţii. a) Fie V un 𝕂 - spaţiu vectorial. Un sistem finit de vectori

{x1, x2, … , xn}din V se numeşte liniar independent dacăα1x1+ … + αnxn = 0 ⇨ α1 = … = αn = 0 ,

oricare ar fi α1, …, αn є .𝕂

b) Fie V un 𝕂 - spaţiu vectorial. Un sistem finit de vectori

{x1, x2, … , xn} din V se numeşte liniar dependent dacă există scalarii α1, …, αn, nu toti nuli, astfel încât α1x1+ … + αnxn =0 .

c) O submulţime finită a lui V se numeşte liberă dacă elementele

sale sunt liniar independente; în caz contrar ea se numeşte legată.

8

Definiţie. Fie V un 𝕂 - spaţiu vectorial. O submulţime X din

V se numeşte bază a lui V dacă X este liberă şi X generează pe V, adică

V = <X>.

Exemple. Vectorii e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), … , en = (0, 0, …, 1) formează o bază în 𝕂n numită baza canonică.

Toate bazele lui V au acelaşi număr de vectori. Acest cardinal

se numeşte dimensiunea lui V şi se notează cu dimV. Observaţie.

Fie spaţiul vectorial V finit dimensional. Spunem că dimV=n

dacă şi numai dacă există n vectori în V liniar independenţi şi orice

n+1 vectori din V sunt liniar dependenţi.

9

Capitolul IIVectori proprii şi valori proprii

§ 2.1. Transformări liniare şi matricilor

Fie f :V → V' o transformare liniară determinată de scalarii αij, 1≤ i ≤ m , 1≤ j ≤ m din relaţiile:

f (u1) = α11v1 + α21v2 + … + αm1vm

f (u2) = α12v1 + α22v2 + … + αm2vm

…………………………………….

f (un) = α1nv1 + α2nv2 + … + αmnvm.

Notăm cu [ f ]u,v matricea de tipul (m,n) care are coloanele

formate din coordonatele vectorilor f (u1), … , f (un) în baza v,

adică 10

Definiţii.

a) Matricea [ f ]u,v se numeşte matricea transformării liniare f în

perechea (u,v) de baze ordonate sau matricea asociată lui f .

b) Fie un corp comutativ, V un -spaţiu vectorial. Fie𝕂 𝕂

u = (u₁, u₂, ... , un) o bază a lui V şi u'i є V, (i = 1, ... , n). Spunem că

u' = (u'₁, u'₂, ... , u'n) este o bază a lui V dacă şi numai dacă există o

matrice inversabilă unică S = (sij) є Mn( ) (numită 𝕂 matricea de trecere

de la baza u la baza u') astfel încât 11

(j = 1, … ,n), adică (u'₁, u'₂, ... , u'n) = (u₁, u₂, ... , un)S .

Teoremă. Fie u = (u₁, u₂, ... , un) şi u' = (u'₁, u'₂, ... , u'n),

respectiv v=(v₁, v₂, ..., vm) şi v' = (v'₁, v'₂, ... , v'm), baze ordonate ale

-spaţiului vectorial V şi V'. Dacă S este matricea de trecere de la 𝕂 u

la u' şi T este matricea de trecere de la v la v' atunci

[ f ]u',v' = T‾¹ · [ f ]u,v · S

12

§ 2.2. Vectori proprii şi valori proprii

Definiţii.

a) Un vector nenul x є V se numeşte vector propriu al lui f dacă există

un scalar λ astfel încât f(x)=λx, adică (f-λ·1V)(x)=0.

b) Scalarul λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului f

corespunzătoare vectorului x.

Teoremă.

Într-un spaţiu liniar, orice transformare liniară are cel puţin un

vector propriu.

13

Observaţie. Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie.

Teoremă. Fie f : V ⟶ V o transformare liniară. Dacă v

= (v1, v2, ... , vn) este o bază a lui V şi A=(aij) є 𝕄n( ) este matricea lui 𝕂

f în baza v, adică A=[f]v, atunci valorile proprii λ ale lui f coincid cu

rădăcinile din ale ecuaţiei det( A-λ∙I𝕂 n ) = 0, adică ale ecuaţiei

= 0

numită ecuaţia caracteristică a matricii A. Calculând determinantul din

membrul stâng al ecuaţiei obţinem o expresie polinomială de

gradul n în λ numită polinomul caracteristic al transformării

liniare f în baza v sau polinomul caracteristic al matricei A=[f]v.14

Definiţii.

a) O matrice A є 𝕄n( ) se numeşte 𝕂 matrice diagonală dacă este de

forma:

unde λ₁, λ₂, λ₃, ... , λn є K sunt valori proprii ale lui A.

b) Un endomorfism fєEnd𝕂V se numeşte diagonalizabil dacă există o

bază v = (v₁, v₂, ... , vn) a lui V astfel încât [f]v să fie diagonală.

c) O matrice A є 𝕄n( ) se numeşte 𝕂 diagonalizabilă dacă există un

endomorfism fєEnd𝕂V diagonalizabil şi o bază v = (v₁, v₂, ... , vn) a

lui V astfel încât A=[f]v.

Teoremă. Un endomorfism fєEnd𝕂V este diagonalizabil dacă şi numai dacă are o bază v = (v₁, v₂, ... , vn) formată numai din vectori proprii ai lui f. 15

§ 2.3. Implementări Maple

Comenzile pentru calculul valorilor proprii şi a vectorilor proprii sunt incluse în pachetul linalg. Comanda

> charmat(A, lambda);

întoarce matricea caracteristică asociată lui A, adică λIn-A.

Comanda

> charpoly(A, lambda);

întoarce polinomul caracteristic asociat lui A, adică det(λIn-A).

Comanda

> eigenvals(A);

întoarce secvenţa valorilor proprii asociate lui A.

Comanda

> Eigenvals(A);

întoarce un tablou ce conţine valorile proprii ale lui A.16

Comanda > eigenvects(A);

întoarce vectorii şi valorile proprii asociate lui A.

Exemplul.> with(linalg);

> A : = matrix( 3, 3, [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 5, 6 ]);

A : = > charmat(A, lambda);

> charpoly(A, lambda); λ3 - 9 λ2

> eigenvals(A); 0, 0, 9

17

Bibliografie:

1. Ioan Purdea, Ioana Pop, Algebră, Editura Gil, Zalău , 2003

2. Ioan Purdea, Cosmin Pelea, Probleme de algebră, Editura

Fundaţiei pentru Studii Europene, Bucureşti, 2005

3. Gh. Pic, Algebra superioară, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1966

4. Dorin Andrica, Dorel I. Duca, Ioan Purdea, Ioana Pop,

Matematica de bază, Editura Studium, Cluj-Napoca, 2004

5. Ion D. Ion, Nicolae Radu, Algebră, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1991

6. Grigore G. Călugăreanu, Lecţii de algebră, Biblioteca Facultăţii

de Matematică, Cluj-Napoca, 1994

7. I. M. Ghelfand, Lecţii de algebră liniară, Editura tehnică, 1953 18