universitas wijaya putra · pdf filebab vi fungsi kuadrat ... matematika ekonomi dan bisnis 2...

MATEMATIKA

EKONOMI DAN BISNIS

Modul Mata Kuliah

Erik Valentino, S.Pd., M.Pd

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA

2014/2015

Matematika Ekonomi dan Bisnis 1

DAFTAR ISI

Kontrak Perkuliahan .................................................................................................................. 1

BAB I Barisan dan Deret .......................................................................................................... 4

BAB II Fungsi ........................................................................................................................... 12

BAB III Penggunaan Fungsi Linear Dalam Ekonomi dan Bisnis .............................................. 15

BAB IV Analisis Break Even Point (Bep) ................................................................................ 21

BAB V Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Pendapatan Nasional .................................. 23

BAB VI Fungsi Kuadrat (Parabola) .......................................................................................... 27

Bank Soal ................................................................................................................................... 30


BAB I

BARISAN DAN DERET

BARISAN adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah

tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah barisan dinamakan

suku.

A. Deret Hitung

Adalah barisan yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah

bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan

pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Ada dua rumus yang digunakan dalam deret hitung :

1. Nilai suku ke n dari deret hitung

Un = a + (n – 1) b

Keterangan:

Un= Suku ke-n

a = suku pertama

b = pembeda

n = indeks suku

Contoh:

1) Nilai suku ke 101 dari deret hitung 3, 5, 7, 9, 11, … adalah….

Diket : a = 3 | b = 2 | n = 101

Ditanya : U101= ?

Jwb : Un = a + (n – 1) b

U101 = 3 + (101 – 1) 2

U101 = 3 + 100 x 2

U101 = 3 + 200

U101 = 203

2) Diketahui deret hitung berikut 26, 23, 20, ..., -271. Tentukan:

a. Suku ke 50 dari deret tersebut

b. Tentukan banyak semua suku dari deret tersebut.

(silakan dicoba)

2. Jumlah nilai dari semua suku pada deret hitung

Sn = 1

2 n (2a + (n – 1) b)

Keterangan:

Sn = Jumlah hingga suku ke-n

a = suku pertama

b = pembeda

n = indeks suku

Contoh:

Berapa jumlah semua suku s/d suku yang ke 25 dari deret 3, 5, 7, 9, 11, …

Diket : a = 3 | b = 2 | n = 25

Dita : S25?

Jwb : Sn = 1

2 n (2a + (n – 1) b)


S25 = 1

2 (25) ((2)(3) + (25 – 1) 2)

S25 = 12,5 (6 + (24) 2)

S25 = 12,5 (6 + 48)

S25 = 12,5 x 54

S25 = 675

Contoh aplikasi dalam ekonomi:

1. Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan 1.000.000 bungkus rokok pada tahun

pertama berdirinya, dan 1.600.000 pada tahun ketujuh.

a. Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per

tahun?

b. Berapa produksinya pada tahun ke-11?

c. Pada tahun ke berapakah produksinya 2.500.000 bungkus rokok?

d. Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke-16?

Penyelesaian

Diketahui :

Produksi tahun pertama = U1 = a = 1.000.000 bks

U7 = 1.600.000 bks

Ditanya :

a) Pertambahan produksinya per tahun = b = …?

b) U11 = …?

c) n = …? ; Un = 2.500.000

d) Total Produksi sampai tahun ke-16 (S16) = …?

Jawabn :

a) Un = a + (n-1) b

U7 = 1.000.000 + (7-1) b

1.600.000 = 1.000.000 + 6b

6b = 1.600.000 – 1.000.000

6b = 600.000

b = 600.000 : 6

b = 100.000

Jadi, Tambahan produksi Pabrik Rokok “Kurang Garam” (b) = 100.000 bks/tahun

b) U11 = a + (n-1) b

= 1.000.000 + (11-1) 100.000

= 1000.000 + (10) 100.000


= 2.000.000

Jadi, Produksi pada tahun ke-11 adalah Rp.2.000.000 bks rokok

c) n = …? ; Un = 2.500.000

Un = a + (n-1) b

2.500.000 = 1.000.000 + (n-1) 100.000

2.500.000 – 1.000.000= (n-1) 100.000

1.500.000 : 100.000 = (n-1)

15 = n – 1

n = 16

Jadi, Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan 2.500.000 bks rokok pada tahun ke-

16

d) S16 = …?

Sn = n/2(2a + (n-1) b)

= 16/2[2.(1000.000) + (16-1). 100.000]

= 8 [2.000.000 + (15). 100.000]

= 8 [2.000.000 + 1.500.000]

= 8 [3.500.000]

= 28.000.000

Jadi, jumlah total produksi pabrik rokok “Kurang Garam” selama 16 tahun operasi

sebanyak 28.000.000 bks.

2. Pabrik Kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya.

Karena persaingan keras dari kecap-kecap merk lain, produksinya terus menurun secara

konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol.

a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun?

b. Berapa botol produksi pada tahun pertama?

c. Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)?

d. Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya?

(silakan dicoba)

B. Deret Ukur

Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan

tertentu (dinamakan rasio). Bilangan yang membedakan suku-suku deret ukur dinamakan

pengganda atau rasio, yaitu merupakan hasil bagi nilai suku terhadap nilai suku didepannya.


Ada dua rumus yang digunakan dalam deret ukur:

1. Mencari nilai suku ke n dari deret ukur

Un = a. 𝑟𝑛 – 1

Keterangan:

Un= Suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = indeks suku

Contoh:

Berapa nilai suku yang ke 6 dari deret ukur 2, 4, 8, 16, 32, …

Diket : a = 2 | r = 2 | n = 6

Ditanya : U6?

Jwb : Un = a. 𝑟𝑛 – 1

U6 = 2. 26 – 1

U6 = 2. 25

U6 = 2. 32

U6 = 64

2. Mencari jumlah sampai dengan n suku pertama

Sn = 𝑎 (1 – 𝑟𝑛)

1 – 𝑟

Keterangan:

Sn = Jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = indeks suku

Contoh:

Berapa jumlah 5 suku pertama dari 2, 4, 8, 16, 32, …

Diket : a = 2 | r = 2 | n =5

Dita : S5?

Jwb : S5 = 𝑎 (1 – 𝑟𝑛)

1 – 𝑟

S5 = 2 (1 – 25)

1 – 2

S5 = 2 (1 – 32)

−1

S5 = 2 (−31)

−1

S5 = −62

−1

S5 = 62

C. Penggunaan Deret dalam Ekonomi

Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam

kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau

pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret

hitung atau deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevan ditetapkan untuk

menganalisisnya.

1. Model perkembangan usaha


Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, 6actor, produksi,

biaya, pendapatan, penggunaan tenaga atau penanaman modal, berpola seperti deret hitung

maka prinsip-prinsip deret hitung digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel

tersebut. Berpola deret hitung maksudnya adalah variabel bersangkutan bertambah secara

konstan dari satu 6actor6eke periode berikutnya.

Contoh soal:

Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun

ke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan

tersebut berpola seperti deret hitung, tentukan:

a. berapa perkembangan penerimaannya per tahun?

b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama”

c. Pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta?

Diket : U5 = 720.000.000 | U7 = 980.000.000

Ditanya : b, a, n dari Un = 460.000.000?

Jwb : Un = a + (n – 1) b

720 = a + (5-1) b

980 = a + (7-1) b

720 = a + 4b

980 = a + (6b) –

-260 = -2b

130 = b

Jadi, besar penerimaan pertahun adalah Rp.130.000.000.

720 = a + (5 – 1) b

720 = a + 4 x 130

720 = a + 520

a = 720 – 520

a = 200

Jadi, besar penerimaan pada tahun pertama adalah Rp.200.000.000

460 = 200 + (n – 1) 130

460 = 200 + 130n – 130

460 = 70 + 130n

n = (460-70): 130

n = 390:130

n = 3

Jadi, penerimaan sebesar Rp 460 juta terjadi pada tahun ke-3.

2. Model bunga majemuk

Adalah penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan investasi. Dengan modal ini

dapat dihitung misalnya, besarnya pengembalian tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk

mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimana saja.


Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga

pertahun setingkat (i) maka jumlah akumulatif modal tersebut dimasa datang setelah n

tahun (Fn) dapat dihitung sebagai berikut:

Fn = P (1 + i) n

P = jumlah sekarang

i = tingkat bunga pertahun

n = jumlah tahun

Rumus di atas mengandung anggapan tersirat bahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan

satu kali dalam satu tahun. Apabila bunga diperhitungkan atau dibayarkan lebih dari satu

kali (misal m kali, masing-masing i/m pertermin) dalam satu tahun maka jumlah dimasa

depan menjadi:

Fn = P (1 + 𝑖

𝑚) m.n

m = frekuensi pembayaran bunga dalam satu tahun

Suku (1 + i) dan (1 + 𝑖

𝑚) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk”

(compounding interest factor) yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari satu bilangan yang

dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yang akan datang dari suatu jumlah

sekarang.

Dari rumus diatas dengan manipulasi matematis dapat dihitung nilai sekarang apabila yang

diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (Present Value) dari suatu jumlah uang

tertentu di masa datang adalah:

P = Fn(1

(1+𝑖)𝑛) atau P =Fn (1

(1+𝑖

𝑚)𝑚.𝑛

)

suku 1

(1+𝑖)𝑛 atau 1

(1+𝑖

𝑚)𝑚.𝑛

dinamakan “factor diskon to” (discount factor) yaitu suatu

bilangan yang lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang

dari suatu jumlah dimasa datang.

Contoh Soal 1:

Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4

tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut berapa seluruh

uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan.

a. Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar tiap tahun, berapa jumlah uang yang

harus dikembalikan? Dan berapa banyak uang yang harus dibayarkan setiap tahun?

b. Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang

harus dikembalikan? Dan berapa banyak uang yang harus dibayarkan setiap 4 bulan?

Diket : P=250.000.000 | n=4 | i=12%=0,12

Ditanmya: a. F4 (m=1)

b. F4 (m=3)

Jwb : a. F4=P(1+i)n

F4=250.000.000(1+0,12)4

F4=250.000.000(1,12)4

F4=250.000.000(1,57)

F4=393.379.840


Jadi Pembayaran pertahun adalah 𝟑𝟗𝟑.𝟑𝟕𝟗.𝟖𝟒𝟎

𝟒= 𝟗𝟖. 𝟑𝟒𝟒. 𝟗𝟔𝟎

b. F4= P(1+ 𝑖

𝑚)m.n

F4=250.000.000(1+ 0,12

3)3.4

F4=250.000.000(1+0,04)12

F4=250.000.000(1,04)12

F4=250.000.000(1,601)

F4=400.258.054,64

Jadi Pembayaran perempat bulan adalah 𝟒𝟎𝟎.𝟐𝟓𝟖.𝟎𝟓𝟒,𝟔𝟒

𝟏𝟐= 𝟑𝟑. 𝟑𝟓𝟒. 𝟖𝟑𝟖

Contoh 2:

Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp56.700.000 tiga tahun yang akan datang. Jika

tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat

sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan

nasabah tersebut pada saat sekarang?

Diket : F=56.700.000 | i=6%=0.06 | n=3 | m=2

Ditanya : a. P Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun

b. P pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester

Jwb: a. P=1

(1+𝑖)𝑛F

P=1

(1+0,06)356.700.000

P=56.700.000

(1,06)3

P=56.700.000

1,19

P=47.647.058,82

b. P=1

(1+𝑖

𝑚)𝑛.𝑚

P=1

(1+0,06

2)3.2

F

P=56.700.000

(1,03)6

P=56.700.000

1,19

P=47.647.058,82

Soal:

3. Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 3

tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12% pertahun. Dari data tersebut:

a. Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar tiap tahun, berapa jumlah uang yang

harus dikembalikan? Dan berapa banyak uang yang harus dibayarkan setiap tahun?

b. Berapa seluruh uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat

pelunasan? Apabila perhitungan pembayaran bunga dibayar 3 bulanan. Berapa

jumlah uang yang harus dikembalikan per 3 bulan?


BAB II

FUNGSI

Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan

fungsional) antara satu variabel dengan variabel lainnya.

Contoh: Y = 0,8X + 5

Keterangan:

X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada

variabel lain.

Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalah variabel yang nilainya tergantung pada

variabel lain.

0,8 = adalah koefisien variabel X

5 = adalah konstanta

D. Fungsi Linear

Definisi: Dikatakan fungsi linear apabila variabel X dan Y dalam persamaan tersebut

mempunyai pangkat satu.

Contoh:

y=2x+5

y=-3x+2

Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linear ada dua cara yang perlu diketahui, yaitu:

1. Dengan suatu persamaan linear dapat diperoleh suatu grafik

Misal:

y= - 1

2x+4

Untuk menggambar grafiknya dicari dengan cara: mencari titik potong terhadap sumbu X

dan sumbu Y.

Titik potong terhadap sumbu X, terjadi apabila Y = 0

0= - 1

2x+4

1

2x=4 | x=

41

2

| x=8

Titik potong terhadap sumbu Y, terjadi apabila X = 0

y=- 1

2.0+4 y=4

Setelah ditemukan koordinat pada masing-masing titik potong , kemudian digambar grafik

garis lurusnya.

Fungsi linear gambar kurvanya adalah garis lurus

Jika ada gambar kurva jika ingin diketahui fungsingya harus ada minimal 2 titik yang

dilewati oleh garis tersebut.

Rumusnya 𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1 =

𝑥−𝑥1

𝑥2−𝑥1

2. Dengan suatu grafik linear (garis lurus) didapat persamaan fungsinya.


Maka persamaan fungsi linearnya dapat dicari sebagai berikut: 𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1 =

𝑥−𝑥1

𝑥2−𝑥1

𝑦 − 3

5 − 3=

𝑥 − 2

6 − 2

𝑦 − 3

2=

𝑥 − 2

4

(𝑦 − 3)4 = 2(𝑥 − 2)

4𝑦 − 12 = 2𝑥 − 4

4𝑦 = 2𝑥 + 8

𝒚 =𝟏𝟐 𝒙 + 𝟐

: 4

3. Hubungan dua garis lurus

Dua garis lurus yang sejajar

Dua garis lurus yang berhimpit

Dua garis lurus yang berpotongan

4. Gradien

Adalah koefisien yang menentukan arah garis fungsi linear, biasanya koefisien ini melekat

pada variabel X

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙

𝑠𝑖𝑠𝑖 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

Tanda positif dan negatifnya jika gambar kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

maka nilai gradiennya negatif dan juga sebaliknya

Contoh:

𝑦 = −𝑥 + 3

Jika 𝑥 = 0 𝑦 = 3, koordinat (0,3)


Jika 𝑦 = 0 𝑥 = 3, koordinat (3,0)


BAB III

PENGGUNAAN FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI DAN BISNIS

A. Fungsi Permintaan (Demand Function)

Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang

diminta oleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaitu

selera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwa

apabila harga turun jumlah barang yang diminta oleh konsumen naik, demikian pula

sebaliknya.

1. Pada saat harga turun P1 ke P2, maka permintaan naik dari Q1 ke Q2

2. Pada saat harga naik P1 ke P3, maka per mintaan turun dari Q1 ke Q3

Hal –hal yang perlu diperhatikan

1. P = harga per unit

Q = Quantitas barang

2. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

3. P dan Q positif

4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya

5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga tidak sama dengan kuantitas.

B. Fungsi Penawaran (Supply Function)

Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubungan antara harga dengan jumlah barang yang

ditawarkan kepada konsumen, dengan anggapan faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus).

Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlah barang yang ditawarkan bertambah, demikian

pula sebaliknya.

1. P1 P2 : Jumlah barang yang ditawarkan naik Q1 Q2

2. P1 P3 : Jumlah barang yang ditawarkan turun Q1 Q3

C. Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar)

Definisi: Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan apabila jumlah

barang yang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Secara

matematik dan grafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan :

𝐹𝑆 = 𝐹𝐷


( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan)

Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran. Pada posisi

keseimbangan pasar ini tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) dan Jumlah

keseimbangan (equilibrium quantity).

Soal:

Permintaan terhadap barang XYZ yang terjadi di pasar adalah bila diminta 2000 unit barang, harga

per unit barang Rp.1000 dan bila diminta 500 unit barang, harga menjadi Rp 2500. Sedangkan

penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 6000 unit barang, maka harga per unit

Rp.10.000, tetapi jika ditawarkan 8000 unit barang, maka harganya akan naik menjadi Rp.13.000

per unit. Dari data tersebut tentukan:

a. Fungsi penawaran dan fungsi permintaan?

b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium?

c. Gambar kurvanya.

D. Pajak dan Subsidi

1. Pajak

Definisi: Jenis pungutan yang dilakukan pemerintah terhadap produsen/penjual sehingga

beban pajak akan menambah besarnya biaya yang harus dipikul oleh produsen/penjual.

Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik, kenaikannya sebesar pajak yang dibebankan

Pajak ada 2 macam

Pajak Per unit (𝑡)

Definisi: Pajak yang dikenakan terhadap suatu barang yang besarnya tetap untuk setiap

unit barang

Sebelum pajak :

FS 𝑃 = 𝑎𝑄 + 𝑏

Setelah pajak:

FSt 𝑃𝑡 = (𝑎𝑄 + 𝑏) + 𝑡

Khusus Pajak Per unit

Pajak yang ditanggung konsumen:(𝑃𝑡 – 𝑃) 𝑄𝑡

Pajak yang ditanggung produsen: (𝑄𝑡 . 𝑡) − (𝑃𝑡 – 𝑃) 𝑄𝑡

Pajak yang diterima pemerintah: 𝑄𝑡. 𝑡

Pajak Persentase


Definisi: Pajak yang dipungut pemerintah dengan persentase yang tetap terhadap

penjualan. Pajak persentase (r)

Sebelum pajak : FS 𝑃 = 𝑎𝑄 + 𝑏

Setelah Pajak : FSr 𝑃 = (𝑎𝑄 + 𝑏)( 1 + 𝑟 )

2. Subsidi (S)

Definisi: Subsidi merupakan kebalikan dari pajak, pengaruhnya terhadap keseimbangan

pasar berbalikan dengan pengaruh pajak. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan

suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi rendah. Dengan adanya

subsidi, produsen merasa ongkos produksinya menjadi lebih kecil sehingga bersedia

menjual lebih murah.

Sebelum subsidi : FS 𝑃 = 𝑎𝑄 + 𝑏

Setelah Subsidi : FSs 𝑃 = 𝑎𝑄 + 𝑏 – 𝑆

Soal:

1. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang,

harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40,

sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per

unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit.

Dari data tersebut tentukan:

a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan?


c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga

dan kuantitas barang yang baru.

d. Gambar kurvanya.

Jawaban:

a. 𝑃−𝑃1

𝑃−𝑃1=

𝑄−𝑄1

𝑄−𝑄1

Fungsi Permintaan FD 𝑄1 = 20 𝑃1 = 80

𝑄2 = 60 𝑃2 = 40


𝑃 − 80

40 − 80=

𝑄 − 20

60 − 20

𝑃 − 80

−40=

𝑄 − 20

40

(𝑃 − 40)40 = −40(𝑄 − 20)

40𝑃 − 3200 = −40𝑄 + 800

40𝑃 = −40𝑄 + 800 + 3600

40𝑃 = −40𝑄 + 4000

𝑷 = −𝑸 + 𝟏𝟎𝟎: 40

Fungsi Penawaran FS 𝑄1 = 90 𝑃1 = 40

𝑄2 = 120 𝑃2 = 60

𝑃 − 40

60 − 40=

𝑄 − 90

120 − 90

𝑃 − 40

20=

𝑄 − 90

30

(𝑃 − 40)30 = 20(𝑄 − 20)

30𝑃 − 1200 = 20𝑄 − 40

30𝑃 = 20𝑄 − 40 + 120

30𝑃 = 20𝑄 + 1160

𝑷 =𝟐𝟑

𝑸 + 𝟐𝟎: 30

b. 𝐹𝑆 = 𝐹𝐷

2

3𝑄 − 20 = −𝑄 + 100

2

3𝑄 + 𝑄 = 100 + 20

2

3𝑄 +

3

3𝑄 = 120

5

3𝑄 = 120

𝑄 =120

53

𝑄 =360

5

𝑸 = 𝟕𝟐

𝑃 = −𝑄 + 100

𝑃 = −72 + 100

𝑷 = 𝟐𝟖

c. FD 𝑃 = −𝑄 + 100

FS 𝑃 =2

3𝑄 + 20

E(72,28)

FSt 𝑃 =2

3𝑄 + 20 + 5

𝑷 =𝟐

𝟑𝑸 − 𝟏𝟓

EFSt=FD

2

3𝑄 − 15 = −𝑄 + 100

5

3𝑄 = 115

𝑄 =345

4

𝑸 = 𝟔𝟗

𝑃 = −𝑄 + 100

𝑃 = −69 + 100

𝑷 = 𝟑𝟏

Et(69,31)


FD 𝑃 = −𝑄 + 100

𝑄 = 0 → 𝑃 = 1𝑂𝑂

𝑃 = 0 → 𝑄 = 100

FS 𝑃 =2

3𝑄 − 20

𝑄 = 0 → 𝑃 = −20

𝑃 = 0 → 𝑄 = 30

FSt 𝑃 =2

3𝑄 − 15

𝑄 = 0 → 𝑃 = −15

𝑃 = 0 → 𝑄 = 22,5

d. FD 𝑃 = −𝑄 + 100 → 𝑄 = 0𝑃 = 0

𝑃 = 100𝑄 = 100

FS 𝑃 =2

3𝑄 − 20 →

𝑄 = 0𝑃 = 0

𝑃 = −20𝑄 = 30

2. Suatu perusahaan mobil ABC mempunyai data tentang fluktuasi penjualan sebagai berikut.

Permintaan dan penawaran terhadap mobil yang terjadi di pasar disajikan dalam Tabel

Penawaran dan Tabel Permintaan berikut.

Tabel Penawaran Tabel Permintaan

Prize (P) Quantity (Q) Prize (P) Quantity (Q)

150juta 800 unit 180 juta 900 unit

190juta 1200 unit 160 juta 1100 unit

Dari data tersebut tentukan

a. Fungsi penawaran dan fungsi permintaannya.

b. Harga dan kuantitas barang pada market equilibrium.

c. Apabila barang tersebut dikenakan pajak sebesar 10% per unit, tentukan harga dan

kuantitas barang pada market equilibriumnya.

d. Apabila barang tersebut dikenakan subsidi sebesar 5juta per unit, tentukan harga dan

kuantitas barang pada market equilibriumnya (asumsi tanpa pajak).

e. Gambar kurvanya.


BAB IV

ANALISIS BREAK EVEN POINT (BEP)

E. Fungsi Biaya

Fungsi biaya menunjukkan hubungan antara biaya total dengan tingkat outputnya (produksi

yang dihasilkan).

Fungsi biaya terdiri dari :

Total Cost (TC)

adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara keseluruhan dalam memproduksi suatu

barang.

Variabel Cost (VC)

adalah biaya yang dikeluarkan produsen secara berubah-ubah sesuai dengan besar

kecilnya produksi yang dihasilkan.

Fixed Cost (FC)

adalah biaya yang dikeluarkan perusahaan secara tetap (tanah, gedung, mesin).

Secara Grafis hubungan ketiga fungsi biaya tersebut adalah sebagai berikut:

Keterangan:

TC,VC,FC adalah pengganti sumbu Y.

Q adalah pengganti sumbu X.

FC garis sejajar dengan Q, karena FC tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya produksi.

VC adalah garis yang berpusat pada titik 0, karena jumlah pengeluarannya tergantung

dari kuantitas yang dihasilkan, jadi apabila tidak berproduksi, maka VC = 0

Bentuk umum fungsi biaya linear:

𝑇𝐶 = 𝑎𝑄 + 𝑏

Dimana: TC = Total Cost

Q = Kuantitas yang dihasilkan

𝑎 = Variabel cost

𝑏 = Fixed cost


F. Fungsi Penerimaan (Revenue)

Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara penerimaan total dengan hasil penjualan

produksinya. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:

Keterangan:

Grafik TR dimulai dari titik 0, karena pada saat produsen tidak menjual barang hasil

produksinya adalah 0, maka TR nya juga 0.

G. Analisis Break Even Point (BEP).

BEP terjadi apabila garis Total Cost (TC) bertemu dengan garis Total Revenue (TR) dalam

satu titik, yaitu titik yang menunjukkan keadaan tingkat penerimaan sama dengan biaya yang

dikeluarkan. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:

Soal 1

Fixed Cost suatu toko sepatu : Rp.500.000. Variable cost Rp.10.000 / unit. Sedangkan

harga jual Rp. 20.000 / unit. Tentukan BEP per unitnya.

Soal 2

Perusahaan “Usaha Maju” memiliki data biaya dan rencana produksi sebagai berikut.

a. Biaya Tetap sebulan adalah sebesar Rp.140juta yaitu terdiri dari :

biaya gaji pegawai + pemilik = Rp.75.000.000

biaya penyusutan mobil kijang = Rp. 1.500.000

biaya asuransi kesehatan = Rp.15.000.000

biaya sewa gedung kantor = Rp.18.500.000

biaya sewa pabrik = Rp.30.000.000

b. Biaya variable per unit Rp. 75,000.00 yaitu terdiri dari :

biaya bahan baku = Rp.35.000

biaya tenaga kerja langsung = Rp.25.000

biaya lain = Rp.15.000

Harga Jual per Unit Rp.95.000.

Tentukan BEP perusahaan tersebut.

TR laba

TC

BEP rugi


BAB V

FUNGSI KONSUMSI, FUNGSI TABUNGAN DAN PENDAPATAN NASIONAL

Seorang ahli dalam bidang ekonomi bernama Keyness, mempunyai pendapat bahwa pengeluaran

seseorang untuk konsumsi dipengaruhi oleh pendapatannya. Semakin tinggi tingkat pendapatan

maka tingkat konsumsinya juga semakin tinggi. Sejalan dengan pemikiran tersebut dapat

dimengerti bahwa seorang yang tingkat pendapatannya semakin tinggi, semakin besar pula

tabungannya karena tabungan merupakan bagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan.

H. Fungsi Konsumsi

Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan dapat ditulis

sebagai berikut:

𝐶 = 𝑎 + 𝑏𝑌 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0)

Keterangan :

Y = Pendapatan

C = Pengeluaran untuk konsumsi

a = Besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol.

b = MPC (Marginal Propensity to Consume) Besarnya tambahan konsumsi karena adanya

tambahan pendapatan.

I. Fungsi Tabungan (Saving)

Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara pendapatan dengan tabungan (saving),

secara matematis fungsi tabungan dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:

Y = Pendapatan

C = Konsumsi

S = Tabungan

( 1 – b ) = MPS (Marginal Propensity to Save)

Rasio tambahan tabungan terhadap bertambahnya pendapatan

Secara Grafis hubungan pendapatan, konsumsi dan tabungan

digambarkan sebagai berikut:

Keterangan :

C dan S adalah konsumsi dan tabungan sebagai pengganti sumbu Y

Y adalah pendapatan sebagai pengganti sumbu X

a adalah besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan 0

Y sama dengan C adalah garis impas karena semua titik pada garis tersebut menunjukkan

bahwa semua pendapatan habis dikonsumsikan.

C/S

a

0

E

Y = C

𝐶 = 𝑎 + 𝑏𝑌

𝑆 = −𝑎 + (1 − 𝑏)𝑌

YE Y

𝑌 = 𝐶 + 𝑆

𝑆 = 𝑌 – 𝐶

𝑆 = 𝑌 – ( 𝑎 + 𝑏𝑌 )

𝑆 = 𝑌 – 𝑎 – 𝑏𝑌

𝑆 = − 𝑎 + 𝑌 – 𝑏𝑌

𝑆 = − 𝑎 + (1 – 𝑏 ) 𝑌


E adalah titik impas yaitu titik perpotongan antara garis konsumsi dengan garis impas.

Pada titik tersebut semua pendapatan habis dikonsumsikan atau tabungan sama dengan

nol.

C = a + bY adalah garis konsumsi

S = -a + ( 1 - b ) Y adalah garis fungsi tabungan

YE = adalah besarnya pendapatan yang hanya cukup untuk konsumsi

Skala konsumsi (C), Skala Saving (S) = Skala Pendapatan (Y)

J. Pendapatan Nasional

Pendapatan Nasional pada dasarnya merupakan penjumlahan total dari pendapatan semua

sektor di dalam satu negara, meliputi sektor rumah tangga(orang-perseorangan), sektor

badan usaha dan sektor pemerintah

Pendapatan Disposabel (Yd)

Adalah pendapatan nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat, tidak

termasuk didalamnya pendapatan yang mempengaruhi besarnya Yd yaitu pajak dan

transfer payment. Ada 4 keadaan yang mempengaruhi pendapatan :

Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat

dilambangkan oleh C.

Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh

perusahaan dilambangkan oleh I.

Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah

dilambangkan oleh G.

Pengeluaran perdangan dengan luar negeri tercermin dari selisih antara ekspor dan

impor negara yang bersangkutan dilambangkan oleh (X – M).

Dengan demikian persamaan pendapatan nasional menurut pendekatan pengeluaran

adalah sebagai berikut:

Untuk perekonomian 2 sektor (model perekonomian sederhana), 𝑌 = 𝐶 + 𝐼

Untuk perekonomian 3 sektor (model perekonomian tertutup), 𝑌 = 𝐶 + 𝐼 + 𝐺

Untuk perekonomian 4 sektor (model perekonomian terbuka)

𝑌 = 𝐶 + 𝐼 + 𝐺 + ( 𝑋 – 𝑀 )

Persamaan Pendapatan Nasional

Adalah persamaan yang menggambarkan jumlah seluruhkeluaran (barang dan jasa)yang

dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Pengeluaran tersebut terdiri

dari:

Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat

dilambangkan oleh C.

Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh

perusahaan dilambangkan oleh I.

Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah

dilambangkan oleh G.

Tidak ada pajak maupun transfer payment

𝑌𝑑 = 𝑌

Hanya ada pajak


𝑌𝑑 = 𝑌 – 𝑇

Hanya ada transfer payment

𝑌𝑑 = 𝑌 + 𝑅

Ada pajak dan Transfer payment

𝑌𝑑 = 𝑌 – 𝑇 + 𝑅

Soal.

1. Pada tingkat pendapatan Rp. 500.000,00 besarnya konsumsi Rp. 400.000,00 dan pada tingkat

pendapatan Rp. 1.000.000,00 besarnya konsumsi Rp. 600.000,00. Berdasarkan data tersebut

fungsi konsumsinya adalah ...

2. Diketahui fungsi konsumsi masyarakat adalah C = 60 milyar + 0,7 Y. Jika pendapatan nasionalnya

Rp. 300.000 milyar maka besarnya tabungan masyarakat adalah ...

3. Diketahui fungsi konsumsi C = 200.000,00 + 0,70 S. Jika besarnya tabungan masyarakat Rp.

100.000,00 maka besarnya konsumsi adalah ...

4. Jika diketahui fungsi konsumsi C = 100 + 0,75 Y maka pendapatan saat Break Even Income

adalah ...

5. Jika diketahui fungsi konsumsi C = 200 + 0,80 Y maka pendapatan pada saat Break Even Income

adalah ...

6. Jika diketahui fungsi konsumsi C = 500 + 0,75 Y maka pendapatan pada saat Break Even Income

adalah ...

7. Jika diketahui fungsi konsumsi C = 100 + 0,75 Y maka MPC adalah ...

8. Jika diketahui fungsi konsumsi S = -100 + 0,25 Y maka MPC adalah ...

9. Jika diketahui fungsi konsumsi S = -100 + 0,25 Y maka MPS adalah ...

10. Dalam suatu masyarakat memiliki fungsi konsumsi sebesar C = 70.000 + 0,25y. Kemudian,

pendapatan nasional Negara tersebut adalah Rp 160.000,00. Maka tentukan besar tabungan

masyarakat!

11. Saat Budi memiliki pendapatan sebesar $ 5,000, dia memiliki tabungan sebesar $ 1,500 .

Kemudian, pendapatan Badrun naik menjadi $ 8,000, karena itu tabungannya naik menjadi $

2,700. Tentukan fungsi konsumsi dari YoonA!

12. Michael Essien, memiliki pendapatan sebesar $ 1,000,000 dengan pendapatan hasil bermainnya

di klub besar Real Madrid, dia mengkonsumsi banyak benda dengan menghabiskan $ 1,300,000.

Tapi ketika dia naik gaji karena berhasil menjebol gawang Hendro Kartiko, pendapatannya naik

menjadi $ 1,250,000 tapi besar konsumsinya pun naik demi memenuhi hasrat laparnya sebesar

$ 1,500,000. Tentukan pendapatan Essien pada titik keseimbangan antara pendapatan dan

konsumsi yang dilakukan Essien !


BAB VI

FUNGSI KUADRAT (PARABOLA)

Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi

dituliskan sebagai f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, dan c elemen bilangan Real, dengan 𝑎 ≠ 0

. Sifat matematis dari persamaan kuadrat yang menentukan bentuk kurva parabolanya adalah

koefisien a dan diskriminan D = b2 – 4ac.

Jika a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas, sedangkan jika a < 0, maka kurva

parabolanya terbuka ke bawah. Jadi jika a > 0 akan ada titik ekstrim minimum dan jika a <

0 akan ada titik ekstrim maksimum.

Jika D > 0, maka kurva parabola memotong sumbu-x di dua titik berbeda, jika D = 0, maka

kurva parabola akan memotong sumbu-x di satu titik, dan jika D < 0, maka kurva parabola

tidak memotong sumbu-x.

f(x) f(x) f(x)

a > 0 a > 0 a > 0

D > 0 D = 0 D < 0

0 x 0 x 0 x

f(x) f(x) f(x)

a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0

a < 0 0 x 0 x

D > 0

0 x

Kurva parabola adalah kurva untuk fungsi kuadrat, sedangkan fungsi kuadrat adalah salah satu

fungsi non linear, dimana variabel bebas (x) berpangkat paling tinggi dua.

Untuk menggambarkan kurva parabola suatu fungsi kuadrat dapat ditempuh dua cara, yaitu:

1. Tracing process curve, yaitu dengan menentukan lebih dulu nilai x, kemudian

disubstitusikan ke dalam fungsinya sehingga diperoleh nilai y. Cara ini kurang efisien,

karena diperlukan beberapa pasangan x dan y yang cukup banyak, paling sedikit 8 pasangan


x dan y. Misalkan untuk menggambarkan kurva parabola dari fungsi kuadrat: y = x2 – 5x

+ 6 digunakan pasangan x dan y sebagai berikut:

x – 2 – 1 0 1 2.5 2 3 4 5

y 20 12 6 2 – 0.25 0 0 2 6

Sehingga bila koordinat (x,y) diplot ke dalam koordinat kartesius akan diperoleh kurva

sebagai berikut:

y y = x2 – 5x + 6

(0,6)

0 2 3 x

(2.5;-0.25)

2. Dengan menggunakan sifat-sifat matematis fungsi kuadrat, sebagai berikut

1) Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y dengan memisalkan x = 0

2) Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x dengan memisalkan y = 0, sehingga ax2 +

bx + c = 0 akan memiliki tiga kemungkinan solusi, yaitu:

Bila diskriminan D = b2 – 4 ac > 0, maka akan terdapat dua titik potong kurva dengan

sumbu x yang diperoleh dengan rumus berikut:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Bila D = 0, maka akan ada satu titik potong kurva dengan sumbu x, yaitu:

𝑥1 = 𝑥2 =−𝑏

2𝑎

Bila D < 0, maka tidak akan ada titik potong kurva dengan sumbu x

3) Titik ekstrim kurva parabola diperoleh dengan rumus:

(−𝑏

2𝑎,−𝐷

4𝑎)

4) Tentukan sumbu simetris yang membagi kurva parabola menjadi dua bagian yang sama.

Garis sumbu simetris ini melewati titik ekstrim, persamaan garis simetris ini adalah:

𝑥 =−𝑏

2𝑎

Diketahui fungsi kuadrat y = – x 2 + 6x – 9, gambarkan kurva fungsi kuadrat tersebut dengan

menggunakan sifat-sifat matematis.

1) Titik potong kurva dengan sumbu y,


misalkan x = 0 → y = – 9, sehingga titik potongnya (0,−9)

2) Titik potong kurva dengan sumbu x,

misalkan y = 0 → – x2 + 6x – 9 = 0

karena D = b2 – 4ac

D = 36 – 4(– 1)(– 9) = 0, maka hanya ada satu titik potong yaitu

x1 = x2 = −𝑏

2𝑎=

−6

2 = 3 → (3,0)

3) Titik ekstrimnya merupakan titik ekstrim maksimum → (3,0)

4) Sumbu simetrisnya adalah x = 3

y

(3,0) x

y = – x 2 + 6x – 9 (0,-9)

APLIKASI KURVA PARABOLA (FUNGSI KUADRAT) DALAM EKONOMI

Aplikasi fungsi kuadrat dalam bisnis dan ekonomi diantaranya:

Fungsi permintaan

Fungsi penawaran

Keseimbangan pasar

Kurva transformasi produk atau kurva kemungkinan produksi

FUNGSI PERMINTAAN

Contoh 1:

Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah y = x2 – 7x + 12 dimana y adalah harga (P) dan

x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya.

Titik potong dengan sumbu-y: Misalkan x = 0 → y = 12 → titik potong (0,12)

Titik potong dengan sumbu-x: Misalkan y = 0 → x2 – 7x + 12 = 0

Karena D = 49 – 4(1)(12) = 1 → D > 0, maka ada dua titik potong dengan sumbu x, yaitu:

x2 – 7x + 12 = 0 → (x – 3)(x – 4) = 0 → x1 = 3 dan x2 = 4 → titik potong (3,0) dan (4,0)

Karena a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas → Titik ekstrim minimum


(−𝑏

2𝑎,

−𝐷

4𝑎) → (

7

2, −

1

4)

y

(0,12)

y = x2 – 7x + 12

0 (3,0) (4,0) x

Berdasarkan kurva permintaan di atas, tampak bahwa fungsi permintaan y = x2 – 7x + 12 berlaku

untuk interval jumlah permintaan 0 ≤ x ≤ 3 dan harga permintaan 0 ≤ y ≤ 12

Atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan:

P = Q2 – 7Q + 12 untuk 0 ≤ Q ≤ 3 dan 0 ≤ P ≤ 12

Contoh 2:

Diketahui fungsi permintaan suatu barang y = – x2 – x + 12, dimana y adalah harga (P) dan x

adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya.

Titik potong dengan sumbu y: Misalkan x = 0 → y = 12 →titik potong (0,12)

Titik potong dengan sumbu x: Misalkan y = 0 → – x2 – x + 12 = 0

Karena D = 1 – 4(– 1) (12) = 49 → D > 0, maka terdapat dua titik potong dengan sumbu x,

yaitu:

– x2 – x + 12 = 0

(x + 4)(– x + 3) = 0

x1 = – 4 dan x2 = 3

titik potong (– 4,0) dan (3,0)

Karena a < 0, maka kurva parabola terbuka ke bawah → titik ekstrim maksimum

(−𝑏

2𝑎,−𝐷

4𝑎) → (−

1

2,49

4)


y

(0,12)

y = – x2 – x + 12

(– 4, 0) 0 (3,0) x

Berdasarkan kurva permintaan di atas, tampak bahwa fungsi permintaan y = – x2 – x + 12 berlaku

untuk interval jumlah permintaan 0 ≤ x ≤ 3 dan harga permintaan 0 ≤ y ≤ 12

Atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan:

P = – Q2 – Q + 12 untuk 0 ≤ Q ≤ 3 dan 0 ≤ P ≤ 12

FUNGSI PENAWARAN

Diketahui fungsi penawaran sejenis barang adalah y = x2 + 3x + 2, dimana y adalah harga (P) dan

x adalah kuantitas (Q). Gambarkan kurvanya.

Titik potong dengan sumbu y: Misalkan x = 0 → y = 2

Titik potong dengan sumbu x: Misalkan y = 0 → x2 + 3x + 2 = 0

Karena D = 9 – 4(1) (2) = 1 → D > 0, maka terdapat dua titik potong dengan sumbu x, yaitu:

x2 + 3x + 2 = 0 → (x + 1)( x + 2) = 0 → → x1 = – 1 dan x2 = – 2 → titik potong (– 1,0) dan (–

2,0)

Karena a > 0, maka kurva parabola terbuka ke atas → titik ekstrim minimum

(−𝑏

2𝑎,−𝐷

4𝑎) → (−

3

2, −

1

4)


y

y = x2 + 3x + 2

(0,2)

(–2,0) (–1,0) 0 x

Berdasarkan kurva penawaran di atas, tampak bahwa fungsi penawaran y = x2 + 3x + 2 berlaku

untuk interval jumlah penawaran x ≥ 0 dan harga permintaan y ≥ 2

atau fungsi permintaan di atas dinyatakan dengan:

P = Q2 + 3Q + 2 untuk Q ≥ 0 dan P ≥ 2

KESEIMBANGAN PASAR (MARKET EQUILIBRIUM)

Keseimbangan pasar terjadi ketika jumlah permintaan sama dengan jumlah penawaran atau Qd

= Qs, harga yang tercipta pada keseimbangan pasar merupakan harga keseimbangan (Pe).

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran sejenis barang adalah:

FD: y = x2 – 7x + 12

FS: y = x2 + 3x + 2

Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya.

Jawab: Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps, sehingga keseimbangan pasar

dapat diselesaikan dengan substitusi:

x2 – 7x + 12 = x2 + 3x + 2

10x = 10

x =1

y dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x = 1 ke dalam fungsi permintaan atau fungsi

penawaran, sehingga diperoleh nilai y sebagai y = (1)2 + 3(1) + 2 =6. Jadi keseimbangan pasar

tercapai pada E(1,6).


y

(0,12) y = x2 + 3x + 2

y = x2 – 7x + 12

–2 –1 0 1 3 4 x

Latihan Soal:

Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan kurvanya, jika diketahui fungsi permintaan

dan penawarannya adalah:

1. FD: 2Q + P – 10 = 0 dan FS: P2 – 8Q – 4 = 0

2. FD: Q2 + 5Q – P + 1 = 0 dan FS: 2Q2 + P – 9 = 0

3. FD: P2 + P + Q – 20 = 0 dan FS: 2P2 – Q – 3P – 4 = 0

KURVA TRANSFORMASI PRODUK (PRODUCT TRANSFORMATION CURVE)

Kurva transformasi produk menunjukkan bagaimana suatu perusahaan berdasarkan proses

produksinya menetapkan kombinasi jumlah setiap jenis barang yang dihasilkannya, sesuai

dengan sumber daya (kapital, tenaga kerja, bahan baku, energi, manajemen, teknologi, dan

sebagainya) yang dimilikinya.

Jika suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang, misalnya x dan y, dengan menggunakan

bahan baku dan tenaga kerja tertentu, maka hubungan kuantitas atau kombinasi kuantitas kedua

jenis barang tersebut akan membentuk kurva transformasi produk atau disebut juga sebagai

kurva kemungkinan produksi (production possibility curve).

Hubungan x dan y atau kombinasi x dan y yang diproduksi digambarkan sebagai curve

cembung (concave curve), yaitu curve yang terbuka ke bawah mengarah ke titik origin (titik 0).

y

0 x

Berdasarkan kurva tersebut tampak bahwa jika jumlah produksi x ditambah, maka jumlah

produksi y akan berkurang, demikian sebaliknya.

Contoh soal:

E 6


Suatu perusahaan melamine memproduksi dua jenis barang yaitu piring (P) dan gelas (G), jika

diketahui kurva transformasi produk untuk perusahaan tersebut: P2 + 3P + 5G = 130.

Tentukanlah:

1. Jumlah maksimum piring yang dapat diproduksi

2. Jumlah maksimum gelas yang dapat diproduksi

3. Jumlah maksimum piring yang diproduksi, jika diproduksi 18 gelas

4. Jumlah maksimum gelas yang diproduksi, jika diproduksi 7 piring

5. Gambarkan kurva transformasi produk tersebut

Jawab :

1. Perusahaan tersebut akan memproduksi piring dalam jumlah maksimum bila G = 0 (gelas

tidak diproduksi, sehingga P2 + 3P + 5(0) = 130 → P2 + 3P – 130 = 0

𝑃1,2 =−3 ± √32 − 4(1)(−130)

2(1)

𝑃1,2 =−3 ± √529

2→ 𝑃1,2 =

−3 ± 23

2→ 𝑃1 = 10 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃2 = −13

Jadi jumlah maksimum piring yang diproduksi sebanyak 10 unit

2. Produksi gelas maksimum akan tercapai bila P = 0 (piring tidak diproduksi), sehingga:

P2 + 3P + 5G = 130

0 + 0 + 5G = 130

G = 26

Jadi jumlah maksimum gelas yang diproduksi sebanyak 26 unit

3. Bila diproduksi gelas G = 18, maka:

P2 + 3P + 5G = 130 → P2 + 3P + 5(18) = 130 → P2 + 3P − 40 = 0

𝑃1,2 =−3 ± √32 − 4(1)(−40)

2(1)

𝑃1,2 =−3 ± √169

2→ 𝑃1,2 =

−3 ± 13

2→ 𝑃1 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑃2 = −8

Jadi jumlah maksimum piring yang diproduksi bila G = 18 adalah 5 unit

4. Bila diproduksi P =7, maka:

P2 + 3P + 5G = 130 → 72 + 3(7) + 5G = 130 → 5G = 60 → G = 12

Jadi jumlah maksimum gelas yang diproduksi bila P = 7 adalah 12 unit

5. Gambar kurvanya: Gelas

Piring

APLIKASI FUNGSI KUADRAT

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang adalah:

FD: 2Q + P – 10 = 0

26

10

(5,18)

(7,12)


FS: P2 – 8Q – 4 = 0

Jika pemerintah membebankan pajak proporsional t = 20%, maka tentukan:

1. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak.

2. Besarnya pajak per unit dan total pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen

maupun produsen.

3. Gambarkan kurvanya.

Jawab:

1. Keseimbangan pasar sebelum pajak

2Q + P – 10 = 0 → 𝑄 = −1

2𝑃 + 5

P2 – 8Q – 4 = 0 → 𝑄 =1

8𝑃2 −

1

2

QS = QD

−1

2𝑃 + 5 =

1

8𝑃2 −

1

2

−4𝑃 + 40 = 𝑃2 − 4

−𝑃2 − 4𝑃 + 44 = 0

Dengan rumus abc diperoleh: 𝑃1,2 =4±√16−4(−1)(44)

2(−1) →𝑃1,2 =

4±√192

2(−1)

𝑃1 =4+√192

2(−1)= −8,92820323 ≈ 𝑃1 = −8,93

𝑃1,2 =4−√192

2(−1)= 4,92820323 ≈ 𝑃2 = 4,93 → P = 4,93

Untuk mendapatkan Q, substitusikan P = 4.92820323 ke 𝑄 = −1

2𝑃 + 5 sehingga diperoleh:

𝑄 = −1

2(4,92820323) + 5 = 2,535898385 ≈ 𝑄 = 2,54

Jadi keseimbangan sebelum pajak tercapai pada P = 4,93 dan Q = 2,54 atau titik

keseimbangan pasar sebelum pajak adalah: E(2,54; 4,93).

Keseimbangan sesudah pajak

Adanya pajak akan mengubah fungsi penawaran menjadi:

P2 – 8Q – 4 = 0 → 𝑃 = √8𝑄 + 4 → 𝑃 = 1.2√8𝑄 + 4

𝑃2 = 1.44(8𝑄 + 4) → 𝑃2 − 11.52𝑄 − 5.76 = 0

Fungsi permintaan 2Q + P – 10 = 0 → P = – 2Q + 10

Keseimbangan pasar sesudah pajak diperoleh dengan mensubstitusi persamaan P = – 2Q +

10 ke dalam persamaan 𝑃2 − 11.52𝑄 − 5.76 = 0 sehingga diperoleh:

(−2𝑄 + 10)2 − 11.52𝑄 − 5.76 = 0 → 4Q2 – 40Q + 100 – 11.52Q – 5.76 = 0

4Q2 – 51.52Q + 94.24 = 0 → Q2 – 12.88Q + 23.56 = 0


dengan rumus abc diperoleh: 𝑄1,2 =12,88±√(−12.88)2−4(1)(23.56)

2(1)

𝑄1,2 =12,88±√71,6544

2 → 𝑄1 =

12,88+√71,6544

2= 10,6724461

Kemudian substitusikan Q = 10,6724461 ke persamaan P = – 2Q + 10

P = – 2(10,6724461) + 10 → P = – 11,3448922

Karena P bernilai negatif, maka Q = 10,6724461 tidak diambil, selanjutnya dihitung

𝑄2 =12,88−√71,6544

2= 2,207553899 → Q = 2,207553899

Kemudian substitusikan Q = 2,207553899 ke persamaan P = – 2Q + 10

P = – 2(2,207553899) + 10

P = 5,584892202

(Harga keseimbangan pasar setelah kena pajak)

Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada saat P = 5,58 dan Q = 2,21 atau titik

keseimbangan pasar sesudah pajak E’(2,21 ; 5,58)

2. Lihat gambar kurvanya, Q = 2,207553899 substitusikan ke dalam persamaan fungsi

penawaran P2 – 8Q – 4 = 0, sehingga diperoleh:

P2 – 8(2,207553899) – 4 = 0 → 𝑃 = ±√21,66043119 = 4,654076836 ≈ P = 4,65

Pajak per unit: 𝑡 =20%

100%+20%(5,584892202)

=2

12(5,584892202)

= 0,930815367 ≈ 𝑡 = 0,93

Pajak per unit yang ditanggung konsumen tercermin dari adanya kenaikan harga sebesar:

tk = 5,584892202 – 4,92820323

= 0,656688972 ≈ tk = 0,66.

Pajak per unit yang ditanggung produsen tercermin dari perbedaan:

tp = 4,92820323 – 4,654076836

= 0.274126394 ≈ tp = 0.27

atau tp = 0.93 – 0.66 = 0.27

Total pajak yang ditanggung konsumen: Tk = 0,656688972(2,207553899)

Tk = 1.449676301 ≈ Tk = 1.45

Total pajak yang ditanggung produsen: Tp = 0.274126394(2.207553899)

Tp = 0.605148789 ≈ Tp = 0.61


3. Gambar kurvanya:

P

Q

Kurva fungsi permintaan:

2Q + P – 10 = 0 → perpotongan dengan sb-P misalkan Q = 0 → P = 10 dan perpotongan dengan

sb-Q misalkan P = 0 → Q = 5

Kurva fungsi penawaran sebelum pajak:

P2 – 8Q – 4 = 0 → perpotongan dengan sb-P misalkan Q = 0 → P2 = 4 → P = ± 2 dan

perpotongan dengan sb-Q misalkan P = 0 → Q = – ½

Kurva fungsi penawaran sesudah pajak:

𝑃2 − 11.52𝑄 − 5.76 = 0 → perpotongan dengan sb-P misalkan Q = 0

P2 = 5.76 → P = ± 2.4 dan perpotongan dengan sb-Q misalkan P = 0 → Q = – ½

SOAL LATIHAN

Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran sejenis barang adalah:

D: 2Q2 + P – 9 = 0

S: Q2 + 5Q – P + 1 = 0

Jika pemerintah membebankan pajak proporsional t = 20%, maka tentukan:

1. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak.

2. Besarnya pajak per unit dan total pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen

maupun produsen.

3. Gambarkan kurvanya.

10

5 2.54

E(2.54;4.93) 4.93

- 0.5

2

-2

2Q + P – 10 = 0

E’(2.21;5.58)

2.21

5.58 P2 – 8Q – 4 = 0

P2 – 11.52Q – 5.76 = 0


BAB VII

APLIKASI TURUNAN FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS

A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR SATU VARIABEL

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛

𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1

Keterangan:

𝑓′(𝑥) = turunan pertama dari fungsi 𝑓(𝑥)

𝑎 dan 𝑛 adalah suatu konstanta

Sifat-sifat yang sering digunakan untuk turanan fungsi dalam ekonomi dan bisnis:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑔(𝑥) maka 𝑓’(𝑥) = 𝑐. 𝑔’(𝑥), di mana 𝑐 adalah konstanta.

2. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ± ℎ(𝑥) maka 𝑓’(𝑥) = 𝑔’(𝑥) ± ℎ(𝑥)

Keterangan:

𝑓’(𝑥), 𝑔’(𝑥), dan ℎ’(𝑥) berturut-turut adalah turunan dari fungsi 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), dan ℎ(𝑥)

B. ANALISIS BIAYA MARGINAL / MARGINAL COST (MC)

Biaya marginal dapat juga dikatakan sebagai biaya pertambahan (incremental cost). Biaya

marginal merupakan besarnya tambahan biaya produksi yang dikeluarkan untuk menambah

produksi sebanyak satu unit produksi tambahan. Secara matematis, MC adalah turunan

pertama dari fungsi Biaya Total (TC) atau C. Biaya marginal dapat dihitung dengan

menggunakan rumus:

𝑇𝐶 = 𝑎𝑄𝑛

𝑀𝐶 = 𝑇𝐶′ =𝑑𝑇𝐶

𝑑𝑄= 𝑎𝑛𝑄𝑛−1

Maka, 𝑇𝐶 minimum tercapai pada saat 𝑀𝐶 = 0.

LATIHAN SOAL:

1. Total biata produksi suatu komoditi untuk Q unit dinyatakan oleh

𝑇𝐶 = 4 + 3𝑄 + 𝑄2

Jika TC dalam satuan ribu rupiah, tentukan:

a. Fungsi Biaya Marginal.

b. Fungsi Biaya Rata-Rata (AC)

c. TC, MC, dan AC pada saat memproduksi 10 unit.

Jawab :

a. 𝑀𝐶 = 𝑇𝐶’

=𝑑(4 + 3𝑄 + 𝑄2)

𝑑𝑄

= 3 + 2𝑄


b. 𝐴𝐶 =4+3𝑄+ 𝑄

2

𝑄

=4𝑄

+ 3 + 𝑄.

c. Pada saat Q = 10,

TC = 4 + 3(10) + 102

= 134

Jadi TC pada saat memproduksi 10 unit adalah Rp134.000.

MC = 2 + 3(10)

= 32

Artinya perkiraan biaya tambahan yang diperlukan untuk memproduksi unit yang ke

11 adalah Rp32.000 rupiah.

AC = 4

10+ 3 + 10

AC = 13,4

Artinya bahwa jika diproduksi 10 unit, maka rata-rata biaya perunit adalah Rp13.400.

2. Total biaya produksi motor ABC dinyatakan oleh

𝑇𝐶 = 4 + 3𝑄 + 𝑄2 juta rupiah

Tentukan:

tentukan:

a. Fungsi Biaya Marginal.

b. Fungsi Biaya Rata-Rata (AC)

3. TC, MC, dan AC pada saat memproduksi 30 unit motor.

Biaya total dinyatakan dengan TC = 5Q2 - 1000Q + 85000

Tentukan:

a. Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum?

b. Berapakah total biaya minimum tersebut?

Jawab:

a. TC = 5Q2 - 1000Q + 85000

C’= 10Q – 1000

0 = 10Q – 1000

10Q = 1000

Q = 100

Cek TC” = 10 > 0

Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit.

b. Total biaya minimumnya sebesar:

C = 5Q2 - 1000Q + 85000

C = 5(100)2 - 1000(100) + 85000

C = 35000

Jadi total biaya minimumnya sebesar: Rp35000

4. Biaya total dinyatakan dengan TC = Q3 -90Q2 + 2800Q + 56500

Tentukan:

a. Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan biaya minimum?

b. Berapakah biaya minimum tersebut?


C. ANALISIS PENDAPATAN MARGINAL / MARGINAL REVENUE (MR)

Marginal Revenue adalah pendapatan/penerimaan tambahan yang diperoleh berkaitan

dengan satu unit hasil yang terjual atau diproduksi. Secara matematis, fungsi MR adalah

turunan pertama dari fungsi Total Revenue (TR).

𝑀𝑅 = 𝑇𝑅’ = 𝑑𝑀𝑅

𝑑𝑄

LATIHAN SOAL

1. Fungsi permintaan suatu perusahaan dinyatakan oleh 𝑃 = 𝑄2 + 2𝑄 + 1 ribu rupiah.

Tentukan:

a. Fungsi TR

b. Fungsi MR

c. Fungsi Pendapatan Rata-rata

d. TR, MR, AR pada saat produk yang terjual 10 unit.

Jawab:

a. TR = P × Q

= (𝑄2 + 2𝑄 + 1) × 𝑄

= 𝑄3 + 2𝑄2 + 𝑄

b. MR = TR’

= 2𝑄2 + 4𝑄 + 1

c. AR = 𝑇𝑅

𝑄

= 𝑄3+2𝑄2+𝑄

𝑄

= 𝑄2 + 2𝑄 + 1

d. TR = 1210 (Rp1.210.000)

MR = 241 (Rp241.000)

AR = 121 (Rp121.000)

2. Fungsi permintaan suatu perusahaan dinyatakan oleh 𝑃 = 5 + 6𝑄 + 𝑄2 ratus ribu

rupiah. Tentukan:

a. Fungsi TR

b. Fungsi MR

c. Fungsi Pendapatan Rata-rata

d. TR, MR, AR pada saat produk yang terjual 30 unit. Serta jelaskan maknanya.

3. Harga jual Q puluh unit barang dinyatakan P = - 2Q + 16 juta rupiah, tentukan berapa

output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum.

Jawab:

Fungsi total pendapatan:

P = - 2Q + 16

TR = P.Q = (- 2Q + 16) Q

TR = - 2Q2 + 16Q


Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi TR, kemudian menentukan Q untuk

TR’= 0

TR’ = - 4Q + 16 = 0

4Q = 16

Q = 4

Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 40 unit maka akan diperoleh total

pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua

fungsi total pendapatan:

R” = - 4

Ternyata R” = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum

Keterangan:

Turunan kedua untuk menentukan kelengkungan kurva.

Jika turunan kedua < 0 maka kurva melengkung ke atas, atau membuka ke bawah

Jika turunan kedua > 0 maka kurva melengkung ke bawah, atau membuka ke atas

Jika turunan kedua = 0 maka kurva tidak melengkung ke atas maupun ke bawah (titik

stasioner)

Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum

yaitu sebanyak 40 unit.

Total pendapatan maksimumnya:

R = - 2Q2 + 16Q

R = - 2(4)2 + 16(4)

R = 32

Jadi ketika menjual produk sebanyak 40 unit, maka akan diperoleh total pendapatan

maksimum sebesar 32 juta.

D. Analisis Laba Marginal

Laba Marginal adalah tambahan keuntungan yang diperoleh berkaitan dengan satu unit hasil

yang terjual atau diproduksi. Secara matematis, fungsi Laba Marginal adalah turunan

pertama dari fungsi Laba.

Latihan Soal

1. Seorang manajer perusahaan mengetahui bahwa jika Q ribu unit diprosuksi, maka laba

perusahaan adalah 𝑃 = 10 + 20𝑄 + 𝑄2 ribu rupiah.

Tentukan:

a. Fungsi laba marginal

b. Laba marginal jika diproduksi Q = 8, Q = 9. Jelaskan.

2. Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut:

P = 1000 - 2Q Dan C = Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000

Tentukan:

a. Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba

yang maksimum ?

b. Berapakah laba maksimum tersebut ?


Jawab:

a. Fungsi pendapatan: TR = P.Q

TR = (1000 - 2Q).Q

TR = 1000 Q - 2 Q2

Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q2 +1315Q + 2000

Fungsi laba: Laba = Pendapatan – biaya

Laba = (1000Q - 2Q2) - (Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000)

Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000

Turunan pertama: Laba = -3Q2 + 114Q - 315

0 = Q2 - 38Q + 105

0 = (Q - 3) (Q - 35)

Q1 = 3 atau Q2 = 35

Turunan kedua: Laba” = - 6Q + 114

Untuk Q1 = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) + 114 = 96 > 0

Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum.

Untuk Q2 = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0

Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum.

b. Laba maksimum nya sebesar :

Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000

= - (35)3 + 57(35)2 - 315(35) - 2000

= 13925

Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba

maksimum sebanyak : 13925

E. MEMAKSIMALKAN LABA SETELAH DIKENAKAN PAJAK

Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak

penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang diproduksi dan dijual oleh

pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk

itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan

di peroleh pajak maksimum.

Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q

Keterangan:

t = tarif pajak per unit yang di kenakan pemerintah dan

Q = Jumlah output yang di produksi dan di jual pengusaha sehingga di peroleh laba

maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.

Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah:

Laba = pendapatan – (biaya + pajak)

= R – (C+T),

= R – C – T

= R – C – t Q


CONTOH SOAL

1. Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk dinyatakan sebagai berikut:

R = 360 Q – 10,5 Q2 Dan C = 100 Q – 4 Q2

Tentukan:

a. Fungsi laba

b. Fungsi produksi agar laba maksimum

c. Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif

pajak yang harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut?

d. Berapakah produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar diperoleh laba

maksimum?

e. Berapakah total pajak maksimum yang didapat pemerintah?

f. Berapakah laba maksimum yang diterima perusahaan setelah dikenakan pajak ?

Jawab:

a. Dari sudut pandang pengusaha:

Laba = R – C – t Q

= 360 Q – 10,5 Q2 – (100 Q – 4 Q2) – t Q

= 360 Q – 10,5 Q2 – 100 Q + 4 Q2 – t Q

= 260 Q – 6,5 Q2 – t Q

b. Turunan pertama: Laba’ = 260 – 13 Q – t = 0

260 – t = 13 Q

𝑄 = 260−𝑡

13

𝑄 = 20 −1

13𝑡

Turunan ke dua : Laba’’ = - 13 < 0

(kurva membuka ke bawah)

Jadi dengan memproduksi sebanyak 𝑄 = 20 −1

13𝑡, pengusaha akan memperoleh

laba maksimum.

c. Dari sudut pandang pemerintah:

Pajak: T = t Q

= t (20 −1

13𝑡)

= 20𝑡 −1

13𝑡2

Turunan pertama : T’ = 20 −1

13𝑡 = 0

t = 130

Turunan ke dua : T’’ = - 2/13

(kurva membuka ke bawah)

Jadi tarif pajak (per unit) yang memberikan total pajak maksimum sebesar t = 130


d. Produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar diperoleh laba maksimum terjadi ketika

t = 130, maka

𝑄 = 20 −1

13𝑡

= 20 −1

13(130)

= 20 – 10

= 10

Jadi, perusahaan harus memproduksi sebanyak 10 unit barang agar memperoleh laba

maksimum.

e. Total pajak maksimum:

T = t . Q

= 130 . 10

= 1300

Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300.

f. Laba maksimum yang di terima oleh perusahaan adalah:

Laba = 260 Q – 6,5Q2 – t Q

= 260 (10) – 6,5(10)2 – (130)(10)

= 2600 – 65 – 1300

= 1235

Jadi perusahaan menerima laba maksimum sebesar 1235

2. Total pendapatan dan total biaya di berikan dalam fungsi sebagai berikut :

R = 15Q - 2Q2 Dan C = 3Q

Tentukan:

a. Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar

pemerintah memperoleh total pajak maksimum ?

b. Berapakah total pajak maksimum yang diperoleh ?

Jawab:

a. Dari sudut pandang pengusaha:

Laba = R – C – t . Q

= 15 Q – 2Q2 – 3Q – t . Q

= -2Q2 + 12Q – t Q

Turunan pertama: Laba’ = - 4Q + 12 – t = 0

12 – t = 4Q

𝑄 =12 − 𝑡

4

𝑄 = 3 −1

4𝑡

Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0

Jadi dengan memproduksi sebanyak 𝑄 = 3 −1

4𝑡 , pengusaha akan memperoleh laba

maksimum.


Dari sudut pandang pemerintah:

Pajak: T = t . Q

= t . (3 – ¼ t)

= 3𝑡 −1

4𝑡2

Turunan pertama: T’ = 3 −1

2𝑡 = 0

t = 6

Turunan ke dua : T” = -½

Jadi tarif pajak (per unit) yang memberikan total pajak maksimum sebesar: 6

b. 𝑄 = 3 −1

4𝑡 =

= 3 −1

4(6)

= 3 – 1,5 = 1,5

Maka total pajak maksimum: T = t . Q = 1,5 = 9

Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9

F. ELASTISITAS PERMINATAAN

Elastisitas permintaan mengukur seberapa besar kepekaan perubahan jumlah permintaan

barang terhadap perubahan harga. Ketika harga sebuah barang turun, jumlah permintaan

terhadap barang tersebut biasanya naik, dengan kata lain, semakin rendah harganya, semakin

banyak benda itu dibeli. Elastisitas permintaan ditunjukan dengan rasio persen perubahan

jumlah permintaan dan persen perubahan harga. Ketika elastisitas permintaan suatu barang

menunjukkan nilai lebih dari 1, maka permintaan terhadap barang tersebut dikatakan elastis di

mana besarnya jumlah barang yang diminta sangat dipengaruhi oleh besar-kecilnya harga.

Sementara itu, barang dengan nilai elastisitas kurang dari 1 disebut barang inelastis, yang

berarti pengaruh besar-kecilnya harga terhadap jumlah-permintaan tidak terlalu besar. Sebagai

contoh, jika harga sepeda motor turun 10% dan jumlah permintaan atas sepeda motor itu naik

20%, maka nilai elastisitas permintaannya adalah 2; dan barang tersebut dikelompokan sebagai

barang elastis karena nilai elastisitasnya lebih dari 1. Perhatikan bahwa penurunan harga

sebesar 1% menyebabkan peningkatan jumlah permintaan sebesar 2%, dengan demikian dapat

dikatakan bahwa jumlah permintaan atas sepeda motor sangat dipengaruhi oleh besarnya harga

yang ditawarkan.

JENIS-JENIS ELASTISITAS PERMINTAAN

Ada lima jenis elastisitas permintaan :

1. Permintaan tidak elastis sempurna : elastisitas = 0. Perubahan harga tidak mempengaruhi

jumlah yang diminta. Dengan demikian, kurvanya berbentuk vertikal. Kurva berbentuk

vertikal ini berarti bahwa berapapun harga yang ditawarkan, kuantitas barang/jasa tetap

tidak berubah. Contoh barang yang permintaannya tidak elastis sempurna adalah tanah

(meskipun harganya naik terus, kuantitas yang tersedia tetap terbatas), lukisan milik

pelukis yang telah meninggal (berapapun harga yang ditawar atas lukisan, pelukis tersebut

tidak akan mampu menambah kuantitas lukisannya).


2. Permintaan tidak elastis : elastisitas < 1. Persentase perubahan kuantitas permintaan <

dari persentase perubahan harga. Contoh permintaan tidak elastis ini dapat dilihat

diantaranya pada produk kebutuhan. Misalnya beras, meskipun harganya naik, orang akan

tetap membutuhkan konsumsi beras sebagai makanan pokok. Karenanya, meskipun

mungkin dapat dihemat penggunaannya, namun cenderung tidak akan sebesar kenaikan

harga yang terjadi. Sebaliknya pula, jika harga beras turun konsumen tidak akan menambah

konsumsinya sebesar penurunan harga. Ini karena konsumsi beras memiliki keterbatasan

(misalnya rasa kenyang). Contoh lainnya adalah bensin. Jika harga bensin naik, tingkat

penurunan penggunaannya biasanya tidak sebesar tingkat kenaikan harganya. Ini karena

kita tetap membutuhkan bensin untuk bepergian. Sama halnya, ketika harganya turun, kita

juga tidak mungkin bepergian terus menerus demi menikmati penurunan harga tersebut.

Karakteristik produk yang seperti ini mengakibatkan permintaan menjadi tidak elastis.

3. Permintaan uniter elastis : elastisitas = 1. Persentase perubahan kuantitas permintaan =

persentase perubahan harga. Contoh produk yang elastisitasnya uniter tidak dapat

disebutkan secara spesifik. Jenis permintaan ini sebenarnya lebih sebagai pembatas antara

permintaan elastis dan tidak elastis, sehingga belum tentu ada produk yang dapat dikatakan

memiliki permintaan uniter elastis.

4. Permintaan elastis : elastisitas > 1. Persentase perubahan kuantitas permintaan >

persentase perubahan harga. Ini sering terjadi pada produk yang mudah dicari

substitusinya. Misalnya saja pakaian, makanan ringan, dan lain sebagainya. Ketika

harganya naik, konsumen akan dengan mudah menemukan barang penggantinya.

5. Permintaan elastis sempurna : elastisitas tak terhingga. Dimana pada suatu harga tertentu

pasar sanggup membeli semua barang yang ada di pasar. Namun, kenaikan harga sedikit

saja akan menjatuhkan permintaan menjadi 0. Dengan demikian, kurvanya berbentuk

horisontal. Contoh produk yang permintaannya bersifat tidak elastis sempurna diantaranya

barang/jasa yang bersifat komoditi, yaitu barang/jasa yang memiliki karakteristik dan

fungsi sama. Karena memiliki karakteristik dan fungsi yg sama , maka secara nalar

barang/jasa tersebut seharusnya memiliki harga yang sama pula. Misalnya saja paperclip

dan pen tinta biasa (seperti pen merek Standart yang rata-rata berharga 1000-1500). Jika

kita pergi ke supermarket untuk membeli paperclip, misalnya, kita cenderung tidak akan

memperhatikan perbedaan merek. Satu-satunya yang sering kita jadikan bahan

perbandingan adalah harga, dimana kita akan membeli paperclip yang harganya paling

murah (atau pada harga rata-rata yang diterima pasar). Akibatnya, bagi perusahaan yang

menjual paperclip di atas harga rata-rata, permintaan akan barangnya akan turun ke nol. Ini

karena semua paperclip, meskipun harganya berbeda-beda, memberikan fungsi yang sama.

Koefisien Elastisitas

n = 0 Inelastis sempurna

0 < n < 1 Inelastis

n = 1 Elastis uniter

1 < n < ∞ Elastis

n = ∞ Elastis sempurna


FAKTOR PENENTU ELASITISITAS PERMINTAAN

Ada empat faktor utama dalam menentukan elastisitas permintaan :

1. Produk substitusi.

Semakin banyak produk pengganti (substitusi), permintaan akan semakin elastis. Hal ini

dikarenakan konsumen dapat dengan mudah berpindah ke produk substitusi jika terjadi

kenaikan harga, sehingga permintaan akan produk akan sangat sensitif terhadap perubahan

harga.

2. Persentase pendapatan yang dibelanjakan.

Semakin tinggi bagian pendapatan yang digunakan untuk membelanjakan produk tersebut,

maka permintaan semakin elastis. Produk yang harganya mahal akan membebani

konsumen ketika harganya naik, sehingga konsumen akan mengurangi permintaannya.

Begitu juga sebaliknya.

3. Produk mewah versus kebutuhan.

Permintaan akan produk kebutuhan cenderung tidak elastis, dimana kenaikan harga

cenderung menurunkan permintaan. Konsumen sangat membutuhkan produk tersebut dan

mungkin sulit mencari substitusinya. Sebaliknya, permintaan akan produk mewah

cenderung elastis, dimana barang mewah bukanlah sebuah kebutuhan dan substitusinya

lebih mudah dicari. Akibatnya, kenaikan harga akan menurunkan permintaan.

4. Jangka waktu permintaan dianalisis.

Semakin lama jangka waktu permintaan dianalisis, semakin elastis permintaan akan suatu

produk. Dalam jangka pendek, kenaikan harga yang terjadi di pasar mungkin belum

disadari oleh konsumen, sehingga mereka tetap membeli produk yang biasa dikonsumsi.

Dalam jangka panjang, konsumen telah menyadari kenaikan harga, sehingga mereka akan

pindah ke produk substitusi yang tersedia. Selain itu, dalam jangka panjang kualitas dan

desain produk juga berubah, sehingga lebih mudah menyebabkan konsumen pindah ke

produk lain.

Elastisitas dan Total Penerimaan (penjual/produsen)

Elastisitas permintaan mempengaruhi total penerimaan yang diterima oleh penjual ataupun

produsen. Hubungan keduanya adalah sebagai berikut :

1. Permintaan tidak elastis sempurna (= 0), perubahan harga tidak mempengaruhi kuantitas yang

diminta atas barang. Dengan demikian, kenaikan harga akan meningkatkan total penerimaan.

2. Permintaan tidak elastis (< 1), persentase perubahan harga > persentase perubahan kuantitas.

Oleh karena itu, kenaikan harga akan meningkatkan total penerimaan penjual/produsen.

3. Permintaan elastis uniter (= 1), persentase perubahan kuantitas = persentase perubahan harga.

Dengan demikian, tidak ada pengaruh terhadap total penerimaan.

4. Permintaan elastis (> 1), persentase perubahan kuantitas yang diminta > dari persentase

perubahan harga. Oleh karenanya, kenaikan harga akan menurunkan total penerimaan

penjual/produsen.


5. Permintaan elastis sempurna (tak terhingga), kenaikan harga akan menyebabkan permintaan

turun jadi 0. Oleh karenanya, kenaikan harga sekecil apapun akan menghilangkan total

penerimaan. Sementara penurunan harga akan menurunkan total penerimaan.

Untuk barang-barang normal, penurunan harga akan berakibat pada peningkatan jumlah

permintaan. Permintaan terhadap sebuah barang dapat dikatakan inelastis bila jumlah barang

yang diminta tidak dipengaruhi oleh perubahan harga. Barang dan jasa yang tidak memiliki

substitusi biasanya tergolong inelastis. Permintaan terhadap antibiotik, misalnya, dikatakan

sebagai permintaan inelastis karena tidak ada barang lain yang dapat menggantikannya. Daripada

mati terinfeksi bakteri, pasien biasanya lebih memilih untuk membeli obat ini berapapun biayanya.

Sementara itu, semakin banyak sebuah barang memiliki barang substitusi, semakin elastis barang

tersebut.

meskipun permintaan inelastis sering diasosiasikan dengan barang "kebutuhan," banyak

juga barang yang bersifat inelastis meskipun konsumen mungkin tidak "membutuhkannya."

Permintaan terhadap garam, misalnya, menjadi permintaan inelastis bukan karena konsumen

sangat membutuhkannya, melainkan karena harganya yang sangat murah.

Rumus Elastisitas Permintaan kurang

Rumus yang dapat digunakan untuk menghitung koefisien elastisitas permintaan 𝐸𝑑 adalah:

𝐸𝑑 =𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑎𝑛

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎

Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut: Qd = 8 - 0,5 P

Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P1 = 4, P2 = 8, dan P3 = 12

Jawab:

Untuk titik P1 = 4 maka Qd = 8 - 0,5(4) = 8 – 2 = 6

Jadi 𝐸𝑄𝐷𝑃1=4 =𝑑𝑄𝑑

𝑑𝑃1⁄

𝑄𝑑𝑃1⁄

=−0,56

4⁄= −

1

3

Besar elastisitas permintaan dititik P1 = 4 adalah |−1

3| =

1

3

Karena 1

3< 1, maka jenis elastisitas permintaan dititik P1 = 4 adalah INELASTIS



𝑑𝑃2⁄

𝑄𝑑𝑃2⁄

=−054

8⁄= −1

Besar elastisitas permintaan dititik P2 = 8 adalah |−1| = 1

Karena E = 1 = 1, maka jenis elastisitas permintaan dititik P2 = 8 adalah UNITARY ELASTIS



𝑑𝑃2⁄

212⁄

= −3

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Barang_substitusi&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Garam


Besar elastisitas permintaan dititik P3 = 12 adalah |−3| = 3

Karena E = 3 > 1, maka jenis elastisitas permintaan dititik P3 = 12 adalah ELASTIS

G. Elastisitas Penawaran

H. Optimasi Fungsi Satu Variabel

I. Titik Kritis Nilai Fungsi

J. Uji Turunan Kedua


BANK SOAL

Soal-Soal Deret

1. PT. Jaya Abadi perkembangan produksinya mengikuti pola deret hitung, pada tahun

kesepuluh total produksinya mencapai 27.000 unit, kemudian akibat kesalahan manajemen

pada tahun ke sembilan belas tidak berproduksi lagi. Dari data tersebut diminta :

a. Berapa perkembangan produksinya?

b. Berapa produksi tahun pertama?

c. Berapa total produksi sampai tahun ke lima belas?

d. Berapa produksi tahun ke lima belas?

e. Pada tahun keberapa produksi mencapai 1200 unit?

2. Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun ke

lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan

tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penrimaannya per tahun?

Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa

penerimaannyasebesar Rp 460 juta

3. Perolehan keuntungan kapital (capital gain) seorang pialang berpola deret hitung, pada

bulan ke 5 aktivitasnya di bursa saham , dia memperoleh keuntungan Rp 700.000, selama

tujuh bulan pertama, dia meraih keuntungan total sebesar Rp 4.620.000,

Diminta:

a. Berapa besar keuntungan pada bulan pertama aktivitasnya?

b. Berapa keuntungan yang dia peroleh pada bulan ke 10?

c. Hitung keuntungan kapital total pialang tadi selama setahun aktivitasnya di bursa

saham?

4. Data penjualan perusahaan keramik PT Pasti Kuat untuk bulan ke lima Rp 900 juta dan

pada bulan ke sembilan Rp 1.300 juta. Diminta:

a. Berapa besar hasil penjualan pada bulan pertama?

b. Berapa perkembangan penjualan tiap bulannya?

c. Berapa besar penerimaan pada bulan ke sepuluh?

d. Berapa total penerimaan selama 1 tahun?

5. Dari hasil penjualan barangnya pada tahun kesepuluh, PT Langsung Jaya memperoleh

penerimaan Rp 200 juta sedangkan tahun ke lima belas memperoleh penerimaan sebesar

Rp 250 juta. Jika pola perkembangan penerimaan perusahaan tersebut mengikuti deret

hitung.

Diminta:

a. Berapa perkembangan penerimaan pertahunnya?

b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama?

c. Pada tahun keberapa besarnya penerimaan mencapai Rp 310 juta

6. Seorang pengusaha meminjam uang di bank sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4


uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila

perhitungan pembayaran bunga dibayar 4 bulanan, berapa jumlah uang yang harus

dikembalikan?

7. Tabungan seorang nasabah akan menjadi Rp56.700.000 tiga tahun yang akan datang. Jika

tingkat bunga bank yang berlaku 6% pertahun berapa tabungan nasabah tersebut pada saat


sekarang? Apabila pembayaran bunga tidak pertahun tetapi persemester berapa tabungan

nasabah tersebut pada saat sekarang?

8. Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 300 juta, untuk jangka waktu 3


uang yang harus dikembalikan pengusaha tersebut pada saat pelunasan? Apabila

perhitungan pembayaran bunga dibayar 3 bulanan, berapa jumlah uang yang harus

dikembalikan?

9. Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi Rp10.600.000 empat tahun yang akan datang.

Jika tingkat bunga bank yang berlaku 4% pertahun , Hitung Present value? Apabila

pembayaran bunga tidak pertahun tetapi empat bulanan berapa tabungan nasabah tersebut

pada saat sekarang?

Soal-Soal Fungsi Permintaan,Fungsi Penawaran, Market Equlibrium, Pajak Dan Subsidi

1. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi di pasar adalah bila diminta 20 unit barang,

harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta 60 unit barang, harga menjadi Rp 40,

sedangkan penawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan 90 unit barang harga per

unit Rp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barang harga akan naik menjadi Rp 60 per unit.

Dari data tersebut diminta:

a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan?


c. Ababila atas barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga

dan kuantitas barang yang baru.

d. Gambar kurvanya.

2. Kejadian yang berhasil diamati dipasar terhadap suatu barang adalah sebagai berikut:

Bila barang tersebut tidak ada di pasar (Q = 0) maka harga per unit yang diminta dapat

mencapai Rp 120, tetapi bila barang ada sebanyak 20 unit harga yang ditawarkan sebesar

Rp 60 per unit. Market Equilibrium terjadi pada harga Rp 80 dan kuantitas 40 unit.

Diminta:

a. Carilah fungsi permintaan dan fungsi penawarannya.

b. Gambar kurvanya.

3. Diketahui:

Fungsi Penawaran : P = ¼ Q + 10

Fungsi Permintaan: P = -1/4 Q + 25

Pajak Rp 2 per unit

Diminta:

a. Keseimbangan pasar sebelum pajak

b. Keseimbangan pasar setelah pajak

c. Gambar kurvanya

4. Garis fungsi penawaran melewati titik (0,3) sedang garis fungsi permintaan melewati titik

(0,10), apabila titik equilibriumnya E (6,6).

5. Tentukan: Persamaan fungsi permintaan dan penawarannya

Diketahui : Fungsi Penawaran Q = 2P - 20

Fungsi Permintaan P = -1/2 Q + 40

Pajak Rp 5, pe unit

Diminta:


a. Harga & kuantitas pada market equibrium sebelum pajak

b. Harga & kuantitas pada market equibrium setelah pajak

c. Gambar kurvanya.

6. Diketahui: Fungsi Permintaan P= -1/2 Q + 30

Fungsi Penawaran P = ¼ Q + 10

Pajak 20%

Diminta :

a. Harga dan kuantitas keseimbangan pasar sebelum pajak

b. Harga dan kuantitas keseimbangan pasar setelah pajak

c. Gambar kurvanya.

7. Diketahui: FD : P = - 0,5Q + 10

FS : P = Q + 4

Pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2, untuk setiap unit barang yang dijual, berapa

P dan Q sebelum subsidi dan P dan Q setelah subsidi? Dan Gambarkan kurvanya?

8. Sebuah perusahaan menjual hasil produksinya dengan harga Rp 2000, per unit, biaya

variabelnya 40% dari pendapatannya sedang biaya tetapnya Rp 6000.000

Tentukan:

a. BEP (pada saat Q berapa)

b. Bila perusahaan menjual hasil produksinya 6000 unit , apa yang terjadi (laba/rugi)

c. Gambar kurvanya

9. Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 10 + 0,75Y

Carilah:

a. Fungsi tabungannya, berapakah besarnya konsumsi pada saat tabungan sama dengan

nol (S = 0)

b. Gambar kurva fungsi konsumsi dan tabungannya.

10. Pak Santoso mengatakan bahwa pada saat menganggur dia harus mengeluarkan Rp 30.000,

untuk kebutuhannya sebulan, setelah bekerja dengan penghasilan Rp 100.000, Pak Santoso

bisa menabung Rp 10.000 / bulan. Berapakah tabungan Pak Santoso bila penghasilannya

mencapai Rp 120.000 / bulan

Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Pendapatan Nasional

1. Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan C = 10 + 0,75Y

Carilah persamaan fungsi tabungannya

a. Berapakah besar konsumsi pada saat tabungan sama dengan 0 ( S = 0 )

b. Gambar kurva fungsi konsumsi dan tabungannya.

2. Konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan oleh persamaan C = 1500 + 0,75Yd

Investasi dan pengeluaran pemerintah masing-masing sebesar 2000 dan 1000. Pajak yang

diterima dan transfer payment yang dilakukan pemerintah masing-masing dicerminkan

oleh T = 500 + 0,25Y dan R = 100 + 0,05Y. Jika nilai ekspornya 1250 dan impornya

dicerminkan oleh M = 700 + 0,1Y. Hitung Pendapatan Nasional Negara tersebut

universitas wijaya putra · pdf filebab vi fungsi kuadrat ... matematika ekonomi dan bisnis 2...

Documents