XM

v/ Poul Hjorth og Steen Markvorsen

MRK ER NOVEMBER

Mrk er november og lvfaldet slut,vandet begynder at fryse,lyset fra solen og blomsterne brudt,da m vort hjerte selv lyse.Synge vil vi, legen er magt,mer end beregning, forstand og foragt,vrn mod det sorte og tomme.Om der svver ddeligt dr,vil vi dog elske og plante et tr,frugter kan uspet komme. -Thorkild Bjrnvig

XM

Synopsis

Den Kongelige Danske Funktionsundersgelse Et eksempel ala Feynman Brand! Integrator 4 Kritik der Automatik Solsikker Sperners Lemma (hvis der er tid)

Den Kongelige Danske Funktionsundersgelse

XMFunktionsundersgelse i n nddeskalEn konkret funktion f(x) er givet p et reelt interval Vis, at intervallet er begrnset og afsluttet (hvis det er det!) Vis, at f(x) er mindst to gange differentiabel (hvis den er det!) Tegn grafen for f(x) og grafen for f(x) Find fortegnsintervallerne for f(x) og for f(x) Find ekstremumspunkterne for f(x) og de tilhrende ekstremumsvrdier Find f(x) i ethvert ekstremumspunkt for f(x) Find strste- og mindste-vrdi for f(x) Find integralet af f(x), dels ubestemt dels bestemt (over intervallet)

XMFunktionsundersgelse i n nddeskalEn Maple-inspektor (*)

Et eksempel ala Feynman

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XMLivredning

XM modellering Livredning mm. med MapleFind (mindste) redningstid og tilsvarende redningsvej Verificr Snells brydningslov Maplesession (*)

XM relevansVariabel (differentiabel) brydningsindex: f(y)

XM relevansRay Tracing

XM: Alle knebVisualisr, eksperimentr, opdag, forst!

XM: Alle knebVisualisr, eksperimentr, opdag, forst!

Brand!

Brand!

Skovbrande i Canada ( >200 ha, 1959-1999)

Brand!Attack:

Brand!Strategi:

Brand!Head-, Flank-, and Back-Fire

Grassland FireTikokino, Central Hawkes Bay, New Zealand, 1991

Brand!Elliptiske velser ILigning Parametrisering Omkreds Foliering Areal

Brand!Uden vind

Brand!Med vind

Brand!Med variabel vindretning (360 graders drejning)

XM i Matematik1 p DTUIntegrator4 en flervariabel InspektorEksempel (*)

Kritik derAutomatik

Integrator 4 i praksisLad en flade F vre givet som skringen mellem cylinderen {(x,y,z) \in R^3 | x^2 + y^2 \le 4} og den plan der er givet ved ligningen 3x -2y + z = 1. Bestem fluxen af vektorfeltet V = (z-y^2, 3x+sin(y), x(z+1)) igennem fladen F.

Lad en flade F vre givet som skringen mellem cylinderen {(x,y,z)| x^2 + y^2 < 4} og den plan der er givet ved ligningen 3x -2y + z = 1. Bestem fluxen af vektorfeltet V = (z-y^2, 3x+sin(y), x(z+1)) igennem fladen F.?

Integrator 4 er et fantastisk redskab til kurve- flade og rumintegration med brug af Maple -- Integrator 4 har strk XM karma.Imidlertid forudstter effektiv brug af Integrator 4 en grad af sikkerhed mht parameter-reprsentation af flader, en sikkerhed som ikke altid er til stede.Dette afspejler efter min mening et generelt problem vi ofte str overfor med computer-hjulpen XM: Det enkelte systems prmisser mht brugerens forkundskaber og brugerens reaktionsmnstre er ikke uniformt afspejlet hos de reelle brugere.Jeg er optimist: vi kan modvirke dette problem ved at vre bevidst om det, og (naturligvis) ved at bruge computer-assistance til at klargre hvordan matematiske objekter reprsenteres i computeren.

Det vrste XM forsg jeg har vret udsat for -Det bedste XM forsg jeg har udsat andre for -

Keep it simple. Risikoen for afsporing ges eksponentielt med antallet af bevgelige dele.Undg rene computer-iscenesttelser. Flex ud & ind af computer-assistance.Udnyt matematikkens forunderlige uforfrdethed, dens ldgamle charme og dens urimelige effektivitet.

Frugterkanuspetkomme.

Solsikker

Se de smukke spiraler i solsikkens blomsterstand

Hvordan vokser frene frem ?Hvert fr vokser frem i midten og skubbes ud mod randen efterhnden som frstanden vokser

Det nste fr dannes i en retning som er drejet en vinkel v fra det foregende. Dette fr bevger sig ogs ud mod randen.v

Nste fr dannes igen med en vinkel v fra det foregende, osv.v

Hvilken brkdel af 360 er denne vinkel v ?S ville en sdan v ikke pakke frene srlig godt - der ville blive afstand mellem strlerne.Hvis vinklen var en pn (brk) del af 360, fx1/9 af 360

Et irrationalt tal vil undg denne strle effekt.Men nogle irrationale tal er bedre end andre.For et endeligt antal fr vil der alligevel dannes strler hvis det irrationale tal er tt ved et simpelt rationalt tal.

Hvis fx vinkel v er en anelse mindre end 1/2 af 360 :Nrhed ved simple brker vil resultere i spiraler, hvor antalletaf arme fortller om den simple brks nvner.

Hvis det simple rationale tal er strre end v buer spiralerne med uret 3/5 5/8Hvis det simple rationale tal er mindre end v buer spiralerne mod uret

Det glder om at finde et v der s lidt som muligt tillader en rational tilnrmelse. Der findes et tal der i denne forstand er det mest irrationale tal p hele tallinjen.Netop dette tal vil give den allerbedste pakning af frene, med mindst tendens til strler og spiraler.

Dette tal har vret kendt siden oltidenTallet har et vld af smukke talteoretiske egenskaber.Det er selvflgelig = 0,618033989.......Det bruges allerede meget i gymnasieprojekter

Specielt er de bedste rationale tilnrmelser til tallet forhold mellem Fibonaccital:1,2,3,5,8,13,21,....

Synge vil viLegen er magt

XM

Sperners Lemma

Et hus med mindst et rum med kun n dr Et spil, der finder sdan et rum En fikspunkts-stning og algoritme vandpapiralgfundthm En invers funktions-stning En stning om implicit givne funktioner En afbildningsgrad for kontinuerte afbildninger

Slut

Tak for opmrksomheden!

XM i proces-orienteret lringG. Strang on eigenvectors and stuff directly from MIT

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/Tools/index.htm

XM i proces-orienteret lringAla Archimedes

XM i proces-orienteret lringAla Archimedes

XM i proces-orienteret lringEn vindelfladekonstruktion

XM i proces-orienteret lringMatematik 1 (semester 1 + 2 p DTU)

Ugeseddel 10 http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/uge10.pdf http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/Uge10SOL.html Fladeintegration og Stokes stning http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/FladeIntDemo.html

Projekt-opgaver, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/RBCplan02.pdf Tema-opgaver, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/SkovBrandPub.pdf

XM i proces-orienteret lringDifferentialgeometri (4. semester p DTU)

Rumkurver, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap02Viviani.html Flader, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap06(II)EulerGuillotine.html

Gauss-Bonnets stning, et eksempel http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap11GaussBonnet.html

XM i proces-orienteret lringFaldgruber og Kongeveje I

Nr standard-sprgsml har automatiske svar og det har de jo ofte s giver standard-opgaver ikke ndvendigvis anledning til det bermte ryk. Den matematiske handlekraft indskrnkes i den faldgrube til flgende: Den automatiske analyse udfres ved at prparere et input efter en passende skabelon og dernst aktivere en automat (ikke ndvendigvis en computer). Det kan for eksempel foreg som i `funktionsinspektoren

XM i proces-orienteret lringFaldgruber og Kongeveje II

Kongevejen betrdes (som antydet i det sidstnvnte eksempel) hvis automaten ikke giver det forventede svar, fordi s br overraskelsens moment straks benyttes til at forst hvorfor. Eksperimentets betydning for den proces-orienterede lring er p den mde at give anledning til strukturelt betingede, konstruktive, sprgsml til de automatiske svar sprgsml, der opklarer mysterierne og peger fremad mod det udsagn, den stning, som de derved samtidig er med til at understtte og bevise. Det bliver s underviserens interessante opgave dels at vejlede forventningen og simpelthen skabe den, for s vidt den ikke findes i forvejen, og dels at fastholde og dramatisere mysteriet samt vejlede opklaringsprocessen.

XM i proces-orienteret lringFaldgruber og Kongeveje III

Som en anden Sherlock Holmes: Det er som altid i spndingsfeltet mellem mysterium og opklaring at rykket trder i karakter. Det er ikke altid butleren der er morderen. Og apropos den analogi:

XM i proces-orienteret lring

XM i fremtiden IVisioner

Eksperiment og bevis samarbejder i procesorienteret lring Brbare PC til alle studerende En praktisk tilgang til XM-inspireret undervisning p tvrs af fagene Helt andre og nye strukturelt motiverede opgaveformuleringer

XM i fremtiden II

G. Strang, MIT: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/Tools/index.htm EmMa, DTU: http://www2.mat.dtu.dk/info/mathematics/EmMa/

XM i fremtiden III

Matematik 1, generelt: http://www2.mat.dtu.dk/education/01005/ Matematik 1, Maples: http://www2.mat.dtu.dk/education/01005/worksheets_mat1.html Matematik 1, ugeseddel 10: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/uge10.pdf http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/Uge10SOL.html Matematik 1, en projekt-opgave: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/RBCplan02.pdf Matematik 1, en tema-opgave: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/SkovBrandPub.pdf

Differentialgeometri, generelt: http://www2.mat.dtu.dk/education/01234/ Differentialgeometri, om kurver, flader og Gauss-Bonnet: http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap02Viviani.html http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap06(II)EulerGuillotine.html http://www2.mat.dtu.dk/people/S.Markvorsen/DISPLAY/XMatDTU/DGChap11GaussBonnet.html

Slut

Tak for opmrksomheden!