univerza v ljubljani fakulteta za...

Univerza v Ljubljani

Fakulteta za elektrotehniko

Uvod v laboratorijske vaje

Elektronika z digitalno tehniko

Bostjan Murovec

Ljubljana, 2005

Kazalo

1 Osnove elektricnih vezij 11.1 Kirchoffova zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Tokov Kirchoffov zakon . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Napetostni Kirchoffov zakon . . . . . . . . . . . 5

1.2 Idealni elementi vezja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Napetostni vir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Obremenjen napetostni vir . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Smer toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Vezane polaritete in moc . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Obremenjenost idealnega napetostnega vira . . 121.3.5 Obstoj napetostnega vira . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Tokovni vir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Obremenjen tokovni vir . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Obremenjenost tokovnega vira . . . . . . . . . . 151.4.3 Obstoj tokovnega vira . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Idealni ohmski upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1 Mocnostne razmere . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 Zaporedna in vzporedna vezava uporov . . . . . 181.5.3 Napetostni in tokovni vir kot porabnika . . . . . 21

1.6 Napetostni izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.1 Napotki za uporabo napetostnih izvorov . . . . 251.6.2 Priklop aktivnega bremena . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Tokovni izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 Nacelo superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9 Theveninov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

i

ii KAZALO

1.10 Nortonov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.11 Napetostni delilnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.11.1 Obremenjen napetostni delilnik . . . . . . . . . 391.11.2 Upor R2 kot breme . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.12 Tokovni delilnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12.1 Obremenjen tokovni delilnik . . . . . . . . . . . 441.12.2 Upor R2 kot breme . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.13 Krmiljenje bremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.13.1 Enakost napetostnega in tokovnega izvora . . . 471.13.2 Napetostno krmiljenje bremena . . . . . . . . . 481.13.3 Tokovno krmiljenje bremena . . . . . . . . . . . 51

1.14 Primer uporabe nadomestnih vezij . . . . . . . . . . . . 531.15 Idealni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.16 Idealna dusilka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.17 Sinusne oblike elektricnih velicin . . . . . . . . . . . . . 62

1.17.1 Sinusni (kosinusni) casovni potek velicin . . . . 621.17.2 Odvod in integral sinusnih velicin . . . . . . . . 641.17.3 Linearni elementi in sinusni signali . . . . . . . 651.17.4 Kompleksni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Tabele

1.1 Stevilcni prikaz napetostnega krmiljenja bremena. . . . 491.2 Stevilcni prikaz tokovnega krmiljenja bremena. . . . . . 52

iii

Slike

1.1 Vezje za razlago tokovega Kirchoffovega zakona. . . . . 21.2 Vezje s tremi vozlisci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Enakost toka preko veje vezja. . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Vezje za razlago napetostnega Kirchoffovega zakona. . . 51.5 Vezje z vec zankami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Napetostni vir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Priklop upora na napetostni vir. . . . . . . . . . . . . . 101.8 Napetostni vir v kratkem stiku. . . . . . . . . . . . . . 131.9 Tokovni vir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.10 Priklop bremena na tokovni vir. . . . . . . . . . . . . . 141.11 Idealni ohmski upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 Zaporedna vezava uporov . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.13 Vzporedna vezava uporov . . . . . . . . . . . . . . . . 201.14 Napetostni vir kot porabnik moci. . . . . . . . . . . . . 211.15 Tokovni vir kot porabnik moci. . . . . . . . . . . . . . 221.16 Napetostni izvor in njegova U/I karakteristika. . . . . . 231.17 Priklop bremenskega upora na napetostni izvor. . . . . 241.18 Priklop tokovnega vira na napetostni izvor. . . . . . . . 261.19 Drug priklop tokovnega vira na napetostni izvor. . . . . 271.20 Tokovni izvor in njegova I/U karakteristika. . . . . . . . 281.21 Tokovni izvor vezan v kratek stik. . . . . . . . . . . . . 281.22 Priklop upora na tokovni izvor. . . . . . . . . . . . . . 291.23 Vezje za razlago superpozicije. . . . . . . . . . . . . . . 311.24 Izklop napetostnega vira U2 in tokovnega vira I3. . . . . 321.25 Drug prikaz vezja na sliki 1.24. . . . . . . . . . . . . . 32

v

vi SLIKE

1.26 Izklop tokovnih virov I1 in I3. . . . . . . . . . . . . . . 331.27 Izklop tokovnega vira I1 in napetostnega vira U2. . . . . 331.28 Vezje za razlago Theveninovega teorema. . . . . . . . . 341.29 Dolocitev Theveninove notranje upornosti. . . . . . . . 351.30 Theveninovo nadomestno vezje vezja na sliki 1.28. . . . 351.31 Dolocitev toka IN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.32 Nortonovo nadomestno vezje vezja na sliki 1.28. . . . . 371.33 Napetostni delilnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.34 Obremenjen napetostni delilnik. . . . . . . . . . . . . . 391.35 Theveninova notranja upornost napetostnega delilnika. 401.36 Theveninovo nadomestno vezje napetostnega delilnika. 401.37 Razsiritev merilnega obmocja V-metra. . . . . . . . . . 421.38 Tokovni delilnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.39 Obremenjen tokovni delilnik. . . . . . . . . . . . . . . . 441.40 Nortonova notranja upornost tokovnega delilnika. . . . 451.41 Nortonovo nadomestno vezje tokovnega delilnika. . . . 451.42 Razsiritev merilnega obmocja A-metra. . . . . . . . . . 461.43 Pretvorba Theveninovega izvora v Nortonov izvor. . . . 471.44 Rezultat pretvorbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.45 Pretvorba Nortonovega izvora v Theveninov izvor. . . . 481.46 Rezultat pretvorbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.47 Napetostno krmiljenje s Theveninovim izvorom. . . . . 491.48 Napetostno krmiljenje z Nortonovim izvorom. . . . . . 501.49 Tokovno krmiljenje z Nortonovim izvorom. . . . . . . . 511.50 Tokovno krmiljenje s Theveninovim izvorom. . . . . . . 521.51 Merjenje vode v rezervarju. . . . . . . . . . . . . . . . 531.52 Nadomestno vezje vezja na sliki 1.67. . . . . . . . . . . 551.53 Idealni kondenzator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.54 Tok, naboj in napetost kondenzatorja . . . . . . . . . . 591.55 Simbol idealne dusilke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.56 Sinusni casovni potek signala. . . . . . . . . . . . . . . 631.57 Vpliv spremembe parametrov sinusnega signala. . . . . 641.58 Sinusni signal in njegova kompleksna amplituda . . . . 671.59 Kompleksna ampituda in casovni prostor. . . . . . . . . 671.60 Vezje za prikaz uporabe kompleksnega racuna. . . . . . 69

Poglavje 1

Osnove elektricnih vezij

Pri preucevanju elektronskih vezij se nenehno srecujemo s temeljnimipojmi in zakonitostmi elektrotehnike, ki jih moramo poznati, v koli-kor zelimo razumeti dogajanja v vezjih. K osnovnim znanjem analizespadajo zakonitosti elementov vezja, kot so upornost, kapacitivnost,induktivnost, napetostni in tokovni vir. Poznati moramo tudi zako-nitosti elektricnih velicin pri povezovanju elementov v vezje. V tembesedilu so zbrana izhodiscna znanja, ki jih potrebujemo pri analiziin razlagi elektronskih vezij.

1.1 Kirchoffova zakona

Kirchoffova zakona vzpostavljata temeljni zakonitosti elektricnih velicinv vezjih. Veljata neodvisno od tega, katere elemente vezje vsebuje inna kaksen nacin so ti med seboj povezani. Oba zakona uporabljamotako pogosto, da se njune uporabe najveckrat niti ne zavedamo.

1.1.1 Tokov Kirchoffov zakon

Tokov Kirchoffov zakon (1. Kirchoffov zakon) pravi, da je vsota vsehtokov, ki pritekajo v vozlisce, enaka vsoti vseh tokov, ki odtekajo izvozlisca.

1

2 POGLAVJE 1. OSNOVE ELEKTRICNIH VEZIJ

Na podlagi tega zakona lahko za vsako vozlisce vezja zapisemo vo-zliscno enacbo. Primer prikazuje slika 1.1.

Slika 1.1: Vezje za razlago tokovega Kirchoffovega zakona.

V tem vezju obstajata dve vozlisci, za kateri napisimo vozliscnienacbi. V vozlisce 1 tok i0 priteka, medtem ko toka iN in iB odte-kata. Temu ustreza vozliscna enacba 1.1.

i0 = iN + iB (1.1)

V vozliscni enacbi se na eni strani enacaja nahaja vsota vseh prite-kajocih tokov (v tem primeru samo tok i0) in na drugi strani enacajavsota vseh odtekajocih tokov (v tem primeru toka iN in iB).

Zapisimo se vozliscno enacbo 1.2 za vozlisce 2, v katerega toka iNin iB pritekata, medtem ko tok i0 iz njega odteka.

iN + iB = i0 (1.2)

S primerjavo obeh vozliscnih enacb ugotovimo, da je enacba 1.2povsem enaka enacbi 1.1. To ni nakljucje, ampak nujno dejstvo, kiga lahko pojasnimo z naslednjim razmisljanjem.

Tokov Kirchoffov zakon sledi neposredno iz zakona o ohranitvielektricnega naboja, ki pravi, da naboj ne more nikjer v vezju nitinastajati niti izginjati. Tok je po definiciji premik naboja prekodolocene ploskve (npr. presek vodnika) v casovni enoti. Ce nek tok(ali vec tokov) tece v doloceno vozlisce, npr. vozlisce 1 na sliki 1.1,vanj dovaja naboj. Ta naboj mora priteci iz nekega drugega vozlisca,v tem primeru iz vozlisca 2. Ker v vozliscu 2 naboj ne more nastajati,mora vanj priteci iz vozlisca 1.

1.1. KIRCHOFFOVA ZAKONA 3

Enakovredni vozliscni enacbi potrjujeta, da iz vozlisca 1 tece vvozlisce 2 ravno toliko toka, kot ga tece iz vozlisca 2 v vozlisce 1.Zaradi tega je dotok naboja iz vozlisca 2 v vozlisce 1 je enako velikkot dotok naboja iz vozlisca 1 v vozlisce 2. Osnovno gonilo toka pritem vezju je tokovni vir na levi strani slike 1.1, ki ga bomo obravnavalikasneje (poglavje 1.4).

Razsirimo diskusijo na vezje z vec vozlisci; v konkretnem primerus tremi, katerega prikazuje slika 1.2.

Slika 1.2: Vezje s tremi vozlisci.

V vozlisce 1 priteka tok i0 in iz njega odtekata toka iN in iA, cemurusreza vozliscna enacba 1.3.

i0 = iN + iA (1.3)

V vozlisce 2 priteka tok iA in iz njega odtekata toka iB in iC , karopisuje vozliscna enacba 1.4.

iA = iB + iC (1.4)

Podobno ugotovimo, da v vozlisce 3, ki se na sliki razteza preko celo-tne spodnje strani vezja, pritekajo toki iN , iB in iC , medtem ko tok i0iz njega odteka. Opisu ustreza vozliscna enacba 1.5.

iN + iB + iC = i0 (1.5)

Na prvi pogled nobena od enacb 1.3, 1.4 in 1.5 ni enaka katerikolidrugi, vendar to ne pomeni, da v tem vezju nimamo podobnega od-nosa, kot obstaja med enacbama 1.1 in 1.2 prejsnjega vezja. Z majhnopreureditvijo enacb se lahko hitro prepricamo, da je ena od njih po-novno odvec. Npr. z enacbo 1.4 izrazen tok iA vstavimo v enacbo 1.3in dobimo enacbo 1.5.


V sposnem velja, da lahko za vezje z N vozlisci zapisemo samoN − 1 neodvisnih vozliscnih enacb. Enacbo za preostalo vozliscelahko vedno izrazimo iz ostalih vozliscnih enacb. To je posledicazakona o ohranitvi naboja.

Ponovno si oglejmo sliko 1.2. V njej smo tok v vsaki veji vezjaoznacili dvakrat: enkrat na zacetku veje in enkrat na koncu, pri cemersmo zacetni in koncni tok veje oznacili z isto oznako. Primer: prekoupora RC tece tok iC , ki odteka iz vozlisca 2 in priteka v vozlisce 3.

Pokazati zelimo, da preko poljubne veje vezja tece enak tok ponjeni celotni dolzini. Tok, ki izstopa iz veje, je enak toku, ki vanjovstopa. Isti tok tece preko kateregakoli odseka veje, tudi ce se vnjej nahaja poljubno stevilo zaporedno vezanih elementov, ki imajopoljubne elektricne lastnosti.

Slika 1.3 levo simbolicno prikazuje poljubno vejo vezja, v kateri senahaja poljuben element ali vec zaporedno vezanih elementov.

Slika 1.3: Enakost toka preko veje vezja.

S stalisca tokovega Kirchoffovega zakona si lahko to vejo predsta-vljamo kot vozlisce (desna stran slike), v katerega priteka tok i1 in izkaterega odteka tok i2, kar opisuje vozliscna enacba 1.6.

i1 = i2 (1.6)

Relacija dokazuje, da je vstopni tok v vejo enak izstopnemu toku.To je razumljivo, saj naboj ne more nikjer nastajati, ali se kopiciti.Na podoben nacin si lahko zamislimo vozlisce v katerikoli tocki veje,na podlagi cesar ugotovimo, da preko vsakega dela veje tece isti tok.Oznacevanje tokov hkrati na zacetku in koncu veje je nepotrebno.


1.1.2 Napetostni Kirchoffov zakon

Napetostni Kirchoffov zakon (2. Kirchoffov zakon) pravi, da je vsotavseh napetosti v poljubni zanki vezja enaka 0. Zanka oznacujemnozico sklenjenih vej v vezju, ki vsako vejo vsebuje samo enkrat.Vsako zanko vezja opisuje ena zancna enacba, ki jo zapisemo na nasle-dnji nacin. Zamislimo si, da zanko obhodimo v izbrani smeri, navadnov smeri urinega kazalca. Ce pri tem naletimo najprej na pozitivnosponko dolocene napetosti, ima ta napetost v zancni enacbi pozi-tivni predznak, v nasprotnem primeru je ta napetost predznacenanegativno. Oglejmo si primer vezja na sliki 1.4.

Slika 1.4: Vezje za razlago napetostnega Kirchoffovega zakona.

Vezje vsebuje eno zanko, ki jo bomo obhodili v smeri urinega kazalca,kot nakazuje puscica. Pricnemo lahko v poljubnem vozliscu; v nasemprimeru naj bo to vozlisce 1. Pri obhodu zanke najprej naletimo napozitivno sponko napetosti uR, zato ima ta napetost v zancni enacbipozitivni predznak. Nadaljujemo v isti smeri in v vozliscu 2 naletimona negativno sponko napetosti U0, zato ima ta napetost v zancnienacbi negativni predznak. Postopek nadaljujemo in prispemo v vo-zlisce 1, kjer se je obhod zacel, zato je postopek koncan. Vsota vsehnapetosti, na katere smo med obhodom naleteli, je po napetostnemKirchoffovem zakonu enaka 0, iz cesar sledi zancna enacba 1.7.

uR − U0 = 0 ali uR = U0 (1.7)

Ugotovitev pove, da je napetost uR po velikosti in predznakuenaka napetosti U0. U0 je napetost napetostnega vira, ki vsiljujenapetost upornosti R. O napetostnem viru bomo govorili kasneje(poglavje 1.3).


Obravnavo Kirchoffovega napetostnega zakona razsirimo na vezjez vec zankami, ki ga prikazuje slika 1.5.

Slika 1.5: Vezje z vec zankami.

Vezje vsebuje tri osnovne zanke, ki v svoji notranjosti ne vsebujejonobene druge zanke. Osnovna zanka 1 vsebuje tocke 1, 2, 7 in 8,osnovna zanka 2 vsebuje tocke 2, 3, 6 in 7 in osnovna zanka 3 vsebujetocke 3, 4, 5 in 6. Vsaka osnovna zanka ima v notranjosti narisanopuscico, ki nakazuje smer obhoda. Na podlagi predhodnega opisanapetostnega Kirchoffovega zakona lahko napisemo naslednje zancneenacbe.

uN − U0 = 0 ali uN = U0 (1.8)

uA − uB − uN = 0 ali uA = uB + uN (1.9)

uC + uB = 0 (1.10)

Pri zapisu enacb moramo striktno paziti, da predznaki napetostiustrezajo oznacenim polaritetam, tudi ce je dejanska polariteta na-petosti na elementu drugacna od oznacene. Npr. dejanska polaritetanapetosti uB je zanesljivo drugacna od oznacene, saj ze na pogledvidimo, da je tocka 3 bolj pozitivna od tocke 6. Obratna polaritetanapetosti na sliki od dejanske ne pomeni napake, ampak da boizracunana vrednost napetosti imela negativen predznak, s cimer sebo dejanska polariteta napetosti uskladila z izbrano.

Napetostni Kirchoffov zakon velja za poljubno zanko vezja in nesamo za osnovne zanke. Z enacbo 1.11 je zapisana zancna enacbazanke, ki poteka skozi tocke 1, 2, 3, 6, 7 in 8.

uA − uB − U0 = 0 (1.11)


Enacba 1.12 pripada zanki, ki poteka skozi tocke 2, 3, 4, 5, 6 in 7.

uA + uC − uN = 0 (1.12)

V vezju obstaja tudi zanka, ki poteka skozi vse tocke od 1 do 8.Pripada ji zancna enacba 1.13.

uA + uC − U0 = 0 (1.13)

Pri zapisovanju zancnih enacb moramo paziti, da jih ne upora-bimo vec, kot jih je linearno neodvisnih. Podobno je pri tokovemKirchoffovem zakonu, kjer zadnjemu vozliscu (katerokoli je ze) pri-pada vozliscna enacba, ki je linearna kombinacija ostalih vozliscnihenacb.

Oglejmo si mnozico enacb od 1.8 do 1.13. Na prvi pogled ni no-bena izmed njih enaka katerikoli drugi, kljub temu pa niso vse medseboj linearno neodvisne, v kar se lahko hitro prepricamo. Vzemimoenacbo 1.10 in iz nje izrazimo napetost uB, ki je enaka −uC . Le-tovstavimo v enacbo 1.13 in dobimo enacbo 1.11, kar pomeni, da je enaizmed teh enacb odvec. Na podoben nacin lahko zreduciramo se dvezancni enacbi, tako da nam ostanejo samo tri neodvisne.

Neodvisnih zancnih enacb je toliko, kot je osnovnih zank vvezju. Ce zancne enacbe pisemo striktno na podlagi osnovnih zank,bo dobljeni nabor enacb vedno linearno neodvisen.

Vcasih je pri obravnavi vezij lazje uporabiti vsaj eno ali dve zancnienacbi, ki ne pripadata osnovni zanki. V tem primeru moramo nalinearno neodvisnost skrbno paziti. Pravilo, ki si ga je vredno zapo-mniti, pravi, da moramo zancne enacbe pisati na tak nacin, da novazancna enacba vsebuje vsaj eno napetost, ki ni vsebovana v no-beni od ze napisanih zancnih enacb. Na ta nacin je njihova linearnaneodvosnost zagotovljena.

Za konec razprave o napetostnem Kirchoffovem zakonu komenti-rajmo smer obhoda zanke. Do sedaj smo vse zanke obhodili v smeriurinega kazalca, vendar to ni zahtevano. Smer obhoda lahko izbe-remo vsaki zanki posebej. Sprememba smeri ima enak ucinek kotmnozenje obeh strani zancne enacbe s konstanto −1, kar vsebineenacbe v nicemer ne spremeni.


1.2 Idealni elementi vezja

Za analizo elektricnih vezij se posluzujemo idealnih oziroma idea-liziranih elementov vezja. Idealni element predstavlja le eno samoelektricno fizikalno velicino. Idealni elektricni upor predstavlja le elek-tricno upornost, idealni kondenzator le kapacitivnost, idealna dusilkale induktivnost. Napetostni vir ima nespremenljivo napetost in to-kovni vir ima nespremenljiv elektricni tok.

Idealni elementi vezja so izmisljeni. Dejanski elektricni elementiimajo poleg pomembne elektricne velicine se druge elektricne velicine,ki so pretezno motilne. Dejanski elektricni upor ima poleg elek-tricne upornosti se kapacitivnost, induktivnost, tokovni ali napetostnivir. Dejanski kondenzator ima poleg kapacitivnosti se induktivnost,upornost, napetostni ali tokovni vir. Dejanska dusilka ima poleg in-duktivnosti se vse ostale osnovne elektricne velicine. Enako velja zadejanski tokovni in napetostni vir, ki jima pravimo tokovni innapetostni izvor.

Obravnavali bomo idealne elemente elektricnih vezij, ki jih bomokasneje dopolnili z nekaterimi razsiritvami, s cimer se bomo bolj pri-blizali dejanskim razmeram.

1.3 Napetostni vir

V elektroniki srecujemo napetostne vire, ki jih potrebujemo za na-pajanje kot tudi za vzbujanje. Vezja vzbujevalne signale ojacijo,slabijo ali drugace preoblikujejo, s cimer opravijo zeleno funkcijo.

Najpreprostejso idealizacijo napetostnega izvora predstavlja na-petostni vir, katerega simbol in U/I karakteristiko prikazuje slika 1.6.

Na sliki prikazan napetostni vir generira napetost U0. Na simbolusta s + in − oznaceni polariteti potencialov na sponkah. Najpo-membnejsa lastnost tega elementa (poleg iznosa napetosti U0) je, daje napetost na njegovih sponkah neodvisna od obremenitve oziromaod toka I, ki tece preko elementa. Zaradi te lastnosti pravimo, daje tak napetostni vir idealen, saj opravlja svojo funkcijo vedno inneodvisno od razmer v vezju, torej od pogojev, pod katerimi deluje.

1.3. NAPETOSTNI VIR 9

Karakteristiko, ki izkazuje to lastnost, prikazujeta srednji in desnidiagram na sliki 1.6. Srednjemu diagramu pravimo U/I karakteri-stika, ker prikazuje odvisnost napetosti U od toka I. Desnemu dia-gramu pravimo I/U karakteristika, ker prikazuje odvisnost toka I odnapetosti U. Pogosto smo nedosledni in oba diagrama imenujemo U/I

karakteristika.

Slika 1.6: Simbol (levo), U/I karakteristika (na sredini) in I/U karak-teristika (desno) napetostnega vira.

Diagrama sta vsebinsko popolnoma enaka. Edina razlika mednjima je, da v prvem primeru nanasamo tok I na abscisno os in na-petost U na ordinatno os, medtem ko sta v drugem primeru vlogikoordinatnih osi zamenjani. V elektroniki uporabljamo oba prikazakarakteristik, odvisno od tega, katero od obeh velicin smatramo za ne-odvisno; le-to ponavadi nanasamo na abscisno os. Torej: ce narisemosrednji diagram na sliki, poudarimo, da obravnavamo odvisnost na-petosti U od toka I, pri uporabi desnega diagrama na sliki pa naka-zujemo, da nas zanima tok I v odvisnosti od napetosti U. Ko bomoobravnavali bolj zapletene karakteristike, bo razlika postala ocitna.

1.3.1 Obremenjen napetostni vir

Slika 1.7 prikazuje priklop upora na napetostni vir. Napetost U0 sepojavi na uporu R, zaradi cesar pricne preko njega teci tok IR, ki galahko izracunamo s pomocjo Ohmovega zakona po enacbi 1.14.

IR =U0

R(1.14)


Primer 1. Napetost U0 znasa 10 V, upornost upora R je enaka 10 Ω.Z enacbo 1.14 izracunamo, da preko upora tece tok 1 A.Primer 2. Napetost U0 je ponovno 10 V, upornost upora R je to-krat 1 Ω. Enacba 1.14 nam da vrednost toka 10 A.

Na podlagi prikazanih primerov zakljucimo naslednje. Pri napa-janju bremena (v tem primeru upora R) imamo moznost dolociti na-petost na njemu ali tok preko njega, vendar ne oboje hkrati.Napetostni vir vsiljuje napetost, zato mora svoj tok prilagoditiU/I karakteristiki bremena.

Slika 1.7: Priklop upora na napetostni vir.

1.3.2 Smer toka

Z enacbo 1.14 izracunamo velikost toka, vendar nicesar ne izvemo onjegovi dejanski smeri. Velja, da pri elementu vezja, ki porabljaelektricno energijo, tok priteka v pozitivno polarizirano sponko inodteka iz negativno polarizirane sponke. Pri elementu, ki dovajaelektricno energijo ostalim elementom, velja da tok odteka iz po-zitivno polarizirane sponke in priteka v negativno polariziranosponko.

Tok IR na sliki 1.7 je usmerjen skladno z njegovo dejanskosmerjo, saj tece v pozitivno polarizirano sponko upora R, ki po-rablja elektricno energijo. Tok I je usmerjen nasprotno od njegovedejanske smeri, saj puscica nakazuje, da le-ta tece v pozitivnosponko napetostnega vira, ceprav dejansko tece v nasprotni smeri.Usmeritev puscice nasprotno od dejanske smeri toka ne pomeninapake, ampak da ima vrednost toka spremenjen predznak.

1.3. NAPETOSTNI VIR 11

To se vidi iz vozliscne enacbe 1.15.

0 = −I − IR oziroma I = −IR (1.15)

Eden od tokov I ali IR mora teci v vozlisce in drugi iz njega, sicerzakon o ohranitvi naboja ne bi bil izpolnjen. Za tok IR smo ugotovili,da tece iz vozlisca, zato mora tok I teci v vozlisce.Primer. Pri uporu R = 10 Ω na sliki 1.7 je tok I enak −1 A. Topomeni, da je njegova velikost po absolutni vrednosti enaka 1A, smerpa je obratna od tiste, ki jo nakazuje puscica. To je tudi fizikalnopravilno, saj tok, ki tece v breme R, priteka iz napetostnega vira.

1.3.3 Vezane polaritete in moc

V elektrotehniki se najveckrat drzimo pravila, da toke na slikah (she-mah) usmerimo tako, da tecejo v pozitivno sponko elementa. V temprimeru govorimo o vezanih polaritetah napetosti in toka. Pred-nost take izbire se pokaze, ko obravnavamo energijske ali mocnostnerazmere v vezju, katerih temeljni zakon predstavlja Joulova enacba 1.16.

p = u · i (1.16)

V enacbi pomeni p trenutno moc, ki se trosi na elementu vezja, uje trenutna napetost na njegovih sponkah in i trenutni tok, ki tece vpozitivno polarizirano sponko elementa.Primer 1. Uporu R na sliki 1.7 je vsiljena napetost 10 V in prekonjega tece tok 1 A. Po Joulovem zakonu izracunamo, da je elektricnamoc, ki se trosi na elementu, enaka 10 W.Primer 2. Napetostni vir na isti sliki generira 10 V napetosti in vanjtece tok −1A. Po Joulovem zakonu izracunamo, da je elektricna moc,ki se trosi na elementu, enaka −10W. To pomeni, da se moc dejanskone trosi, ampak dovaja v vezje. Napetostni vir dovaja elektricnomoc, ki se potrosi na uporu R.

Primer jasno kaze prednost uporabe vezanih polaritet: pri izracunumoci napetost in tok na elementu preprosto zmnozimo (in pri tem nepozabimo na predznake). Ce se dogovora o vezanih polaritetah nedrzimo, moramo pri vsakem izracunu posebej razmisliti, ali se mocna elementu trosi ali dovaja v vezje.


1.3.4 Obremenjenost idealnega napetostnega vira

Pojem obremenjenost v splosnem oznacuje, koliko napora vlagamov izvedbo dolocene naloge. V primeru napetostnega vira je kljucnovprasanje, koliko moci mora ta proizvajati, da na svojih sponkahvzdrzuje zeleno napetost. Potrebna moc je neposredno odvisna odkarakteristik prikljucenega bremena.

Ko na sponke napetostnega vira ne prikljucimo nicesar (odprtesponke, slika 1.6 levo), preko napetostnega vira tok ne more teci(i = 0 A). To je enakovredno priklopu bremena z neskoncno upor-nostjo.Moc, ki jo mora proizvajati napetostni vir, da na sponkah vzdrzujenapetost U0, je po enacbi 1.17 enaka 0 W.

p = u · i = U0 · 0 A = 0 W (1.17)

Ce vrednost bremenske upornosti ni neskoncna, tok preko viratece. V primeru napetostnega vira 1V in prikljucenih uporov 100Ω, 10Ωali 1 Ω sta tok i in potrebna moc p podana z naslednjimi enacbami.

R = 100 Ω : i = −0,01 A, p = −0,01 WR = 10 Ω : i = −0,1 A, p = −0,1 WR = 1 Ω : i = −1 A, p = −1 W

Z manjsanjem bremenskega upora narasca tok preko bremenain vira, zato se pri konstantni napetosti moc povecuje. Napetostnivir je neobremenjen, ko je nanj priklopljeno breme z neskoncnoupornostjo (odprte sponke). Zato npr. placamo nizji racun za elek-triko, ko imamo priklopljene v uticnice sibkejse porabnike (ali splohnobenih; odprte sponke).

1.3.5 Obstoj napetostnega vira

Napetostni vir v praksi ne more obstajati, o cemer se hitro prepricamoz naslednjim razmislekom. Sponki napetostnega vira povezimo v kra-tek stik, kar pomeni, da ju povezemo z dobrim (idealnim) prevodni-kom, ki ne izkazuje nobene upornosti (slika 1.8).

1.4. TOKOVNI VIR 13

Z Ohmovim zakonom sklepamo, da bi pri vsiljeni napetosti U0

preko idealnega prevodnika tekel neskoncno velik tok, kar nakazujenaslednja enacba.

IK =U0

0 Ω= ∞ A (1.18)

Zaradi tega bi bila neskoncna tudi moc, ki se trosi na idealnemprevodniku. Napetostni vir bi moral proizvajati neskoncno moc, karfizikalno ni mogoce. Pri realnih napetostnih izvorih, ki jih bomoobravnavali kasneje, pride namesto tega do zmanjsanja (sesedanja)napetosti, s cimer se pri povecanem toku dejanska moc zmanjsa navrednost, ki jo napetostni izvor lahko proizvede.

Slika 1.8: Napetostni vir v kratkem stiku.

1.4 Tokovni vir

Tokovni vir vsiljuje konstanten tok preko svojih prikljucnih sponk.Simbol in karakteristiko tokovnega vira prikazuje slika 1.9.

Slika 1.9: Simbol (levo), U/I karakteristika (na sredini) in I/U karak-teristika (desno) tokovnega vira.


Tokovni vir generira tok vrednosti I0. Smer puscice v simboluoznacuje smer toka in ima podobno vlogo, kot oznacevanje polaritetepri napetostnem viru.

Najpomembnejsa lastnost tega elementa (poleg velikosti toka I0)je, da je tok preko njegovih sponk neodvisen od obremenitve, oziro-ma od napetosti U, ki se nahaja med prikljucnima sponkama. Za-radi te lastnosti pravimo, da je tak tokovni vir idealen, saj opravljasvojo funkcijo vedno in neodvisno od razmer v vezju, torej od po-gojev, pod katerimi deluje. To lastnost prikazujeta karakteristiki nasrednjem in desnem diagramu slike.

Poudarimo naj, da na sliki 1.9 polariteti napetosti in toka nistavezani. Pri tokovnih virih se velikokrat ne drzimo doslednosti, sajso sheme bolj dojemljive, ce so smeri tokovov preko tokovnih virov(v nasem primeru I) izbrane v skladu s smerjo generiranega toka (vnasem primeru I0).

1.4.1 Obremenjen tokovni vir

Analizirajmo dogajanje v vezju, ko na tokovni vir priklopimo breme(slika 1.10).

Slika 1.10: Priklop bremena na tokovni vir.

Ker je uporu R vsiljen tok I0 (velja IR = I = I0), se na uporu(in na tokovnem viru) pojavi napetost, ki jo izracunamo s pomocjoOhmovega zakona (enacba 1.19).

U = R · IR (1.19)

Primer 1. Tok I0 znasa 1 A, upornost upora R je enaka 1 Ω. Zenacbo 1.19 izracunamo, da je na uporu napetost 1 V.

1.4. TOKOVNI VIR 15

Primer 2. Tok I0 je ponovno 1 A, upornost upora R je tokrat 10 Ω.Enacba 1.19 nam da vrednost napetosti 10 V.

Iz obeh rezultatov vidimo, da tokovni vir prilagaja svojo na-petost na tako vrednost, da lahko vezju vsiljuje generirani tok I0.Ob vsiljenem toku je napetost na sponkah dolocena s karakteristikobremena.

1.4.2 Obremenjenost tokovnega vira

Podobno kot pri napetostnem viru analizirajmo obremenjenost tokov-nega vira, ko je nanj priklopljeno breme. Zanima nas, koliko mocimora tokovni vir proizvajati, da preko svojih sponk vsiljuje zelenitok. Ko sponke tokovnega vira vezemo v kratek stik (upornost bre-mena je 0Ω), tece tok preko bremena povsem neovirano, zato je ne-glede na velikost toka napetost na njegovih sponkah vedno 0V. Moc,ki jo mora proizvajati tokovni vir, da preko sponk vzdrzuje tok I0, jepo enacbi 1.20 enaka 0 W.

p = U · (−I0) = 0 V · (−I0) = 0 W (1.20)

Pri izracunu moramo tok pomnoziti z −1, oziroma mu obrnitismer, ker uporabljamo nevezane polarite. Ce je vrednost bremenskeupornosti vecja od 0 Ω, se na bremenu pojavi napetost. V primerutokovnega vira 1 A in prikljucenih uporov 100 Ω, 10 Ω ali 1 Ω stanapetost u in potrebna moc p podani z naslednje:

R = 100 Ω : U = 100 V, p = −100 WR = 10 Ω : U = 10 V, p = −10 WR = 1 Ω : U = 1 V, p = −1 W

Z manjsanjem bremenskega upora napetost na bremenu upada,zato upada tudi obremenitev tokovnega vira. Tokovni vir je neobre-menjen, ko je vezan v kratek stik, saj v tem primeru za vsiljevanjetoka ne rabi nobene moci. Ce bi elektrodistribucija proizvajala tok inne napetost, bi morali imeti vse vticnice, ki niso v uporabi, vezane vkratek stik, da ne bi placevali velikih racunov za elektriko.


1.4.3 Obstoj tokovnega vira

Tokovni vir v praksi ne more obstajati, iz podobnega razloga, ki pre-precuje obstoj idealnemu napetostnemu viru. Ce breme na idealnitokovni vir ni prikljuceno (odprte sponke, slika 1.9 levo), je to ekviva-lentno upornosti bremena z ∞ Ω. Za vzdrzevanje toka I0 bi potrebo-vali neskoncno veliko napetost na sponkah bremena in na tokovnemviru. Zaradi tega bi bila neskoncna tudi moc, ki jo mora tokovni virdovajati, kar fizikalno ni mogoce. Pri realnih tokovnih izvorih, ki jihbomo obravnavali kasneje, pride namesto tega do zmanjsanja (sese-danja) toka, s cimer se pri povecani napetosti dejanska moc zmanjsana vrednost, ki jo tokovni izvor lahko proizvede.

1.5 Idealni ohmski upor

Idealni ohmski upor je idealizacija realnega ohmskega upora, kjer ele-ment izkazuje samo lastnost konstantne ohmske upornosti. Simbolidealnega ohmskega upora prikazuje leva stran slike 1.11. Edini pa-rameter elementa je vrednost upornosti R, ki doloca konstantnorazmerje med napetostjo na uporu in tokom preko njega, kar po-znamo kot Ohmov zakon.

Slika 1.11: Simbol (levo) in karakteristika (desno) idealnega ohmskegaupora.

Enacba 1.21 prikazuje tri enakovredne zapise Ohmovega zakona.

R =u

i, u = R · i, i =

u

R(1.21)

1.5. IDEALNI OHMSKI UPOR 17

Slika 1.11 desno prikazuje U/I karakteristiko dveh idealnih Ohm-skih uporov z razlicnima vrednostima upornosti. Upornost upora R2

je manjsa od upornosti upora R1, ker pri isti vsiljeni napetosti(npr. uA, kot je prikazano na sliki) tece preko R2 vecji tok kot prekoupora R1 (iA2 > iA1). Neglede na vrednost upornosti poteka U/I

karakteristika vedno skozi koordinatno izhodisce, kar pomeni, da obvsiljeni napetosti 0V tece preko upora tok 0A. Pri negativni napeto-sti se smer toka obrne, zato je karakterstika idealnega upora premica,ki poteka skozi prvi in tretji kvadrant.

1.5.1 Mocnostne razmere

Ko je uporu vsiljena napetost u, pricne preko njega teci tok i, ki gaizracunamo po Ohmovem zakonu (enacba 1.21). Prisotnost napetostiin toka povzroca trosenje moci, kar izracunamo z Joulovim zakonom(enacba 1.16, na strani 11). Iz i/u karakteristike na sliki 1.11 desnovidimo, da tece tok vedno v pozitivno polarizirano sponko upora,saj ce polariteto napetosti spremenimo, se spremeni tudi smer toka(nahajamo se lahko samo v prvem ali tretjem kvadrantu). To pomeni,da je moc, ki je produkt napetosti in toka, vedno pozitivna.Primer 1. Uporu z upornostjo 1 Ω vsilimo napetost 10 V. Po Ohmo-vem zakonu sledi, da preko upora tece tok 10 A. Moc, ki se na uporutrosi, izracunamo po naslednji enacbi.

p = u · i = (10 V) · (10 A) = +100 W (1.22)

Primer 2. Istemu uporu vsilimo napetost −10 V. Po Ohmovemzakonu sledi, da preko upora tece tok −10A. Moc, ki se na uporu trosi,izracunamo na enak nacin, kot v prejsnjem primeru (enacba 1.23).

p = u · i = (−10 V) · (−10 A) = +100 W (1.23)

Moc, ki se na uporu trosi, je v obeh primerih pozitivna, kar pomeni,da ohmski upor moc vedno porablja in je pod nobenimi pogojidelovanja ne more generirati.


Pri znani upornosti upora je za izracun moci dovolj poznati nje-govo napetost ali tok, ker lahko manjkajoco velicino izracunamo zOhmovim zakonom. Enacba 1.24 kaze moznost izracuna moci nauporu ob poznavanju upornosti in napetosti, medtem ko podaja ena-cba 1.25 potek izracuna moci pri poznani upornosti in toku.

p = u · i = u ·u

R=

u2

R(1.24)

p = u · i = (R · i) · i = R · i2 (1.25)

Moc, ki se trosi na uporu, narasca s kvadratom vzbujanja. Cenapetost na uporu ali tok preko upora podvojimo, se moc, ki se trosina uporu, pocetveri. Sproscena moc (pravilneje: energija) se pre-tvarja v toploto, ki upor segreva. Pri realnem uporu dvig temperaturepovzroca spreminjanje (v vecini primerov povecanje) upornosti, karotezuje projektiranje vezij in lahko v najbolj dramaticnih primerihpovzroci povsem nepravilno delovanje vezja.

1.5.2 Zaporedna in vzporedna vezava uporov

Pri analizi elektronskih vezij veckrat naletimo na zaporedno ali vzpo-redno vezane upore. Take situacije so se zlasti pogoste pri analizitranzistorskih vezij, kjer tranzistorje v shemah zamenjamo z nadome-stnimi vezji, ki med drugim vsebujejo upore. V takih situacijah jekoristno vedeti, da lahko vecje stevilo zaporedno ali vzporedno veza-nih uporov nadomestimo z enim samim nadomestnim uporom.

Zaporedna vezava uporov

Slika 1.12 levo prikazuje zaporedno vezavo dveh uporov R1 in R2. Ek-vivalentno vezje prikazuje desna stran slike, kjer sta originalna uporazamenjana z nadomestnim uporom Rn, ki mora biti dolocen tako, dase delovanje vezja ne spremeni.


Sklepajmo tako. Ce zaporedni vezavi uporov R1 in R2 vsilimotok i, se na njima pojavi napetost u. Ta je enaka vsoti napetosti naposameznih uporih. Ob upostevanju, da preko obeh uporov tece istitok i, lahko napetost u izracunamo z enacbo 1.26.

u = u1 + u2 = R1 · i + R2 · i = (R1 + R2) · i (1.26)

Nadomestni upor Rn mora biti tako izbran, da se pri vzbujanju zistim tokom i na njem pojavi ista napetost u. S pomocjo Ohmovegazakona dolocimo upor Rn po enacbi 1.27.

Rn =u

i=

(R1 + R2) · i

i= R1 + R2 (1.27)

Nadomestna upornost dveh zaporedno vezanih uporov R1 in R2

je enaka vsoti obeh upornosti. Ugotovitev velja za poljubno stevilozaporedno vezanih uporov.

Slika 1.12: Zaporedna vezava dveh uporov (levo) in ekvivalentno vezjez nadomestnim uporom (desno).

Vzporedna vezava uporov

Tudi vec vzporedno vezanih uporov lahko nadomestimo z enim na-domestnim uporom. Na sliki 1.13 levo sta prikazana vzporedno ve-zana upora R1 in R2, kar oznacimo R1||R2. Zanima nas upornostupora Rn na desni sliki, ki zagotavlja ekvivalentno delovanje vezja.


Vzporedno vezanima uporoma vsilimo napetost u, zaradi cesarse pojavi tok i. Ce desno vezje deluje enako kot levo, mora pri istivsiljeni napetosti u teci isti tok i. V levem vezju je tok i enak vsotitokov i1 in i2. Z upostevanjem dejstva, da je obema uporoma vsiljenaista napetost, izracunamo tok i po enacbi 1.28.

i = i1 + i2 =u

R1

+u

R2

= u ·

(

1

R1

+1

R2

)

= u ·

(

R1 + R2

R1 · R2

)

(1.28)

Nadomestno upornost vezave izracunamo z enacbo 1.29.

Rn =u

i=

u

u ·(

R1+R2

R1·R2

) =R1 · R2

R1 + R2

= R1‖R2 (1.29)

V tem primeru je izraz za nadomestno upornost bolj komplicirankot pri zaporedni vezavi, poleg tega ni ocitna njegova razsiritev navecje stevilo vzporedno vezanih uporov. Bolj dojemljiv izraz dobimo,ce racunamo nadomestno prevodnost oziroma obratno vrednost na-domestne upornosti, kar kaze enacba 1.30.

1

Rn

=i

u=

i1 + i2u

=uR1

+ uR2

u=

1

R1

+1

R2

(1.30)

Kot vidimo, je prevodnost nadomestne upornosti enaka vsoti pre-vodnosti posameznih vzporedno vezanih uporov. To pravilo velja tudipri vecjem stevilu uporov.

Slika 1.13: Vzporedna vezava dveh uporov (levo) in ekvivalentno vezjez nadomestnim uporom (desno).

Primer. Vzporedno vezemo upora 10Ω in 5Ω. Nadomestno upornostizracunamo z enacbo 1.31

1

Rn

=1

10 Ω+

1

5 Ω=

3

10 Ω⇒ Rn =

10

3Ω = 3,3 Ω (1.31)

Upor Rn je vedno manjsi od najmanjsega vzporedno vezanega upora.


1.5.3 Napetostni in tokovni vir kot porabnika

Ko govorimo o napetostnem ali tokovnem viru, si ponavadi pred-stavljamo element, ki dovaja energijo oziroma moc v vezje. Redkopomislimo, da lahko ta dva elementa delujeta tudi kot porabnika,torej da sprejemata energijo in moc od drugih virov v vezju. Vvsakdanjem zivljenju imamo tak primer pri avtomobilskem akumula-torju, ki dovaja energijo avtoelektricnim napravam, dokler motor netece. Ko motor tece z dovolj velikim stevilom obratov na minuto, seakumulator polni.Primer Oglejmo si vezje na sliki 1.14. Dva napetostna vira U0 in U1

sta med seboj povezana z ohmskim uporom R. Parametri elementovso: U0 = 2 V, U1 = 1 V in R = 1 Ω.

Slika 1.14: Napetostni vir kot porabnik moci.

Napetost na uporu R je enaka razliki napetosti obeh napetostnihvirov, kar znasa 1V, pri cemer je leva sponka bolj pozitivna od desne.Tok I znasa 1 A in tece v smeri, ki jo nakazuje puscica. Moc, ki setrosi na uporu R, izracunamo z enacbo 1.24 ali 1.25 in znasa 1 W.

Moc P0, ki se trosi na napetostnem viru U0, izracunamo z Joulovimzakonom (enacba 1.32).

P0 = U0 · (−I) = 2 V · (−1 A) = −2 W (1.32)

Tok ima negativen predznak, ker polariteti napetosti in toka nista ve-zani. Izracunana moc je negativna, kar pomeni, da napetostni vir U0

oddaja 2 W moci v vezje.Izracunajmo se moc, ki se trosi na napetostnem viru U1 (enacba 1.33).

P1 = U1 · I = 1 V · 1 A = +1 W (1.33)


Tokrat sta polariteti napetosti in toka vezani, zato imata napetost intok pozitivni predznak. Moc je pozitivna, kar pomeni, da je napeto-stni vir U1 porabnik moci. Vsoto moci, ki se trosi na uporu R innapetostnem viru U1, proizvaja napetostni vir U0.

Tokovni vir kot porabnik

Tudi tokovni vir je lahko porabnik moci. Primer prikazuje slika 1.15.Parametri elementov so: I0 = 2 A, I1 = 1 A in R = 1 Ω.

Slika 1.15: Tokovni vir kot porabnik moci.

Preko upora R tece tok IR, ki ga podaja enacba 1.34.

IR = I0 − I1 (1.34)

Vrednost toka je 1 A; njegovo smer nakazuje puscica. Na uporu sepojavi napetost U, ki je enaka 1 V; njena polariteta je oznacena nasliki. Posledica je, da se na uporu trosi moc 1 W.

Za tokovni vir I0 izracunamo moc P0 z enacbo 1.35.

P0 = U0 · (−I0) = 1 V · (−2 A) = −2 W (1.35)

Tok ima negativen predznak, ker polariteti napetosti in toka nistavezani. Izracunana moc je negativna, zato tokovni vir I0 oddaja 2Wmoci v vezje.

Moc P1 na tokovnem viru I1, izracunamo z enacbo 1.36.

P1 = U · I1 = 1 V · 1 A = +1 W (1.36)

Polariteti napetosti in toka sta vezani, zato imata tako napetost kottok pozitivni predznak. Moc je pozitivna, zato je tokovni vir I1 po-rabnik moci.

1.6. NAPETOSTNI IZVOR 23

1.6 Napetostni izvor

Napetostni izvor je nadgraditev napetostnega vira (poglavje 1.3), s ka-tero se priblizamo karakteristikam dejanskih napetostnih virov. Naj-bolj nefizikalna lastnost napetostnega vira je, da je njegova napetostpovsem neodvisna od toka preko njegovih sponk. To v dolocenihprimerih vodi do povsem zgresene predstave o dogajanju v vezju (po-glavje 1.3.5). S kombinacijo napetostnega vira in zaporedno vezanegaohmskega upora (slika 1.16 levo) dobimo fizikalno mnogo bolj smiselnnapetostni izvor.

Slika 1.16: Napetostni izvor (levo) in njegova U/I karakteristika (de-sno).

Upornost RN je notranja upornost napetostnega izvora; pona-zarja sesedanje napetosti zaradi obremenitve, kar prikazuje U/I karak-teristika na desni strani slike 1.16. Dogajanje ilustrirajmo na primeru,kjer je napetost U0 enaka 10 V in notranja upornost RN enaka 5 Ω.

Dokler je napetostni vir neobremenjen, preko upora RN ne tecetok, zato na njem ni padca napetosti. Napetost U na prikljucnih spon-kah napetostnega izvora je enaka U0 (v nasem primeru 10 V), kot prinapetostnem viru; to stanje ponazarja tocka A, kjer U/I karakteristikaseka ordinatno os.

Ko na napetostni izvor priklopimo bremenski upor RB (slika 1.17),pricne teci tok I, ki povzroca padec napetosti na notranji uporno-sti RN . Napetost U na sponkah napetostnega izvora se zmanjsa zapadec napetosti na uporu RN , kar opisuje enacba 1.37.

U = U0 − I · RN (1.37)


Primer 1. Upor RB je enak 500Ω. Pripadajoci tok I podaja enacba 1.38.

I =U0

RN + RB

=10 V

5 Ω + 500 Ω

.= 19,8 mA (1.38)

Ta tok povzroci padec napetosti na notranji upornosti RN , ki zmanjsanapetost na sponkah napetostnega izvora. Le-to izracunamo po enacbi 1.37.

u = U0 − i · RN = 10 V − 19,8 mA · 5 Ω.= 9,9 V

Napetost na sponkah napetostnega izvora se je zmanjsala. Padecnapetosti na notranji upornosti je relativno majhen, ker je bre-menska upornost RB bistveno vecja od notranje upornosti RN . Pripriklopu bremena s 100× vecjo upornostjo od upornosti RN se na-petost na sponkah sesede priblizno za 1 % v primerjavi z napetostjonapetostnega vira.

Slika 1.17: Priklop bremenskega upora na napetostni izvor.

Primer 2. Upornost upora RB je 50Ω. Pripadajoci tok I izracunamona enak nacin in dobimo rezultat I

.= 182 mA. Pripadajoca napetost

napetostnega izvora znasa U.= 9,1 V. Padec napetosti na notranji

upornosti ima priblizno 10 % napetosti U0. Pri bremenskem uporuz 10× vecjo upornostjo od RN je padec napetosti (sesedanje) pri-blizno 10 % napetosti U0.Primer 3. Upornost upora RB je 5 Ω. Pripadajoci tok I je 1 A, karnam da na sponkah napetostnega izvora napetost U = 5V. Ko je bre-menska upornost enaka notranji upornosti, je napetost U enaka 50 %napetosti odprtih sponk oziroma napetosti napetostnega vira.Primer 4. Upor RB je 0 Ω. Pripadajoci tok I je enak 2 A, kar namda na sponkah napetostnega izvora napetost U = 0 V.


Ko je bremenska upornost enaka nic, tece preko sponk napetost-nega izvora maksimalen mozen tok, ki ga ta izvor lahko proizvede,ko je nanj priklopljeno pasivno breme. Temu toku pravimo kratko-sticni tok Ik (tocka B na U/I karakteristiki; slika 1.16).

Celotni padec napetosti se pojavi na notranji upornosti RN , kiomejuje maksimalni mozni tok Ik, s cimer postane karakteristika na-petostnega izvora dosti bolj realisticna in fizikalna v primerjavi z na-petostnim virom.

1.6.1 Napotki za uporabo napetostnih izvorov

Ko analiziramo ali nacrtujemo vezja, ki vsebujejo napetostne izvore,se moramo zavedati dveh pomembnih dejstev.

1. Napetostni izvor ni narejen tako, da je upornost RN zaporednovezana z napetostnim virom. Taka predstavitev je samo mo-del, s katerim ponazorimo karakteristiko napetostnega izvorain ne njegove zgradbe. V elektrotehniki zelimo imeti idealninapetostni vir, vendar ga ne moremo izdelati. Vsi dejanski na-petostni izvori izkazujejo karakteristiko sesedanja napetosti pripovecanem toku1, kar modeliramo z upornostjo RN .

2. Pri napetostnih izvorih, ki jih srecamo v praksi, je mnogokratdosegljiv samo del U/I karakteristike med tockama A in B.Npr. avtomobilski akumulator lahko raznese, ce ga vezemo vkratek stik. Napetostni izvori z elektronsko regulacijo dose-gajo izredno nizke vrednosti notranje upornosti, zaradi cesarjih lahko trajno poskodujemo ali popolnoma unicimo, ce jihvezemo v kratek stik. Boljse izvedbe le-teh imajo vgrajeno to-kovno zascito: pri bremenskih tokih, ki so nizji od maksimalnedovoljene vrednosti, izkazujejo ti napetostni izvori izredno nizkonotranjo upornost, medtem ko se njihova napetost hitro sesede,ko presezemo dovoljeno obmocje bremenskega toka.

1Izjema so napetostni viri, ki elektronsko simulirajo negativno notranjo upor-nost, kar pri predmetu EDT ne obravnavamo. Zainteresirani bralci naj si pogle-dajo nalogo 18 v skriptih za vaje.


1.6.2 Priklop aktivnega bremena

Breme, ki ga priklopimo na napetostni izvor, ni nujno pasivno, sajlahko vsebuje druge napetostne in/ali tokovne vire, s cimer dosezemopodrocje U/I karakteristike levo od tocke A ali desno od tocke B nasliki 1.16.

Primer prikazuje slika 1.18. Smer toka I0 je nasprotna od obicajnesmeri toka, ki tece preko napetostnega izvora, ko je nanj priklopljenopasivno breme. Zaradi tega je polariteta padca napetosti na notranjiupornosti RN obrnjena.

Slika 1.18: Priklop tokovnega vira na napetostni izvor.

Padec napetosti na RN se pristeva napetosti U0, zato je napetost U

na sponkah napetostnega izvora vecja od U0, kar opisuje enacba 1.39.

I0 = U0 + I0 · RN (1.39)

To se vidi tudi iz U/I karakteristike na sliki 1.16. Pri negativnemtoku I (to je pri toku, ki tece v pozitivno sponko) se nahajamo levood tocke A, kjer je napetost U vecja od U0.

Polariteti napetosti in toka na napetostnem izvoru sta vezani,zato ta deluje kot porabnik moci. Tokovni vir I0, ki nima vezanihpolaritet, dovaja moc napetostnemu izvoru.

Primer takega delovanja je polnjenje avtomobilskega akumulatorjaz napravo za polnjenje. Pri tem izberemo tok (npr. 0,5 A) in s temtudi hitrost polnjenja. Da tok lahko tece v pozitivno sponko akumu-latorja, mora polnilna naprava zagotoviti vecjo napetost od napetostina sponkah neobremenjenega akumulatorja.


Ko akumulator deluje kot porabnik, se napolni z energijo, ki jolahko kasneje odda v vezje. Pri napetostnih izvorih, ki polnjenjane omogocajo (baterije, usmerniki, itd.), se dovedena moc (energija)pretvori v toploto, brez moznosti, da jo napetostni izvor ponovnoodda v vezje.

Tokovni vir z obrnjeno smerjo toka

Slika 1.19 prikazuje primer, ko je na napetostni izvor priklopljen to-kovni vir, katerega tok je usmerjen enako kot obicajen bremenski tokpasivnih bremen.

Slika 1.19: Drug primer priklopa tokovnega vira na napetostni izvor.

V primeru, da je iznos toka I0 manjsi od kratkosticnega toka Ik, senahajamo v delu U/I karakteristike med tockama A in B (slika 1.16).Drugacna situacija nastane, ko je velikost toka I0 vecja od kratko-sticnega toka Ik. V tem primeru je padec napetosti na notranji upor-nosti RN vecji od napetosti U0, zaradi cesar dobimo na sponkahnapetostnega izvora negativno napetost; na U/I karakteristiki se na-hajamo desno od tocke B.

V tem primeru imata tako napetostni vir U0 kot tokovni vir I0

nevezani polariteti toka in napetosti, kar pomeni, da oba oddajatamoc, katere vsota se v celoti trosi na notranji upornosti RN . Kajse v praksi pri tem zgodi, je odvisno od karakteristik napetostnegaizvora. Lahko pride do njegovega unicenja zaradi pregrevanja ali dru-gih ucinkov. Pomembno se je zavedati, da opisani rezim delovanja niobicajen in je najveckrat nezazelen.


1.7 Tokovni izvor

Tokovni izvor je nadgraditev tokovnega vira (poglavje 1.4) z name-nom priblizati njegove karakteristike fizikalno pravilnejsim karakteri-stikam dejanskih tokovnih virov. Najbolj nefizikalna lastnost tokov-nega vira je, da je njegov tok povsem neodvisen od napetosti na nje-govih sponkah, kar lahko povzroci povsem nefizikalno sliko dogajanja(poglavje 1.4.3). S kombinacijo tokovnega vira in vzporedno vezanegaupora (prevodnosti) (slika 1.20 levo) dobimo fizikalno mnogo boljsmiseln tokovni izvor.

Slika 1.20: Tokovni izvor (levo) in njegova I/U karakteristika (desno).

Prevodnost 1/RN je notranja prevodnost tokovnega izvora (upor-nost RN je notranja upornost tokovnega izvora) in ima podobnovlogo, kot notranja upornost napetostnega izvora: ponazarja sese-danje toka zaradi obremenitve, kar prikazuje I/U karakteristika nasliki 1.20 desno. Dogajanje si oglejmo na primeru, kjer je tok I 0

enak 1 A in notranja upornost RN enaka 500 Ω.Najprej preucimo razmere v kratkem stiku (slika 1.21), ki pred-

stavlja neobremenjen rezim delovanja (poglavje 1.4.2).

Slika 1.21: Tokovni izvor vezan v kratek stik.

1.7. TOKOVNI IZVOR 29

V kratkem stiku je mogoce vsiliti poljuben tok preko prikljucnihsponk brez prisotnosti napetosti U, ki je v tem primeru 0 V. Po-sledicno preko notranje upornosti RN ne tece noben tok in celotentok I0 tece preko zunanjih sponk tokovnega vira I. Temu rezimu de-lovanja ustreza tocka A na I/U karakteristiki.

Ko je na tokovni izvor priklopljen bremenski upor RB (slika 1.22),povzroci bremenski tok I porast napetosti U. Ta napetost se pojavi nanotranji upornosti RN , zaradi cesar preko nje pricne teci tok IN . Topovzroci zmanjsanje toka I preko zunanjih sponk izvora, kar opisujeenacba 1.40.

I = I0 − IN = I 0 −U

RN

(1.40)

Slika 1.22: Priklop upora na tokovni izvor.

Primer 1. Upor RB je enak 5 Ω. Napetost U podaja enacba 1.41.

U = (RB||RN) · I0 =RB · RN

RB + RN

· I0 =5 Ω · 500 Ω

5 Ω + 500 Ω· 1 A

.= 5 V (1.41)

Ta napetost povzroci tok IN preko notranje upornosti RN , ki zmanjsatok I preko bremena (enacba 1.40). Koncni rezultat podaja enacba 1.42.

I = I0 − IN = I0 −U

RN

.= 1 A −

5 V

500 Ω.= 0,99 A (1.42)

Tok preko bremena se je zmanjsal za priblizno 1% vrednosti I0. Veljapriblizno pravilo, da se pri obremenitvi tokovnega izvora z bremen-skim uporom velikosti 1 % upornosti RN tok preko bremena sesedeza 1 % v primerjavi s kratkosticnim tokom.


Primer 2. Upor RB je enak 50Ω. Pripadajoco napetost U izracunamona enak nacin in dobimo rezultat U

.= 45,5 V. Tok I preko bremena

znasa priblizno 0,91 A. Velja priblizno pravilo, da pri bremenskemuporu, ki je 10× manjsi od RN , sesedanje toka ne preseze 10 % krat-kosticnega toka.Primer 3. Upor RB je enak 500 Ω. Pripadajoci tok I je 0,5 A, pricemer je napetosti U enaka 250 V. Ko je bremenska upornost enakanotranji upornosti RN , je tok preko bremena enak 50% kratkosticnegatoka.Primer 4. Upor RB je enak ∞ Ω (odprte sponke). Pripadajoci tok I

je enak 0 A. Na sponkah tokovnega izvora se pojavi napestost U, kijo podaja enacba 1.43.

U = RN · I0 = 500 Ω · 1 A = 500 V (1.43)

Ko je bremenska upornost neskoncna, je na sponkah tokovnega iz-vora maksimalna mozna napetost, ki jo izvor lahko proizvede, koje nanj priklopljeno pasivno breme; tej napetosti pravimo napetostodprtih sponk U0 (tocka B na I/U karakteristiki; slika 1.20). Celo-tni tok I0 tece preko notranje upornosti RN , ki omejuje maksimalnomozno napetost U0, s cimer postane karakteristika tokovnega izvoradosti bolj fizikalna v primerjavi s tokovnim virom.

Ko analiziramo ali nacrtujemo vezja, ki vsebujejo tokovne izvore,se moramo zavedati istih dejstev, ki smo jih navedli za napetostneizvore v poglavju 1.6.1. Veljajo tudi analogne ugotovitve tistim, kismo jih podali v poglavju 1.6.2.

1.8 Nacelo superpozicije

Pri analizi vezij mnogokrat zelimo dolociti tok v doloceni veji vezjaali napetost med izbranima tockama v vezju. V primeru da vezje vse-buje vecje stevilo napetostnih in/ali tokovnih virov, postane izracunzapleten. V takih primerih si pomagamo s superpozicijo.

1.8. NACELO SUPERPOZICIJE 31

Nacelo superpozicije pravi, da je odziv vezja na vsoto vzbujanjenak vsoti odzivov na posamezna vzbujanja. Zeleni odziv (is-kani tok ali napetost) dolocimo po korakih, kjer v vsakem korakuizracunamo odziv vezja na samo eno vzbujanje, pri cemer so ostalavzbujanja izklopljena. Iskani odziv je vsota vseh delnih odzivov.

Oglejmo si vezje na sliki 1.23, ki vsebuje tri vzbujanja: dva to-kovna vira I1 in I3 in en napetostni vir U2. Zanima nas, koliksna jenapetost U na prikljucnih sponkah vezja (desna stran slike). Vredno-sti elementov naj bodo: I1 = 5 A, I3 = 2 A, U2 = 4 V, RA = 8 Ω,RB = 4 Ω in RC = 2 Ω.

Slika 1.23: Vezje za razlago superpozicije.

Po nacelu superpozicije problem razgradimo na tri manjse podpro-bleme. V prvem koraku izracunamo delni odziv vezja Ud1 na vzbuja-nje I1, pri cemer sta vzbujanji U2 in I3 izklopljeni. Pri tem je potrebnopaziti, na kaksen nacin doloceno vzbujanje izklopimo.

Izklopljen napetostni vir predstavlja kratek stik, kar pomeni dale-ta proizvaja napetost 0 V. To zagotovimo tako, da njegovi sponkiv shemi vezja vezemo v kratek stik in ne tako, kot bi lahko naivnomislili, da vir odstranimo s sheme vezja.

Izklopljen tokovni vir pomeni, da le-ta proizvaja tok 0 A. Tozagotovimo tako, da prekinemo povezavo med njegovima sponkama;tokovni vir torej lahko izklopimo tako, da ga odstranimo s shemevezja.

Slika 1.24 prikazuje vezje, v katerem sta napetostni vir U2 in to-kovni vir I3 pravilno izklopljena: napetostni vir U2 je zamenjan skratkosticno povezavo, medtem ko je veja s tokovnim virom I3 preki-njena.


Slika 1.24: Izklop napetostnega vira U2 in tokovnega vira I3.

Za lazji izracun je isto vezje na drug nacin prikazano se enkrat nasliki 1.25.

Slika 1.25: Drug prikaz vezja na sliki 1.24.

Najprej dolocimo napetost Ux, tako da izracunamo nadomestno upor-nost vezave uporov od RA do RC , pri cemer si pomagamo z ugoto-vitvami, ki so podane v poglavju 1.5.2. Upora RB in RC sta ve-zana zaporedno; njuna nadomestna upornost je 6 Ω. Tej upornosti jevzporedno vezan upor RA; nadomestna upornost vzporedne vezaveuporov 6 Ω in 8 Ω je 24

7Ω

.= 3,4 Ω.

Tokovni vir I1 cuti na svojih sponkah bremenski upor 3,4Ω, prekokaterega poganja tok 5 A. Napetost Ux izracunamo z enacbo 1.44.

Ux.= 3,4 Ω · 5 A

.= 17,1 V (1.44)

Ko je napetost Ux znana, dolocimo tok IB z enacbo 1.45.

IB =Ux

RB + RC

.=

17,1 V

6 Ω.= 2,86 A (1.45)

Tok IB tece preko upora RC , kar na njem povzroca padec napeto-sti Ud1 (enacba 1.46).

Ud1 = RC · IB.= 5,7 V (1.46)

1.8. NACELO SUPERPOZICIJE 33

Dobili smo prvi delni rezultat. V naslednjem koraku vklopimodrugo vzbujanje, pri cemer izklopimo vsa ostala vzbujanja. Slika 1.26prikazuje vezje, v katerem sta tokovna vira I1 in I3 izklopljena, takoda vezje vzbuja samo napetostni vir U2.

Slika 1.26: Izklop tokovnih virov I1 in I3.

Dolocitev napetosti Ud2 je relativno enostavna. Vsi trije upori RA,RB in RC so vezani zaporedno; njihova nadomestna upornost je enaka14 Ω. Tej upornosti je vsiljena napetost U2, ki znasa 4 V, zato jetok IC priblizno enak 0,28 A. Ta tok povzroca padec napetosti Ud2

na uporu RC , ki je priblizno enak 0,57 V. Dobili smo drugi delnirezultat.

Potrebujemo se tretji vmesni korak, kjer vezje vzbuja tokovnivir I3, pri cemer sta ostala dva vira izklopljena (slika 1.27). S po-dobnim postopkom dolocimo napetost Ud3. Njena priblizna vrednostje −3,4V.

Slika 1.27: Izklop tokovnega vira I1 in napetostnega vira U2.

Dobili smo vse tri vmesne rezultate, ki jih sestejemo, da dobimokoncni rezultat (enacba 1.47).

U = Ud1 + Ud2 + Ud3

.= 5,7 V + 0,57 V − 3,4 V

.= 2,87 V (1.47)


V primeru da bi dolocali tok preko veje v vezju, bi bil postopekpopolnoma enak: dolocili bi delne toke pri posameznih vzbujanjih indobljene delne rezultate sesteli v koncni rezultat.

Nacelo superpozicije je koristen pripomocek pri analizi tranzistor-skih vezij, ki jih proucujemo s pomocjo nadomestnih vezij tranzistor-jev, ki vsebujejo enega ali vec tokovnih in/ali napetostnih virov, zaradicesar vsebujejo sheme veliko stevilo virov.

1.9 Theveninov teorem

S pomocjo Theveninovega teorema lahko elektricno vezje, ki vsebujepoljubno stevilo napetostnih virov, tokovnih virov in linearnih pa-sivnih elementov, nadomestimo z napetostnim izvorom (slika 1.16levo), ki na prikljucnih sponkah izkazuje enako U/I karakteristikokot prvotno vezje. Proucevanje U/I karakteristike s pomocjo nado-mestnega vezja je enostavnejse, saj je napetostni izvor po strukturinajpreprostejse vezje, ki izkazuje U/I karakteristiko prvotnega vezja.

Napetostni izvor popisujeta napetost odprtih sponk U0 in notranjaupornost RN . Napetost odprtih sponk, ki ji v tem primeru pravimoTheveninova napetost UT, je napetost na sponkah vezja, ko bremeni prikljuceno. Notranja upornost, ki ji v tem primeru pravimo The-veninova notranja upornost RT, je upornost med prikljucnimasponkama, ko so vsi viri v vezju izklopljeni (na enak nacin, kot je biloopisano v poglavju o superpoziciji).

Slika 1.28: Vezje za razlago Theveninovega teorema.

Pretvorbo ilustrirajmo na primeru vezja s slike 1.28, ki je enakovezju na sliki 1.23 (stran 31). Zanj smo napetost odprtih sponk zedolocili: njena vrednost je 2,87 V.

1.9. THEVENINOV TEOREM 35

Za dolocitev Theveninove notranje upornosti izklopimo vse vire vvezju (slika 1.29) in dolocimo upornost med prikljucnima sponkamadobljenega vezja.

Slika 1.29: Dolocitev Theveninove notranje upornosti.

V tem primeru gre za zaporedno vezana upora RA in RB, ki jima jevzporedno vezan upor RC . Nadomestna upornost opisane vezave jeiskana Theveninova notranja upornost RT, ki znasa 12

7Ω

.= 1,7 Ω. S

stalisca prikljucnih sponk se vezje na sliki 1.28 obnasa enako kot vezjena sliki 1.30.

Slika 1.30: Theveninovo nadomestno vezje vezja na sliki 1.28.

Poudarimo, da je nadomestno vezje enakovredno prvotnemu vezjusamo s stalisca prikljucnih sponk in ne po notranji zgradbi in delo-vanju. Z nadomestnim vezjem ne moremo npr. dolocati Joulskihizgub v vezju, proucevati prekoracitve napetosti ali toka na njegovihelementih in podobno. Proucujemo lahko le, kaksna bosta napetost,tok in izgubna moc na bremenu, oziroma v vezju, ki ga priklopimona prikljucne sponke, za katere smo dolocili nadomestno vezje.


1.10 Nortonov teorem

S pomocjo Nortonovega teorema lahko elektricno vezje, ki vsebuje po-ljubno stevilo napetostnih virov, tokovnih virov in linearnih pasiv-nih elementov, nadomestimo s tokovnim izvorom (slika 1.20 levo),ki na prikljucnih sponkah izkazuje enako U/I karakteristiko kot prvo-tno vezje. Pri uporabi Nortonovega nadomestnega vezja veljajo enakaopozorila, kot smo jih podali pri Theveninovem nadomestnem vezju(zadnji odstavek prejsnjega poglavja).

Tokovni izvor opisujeta kratkosticni tok I 0, ki ga tokrat imenujemoNortonov tok iN, in notranja upornost RN, ki ji v tem primeru pra-vimo Nortonova notranja upornost ali krajse Nortonova upor-nost.

Postopek zopet ilustrirajmo na primeru vezja s slike 1.28. Za do-locitev Nortonovega toka vezemo prikljucni sponki v kratek stik indolocimo tok preko njiju (slika 1.31).

Slika 1.31: Dolocitev toka IN.

Iskani tok IN bi lahko izracunali s pomocjo superpozicije ali pokaterikoli drugi ustrezni metodi. V tem primeru uporabimo bliznjico,ker poznamo Theveninovo nadomestno vezje: tok IN izracunamo tako,da nadomestnemu vezju na sliki 1.30 dolocimo kratkosticni tok poenacbi 1.48.

IN =UT

RT

.=

2,87 V

1,7 Ω

.= 1,7 A (1.48)

Nortonovo notranjo upornost RN dolocimo na enak nacin kot The-veninovo notranjo upornost RT, zato imata obe isto vrednost: 1,7 Ω.

1.11. NAPETOSTNI DELILNIK 37

Dobljeno Nortonovo nadomestno vezje prikazuje slika 1.32; tovezje se s stalisca prikljucnih sponk obnasa enako kot vezji na sli-kah 1.28 in 1.30.

Slika 1.32: Nortonovo nadomestno vezje vezja na sliki 1.28.

1.11 Napetostni delilnik

Pri realizaciji elektronskih vezij pogosto potrebujemo doloceno na-petost, ki je manjsa od napajalne napetosti. Tak primer imamo pridolocanju delovne tocke tranzistorja.

S pomocjo napetostnega delilnika (slika 1.33) je mozno pridobitipoljubno napetost, ki je manjsa od vhodne napetosti.

Slika 1.33: Napetostni delilnik.


Napetostni delilnik sestavljata upora R1 in R2, ki sta vezana zapo-redno. u1 je vhodna napetost, medtem ko je u2 izhodna napetost, kije enaka napetosti u1, zmanjsani za izbrani faktor. Dolocimo jo na na-slednji nacin. Preko obeh uporov tece tok i, ki ga podaja enacba 1.49.

i =u1

R1 + R2

(1.49)

Ta tok povzroca padec napetosti na uporu R2, ki je enak iskani na-petosti u2 (enacba 1.50).

u2 = R2 · i =

(

R2

R1 + R2

)

· u1 (1.50)

Izraz v oklepaju predstavlja delilno razmerje napetostnega delil-nika. Ker je imenovalec ulomka vedno vecji od stevca, je delilno raz-merje vedno manjse od ena, zato je napetost u2 vedno manjsa odnapetosti u1. S pravilno izbiro uporov R1 in R2 lahko generiramopoljubno napetost u2, ki je vecja ali enaka 0 V in manjsa od napeto-sti u1.Primer 1. Napetost u1 je enaka 10 V. V vezju potrebujemo nape-tost 5 V. Dobimo jo, ko sta oba upora enaka. Izberemo npr. R1 =R2 = 1 kΩ in z enacbo 1.50 izracunamo, da je delilno razmerje resenako 1/2, kar nam pri u1 = 10 V da napetost u2 = 5 V.Primer 2. Napetost u1 je zopet 10 V. Potrebujemo napetost 1 V.To dosezemo, ko je upor R2 devetkrat vecji od upora R1. Izberemonpr. R1 = 1 kΩ in R2 = 9 kΩ. S pomocjo enacbe 1.50 izracunamo,da je delilno razmerje tokrat enako 1/10 in u2 je 1 V.

Zavedati se moramo, da napetostni delilnik ne doloca napetosti,ampak delilno razmerje med napetostima u2 in u1. To je pomembnoupostevati, kadar vhodna napetost ni stabilna ali njena vrednost ninatancno znana. V tem primeru ne moremo pricakovati, da bonapetost u2 natancno taka, kot smo jo izracunali.


Primer. Pricakovana vrednost napetosti u1 je 10V. Napetostni delil-nik je sestavljen iz enakih uporov, zato na izhodu dobimo napetost u2,ki je enaka 5 V. Ce se napetost u1 spremeni na 12 V, bo napetost u2

enaka 6 V. V primeru, da se napetost u1 zmanjsa na 9 V, bo nape-tost u2 enaka 4,5 V. V vseh treh primerih je razmerje med u2 in u1

ostalo enako 1/2.

1.11.1 Obremenjen napetostni delilnik

Delilno razmerje po enacbi 1.50 velja samo v primeru, da na izhoddelilnika ni priklopljeno breme. To ni uporabno, saj nam dolocenanapetost v vezju koristi samo, ce z njo napajamo druge dele vezja. Zauspesno uporabo napetostnega delilnika raziscimo vpliv bremena nanapetost u2.

Slika 1.34: Obremenjen napetostni delilnik.

Slika 1.34 prikazuje napetostni delilnik s priklopljenim uporom RB ,zaradi cesar se delilno razmerje spremeni. Preko RB tece tok iB, kipovzroci, da preko upora R2 ne tece isti tok kot preko R1, kar jebila predpostavka ob izpeljavi. Tok i2 je tok i, zmanjsan za vrednosttoka iB (enacba 1.51).

i2 = i − iB (1.51)

Vpliv bremena lahko dolocimo neposredno tako, da izracunamo novodelilno razmerje, pri cemer v enacbo 1.50 ne vstavimo upornosti R2

ampak upornost vzporedne vezave uporov R2 in RB.


Celovitejsi pogled na vpliv upora RB dobimo z uporabo Theve-ninovega nadomestnega vezja napetostnega delilnika. Theveninovanapetost UT je napetost u2 brez prisotnosti bremena (enacba 1.50).Theveninovo notranjo upornost RT dolocimo tako, da izklopimo vsevire v vezju; v nasem primeru je to samo napetost u1 (slika 1.35).

Slika 1.35: Theveninova notranja upornost napetostnega delilnika.

Iskana upornost RT je enaka vzporedni vezavi uporov R1 in R2.Theveninovo nadomestno vezje prikazuje slika 1.36.

Slika 1.36: Theveninovo nadomestno vezje napetostnega delilnika.

S pomocjo nadomestnega vezja je razvidno, kdaj je vpliv bremenana napetost u2 zanemarljiv: ko je upornost RB bistveno vecja odupornosti R1||R2. V nasprotnem primeru je sesedanje napetosti obprisotnosti bremena znatno. Oglejmo si naslednja primera (nekajsorodnih primerov je predstavljenih v poglavju 1.6).Primer 1. Napetostni delilnik z delilnim razmerjem 1/2 sestavljataupora 1 kΩ. Njegova Theveninova notranja upornost je enaka 500 Ω.Primer 2. Napetostni delilnik z delilnim razmerjem 1/2 sestavljataupora 1Ω. Pripadajoca Theveninova notranja upornost je enaka 0,5Ω.


Notranja upornost 0,5Ω zagotavlja zanemarljivo sesedanje ob pri-klopu vecine bremen v elektroniki. Nanj lahko priklopimo tudi sibkejseelektromotorje, npr. take, ki se vgrajujejo v otroske igrace. V pri-meru delilnika iz uporov 1 kΩ bi priklop takega bremena (velikostnired RB je 20Ω) povzrocil nesprejemljivo sesedanje napetosti; elektro-motor bi imel vsiljeno napetost ≈ 0,2 V namesto pricakovanih 5 V.Pri delilniku iz uporov 0,5 Ω bi isti motor napajali s ≈ 4,87 V, kar jesprejemljivo.

Zelimo, da je Theveninova notranja upornost cim manjsa, sajbo na ta nacin sesedanje generirane napetosti v odvisnosti od bre-menske upornosti manjse; to pomeni, da morata biti upora R1 in R2

cim manjsa. Vendar obstaja pomemben razlog, da pri manjsanjunotranje upornosti napetostnega delilnika ne pretiravamo. Pri izbiriuporov, ki sestavljajo napetostni delilnik, moramo narediti kompro-mis med velikostjo Theveninove notranje upornosti in porabo moci.

Preko napetostnega delilnika tece tok i (slika 1.33), ki ga izracu-namo po enacbi 1.49 (stran 38). Napetostni delilnik povzroca Joulskeizgube, ki jih izracunamo z enacbo 1.52.

p = u1 · i = u1 ·u1

R1 + R2

=u2

1

R1 + R2

(1.52)

Te izgube morajo biti cim manjse, zato morata biti upora R1 in R2

cim vecja. Zahteva po zmanjsanju Joulskih izgub je nasprotujocazahtevi po zmanjsanju Theveninove notranje upornosti.Primer 1. Napetostni delilnik iz uporov 1 kΩ, je priklopljen na na-petost 10 V. To povzroca Joulske izgube 0,05 W.Primer 2. Napetostni delilnik iz uporov 1 Ω, je priklopljen na nape-tost 10 V, kar povzroca Joulske izgube 50 W.

Vidimo, da v drugem primeru placamo visoko ceno za nizko no-tranjo upornost napetostnega delilnika. Tako velike izgube so primer-ljive s porabo manjsega grelca vode in so s stalisca racionalne zasnoveelektricnih vezij povsem nesprejemljive.


V elektroniki za dosego nizke notranje upornosti postopamo dru-gace. Z delilnikom napetosti relativno velike notranje upornosti zago-tovimo zeleno napetost, ki jo z mocnostnim ojacevalnikom mocno-stno oziroma tokovno ojacimo, s cimer dobimo nizko notranjo upor-nost vira. Tako resitev bomo prikazali med vajami.

1.11.2 Upor R2 kot breme

Vcasih je mozno uporabiti upor R2 napetostnega delilnika kot breme.Taka situacija je razsiritev merilnega obmocja V-metra (slika 1.37).

Slika 1.37: Razsiritev merilnega obmocja V-metra.

Denimo, da lahko z V-metrom merimo napetosti med 0 V in 1 V,vendar zelimo meriti napetosti med 0V in 10V, kar pomeni 10× vecjemerilno obmocje. To dosezemo s pomocjo napetostnega delilnika, kjerje upor R2 zamenjan z V-metrom. Upor R1 moramo izbrati tako, dabo pri napetosti u1 = 10 V napetost u2 na V-metru enaka 1 V. Priznani upornosti V-metra R2 lahko za poljubno razsiritev merilnegaobmocja izracunamo potrebno upornost R1 z enacbo 1.50.Primer. Upornost V-metra je enaka 100 kΩ. Merilno obmocje murazsirimo 10× z izbiro upora R1 = 900 kΩ.

1.12. TOKOVNI DELILNIK 43

1.12 Tokovni delilnik 2

Tokovni delilnik (slika 1.38) je analogija napetostnega delilnika, pricemer preko izhoda tokovnega delilnika tece tok i2, ki je enak vho-dnemu toku i1, zmanjsanemu za dolocen faktor.

Slika 1.38: Tokovni delilnik.

Dolocimo tok i2. Tokovni vir cuti, da je obremenjen z vzporednovezavo uporov R1 in R2, iz cesar izracunamo napetost u (enacba 1.53).

u = (R1||R2) · i1 =

(

R1 · R2

R1 + R2

)

· i1 (1.53)

Tok i2 dolocimo z enacbo 1.54.

i2 =u

R2

=

(

R1

R1 + R2

)

· i1 (1.54)

Izraz v oklepaju predstavlja delilno razmerje tokovnega delilnika.Ker je imenovalec vedno vecji od stevca, je izhodni tok i2 vednomanjsi od vhodnega toka i1.Primer 1. Tok i1 je enak 10 A. Tok i2 = 5 A, dobimo s tokovnimdelilnikom iz dveh enakih uporov. Izberemo npr. R1 = R2 = 1 kΩ.Primer 2. Tok i1 je 10 A. Potrebujemo tok I2 = 1 A. To dosezemo,ko je upor R2 devetkrat vecji od upora R1. Izberemo npr. R1 = 1kΩin R2 = 9 kΩ.

2Poglavja 1.12, 1.12.1 in 1.12.2 niso striktno nujna za spremljanje laboratorij-skih vaj, ceprav izsledke poglavja 1.12.2 uporabljamo pri nekaterih meritvah.


Izraz za tok i2 (enacba 1.54) ima delocene podobnosti z izrazom zaizhodno napetost napetostnega delilnika u2 (enacba 1.50 na strani 38).V obeh primerih je izhodna velicina enaka vhodni velicini, pomnozi zdelilnim razmerjem, ki je manjse od 1. V imenovalcu izraza za delilnorazmerje je vsota obeh uporov, ki sestavljata delilnik. V stevcu jeen od obeh uporov: pri napetostnem delilniku je to upor na izhodu,medtem ko je pri tokovnem delilniku to preostali upor.

Poudarimo, da tudi tokovni delilnik ne doloca toka ampak raz-merje med vhodnim in izhodnim tokom. To je pomembno upostevati,ko vhodni tok ni stabilen ali njegova vrednost ni natancno znana.

1.12.1 Obremenjen tokovni delilnik

Delilno razmerje po enacbi 1.54 velja, kadar tokovni delilnik ni obre-menjen. Ob priklopu bremena RB (slika 1.39), se delilno razmerjespremeni.

Slika 1.39: Obremenjen tokovni delilnik.

Zaradi upora RB se pojavi napetost uB. Napetost u2 na uporu R2

posledicno ni vec enaka napetosti u. Preko upora R2 in s tem preko RB

ne tece vec isti tok kot pred obremenitvijo. Spremenjeni tok i2 lahkoneposredno izracunamo z enacbo 1.54, v katero namesto upornosti R2

vstavimo nadomestno upornost zaporedne vezave uporov R2 in RB.Bolj sistematicen pogled na vpliv bremenskega upora nam da Nor-

tonovo nadomestno vezje tokovnega delilnika. Nortonov tok iN jetok i2 brez prisotnosti bremena (enacba 1.54). Nortonovo notranjoupornost RN dobimo tako, da izklopimo vse vire v vezju; v nasemprimeru je to tok i1 (slika 1.40).

1.12. TOKOVNI DELILNIK 45

Slika 1.40: Dolocanje Nortonove notranje upornosti tokovnega delil-nika.

Nortonova upornost RN je enaka zaporedni vezavi uporov R1 in R2.Rezultirajoce nadomestno vezje prikazuje slika 1.41.

Slika 1.41: Nortonovo nadomestno vezje tokovnega delilnika.

Iz nadomestnega vezja je razvidno, kdaj je vpliv bremena na tok i2zanemarljiv: ko je upornost RB bistveno manjsa od upornosti za-poredne vezave uporov R1 in R2; v nasprotnem primeru je sesedanjetoka znatno (nekaj sorodnih primerov je podanih v poglavju 1.7).

Nortonova notranja upornost naj bo cim vecja, da je sesedanjetoka pri obremenitvi cim manjse. To pomeni, da morata biti upora R1

in R2 cim vecja. Vendar obstaja, podobno kot pri napetostnem de-lilniku, razlog, da pri vecanju notranje upornosti tokovnega delilnikane pretiravamo. Pri izbiri uporov, ki sestavljajo delilnik, moramo na-rediti kompromis med velikostjo Nortonove notranje upornosti inporabo moci.

Zaradi toka i1 se na tokovnem delilniku pojavi napetost u (slika 1.38),ki jo podaja enacba 1.53. To povzroca Joulske izgube po enacbi 1.55.

p = u · i1 = (R1||R2) · i21 (1.55)


Da bi bile Joulske izgube cim manjse morata biti upora R1

in R2 cim manjsa. Zahteva po zmanjsanju Joulskih izgub je na-sprotujoca zahtevi po zvecanju Nortonove notranje upornosti.

1.12.2 Upor R2 kot breme

Pri tokovnem delilniku lahko v dolocenih situacijah uporabimo upor R2

kot bremenski upor. Tak primer je razsiritev merilnega obmocja A-metra (slika 1.42). Denimo, da A-meter meri toke do 100 mA. Meritizelimo toke do 1 A, kar je 10× vecje merilno obmocje. To dosezemos tokovnim delilnikom, kjer je kot upor R2 uporabljen A-metrer.Upor R1 izberemo tako, da je pri toku i1 = 1 A tok i2 enak 100 mA.

Slika 1.42: Razsiritev merilnega obmocja A-metra.

Pri znani upornosti A-metra R2 izracunamo ustrezno upornost R1

z enacbo 1.54. Npr. pri upornosti A-metra 1 Ω, merilno obmocjerazsirimo 10× z izbiro upora R1 = 1/9 Ω.

1.13 Krmiljenje bremena

Pri obravnavi Theveninovega teorema (poglavje 1.9) smo izhodiscnovezje pretvorili v napetostni izvor. Nato smo z Nortonovim teoremom(poglavje 1.10) isto vezje pretvorili v tokovni izvor. Na prvi pogledje nenavadno, da lahko isto vezje hkrati predstavimo kot napetostniizvor in kot tokovni izvor, saj od njiju pricakujemo drugacne karakte-ristike. V mnogih primerih analize in nacrtovanja vezij je pomembnorazumeti, kdaj se dolocen izvor obnasa kot napetostni izvor in kdajkot tokovni izvor.

1.13. KRMILJENJE BREMENA 47

1.13.1 Enakost napetostnega in tokovnega izvora

Vsakemu napetostnemu izvoru pripada ustrezen tokovni izvor inobratno. Oba izvora sta dva razlicna modela enega in istega vezja.To ne velja za napetostni in tokovni vir, ki izkazujeta radikalnodrugacni U/I karakteristiki. Z dodatkom notranje upornosti k na-petostnemu ali tokovnemu viru dobimo v obeh primerih vsebinskopodobni U/I karakteristiki, kar si bomo sedaj podrobno ogledali.

Kot izhodisce vzemimo Theveninov napetostni izvor (slike 1.43levo) in ga pretvorimo v Nortonov tokovni izvor. Kratkosticni tok IN,ki tece preko sponk v kratkem stiku (srednja slika 1.43), dolocimo poenacbi 1.56.

iN =UT

RT

(1.56)

Slika 1.43: Pretvorba Theveninovega izvora v Nortonov izvor.

Za dolocitev Nortonove notranje upornosti RN izklopimo vse virev vezju (desna slika 1.43) in ugotovimo upornost, ki jo cutimo na pri-kljucnih sponkah; to je Theveninova notranja upornost RT. Rezultatpretvorbe prikazuje slika 1.44 desno.

Slika 1.44: Rezultat pretvorbe napetostnega izvora v tokovni izvor.


Pretvorbo izvrsimo se v obratni smeri: Nortonov izvor pretvorimov Theveninovega. Izhodiscno vezje prikazuje leva slika 1.45.

Slika 1.45: Pretvorba Nortonovega izvora v Theveninov izvor.

Napetost odprtih sponk UT (srednja slika 1.45) podaja enacba 1.57.

UT = RN · iN (1.57)

Theveninovo notranjo upornost RT dolocimo pri izklopljenih vi-rih v vezju (desna slika 1.45); ta je enaka Nortonovi notranji uporno-sti RN. Rezultat pretvorbe prikazuje slika 1.46 desno.

Slika 1.46: Rezultat pretvorbe tokovnega izvora v napetostni izvor.

Na podlagi prikazanih pretvorb vidimo, da lahko obravnavamonapetostni in tokovni izvor kot dva razlicna modela istega vezja zenakimi karakteristikami.

1.13.2 Napetostno krmiljenje bremena

Ko je breme napetostno krmiljeno, se napetost na njem relativnomalo spreminja pri relativno veliki spremembi bremenske uporno-sti. Tak primer nastopi, ko je breme RB priklopljeno na Theveninovnapetostni izvor in je bremenska upornost RB bistveno vecja odnotranje upornosti RT (slika 1.47).


Napetost U na bremenu dolocimo z napetostnim delilnikom, ki gasestavljata upora RB in RT (enacba 1.58).

U =

(

RB

RB + RT

)

· UT (1.58)

Ker je RB veliko vecji od RT, lahko clen RT v imenovalcu delilnegarazmerja zanemarimo, s cimer dobimo enacbo 1.59.

U =

(

RB

RB + RT

)

· UT ≈

(

RB

RB

)

· UT ≈ UT (1.59)

Ce je bremenska upornost veliko vecja od upornosti izvora, je napetostna bremenu skoraj enaka napetosti UT in neodvisna od vrednosti RB

Slika 1.47: Napetostno krmiljenje bremena s Theveninovim izvorom.

Primer. Napetost UT je 10 V in upornost RT je 1 kΩ. Upornost RB

spreminjamo v sirokem obmocju vrednosti od 100 kΩ do 100 MΩ.Natancen izracun napetosti U na bremenu po enacbi 1.58 je podanv drugi koloni tabele 1.1. Tretja kolona podaja tok I, ki tece prekobremena.

RB (MΩ) U (V) I (µA)

0,1 9,9010 1001 9,9900 10

10 9,9990 1100 9,9999 0,1

Tabela 1.1: Stevilcni prikaz napetostnega krmiljenja bremena.


Napetost na bremenu se neznatno spreminja, ceprav vrednost bremen-ske upornosti spreminjamo preko stirih velikostnih redov. Drugace jes tokom preko bremena, ki se spreminja od 0,1µA do 100µA oziromapreko stirih velikostnih redov tako kot bremenska upornost.

Napetostno krmiljenje bremena z Nortonovim izvorom

Breme lahko krmilimo napetostno tudi z Nortonovim tokovnimizvorom. Pogoj je isti: upornost RB mora biti dosti vecja od Nor-tonove notranje upornosti izvora RN (slika 1.48). Tok I dolocimo stokovnim delilnikom, ki ga sestavljata upora RB in RN (enacba 1.60).

I =

(

RN

RB + RN

)

· IN (1.60)

Napetost U dolocimo po enacbi 1.61.

U = RB · I =

(

RB · RN

RB + RN

)

· IN (1.61)

Slika 1.48: Napetostno krmiljenje bremena z Nortonovim izvorom.

Ker je RB veliko vecji od RN, lahko slednjega v imenovalcudelilnega razmerja zanemarimo in dobimo enacbo 1.62.

U =

(

RB · RN

RB + RN

)

· IN ≈

(

RB · RN

RB

)

· IN ≈ RN · IN (1.62)

Napetost U je prakticno neodvisna od vrednosti bremenskega upora.Izraz RN · iN je napetost odprtih sponk Nortonovega tokovnega iz-vora, ki je enaka napetosti UT ekvivalentnega Theveninovega izvora(slika 1.46).


Za primer, ko je RN enak 1 kΩ in tok IN enak 10 mA, dobimopri spreminjanju upornosti RB od 100 kΩ do 100 MΩ iste vrednostinapetosti U in toka I, kot so podane v tabeli 1.1.

Breme RB je napetostno krmiljeno, ko je bremenski upor velikovecji od notranje upornosti izvora. Pri tem ni pomembno ali bremekrmilimo z napetostnim ali s tokovnim izvorom.

1.13.3 Tokovno krmiljenje bremena

Breme je tokovno krmiljeno, ko se njegov tok relativno malospreminja pri relativno veliki spremembi bremenske upornosti. Takprimer imamo, ko breme RB napajamo z Nortonovim izvorom in jebremenska upornost RB dosti manjsa od notranje upornosti vira RN

(slika 1.49).

Slika 1.49: Tokovno krmiljenje bremena z Nortonovim izvorom.

Tok I dolocimo s tokovnim delilnikom po enacbi 1.63.

I =

(

RN

RB + RN

)

· IN (1.63)

Ker je RB veliko manjsi od RN, clen RB v imenovalcu zanemarimoin dobimo enacbo 1.64.

I =

(

RN

RB + RN

)

· IN ≈

(

RN

RN

)

· IN ≈ IN (1.64)

Tok I je skoraj enak toku IN, neodvisno od vrednosti bremenske upor-nosti, ce le velja, da je slednja veliko manjsa od RN.


Primer. Tok IN je 1 A, in upornost RN je 1 MΩ. Upornost RB

spreminjamo v sirokem obmocju vrednosti od 10Ω do 10kΩ. Natancenizracun toka I po enacbi 1.63 je podan v drugi koloni tabele 1.2. Tretjakolona podaja napetost U na bremenu.

RB (kΩ) I (A) U (V)

0,01 0,99999 100,1 0,99990 99

1 0,99900 99910 0,99010 9900

Tabela 1.2: Stevilcni prikaz tokovnega krmiljenja bremena.

Tok preko bremena se neznatno spreminja, ceprav vrednost bremen-ske upornosti spreminjamo preko stirih velikostnih redov. Drugace jez napetostjo na bremenu, ki se spreminja od 10 V do skoraj 10 kVoziroma preko stirih velikostnih redov tako kot bremenska upornost.

Tokovno krmiljenje bremena s Theveninovim izvorom

Breme lahko krmilimo tokovno tudi s Theveninovim napetostnimizvrom. Pogoj je isti: breme RB mora biti po velikosti dosti manjseod Theveninove notranje upornosti RT (slika 1.50). Tok I dolocimo zenacbo 1.65.

I =UT

RB + RT

(1.65)

Slika 1.50: Tokovno krmiljenje bremena s Theveninovim izvorom.

1.14. PRIMER UPORABE NADOMESTNIH VEZIJ 53

Ker velja, da je RB veliko manjsi od RT, clen RB v imenovalcuzanemarimo in dobimo enacbo 1.66.

I =UT

RB + RT

≈UT

RT

(1.66)

Enacba 1.66 kaze, da je tok I prakticno neodvisen od vrednosti bre-menskega upora. Izraz UT/RT predstavlja kratkosticni tok Theve-ninovega izvora, ki je enak toku IN pripdajocega Nortonovega izvora(slika 1.44).

Za primer, ko je RT enak 1 kΩ in je napetost UT enaka 1 kV,dobimo pri spreminjanju upornosti RB od 100 kΩ do 100 MΩ istevrednosti napetosti U in toka I, kot so podane v tabeli 1.2.

Breme RB je tokovno krmiljeno, ko je bremenski upor velikomanjsi od notranje upornosti izvora. Pri tem ni pomembno alibreme krmilimo z napetostnim ali s tokovnim izvorom.

1.14 Primer uporabe nadomestnih vezij

Nortonovo in se posebej Theveninovo nadomestno vezje srecujemo velektroniki neprestano, ceprav ju navadno sploh ne poimenujemo tako.Na tem mestu podajamo realisticni primer situacije pri nacrtovanjuelektronskega vezja z uporabo nadomestnih vezij.

Slika 1.51 prikazuje merjenje visine h vode v rezervarju. Pri temuporabljamo senzor S, ki rezultat meritve podaja v obliki napetosti us.

Slika 1.51: Merjenje vode v rezervarju.


Senzor naj bo linearen, zato je napetost us premosorazmerna zvisino vode h, kar podaja naslednja enacba.

us = k · h (1.67)

Velicina k je konstanta senzorja, ki naj bo k = 1 mV/m. Torej:pri visini vode 0 m, je izhodna napetost 0 V, pri visini 1 m, je nape-tost 1 mV, itd. Ce je najvecja visina vode v rezervarju 5 m, lahkozavzame napetost us vrednosti med 0 mV in 5 mV.

To napetost zelimo z AD pretvornikom pretvoriti v digitalno obliko,da lahko visino vode spremljamo z mikroracunalniskim sistemom.Problem je v tem, da je obmocje napetosti us premajhno. VecinaAD pretvornikov ima obmocje vhodne napetosti nekaj Voltov, npr.od 0 V do 5 V. To pomeni, da moramo senzorski signal us ojaciti znapetostnim ojacenjem 1 000, da ga lahko priklopimo na AD pretvor-nik, kar storimo z napetostnim ojacevalnikom A.

Sedaj nastopi uporaba nadomestnih vezij. Prva stvar, ki se jemoramo zavedati, je, da senzor ni idealen napetostni vir, zato je na-petost us taka, kot jo podaja enacba 1.67, samo v primeru, da senzorni obremenjen, oziroma, da na njegove prikljucne sponke nicesar nepriklopimo. Taka situacija ni uporabna, zato je v realnem vezju nasenzor vedno priklopljen ojacevalnik ali drug element, s katerim ustre-zno zajamemo senzorjev signal.

Vsak ojacevalnik ima doloceno vhodno notranjo upornost r1, kisenzor obremenjuje, zato preko sponk senzorja pricne teci tok. Tatok povzroci sesedanje napetosti us, kar moramo ovrednotiti. V tanamen proizvajalci senzorjev podajajo vrednost notranje upornostisenzorja, ki je dejansko Theveninova upornost nadomestnega vezjasenzorja, ceprav v katalogu ni tako poimenovana.

Tudi za napetost us ugotovimo, da je dejansko Theveninova na-petost nadomestnega vezja senzorja, ceprav je nikoli tako ne imenu-jemo. Ko se spreminja visina vode v rezervarju, se dejansko spreminjaTheveninova napetost nadomestnega vezja senzorja, pri cemer ostajanjegova notranja upornost konstantna (vsaj v priblizku). Razmereprikazuje slika 1.52.


Slika 1.52: Nadomestno vezje vezja na sliki 1.67.

S pomocjo slike 1.52 lahko ugotovimo vpliv ojacevalnika na nape-tost u1, ki je dejanska napetost na sponkah senzorja. Napetosti us nemoremo zmeriti, ker ne obstaja; obstaja samo v nadomestnem vezjusenzorja, ne obstaja pa nikjer v senzorju.

Ojacevalnik ne ojacuje napetosti us, ampak napetost na svojihvhodnih sponkah u1. To napetost ojaci 1 000-krat in jo skusa generi-rati na svojem izhodu. Zopet imamo isti problem, da izhodne sponkeojacevalnika niso idealen napetostni vir, zato se izhodna napetost se-seda, ko na ojacevalnik priklopimo breme, ki je v nasem primeru ADpretvornik z notranjo upornostjo rAD, ki bremeni izhod ojacevalnika.

Sesedanje napetosti na izhodnih sponkah ojacevalnika ocenimo spomocjo njegove izhodne notranje upornosti RA, ki jo dobimo v ka-talogu proizvajalca. To je dejansko Theveninova notranja upornostnadomestnega vezja izhodnega dela ojacevalnika, ceprav je ne imenu-jemo tako. Napetost uA, ki je prikazana na sliki, je izhodna napetostojacevalnika, ko le-ta ni obremenjen, zato je to v bistvu Theveninovanapetost nadomestnega vezja izhodnega dela ojacevalnika. Ta nape-tost je pri ojacevalniku z ojacenjem 1 000 enaka uA = 1 000 · u1.

Primer 1. Podatki so: RS = 1 kΩ, vhodna notranja upornostojacevalnika r1 = 100 Ω, RA = 10 Ω in rAD = 100 Ω.Napetost na vhodnih sponkah ojacevalnika u1 je manjsa od zelenenapetosti us za faktor, ki ga doloca napetostni delilnik uporov RS

in r1. V nasem primeru je ojacevalnik povsem neustrezen, saj imavhodno notranjo upornost manjso od senzorjeve notranje upornosti.


To pomeni, da upor r1 ni napetostno krmiljen (poglavje 1.13.2), zatobo napetost u1 precej manjsa od napetosti us, v kar se prepricamo znaslednjo enacbo.

u1 =

(

r1

r1 + RS

)

· us

.= 0,1 · u1 (1.68)

Z uporabo nadomestnih vezij smo ugotovili, da dobimo v tem pri-meru 10-krat manjso napetost na vhodnih sponkah ojacevalnika odtiste, ki jo sicer pricakujemo. Posledica je, da je tudi napetost na iz-hodu neobremenjenega ojacevalnika uA = 1000 ·u1 tolikokrat manjsaod pricakovane. Npr. pri visini vode 5 m na izhodu ojacevalnika nedobimo 5 V ampak samo 0,5 V.

To se ni vse. Napetost uA ni dejanska napetost na izhodu ojace-valnika, ker pride do sesedanja zaradi obremenjenosti z uporom rAD.Dejanska izhodna napetost ojacevalnika, ki je tudi napetost, ki joAD pretvornik sporoci mikroracunalniskemu sistemu, je dolocena znapetostnim delilnikom uporov RA in rAD po nasledni enacbi.

u2 =

(

rAD

rAD + RA

)

· uA.= 0,9 · uA (1.69)

Sedaj je sesedanje samo 10%, ker je upornost rAD desetkrat vecjaod upornosti RA, s cimer je AD pretvornik vsaj priblizno napetostnokrmiljen.

Celoten izraz, s katerim izracunamo izhodno napetost u2 pri dolocenivisini vode, podaja naslednja enacba.

u2

.= 0,9 · uA = 0,9 · 103 · u1 = 0,9 · 103 · 0,1 · us = 90 · k · h (1.70)

V idealnem primeru bi dobili izraz u2 = 1 000 · k · h, dobimo pasamo u2 = 90 ·k ·h. Zaradi slabe izbire ojacevalnika izmerimo vec kot10-krat manjso visino vode v rezervarju od dejanske.


Primer 2. Podatki so: RS = 1 kΩ, vhodna notranja upornostojacevalnika r1 = 100 kΩ, RA = 10 Ω in rAD = 100 kΩ.

Tokrat je izbira elementov boljsa. Vhodna notranja upornostojacevalnika r1 je mnogo vecja od notranje upornosti senzorja RS,zato je sesedanje napetosti na sponkah senzorja bistveno manjse, karizracunamo na enak nacin kot prej.

u1 =

(

r1

r1 + RS

)

· us

.= 0,99 · u1 (1.71)

Vhodna notranja upornost ojacevalnika je 100-krat vecja od no-tranje upornosti senzorja, zato je sesedanje napetosti enako 1 %. Naizhodu ojacevalnika je sesedanje se se dosti manj opazno in znasasamo 0,01 %.

u2 =

(

rAD

rAD + RA

)

· uA.= 0,9999 · uA (1.72)

S tako izbiro elementov naredimo pri zajemu senzorjevega signalasamo priblizno 1 % napake. Ce zelimo meriti visino vode bolj na-tancno, moramo uporabiti kvalitetnejsi ojacevalnik s se visjo vho-dno notranjo upornostjo. Mozno je tudi programsko na strani mi-kroracunalniskega sistema te relacije upostevati in rezultat korigirati.

Ugotovitve.

1. V elektroniki potrebujemo napetostne ojacevalnike, ki imajocim vecjo vhodno notranjo upornost, da ne bremenijo signal-nih virov (npr. senzorjev) in s tem ne povzrocajo sesedanjenjihovih napetosti.

2. Prav tako morajo imeti napetostni ojacevalniki majhno izho-dno notranjo upornost, da se jim napetost ne seseda, ko nanjepriklopimo druga vezja (npr. AD pretvornike).

3. Sesedanje napetosti in tokov ugotavljamo z nadomestnimi vezjiin z uporabo napetostnih delilnikov. To je pravi pomen pred-hodnih poglavij.


1.15 Idealni kondenzator

Idealni kondenzator (slika 1.53) je idealizacija realnega kondenzatorja,kjer element izkazuje samo lastnost konstantne kapacitivnosti.

Slika 1.53: Simbol (levo) in karakteristika (desno) idealnega konden-zatorja.

Edini parameter idealnega kondenzatorja je vrednost kapacitivno-sti C, ki doloca konstantno razmerje med napetostjo na konden-zatorju in elektricnim nabojem Q na njegovih ploscah, kar opisujeenacba 1.73.

Q = C · u ali C =Q

u(1.73)

Opisani odnos je graficno prikazan na desni strani slike 1.53 za dverazlicni vrednosti kapacitivnosti C1 in C2, pri cemer ima kondenza-tor C2 vecjo kapacitivnost od kondenzatorja C1, saj C2 sprejme vec na-boja pri isti napetosti (npr. pri napetosti uA je vrednost naboja QA2

vecja od QA1).Pri analizi elektricnih vezij nas zanima odnos med napetostjo na

kondenzatorju in tokom preko njega. To odvisnost dobimo prekopovezave med tokom in nabojem, ki jo podaja enacba 1.74.

i =dQ

dtali Q =

∫ t

0

i · dτ + Q0 (1.74)

1.15. IDEALNI KONDENZATOR 59

Oba zapisa sta enakovredna. Iz leve oblike je razvidno, da je tokproporcionalen spremembi naboja na ploscah kondenzatorja. Desnaoblika poudarja, da je vrednost naboja na kondenzatorju rezultat nje-gove akumulacije preko opazovanega casovnega intervala; pri tem Q0

pomeni vrednost naboja na kondenzatorju ob pricetku opazovanja.Odvisnost med tokom preko kondenzatorja in nabojem na njem ilu-strira slika 1.54 levo.

Ob pricetku opazovanja (t = 0) je kondenzator prazen, kar po-meni, da na njegovih ploscah ni naboja (Q = 0). V casu od t = 0do t = 1 preko kondenzatorja tok ne tece, zato se tudi vrednost nabojane spreminja (tok je odvod naboja po casu).

Slika 1.54: Odvisnost med tokom in nabojem kondenzatorja (levo) inpotek napetosti (desno).

V casu med t = 1 in t = 2 tece preko kondenzatorja tok konstantnevrednosti, zato naboj linearno narasca (odvod naboja je konstantenin proporcionalen toku). Ce so polaritete oznacene tako, kot prikazujeslika 1.53, se na zgornji plosci kondenzatorja kopici pozitivni naboj,medtem ko spodnja plosca kopici negativnega. Absolutna vrednostnaboja na obeh ploscah je v vsakem trenutku enaka. V casu med t = 2in t = 3 tece vecji tok, kot predhodno, zato se naboj hitreje kopici(odvod naboja po casu je vecji).


V casu med t = 3 in t = 4 tok preneha teci, zato se vrednost na-boja ne spreminja (odvod naboja je enak nic). Tako stanje dosezemonpr. ko kondenzator odklopimo iz vezja. Ce se na njegovih ploscahnahaja dovolj naboja, nas lahko strese, ko se dotaknemo prikljucnihsponk, tudi ce je kondenzator predhodno en dan lezal v omari in nibil nikamor priklopljen.

V casu med t = 4 in t = 6 tece tok v drugo smer, zato nabojna kondenzatorju pojema. Po dovolj velikem casu postane vrednostnaboja negativna, kar pomeni, da se pricne na spodnji plosci kopicitipozitiven naboj, medtem ko se na zgornji plosi kopici negativen. Po-lariteta naboja ima v tem primeru enako vlogo kot jo imata polaritetinapetosti in toka na shemah: usklajevanje dejanske vrednosti velicinez oznaceno.

V casu od t = 6 naprej je tok preko kondenzatorja zopet 0, zatose na njem ohranja konstantna vrednost naboja.

Z zdruzitvijo enacb 1.73 in 1.74 dobimo odvisnost med tokom innapetostjo kondenzatorja (enacba 1.75).

i = C ·du

dtali u =

1

C·

∫ t

0

i · dτ + U0 (1.75)

V desnem zapisu predstavlja konstanta U0 napetost na kondenzatorjupred pricetkom opazovanja (ob casu t = 0).

Potek napetosti pri predhodno obravnavanem poteku toka je zadva razlicna kondenzatorja podana na desni strani slike 1.54, pricemer potek na zgornjem desnem grafu pripada kondenzatorju z manjsokapacitivnostjo, od tistega na spodnjem desnem grafu. Ker je nape-tost na kondenzatorju proporcionalna naboju na njem (enacba 1.73),je casovni potek napetosti po obliki enak casovnemu poteku naboja.Pri istem poteku toka in isti vrednosti zacetnega naboja bo imel kon-denzator z manjso kapacitivnostjo vecjo napetost.

Ker je odvod napetosti na kondenzatorju proporcionalen tokupreko njega, napetost ne more v hipu spremeniti vrednosti, saj bi zapreskok njene vrednosti potrebovali neskoncno velik tok, kar je fi-zikalno nemogoce zagotoviti. To lastnost kondenzatorjev izkoriscamonpr. v gladilnih vezjih, kjer skusamo casovno spremenljivo napetostnarediti cim bolj konstantno.

1.16. IDEALNA DUSILKA 61

1.16 Idealna dusilka

Idealna dusilka (slika 1.55) predstavlja idealizacijo realne dusilke, prikateri zajamemo samo lastnost konstantne induktivnosti.

Slika 1.55: Simbol idealne dusilke.

Induktivnost je fizikalna lastnost, ki jo izkazujejo vodniki oziromavse elektricne strukture preko katerih tece elektricni tok. Ob priso-tnosti toka se v okolici vodnikov formira magnetni pretok Φ, ki je pro-porcionalen toku i, ki tece preko vodnika. Induktivnost L je razmerjemed tokom i in magnetnim pretokom Φ, kar opisuje enacba 1.76.

L =Φ

iali Φ = L · i (1.76)

Povezavo med tokom preko dusilke in napetostjo na njej izpeljemoz uporabo Faraday-evega zakona, po katerem je inducirana napetost uv doloceni elektricni strukturi proporcionalna spremembi njenega ma-gnetnega pretoka (enacba 1.77).

u =dΦ

dt(1.77)

Z zdruzitvijo enacbe 1.76 (desno) in enacbe 1.77 dobimo iskani odnosmed tokom in napetostjo idealne dusilke, ki ga podaja enacba 1.78.

u = L ·di

dtali i =

1

L·

∫ t

0

u · dτ + I0 (1.78)

Oba zapisa sta enakovredna. Iz leve oblike je razvidno, da se nape-tost na idealni dusilki pojavi takrat, ko se spreminja vrednost tokapreko nje. Dusilka se torej upira spremembam toka, podobno kot se


kondenzator upira spremembam napetosti. Vrednosti toka, ki tecepreko dusilke, ni mogoce v hipu spremeniti, ker bi za to potrebovalineskoncno napetost, kar fizikalno ni mogoce doseci. To izkoriscamonpr. v zascitnih vezjih za preprecevanje motilnih tokovnih pulzov.

1.17 Sinusne oblike elektricnih velicin

V elektrotehniki pogosto uporabljamo vezja, ki jih vzbujamo s tokoviali napetostmi sinusnih oblik. Taka vezja opravljajo kljucne funkcijena vseh podrocjih elektrotehnike od elektrodistribucije do telekomu-nikacij. Razlog za mnozicno uporabo velicin sinusne oblike je v tem,da je mnozenje s konstanto, casovni odvod in casovni integral sinusnefunkcije zopet sinusna funkcija iste frekvence kot izhodiscna funkcija.Trije kljucni elementi linearnih vezij (upor, kondenzator in dusilka)izvajajo nad elektricnimi napetostmi in tokovi samo tri omenjene ope-racije. Zaradi tega imajo pri sinusno vzbujanih linearnih vezij vsenapetosti in vsi tokovi v vezju sinusno obliko iste frekvence.

1.17.1 Sinusni (kosinusni) casovni potek velicin

V elektrotehniki najveckrat operiramo s kosinusnimi signali, cepravgovorimo o sinusnih signalih. Obe vrsti signalov imata enak potek,le da kosinusni signal prehiteva sinusnega za 90. Razlog za uporabokosinusnih funkcij je izkljucno v enostavnejsem matematicnem zapisuenacb in ne v fizikalnem pomenu.

Slika 1.56 prikazuje signal x(t) sinusnega casovnega poteka. Nje-gova najvecja vrednost A se imenuje amplituda signala. Casovniinterval T , v katerem se zacnejo vrednosti funkcije ponavljati, je pe-rioda signala. Cas t0 oznacuje premik signala glede na osnovni kosi-nusni signal, ki doseze najvecjo vrednosti ob casu t = 0.

1.17. SINUSNE OBLIKE ELEKTRICNIH VELICIN 63

Parametri A, T in t0 zadostujejo za popolni opis sinusnega casovnegapoteka, vendar niso prirocni za uporabo. Pogosteje uporabljamo na-bor parametrov amplituda, (krozna) frekvenca in fazni kot. Fre-kvenca f je obratna vrednost periode, kar podaja enacba 1.79.

f =1

T(1.79)

Primer. Napetost v uticnici ima frekvenco 50 Hz, kar pomeni, da jenjena perioda enaka (1/50) s = 20 ms.

Za preglednejsi zapis enacb uvedemo krozno frekvenco ω, ki jeenaka frekvenci f pomnozeni z 2π (enacba 1.80).

ω = 2π · f (1.80)

Fazni kot φ je enak produktu ω · t0.

Slika 1.56: Sinusni casovni potek signala.

Splosni zapis sinusnega oziroma kosinusnega casovnega poteka zuporabo opisanih parametrov podaja enacba 1.81.

x(t) = A · cos

(

2π

T· (t + t0)

)

= A · cos(ωt + φ) (1.81)

Vpliv spremembe posameznih parametrov ilustrira slika 1.57. Crtka-no izvleceni poteki predstavljajo osnovni signal, medtem ko polnoizvleceni poteki prikazujejo rezultirajoci signal.

Zgornja leva slika prikazuje vpliv zmanjsanja amplitude na polo-vico prvotne vrednosti. Na zgornji desni sliki vidimo vpliv podvojitvecasovnega premika t0, ki povzroci podvojitev faznega kota φ = ω · t0.Na spodnji sliki je ilustriran vpliv podvojitve frekvence signala.


Slika 1.57: Vpliv spremembe parametrov sinusnega signala.

1.17.2 Odvod in integral sinusnih velicin

Izracunajmo odvod signala, ki ga podaja enacba 1.81; zaradi pregle-dnosti izhajamo iz desnega zapisa. Rezultat podaja enacba 1.82.

dx

dt= −A · sin(ωt + φ) · ω = ωA · cos(ωt + φ + 90) (1.82)

Rezultat odvajanja je zopet kosinusni signal, ki se od prvotnegarazlikuje po tem, da je njegova amplituda pomnozena z ω, fazni kotpa je povecan za 90. Poudarjamo, da je frekvenca signala ostalanespremenjena.

Ker je inegriranje obratna operacija od odvajanja, zakljucimo brezmatematicne izpeljave, da je integral sinusnega signala po enacbi 1.81zopet sinusni signal enake frekvence, le da ima amplitudo deljeno z ωin fazni kot zmanjsan za 90 (enacba 1.83).

∫ t

0

x(τ) · dτ =A

ω· cos(ωt + φ − 90) (1.83)


1.17.3 Linearni elementi in sinusni signali

V primeru da vzbujamo vezje, ki vsebuje izkljucno ohmske upore, ssinusno napetostjo ali tokom, so vse napetosti in tokovi v vezju sinusneoblike, poleg tega imajo enako frekvenco in fazni kot kakor vzbujanisignal. Razlog je v tem, da ohmski upor po ohmovem zakonu izvajaizkljucno operacijo mnozenja s konstanto (enacba 1.84).

u(t) = R · i(t) oziroma i(t) =

(

1

R

)

· u(t) (1.84)

Levi zapis enacbe 1.84 podaja trditev, da je trenutna vrednost nape-tosti u v vsakem trenutku enaka produktu konstante R in trenutnevrednosti toka i. Ce je potek toka i(t) sinusen, bo sinusna tudi nape-tost u(t), saj mnozenje s konstanto spremeni samo amplitudo signala(slika 1.57 levo zgoraj). To dokazuje enacba 1.85.

i(t) = I · cos(ωt + φ) ⇒ u(t) = R · I · cos(ωt + φ) (1.85)

Amplituda toka ima vrednost I, medtem ko ima amplituda napetostivrednost R·I. Enako razmisljanje velja tudi za desni zapis enacbe 1.84.

Ce vezje vsebuje kondenzatorje in dusilke, se spremeni tudi fa-zni kot signalov, saj ta dva elementa opravljata operacijo odvaja-nja in integriranja. Odvajanje spremeni fazni kot za +90 in po-mnozi amplitudo z vrednostjo ω. Pri vzbujanju dusilke, ki jo opisujeenacba 1.78 levo, s sinusnim tokom, bo potek napetosti tak, kot gapodaja enacba 1.86.

i(t) = I · cos(ωt+φ) ⇒ u(t) = ωL· I · cos(ωt+φ+90) (1.86)

Napetost na dusilki prehiteva tok za 90.Podobno situacijo imamo pri vzbujanju kondenzatorja s sinusnim

tokom, le da tokrat napetost izracunamo z integriranjam (enacba 1.75desno). Rezultat prikazuje enacba 1.87.

i(t) = I · cos(ωt + φ) ⇒ u(t) =I

ωC· cos(ωt + φ − 90) (1.87)

Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom za 90.


1.17.4 Kompleksni racun

Kompleksni racun je pripomocek za analizo linearnih elektricnih vezij,ki so vzbujana s sinusnimi signali. Omogoca nam, da izvajamo ana-lizo pri sinusnih vzbujanjih na formalno enak nacin, kot to pocnemo vprimeru enosmernih vezij. Kljucna pridobitev uporabe kompleksnegaracuna je, da se operacije odvajanja in integriranja prevedejo na na-vadno mnozenje kompleksnih stevil.

Kompleksna amplituda

Prvi korak uporabe kompleksnega racuna je transformacija izhodi-scnega vezja skupaj s sinusnimi vzbujanji v prostor kompleksne fre-kvence. Vsaki sinusni velicini se priredi kompleksna amplituda,ki nosi informacijo o njeni amplitudi in faznem kotu. Informacijeo frekvenci ni potrebno prirejati vsaki velicini posebej, ker imajo vsitokovi in napetosti v sinusno vzbujanem vezju isto frekvenco.

Pojem kompleksne amplitude razlozimo na primeru signala, ki gaopisuje enacba 1.88.

u(t) = 2 V · cos(314,2 Hz · t + 45) (1.88)

Amplituda signala u(t) je enaka 2 V, njegov fazni kot znasa +45,medtem ko je frekvenca (314,2/2π) Hz = 50 Hz.

Amplitudo in fazo signala ponazorimo v kompleksni ravnini s kom-pleksnim stevilom, katerega absolutna vrednost je enaka ampli-tudi signala, medtem ko je fazni kot stevila enak faznemu kotusignala. Temu kompleksnemu stevilu pravimo kompleksna amplitudasignala.

Signalu po enacbi 1.88 pripada kompleksna amplituda na sliki 1.58.Kompleksne amplitude oznacujemo z velikimi pisanimi crkami in jimdodamo puscico (npr. ~U). Povezavo med kompleksno amplitudo ~Us slike 1.58 in pripadajocim casovnim signalom ponazarja slika 1.59(kompleksna ravnina je zavrtena protiurno za 90).

Potek casovnega signala izluscimo iz kompleksne amplitude tako,da njen kazalec ~U vrtimo okoli koordinatnega izhodisca s kotno hi-trostjo ω, pri cemer je pomembno, da ima kazalec ob casu t = 0enak polozaj, kot na sliki 1.58. Projekcija kazalca ~U na realno os je vvsakem trenutku enaka trenutni vrednosti casovnega signala u(t).


Slika 1.58: Ponazoritv sinusnega signala u(t) s kompleksno amplitudo.

Slika 1.59: Povezava med kompleksno ampitudo in casovnim prosto-rom.

Impedanca

Podobno kot signale, transformiramo tudi elemente vezja. Pri temupostevamo ugotovitve, ki so podane v poglavju 1.17.3. Pri analiziuporovnih vezij intenzivno operiramo z upornostjo R, ki podaja raz-merje med napetostjo na uporu in tokom preko njega (enacba 1.84).

Pri analizi sinusno vzbujanih vezij, ki vsebujejo tudi kondenzatorjein dusilke, vpeljemo podobno velicino: impedanco ~Z. Impedanca jerazsiritev pojma upornost in podaja razmerje med kompleksno am-plitudo napetosti na elementu in kompleksno amplitudo tokapreko njega. Impedanca za razliko od upornosti podaja tudi faznipremik med napetostjo in tokom, poleg tega da podaja razmerje am-plitud sinusnih signalov.


Impedanca upora ~ZR je enaka njegovi ohmski upornosti, sajmed napetostjo in tokom ni faznega premika (enacba 1.85). Ve-

lja: ~ZR = R.Impedanca kondenzatorja ~ZC mora uskladiti fazni zamik med

napetostjo in tokom. Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokomza 90 (enacba 1.87), zato mora biti fazni kot impedance kondenza-torja enak −90; negativni predznak pomeni zaostajanje. Absolutnavrednost impedance kondenzatorja mora biti enaka razmerju ampli-tud napetosti in toka, ki je po enacbi 1.87 enako 1/(ωC). Na pod-

lagi obeh ugotovitev zapisimo izraz za impedanco kondenzatorja ~ZC

(enacba 1.89).

~ZC =1

jωC(1.89)

Oznaka j pomeni imaginarno enoto. Impedanca kondenzatorja jecisto imaginarno stevilo s faznim kotom −90 in absolutno vredno-stjo 1/(ωC).

Impedanca dusilke ~ZL mora ravno tako uskladiti fazni zamikmed napetostjo in tokom. Napetost dusilke prehiteva tok za 90

(enacba 1.86), zato mora biti fazni kot impedance dusilke enak +90;pozitivni predznak pomeni prehitevanje. Absolutna vrednost im-pedance dusilke mora biti enaka razmerju amplitud napetosti in toka,ki je po enacbi 1.86 enako ωL. Iz podanih ugotovitev sledi izraz zaimpedanco dusilke ~ZL (enacba 1.90).

~ZL = jωL (1.90)

Impedanca dusilke je cisto imaginarno stevilo s faznim kotom +90

in absolutno vrednostjo ωL.

Primer uporabe kompleksnega racuna

Kot primer uporabe si oglejmo izracun napetosti u2 vezja na sliki 1.60levo pri znani napetosti u1. Upor R = 20 Ω in dusilka L = 2 H.Napetost u1 ima casovni potek, kot ga podaja enacba 1.91.

u1(t) = 5 V · cos(10 Hz · t + 130). (1.91)


Vezje transformiramo v kompleksni prostor, kakor prikazuje slika 1.60desno. Napetostima u1 in u2 priredimo kompleksni amplitudi ~U1 in ~U2,medtem ko elementom vezja priredimo njihove impedance.

Slika 1.60: Vezje za prikaz uporabe kompleksnega racuna.

Sedaj lahko vezje obravnavamo kot napetostni delilnik, ki smoga analizirali v poglavju 1.11. Za izracun napetosti ~U2 uporabimoenacbo 1.50 (stran 38), v kateri namesto ohmskih upornosti nastopajoimpedance elementov in namesto casovnih vrednosti napetosti njihovekompleksne amplitude, kar prikazuje enacba 1.92.

~U2 =

(

~Z2

~Z1 + ~Z2

)

· ~U1 (1.92)

Izraz v oklepaju je delilno razmerje napetostnega delilnika (oznaci-

mo ga z ~D), ki je tokrat frekvencno odvisno, saj so impedance (vnasem primeru samo od dusilke L) frekvencno odvisne. V nadalje-

vanju impedanci ~Z1 in ~Z2 nadomestimo z njunimi dejanskimi vre-dnostmi (enacba 1.93) in celotni izraz uredimo.

~D =~Z2

~Z1 + ~Z2

=jωL

R + jωL=

1R

jωL+ 1

=1

1 − j R

ωL

(1.93)

Nalogo lahko resimo tako, da v izraz za ~D vstavimo konkretne vre-dnosti elementov in frekvence, nakar dobljeno vrednost pomnozimo skompleksno amplitudo ~U1, ki jo moramo se dolociti. Rezultat ~U2 natotransformiramo nazaj v casovni prostor.

Druga moznost je, da iz delilnega razmerja ~D dolocimo njegovoabsolutno vrednost || ~D|| in fazo Φ( ~D), s cimer lahko napetost u2(t)dolocimo neposredno. Oglejmo si ta nacin resevanja.


V kolikor zelimo dolociti amplitudo in fazo delilnega razmerja,mora biti imenovalec realen, kar dosezemo tako, da ulomek razsirimo znjegovim konjugirano kompleksnim izrazom imenovalca (enacba 1.94).

~D =1

1 − j R

ωL

=1 + j R

ωL

(1 − j R

ωL)(1 + j R

ωL)

=1 + j R

ωL

1 +(

R

ωL

)2(1.94)

Iz zadnjega zapisa se jasno vidita ralna in imaginarna komponenta de-lilnega razmerja. Njegovo absolutno vrednost izracunamo po enacbi 1.95in fazo po enacbi 1.96.

|| ~D|| =

√

(ℜ ~D)2 + (ℑ ~D)2 =1

√

1 +(

R

ωL

)2(1.95)

Φ( ~D) = arctan

(

ℑ ~D

ℜ ~D

)

= arctan

(

R

ωL

)

(1.96)

Ko se dokopamo do podatkov v zadnjih dveh enacbah, je izracun od-ziva na poljubno vzbujanje enostaven. Dejanske vrednosti elemen-tov in frekvenco vstavimo v enacbi 1.95 in 1.96. Absolutna vre-dnost || ~D|| = 0,7 in faza Φ( ~D) = 45. To pomeni, da je amplitudanapetosti u2(t) enaka amplitudi u1(t) pomnozeni z 0,7. Fazni kot na-petosti u2(t) je za 45 vecji od faznega kota napetosti u1(t). Iskanirezultat podaja enacba 1.97.

u2(t) = 3,5 V · cos(10 Hz · t + 175) (1.97)

univerza v ljubljani fakulteta za...

Documents