universitÀ degli studi di roma la sapienza dipartimento di informatica e sistemistica nonlinearitÀ...
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”
DIPARTIMENTO DI INFORMATICA E SISTEMISTICA
NONLINEARITÀ
ALESSANDRO DE CARLIANNO ACCADEMICO 2002-2003
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
2
RUMORE
STRUMENTAZIONE
MODALITÀDI CONTROLLO
(t) m(t)
DISTURBO
SISTEMA DACONTROLLARE
u(t) y(t)d(t)
ATTUATOREREGOLATORE
P I D
TRASDUTTORE
r(t)
y*(t)
AZIONEDINAMICA DICONTROLLO
AMPLIFICATOREDI POTENZANONLINEARE
SORGENTEPRIMARIA DI
ALIMENTAZIONE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
3
NON LINEARITÀ TIPICHE DI UN ATTUATORE
SATURAZIONEE SATURAZIONE
SOGLIA ISTERESI
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
4
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREMODALITÀ
DI CONTROLLO
y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)
d(t)
ATTUATOREDIMENSIONATO
AL 120%
REGOLATOREDI TIPO
INTEGRALEG(s) =
KI
s
KI s1
DISPOSITIVODI MISURA
CONTROREAZIONEISTANTANEA
PROPORZIONALEH(s) = 1
P(s) =1
(1 + s)3
0 10 20 30 40 50tempo (sec)
KI = .95
0 10 20 30 40 50tempo (sec)
KI = .30
0 10 20 30 40 500
.2
.4
.6
.8
1
1.2
tempo (sec)
KI = .21
EFFETTO DELLA SATURAZIONE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
5
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREMODALITÀ
DI CONTROLLO
y*(t) y(t)u(t)u*(t)e(t)
d(t)
DISPOSITIVODI MISURA
CONTROREAZIONEISTANTANEA
PROPORZIONALEH(s) = 1
P(s) =1
s(1 + s)3
ATTUATORELINEAREG(s) = KP
REGOLATOREDI TIPO
PROPORZIONALE
KP
KP = .35
0 10 20 30 40 500
.2
.4
.6
.8
1
1.2
tempo (sec)
1.4
-.2
KP = .35
0 10 20 30 40 500
.2
.4
.6
.8
1
1.2
tempo (sec)
1.4
-.2
KP = .70 KP = 1.09
0 10 20 30 40 50tempo (sec)
0
-1
1
2
ATTUATOREZONA MORTA
15 %
EFFETTO DELLA SOGLIA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
6
Y*0 Y0U0M0E0
SISTEMA DACONTROLLARE
SOVRADIMENSIONATOATTUATORE
STRATEGIADI CONTROLLO
DISPOSITIVODI MISURA
FUNZIONAMENTO CONTINUATIVOIN REGIME PERMANENTE
corsaotturatoreM0
U0VALVOLA DIREGOLAZIONE
CARATTERISTICA STATICA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
7
FUNZIONAMENTO PERTURBATO DA UN DISTURBO
CARATTERISTICASTATICA
Y*0
SISTEMA DACONTROLLARE
SOVRADIMENSIONATO
VALVOLA DIREGOLAZIONE
STRATEGIADI CONTROLLO
DISPOSITIVODI MISURA
Y0U0M0E0
d(t) Y0+y(t)
U0+u(t)
M0+m(t)
E0 +e(t)
u
M0
corsaotturatore
U0
m
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
8
COMPORTAMENTO DINAMICONELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO
G(s)
d(t)
y(t)
u(t)m(t)
e(t)y*(t) P(s)
G(s) =m(s)e(s)
P(s) =y(s)u(s)
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
9
VERIFICA DI STABILITÀ
G(s)
(t)
y(t)
u(t)m(t)
e(t)y*(t) = 0 P(s)
RIPRISTINO DELLE CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO CONTINUATIVO A REGIME PERMANENTE DOPO LA PERTURBAZIONE PROVOCATA DA UN DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
10
VERIFICA DELLA STABILITÀ DI SISTEMI A CONTROREAZIONE
CON NONLINEARITÀ ISTANTANEAIPOTESI 1 SISTEMA DA CONTROLLARE SOVRA-
DIMENSIONATO
3 COMPORTAMENTO DINAMICO PROVOCATO DA DISURBI CASUALI
4 ATTUATORE NON LINEARE A DINAMICA PIÙ RAPIDA DI QUELLA DEL SISTEMA DA CONTROLLARE
2 FUNZIONAMENTO A REGIME PERMANENTE NELL’INTORNO DI UN PUNTO DI LAVORO
5 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ PARZIALMENTE NOTA, MA SEMPRE DI VALORE FINITO E CONTENUTA SOLO NEL PRIMO QUADRATE.
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
11
IPOTESI
9 DISTURBO CASUALE DI TIPO IMPULSIVO
7 DISPOSITIVO DI MISURA LINEARE E DI TIPO ISTANTANEO
11 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ RELATIVA AL PUNTO DI LAVORO CONTENUTA SOLO NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRATE.
10 MASSIMA ESCURSIONE DELLE VARIABILI NOTA
6 COMPORTAMENTO DINAMICO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE LINEARE NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO
8 MODALITÀ DI CONTROLLO DI TIPO DINAMICO LINEARE A PARAMETRI COSTANTI
12 LA NON LINEARITÀ RELATIVA AL PUNTO DI LAVORO ASSUME VALORE NULLO SOLO IN CORRISPONDENZA DEL PUNTO DI LAVORO
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
12
METODO VERIFICA CHE IL SISTEMA CONTROLLATO, UNA VOLTA PERTURBATO DA UN DISTURBO CASUALE DI TIPO IMPULSIVO, RITORNI NELLE STESSE CONDIZIONI DI FUNZIONAMENTO CHE SI AVEVANO PRIMA DELLA PERTURBAZIONE, OSSIA NELLE CONDIZIONI DI FUNZIONENTO DI TIPO CONTINUATIVO A REGIME PERMANRNTE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
13
STRUTTURA DI RIFERIMENTO
IPOTESI 7 VARIAZIONE DELLA VARIABILE DI RIFERIMENTO MANTENUTA AL VALORE NULLO, OSSIA y*(t) = 0
IPOTESI 6 DINAMICA DEL SISTEMA DA CONTROLLARE DESCRITTA DA P(s)
IPOTESI 8 DINAMICA DELLA MODALITÀ DI CONTROLLO DESCRITTA DA G(s)
IPOTESI 9 DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO, OSSIA d(t) = (t)
MODALITÀ
DI CONTROLLO
NON LINEARITÀ
ISTANTANEA
SISTEMA DA
CONTROLLARE
y*(t) y(t)
d(t)u(t) f(u(t))
y*(t)f(u(t))
(t)
G(s) P(s)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
14
IPOTESI 9 CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ CONTENUTA NEL SETTORE ILLUSTRATO IN FIGURA
u
f(u)
u = 0 f(0) = 0
f(u)u0 < <
f(u(t)) u(t) dt <0
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
SISTEMADA CONTROLLARE
u(t) y(t)
d(t)
u(t) y(t)
d(t)
1 1 0
1 10
10 0
0
11( )
3x(t) =•
x(t) + u(t)
y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)
u(t) y(t)
x0(t*) = [ (t*) 0 0 ]’
t*
(t)
IPOTESI 8 PERTURBAZIONE DI TIPO IMPULSIVO
10
MODELLO DINAMICO
LINEARE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
16
x(t) = A x(t) - b f(u(t))u(t) = c’ x(t)
y*(t) = 0 u(t)f(u(t))
d(t)x0
SCHEMA A BLOCCHI EQUIVALENTE
uf(
u)MODELLO
NONLINEARITÀ
ISTANTANEA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
17
CRITERIO DI LIAPUNOV PER LA VERIFICA DELLA STABILITÀ
FORMULAZIONE GENERALE
V(t) = x(t)T P x(t)SI DEFINISCE P MATRICE SIMMETRICA DEFINITA POSITIVA
SI RICAVA V (t)= x(t)T P x(t) + x(t) P x(t)• • •
TENUTO CONTO x(t) = A x(t) x(0) = x0•
= x(t)T (AT P + P A ) x(t) = x(t)T Q x(t)
Q > 0 DEFINITA POSITIVA INSTABILITÀ
Q = 0 SEMIDEFINITA POSITIVA STABILITÀ
Q < 0 DEFINITA NEGATIVA STABILITÀ ASINTOTICA
•V(t) = [x(t)T AT P x(t) + x(t)T P A] x(t) =
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
18
FORMULAZIONE ESTESA ALLA NONLINEARITÀISTANTANEA IN CONTROREAZIONE
V(t) = x(t)T P x(t)SI DEFINISCE
SI RICAVA V (t)= x(t)T P x(t) + x(t) P x(t)• • •
TENUTOCONTO x(t) = A x(t) - b f(e(t)) x(0) = x0
•
f(e(t)) e(t) dtt
0+
+ 2 f(e(t)) e(t)
x(t)T P [A x(t) - b f(e(t))] x(t) +
2 f(e(t)) cT x(t)
= x(t)T (AT P + P A ) x(t) + 2 f(e(t)) [bT P - cT] x(t)
V(t) = [ x(t)T AT - bT f(e(t)) ] P x(t) +•
[bT P - cT]
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
19
PER LA CLASSE DI SISTEMI DINAMICI IN CUI È POSSIBILE INDIVIDUARE UNA MATRICE DEFINITA POSITIVA P TALE DA SODDISFARE LA SEGUENTE RELAZIONE
[bT P - cT] = 0 P b = cOSSIA
IL SISTEMA A CICLO CHIUSO MANTIENE IL FUNZIONAMENTO NELL’INTORNO DEL PUNTO DI LAVORO SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE È STABILE
ESEMPIO
x(t) =•0 1-2 -3
x(t) + 01
u(t)
1 x(t)y(t) = 1.5
MODELLO DINAMICODEL SISTEMA DA CONTROLLARE
P =1
LA MATRICE P SIA DEFINITA IN FORMA PARAMETRICA
È DEFINITA POSITIVA
SE - 2 > 0
s2 + 3 s + 2s + 1.5
G(s) = =
(s + 1)(s + 2)s + 1.5
NON LINEARITÀ
=P b c
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
20
- SE I VALORI DI e CHE VERIFICANO LA CONDIZIONE P b = c SONO TALI DA RENDERE LA MATRICE P DEFINITA POSITIVA
01
11.5
1
RISOLVENDO SI OTTIENE = 1 , = 1.5 PER CUI =P11
11.5
IL SISTEMA A CICLO CHIUSO È STABILE
- LA MATRICE Q = P A + AT P È DEFINITA NEGATIVA
P A + AT P =11
11.5
0-2
1-3
01
-2-3
11
11.5
+-2-3
-2-3.5
= +-2-3
-2-3.5
= -4-5
-5-7
q11 = -4 < 0q11 q22 - q12 q21 = -4 • -7 - (-5 • -5) = -3 < 0
Q DEFINITA
NEGATIVA
LA CONDIZIONE DI STABILITÀ È VERIFICATANON LINEARITÀ
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
21
AT P + P A + j P - j P
= - [(-j I - AT) P + P (j I - AT) ] = - Q = Q’(j I - AT)
=
[(-j I - AT) P (j I - AT)-1 + P (j I - AT) (j I - AT)-1
= Q’ (j I - AT)-1
[ (-j I - AT) P (j I - AT)-1 + P ] = Q’ (j I - AT)-1
(-j I - AT)-1[ (-j I - AT) P (j I - AT)-1
+ (j I - AT)-1(-j I - AT)-1P ] = Q’(-j I - AT)-1
(-j I - AT)
FORMA QUADRATICA DEFINITA POSITIVA
PER ( j I - AT) NON SINGOLARE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
22
P (j I - AT)-1 +
(j I - AT)-1(-j I - AT)-1
P =
Q’
(-j I - AT)-1
P (j I - AT)-1 + P(-j I - AT)-1 > 0
P (j I - AT)-1 + P(-j I - AT)-1 > 0bT bTb bT
COMPLESSE CONIUGATE
2 Re [bTP (j I - A)-1 b ] > 0
= cT (j I - A)-1 b bTP
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
23
G(j) = cT (j I - A)-1 b
cT = bTP
cT
2 Re [bTP (j I - A)-1 b ] > 0
Re [ G(j)] > 0
CONDUZIONE SUFFICIENTE AFFINCHÈ IL SISTEMA A CICLO CHIUSO, COSTITUITO DA UN SISTEMA DINAMICO STABILE LINEARIZZATO INTORNO AD UN PUNTO DI LAVORO, E DA UNA NON LINEARITÀ ISTANTANEA, LA CUI CARATTERISTICA STATICA SIA COMPRESA NEL PRIMO E NEL TERZO QUADRANTE E SIA NULLA SOLO NELL’ORIGINE, RITORNI NELLA CONDIZIONE DI FUNZIONAMENTO NOMINALE DOPO UNA PERTURBAZIONE DOVUTA AD UN DISTURBO DI TIPO IMPULSIVO
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
24
f(0) = 0
f(e)e <0 <
e
f(e)
Re [ G(j) ] > 0
y*(t) = 0 e(t) f[e(t)] y(t)
(t)
PER IL SISTEMA ILLUSTRATO IN FIGURA È VERIFICATA LA CONDIZIONE DI
STABILITÀ ASSOLUTA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
25
()k
* = - ()
k
e
f(e
) k e
()
(
)
*
()* f (
e)
e
k e
e(t) f[e(t)]
e(t) f[e(t)]
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
26
t)
1
k
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
27
y*t)=0 f[et)] y(t)G(j)
(t)
et)
e(t) f [e(t)]t)
1k
G(j)y*t)=0 yt)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
28
e(t) f [e(t)]t)
1k
G(j)y*t)=0 yt)
f [e(t)]G(j)
yt)
1k
e(t)y*t)=0
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
29
f [e(t)]G(j)
yt)
1k
e(t)y*t)=0
yt)G(j) + 1
kf [e(t)]e(t)y*t)=0
Re [ G(j) + k ] > 01k
G( j )k1
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
30
SISTEMA DA CONTROLLARE INCERTEZZE DOVUTE ALLE VARIAZIONI DEI PARAMETRI FISICI
G( j )
NONLINEARITÀCARATTERISTICA STATICA
COSTANTE
SISTEMA DA CONTROLLAREA PARAMETRI COSTANTI
G( j )
NONLINEARITÀCARATTERISTICA STATICAVARIABILE IN UN SETTORE
BEN DEFINITO
k 2
k1
e(t) f[e(t)]
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
31
k2
k1
e(t) f[e(t)]
(k2- k1)
k1
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
32
e(t) f[e(t)]
k1
k2 - k1
1
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
33
e(t)y*(t)=0 f[e(t)]
G(j)y(t)
(t)
k1
k2 - k1
1
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
34
y*(t)=0
G(j)y(t)
(t)
k1
k2 - k1
1
f[e(t)]e(t)y*(t)=0
G(j)y(t)
(t)
k1k2 - k1
1
e(t)y*(t)=0 y(t)
(t)
k2 - k1
1
e(t) G(j)1+k1G(j)
y*(t)=0 y(t)
(t)
e(t) G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
35
y*(t)=0 y(t)
(t)
e(t) G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+
G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+Re > 0
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
36
G(j)1+k1G(j)
1k2 -k1
+Re > 0
1
k2 -k1
1+k2G(j)-k1G(j)+k1G(j)
1+k1G(j)Re > 0
1+k2G(j)
1+k1G(j)Re > 0
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
37
1+k2G(j)
1+k1G(j)Re > 0
Re > 0+G(j)1
k1
+G(j)1k2
Re[G(j)]+1k1
Re[G(j)]+1k2
Im[G(j)]+ > 02
XYX
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
38
Re[G(j)]+1k1
Re[G(j)]+1k2
+ > 0Im[G(j)]2
Re[G(j)]2
Im[G(j)]2
Re[G(j)]+ +1k1
1k2
+ +1
k1 k2
> 0
+1k1
1k2
1k1 k2
> 0X 2 + Y 2 + X +
EQUAZIONE DI UNA CIRCONFERENZA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
39
Re[G(j)]Im
[G(j
)]
G(j)
- 1k2
- 1k1
+1k1
1k2
1k1 k2
> 0X 2 + Y 2 + X +
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
40
d(t)
MODALITÀ
DI CONTROLLO
SISTEMA DA
CONTROLLARE
y*(t) y(t)u(t) f(u(t))f(u(t))
ATTUATOREVALVOLA DI
REGOLAZIONEREGOLATORE
P D
y*(t)=0
(t)
P(s)KP + KD sk(1 + q s)
G(s) = 1 + q s
G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P(s)
1 + q sG(s)k
Re [ G(j) P(j) + ] > 01k
Re [ (1 + jq ) P(j) + ] > 01k
NON LINEARITÀ
Re[P(j) ] - q Im[P(j)] + > 01k
YX
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
41
Re[P(j) ] - q Im[P(j)] + > 01k
EQUAZIONE DI UNA RETTA
Re[P(j)]
I
m[P
(j)]
1k
-
1q k
P*(j) = Re[P(j)] + j Im[P(j)]
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
42
d(t)
MODALITÀ
DI CONTROLLO
SISTEMA DA
CONTROLLARE
y*(t) y(t)u(t) f(u(t))f(u(t))
ATTUATOREVALVOLA DI
REGOLAZIONE
y*(t)=0
(t)
P(s)
G(s) = 1 + q s
G(s) P(s) = ( 1 + q s ) P*(s)
Re [ G(j) P*(j) + ] > 01k
Re [ (1 + jq ) P*(j) + ] > 01k
NON LINEARITÀ
Re[P*(j) ] - q Im[P*(j)] + > 01k
G(s)REGOLATOREP I D
KP +KD s +KI
sK
s(1+1s)(1+2s)K(1+1s) P(s)(1+2s)
sk(1 + q s)P(s)
sP*(s)1 + q s
k
YX
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
43
Re[P*(j) ] - q Im[P*(j)] + > 01k
EQUAZIONE DI UNA RETTA
Re[P(j)]
I
m[P
(j)]
Re[P*(j)] + j Im[P*(j)]
1k
-
1q k
1k
P(j
Re
ImIm
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
44
Re[P(j)] - Im[P(j)] + > 01k*
Re[P(j) + ] > 01k
1k*
P*(jRe
Im
d (t)(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
45
G(s)NONLINEARITÀ
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
tempo
tempo
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
46
EFFETTI DELLA NONLINAERITÀ SULL’ANDAMENTODELLE VARIABILI DI INGRESSO E DI USCITA VARIABILE
DI INGRESSOVARIABILEDI USCITA
SINUSOIDALE DISTORTA
NONLINEARITÀ
ARMONICA FONDAMENTALE DISTORSIONE
UTILIZZABILE AI FINI DEL CONTROLLO
QUASI TOTALMENTEATTENUATA DAL
SISTEMA DA CONTROLLARE
DALLA STRATEGIADI CONTROLLO
AL SISTEMADA CONTROLLARE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
47
VARIABILE DI INGRESSOSINUSOIDALE
NONLINEARITÀ VARIABILE DI USCITA
ARMONICAFONDAMENTALE
ARMONICHESUPERIORI
EFFETTO QUASI TRASCURABILE
SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE
CONTROLLATA
DINAMICAL’AMPIEZZA DIPENDE SIA DALL’AMPIEZZA
SIA DALLA PULSAZIONE DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.
ISTANTANEAL’AMPIEZZA DIPENDE SOLO
DALL’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.
IN UN SISTEMA A CONTROREAZIONE, LA NONLINAERITÀ PUÒ ESSERE VISTA COME UN ELEMENTO CARATTERIZZATO DA UN GUADAGNO VARIABILE SIA CON L’AMPIEZZA SIA CON LA PULSAZIONE DEL SEGNALE DI INGRESSO
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
48
VARIABILE DI INGRESSOSINUSOIDALE
ARMONICAFONDAMENTALE
ARMONICHESUPERIORI
EFFETTO QUASI TRASCURABILE
SULL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE
CONTROLLATA
NONLINEARITÀISTANTANEASIMMETRICA
AD UN VALORE
NONLINEARITÀISTANTANEASIMMETRICA
A DUE VALORI
LO SFASAMENTO FRA L’ARMONICA FONDAMENTALEE LA SINUSOIDE DI INGRESSO DIPENDE DALL’AMPIEZZA DI
QUEST’ULTIMA
SFASAMENTO NULLO FRA SINUSOIDE DI INGRESSO E
ARMONICA FONDAMENTALE
VARIABILE DI USCITA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
49
FUNZIONAMENTO IN OSCILLAZIONE PERMANENTE
IN OSCILLAZIONE PERMANENTE LA NONLINEARITÀ È ASSIMILABILE AD UN GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE DELLA:
- PULSAZIONE * DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE;
- AMPIEZZA E* DELLA ARMONICA FONDAMENTALE.
d (t)(t)
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))NON
LINEARITÀ P(j)
ARMONICA FONDAMENTALE E RESIDUO ARMONICO
OSCILLAZIONE PERMANENTE ASSIMILABILE AD UNA SINUSOIDE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
50
FUNZIONE DESCRITTIVA
IL GUADAGNO VARIABILE FUNZIONE, CALCOLATO COME RAPPORTO FRA L’AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA DALLA NONLINEARITÀ E L’AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO ALLA NONLINEARITÀ, È DETTA FUNZIONE DESCRIVA E INDICATA CON D(E*,* )
y(t)e(t) f(e(t))D(E*,*)FUNZIONE
DESCRITTIVAP(j)
y*(t) = 0
(t)
D(E*,*) =
AMPIEZZA DELLA ARMONICA FONDAMENTALE DELLA VARIABILE DI USCITA
AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
51
ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE
ef(
e)
e
D(e
)
e
f(e)
-1
-1
e
D(e
)
1
e
f(e)
1-1
e
D(e
)1
1
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
52
ANDAMENTI DI ALCUNE FUNZIONI DESCRITTIVE
ef(
e)
-1
-1.2
e
D(e
)
1
.2 1
e
f(e)
e
D(e
)
Re[D(e)]
Im[D(e)]
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
53
d (t)(t)
G(s)y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
k P(j)
W(j) =kP(j)
1 + kP(j)
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONEPER UN SISTEMA LINEARE
ASSEGNATA LA P(j), INDIVIDUARE I VALORI DEL GUADAGNO k E DELLA PULSAZIONE RELATIVE ALLA OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ
GLI ALTRI POLICON PARTE REALE NEGATIVA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
54
W(j ) =kP(j)
1 + kP(j)=
k N(P(j))
D(P(j)) + k N(P(j))=
k N(P(j))
(j)• • • ((j)2 + 2)=
k N(P(j))
(j)• • • ( -2 +
2 )0
W(j ) =
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE AL LIMITE DI STABILITÀ
j
j
-j
COPPIA DI POLI COMPLESSI CON PARTE REALE NULLA
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A W(j)
NON LINEARITÀ
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55
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A G(j)
Re[P(j)]
Im[P
(j
)]
- 1
k P(j)
Re[P(j)] = - 1k
Im[P(j)] = 0
modulo |P(j)| = 1k
fase [P(j)] = -
y( t +T ) = y( t )
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE RELATIVA A y(t)
t t+T t+2T
y( t + ) = - y( t )T2 t t+T/2 t+T
NON LINEARITÀ
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56
CONDIZIONE DI OSCILLAZIONE PERMANENTE
OVVERO DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE SI DEFINISCE CICLO LIMITE UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI
PULSAZIONE COSTANTE E DI FORMA CHE SI RIPETE CICLICAMENTE
IN CORRISPONDENZA DEL FUNZIONAMENTO IN CICLO LIMITE SI HA:
W(j*) =D(E*,*) P(j*)
1 + D(E*,*) P(j*)=
OSSIA1 + D(E*,*) P(j*) = 0
CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITEPER SPECIFICI VALORI DI E* E DI *
SE IL SISTEMA DA CONTROLLARE HA CARATTERISTICHE FILTRANTI TALI DA RENDERE TRASCURABILE IL RESIDUO ARMONICO
NON LINEARITÀ
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57
SE LA NONLINEARITÀ È ISTANTANEA LA FUNZIONE DESCRITTIVA DIPENDE SOLO DALLA AMPIEZZA DELLA SINUSOIDE DI INGRESSO.
LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DI CICLO LIMITE RISULTA PERTANTO:
1 + D(E*) P(j*) = 0
VERIFICA DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE
VERIFICA SE ESISTONO ESISTONO VALORI DI E* E DI * PER CUI È VERIFICATA LA SEGUENTE RELAZIONE
P(j*) = -1
D(E*)
LA CONDIZIONE DI ESISTENZADEL CICLO LIMITE È VERIFICATA !
NON LINEARITÀ
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58
I VALORI DI E* E DI * SONO INDIVIDUATI TRACCIANDO
SEPARATAMENTE IL LUOGO DI P(j) PER COMPRESO FRA 0 E
E IL LUOGO DI -1/D(e) PER e COMPRESO FRA 0 E
= = 0
P(j)
e
e 0D(e)1
SOLO SE I LUOGHI SI INTERSECANO LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE È VERIFICATA
= = 0
P(j)
e = 0 e
LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL CICLO LIMITE NON È VERIFICATA
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
59
-1
SE IL SISTEMA A CONTROREAZIONE FOSSE STATO LINEARE SAREBBE STATO STABILE
tempo
usci
tafo
rzam
ento
LA NON LINEARITÀ DEGRADALE PRESTAZIONI MA NON ALTERA LA STABILITÀ
e 0
LUOGO RELATIVO ALLAFUNZIONE DESCRITTIVA DI UNA NONLINEARITÀ DI TIPO A SATURAZIONE
1
D(e)
NON LINEARITÀ
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60
-1
CICLO LIMITESTABILE
0 e
e
CICLO LIMITEINSTABILE
D(e)1
e
D(e
)
1
.2 1
FUNZIONE DESCRITTIVA
D E(e)d e
< 0PUNTI DI LAVORO STABILI
*
E*
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
61
-1
D(e)1
e
D(e
)FUNZIONE DESCRITTIVA
= 0 = e = 0 e
* = E* = 0
RISULTATONON VALIDO
!! IL CICLO LIMITE HA PULSAZIONE EAMPIEZZA FINITI !!
CONDIZIONE DIESISTENZA DELCICLO LIMITE
y*(t) = 0 y(t)e(t) f(e(t))
(t)
= 0 =
RISULTATOVALIDO
NON LINEARITÀ
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62
CALCOLO DIRETTO DELL’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE
VIENE APPLICATO QUANDO È ASSEGNATO :
- UN MODELLO AFFIDABILE DEL SISTEMA DA CONTROLLARE;
- LA CARATTERISTICA STATICA DELLA NON LINEARITÀ IN UNA FORMA ANALITICA DI TIPO POLINOMIALE
VIENE FISSATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
x(t) = A x(t) + b u(t)y(t) = cT x(t)
•
u(t) = f(y(t))DAL MOMENTO CHE LA NON LINEARITÀ È INSERITA IN SISTEMA A CONTROREAZIONE, IL MODELLO RISULTA:
x(t) = A x(t) - b f [cT x(t)]•
y(T) = y(0)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
63
PROCEDURA:
- IN CORRISPONDENZA DI UN VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T VIENE RICAVATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA.
PER TRACCIARE L’ANDAMENTO DEL CICLO LIMITE OCCORRE DETERMINARE IL PERIODO T E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x(0) = x0
y(T) = cT x(T) = cT (T) x0 + cT (T)
- VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x0 IN FUNZIONE DEL VALORE ASSEGNATO DEL PERIODO T
x0 (T) = - [ I + (T) ] -1 + (T)
- VIENE INSERITA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
x0 (T) = (T) x0 + (T)
- VIENE CALCOLATO IL VALORE DELLA VARIABILE DI USCITA y(T) RELATIVA ALLE CONDIZIONI INIZIALI x0 (T) PRECEDENTEMENTE RICAVATE
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
64
- VIENE VERIFICATO SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È EFFETTIVAMENTE VERIFICATA
- SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ NON È VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T E LA PROCEDURA RIPARTE DALL’INIZIO
- SE LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ È VERIFICATA VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA y(t) ALL’INTERNO DEL PERIODO.
- SE LA NONLINEARITÀ È SIMMETRICA VIENE FISSATO IL SEMIPERIODO T/2 E VIENE ADEGUATA LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
ESEMPIO DI APPLICAZIONE
-1 1 00 -1 10 0 -1
x(t) = x(t) + u(t)001
•
È ASSEGNATO IL MODELLO DEL SISTEMA DA CONTROLLARE
y(t) = [ 1 0 0 ] x(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
65
È LA NONLINEARITÀ È COSTITUITA DA UN RELÈ. IL MODELLO ANALITICO RISULTA
u(t) = - sign [ y(t) ]
DAL MOMENTO CHE TALE NONLINEARITÀ È DEL TIPO ISTANTANEO E SIMMETRICO, IL METODO SARà APPLICATO FACENDO RIFERIMENTO AL SEMIPERIODO, OSSIA A T/2
PER INIZIALIZZARE IL METODO, UNA PRIMA STIMA DELLA DURATA DEL SEMIPERIODO VIENE EFFETTUATA DALLA DETERMINAZIONE DELLA PULSAZIONE IN CORRISPONDENZA DELLA QUALE LA PARTE IMMAGINARIA DELLA FUNZIONE DI TRASFERMENTO
NEL CASO IN ESAME SI HA:
PER = 1.73 SI HA Im[P(j *)] = 0 DA CUI T* = 3.6 E T*/2 = 1.8
VIENE CALCOLATO y0(T/2) = cT x0(T/2) PER T/2 VARIABILE FRA .8 (T*/2) E 1.2 (T*/2)
LA CODIZIONE DI PERIODICITÀ COINCIDE CON QUELLA DI COMMUTAZIONE E RISULTA
y(T/2) = 0
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
66
1.6 1.8 2
-.4
-.2
0
.2
2.2 T/2y 0
(T/2
)
T*/2 =1.84
VIENE TRACCIATO L’ANDAMENTO DI y0(T/2) IN FUNZIONE DI T/2
IN CORRISPONDENZA DI y0(T/2) = 0 SI INDIVIDUA IL VALORE DI T*/2LE CORRISPONDENTI CONDIZIONI INIZIALI x0(T*/2) RISULTANO
x0(T*/2) = 0
-2.9-7.6
UNA VOLTA DETERMINATI T*/2 E x0(T*/2) SI CALCOLA L’ANDAMENTODELLA OSCILLAZIONE. NEL CASO PARTICOLARE SI HA
.1 .2 .3 t (sec)
1
0
-1
y(t)
T = 3.68
NON LINEARITÀ
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67
P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
DISPOSITIVODI MISURA
y(t)y*(t) e(t) m(t) u(t)
p(t)
tempo
m(t)e(t)p(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
68
P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
DISPOSITIVODI MISURA
y(t)y*(t) e(t) m(t) u(t)
p(t)
tempo
e(t) m(t)
p(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
69
(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t)
x(0)= x0
y(t)u(t)
tempo
u(t)
1
a 0 10 0
= 01
=0a
0 =
tempo
u(t)
0 - 0
= 01
=10
0 =
tempo
u(t)
Uo 0 = 1 = a0 =
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
70
x(0)= x0(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t)y(t)u(t)
(t) =x(t)
(t)S =
A
b T
0 =x0
0
A
B T
(t)cT
0 I0 y(t)
u(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
71
x(t) = (t) x0 + (t) 0
t1
t2a1
a2
ESEMPIO DI APPLICAZIONE PER IL CALCOLO DELL’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI USCITA NEL FUNZIONAMENTO A REGIME PERMANENTE
•x0
•
y(t) = cT x(t)x(t) = A x(t) + b u(t)
y(t)u(t)
e S
t =e
A
t
e
t0
(e
A
te
t) b(t) A-1(e
A
t – I)b(t)
CONDIZIONE DIPERIODICITÀ
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
72
t1
t2a1
a2
0a1
0 1 =0
-a2
0 2 =
(t1)
(t1)
(t2)
(t2)
x0 x(t1) x0
x(t1) = (t1) x0 + (t1) 01
x(t2) = (t2) x(t1) + (t2) 02 = x0
x0= (t2)((t1) x0 + (t1) 01 ) + (t2) 02
x0 = ((t2)(t1) – I)-1 ((t2)(t1) 01 + (t2) 02 ) PER 0 < t < t1
y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 01 )PER 0 < t < t2
y(t) = cTx(t) = cT((t) x(t1) + (t) 02 )
P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
y(t)m(t) u(t)
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
73
(s+1)(s+3)
2s+6s1
s2+.5s+1.5
1
METODO DIRETTO 2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI
2 TRACCIAMENTO
METODO INDIRETTO 18 ITERAZIONI:2 AGGIORNAMENTO DELLE
CONDIZIONI INIZIALI
1 TRACCIAMENTO
tempoT
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
74
y(t) = cT x(t)
•x(t) = A x(t) + b u(t)
x0(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
u(t) y(t)
(t)= (t) + y(t)•
0= 0
(1)
(2)
=
2 T
n
2 T
- n
0
0=
0
2T
1)=
0
T2 T
ncos( )t y(t) dt2T 2)
=
0
T2 T
nsin( )t y(t) dt2T
y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 0 )
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
75
(t) =(t)
(t) =
S
cT 0]
0
0 =0
0
(t) = (t) • (0) = 0
x(t)
(t)
(t)
VARIABILI DI STATO
FORZAMENTO
COMPONENTIIN FASE E
IN QUADRATURA
A0
cT
00
b0
x(t)
(t)(t)
•
••
= 0
x0
0
x0 0
t
T
NON LINEARITÀ
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
76
0 10 20 30 40 50ordine delle armoniche
PROCEDURA:1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI x0 PER IL
TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI x0 NEL VETTORE (t)
PER IL CALCOLO DELLE CONPONENTE ARMONICHA DI ORDINE n3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE