prezentare vectori
TRANSCRIPT
SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER
Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice pereche ordonata (A, B) Vom folosi notatia pentru acest segment,carui reprezentare grafica este data în fig. 1.Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca puntele A si B sunt diferite atunci acestea determina în mod unic odreapta care se numeste dreapta suport a segmentului orientat.Daca C = D atunci convenim sa numim segmentul orientat (C, D) = = = segment orientat nul. Este evident ca un segment orientat nul nu determina în mod unic o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem ca orice dreapta care trece prin punctul C este o dreapta suport a segmentului
O
Aa
VECTORI
DeDefiniţiefiniţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.
Caracteristicile unui vectorCaracteristicile unui vector:- dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului;- punctul de aplicaţie (O);- sensul vectorului ( de la O câtre A );- valoarea numerică sau modulul vectorului dată de
lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu
OAa
a
EGALITATEA VECTORILOR
Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale.
a
b
Vectorii se pot compune folosind :
Metode geometriceMetoda analitică
A) Metodele geometrice sunt :
Regula paralelogramului Regula triungiului Regula poligonului
REGULA PARALELOGRAMULUI Regula paralelogramului este cea mai
cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi.
A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant : c = a + b .
a
b
a
b
Regula paralelogramului are următoarele etape :1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii
a şi b până au origine comună
2. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :- prin vârful lui a se duce paralelă la b
- prin vârful lui b se duce paralelă la a3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă
prin originea vectorilor )
c
Vectorul sumă c are următoarele caracteristici :
- originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ;
- direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului;
- sensul dat de săgeată ;- modulul egal cu lungimea diagonalei
paralelogramului.
Caz particular Cei doi vectori au direcţii perpendiculare În acest caz paralelogramul devine un
dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora.
a
b
c² = a² + b²ca
b
COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR
DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vectorun vector numit suma lor.
REGULA PARALELOGRAMULUI
REGULA TRIUNGHIULUI
a
b
a
b
REGULA TRIUNGHIULUI Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.
Regula triunghiului are următoarele etape:1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în
vârful celuilalt vector ( a )2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine
vectorul sumă c
a
b
a
b
c
Cazuri particularea) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare Se poate calcula modulul c cu terema lui
Pitagora
a
b
a
b
cc² = a² + b²
b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens)
Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.
a b a b
c = a + b
c
c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse
Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.
a ab
bc
c = a - b
REGULA POLIGONULUI Regula poligonului este folosită pentru a
aduna 3 sau mai mulţi vectori.Etapele sunt :1. Se translatează vectorul b cu originea în
vârful vectorului a , apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe
2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector
aa
b b
c c
s
1a 2a
3a
12a 23a
s
REGULA POLIGONULUI
231312321 aaaaaaas
CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞIASOCIATIVITATE
SCĂDEREA VECTORILOR
a
b
bac
a
b
abd
cd
Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă
B) Metoda analitică Metoda anlitică este folosită pentru a aduna
doi sau mai mulţi vectori.Etapele metodei sunt :1. Se alege un sistem de două axe de
coordonate xoy2. Se proiectează vectorii pe axe şi se
calculează componentele lor (folosind funcţiile trigonometrice )
3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe cele două axe (sumă algebrică).
Proiecţiile din sensul pozitiv al axei se iau cu semnul “+”,celălalte se iau cu semnul “-”.
4. Se calculează modulul vectorului rezultant cu relaţia : R =
R² + R²
F1
F2
y
x
F1y
F1x
F2X
F2y
α
β
RX = F2X – F1X
y
xRX
RY = F1Y – F2Y
RY
R = R²X + R²Y
R
ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR
0;k akb ;
aO
O
aO
O
b
ab
0;k akb ;
ab
b
Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are:- Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial;- Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ;- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.
PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI
Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.
a
b
cosabbap
Observaţie:
Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.
Produsul scalar prezintă proprietatea de comutativitate:
cosababba
PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI
a
bbac
Rezultatul produsului vectorial a doi vectori este tot un vector ce are caracteristicile:-Direcţia perpendiculară pe planul determinat de cei doi vectori;- Sensul dat de regula burghiului: “ se pune burghiul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori şi de roteşte pentru a suprapune primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de înaintare al burghiului este şi sensul vectorului produs vectorial”;- Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.
sinabc
Observaţie:
Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.
Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate.
abba
w
a
a
aw
;waa
7a unităţi wa
7
VERSORUL UNUI VECTOR
Versorul (vectorul unitar) al unui vector a
are direcţia şi sensul vectorului a
, iar modulul egal cu unitatea.
VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI
a
bbac
20cos ccccc o
bbabbaaababa
22 cos2 bababbabbaaa
222 cos2 babac
CAZURI PARTICULARE
a
b
c
1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:
bababac 22 20
a
b
bad
VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI
bad
20cos ddddd o
bbabbaaababa
22 cos2 bababbabbaaa
222 cos2 babad
COMPONENTA ŞI PROIECŢIA UNUI VECTOR PE O AXĂ
O x
A B
v
xv
M
ABAMx ll cos cosvv ixx
vv
Ox axa pe v i vectorulucomponenta reprezintă -v
xşi este un vector
-vxşi este un număr real
reprezintă proiecţia vectorului v
pe axa Ox
O xAB
a
xa
M
ABAMAMx lll cos cos cosaa
ili ABxx
aa
Ox axa pe a i vectorulucomponenta reprezintă -a
xşi este un vector
-a xşi este un număr real
reprezintă proiecţia vectorului a
pe axa Ox