1. Valores y vectores característicos

Sean T: V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v y un escalar V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar tal que

Tv =v (1)

Si v " 0 y satisface (1), entonces se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor . Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.

Definición . Eigenvalor y eigenvector. Sea A una matriz de n * n con componentes reales&. El número (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que Av = v. (2)

El vector v " 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .

Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.

Nota. La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos y los eigenvectores reciben el nombre de vectores propios o vectores característicos.

Ejemplo 1. Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.

Sea A = 10 -18-11

Entonces

A 2 = 10 -18 2 = 2 1 6 -11 1 1

Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v1 = 21

De manera similar, A 3 = 10 -18 3 = -6 = -2 3 2 6 -11 2 -4 2

de manera que 2 = -2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v2 = 32

1.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección.

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.

El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V ! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) tales que

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c.

Ecuación del valor propio o autovalo

Matemáticamente, v es un vector propio y el valor propio correspondiente de una transformación T

si verifica la ecuación:

donde T(v) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a v.

Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que

para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y v pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna v—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma

donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la transformación T y su representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo T para la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el valor propio y las n componentes de v son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de vector propio en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita, como por ejemplo en el caso de la cuerda mostrada anteriormente. Dependiendo de la naturaleza de la transformación T y el espacio al que se aplica, puede ser ventajoso representar la ecuación de valor propio como un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde los vectores propios reciben a menudo el nombre de funciones propias del operador diferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una transformación lineal, ya que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)

Considérese la diferenciación con respecto a t. Sus funciones propias h(t) obedecen a la ecuación de valor propio:

donde es el valor propio asociado con la función. Una función en el tiempo es constante si = 0, crece proporcionalmente a sí misma si es positiva, y decrece proporcionalmente a sí misma si es negativa. Por ejemplo, una población ideal de conejos engendra con más frecuencia a medida que hay más conejos, y por tanto satisface la ecuación para lambda positivo.

La solución a la ecuación de valor propio es g(t) = exp(t), la función exponencial; pues esa función es una función propia del operador diferencial d/dt con el valor propio . Si es negativa, la evolución de g se denomina decaimiento exponencial; si es positiva se denomina crecimiento exponencial. El valor de puede ser cualquier número complejo. El espectro de d/dt es entonces el plano complejo en su totalidad. En este ejemplo el espacio vectorial en el que actúa d/dt es el espacio de las funciones derivables de una variable. Este espacio tiene una dimensión infinita (pues no es posible expresar cada función diferenciable como combinación lineal de un número finito de funciones base). No obstante, el espacio propio asociado a un valor propio determinado es unidimensional. Es el conjunto de todas las funciones g(t) = Aexp(t), donde A es una constante arbitraria, la población inicial en t=0.

Valor propio

Se dice que el número , real l o complejo, es un valor propio A si existe un vector no nulo u, real o complejo tal que Au = u, es decir (A " I )u = 0

Propiedades de los valores propios

Definición 3 Dos matrices n×n, A y B, se dicen semejantes si existe una matriz invertible P tal que A = P"1BP.

Teorema 3 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por consiguiente, los mismos valores propios.

Definición 4 Una matriz A se dice diagonalizable (por semejanza) si es semejante a una matriz diagonal.

Teorema 4 Una matriz A, n × n, es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.

Teorema 5 La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de la matriz, es decir, 1 + 2 + · · · + n =aii.

Teorema 6 El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de la matriz.

Teorema 7 Los valores propios de una matriz triangular son los coeficientes de su diagonal principal.

Teorema 8 Una matriz A es singular si y solo si tiene un valor propio igual a cero.

Teorema 9 Si los valores propios de una matriz A son i, 0 " i " n, los valores propios de la matriz A " I son i " , 0 " i " n.

Los vectores propios de A y A "I son idénticos.

Teorema 10 Los valores propios de las potencias de una matriz A son las correspondientes potencias; los vectores propios son los mismos.

Vector propio

El vector u se denomina vector propio de A asociado al valor propio .

1.2 Polinomio y ecuación característica

En general, el polinomio que resulta de desarrollar |A "I |, cuyos ceros son precisamente los valores propios de A, se denomina polinomio característico.

P() = ("1)nn + a1n"1 + … + an

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz (A - l·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y l un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

Su determinante, det (A - l·In) , que es un polinomio en l, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a det (A - l·In) = 0

Ecuación característica de A.

1.3 Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo simbólico

Encontrando valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (A - I) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p() = det(A - I) es un polinomio de pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA() = 0.

Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene al menos n valores propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.

Encontrando vectores propios

Una vez que se conocen los valores propios , los vectores propios se pueden hallar resolviendo:

Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

cuyo polinomio característico es 2 + 1 y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Cálculo numérico

En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no se calculan usando el polinomio característico. Calcular el polinomio resulta muy costoso, y extraer las raíces exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de calcular y expresar: el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios de grado alto (5 o superior) no pueden expresarse usándose simplemente raíces enésimas. Existen algoritmos eficientes para aproximar raíces de polinomios, pero pequeños errores en la estimación de los valores propios pueden dar lugar a errores grandes en los vectores propios. En consecuencia, los algoritmos generales para encontrar vectores propios y valores propios son iterativos. La manera más fácil es el método de las potencias: se escoge un vector aleatorio v y se calcula una secuencia de vectores unitarios:

Esta secuencia casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al mayor valor propio. Este algoritmo es sencillo, pero no demasiado útil aisladamente. Sin embargo, hay métodos más populares, como la descomposición QR, que se basan en él

Valores propios de una matriz cualquiera

Si es complejo, entonces u es complejo.

Los valores propios de B = C"1AC son los mismos de A. Si x es el vector propio asociado a , entonces Cx es un vector propio de B asociado a .

1.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices

¿Qué es diagonalizar una matriz?

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que

A = P D P-1

La matriz P se llama matriz de paso.

Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una

aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuadricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.

La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta, matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.

Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal. En estas prácticas sólo consideraremos como diagonalizables las matrices que sean semejantes a una matriz diagonal real. Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.

¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?

Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P-1, entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi = li xi (donde xi es la columna i de A y li es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre:

Si un número l y un vector no nulo x verifican la relación A x = l x diremos que l es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de A asociado al valor propio l.

Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.

Sea

1.5 Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización ortogonal

Valores propios de matrices simétricas

Si D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A, entonces existe una matriz ortogonal Q tal que D = Q"1AQ = QtAQ.

Asimismo, existen n vectores propios de A que forman un conjunto ortonormal, y coinciden con las columnas de la matriz ortogonal Q.

Todos los valores propios de A son reales.

A es definida positiva si y sólo si todos los valores propios de A son positivos.

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P-1 La matriz P se llama matriz de paso. Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Observación: Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. El siguiente teorema establece cuando una matriz es diagonalizable. TEOREMA: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por

1 0 … 0

0 2 0 … 0

0 0 3 … 0

D = . . . .

0 0 0 … n

Donde 1, 2,….. , n son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C-1AC Una matriz diremos que es ortogonal si su transpuesta coincide con su inversa.

P ortogonal <=> P-1 = Pt

Si P= (u1|u2|…|un) resulta que decir que P es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores {u1, u2,…, un} son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal.

Diagonalización ortogonal

Una matriz diremos que es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa.

Si

resulta que decir que P

es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores

son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal.

1.6 Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes: a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en el cuerpo K tal que (x) = f(x,x). A f se le llama forma polar de . b) (lx) = l2x, . Además f(x,y) = ((x + y) " (x) " (y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f. Cuando se dice que la forma cuadrática es real. A veces a las formas cuadráticas definidas positivas se las denomina métricas. Formas cuadráticas Una forma cuadrática en R3 es cualquier conjunto de puntos xT=(x1,x2,x3) que satisface una ecuación del tipo: xTAx=r, (1) donde A es una matriz simétrica de 3x3 a coeficientes reales y r es un número real. Vía una rotación del espacio dada por y=PTx donde yT=(y1,y2,y3) y P es una matriz unitaria de 3x3 a coeficientes reales, se puede expresar una forma cuadrática arbitraria con respecto a un vector y de manera que: yTDy=r, (2) donde D es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales. ¿Porqué siempre pueden encontrarse P y D con las propiedades requeridas? ¿Por qué P representa una rotación del espacio? Vía un re-escalamiento adicional dado por z=D'y donde zT=(z1,z2,z3) y D' es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales no-negativos, se puede expresar la última ecuación obtenida con respecto el vector z de manera que quede representada por una ecuación del tipo: zTJz=r, (3) donde J es una matriz diagonal de 3x3 que sólo puede contener en su diagonal valores que están en {"1,0,1}.

Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en el cuerpo K tal que (x)=f(x,x). A f se le llama forma polar de .

b) (lx) = l2x,

Además f(x,y) = ((x + y) " (x) " (y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f.

Cuando

se dice que la forma cuadrática es real. A veces a las formas cuadráticas definidas positivas se las denomina métricas.

1.7 Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley"Hamilton establece que cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica: Si p() = det(") es el polinomio característico de A, entonces p(A) es la matriz nula.

Entre las diversas demostraciones del teorema hemos encontrado en R. Bellman (1965) una puramente algebraica, que es la que detallamos, con algún matiz, en nuestro trabajo.

El interés de la demostración radica en la utilidad que puede tener para nuestros alumnos de primer curso, la exposición de un desarrollo lógico basado en sus conocimientos básicos de cálculo matricial. También es inmediato y puede ser igualmente útil calcular, a partir del teorema, la inversa de A, cuando A sea no singular.

Sea p() = ( " 1) n n+ cn"1 n"1+ cn"2 n"2+ ... + c2 2 + c1 + c0 el polinomio característico de una matriz A de orden n. Entonces p(A) = ( " 1) nn + cn"1 n"1 + cn"2 An"2 + ... + c1 A + c0 I es la matriz nula. Es decir, cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica p(A) = 0.

Nota: A es una matriz de orden n con elementos en un cuerpo K; por tanto, los coeficientes ci del polinomio característico det( " ) pertenecen a dicho cuerpo K.

Demostración

Por las propiedades de las matrices se cumple que:

(A " I) Adj(A " I) t = p()I

donde Adj(A " I) t es la matriz transpuesta de la matriz de los adjuntos de los elementos respectivos de la matriz A " I y p() = det( " ) es el polinomio característico de la matriz A.

Si denotamos B() = Adj(A " I)t, entonces B() es una matriz polinómica en , de grado n"1, que se puede escribir como:

B() = n"1 n"1+ n"2 n"2+ ... + 2 2 + 1 + 0

donde cada i es una matriz de orden n, con elementos en el cuerpo K. Entonces el producto (A " I) B() vale:

(A " I) B() = (A " I )(n"1 n"1+ n"2 n"2+ ... + 2 2 + 1 + 0) = " Bn"1 n + (n"1 " n"2) n"1+(n"2 " n"3) n"2+ ... + (2 " 1) 2 + (1 " 0) + 0

Por otro lado p() I es la matriz polinómica:

p() I = ( " 1) n I n+ cn"1 I n"1+ cn"2 I n"2+ ... + c2 I 2 + c1 I + c0 I

Luego, igualando las matrices polinómicas, con elementos en el dominio K(), (A " I) B() = p() I, se deduce que:

" n"1 = ( " 1) n I

n"1 " n"2 = cn"1 I

n"2 " n"3 = cn"2 I

AB2 " 1= c2 I

1 " 0= c1 I

0 = c0 I

Si vamos sustituyendo cada matriz Bi en la siguiente ecuación hasta llegar a la penúltima resulta:

" n"1 = ( " 1) n I

" n" n"3 = ( " 1) n A2 + cn"1 A + cn"2 I

" n"4 = ( " 1) n A3 + cn"1 A2 + cn"2 A + cn"3 I

- B2= (-1)n An"3 + cn"1 An"4 + cn"2 An"5 + ...+ c4 A + c3 I

" = ( " 1) n An"2 + cn"1 An"3 + cn"2 An"4 + ...+ c3 A + c2 I

0 = ( " 1) n An"1 + cn"1 An"2 + cn"2 An"3 + ...+ c2 A + c1 I

Entonces sustituyendo 0 en la última ecuación 0 = c0 I se obtiene:

" 0 = ( " 1) n An + cn"1 An"1 + cn"2 An"2 + ...+ c2 A2 + c1 A = " c0 I

Por tanto, ( " 1) n An + cn"1 An"1 + cn"2 An"2 + ...+ c2 A2 + c1 A + c0 I = 0. Es decir, p(A) = 0 c.q.d.

1.8 Aplicaciones

Los valores y vectores característicos tienen muchas aplicaciones en la tanto en el ramo de las matemáticas como física, mencionaremos algunos temas en donde también se pueden emplear: Orbitales moleculares, Análisis factorial, Tensor de inercia, Tensor de tensión y Valores propios de un grafo, En ecuaciones lineales, matrices, etc.

Algunos de estos campos de aplicación son:

- Ecuaciones diferenciales

- Estabilidad de sistemas lineales

- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)

- Polos y ceros de funciones transferencia

- Diagonalización de matrices

:

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR

DE MISANTLA

ING. BIOQUIMICA

ING. ANDREA BENITES DAVILA

MATEMATICAS IV

Unidad 4:

INVESTIGACION DE LA

UNIDAD No 6

ALUMNO:

JULIO PEREZ ZARATE

10 /12/10