UVOD U MATEMATIČKE METODE U INŽENJERSTVU

JEDNODIMENZIONALNA TOPLINSKA JEDNADŽBA

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJESVEUČILIŠNI DIPLOMSKI STUDIJ PRIMIJENJENA KEMIJA

ZAVOD ZA MATEMATIKU

Leo Mandić

Tomislav Suhina

Ivica Gusić, red. prof. dr. sc.

Miroslav Jerković, dr. sc.

SADRŽAJ

• UVOD

• RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA

• RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA

• MATHEMATICA

• ZAKLJUČAK

• LITERATURA

UVOD

• Parcijalna diferencijalna jednadžba (PDE) jest jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija (nepoznate) funkcije.

• PDE je linearna ako je prvog reda i u zavisnoj varijabli i u njezinim parcijalnim derivacijama.

• U primjenama su najvažnije PDE drugog stupnja.

Važnije PDE

• PDE općenito imaju vrlo velik broj različitih rješenja.

• Jedinstveno rješenje parcijalne diferencijalne jednadţbe može se dobiti korištenjem dodatnih uvjeta koji proizlaze iz problema.

• To mogu biti rubni uvjeti i početni uvjeti.

RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM REDOVIMA

• Općenito, toplinska jednadžba glasi:

• Naziva se i difuzijskom jednadžbom.

• Za metalni štap kod kojeg se toplina prenosi samo duž osi apscisa trodimenzionalna toplinska jednadžba prelazi u jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu:

• Uz početni uvjet i rubne uvjete, nakon separacije varijabli, zadovoljavanja rubnih uvjeta, kao i početnog uvjeta, konačno rješenje jednadžbe je:

• Ovo rješenje dobiva se uz pretpostavku da je f(x) kontinuirana po dijelovima na intervalu i da ima jednostrane derivacije u svim nutarnjim točkama tog intervala.

• Zbog eksponencijalnog faktora, svi se članovi u približavaju nuli kako vrijeme teži beskonačnosti.

RJEŠAVANJE 1-D TOPLINSKE JEDNADŽBE FOURIEROVIM INTEGRALIMA I TRANSFORMACIJAMA

• Dosada smo razmatrali jednodimenzionalnu toplinsku jednadžbu za slučaj kada imamo štap konačne duljine.

• U slučaju štapa beskonačnih duljina (odnosno vrlo dugačkih štapova), Fourierove redove potrebno je zamijeniti Fourierovim integralima.

• U tom slučaju, nakon sličnog postupka kao i za štap konačne duljine, rješenje jednodimenzionalne toplinske jednadžbe za beskonačno dugačak štap je:

21( , ) ( 2 ) zu x t f x cz t e dz

MATHEMATICA

• Kao primjer imamo štap koji je uronjen u kupelj temperature 100 °C, a na krajevima je temperatura jednaka nuli.

• Rješenje ima oblik:

• Vrijedi:

1

2

sin),(n

tL

cn

n exL

nBtxu

Algoritam u Mathematici

Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2 = 0.1), različit broj članova Fourierova reda (n))

n=11

n=41

Grafički prikaz rješenja (konstantan parametar provodljivosti (c2), konstantan broj članova Fourierova reda (n = 15))

c2=0,3 c2=0,5

ZAKLJUČAKZAKLJUČAK

• Parcijalne diferencijalne jednadžbe su modeli za različite fizikalne i geometrijske probleme.

• Jedna od takvih jednadžbi jest i jednodimenzionalna toplinska jednadžba.

• Njezina važna primjena je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap.

LITERATURALITERATURA

• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, John Wiley and Sons, Inc., 2006., 535. – 536., 552. – 554. i 562. – 564. str.

• http://demonstrations.wolfram.com/HeatTransferAlongARod/

Zahvaljujemo na pažnji!