Valores y vectores característicos

1. Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

En álgebra lineal, los vectores propios, auto vectores o eigenvectores de un operador

lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar

a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe

el nombre valor propio, auto valor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una

transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores

propios. Un espacio propio, auto espacio o eigenespacio es el conjunto de vectores

propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio como la rotación, la reflexión, el

ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse

otras transformaciones pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los

vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando

en una dirección y sentido determinados.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven

afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su

dirección.

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor

propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio

asociado.

El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos

sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en

el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y

el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de

una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro

(de esta rotación) que es un número real.

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si

A: V! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de

cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) tales que

Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es

c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo

diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos

los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de

V, el espacio propio para el valor propio c.

Ecuación del valor propio o autovalo

Matemáticamente, v es un vector propio y el valor propio correspondiente de una

transformación T si verifica la ecuación:

Donde T (v) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a v.

Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que

para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio

vectorial. Entonces, T y v pueden representarse en relación a esa base mediante una

matriz AT y un vector columna v—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor

propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:

Donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la

transformación T y su representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos

emplear sólo T para la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a

un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En

esta ecuación, tanto el valor propio y las n componentes de v son desconocidos. Sin

embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de vector propio

en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión

infinita, como por ejemplo en el caso de la cuerda mostrada anteriormente. Dependiendo

de la naturaleza de la transformación T y el espacio al que se aplica, puede ser ventajoso

representar la ecuación de valor propio como un conjunto de ecuaciones diferenciales,

donde los vectores propios reciben a menudo el nombre de funciones propias del

operador diferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una

transformación lineal, ya que (si f (t) y g (t) son funciones derivables y a y b son

constantes)

Considérese la diferenciación con respecto a t. Sus funciones propias h (t) obedecen a la

ecuación de valor propio:

,

Donde es el valor propio asociado con la función. Una función en el tiempo es constante

si = 0, crece proporcionalmente a sí misma si es positiva, y decrece proporcionalmente a

sí misma si es negativa. Por ejemplo, una población ideal de conejos engendra con más

frecuencia a medida que hay más conejos, y por tanto satisface la ecuación para lambda

positiva.

La solución a la ecuación de valor propio es g (t) = exp (t), la función exponencial; pues esa

función es una función propia del operador diferencial d/dt con el valor propio. Si es

negativa, la evolución de g se denomina decaimiento exponencial; si es positiva se

denomina crecimiento exponencial. El valor de puede ser cualquier número complejo. El

espectro de d/dt es entonces el plano complejo en su totalidad. En este ejemplo el espacio

vectorial en el que actúa d/dt es el espacio de las funciones derivables de una variable.

Este espacio tiene una dimensión infinita (pues no es posible expresar cada función

diferenciable como combinación lineal de un número finito de funciones base). No

obstante, el espacio propio asociado a un valor propio determinado es unidimensional. Es

el conjunto de todas las funciones g (t) = Aexp (t), donde A es una constante arbitraria, la

población inicial en t=0.

Valor propio

Se dice que el número, real y/o complejo, es un valor propio A si existe un vector no nulo

u, real o complejo tal que Au = u, es decir (A " I ) u = 0

Propiedades de los valores propios

Definición 3 Dos matrices n×n, A y B, se dicen semejantes si existe una matriz invertible P

tal que A = P"1BP.

Teorema 3 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por

consiguiente, los mismos valores propios.

Definición 4 Una matriz A se dice diagonalizable (por semejanza) si es semejante a una

matriz diagonal.

Teorema 4 Una matriz A, n × n, es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios

linealmente independientes.

Teorema 5 La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de la matriz,

es decir, 1 + 2 + · · · + n =aii.

Teorema 6 El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de

la matriz.

Teorema 7 Los valores propios de una matriz triangular son los coeficientes de su diagonal

principal.

Teorema 8 Una matriz A es singular si y solo si tiene un valor propio igual a cero.

Teorema 9 Si los valores propios de una matriz A son i, 0 " i " n, los valores propios de la

matriz A "I son i “, 0 " i " n.

Los vectores propios de A y A "I son idénticos.

Teorema 10 Los valores propios de las potencias de una matriz A son las correspondientes

potencias; los vectores propios son los mismos.

Vector propio

El vector u se denomina vector propio de A asociado al valor propio.

2. Polinomio y ecuación característica

En general, el polinomio que resulta de desarrollar |A " I |, cuyos ceros son precisamente

los valores propios de A, se denomina polinomio característico.

P() = ("1)nn + a1n"1 + … + an

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz (A - l·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y l un escalar

indeterminado, se denomina matriz característica de A:

Su determinante, det (A - l·In) , que es un polinomio en l, recibe el nombre de polinomio

característico de A. Asimismo, llamamos a det (A - l·In) = 0

Ecuación característica de A.

Ejemplo 1:

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

La matriz característica será (A - l·In). Luego:

Y el polinomio característico,

Así pues, el polinomio característico es: l 2 - l + 4.

3. Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz

cuadrada

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede

calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo

resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método

numérico.

Cálculo simbólico

Encontrando valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el

polinomio característico: decir que es un valor propio de A es equivalente a decir que el

sistema de ecuaciones lineales (A -I) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una

solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p () = det(A - I) es un polinomio de pues los determinante se definen como

sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una

matriz son los ceros de su polinomio característico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA()

= 0.

Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene al menos n valores propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces

(ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar

tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos

valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios

no reales son pares conjugados.

Encontrando vectores propios

Una vez que se conocen los valores propios, los vectores propios se pueden hallar

resolviendo:

Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido

de las manecillas del reloj:

Cuyo polinomio característico es 2 + 1 y sus valores propios son el par de conjugados

complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Ejemplo

Considérese la matriz

Que representa un operador lineal R³! R³. Si se desea computar todos los valores propios

de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:

Y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El

teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio

polinomio característico.

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que

Cálculo numérico [editar]

En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no se calculan usando el

polinomio característico. Calcular el polinomio resulta muy costoso, y extraer las raíces

exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de calcular y expresar: el teorema

de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios de grado alto (5 o superior) no

pueden expresarse usándose simplemente raíces enésimas. Existen algoritmos eficientes

para aproximar raíces de polinomios, pero pequeños errores en la estimación de los

valores propios pueden dar lugar a errores grandes en los vectores propios. En

consecuencia, los algoritmos generales para encontrar vectores propios y valores propios

son iterativos. La manera más fácil es el método de las potencias: se escoge un vector

aleatorio v y se calcula una secuencia de vectores unitarios:

,

,

, ...

Esta secuencia casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al mayor valor

propio. Este algoritmo es sencillo, pero no demasiado útil aisladamente. Sin embargo, hay

métodos más populares, como la descomposición QR, que se basan en él

Valores propios de una matriz cualquiera

Si es complejo, entonces u es complejo.

Los valores propios de B = C"1AC son los mismos de A. Si x es el vector propio asociado a,

entonces Cx es un vector propio de B asociado a.

4. Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices

¿Qué es diagonalizar una matriz?

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla

posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple

encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que

A = P D P-1

La matriz P se llama matriz de paso.

Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin

embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para

representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de

base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una

base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil,

por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices

se usan para representar otras cosas como cónicas, cuadricas o formas bilineales, y en

estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.

La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos

contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta, matriz

cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.

Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos

encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como

dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a

una matriz diagonal. En estas prácticas sólo consideraremos como diagonalizables las

matrices que sean semejantes a una matriz diagonal real. Entonces, más exactamente:

una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.

¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?

Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P-1, entonces podemos poner también

A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que

tenemos es que A xi = li xi (donde xi es la columna i de A y li es el número en el lugar i de la

diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los

vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre:

Si un número l y un vector no nulo x verifican la relación A x = l x diremos que l es un valor

propio o auto valor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de A asociado

al valor propio l.

Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n

vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que

entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar

que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una

matriz lo que tenemos que hacer es buscar n vectores propios suyos linealmente

independientes asociados a valores propios reales.

Sea

una matriz de orden

. Se dice que

es una matriz diagonal si

para

. Sea

una transformación lineal de un espacio

de dimensión finita

. Se dice que

es diagonalizable si existe una base

en

tal que

es una matriz diagonal. Una matriz

de orden

se dice que es diagonalizable si

es similar a una matriz diagonal. Teniendo en cuenta que matrices que representen la

misma transformación lineal son similares, se tiene el siguiente resultado.

Proposición 3. Sea

una transformación lineal de un espacio

de dimensión finita

y sea

una base cualquiera de

. Entonces,

es diagonalizable si y sólo si

es diagonalizable.

En términos de vectores propios se tiene el siguiente criterio obvio de diagonalización.

Teorema 1. Sea

una transformación lineal de un espacio

de dimensión finita

es diagonalizable si y sólo si

tiene una base constituida por vectores propios.

Según la Proposición 1 y el Corolario 2 se tiene el siguiente corolario.

Corolario 3. Sea

una matriz cuadrada de orden

. Entonces,

a)

es diagonalizable si y sólo si

tiene

vectores propios L I

b) Si

tiene

valores propios diferentes, entonces

es diagonalizable.

El recíproco de la parte b) del corolario anterior no siempre se cumple: la matriz idéntica

es diagonal, sin embargo sus

valores propios coinciden y son iguales a

.

Proposición 4. Sea

una transformación lineal de un espacio

de dimensión finita

Sean

los valores propios diferentes para

,

, y

los subespacios propios correspondientes. Entonces, la suma

es directa. En consecuencia,

Demostración

Podemos probar ahora un criterio de diagonalización en términos del polinomio

característico y de los espacios propios.

Teorema 2. Sea

una transformación lineal de un espacio

de dimensión finita

Sean

los valores propios diferentes para

,

, y

los subespacios propios correspondientes. Entonces, las siguientes condiciones son

equivalentes:

a)

es diagonalizable.

b) El polinomio característico de

es de la forma

Donde

c)

d)

Demostración

Ejercicio 1. Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables. En caso afirmativo

encontrar una matriz que diagonalice:

Ejercicio 2. Determinar los valores y vectores propios del operador derivación sobre el

espacio

. ¿Es este operador diagonalizable?

Ejercicio 3. Sean

y

matrices cuadradas de orden

y

, respectivamente. Demuestre que el polinomio característico de la matriz

Es

Ejercicio 4. Sea

una matriz de orden

y

un polinomio cualquiera. Demuestre que si

es diagonalizable, entonces

es diagonalizable.

Ejercicio 5. Sea

una matriz de orden

tal que

para cada

Demuestre que

es un valor propio de

.

Solución. Sea

un vector propio de la matriz

correspondiente al valor propio

. Entonces

, se obtiene entonces que para cada

se cumple

. Nótese que si todas las entradas del vector

son iguales entonces todas las ecuaciones anteriores se satisfacen. Entonces, siendo

cualquier elemento no nulo de

se cumple que para

se satisface

, y así

es un vector propio de

con valor propio

.

Método de Potencia.

Considere una matriz cuadrada A. Los valores y vectores propios satisfacen la ecuación

Donde

es el i-ésimo valor propio y

es el i-ésimo vector propio. Si

es una matriz simétrica, algunos valores propios pueden ser complejos.

Supongamos que

,

El método de potencia se inicia con un vector propio inicial.

Y las iteraciones subsecuentes son

Con

5. Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización ortogonaL

Valores propios de matrices simétricas

Si D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A,

entonces existe una matriz ortogonal Q tal que D = Q"1AQ = QtAQ.

Asimismo, existen n vectores propios de A que forman un conjunto ortonormal, y

coinciden con las columnas de la matriz ortogonal Q.

Todos los valores propios de A son reales.

A es definida positiva si y sólo si todos los valores propios de A son positivos.

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla

posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple

encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P-1 La

matriz P se llama matriz de paso. Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible

si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Observación: Si D es una matriz

diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es

semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos

se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal

cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. El siguiente teorema

establece cuando una matriz es diagonalizable. TEOREMA: Una matriz A de n x n es

diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal

caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por

1 0 … 0

0 2 0 … 0

0 0 3 … 0

D = . . . .

0 0 0 … n

Donde1, 2,….. , n son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son

vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C-1AC Una matriz

diremos que es ortogonal si su transpuesta coincide con su inversa.

P ortogonal <=> P-1 = Pt

Si P= (u1|u2|…|un) resulta que decir que P es ortogonal, es equivalente a decir que los

vectores {u1, u2,…, un} son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las

matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es

ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal.

Diagonalización ortogonal

Una matriz diremos que es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa.

Si

resulta que decir que

es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores

son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y

simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es

lo que se entiende por diagonalización ortogonal.

6. Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple

las siguientes condiciones equivalentes: a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en

el cuerpo K tal que (x) = f(x,x). A f se le llama forma polar de. b) (lx) = l2x, . Además f(x,y) =

( (x + y) " (x) " (y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y con valores en K. A

se la llama forma cuadrática asociada a f. Cuando se dice que la forma cuadrática es real.

A veces a las formas cuadráticas definidas positivas se las denomina métricas. Formas

cuadráticas Una forma cuadrática en R3 es cualquier conjunto de puntos xT=(x1,x2,x3) que

satisface una ecuación del tipo: xTAx=r, (1) donde A es una matriz simétrica de 3x3 a

coeficientes reales y r es un número real. Vía una rotación del espacio dada por y=PTx

donde yT=(y1,y2,y3) y P es una matriz unitaria de 3x3 a coeficientes reales, se puede

expresar una forma cuadrática arbitraria con respecto a un vector y de manera que:

yTDy=r, (2) donde D es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales. ¿Por qué siempre

pueden encontrarse P y D con las propiedades requeridas? ¿Por qué P representa una

rotación del espacio? Vía un re-escalamiento adicional dado por z=D'y donde zT=(z1,z2,z3)

y D' es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales no-negativos, se puede expresar la

última ecuación obtenida con respecto el vector z de manera que quede representada por

una ecuación del tipo: zTJz=r, (3) donde J es una matriz diagonal de 3x3 que sólo puede

contener en su diagonal valores que están en {"1,0,1}.

Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple

las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en el cuerpo K tal que (x)=f(x,x). A f se le

llama forma polar de.

b) (lx) = l2x,

. Además f(x,y) = ( (x + y) " (x) " (y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y

con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f.

Cuando

se dice que la forma cuadrática es real. A veces a las formas cuadráticas definidas positivas

se las denomina métricas.

7. Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley"Hamilton establece que cada matriz cuadrada A satisface su

ecuación característica: Si p() = det(") es el polinomio característico de A, entonces p(A) es

la matriz nula.

Entre las diversas demostraciones del teorema hemos encontrado en R. Bellman (1965)

una puramente algebraica, que es la que detallamos, con algún matiz, en nuestro trabajo.

El interés de la demostración radica en la utilidad que puede tener para nuestros alumnos

de primer curso, la exposición de un desarrollo lógico basado en sus conocimientos

básicos de cálculo matricial. También es inmediato y puede ser igualmente útil calcular, a

partir del teorema, la inversa de A, cuando A sea no singular.

Sea p) = ( " 1) n n+ cn"1 n"1+ cn"2 n"2+ ... + c2 2 + c1 + c0 el polinomio característico de

una matriz A de orden n. Entonces p(A) = ( " 1) nn + cn"1 n"1 + cn"2 An"2 + ... + c1 A + c0 I

es la matriz nula. Es decir, cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica p(A)

= 0.

Nota: A es una matriz de orden n con elementos en un cuerpo K; por tanto, los

coeficientes ci del polinomio característico det(") pertenecen a dicho cuerpo K.

Demostración

Por las propiedades de las matrices se cumple que:

(A " I) Adj(A "I) t = p()I

donde Adj(A " I) t es la matriz transpuesta de la matriz de los adjuntos de los elementos

respectivos de la matriz A " I y p() = det(") es el polinomio característico de la matriz A.

Si denotamos B() = Adj(A " I)t, entonces B() es una matriz polinómica en, de grado n"1, que

se puede escribir como:

B() = n"1 n"1+ n"2 n"2+ ... + 2 2 + 1 + 0

Donde cada i es una matriz de orden n, con elementos en el cuerpo K. Entonces el

producto (A " I) B() vale:

(A "I) B() = (A " I )(n"1 n"1+n"2 n"2+ ... + 2 2 +1 +0) = " Bn"1 n + n"1 " n"2) n"1+(n"2 " n"3)

n"2+ ... + (2 "1) 2 + (1 "0) + 0

Por otro lado p() I es la matriz polinómica:

p() I = ( " 1) n I n+ cn"1 I n"1+ cn"2 I n"2+ ... + c2 I 2 + c1 I + c0 I

Luego, igualando las matrices polinómicas, con elementos en el dominio K(), (A "I) B() = p()

I, se deduce que:

"n"1 = ( " 1) n I

n"1 "n"2 = cn"1 I

n"2 "n"3 = cn"2 I

.

.

.

AB2 " 1= c2 I

1 "0= c1 I

0 = c0 I

Si vamos sustituyendo cada matriz Bi en la siguiente ecuación hasta llegar a la penúltima

resulta:

" n"1 = ( " 1) n I

" n"2 = ( " 1) n A + cn"1 I

" n"3 = ( " 1) n A2 + cn"1 A + cn"2 I

" n"4 = ( " 1) n A3 + cn"1 A2 + cn"2 A + cn"3 I

ÛÜ

- B2= (-1)n An"3 + cn"1 An"4 + cn"2 An"5 + ...+ c4 A + c3 I

"1= ( " 1) n An"2 + cn"1 An"3 + cn"2 An"4 + ...+ c3 A + c2 I

0 = ( " 1) n An"1 + cn"1 An"2 + cn"2 An"3 + ...+ c2 A + c1 I

Entonces sustituyendo 0 en la última ecuación0 = c0 I se obtiene:

" 0 = ( " 1) n An + cn"1 An"1 + cn"2 An"2 + ...+ c2 A2 + c1 A = " c0 I

Poor tanto, ( " 1) n An + cn"1 An"1 + cn"2 An"2 + ...+ c2 A2 + c1 A + c0 I = 0. Es decir, p(A) =

0 c.q.d.

8. Aplicaciones

Los valores y vectores característicos tienen muchas aplicaciones en la tanto en el ramo de

las matemáticas como física, mencionaremos algunos temas en donde también se pueden

emplear: Orbitales moleculares, Análisis factorial, Tensor de inercia, Tensor de tensión y

Valores propios de un grafo, En ecuaciones lineales, matrices, etc.

Algunos de estos campos de aplicación son:

- Ecuaciones diferenciales

- Estabilidad de sistemas lineales

- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)

- Polos y ceros de funciones transferencia

- Diagonalización de matrices

APLICACIONES:

Los valores propios y los vectores propios tienen muchas aplicaciones.

Se mencionarán algunas de ellas:

ESTADÍSTICA:

Análisis de conglomerados (Cluster)

Como parte del análisis, se calculan los valores propios de la matriz de varianza

covarianza, lo que permite posteriormente calcular las distancias.

Análisis de componentes principales:

Los valores propios permiten decidir qué variables son las realmente importantes y

posteriormente realizar agrupamientos

Análisis de factores (Factor Análisis)

ECUACIONES DIFERENCIALES:

Se usan para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

FISICA:

a) En la mecánica cuántica, la base es los valores y vectores propios. Los datos se

representan por operadores hermitianos Q. En un cierto estado, se encuentra el valor

propio a, y el estado del sistema será la proyección del estado sobre el vector propio

asociado con a.

b) Los péndulos: hay una Buena demostración con botellas oscilantes, que depende de

valores propios. Esto puede encontrarse bajo el tema “péndulos acoplados”.

c) En rotación de cuerpos rígidos, si importar lo complicado que un objeto parece,

siempre hay al menos un conjunto de tres direcciones ortogonales alrededor en las que el

cuerpo puede rotar sin precesión, y para su cálculo se usan vectores propios.

d) TELECOMUNICACIONES: El llamado algoritmo de “formación de rayos”, en el caso de

antenas múltiples, requiere el cálculo de vectores propios.

DINAMICA POBLACIONAL:

Se puede modelar la dinámica de una población en forma de una matriz actuando sobre

vectores, y analizar en las iteraciones lo que ocurre. Para ello se utiizan vectores propios.

Conclusión

Los valores y vectores característicos juegan un papel muy importante en el ramo de las

matemáticas como en el de la física, ya que a través de estos podemos resolver muchas

dificultades que se nos presentan en la vida.

Nos dimos cuenta de las diferentes propiedades que poseen los valores y vectores

característicos, así como las diferentes formas de resolverlos.

Entendimos que no podemos dejar a tras todo lo aprendido en el curso, porque todo va

ligado a cada tema. Con esto podríamos decir que hemos aprendido a tener un amplio

criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las

enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y

poder poner en práctica los temas futuros.

Esperamos que este artículo les sirva a todos aquellos que deseen aprender más y les

ayude en su formación profesional.