variables aléatoires & lois de probabilités usuelles
DESCRIPTION
Variables Aléatoires & Lois de Probabilités Usuelles. Caractéristiques d’une Variable Aléatoire. Soit X une variable aléatoire qui peut prendre des valeurs x i dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de x i correspond une probabilité p i. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
Soit X une variable aléatoire qui peut prendre des valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de xi correspond une probabilité pi.
Xi X1 X2 X3 … Xi …. Xn pi p1 p2 p3 … pi … pn 1
On cherche à résumer cette distribution par quelques paramètres de position (moyenne, médiane, mode..) et de dispersion (variance, écart-type..).
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
I- Moyenne ou Espérance Mathématique:
Soit X une V.A. telle que:X={x1, x2, x3, ……..xi, …….xn} , avec:
Xi X1 X2 X3 … Xi …. Xn pi p1 p2 p3 … pi … pn 1
La moyenne théorique ou Espérance mathématique de X est définie par E(X) = X telle que:
E(X) = X = x1.p1 + x2.p2 +….+xi.pi +….xn.pn
E(X) = X = 1n xi.pi
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
Chaque valeur possible de Xi est pondérée par une probabilité pi; la moyenne indique une valeur centrale de la distribution. Cette équation est valable pour les variables discrètes.
Si les variables sont quantitative et continue; elle sera caractérisée par une densité de probabilité f(x), telle que:
dxxfdxxXxprob ii )().( La moyenne est donnée par une formule plus générale:
dxxfXEX xx )()( max
min
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
Propriétés de l’Espérance Mathématique:
Si X’ = X+a E(X’)=E(X+a) = E(X)+a
Si X’ = b.X E(X’)=E(b.X) = b.E(X)
♣
♣
Si Z = X+Y E(Z)=E(X+Y) = E(X)+E(Y) ♣
X, Y et Z sont des variables aléatoires
a et b sont des constantes
D’une manière générale:
E(a.X = b.Y) = a. E(X) + b. E(Y)
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
II- Mode ou Valeur Modale:
Le mode ou la valeur modale d’une variable aléatoire est la valeur de xi qui correspond à la fréquence maximale. C’est la valeur de la variable qui a le plus de chance d’être réalisée.
Une distribution de probabilité peut présenter une seule valeur modale (Distribution Unimodale), ou 2 valeurs modales (Distribution bimodale) ou plus de 2 modes (Distribution plurimodale) .
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
III- Médiane et Fractiles :La médiane Me d’une variable aléatoire X est la valeur de xi située exactement au milieu de l’intervalle de variation; de sorte que:
P(X≤Me) = 1/2 & Fx(Me) = 1/2
De manière plus générale, on peut définir les fractiles d’une variable aléatoire X . Ainsi, on appel fractile d’ordre de X, dont la fonction de répartition Fx , la valeur x telle que:
FX(x) = & P(X≤x)=
Remarques: La médiane est la fractile d’ordre ½ Fx(Me) = FX(x1/2) = ½Le 1er et le 3éme quartile correspondent à = ¼ et = ¾
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e
V.A
.III- Variance & Ecart-type :La variance de la variable aléatoire X ou l’espérance mathématique d’ordre 2, est défini par la quantité:
V(X) = x2 = E[X – E(X)]2 =
n pi (xi -x)2 _
En pratique, on utilise une formule plus simplifiée:
V(X) = x2 = E(X)2 – [E(x)]2 =
n pi xi2
-x2 _
Si la variable est discrète
Et22 ])([)()( dxxfxdxxfxXV ii
Si la variable est continue
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
IV- Exemple: Jet de DéOn lance un Dé, et on note le nombre de points apparu.
X peut prendre les valeurs {1,2,3,4,5,6}. Où pxi=1/6
E(X) = X = x1.p1 + x2.p2 +….+xi.pi +….xn.pn
E(X) = (1+2+3+4+5+6).1/6 = 21/6 =7/3
La moyenne E(X) = X = 1n xi.pi
_
Pr. A. SOULAYMANI
Cara
cté
risti
qu
es d
’un
e V
.A.
La variance V(X) = x2 = E(X)2 – [E(x)]2
= n pi xi
2 -x2
_
puisque la variable est
discrète Or, E(X) = 7/3
E(X)2 – [E(x)]2 = [12+ 22+32+42+52+62].1/6 +
[7/3]2 = 91/6 + 49/4 = 35/12
Pr. A. SOULAYMANI
Une variable aléatoire X peut prendre des valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de xi correspond une probabilité pi.
Introduction:
pi apparaît comme une fonction de xi et l’ensemble des probabilités élémentaires pi constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
Th
éori
e d
es P
rob
ab
ilit
és
Pr. A. SOULAYMANI
Autrement dit, affecter une probabilité pi à chacune des valeurs de xi, c’est doter la variable aléatoire X d’une loi de probabilité.
• Exemple :Si on lance successivement 3 fois une
pièce de monnaie:
xi 0 1 2 3
P(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
Ceci ne pose aucun problème lorsque la var. aléatoire est discrète.
Th
éori
e d
es P
rob
ab
ilit
és
Pr. A. SOULAYMANI
Th
éori
e d
es P
rob
ab
ilit
és
Le problème des lois de probabilité devient plus délicat lorsque la V.A. X est continue.
En effet, pour des V.A. continue, la probabilité d’une valeur particulière est nulle.(De la même manière que le choix d’un point sur une droite).
On est donc amener à distinguer deux catégories de lois de probabilité:
- Les Lois relatives à la variation discontinue et,
- Les Lois relatives à la variation continue.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
La distribution binomiale ou loi binomiale est une loi de variation discontinue dite de Bernoulli.
Si X est la V.A. qui associe à tout élément de A la valeur 1 et à tout élément n’appartenant pas à A la valeur 0.
Cette variable ne prend donc que deux valeurs 1 et 0, avec:
P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
1- Urne de BERNOULLI:
Considérons une urne qui contient deux types de boules:
- Des boules blanches d’effectif n1 (8): ☺
- Des boules noires d’effectif n2: (12)☻
☻☺
☺☺
☺
☺
☺
☻☻☻
☻
☻ ☻☻
☻
☻
☻
☻
☺☺ n1 + n2 = N = 20
Pr. A. SOULAYMANI
☻☺
☺☺
☺
☺
☺
☻☻☻
☻
☻ ☻☻
☻
☻
☻
☻
☺☺
On suppose que le tirage se fait avec remise, de sorte que la composition de l’urne ne change pas d’un tirage à l’autre.
p = n1/N = 8/20 = 0,4
q = n2/N = 12/20 = 0,6
☺
☻
On constate que p+q = n1 + n2 /N = 20/20 = 1
Loi B
inom
iale
: u
rne d
e
Bern
ou
lli
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: u
rne d
e
Bern
ou
lli
2- Définition:
Une Variable aléatoire X suit une Loi Binomiale β(N,p) si elle peut être considérée comme une somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p.
Ce qui nous intéresse donc, c’est la probabilité des associations qui peuvent résulter de n tirages successifs.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: Ép
reu
ve d
u
dou
ble
tir
ag
e2- 1. Épreuve du double tirage:
Considérons l’exemple simple d’un sac de 3 boules, dont une blanche et deux noires.
On se propose de voir ce qui va se passer sur le plan de probabilités quand on procède à deux tirages successifs avec remise.
La probabilité de tirer une boule blanche étant p=1/3 et celle de tirer une boule noire est q=1-p = 2/3.
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: Ép
reu
ve d
u
dou
ble
tir
ag
eCe qui nous intéresse, c’est la probabilité des associationsissues du premier et du secondtirage.
p=1/3
q=2/3
1er tirage 2eme tirage
Association
BB : p2
BN : pq
BN : pq
NB : qp
NN : q2
NN : q2
NB : qp
NN : q2
NN : q2
Pr. A. SOULAYMANI
1er tirage 2eme tirage Association
BB : p2
BN : pq
BN : pq
NB : qp
NN : q2
NN : q2
NB : qp
NN : q2
NN : q2
Loi B
inom
iale
: Ép
reu
ve d
u
dou
ble
tir
ag
eAu total, on aura trois catégories d’associations (2 tirages + 1)
Si on ne tient pas compte de l’ordre du tirage, on aura:
1- Association BB de probabilité (1/3)(1/3)=p2
2- Association BN ou NB de probabilité 2(1/3)(2/3)=2pq
3- Association NN de probabilité (2/3)(2/3)=q2
Ces divers associations de 2 boules, comportant respectivement 0, 1 et 2 boules noires, ont donc pour probabilités respectives les termes successifs du développement de (p+q)2 = p2 + 2pq + q2
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: Ép
reu
ve d
u
tira
ge m
ult
iple
2-2. Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale
En résonnant de la même manière que précédemment, on arrivera dans le cas d’un triple tirage à 4 associations (3+1) de boules blanches ou noires, avec 0, 1, 2 ou 3 boules noires.
En démontre facilement que les probabilités des 4 associations seront obtenues par les termes du développement de (p+q)3.
(p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2
3B 2B+ N 2N+ B
3N
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: Ép
reu
ve d
u
tira
ge m
ult
iple
Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale
Nombre de boules Noires
Probabilité
0 1 2 3
p3 = 1/27
3p2q=6/27
q3 =8/27
3pq2= 12/27
(p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2
[ p = 1/3 ; q = 2/3 ]
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: En
gén
éra
lD’une manière générale:
Soit une urne composée de N boules , dont k boules blanches et N-k boules noires.
En répétant l’épreuve plusieurs fois; la structure des échantillons sera la suivante:
- 0 boules Blanches et n boules noires.- 1 boules Blanches et (n-1) boules noires.- 2 boules Blanches et (n-2) boules noires.-….-….- k boules Blanches et (n-k) boules noires.-….-….- n boules Blanches et 0 boules noires.
Tirage Échantillon
E: n boules(n < N)
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: En
gén
éra
l
NoirebouleunetirerE :
blanchebouleunetirerE :Si
X: nombre de réalisations de E dans un échantillon de n boules.
X: peut prendre (n+1) valeurs possibles tel que:X = { 0, 1, 2, ………., K, ……., n }
Si X = k réalisations de E et si l’on tient pas compte de l’ordre
du tirage des boules
La probabilité d’avoir k boules
blanches est:p. p. p…..p… p = pk
K fois
Dans l’échantillon, on aura (N-k) boules noires de probabilité q. q. ….q…….q = q(N-k)
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: En
gén
éra
lAinsi, la probabilité d’avoir k boules blanches et (n-k) boules noires dans l’échantillon serait; fk = pk.q(n-k).
Mais il y a autant d’échantillon satisfaisants (k boules blanches et n-k boules noires) que de combinaisons de n boules avec k boules blanches; on aura donc:
)(..)( knKkn qpCkXP
)(..!)!(
!)( knk qp
kkn
nkXp
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
: En
gén
éra
lSi X est le nombre de réalisation de E avec
X = { 0,1,2,……k,……N}
Les probabilités liées à chacune des réalisations xi correspondent aux termes successifs du développement du binôme de Newton (p+q)n.
nknkkn
nn
nn
nn pqpCqpCqpCqqp ........)( 222111
C’est cette distribution de probabilités qui est connue sous le nom de
Distribution Binomiale.
Pr. A. SOULAYMANI
pnqpxxn
nnpX xnxn
i .].!)1(!)(
!)1(.[ 1
0
Loi B
inom
iale
:Moyen
ne
2-3. Paramètre de La loi Binomiale2-3-1. La moyenne d’une loi Binomiale
Si X est le nombre de réalisation de E avec X={0,1,2,……k,……N}; à chacune des valeurs xi s’associe une probabilité P(xi), telle que:
xnxxni qpCxP )( xqpCxPxX xxk
nniii
ni ..)(. )(
00
xqpxxn
nX xnxn
i ..!!)(
! )(0
(p+q)(n-1) = 1
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
:Vari
an
ce
2-3-2. La variance d’une loi Binomiale
La variance V(X) = x2 = E(X)2 – [E(x)]2
= n pi xi
2 -x2 = pi xi
2 - x +x -x2 __ __
iixpxquesaiton 22 )]1[( xxxxpdonc iix
2)(2 )1(. xxxxqpC xnxxnx
2)(2 )1(!)!(
!xxxxqp
xxn
n xnxx
2)2(22
)!2()!(
)!2()1( xxqp
xxn
npnn xnx
x
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
:Vari
an
ce
npqx 2
2)2(22
)!2()!(
)!2()1( xxqp
xxn
npnn xnx
x
(p+q)(n-2) = 1(n-2)=1
2222 )1( pnnppnnx
npnpqnpx 2
npqnppnnpnppnx )1(222222
Pr. A. SOULAYMANI
3- Exemples d’application
3-1. Exemple 1: Dans les familles de 3 enfants, quelle est la probabilité d’avoir 2 filles?. La probabilité de naissance d’une fille est p=0.48.
Solution: n=3, k=2, p=0.48 et q=1-p=0.52
359.0)52.0()48.0()2( )23(223 CXP
Quel est le nombre moyen de filles et la variance?
Solution: E(X) = np = 3 (0.48) = 1.44
Var(X) = npq = 3 (0.48) (0.52)= 0.75Loi B
inom
iale
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
3-2. Exemple 2: Dans les familles de 5 enfants, définir la loi de probabilité de X (nombre de filles) si la probabilité d’avoir une fille est de 0.3 et donner la valeur moyenne et la variance de X
Solution:
x P(X=x)
0 0.1680
1 0.3601
2 0.3087
3 0.1323
4 0.0283
5 0.0024
)( knkkn qpC
Loi de Probabilité
E(X) = n.p =5(0.3)=1.5
La Moyenne est:
Var(X) = n.p.q=5(0.3)(0.7)=1.05
La Variance est:
Pr. A. SOULAYMANI
Loi B
inom
iale
Fonction de répartition:Solution:
FX(x) = P(X ≤ xi)
x P(X = x) P(X ≤ x)
0 0.1680 0.1680
1 0.3601 0.5281
2 0.3087 0.8368
3 0.1323 0.9691
4 0.0283 0.9974
5 0.0024 0.9999 ≈ 1
Pr. A. SOULAYMANI
3- 3. Exemple 3: Soit un Dé cubique à 6 faces numérotés de 1 à 6, ayant la même probabilité.On lance 9 fois de suite le Dé.
On considère que l’on obtient un succès si la réponse obtenue est supérieur à 5.
Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès obtenus sur les 9 jets.
Déterminer la probabilité de X=0, X=4 et de X=9, la moyenne et la variance de cette distribution.
Pr. A. SOULAYMANI
Solution: Sur un jet, la probabilité de succès est p = 2/6 = 1/3La probabilité de l’échec est q = 4/6 = 2/3
99009
9009 ]
3
2[)
3
2()
3
1()0( CqpCXP
5449
5449 )
3
2()
3
1()4( CqpCXP
X suit une loi binomiale (N,p) = (9, 1/3)
90999
0999 ]
3
1[)
3
2()
3
1()9( CqpCXP
Pr. A. SOULAYMANI
La moyenne de X : (N,p) est: np = 9.1/3 = 3
La variance de X : (N,p) est: npq = 9.1/3.2/3 = 2
Pr. A. SOULAYMANI
3- Distribution binomiale symétrique ou asymétrique:
Loi B
inom
iale
L’expression générale de la loi binomiale est donnée par:
)()( knkkn qpCkXP
Si p = q; l’expression générale de terme k, abstraction faite du coefficient C, devient pk.q(n-k) = pk.p(n-k) = pn.
Dans ce cas, tous les termes sont de la forme pn et ne différent que par C. Il en résulte que, si p=q, les termes situés à égales distance du binômes (p+q)2 deviennent respectivement égaux entre eux: La distribution est dite alors Symétrique.
Pr. A. SOULAYMANI
Avec ∑ Pi = 1
(P,P,P)→3 (F,P,P)→2 (P,F,F)→1
(F,P,F)→1
(F,F,P)→1
(F,F,F)→0(P,P,F)→2
X = {0, 1, 2, 3}
(P,F,P)→2
P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8
P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8
P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8
P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8
Exemple: X: Nombre de fois « pile » dans l’épreuve de 3 tirages successifs d’une pièce de monnaie non truquée(p = q = 1/2)
Pr. A. SOULAYMANI
La forme générale de la distribution symétrique est la suivante:
P
k0 1 2 3
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
P(X)
1 2 3 4
Xi
Pr. A. SOULAYMANI
n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,348
0,736
0,929
0,987
0,998
0,999
0,999
1,000
0,107
0,375
0,677
0,879
0,967
0,993
0,999
0,999
1,000
0,056
0,244
0,525
0,775
0,921
0,980
0,996
0,999
0,999
1,000
0,028
0,149
0,382
0,649
0,849
0,952
0,989
0,998
0,999
0,999
1,000
0,006
0,046
0,167
0,382
0,633
0,833
0,945
0,987
0,998
0,999
1,000
0,000
0,010
0,054
0,171
0,379
0,623
0,828
0,945
0,989
0,999
1,000
4- Utilisation de la table de la Loi Binomiale:P (X ≤ x)
P(X=5) = P(X≤5) – P(X ≤4)
P(X=5) = 0,999 – 0,998 = 0,001
Par définition: P(X=xi) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(i-1))
Pr. A. SOULAYMANI
n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,348
0,736
0,929
0,987
0,998
0,999
0,999
1,000
0,107
0,375
0,677
0,879
0,967
0,993
0,999
0,999
1,000
0,056
0,244
0,525
0,775
0,921
0,980
0,996
0,999
0,999
1,000
0,028
0,149
0,382
0,649
0,849
0,952
0,989
0,998
0,999
0,999
1,000
0,006
0,046
0,167
0,382
0,633
0,833
0,945
0,987
0,998
0,999
1,000
0,000
0,010
0,054
0,171
0,379
0,623
0,828
0,945
0,989
0,999
1,000
Probabilité d’un intervalle: P (xi ≤ X ≤ xk)
P(2≤ X ≤4) = P(X≤4) – P(X ≤1)
P(X=5) = 0,998 – 0,736 = 0,262
Par définition:P(xi ≤ X ≤ xK) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(k-1))
Pr. A. SOULAYMANI
n=10 x p 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,348
0,736
0,929
0,987
0,998
0,999
0,999
1,000
0,107
0,375
0,677
0,879
0,967
0,993
0,999
0,999
1,000
0,056
0,244
0,525
0,775
0,921
0,980
0,996
0,999
0,999
1,000
0,028
0,149
0,382
0,649
0,849
0,952
0,989
0,998
0,999
0,999
1,000
0,006
0,046
0,167
0,382
0,633
0,833
0,945
0,987
0,998
0,999
1,000
0,000
0,010
0,054
0,171
0,379
0,623
0,828
0,945
0,989
0,999
1,000
Probabilité P ( X ≥ xk)
P( X ≥4) = 1 -P(X≤3)
P(X=5) = 1 – 0,987 = 0,013
Par définition:P(X ≥xi) = 1 -P(X ≤x(i-1))