utilização da dinâmica de sistemas no ensino da cinemática

Universidade Federal de Juiz de Fora

Diego Filippe Costa

Utilização da Dinâmica de

Sistemas no ensino da

Cinemática

Juiz de Fora

2008

Diego Filippe Costa

Utilização da Dinâmica de

Sistemas no ensino da

Cinemática

Monografia apresentada junto ao

curso de Engenharia Elétrica da

Universidade Federal de Juiz de Fora,

na área de Engenharia de Sistemas,

como requisito parcial para á

obtenção do título de bacharel.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela

Co-Orientadora: Prof. Mestre Débora Costa Soares dos Reis

Juiz de Fora

2008

Diego Filippe Costa

Utilização da Dinâmica de Sistemas

no ensino da Cinemática

Monografia apresentada junto ao

curso de Engenharia Elétrica da

Universidade Federal de Juiz de Fora,

na área de Engenharia de Sistemas,

como requisito inicial para á

obtenção do título de bacharel.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela

Co-Orientadora: Prof. Mestre Débora Costa Soares dos Reis

COMISSÃO EXAMINADORA

_____________________________________

Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela

_____________________________________

Prof. Mestre Débora Costa Soares dos Reis

_____________________________________

Juiz de Fora, 02 de dezembro de 2008

Resumo

Este trabalho é desenvolvido com o intuito da elaboração de uma nova

metodologia para se ensinar física, mais especificamente cinemática. Este

novo estudo é desenvolvido segundo os conceitos de Dinâmica de Sistemas,

fazendo-se uma abordagem quantitativa destes conceitos. Paralelamente ao

desenvolvimento deste novo método de ensinar, é feito um estudo de como a

cinemática é aplicada hoje na maioria das escolas, segundo os métodos

tradicionais, com o intuito de se fazer ao final deste trabalho, uma comparação

entre os dois jeitos de ensinar. Todo trabalho elaborado, foi implementado em

ambiente computacional, por meio do uso do software de simulação Powersim,

escolhido por ser gratuito e completo funcionalmente.

Palavras Chaves: Dinâmica de Sistemas, Cinemática, Simulação

Computacional.

Abstract

This work is developed with the intention of the elaboration of a

new methodology to teach physics, more specifically kinematics. This

new study it is according to developed concepts of Systems Dynamics,

having become a quantitative boarding of these concepts. Parallel to the

development of this new method to teach, a study is made of as the

kinematics are applied today in the majority of the schools, according to

traditional methods, with the intention of if to make to the end of this work,

a comparison enters the two skills to teach. All elaborated work, was

implemented in computational environment, by means of the use of the

software of simulation Powersim, chosen for being gratuitous and

complete functionally.

Words Keys: Systems Dynamics, Kinematics, Computational Simulation.

Sumário

Capítulo 1 – Introdução......................................................................................01

1.1 – Conceitos Iniciais............................................................................01

1.2 – Revisão Bibliográfica......................................................................02

1.3 – Divisão do Texto.............................................................................03

Capítulo 2 – Dinâmica de Sistemas..................................................................04

2.1 – Introdução......................................................................................04

2.2 – Modelos de Estoque e Fluxo..........................................................05

2.3 – Modelagem Computacional............................................................07

Capítulo 3 – Estudo dos Movimentos................................................................08

3.1 – Movimento Uniforme......................................................................08

3.2 – Movimento Uniformemente Variado...............................................15

3.3 – Movimento Vertical no Vácuo.........................................................25

3.4 – Velocidade e Aceleração Vetorial..................................................29

3.5 - Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo no Vácuo..............39

3.6 – Movimentos Circulares...................................................................52

Capítulo 4 – Conclusão......................................................................................64

Referências Bibliográficas.................................................................................66

Anexos...............................................................................................................67

A.1 – Manual do Powersim.....................................................................67

A.2 – Exemplos de exercícios resolvidos pelo método dinâmico............79

A.3 – Trabalhos desenvolvidos por alunos de graduação......................86

1

Capítulo 1 – Introdução

1.1 – Conceitos Iniciais

O conteúdo descrito neste trabalho nasceu de um projeto desenvolvido pelo

professor Paulo Roberto de Castro Villela1 e financiado pelo CNPq2. Este projeto

recebeu o nome de Ciência Viva, devido ao fato de seu grande objetivo ser criar

uma nova metodologia para se ensinar ciências, de uma maneira mais atrativa e

interessante para os alunos.

Este trabalho tem este mesmo objetivo. Onde aqui se estuda como a

Cinemática, uma parte fundamental da física, pode ser ensinada de uma outra

forma. De um jeito que foge aos padrões tradicionais, há anos ensinados nos

colégios.

Busca-se neste trabalho explicar a física de um modo novo, que seja

interessante aos alunos. De forma que estes possam aprender a gostar um pouco

desta necessária disciplina, facilitando em muito o seu aprendizado.

Aqui se tenta fugir ao máximo das equações, que tanto amedronta os alunos,

buscando explicar a física de uma maneira inteiramente visual, representando todas

as grandezas necessárias, por meio de símbolos, que serão posteriormente

apresentados. Está forma gráfica, permite aos alunos, além de entender mais

facilmente os conceitos físicos, visualizar como os fenômenos propostos acontecem.

Sendo está uma forma que prende a atenção do aluno, fazendo com que ele

aprenda de uma forma natural.

Está nova abordagem da cinemática, será feita a partir dos conceitos

desenvolvidos em uma disciplinada chamada Dinâmica de Sistemas, onde em linhas

gerais, está fornece ferramentas que permitem criar modelos que expliquem

qualquer tipo de situação, seja está um fenômeno físico ou um fato do dia a dia,

tornando muito mais fácil o seu entendimento. No início deste trabalho será um

estudo sobre Dinâmica de Sistemas, na busca de elucidar seus conceitos.

1 Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela da Universidade Federal de Juiz de Fora E-mail: [email protected]. 2 CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.

2

1.2 – Revisão Bibliográfica

Esta seção apresenta a revisão bibliográfica feita sobre o material utilizado

para o desenvolvimento deste trabalho.

Villela (2005) trata a respeito dos conceitos iniciais sobre Dinâmica de

Sistemas. Onde o autor inicialmente faz um estudo sobre o contexto em que a

Dinâmica de Sistemas surgiu, quais pessoas foram importantes no seu

desenvolvimento e onde ela se aplica, em linhas gerais e específicas.

Posteriormente é feito um estudo qualitativo e quantitativo de algumas situações.

Por este trabalho se tratar de um estudo quantitativo da cinemática, a parte

quantitativa de Villela (2005) foi de grande auxílio no desenvolvimento deste

trabalho, onde os muitos exemplos lá apresentados serviram como base para a

elaboração dos modelos que serão aqui tratados.

RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO (2003) aborda a cinemática segundo os

conceitos tradicionais, em uma linguagem voltada para alunos do ensino médio. A

forma com que os autores abordam o tema é bastante esclarecedora, onde os

exemplos que por eles são apresentados elucidam os conceitos propostos. Tomei

este livro como base para explicar os conceitos tradicionais da física apresentados

neste trabalho, tendo como intuito da apresentação de tais conceitos, a comparação

com a nova metodologia que está sendo desenvolvida.

ROCHA (2004) trata a respeito da analise matemática dos conceitos de

Dinâmica de Sistemas. Tal artigo mostra alguns sistemas e situações comuns, como

uma caderneta de poupança ou o ato de tomar um copo de água, vistos do ponto de

vista dinâmico. Sendo mostrado pelo autor diagramas causais e sistemas de

estoque e fluxo que explicam o funcionamento de tais sistemas. Neste trabalho o

autor faz um estudo de todo o conceito matemático envolvido em cada sistema

abordado, montando e desenvolvendo cada equação. Este artigo foi de grande

ajuda no desenvolvimento matemático deste trabalho final de curso, auxiliando

também no modo da estrutura do trabalho a ser desenvolvido.

Powersim AS e Powersim Corporation (1996) tratam de todos os recursos

disponíveis no software de simulação Powersim. Faz um estudo bem detalhado e

explicativo, das ferramentas básicas a avançadas do programa, fornecendo também

uma série de exemplos da utilização de tais ferramentas. Como o Powersim foi o

programa escolhido para o desenvolvimento computacional dos modelos aqui

propostos, antes do início do desenvolvimento deste trabalho, foi feito um estudo

3

abrangente do software, com o intuito de poder se aproveitar o máximo das

ferramentas nele disponíveis.

1.3 – Divisão do Trabalho

Este trabalho foi dividido em quatro capítulos. O Capítulo 1 – “Introdução” –

apresenta uma introdução do tema a ser abordado e uma abordagem bibliográfica

do material estudado para o desenvolvimento de tal trabalho.

O Capítulo 2 – “Dinâmica de Sistemas” – relata o contexto em que surgiu a

disciplina Dinâmica de Sistemas, quem participou de seu desenvolvimento e mostra

algumas aplicações. Mostra-se ainda uma aplicação específica desta disciplina e o

ferramental computacional que pode ser utilizado nas aplicações desenvolvidas

neste trabalho.

O Capítulo 3 – “Estudo dos Movimentos” – apresenta os principais tipos de

movimentos explicados pela cinemática, mostrando como estes são estudados pelos

conceitos da física clássica e o modo como podem ser trabalhos de uma forma

dinâmica.

O Capítulo 4 – “Conclusão” – relata as vantagens que podem ser obtidas no

estudo dinâmico da cinemática, fazendo-se uma comparação desta metodologia

com a tradicional.

Nos anexos será apresentado um manual do software Powersim, com o

intuito de auxiliar durante a simulação dos modelos propostos neste trabalho, e

vários exemplos resolvidos pelo autor deste trabalho e por alguns alunos da

graduação em engenharia elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora,

buscando fixar a metodologia proposta.

4

Capítulo 2 – Dinâmica de Sistemas

2.1 – Introdução

A disciplina Dinâmica de Sistemas (do termo em Inglês: System Dynamics) foi

proposta e desenvolvida na década de 50 pelo engenheiro eletricista Jay Forrester

na escola de administração Sloan School of Management do MIT (Massachusets

Institute ofTechnology). Forrester que trabalhou, durante a II Guerra no Laboratório

de Servomecanismo do MIT, para as forças armadas americanas, desenvolvendo

controles automáticos para armamentos militares, percebeu que poderia dar uma

grande contribuição às ciências administrativas, econômicas e sociais, usando os

mesmos conceitos da teoria de controle e servomecanismos, bastante desenvolvida

na engenharia elétrica.

Em 1961, Forrester publicou o livro "Industrial Dynamics" (Dinâmica Industrial)

que se tornou o marco conceitual da disciplina que hoje se conhece como Dinâmica

de Sistemas. Entretanto foi através do contato de Forrester com o ex-prefeito de

Boston, John F. Collins, que trabalhava na época (1968) como professor visitante no

MIT, que a disciplina começou a provar sua real utilidade nos famosos modelos de

estudos estratégicos urbanos e mundiais, editados nos dois best sellers: "Urban

Dynamics" (Dinâmica Urbana) e "World Dynamics" (Dinâmica Mundial).

Posteriormente, Peter Senge, engenheiro formado em Stanford e orientado de

Forrester, trabalhou na década de 70 na realização de seminários com executivos,

introduzindo a prática do pensamento sistêmico dinâmico no seio das grandes

organizações. Hoje, o trabalho de Senge está se consolidando como uma

metodologia de administração de empresas que utiliza basicamente o ferramental de

Dinâmica de Sistemas e é conhecida como ORGANIZAÇÕES QUE APRENDEM (Learning

Organizations) e PENSAMENTO SISTÊMICO (System Thinking). Senge lançou em 1990,

seu famoso best seller A Quinta Disciplina - Arte e Prática da Organização que

Aprende (The Fifth Discipline - The Art & Practice of The Learning Organization) e

The Fifth Discipline Field Book. A "quinta disciplina" referenciada na obra de Senge é

o PENSAMENTO SISTÊMICO que utiliza todo o ferramental metodológico desenvolvido

por Jay Forrester na década de 50 e estruturado no início da década de 60 no livro

“Industrial Dynamics”.

5

O sucesso que as aplicações da metodologia Dinâmica de Sistemas vem

alcançando no mundo todo é inquestionável. Desde os famosos modelos urbanos e

globais de Forrester e Collins na década de 60 e 70 aos "simuladores de vôos

gerenciais", que vem sendo usados nas grandes corporações ao redor do mundo,

que a disciplina Dinâmica de Sistemas vem provando seu potencial como ferramenta

auxiliar em várias áreas do conhecimento.

Dentre várias aplicações, Dinâmica de Sistemas se presta para a identificação

da seguinte característica básica de qualquer sistema:

Relações de causa e efeito: É comum numa situação-problema complexa,

ficar-se debatendo horas e horas, sem que se chegue a uma conclusão de quais são

as causas estruturais de um problema, mesmo quando se reúne especialistas das

diversas áreas de abrangência do problema. Todos têm razão e ninguém tem razão.

Dinâmica de Sistemas permite a construção de gráficos de relações causais onde se

procura delimitar e pesquisar quais as relações de causa e efeito que existem entre

os elementos de um sistema. Dinâmica de Sistemas permite a construção destes

gráficos causais em reuniões com a participação de especialistas e usuários de um

sistema, fazendo com que cada um compartilhe suas visões do sistema (modelos

mentais), estabelecendo uma linguagem que facilita o aprendizado mútuo entre os

constituintes do grupo.

2.2 – Modelos de Estoque e Fluxo

Como forma de representação quantitativa das relações de causa e efeito

utiliza-se os modelos de estoque e fluxo (VILLELA, 2005). Nesta metodologia de

representação sistêmica, com apenas cinco elementos básicos se pode construir

modelos (representações) de sistemas bastante complexos. Estes são mostrados na

Fig. 2.1.

6

Figura 2.1 – Elementos básicos de um modelo de estoque e fluxo.

VARIÁVEIS (círculos) - representam PARÂMETROS que são usados no sistema.

Eventualmente uma variável pode assumir um valor que não varia, ou seja, é uma

CONSTANTE (losangos). Por exemplo, são exemplos de variáveis e constantes:

)()( TsenoTVariável = (2.1)

50tan =teCons (2.2)

FLUXOS (setas de traço duplo com círculo e triângulo) - representam o

transporte de RECURSOS (água, dinheiro, prestígio pessoal, produto químico, etc) no

sistema. Os fluxos são VAZÕES CONTROLADAS por equações e por isto são

representados por um ícone parecido com "uma torneira sobre um cano". Os fluxos

são medidos em unidade de uma grandeza qualquer (metros, por exemplo) por

unidade de tempo (segundo, por exemplo). Tais equações são do tipo:

smFluxo 10= (2.3)

ESTOQUES (retângulos) - Representam ACUMULAÇÕES/DESACUMULAÇÕES de

algum RECURSO (água, dinheiro, prestígio pessoal, produto químico, etc). ESTOQUES

SÃO VARIÁVEIS ESPECIAIS CUJO VALOR (ESTADO) DEPENDE DO QUE ACONTECEU NO

PASSADO. A equação de transição de um estoque no tempo T para o tempo T+dt é

dada pela seguinte equação:

dtdtFluxoTEstoquedtTEstoque *)()()( +=+ (2.4)

Normalmente o intervalo de tempo dt é feito igual a uma unidade de tempo

(segundo, minuto, hora, dia, semana, mês, trimestre, semestre, ano, década, século,

milênio, etc.). Esta unidade de tempo é que comanda todo o processo de simulação

do modelo ao longo do tempo, isto é, o sistema é mostrado na tela do computador

de dt em dt unidades de tempo. Note também que na equação de transição do

7

estoque, o fluxo está multiplicado por dt, o que é dimensionalmente correto, pois a

unidade de fluxo é sempre "uma unidade qualquer" dividida por uma unidade de

tempo.

INFORMAÇÃO (setas de traço simples) - ligam os elementos do sistema e

explicitam relações entre os mesmos. É importante observar que as informações,

diferentemente dos fluxos, não retiram ou colocam recursos nos estoques. As

informações também podem ter um "traço duplo", significando que as mesmas só

estarão disponíveis num instante de tempo futuro e não imediatamente.

FONTE EXTERNA (nuvens) - representa alguma fonte de recurso que está fora

do escopo de interesse do modelo em estudo. Isto é, no exemplo acima, o fluxo

retira recursos da fonte externa e joga no estoque. Os detalhes da fonte externa não

são considerados no estudo do sistema representado pelo modelo.

2.3 – Modelagem computacional

Os modelos de estoque e fluxo podem ser modelados no ambiente

computacional por meio da utilização dos seguintes softwares de simulação:

Powersim (Disponível em: http://www.powersim.com/ . Acesso em: 15 nov. 2008).

ISee Systems – Stella (Disponível em: http://www.iseesystems.com/ . Acesso

em: 15 nov. 2008)

VenSim (Disponível em: http://www.vensim.com/ . Acesso em: 15 nov. 2008)

Forio: Web Business Simulations (Disponível em: http://www.forio.com/ . Acesso

em: 15 nov. 2008)

Dentre outros. Neste trabalho utiliza-se o Powersim, versão lite, por ser este um

software gratuito, de fácil manuseio e completo funcionalmente. O anexo A deste trabalho

apresenta um manual do Powersim, no intuito de auxiliar durante as simulações aqui

apresentadas.

8

Capítulo 3 – Estudo dos Movimentos

3.1 – Movimento Uniforme

Nesta seção faz-se uma abordagem dos conceitos iniciais de cinemática, por

meio do estudo do movimento uniforme. Inicialmente este movimento será explicado

de uma maneira tradicional, como vem sendo há séculos ensinada nas escolas.

Posteriormente desenvolve-se uma metodologia dinâmica para o estudo deste

movimento, baseada nos conceitos de Dinâmica de Sistemas. Ao final da seção é

apresentado um exemplo deste tipo de movimento, sendo este resolvido pelos

métodos clássico e dinâmico, com o intuito de visualizar como ambos se aplicam.

A estrutura utilizada para a explicação do movimento uniforme será tomada

como padrão, sendo então utilizada para a explicação dos outros tipos de

movimentos estudados neste trabalho.

3.1.1 – Método Clássico

Seja uma esfera qualquer, descrevendo um movimento uniforme a partir de

um referencial O , no sentido positivo, como mostrado na Fig. 3.1.

Figura 3.1 – Uma esfera descrevendo um movimento uniforme.

No instante de tempo 1t o objeto está na posição 1s e no instante posterior 2t

está na posição 2s . Temos então que o objeto descreve uma distância, s∆ , dada por

12 sss −=∆ (3.1)

em um intervalo de tempo, t∆ igual a

12 ttt −=∆ . (3.2)

A velocidade escalar média, mv , no intervalo de tempo t∆ pode ser descrita

por

9

t

svm

∆

∆= (3.3)

Onde substituindo as equações 2.1 e 2.2 em 2.3, obtém-se que mv é igual a

12

12

tt

ssvm

−

−= (3.4)

Em qualquer tipo de movimento, o instante em que se começa a analisá-lo, é

menor, que o momento posterior ou final da analise. Como o intervalo de tempo é

obtido da subtração do instante final pelo inicial, tem-se que t∆ será sempre

positivo.

Observando a Fig. 3.1, tem-se que a posição 2s é maior que a posição 1s . Da

equação 2.1 obtém-se que s∆ será positivo. Se a esfera se deslocasse no sentido

negativo da referência, 2s seria menor que 1s , de onde seria obtido que s∆ é

negativo.

Tem-se então que mv , pode ser positivo ou negativo, dependendo do sentindo

do movimento. Adota-se neste trabalho o sistema cartesiano padrão.

Pode-se ter ao longo do percurso de 1s para 2s uma velocidade diferente em

cada ponto. Seu valor em um dado instante é denominado de velocidade

instantânea, v , matematicamente representada descrita por

t

sv t

∆

∆= →∆ 0lim (3.5)

Qualquer movimento que possua a velocidade escalar instantânea constante

e não nula é denominado de movimento uniforme. De onde também se deduz que

neste tipo de movimento a velocidade instantânea é idêntica a velocidade escalar

média.

Utilizando-se dos conceitos apresentados anteriormente, deduz-se então a

equação que representa a função horária do movimento uniforme. Considere que a

esfera que descreve o movimento uniforme, mostrada na Fig. 3.1, está inicialmente

em sua posição inicial, que passaremos a representar por 0s , no instante st 01= .

Posteriormente ela está na posição 2s , que passaremos a chamar de posição final,

s , no instante tst =2 . Substituindo estes parâmetros na equação 2.4, obtém-se que

0−

−=

t

ssv o

m (3.6)

10

Como em um movimento uniforme as velocidades instantânea e escalar

média são idênticas, pode-se escrever também que

0−

−=

t

ssv o (3.7)

Colocando-se a equação 3.7 em função de s, tem-se a função horária do

movimento uniforme, sendo está descrita por

vtss += 0 (3.8)

A função horária do movimento uniforme é uma equação do primeiro grau.

Somente está é necessária para a resolução de qualquer problema envolvendo o

este tipo de movimento.

3.1.2 – Método Dinâmico

O movimento uniforme envolve o estudo de três grandezas, posição,

velocidade e tempo.

Posição é a grandeza que representa o lugar ocupado por corpo no espaço,

considerando-se um referencial específico.

Figura 3.2 – Objeto descrevendo um movimento uniforme

Observa-se na Fig. 3.2 que um objeto qualquer se movimentando de maneira

uniforme, inicialmente se encontra na posição de referência 0 e posteriormente

passa a ocupar posições sucessivas.

Para se descobrir a posição de um corpo qualquer, é necessário conhecer

uma posição anterior deste corpo, à distância e o tempo gasto pelo corpo para ir

desta referência até a posição desejada.

Pelos conceitos de dinâmica de sistemas, tem-se que a posição será

representada por um estoque. É fornecido a este parâmetro um valor inicial para a

posição ou associa-se uma variável qualquer a ele, que lhe fornecerá este valor.

Pode-se ter, por exemplo, as representações para este estoque, ilustradas nas Fig.

3.3 e 3.4.

11

Figura 3.3 - Estoque representando a posição, onde seu valor inicial é

colocado no próprio estoque.

Figura 3.4 - Estoque representando a posição, onde seu valor inicial é

fornecido ao estoque por meio de uma constante chamada posição inicial.

Associado ao estoque da Fig. 3.3 tem-se a equação

0=os (3.9)

representando que a posição inicial é zero.

O estoque da Fig. 3.4 é definido com a equação

InicialPosiçãoso _= (3.10)

representando que a posição tem o valor inicial igual ao da constante posição inicial.

Sendo está definida com o valor inicial da posição.

A velocidade é o elemento que vai determinar o quanto a posição será

deslocada em função do tempo.

Figura 3.5 – Influência da velocidade na posição de um corpo.

Da Fig. 3.5 observa-se que um carro possuindo uma velocidade igual a 0 ,

durante todo o tempo irá se manter na mesma posição. Ao possuir uma velocidade

12

constante e não nula, o carro passa a ocupar posições sucessivas ao longo do

tempo.

Temos então que a velocidade é o parâmetro que determina se a posição do

carro varia e o quanto ela varia em função do tempo. Normalmente é simbolizada

por

dt

dxxv ==.

(3.11)

O parâmetro velocidade do nosso movimento uniforme será representado por

um fluxo. A Fig. 3.6 ilustra o fluxo velocidade.

Figura 3.6 – Fluxo representando o parâmetro velocidade.

Na Fig. 3.6 teremos associado ao fluxo velocidade a equação

10=dt

dx (3.12)

representando que a cada unidade de tempo a posição é variada 10 unidades pela

velocidade.

Juntando-se o estoque posição ao fluxo velocidade, teremos de uma forma

bem simples, a representação do movimento uniforme, como mostrada na Fig. 3.7.

Figura 3.7 – Representação do movimento uniforme pelo método dinâmico.

O modelo ilustrado na figura 3.7 é padrão para a representação de qualquer

tipo de movimento uniforme, sendo equivalente à equação 3.11. Deste modelo

obtêm-se as curvas características deste tipo de movimento, representadas nas Fig.

3.8 e 3.9.

13

Figura 3.8 – Variação da posição ao longo do tempo em um movimento uniforme.

Figura 3.9 – Variação da velocidade ao longo do tempo em um movimento uniforme.

3.1.3 – Exemplo

Resolve-se agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o

intuito visualizar como ambos se aplicam.

Ao passar pelo marco "km 200" de uma rodovia, um motorista vê um anúncio

com a inscrição: "ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS".

Considerando que esse posto de serviços se encontra junto ao marco "km 245"

dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que

trafegam neste trecho, uma velocidade média, em km/h, de (RAMALHO, NICOLAU

E TOLEDO, 2003):

14

Resolução pelo método clássico

Dados:

Posição Inicial, 0s 200 km

Posição Final, s 245 km

Intervalo de Tempo, t∆ 30 min 0,5 h

Cálculos:

A velocidade média com que o carro trafega é dada pela equação 3.8, onde

se substituindo os valores da tabela nesta, obtêm-se a velocidade da seguinte

forma:

vtss += 0

Colocando em função de v temos que

t

ssv 0−

=

Onde calculamos que v é igual a

hkmv /90=

Logo se tem que o anunciante prevê que o carro trafega neste trecho da

rodovia a uma velocidade de 90 km/h.

Resolução pelo método dinâmico

Monta-se o modelo padrão que representa o movimento uniforme (Fig. 3.7).

Definição dos parâmetros do modelo:

Posição 200 km

Velocidade 90/60 = 1.5 km/min

Simulando-se o modelo, observa-se que o carro vai do km 200 até o km 245

em 30 minutos. Este resultado pode ser visualizado graficamente, como mostrado

na Fig. 3.10.

15

Figura 3.10 – Variação da posição em função do tempo.

Qualquer outra situação pode ser rapidamente obtida entrando-se com

valores diferentes no modelo.

O anexo A.1 deste trabalho traz um manual do Powersim, com o intuito de

auxiliar na simulação dos modelos aqui propostos. Nos Anexos A.2 e A.3 teremos

muitos exemplos ilustrando os movimentos estudados neste capítulo, resolvidos pelo

método dinâmico.

3.2 – Movimento Uniformemente Variado

Na seção 3.1 foram estudados os movimentos de corpos que possuíam uma

velocidade constante durante todo tempo. Agora se passa a analisar movimentos

em que o módulo da velocidade varia ao longo do tempo, ou seja, movimentos

variados.


Inicialmente aborda-se uma grandeza que será de grande importância neste

estudo, à aceleração.

Seja um carro, que num instante inicial 1t possui uma velocidade 1v . Passado

algum tempo, no instante 2t a sua velocidade passa a ser 2v . O intervalo de

velocidade, v∆ , igual

16

12 vvv −=∆ (3.12)

em um intervalo de tempo, t∆ , dado por

12 ttt −=∆ (3.13)

determinará uma grandeza conhecida como aceleração média, ma , que é descrita

por

t

vam

∆

∆= (3.14)

Substituindo as equações 3.12 e 3.13 na equação 3.14, obtêm-se que a

aceleração média é igual a

12

12

tt

vvam

−

−= (3.15)

A aceleração média é a grandeza que indica o quanto varia a velocidade

escalar num dado intervalo de tempo.

Quando o intervalo de tempo, na equação 3.14, é muito pequeno, passa-se a

ter uma aceleração denominada de aceleração instantânea, descrita por

t

va t

∆

∆= →0lim (3.16)

onde está normalmente fornece o valor da aceleração em um ponto qualquer de um

movimento.

Se a aceleração instantânea for constante durante todo movimento, ela será

igual à aceleração média, sendo possível obtê-la por

12

12

tt

vva

−

−= (3.17)

Se a aceleração e a velocidade possuírem o mesmo sentido, tem-se um

movimento acelerado, onde a velocidade aumentará ao longo do tempo. Se a

aceleração e a velocidade possuírem sentidos opostos, tem-se um movimento

retardado, onde a velocidade diminuirá ao longo do tempo.

Para um movimento, onde à aceleração escalar instantânea seja constante

durante todo o tempo, este será denominado de movimento uniformemente

variado. Neste tipo de movimento teremos que um corpo apresenta variações de

velocidades iguais em intervalos de tempos iguais.

17

De maneira análoga ao movimento uniforme, deduzem-se as funções horárias

que descrevem o movimento uniformemente variado, sendo estas funções

mostradas nas equações 3.18 e 3.19.

atvv += 0 (3.18)

2

002

ta

tvss ++= (3.19)

Onde 0v representa a velocidade inicial do corpo, a a aceleração, 0s a

posição inicial, t o tempo, v a velocidade final e s a posição final. Por meio destas

formulas pode-se resolver qualquer situação envolvendo o movimento

uniformemente acelerado.

Algumas situações relacionam apenas velocidade e espaço, independendo do

tempo, onde é possível então fazer uso da equação de Torricelli, que será a seguir

deduzida nas equações de 3.20 a 3.25.

Partindo da equação

atvv += 0 (3.20)

elevando ao quadrado

22

0

2

0

2 2 taatvvv ++= (3.21)

reajustando

)2

(2 2

0

2

0

2t

atvavv ++= (3.22)

Dá equação 3.7 temos que

2

002

ta

tvss +=− (3.23)

Substituindo a equação 3.11 na equação 3.10 temos

)(2 0

2

0

2 ssavv −+= (3.24)

Que pode também ser escrita da forma

savv ∆+= 22

0

2 (3.25)

A equação 3.25 é conhecida como equação de Torricelli.


Desenvolve-se nesta seção o modelo que irá descrever de uma forma

dinâmica o movimento uniformemente variável. Inicialmente, para montar este

modelo, desenha-se o sistema de estoque fluxo, que descreve a relação existente

18

entre a posição e a velocidade no movimento uniforme, estudada na seção 3.1.3,

como mostrado na Fig. 3.11.

Figura 3.11 – Modelo padrão que descreve o movimento uniforme.

Paralelamente ao modelo ilustrado na Fig. 3.11, continua-se a desenvolver o

modelo que descreve o movimento uniformemente variado. Posteriormente será

explicada a relação entre estes modelos.

Figura 3.12 – Carro se movimentando em um movimento variado.

Observe na Fig. 3.12 que o carro inicialmente possui uma velocidade igual a

10. Num instante posterior sua velocidade passa a ser igual a 20, e assim ela vai

crescendo sucessivamente. Tem-se então que a velocidade em um dado instante

será dada pela soma da velocidade no instante anterior ao valor que ela aumenta

entre estes instantes. Onde pelos conceitos de Dinâmica de Sistemas, a velocidade

vai passar a se comportar como um estoque. Representa-se então a velocidade no

modelo que estamos a construir da mesma forma que a apresentada na Fig. 3.13. O

estoque velocidade foi nomeado de DX_DT.

19

Figura 3.13 – Montagem do modelo que descreve o movimento uniformemente

variado.

O estoque velocidade tem em sua caixa de definição a seguinte equação

inicialvalorv _= (3.26)

onde tem se que entrar com um valor inicial para velocidade. Lembrando que

dt

dxv = (3.27)

o estoque velocidade terá associado a ele a expressão

inicialvalordt

dx_= (3.28)

A aceleração é o parâmetro que determina se a velocidade varia e o quanto

ela varia ao longo do tempo.

Figura 3.14 – Influência da aceleração na velocidade.

20

Observa-se na Fig. 3.14 que se a aceleração de um automóvel for nula

durante seu movimento, sua velocidade não irá se alterar ao longo do tempo, e ele

irá descrever um movimento uniforme. Se a aceleração for constante e não nula, a

velocidade do automóvel passa a variar de acordo com a aceleração.

Tem-se então que neste modelo a aceleração se comporta como um fluxo

que fornece ou não recursos para o estoque velocidade. Representa-se a

aceleração no modelo, conforme mostra a Fig. 3.15.


variado.

O fluxo Aceleração terá associado a ele a equação

dt

dva = (3.29)

onde se está for constante e diferente de zero, a velocidade irá variar ao longo do

tempo em taxas iguais ao valor da aceleração.

A partir do sistema representado na Fig. 3.15, vê-se dois sistemas de estoque

fluxo, onde a relação entre a aceleração e a velocidade que acabamos de

representar, é análoga a relação existente entre velocidade e posição (vista na

seção 3.1.3).

Interligam-se os dois sistemas de estoque fluxo partindo da seguinte idéia. No

movimento uniformemente variado temos que o fluxo aceleração determinará quanto

o estoque velocidade irá variar. O estoque velocidade em cada instante de tempo

estará a fornecer os valores que possui ao fluxo velocidade, de modo que os dois

sejam sempre iguais. O fluxo velocidade determinará o quanto o estoque posição irá

varia, caso o fluxo velocidade aumente ou diminua podemos ter uma maior ou

menor variação no estoque posição. Logo teremos então que para o estoque

21

velocidade (DX_DT) fornece valores ao fluxo velocidade ele terá que ser ligado a ele

por meio de uma seta de informação. Nosso modelo ficará como mostrado na Fig.

3.16.


variado.

Na caixa de definição do fluxo velocidade, coloca-se o nome do estoque

velocidade, neste caso DX_DT, e os demais parâmetros serão definidos com seus

valores iniciais. De onde se chega ao modelo da Fig. 3.17, que é o modelo padrão

para se descrever o movimento uniformemente variado que qualquer corpo

descreva.

Figura 3.17 – Modelo padrão para se descrever o movimento uniformemente

variado.

A partir da simulação de um modelo genérico do descrito na Fig. 3.17, obtêm-

se as seguintes características para posição, velocidade e aceleração em função do

tempo, mostradas na Fig. 3.18.

22

Figura 3.18 – Variação da posição, aceleração e velocidade em função do tempo

durante um movimento uniformemente variado.

3.2.3 – Exemplo



Um trem de 120m de comprimento se desloca com velocidade escalar de

20m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo

completamente da mesma 10s após com velocidade escalar de 10m/s. O

comprimento da ponte é: (RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003)


Dados

Comprimento do trem, tremc 120 m

Velocidade Inicial, 0v 20 m/s

Velocidade Final, v 10 m/s

Intervalo de tempo, t∆ 10 s

Cálculos:

Utilizando-se a equação 3.15 calcula-se a aceleração da seguinte maneira:

2/110

2010sm

t

vva iF −=

−=

∆

−=

23

A distância total que o trem percorre ao atravessar a ponte é obtida por meio

da equação 3.19.

ms

ta

tvss

150)10(*2

)1(10*200

2

2

2

00

=−

++=

++=

O tamanho da ponte será então igual à distância total percorrida pelo trem

subtraindo o seu comprimento:

mcsc tremponte 30120150 =−=−=

Logo o comprimento da ponte é igual a mc ponte 30= .


Inicialmente monta-se no Powersim o modelo padrão que representa um

movimento uniformemente variado (Fig. 3.19).

Figura 3.19 – Modelo Padrão que descreve o movimento uniformemente variado.

Na caixa DEFINITION de cada um dos parâmetros do modelo representado

na figura 3.19 entra-se com os seguintes dados:

Posição_Trem 0 m

Aceleração 21s

m−

Velocidade 20 m/s

DX_DT Velocidade

24

Com o intuito de se calcular o tamanho da ponte cria-se no modelo mais duas

variáveis, que serão denominadas de C (representando o comprimento do trem,

sendo definida com um valor igual a 120m) e Ponte (representando o tamanho da

ponte, a constante C e o estoque posição serão ligados a ela, e em sua definição

teremos a equação CtremdoPosiçãoPonte −= )__( ). O modelo que resolve está

questão está representado na Fig. 3.20.

Fig. 3.20 – Modelo utilizado na resolução do exemplo.

Simulando-se o modelo representado na Fig. 3.20, durante 10s, pode-se

visualizar que o trem percorre uma distância total de 150 m, onde subtraindo está

distância de seu comprimento obtém-se o tamanho da ponte. As Fig. 3.21 a 3.23

ilustram este resultado.

Figura 3.21 – Posição X Tempo

25

Figura 3.22 – Velocidade X Tempo

Figura 3.23 – Aceleração X Tempo

Entrando-se com valores diferentes neste modelo, outras situações podem

ser facilmente obtidas.

3.3 – Movimento vertical no vácuo

Nesta seção faz-se um estudo sobre corpos que se movimentam na direção

vertical, abordando algumas grandezas e conceitos envolvidos neste movimento.


Neste trabalho estuda-se o movimento vertical no vácuo como um movimento

uniformemente variado ocorrido na direção vertical, sendo desprezada a ação do ar.

Na direção vertical um corpo pode-se se movimentar em dois sentidos, para

cima e para baixo. Um corpo que é abandonado a certa altura do solo e começa a

cair em direção a este, descreve um movimento chamado queda livre. Caso ele seja

26

jogado do solo para cima e comece a subir, descreverá um movimento chamado

lançamento vertical.

Teremos envolvido neste movimento todas as grandezas apresentadas na

seção 3.1.1, onde o movimento vertical no vácuo irá possuir as mesmas funções

horárias do movimento uniformemente acelerado.

Tanto no lançamento, quando na queda, tem-se atuando sobre os corpos

uma aceleração vertical no sentido negativo (para baixo), conhecida como

aceleração da gravidade. Como aqui se estuda movimentos nas proximidades da

superfície terrestre a aceleração da gravidade será considerada constante.

O valor normal da aceleração tomado em relação ao nível do mar é igual a

2/80665.9 smg = (3.30)

mas neste trabalho, apenas para efeito de cálculo vamos considerar

2/10 smg = (3.31)

Um objeto que é abandonado a certa altura do solo e começa a cair, passará

a descrever um movimento acelerado, porque o movimento do corpo se encontra no

mesmo sentido da aceleração da gravidade, passando sua velocidade a aumentar

ao longo do tempo, onde o corpo irá cair cada vez mais rápido.

Caso o objeto seja lançado para cima, em seu movimento de subida ele irá

descrever um movimento retardado, porque o movimento do corpo está em sentido

contrário ao da aceleração, passando sua velocidade a diminuir ao longo do tempo,

onde o corpo irá subir cada vez mais devagar.


Como visto na seção 3.3.1 o movimento vertical no vácuo nada mais é que

um movimento uniformemente variado na direção vertical, onde se tem que o

modelo que representará o movimento vertical no vácuo é idêntico ao mostrado na

Fig. 3.16, sendo este reapresentado na Fig. 3.24.

27

Figura 3.24 – Modelo Padrão que descreve o movimento vertical no vácuo.

Onde a aceleração será igual à aceleração da gravidade, possuindo então um

valor igual a

2/10 smAceleração −= (3.32)

Este valor é negativo porque a aceleração está no sentido negativo do eixo

cartesiano (para baixo).

O modelo mostrado na figura 3.24 é padrão para se descrever qualquer

movimento vertical no vácuo, onde as grandezas aceleração, velocidade e posição

terão seus valores dados ao longo do eixo y.

3.3.3 – Exemplo

Resolveremos agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o


Um corpo é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com uma

velocidade de 20m/s. Considerando a aceleração gravitacional g=10m/s^2 e

desprezando a resistência do ar, a altura máxima, em metros, alcançada pelo corpo

é: (RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003)


Dados:

Posição inicial, 0s 0

Velocidade inicial, 0v sm /20

Aceleração da gravidade 2/10 sm−

Velocidade Final, v 0

28

Cálculos:

Para resolução deste exercício utiliza-se a seguinte função horária

)(2 0

2

0

2 ssavv −+=

Substituindo-se os valores dados na tabela na expressão da função horária,

obtemos.

))(10(2)20()0( 22 s−+=

40020 =s

ms 20=

Tem-se então que o corpo chega a uma altura máxima de 20m.


Inicialmente monta-se o modelo indicado na Fig. 3.24, posteriormente

definem-se os parâmetros do modelo com os seguintes dados:

Aceleração 2/10 sm−

DtDx _ sm /20

Velocidade DtDx _

Posição 0

A partir da simulação do modelo obtém-se que a altura máxima alcançada

pelo objeto é de 20 m. Este resultado é visualizado na figura 3.25.

Figura 3.25 – Movimento que o corpo descreve ao longo do tempo.

29

3.4 – Velocidade e Aceleração Vetorial

Nesta seção inicialmente serão apresentados os conceitos das grandezas

posição, velocidade e aceleração, vistas de uma forma vetorial. Posteriormente,

faremos um estudo sobre a composição de movimentos.


Primeiramente apresentam-se os conceitos de algumas grandezas

importantes da cinemática vetorial.

3.4.1.1 – Vetor Deslocamento

Certo objeto ocupa num instante 1t a posição 1P cujo espaço é 1s . No instante

posterior 2t , o objeto passa a ocupar a posição 2P de espaço 2s (Fig. 3.26). Entre

as posições a variação de espaço é

12 sss −=∆ (3.33)

O vetor d , representado pelo segmento orientado de origem 1P e

extremidade 2P , receberá o nome de vetor deslocamento do objeto entre os

instantes 1t e 2t .

Figura 3.26 – Representação do deslocamento do objeto de P1 a P2.

Por meio da Fig. 3.26 pode-se visualizar que o modulo do vetor deslocamento

é menor que o modulo da variação do espaço s.

3.4.1.2 – Velocidade Vetorial Média

Foi visto que a velocidade escalar média mv é o quociente entre a variação da

posição s∆ e o correspondente intervalo de tempo t∆ , sendo

t

svm

∆

∆= (3.37)

30

A velocidade vetorial média mv é o quociente entre o vetor deslocamento d e

o correspondente intervalo de tempo, dada por

t

dvm

∆= (3.38)

A velocidade vetorial média terá a mesma direção e sentido do vetor

deslocamento (Fig. 3.27).

Figura 3.27 – O vetor velocidade vetorial média terá a mesma direção e sentido que

o vetor deslocamento.

Seu módulo será dado por:

t

dvm

∆= (3.39)

3.4.1.3 – Velocidade Vetorial Instantânea

Seja uma pequena esfera descrevendo certa trajetória em relação a um dado

referencial (Fig. 3.28). Num instante t, o móvel ocupa a posição P.

Figura 3.28 – Esfera descrevendo um movimento circular.

31

A velocidade vetorial da esfera v tem as seguintes características:

- módulo: igual ao da velocidade escalar no instante t.

- direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P.

- sentido: do movimento.

Um vetor varia quando qualquer um de seus elementos varia, sendo estes,

módulo, direção e sentido. Logo se tem que a velocidade estará variando ao longo

deste movimento, pois sua direção varia constantemente. Assim, a velocidade

vetorial varia num movimento curvilíneo independentemente do tipo do movimento.

Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial tem módulo constante,

porque a velocidade escalar é constante.

3.4.1.4 – Aceleração Vetorial Média

Viu-se na seção 3.1.1 que a aceleração escalar média ( ma ) era igual ao

quociente da variação da velocidade sobre o intervalo de tempo correspondente. De

modo análogo pode-se definir a aceleração vetorial média ( ma ) como sendo

t

vam

∆

∆= (3.40)

A aceleração ma tem a mesma direção e o mesmo sentido de v∆ , como é

mostrado pela Fig. 3.29.

Figura 3.29 – O vetor v∆ (V) tem a mesma direção e sentido que o vetor ma (A).

O modulo de aceleração vetorial média é dado pela equação 5.6.

t

vam

∆

∆= (3.41)

32

3.4.1.5 – Aceleração Vetorial Instantânea

A aceleração vetorial instantânea a pode ser entendida como sendo uma

aceleração vetorial média, quando o intervalo de tempo considerado é

extremamente pequeno.

Sempre que houver variação da velocidade vetorial v , haverá aceleração

vetorial a .

A velocidade vetorial v pode variar em módulo e em direção. Por esse motivo

a aceleração vetorial a é decomposta em duas acelerações componentes:

aceleração tangencial ( ta ), que está relacionada com a variação do módulo de v , e

aceleração centrípeta ( cpa ) que está relacionada com a variação da direção de v .

3.4.1.5.1 – Aceleração Tangencial

A aceleração tangencial ta possui as seguintes características:

- módulo: igual ao módulo da aceleração escalar a .

- direção: tangente a trajetória.

- sentido: o mesmo de v , se o movimento for acelerado, ou oposto de v , se o

movimento for retardado.

Nos movimentos uniformes, o módulo da velocidade vetorial não varia e,

portanto, a aceleração tangencial é nula.

3.4.1.5.2 – Aceleração Centrípeta

A aceleração centrípeta cpa possui as seguintes características:

- módulo: é dado pela expressão

R

vacp

2

= (3.42)

na qual v é a velocidade escalar do móvel e R é o raio de curvatura da trajetória.

- direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto.

- sentido: orientado para o centro de curvatura da trajetória.

33

3.4.1.5.3 – Aceleração Vetorial

A soma vetorial das acelerações tangencial e centrípeta define a aceleração

vetorial, como mostrado na equação 5.8.

cpt aaa += (3.43)

Fazendo uso dos conceitos aprendidos acima, vamos fazer o estudo da

composição dos movimentos.

3.4.1.6 – Composição dos Movimentos

Seja uma placa de madeira e uma formiga P situada na placa (Fig. 3.30).

Figura 3.30 – Formiga sobre uma placa de madeira.

Imagina-se a formiga se movimentando em relação à placa, segundo a

trajetória indicada na Fig. 3.31.

Figura 3.31 – Movimento da formiga sobre a placa.

Se a formiga estivesse em repouso em relação à placa e esta sendo

arrastada para direita, a trajetória da formiga é representada na Fig. 3.32.

Figura 3.32 – Formiga em repouso em relação ao movimento da placa.

34

Se a formiga e a placa se movimentarem simultaneamente, tem-se que a

formiga se deslocara da maneira representada na Fig. 3.33.

Figura 3.33 – Formiga e placa se movimentando simultaneamente.

Passam-se então a analisar os três movimentos apresentados anteriormente.

- o movimento da formiga P em relação à placa (Fig. 3.31): movimento

relativo.

- o movimento da formiga em repouso em relação à placa que é arrastada

(Fig. 3.32): movimento de arrastamento.

- o movimento da formiga e da placa simultaneamente (Fig. 3.33): movimento

resultante.

A velocidade vetorial da formiga P em relação à placa é denominada

velocidade relativa ( relv ).

A velocidade vetorial que a formiga P teria se estivesse em repouso em

relação à placa que é arrastada é chamada velocidade de arrastamento ( arrv ).

A velocidade vetorial de P em relação à terra é denominada velocidade

resultante ( resv ).

As velocidades se relacionam pela igualdade vetorial seguinte:

arrrelres vvv += (3.44)

O estudo do movimento resultante a partir dos movimentos relativo e de

arrastamento é denominado composição de movimentos. Galileu propôs o principio

da simultaneidade da realização desses movimentos, isto é, de que os três

movimentos considerados ocorrem ao mesmo tempo.


Agora se passa a analisar movimentos que acontecem em duas dimensões,

abordando-se também a composição de movimentos.

35

Seja novamente uma formiga sobre uma tábua (Fig. 3.30).

Suponha que a tábua permaneça parada, e a formiga descreva um

movimento uniforme ao longo do eixo y (Fig. 3.31). Como vimos na seção 3.1.2 o

modelo padrão que descreve um movimento uniforme é mostrada na Fig. 3.7. Na

figura 3.34 tem-se o modelo que ira descrever o movimento da formiga ao longo da

tábua.

Figura 5.34 – Modelo que descreve o movimento da formiga ao longo da tábua.

No modelo mostrado na Fig. 3.34 adotam-se os seguintes valores para a

velocidade e a posição da formiga:

smFormigaVelocidade /10_ = (3.45)

mFormigaPosição 0_ = (3.46)

Supondo-se agora que a formiga permaneça em repouso em relação à tábua,

e está seja arrastada ao longo do eixo x (Fig. 3.32). O modelo que descreve o

deslocamento da tábua é análogo ao que descreve o deslocamento da formiga,

anteriormente apresentado. Este modelo pode ser visto na Fig. 3.35.

Figura 3.35 – Modelo que descreve o movimento da tábua ao longo do eixo x.

Para o modelo da ilustrado na Fig. 5.10 adota-se os seguintes valores para a

velocidade e a posição da tábua:

smTabuaVelocidade /20_ = (3.47)

mTabuaPosição 0_ = (3.48)

Considerando-se agora que os movimentos da formiga e da tábua ocorram ao

mesmo tempo, representa-se está situação com um modelo que possui os modelos

3.34 e 3.35 juntos, sendo este ilustrado na Fig. 3.36.

36

Figura 3.36 – Modelo que descreve a composição dos movimentos.

Simulando o modelo da figura 3.36 observa-se que a formiga se deslocará da

maneira mostrada na Fig. 3.37.

Figura 3.37 – Modelo que descreve o movimento simultâneo da formiga e da tábua.

Observa-se que a Fig. 3.37 está de acordo com o movimento simultâneo da

formiga e da tábua proposto na figura 3.33.

3.4.3 - Exemplo



37

Um barco tenta atravessar um rio com 1km de largura. A correnteza do rio é

paralela às margens e tem velocidade de 4km/h. A velocidade do barco, em relação

à água, é de 3km/h, perpendicularmente às margens (RAMALHO, NICOLAU E

TOLEDO, 2003).

Nessas condições, pode-se afirmar que o barco:

a) atravessará o rio em 12 minutos.

b) atravessará o rio em 15 minutos.

c) atravessará o rio em 20 minutos.

d) nunca atravessará o rio.


Dados:

Velocidade Barco, BARCOv hkm /3 min/05.0 km

Velocidade Correnteza, CORRENTEZAv hkm /4 min/067.0 km

Largura do rio, RIOL km1

Para atravessar o rio o barco descreve ao longo do eixo y um movimento

uniforme, onde o tempo gasto por ele para atravessar o rio é dado pela função

horária do movimento uniforme.

Substituindo-se os valores da tabela na função encontra-se o tempo gasto

pelo barco.

T

Lv

y

y = → min2005.0

1==T

Mas devido à correnteza o barco será deslocado uma distância xL (Fig. 3.38),

dada por:

T

LV x

x = → kmTVL xx 34.120*067.0* ===

38

Figura 3.38 – Barco se deslocando ao longo do rio.

Tem-se então que o barco atravessa o rio depois de decorridos 20 minutos,

mas, ele é arrastado 1.34 km pela correnteza.

Resolução pelo Método Dinâmico

Monta-se o modelo que representará o movimento do barco ao longo do rio.

Este é mostrado na figura 3.39.

Figura 3.39 – Modelo que representará o movimento do barco ao longo do rio.

Definem-se os parâmetros do modelo com os seguintes valores.

Velocidade_Barco 0.05 km/min

Posição_Barco 0 km

Velocidade_Correnteza 0.067 km/min

Posição_Correnteza 0 km

Simulando-se o modelo da Fig. 3.39, observa-se que o barco atravessa o rio

depois de decorridos 20 minutos. Sendo o mesmo também arrastado por uma

distância de 1.33 km. Este resultado é visualizado na Fig. 3.40.

39

Figura 3.40 – Barco se deslocando ao longo do rio.

3.5 - Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo no Vácuo


3.5.1.1 – Lançamento Horizontal no Vácuo

Um objeto qualquer ao ser lançado horizontalmente no vácuo, ira descrever,

em relação à terra, uma trajetória parabólica, como mostra a Fig. 3.41.

Figura 3.41 – A trajetória de um corpo lançado horizontalmente, em relação à terra.

De acordo com o princípio da simultaneidade visto na seção 3.4.1.6, este

movimento pode ser considerado como o resultado da composição de dois

40

movimentos simultâneos e independentes, sendo estes a queda livre e o movimento

horizontal.

Como visto na seção 3.3.1, a queda livre é um movimento vertical, sob ação

exclusiva da gravidade. Esta é considerada um movimento uniformemente variado,

porque o modulo da aceleração se mantém constante.

O movimento horizontal é uniforme, porque não existe nenhuma aceleração

nesta direção. Ele mantém a mesma velocidade em que foi lançado.

Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante ( v ) do móvel, é dada

pela soma vetorial da velocidade horizontal ( 0v ) e da velocidade vertical ( yv ). Na

Fig. 3.42 pode-se ver a decomposição das velocidades presentes no lançamento

horizontal.

Figura 3.42 – Decomposição das velocidades atuantes em um lançamento

Horizontal.

Tem que a velocidade resultante é dada por

yvvv += 0 (3.49)

3.5.1.2 – Lançamento Oblíquo no Vácuo

Seja um objeto sendo lançado com uma velocidade 0v , numa direção que

forma com a horizontal um ângulo θ . Desprezando-se a resistência do ar, o móvel

fica sob ação exclusiva de seu peso e sujeito apenas à aceleração da gravidade.

Este objeto ira descrever em relação à terra uma trajetória parabólica, como a

mostra a Fig. 3.43.

41

Figura 3.43 – Representação da trajetória que um corpo descreve após um

lançamento oblíquo.

A distância horizontal que o corpo percorre desde o lançamento até o instante

em que retorna ao nível horizontal é denominada de alcance. O máximo

deslocamento do móvel na direção vertical chama-se altura máxima do lançamento.

O movimento que um corpo descreve após um lançamento oblíquo pode ser

considerado como resultado da composição de dois movimentos simultâneos e

independentes, que são: um movimento vertical uniformemente variado, cuja

aceleração é a da gravidade, e um movimento horizontal uniforme, pois na horizontal

não há aceleração.

Analisa-se agora separadamente cada um dos movimentos.

3.5.1.2.1 – Movimento na Vertical

Considerando-se um eixo Oy com a origem no ponto de lançamento e

orientado para cima. A aceleração escalar do movimento vertical será

ga −= (3.50)

Se projetarmos a velocidade de lançamento na direção do eixo Oy se obtém

a velocidade inicial vertical yv0 , cujo modulo será dado por

θsenvv y 00 = (3.51)

Sob a ação da gravidade, o módulo da velocidade vertical diminui à medida

que o objeto sobe, anula-se no ponto mais alto e aumenta a medida que o corpo

desce. Sendo o movimento na vertical uniformemente variado, pode-se fazer uso de

suas funções horárias.

Para se obter a altura máxima que um corpo pode alcançar faz-se uso da

formula 3.52.

g

senvH

2

22

0 θ= (3.52)

3.5.1.2.2 – Movimento na Horizontal

Considerando-se um eixo Ox com origem no ponto de lançamento e orientado

no sentido da velocidade horizontal xv , dada pela projeção sobre este eixo da

velocidade de lançamento 0v .

O módulo da velocidade horizontal xv é dado por

42

θcos0vvx = (3.53)

Como na horizontal tem-se um movimento uniforme, xv será sempre o

mesmo. Faz-se uso da função horária do movimento uniforme, para se estudar o

deslocamento ao longo desta direção.

Para se determinar o alcance de um corpo submetido ao movimento oblíquo

faz-se uso da equação 3.54.

g

senvA

θ22

0= (3.54)


3.5.2.1 – Lançamento Horizontal no Vácuo

O lançamento horizontal no vácuo é composto por dois movimentos

simultâneos, que são a queda livre na vertical e o movimento horizontal.

O movimento de queda livre na vertical, nada mais é que um movimento

uniformemente variado sobe a ação da aceleração da gravidade. Onde para

representar este movimento utiliza-se o modelo padrão que descreve o movimento

uniformemente variado, sendo este reapresentado na Fig. 3.44.

Figura 3.44 – Representação do movimento ao longo do eixo y em um lançamento

horizontal.

O movimento horizontal é do tipo uniforme, não havendo nenhum tipo de

aceleração nesta direção. Para representar este movimento utiliza-se o modelo

padrão que representa o movimento uniforme, onde este é mostrado na Fig. 3.45.

43

Figura 3.45 – Representação do movimento ao longo da horizontal de um

lançamento horizontal.

Para representar um lançamento horizontal, deve-se desenvolver um modelo

que contenha as representações mostradas nas Fig. 3.44 e 3.45. Este é mostrado

na Fig. 3.46.

Figura 3.46 – Modelo que descreve um lançamento horizontal no vácuo.

3.5.2.2 – Lançamento Oblíquo no Vácuo

Considere uma bolinha lançada de forma oblíqua, como mostrada na Fig.

3.47.

Figura 3.47 – Representação de um movimento.

Na Fig. 3.47 podemos ver que se tem neste tipo de lançamento à composição

de dois movimentos simultâneos, um ao longo do eixo x e o outro do eixo y.

Por meio da decomposição das velocidades, a Fig. 3.47 nos mostra que a

velocidade ao longo do eixo y, inicialmente positiva, vai descrendo seu modulo

durante a subida da bolinha. Quando esta chega ao ponto máximo sua velocidade

44

na vertical torna-se nula. A partir deste posto a bolinha volta a cair novamente, onde

sua velocidade volta a aumentar durante este movimento de descida.

Pode-se concluir que ao longo do eixo y, teremos que a bolinha irá descrever

um movimento uniformemente variado, sendo este dado pelo modelo padrão,

redesenhado na Fig. 3.48.

Figura 3.48 – Modelo que representa o movimento uniformemente variado da

bolinha ao longo do eixo y.

Observe que a bolinha foi lançada com um ângulo θ em relação ao eixo x,

onde se tem que a velocidade inicial de y será dada pela projeção do vetor

velocidade resultante ( v ) em relação ao eixo y. A partir dos conceitos

trigonométricos temos que o modelo inicial da velocidade será dado em função do

produto do modulo da velocidade de lançamento (v ) pelo seno do ângulo θ de

lançamento.

Adicionaremos então duas variáveis ao modelo representado na Fig. 6.8,

sendo estas ÂNGULO_LANÇAMENTO e VELOCIDADE DE LANÇAMENTO, onde

ambas serão ligadas ao estoque VELOCIDADE_Y, conforme mostra a Fig. 3.49.

45

Figura 3.49 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo y de um corpo

lançado de forma oblíqua.

Define-se o parâmetro ÂNGULO_LANÇAMENTO com o valor do ângulo θ

que a bolinha é lançada. Este valor deve ser dado em radianos.

Ao parâmetro VELOCIDADE_DE_LANÇAMENTO, iremos fornecer o valor do

modulo da velocidade resultante em que o corpo é lançado.

Após ligarmos as duas novas variáveis ao estoque VELOCIDADE_Y, este

deixará de ser uma constante e passará a ser uma equação que depende dos

parâmetros ligados a ele. A equação que colocaremos na definição do estoque

VELOCIDADE_Y é dada por

)_sin(*___ LançamentoAnguloLançamentodeVelocidadeYVelocidade =

As demais variáveis do modelo serão definidas da mesma maneira.

Ao longo do eixo x, pode-se ver na Fig. 3.47, que a velocidade se mantém

constante. O movimento ao longo desde eixo será então representado pelo modelo

padrão que descreve o movimento uniforme, sendo este reapresentado na Fig. 3.50.

Figura 3.50 – Modelo que descreve o movimento uniforme ao longo do eixo x,

descrito por uma bolinha lançada de forma oblíqua.

46

Assim como para o eixo y, a velocidade inicial ao longo do eixo x, também

dependerá do ângulo e do modulo da velocidade de lançamento. O fluxo

VELOCIDADE_X será então dado em função do produto do modulo da velocidade

de lançamento pelo senocos do ângulo θ de lançamento.

Adicionaremos então duas variáveis ao modelo representado na Fig. 3.50,

sendo estas ÂNGULO_LANÇAMENTO e VELOCIDADE DE LANÇAMENTO, onde

ambas serão ligadas ao fluxo VELOCIDADE_X, conforme mostra a Fig. 3.51.

Figura 3.51 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo x de um corpo

lançado de forma oblíqua.

As variáveis ÂNGULO_LANÇAMENTO e VELOCIDADE_DE_LANÇAMENTO

serão definidas da mesma forma apresentada anteriormente.

Após ligarmos as duas novas variáveis ao fluxo VELOCIDADE_X, este

deixará de ser uma constante e passará a ser uma equação que depende dos

parâmetros ligados a ele. A equação que colocaremos na definição do fluxo

VELOCIDADE_X é dada por

)_cos(*___ LançamentoAnguloLançamentodeVelocidadeXVelocidade =

O modelo que representará um lançamento oblíquo será dado pela

composição dos modelos apresentados nas Fig. 3.49 e 3.51. Observa-se que o

ângulo e a velocidade de lançamento do objeto são os mesmos, não havendo a

necessidade de uma representação separada, conforme podemos ver na Fig. 3.52.

47

Figura 3.52 – Modelo que representa um lançamento oblíquo.

3.5.3 – Exemplo

Resolve-se agora um exercício para cada tipo de movimento estudado nesta

seção, como o intuito de fixação do conhecimento aprendido.

3.5.3.1 – Exemplo de Lançamento Horizontal no Vácuo

Uma esfera é lançada com velocidade horizontal de 5 m/s de uma plataforma

de altura 1,8 m. Ela deve cair dentro do pequeno frasco colocado a uma distância x

do pé da plataforma. À distância x deve ser de, aproximadamente (RAMALHO,

NICOLAU E TOLEDO, 2003).


Dados:

Velocidade Horizontal, HORv sm /5

Altura, h m8.1

Cálculos:

Inicialmente vamos calcular o tempo que a esfera demora a cair no solo,

analisando o movimento uniformemente na vertical, utilizando a equação 3.19.

2

2

0

attvss o ++=

2

1008,10

2tt −+=

36.010

2*8.12 ==t

st 6.036.0 ==

48

Como na horizontal temos um movimento uniforme, para acharmos o alcance

da esfera vamos utilizar a função horária do movimento uniforme (equação 3.8).

vtss c +=

ms 36.0*50 =+=

Tem-se então que o pequeno frasco deve estar a uma distância de 3 metros

da plataforma.


Inicialmente monta-se o modelo que descreve o movimento horizontal no

vácuo, mostrado na Fig. 3.53.

Fig. 3.53 – Modelo que permite descrever o lançamento horizontal no vácuo.

Defina as variáveis do modelo da Fig. 6.13 com os seguintes valores:

G 2/10 sm−

YVelocidade _ 0

DtDx _ YVelocidade _

YPosição _ m8.1

XVelocidade _ sm /5

XPosição _ 0

Simulando-se o modelo apresentado na Fig. 3.53, observe que a esfera

tocará o solo a uma distância de 3 metros da plataforma. Este resultado é mostrado

na Fig. 3.54.

49

Figura 3.54 – Gráfico que mostra a trajetória da esfera ao ser lançada

horizontalmente.

3.5.3.2 – Exemplo de Lançamento Oblíquo no Vácuo

Num lugar em que g=10m/s2, lançamos um projétil com a velocidade inicial

de 100m/s, formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30 graus. A altura

máxima será atingida após (RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003).


Dados:

Gravidade, g 2/10 sm

Velocidade Inicial, INICIALv sm /100

Ângulo de Lançamento ο30=θ

Cálculos:

Inicialmente vamos calcular a altura máxima que o projétil atinge, utilizando a

equação 3.52.

msen

g

senvH 125

10*2

)30(*)100(

2

2222

0 ===θ

Posteriormente calcula-se o tempo que o projétil demora a alcançar a altura

máxima.

smsenvv INICIALy /5030*0 == ο

50

2

2

0

attvy y +=

2

1050125

2tt −=

025102 =+− tt

Resolvendo a formula acima pela equação de báskara encontramos como

única raiz 5, sendo então o tempo que o projétil demora para alcançar a altura

máxima igual a 5s.


Primeiramente monta-se o modelo da Fig. 3.55.

Figura 3.55 – Modelo que descreve um lançamento oblíquo no vácuo.

Definem-se as variáveis do modelo mostrado na Fig. 6.15 com os seguintes

valores.

YAceleração _ 2/10 sm−

YVelocidade _ )_sin(*__ LançamentoAnguloLançamentodeVelocidade

DtDx _ YVelocidade _

YPosição _ 0

LançamentoAngulo _

6

pi

LançamentoVelocidade _ sm /100

XVelocidade _ )_cos(*__ LançamentoAnguloLançamentodeVelocidade

XPosição _ 0

Simulando-se o modelo apresentado na Fig. 3.55 obtém-se que a altura

máxima alcançada pelo projétil é igual a 125 metros, onde ele demora um tempo de

5s, para alcançar está altura. Estes resultados são mostrados nas Fig. 3.56 e 3.57.

51

Figura 3.56 – Gráfico mostrando a trajetória do projeto durante seu movimento.

Figura 3.57 – Gráfico mostrando a variação da posição y do objeto ao longo do

tempo.

52

3.6 – Movimentos Circulares


3.6.1.1 – Grandezas Importantes dos Movimentos Circulares

Inicialmente nesta seção apresentam-se os conceitos das grandezas

envolvidas nos movimentos circulares, sendo estas denominadas de grandezas

angulares.

3.6.1.1.1 – Espaço Angular

Quando os objetos descrevem trajetórias circulares, determinam-se suas

posições por meio de ângulos centrais ϕ em lugar do espaço s (arco OP ) medido

na própria trajetória, como mostrado na Fig. 3.58. O espaço s permite determinar a

posição P do móvel em cada instante; o ângulo ϕ também localiza P e, sendo então

chamado de espaço angular.

Figura 3.58 – Um objeto qualquer descrevendo uma trajetória circular.

Os ângulos serão trabalhados em radianos. O arco s se relaciona ao ângulo

ϕ segundo a equação 3.55.

Rs *ϕ= (3.55)

Analogamente às definições de velocidade escalar e aceleração escalar,

defini-se a velocidade angular (ω ) e aceleração angular (γ ). As grandezas

angulares ϕ , ω e γ compõem a cinemática angular.

3.6.1.1.2 – Velocidade Angular

3.6.1.1.2.1 – Velocidade Angular Média

Considere que 1ϕ seja o espaço angular de um corpo, num instante 1t , e 2ϕ o

espaço angular, num instante posterior 2t , como mostra a Fig. 3.59.

53

Figura 3.59 – Um corpo descrevendo um movimento circular.

No intervalo de tempo t∆ igual a

12 ttt −=∆ (3.56)

a variação do espaço angular é de

12 ϕϕϕ −=∆ (3.57)

Onde temos que a velocidade angular média será dada por

t

m∆

∆=

ϕω (3.58)

3.6.1.1.2.2 – Velocidade Angular Instantânea

Quando o intervalo o intervalo de tempo, na equação 3.58, tender a zero,

passaremos a ter a velocidade instantânea, sendo está então dada pela relação

t

t∆

∆= →∆

ϕω 0lim (3.59)

3.6.1.1.2.3 – Relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular ω

A partir da equação 3.55, podem-se obter as seguintes relações entre os

espaços angulares 1ϕ e 2ϕ , e os espaços lineares 1s e 2s :

Rs *11 ϕ= (3.60)

Rs *22 ϕ= (3.61)

A partir das equações 3.60 e 3.61 podemos deduzir a relação entre s∆ e ϕ∆ .

Rss *)( 1212 ϕϕ −=− (3.62)

Rs *ϕ∆=∆ (3.63)

Dividindo a equação 3.63 por t∆ obtemos a relação entre a velocidade

angular média e a velocidade escalar média.

Rtt

s*

∆

∆=

∆

∆ ϕ (3.64)

54

Rv mm *ω= (3.65)

Considerando t tendendo a zero obtemos a relação entre as grandezas

instantâneas.

Rv *ω= (3.66)

3.6.1.1.3 – Aceleração Angular

3.6.1.1.3.1 – Aceleração Angular Média

Seja 1ω a velocidade angular de um móvel num instante 1t e 2ω a velocidade

angular num instante posterior 2t . No intervalo de tempo t∆ igual a

12 ttt −=∆ (3.67)

a variação da velocidade angular é igual a

12 ωωω −=∆ (3.68)

A aceleração angular média é dada pela relação entre a velocidade angular

média e o intervalo de tempo, sendo está representada na equação 3.69.

t

m∆

∆=

ωγ (3.69)

3.6.1.1.3.2 – Aceleração Angular Instantânea

Quando o intervalo de tempo tende a 0, obtém-se a aceleração instantânea,

mostrada na equação 3.70.

t

t∆

∆= →∆

ωγ 0lim (3.70)

3.6.1.1.3.3 – Relação entre a aceleração escalar a e a aceleração angular γ

Omitindo-se a dedução, tem-se que a relação entre a aceleração escalar e a

aceleração angular é dada pela equação 3.71.

Ra *γ= (3.71)

3.6.1.1.4 – Período e Freqüência

Um fenômeno é periódico quando ele se repete, de forma idêntica, em

intervalos de tempo sucessivos e iguais. O período, T, é o menor intervalo de tempo

da repetição do fenômeno. Exemplo:

- Num relógio, o ponteiro das horas tem movimento periódico: de 12 em 12

horas o ponteiro passa novamente pela mesma posição em idênticas condições.

Seu período T é igual a 12 h.

Num fenômeno periódico, chama-se de freqüência (F) o número de vezes que

o fenômeno se repete na unidade de tempo. Exemplo:

55

- A freqüência escolar de um estudante de um estudante é o número de vezes

em que ele compareceu ao colégio em uma dada unidade de tempo, por exemplo,

mês (freqüência mensal).

Período e freqüência são duas grandezas inversamente proporcionais. Esta

relação é mostrada na equação 3.72.

F

T1

= (3.72)

3.6.1.2 – Movimento Circular Uniforme

Em um movimento uniforme, um objeto qualquer percorre distâncias iguais

em intervalos de tempos iguais. No movimento circular uniforme, como a trajetória é

circular, o intervalo de tempo gasto para completar cada volta será sempre o

mesmo. Tem-se, portanto, que este tipo de movimento é periódico. Onde o período

será igual ao intervalo de tempo de uma volta completa. O número de voltas na

unidade de tempo é sua freqüência.

Vimos na seção 3.1 que a função horária do movimento uniforme é dada por

vtss += 0 (3.72)

Dividindo a equação 7.18 pelo raio R, obtém-se

R

vt

R

s

R

s+= 0 (3.73)

De onde pode-se então chegar à função horária angular do movimento

circular uniforme, sendo está representada na equação 3.74.

tωϕϕ += 0 (3.74)

Adotando-se 00 =ϕ , quando o objeto completa uma volta tem-se que πϕ 2=

e Tt = . Substituindo estes valores na equação 7.20, obtemos então a velocidade

angular, mostrada na equação 3.75.

T

πω

2= (3.75)

Como se tem um movimento circular e uniforme, sua aceleração vetorial será

a aceleração centrípeta ( CPa ). Matematicamente o modulo da aceleração centrípeta

é dado por

R

vaCP

2

= (3.76)

56

ou

RaCP *2ω= (3.77)


Faz-se agora uma abordagem dinâmica do movimento circular uniforme. Este

tipo de movimento é dado pela composição de dois movimentos harmônicos (como

um sistema massa-mola), um ao longo do eixo x e o outro do eixo y. Inicialmente

vamos estudar o movimento em cada eixo separadamente, posteriormente veremos

como eles se relacionam.

Para montar o modelo ao longo do eixo x, parti-se da forma padrão que

representa o movimento uniformemente variado, como a ilustrada na Fig. 3.60.

Figura 3.60 – Montando o modelo que representa o movimento ao longo do eixo x

no movimento circular uniforme.

Como dito no início desta seção, ao longo do eixo x existe um movimento

massa-mola, onde faremos uso desta comparação para descobrir como aceleração

irá variar no movimento circular.

Lembrando da segunda Lei de Newton, obtém-se que a resultante das forças

que agem sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração que ele

possui.

amFR *= (3.78)

Analisando segundo a força elástica da mola atuante em um corpo, temos

que, a resultante das forças é igual a menos o produto da distância pela constante

elástica da mola.

57

)*( xkFR −= (3.79)

Igualando as equações 3.78 e 3.79, temos que a aceleração será dada por

)*(m

kxa −= (3.80)

Onde m

k é uma constante, sendo seu valor aproximadamente igual ao da

velocidade angular ao quadrado.

Deduz-se então que ao longo do eixo x, a aceleração irá variar em função da

posição do corpo e de uma constante, que será considerada igual à velocidade

angular ao quadrado. No modelo da Fig. 3.60 cria-se então uma constante chamada

K, e liga-se está constante e o estoque posição a aceleração, como mostra a Fig.

7.61.

Figura 3.61 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo x em um

movimento circular.

O modelo da Fig. 3.61 representa o movimento ao longo do eixo x, onde as

variáveis deste serão definidas da seguinte maneira:

58

)*_(_ KXPosiçãoXAceleração −=

=XVelocidade _ Valor inicial da velocidade no eixo x

XVelocidadeDtDx __ =

=XPosição _ Posição inicial ao longo do eixo x

=K Valor da velocidade angular ao quadrado.

Entrando-se com valores genéricos no modelo da Fig. 3.61, pode-se ver que

a posição ao longo do eixo x (Fig. 3.62) varia de forma harmônica, o que já era

esperado.

Figura 3.62 – Variação da Posição X em função do Tempo.

Ao longo do eixo y ocorre um movimento análogo ao ocorrido no eixo x, onde

o mesmo caminho é seguido para se obter o modelo que o representa, sendo este

ilustrado na Fig. 3.63.

59

Figura 3.63 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo y em um

movimento circular uniforme.

Logo se deduz que, um objeto que descreve um movimento circular uniforme,

terá seu modelo dado pela combinação dos representados nas Fig. 3.61 e 3.63,

como mostrado na Fig. 3.64.

Figura 3.64 – Modelo que representa um movimento circular uniforme.

Entrando no modelo da Fig. 3.64 com valores genéricos, e criando um gráfico

mostrando como a posição x varia em função da posição y, podemos visualizar que

está composição gera uma circunferência (Fig. 3.65).

60

Figura 3.65 – Trajetória obtida a partir da composição dos movimentos ao longo dos

eixos x e y.

3.6.3 – Exemplo



Uma roda-gigante de raio 14 m gira em torno de um eixo horizontal. Um

passageiro sentado em uma cadeira, move-se com velocidade linear v=7 m/s

(RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003).

Determine:

a) a velocidade angular do movimento.

b) o módulo da aceleração centrípeta do passageiro.

c) em quanto tempo o passageiro executa uma volta completa.


Dados:

Raio, R m14

Velocidade linear, v sm /7

Cálculos:

A velocidade angular é dada da seguinte forma:

61

Rv *ω=

srad /5.014

7==ω

O modulo da aceleração centrípeta é dado por:

222 5.314*)5.0(*

smRaCP === ω

O tempo em que o passageiro executa uma volta completa é o seu período

sendo este dado por:

T

πω

2=

sT 57.125.0

2==

π


Primeiramente monta-se o modelo representado pela Fig. 3.66.

Neste modelo cria-se uma variável chamada V, conectando-a ao estoque

VELOCIDADE_Y, está será a velocidade linear inicial no eixo y.

Cria-se também uma variável chamada R, conectando-a ao estoque

POSIÇÃO_X, está determinará a posição inicial de X.

Feita às duas alterações acima, o modelo ficará idêntico ao mostrado na Fig.

3.66.

Figura 3.66 – Montagem do modelo que representa o movimento circular feito pela

roda-gigante.

Para obter-se a velocidade angular cria-se uma variável chamada

V_ANGULAR, e liga-se as variáveis R e V a ela.

62

Para obter-se a aceleração centrípeta cria-se uma variável chamada

A_CENTRIPETA, e liga-se as variáveis V_ANGULAR e R a ela.

Por ultimo conecta-se a variável V_ANGULAR a variável K.

Concluindo-se os passos acima, o modelo ficará como o modelo mostrado na

Fig. 3.67.

Figura 3.67 – Modelo que representa o movimento circular feito pela roda-gigante.

Defina os parâmetros do modelo com os seguintes valores:

XAceleração _ )*_( KXPosição−

XVelocidade _ 0

XDtDx __ XVelocidade _

XPosição _ R

R m14

CentripetaA _ RAngularV *)_( 2

AngularV _

R

V

K 2_ AngularV

YAceleração _ )*_( KYPosição−

YVelocidade _ V

V sm /7

YDtDx __ YVelocidade _

YPosição _ 0

63

Simulando-se o modelo representado na Fig. 3.67, os resultados mostrados

nas Fig. 3.68 e 3.69.

Figura 3.68 – Os numbers acima mostram os resultados obtidos para a aceleração

centrípeta e para a velocidade angular.

Figura 3.69 – O gráfico acima mostra a trajetória descrita pela roda gigante ao longo

de seu movimento.

A roda-gigante irá demorar um tempo igual a 12.57 s, para completar uma

volta inteira.

64

Capítulo 4 – Conclusão

O objetivo deste trabalho foi alcançado. Uma nova metodologia de ensino da

cinemática foi desenvolvida, em cima de base bem fundamentada e a partir de

conceitos bem explicados.

Durante toda a elaboração desta nova metodologia, foi feito um estudo da

metodologia tradicional paralelamente, com o intuito de comparação de como ambas

se aplicam no estudo proposto. Chegamos a algumas vantagens do método

dinâmico em relação ao método tradicional. Sendo estas, fácil assimilação do jeito

de resolver o problema proposto, rapidez e praticidade na solução de problemas,

abordagem de problemas complexos de uma forma mais tranqüila e sem dúvida, um

jeito muito mais divertido e envolvente de se resolver exercícios de física.

Muitas vezes o que impede um aluno de resolver um exercício de física, são

os conceitos matemáticos envolvidos e não a parte física em si. Isso devido ao fato

de muitas vezes a metodologia tradicional impor que o aluno, memorize um número

grande complexo de fórmulas, para se resolver um exercício qualquer de física. O

método dinâmico, pelo fato de fazer o uso de apenas 5 símbolos, que são capazes

de descrever qualquer tipo de exercício físico ou não, torna-se uma ferramenta de

fácil assimilação do aluno, permitindo que ele possa aprender de um jeito muito mais

fácil, deixando de lado o fato de ter sempre que decorar, e nem sempre aprender.

Durante a solução de um exercício de cinemática, de média complexidade, na

maioria das vezes se faz o uso muitas equações diferentes, fazendo-se diversos

cálculos, num processo de consome muito tempo, e muitas vezes se chegando a

resultados indesejados em virtude de erro nos cálculos. Na modelagem dinâmica,

viu-se que cada tipo de movimento abordado possui um modelo padrão, que

soluciona qualquer tipo de exercício envolvendo este tipo de movimento. Temos

então que muitas vezes, a partir de uma correta interpretação de um exercício

proposto, basta apenas se substituir valores no modelo padrão, onde a partir da

simulação de obtém a resposta correta, em um intervalo de tempo muito curto. Onde

com algumas alterações nos valores, podem-se obter, de uma maneira bem rápida e

prática, diversas situações possíveis de serem analisadas.

Durante a abordagem de problemas de nível difícil, segundo os conceitos

clássicos, na maioria das vezes chega-se a uma matemática extremamente

complexa, que se torna uma barreira na solução de um exercício de física. A

65

metodologia dinâmica permite solucionar tais exercícios, de uma maneira fácil de

entender e muito mais rápida que a tradicional. Pois durante a modelagem de um

exercício de física, temos implícito ao modelo, todo um ferramental de equações,

que são resolvidas durante a simulação para se solucionar o exercício. Mas quem

monta o modelo não tem que se preocupar com tais equações, apenas com a

montagem correta do modelo, o que é muito mais fácil. Isto é então algo que permite

se resolver exercícios de natureza matemática complexa, de forma bastante prática,

desde que se entenda o que esta sendo pedido, e seja feita uma montagem correta

do modelo, não havendo então qualquer preocupação com os cálculos.

Hoje em dia o computador é uma importante ferramenta de trabalho, estudo e

diversão que atrai milhares de pessoas no mundo inteiro. Então o fato desta nova

metodologia, fazer uso do ambiente computacional para ensinar física, é um fato que

já atrai muito os alunos. Pois estes vêem nesta forma interativa de aprender, um

momento de estudo mais descontraído. Algo que os deixa de mente mais aberta a

aprender coisas novas.

66

Referências Bibliográficas

Forio: Web Business Simulations, Disponível em: http://www.forio.com/ . Acesso

em: 15 nov. 2008.

ISee Systems – Stella, Disponível em: http://www.iseesystems.com/ . Acesso

em: 15 nov. 2008.

Powersim AS e Powersim Corporation, Reference Manual, Manual do

Software de Simulação Powersim, 1996.

RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, Os Fundamentos da Física, Volume 1, 8ª

edição, pp. 12 – 169, 2003.

ROCHA, L.S., Dinâmica de Sistemas: Análise Matemática, Trabalho Final de

Curso em Engenharia Elétrica, 2004.

Software Powersim, Disponível em: http://www.powersim.com/ . Acesso em: 15

nov. 2008.

Software VenSim, Disponível em: http://www.vensim.com/ . Acesso em: 15 nov.

2008.

VILLELA, P. R. C., Introdução a Dinâmica de Sistemas, Artigo Científico,

UFJF, 2005.

67

Anexos A.1 – Manual do Powersim

A.1.1 – Introdução

Inicialmente abra o aplicativo do Powersim, clicando INICIAR / TODOS OS

PROGRAMAS / POWERSIM / CONSTRUCTOR (Fig. A.1.1).

Figura A.1.1 – Abrindo o Powersim.

Ao abrir o Powersim, visualizaremos sua tela inicial, como ilustrado na Fig.

A.1.2.

Figura A.1.2 – Tela inicial do Powersim.

68

Para montar qualquer modelo que será simulado no Powersim, utilizaremos

um dos sete símbolos do programa. Estes estão localizados na parte superior do

programa como mostrado na Fig. A.1.3.

Figura A.1.3 – Elementos básicos para simulação no Powersim.

Estoque - Representa ACUMULAÇÕES ou DESACUMULAÇÕES de

algum recurso (água, dinheiro, prestígio pessoal, produto químico e etc).

Variável - Representa PARÂMETROS que são usados no sistema, onde

normalmente estes parâmetros alteram de valor ao longo do tempo.

Constante - Representa PARÂMETROS que não alteram de valor durante

a simulação.

Fluxo - Representa o transporte de RECURSOS (água, dinheiro, etc)

no sistema.

Seta de Informação – Liga os elementos do sistema e explicitam

relações entre os mesmos.

Observações:

Fluxo já associado a uma variável, que determinará o recurso e a

quantidade a ser transportado.

Fluxo não associado a uma variável, onde o recurso e a quantidade que

ele transporta são desconhecidos.

Seta que fornece informação de forma instantânea.

Seta que fornece informação com atraso.

69

A.1.2 – Modelando uma Caderneta de Poupança

Com o intuito de demonstrar o uso dos símbolos de modelagem do Powersim,

montaremos um modelo que descreve o funcionamento de uma caderneta de

poupança.

Temos em uma caderneta de poupança três variáveis básicas. Estas são:

POUPANÇA (Representa o dinheiro que se tem guardado em algum banco, e

que acumula em cada mês).

TAXA DE RENDIMENTO (Valor percentual constante, que indicará o quanto

será acrescido na poupança a cada mês).

RENDIMENTO (Valor em espécie, que será acrescentado à poupança a cada

mês).

A partir dos conceitos de cada variável do nosso modelo podemos deduzir

que, POUPANÇA será um estoque, pois acumula valores ao longo do tempo. TAXA

DE RENDIMENTO será uma constante, porque não varia com o tempo.

RENDIMENTO será um fluxo, porque será responsável por transportar os recursos

para poupança. Com estes dados montaremos no Powersim o modelo da Poupança.

Para colocar o estoque Poupança execute os seguintes passos:

1 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ícone estoque na barra

de ferramentas do Powersim.

2 – Movimente o mouse sobre a tela e observe que o ponteiro do mouse se

transformou no ícone do estoque. Escolha um lugar na tela onde será colocado o

estoque e de um novo clique no botão esquerdo do mouse.

3 – Observe que o ícone estoque aparecerá na tela, selecionado, onde agora

queremos colocar o nome neste ícone estoque de Poupança. Estando o ícone ainda

selecionado, apenas digite a palavra POUPANÇA.

A tela ficará então da maneira mostrada na Fig. A.1.4.

70

Figura A.1.4 – Montando uma caderneta de poupança.

Para colocar o fluxo Rendimento execute os seguintes passos:

1 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ícone fluxo na barra de

ferramentas.

2 – Escolha um lugar na tela a esquerda do estoque POUPANÇA. Clique e

segure o botão esquerdo do mouse sobre a tela, e arraste-o até o ícone

representando a POUPANÇA, quando o ícone estoque ficar na cor preta, solte o

botão esquerdo do mouse.

3 – Observe que o fluxo está selecionado, então aproveite para dar um novo

nome ao fluxo, chame-o de RENDIMENTO.



71

Para colocar a constante Taxa de Rendimento execute os seguintes passos:

1 – Clique com o botão esquerdo do mouse no ícone que representa uma

constante, na barra de ferramentas do Powersim.

2 – Escolha um lugar na tela abaixo e a esquerda do fluxo rendimento, clique

com o botão esquerdo do mouse.

3 – Com o ícone ainda selecionado, digite TAXA DE RENDIMENTO.



Agora vamos interligar as variáveis que se relacionam. Neste modelo temos

que o RENDIMENTO vai depender da POUPANÇA e da TAXA DE RENDIMENTO,

então vamos interligar POUPANÇA e TAXA DE RENDIMENTO ao fluxo por meio

das setas de informação da seguinte maneira.

1 – Clique com o botão esquerdo do mouse no ícone setas de informação na

barra de tarefas.

2 – Clique no interior da constante TAXA DE RENDIMENTO e segure, arraste

o mouse até o interior do fluxo RENDIMENTO, até que este mude de cor, e então

solte o mouse.

3 – Para relacionar o estoque POUPANÇA e a variável RENDIMENTO, clique

com o com o botão esquerdo do mouse novamente sobre a seta de informação.

72

4 – Clique no interior da variável POUPANÇA e segure o mouse, arraste a

seta até o interior do fluxo RENDIMENTO, até que este mude de cor, e então solte o

mouse.



Observe que os parâmetros do modelo estão com um sinal de interrogação

em seu interior, isso acontece porque eles ainda não foram definidos. Vamos então

definir cada um dos parâmetros do modelo.

Para definir o estoque Poupança, execute os seguintes passos:

1 – Clique duas vezes sobre o estoque POUPANÇA. Uma tela chamada

DEFINE VARIABLE aparecerá.

2 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo

DEFITION e digite 100 (este representa o valor inicial da caderneta de poupança).

3 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo UNIT OF

MEASURE e digite R$ (esta representa a unidade do estoque poupança).

4 – Clique OK. Observe que o sinal de interrogação que estava sobre o

estoque poupança desapareceu.

Para definir a constante taxa de rendimento, execute os seguintes passos:

1 – Clique duas vezes sobre a constante TAXA DE RENDIMENTO. A tela

DEFINE VARIABLE aparece novamente.

73

2 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo

DEFITION e digite 1 (este valor representa a taxa de rendimento da poupança em

%).


MEASURE e digite % (este representa a unidade da taxa de rendimento).

4 – Clique OK.

Para definir a variável rendimento, execute os seguintes passos:

1 – Clique duas vezes sobre a variável RENDIMENTO, a tela DEFINE

VARIABLE aparece novamente.

2 – Observe que a caixa de dialogo LINKED VARIABLES possui as variáveis

Poupança e Taxa de Rendimento. De dois cliques sobre o estoque Poupança e

observe que ele aparece na caixa de dialogo DEFINITION.

3 – Insira um símbolo de multiplicação (*) na caixa de dialogo DEFINITION.

4 – De dois cliques sobre o ícone taxa de rendimento na caixa de dialogo

LINKED VARIABLES, observe que ele aparece na caixa DEFINITION.

5 – Insira um símbolo que representa a divisão (/) na caixa na caixa de

dialogo DEFINITION.

6 – Digite 100 após o símbolo de divisão.


MEASURE e digite R$ / mês.

Observação: A caixa de dialogo DEFINITION da variável Rendimento fica da

seguinte maneira: (POUPANÇA * TAXA_DE_RENDIMENTO / 100).

8 – Clique OK.

Observe que agora não há nenhum sinal de interrogação no modelo, estando

ele concluído.

74

A.1.3 – Simulando e Observando a Caderneta de Poupança

Nesta etapa vamos inicialmente criar maneiras de se visualizar os resultados

da caderneta de poupança modelada na seção A.1.2. Pretendemos visualizar os

resultados da caderneta de poupança de maneira gráfica e por meio de tabela.

Para colocar um gráfico na tela, que representará a variação do estoque

poupança ao longo do tempo, execute os seguintes passos.

- Na barra de ferramentas do Powersim procure o ícone TimeGraph ( )

- Clique sobre o ícone com o botão esquerdo do mouse.

- Clique e mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado em um ponto

qualquer da tela.

- Arraste o mouse sobre a tela até formar um quadrado, onde estará inserido

o seu gráfico.

- Clique e arraste o estoque poupança até o gráfico.

Após executados os passos acima você terá em sua tela um gráfico idêntico

ao mostrado na Fig. A.1.8.

Figura A.1.8 – Gráfico que permitirá visualizar como a poupança varia com o tempo.

Para colocar na tela uma tabela que mostrará os valores ao longo do tempo

do estoque poupança e do fluxo rendimento execute os seguintes passos:

- Na barra ferramentas do Powersim procure o ícone TimeTable ( ).

- Clique sobre o ícone com o botão esquerdo do mouse.

- Clique e mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado em um ponto

qualquer da tela.

75

- Arraste o mouse sobre a tela até formar um retângulo, onde estará inserida a

sua tabela.

- Clique e arraste o estoque poupança e o fluxo rendimento até a tabela.

Após executados os passos acima você terá uma tabela idêntica à mostrada

na Tab. A.1.1.

Tabela A.1.1 – Tabela que mostrará os valores do estoque poupança e do fluxo

rendimento ao longo do tempo.

O powersim possui ainda outras formas de se visualizar os parâmetros

simulados nos modelos, deixarei que o leitor possa descobrir estas outras formas ao

mexer no programa.

Antes de simular o modelo da caderneta de poupança, vamos definir algumas

características importantes para a simulação. Primeiramente clique na barra superior

chamado Simulate , posteriormente clique em tupSimulateSe . A caixa de dialogo

mostrada na Fig. A.1.9 aparecerá.

76

Figura A.1.9 – Caixa de definição das características da simulação.

Na caixa StartTime mostrada na figura 10, definiremos o tempo em que o

programa começará a simular. Vamos entrar no StartTime com o valor zero,

significando que nossa simulação começará a partir do tempo zero, sendo este

nossa referência.

Na seção StopTime definiremos até que unidade de tempo o programa simula.

Como estamos tratando de uma caderneta de poupança, onde os rendimentos são

normalmente mensais, colocaremos o StopTime com um valor igual a 12,

significando que simularemos nossa caderneta de poupança por 12 meses (1 ano).

Na parte StepTime definiremos de quanto em quanto tempo ocorrerá à

simulação. Colocaremos o StepTime igual a 1, significando que simularemos de mês

em mês o rendimento da poupança.

A caixa de definição tupSimulateSe ficará como mostrada na Fig. A.1.10.

77

Figura A.1.10 – Caixa do tupSimulateSe definida para nossa simulação.

Após definir o tupSimulateSe vamos agora simular nosso modelo.

Para simular nosso modelo utilizaremos os ícones mostrados na Fig. A.1.11.

Figura A.1.11 – Elementos utilizados para simular um modelo no Powersim.

Cada um dos elementos representados na Fig. A.1.11 tem o seguinte

significado:

Play – Elemento utilizado para se começar uma simulação.

Play / Pause – Ao se clicar neste elemento, o play e o pause são

pressionados juntos, onde você está no tempo t=0 da sua simulação. Neste instante

você pode definir valores iniciais para o modelo por meio de elementos dinâmicos.

Após definidos os valores iniciais da-se um clique no pause e inicia-se a simulação

normalmente.

Pause – Elemento utilizado para se pausar ou despausar uma simulação,

no tempo em que se achar conveniente.

Stop – Utilizado para se parar uma simulação, antes que ela tenha

terminado.

Vamos agora então simular nossa caderneta de poupança, para isso clique

no botão Play. A Fig. A.1.12 e a Tab. A.1.2 mostrarão graficamente e por meio de

tabela como nossa poupança se comporta ao longo de 1 ano.

78

Figura A.1.12 – Gráfico mostrando o comportamento da nossa caderneta de

poupança ao longo de 1 ano.

Tabela A.1.2 – Tabela mostrando os valores do estoque poupança e do rendimento

em cada mês, durante um ano.

Após a simulação podemos chegar a seguinte conclusão. Colocando

00,100$R em uma caderneta de poupança que rende 1% ao mês, teremos após 1

ano 68,112$R . Entrando-se no modelo com valores diferentes para o estoque

poupança e para a taxa de rendimento, observaremos infinitas soluções possíveis

para este modelo.

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Anexo A.2 - Exemplos de exercícios resolvidos pelo método dinâmico Modelo 1:

Figura A.2.1 – Enunciado.

Figura A.2.2 – Modelo.

Figura A.2.3 – Simulador.

80

Figura A.2.4 – Instruções de uso do modelo.

Modelo 2:



81



Modelo 3:


82




83

Modelo 4:




84


Modelo 5:



85



86

A.3 – Trabalhos desenvolvidos por alunos de graduação

Modelo 1: Trabalho desenvolvido pelo aluno Daniel Seixas Breda, graduando

em engenharia elétrica da UFJF.




87


Modelo 2: Trabalho desenvolvido pelo aluno Arthur Augusto Pereira Cruz,

graduando em engenharia elétrica da UFJF.



88



Modelo 3: Trabalho desenvolvido pelo aluno Guilherme Gonçalves Dias

Teixeira, graduando em engenharia elétrica da UFJF.


89




90

Modelo 4: Trabalho desenvolvido pelo aluno Luis Felipe Froede Lorentz,

graduando em engenharia elétrica da UFJF.




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utilização da dinâmica de sistemas no ensino da cinemática

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