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Universidade Federal do Rio de Janeiro
APLICAÇÃO DE MODELOS VISCOELÁSTICOS NA ANÁLISE DOS EFEITOS REOLÓGICOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO
ARMADO OU PROTENDIDO
Gabriel Costa Valente Moraes
2018
APLICAÇÃO DE MODELOS VISCOELÁSTICOS NA ANÁLISE DOS EFEITOS
REOLÓGICOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO OU PROTENDIDO
Gabriel Costa Valente Moraes
Projeto de Graduação apresentado ao
curso de Engenharia Civil da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador: Ricardo Valeriano Alves, D. Sc.
Co-orientador: José Antonio Fontes Santiago, D. Sc.
Rio de Janeiro
Agosto de 2018
ii
Moraes, Gabriel Costa Valente
Aplicação de modelos viscoelásticos na
análise dos efeitos reológicos em estruturas de
concreto armado ou protendido / Gabriel Costa
Valente Moraes. – Rio de Janeiro: UFRJ / Escola
Politécnica, 2018.
vii, 90 p.: il.; 29,7 cm
Orientador: Ricardo Valeriano Alves
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola
Politécnica / Engenharia Civil, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 88 – 90
1. Introdução. 2. Reologia. 3. Modelos
viscoelásticos. 4. Caracterização do problema. 5.
Solução do problema. 6. Influência da retração. 7.
Influência da relaxação. 8. Comparação entre
modelos. 9. Conclusões e sugestões de
continuidade I. Alves, Ricardo Valeriano; II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ,
Curso de Engenharia Civil. III. Título.
iii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
APLICAÇÃO DE MODELOS VISCOELÁSTICOS NA ANÁLISE DOS EFEITOS
REOLÓGICOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO OU PROTENDIDO
Gabriel Costa Valente Moraes
Agosto/2018
Orientador: Ricardo Valeriano Alves
Co-orientador: José Antonio Fontes Santiago
Curso: Engenharia Civil
A partir dos modelos viscoelásticos fundamentais básicos e combinados para descrição
do comportamento viscoelástico, pretende-se desenvolver algoritmos para avaliação
dos efeitos reológicos nas estruturas em concreto armado ou protendido. Através de
exemplos simples, pretende-se analisar a influência da retração e fluência no concreto
e mesmo da relaxação do aço de protensão. O objetivo maior é contribuir para a análise
dos efeitos reológicos em estruturas em concreto protendido sujeitas a expressiva
variação do modelo estrutural ao longo do tempo, caso típico das pontes construídas
pelo processo de balanços sucessivos.
Palavras-chave: Fluência, retração, relaxação, reologia, viscoelásticos, modelos
iv
Abstract of Undergraduate Projetct presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Civil Engineer.
APPLICATION OF VISCOELASTIC MODELS IN THE ANALYSIS OF RHEOLOGICAL
EFFECTS IN REINFORCED OR PRESTRESSED CONCRETE STRUCTURES
Gabriel Costa Valente Moraes
August/2018
Advisor: Ricardo Valeriano Alves
Co-advisor: José Antonio Fontes Santiago
Course: Engenharia Civil
From the basic and combined viscoelastic models to describe the viscoelastic behavior,
it is intended to develop algorithms for the evaluation of rheological effects in reinforced
or prestressed concrete structures. Through simple examples, it is intended to analyze
the influence of shrinkage and creep on concrete and the same of relaxation of the
pretension steel. The main objective is to contribute to the analysis of the rheological
effects in structures in prestressed concrete subject to the expressive variation of the
structural model over time, a typical case of the bridges constructed by the process of
successive balances.
Keywords: Creep, shrinkage, relaxation, rheology, viscoelastic, models
v
Sumário
1 Introdução ................................................................................................... 1
1.1 Motivação ............................................................................................ 1
1.2 Objetivo ................................................................................................ 2
1.3 Estrutura da pesquisa .......................................................................... 2
2 Reologia ...................................................................................................... 4
2.1 Definição .............................................................................................. 4
2.2 Deformações do concreto .................................................................... 4
2.2.1 Retração plástica ............................................................................ 7
2.2.2 Retração autógena ......................................................................... 8
2.2.3 Retração por secagem .................................................................... 8
2.2.4 Deformação instantânea ................................................................. 9
2.2.5 Fluência ou deformação lenta ......................................................... 9
2.2.6 Fatores influenciando a fluência e retração por secagem ............. 17
3 Modelos viscoelásticos .............................................................................. 24
3.1 Elementos básicos ............................................................................. 24
3.1.1 Mola .............................................................................................. 24
3.1.2 Amortecedor ................................................................................. 25
3.2 Fluido de Maxwell .............................................................................. 26
3.3 Sólido de Kelvin ................................................................................. 29
3.4 Modelo de Boltzmann ........................................................................ 31
3.5 Equação constitutiva da viscoelasticidade ......................................... 34
3.6 Coeficientes de fluência e relaxação .................................................. 35
3.7 Princípio da correspondência ............................................................. 36
4 Caracterização do problema ..................................................................... 40
4.1 Obtenção dos coeficientes ................................................................. 41
4.2 Método de solução ............................................................................. 45
4.3 Dados iniciais ..................................................................................... 48
vi
5 Solução do problema ................................................................................ 49
5.1 Variação dos dados iniciais ................................................................ 49
6 Influência da retração ................................................................................ 52
6.1 Retração isolada ................................................................................ 52
6.1.1 ACI209.2R-08 ............................................................................... 53
6.1.2 AS3600-2009 ................................................................................ 56
6.2 Análise da retração e fluência em conjunto ........................................ 59
6.2.1 Comparação dos resultados ......................................................... 60
7 Influência da relaxação ............................................................................. 65
7.1 Caracterização do problema .............................................................. 65
7.2 Método de solução ............................................................................. 66
7.3 Solução do problema ......................................................................... 71
8 Comparação entre modelos ...................................................................... 73
8.1 Método de Runge-Kutta ..................................................................... 74
8.1.1 Segunda Ordem ............................................................................ 74
8.1.2 Terceira ordem .............................................................................. 77
8.1.3 Quarta ordem ................................................................................ 81
8.2 Solução da equação diferencial ......................................................... 82
8.3 Solução do problema da coluna comprimida ...................................... 85
9 Conclusões e sugestões de continuidade ................................................. 87
9.1 Sugestão de continuidade .................................................................. 87
Referências Bibliográficas ............................................................................... 91
1
1 Introdução
1.1 Motivação
Os efeitos reológicos que atuam sobre as estruturas de concreto armado e
protendido (retração e fluência do concreto e relaxação do aço) são fenômenos não-
lineares complexos e em geral negligenciados por profissionais da engenharia.
Usualmente, são adotados métodos simplificados para consideração dos efeitos
reológicos, que podem não refletir a realidade dos fenômenos. Além disso, a natureza
acumulativa das deformações dependentes do tempo (SMITH & COULL, 1991 e MARU
et al., 2003 apud POLETTO, 2015) justificam a relevância do estudo das mesmas em
uma sociedade na qual edifícios cada vez mais altos são a tendência.
Embora o estudo da deformabilidade das estruturas de concreto armado,
decorrentes das propriedades da retração e fluência tenha sido objeto de estudo de
muitos pesquisadores, estas propriedades estão ainda longe de serem totalmente
compreendidas (BAŽANT, 2001).
A falta de consideração ou subestimação desses efeitos estão diretamente
ligadas a patologias pós-obra, principalmente de falhas em vedações devido à
deformação excessiva dos elementos estruturais. Isso acontece devido à elaboração
dos projetos estruturais, geralmente feita com parâmetros que não representam a
deformação por fluência e retração.
Uma vez que essas deformações dependem da taxa de armadura e da relação
volume-superfície, além das propriedades dos materiais (OLIVEIRA, 2011), estas são
reduzidas quando há um aumento nas áreas das barras das armaduras e da seção
transversal de peças submetidas ao mesmo carregamento (SMITH & COULL, 1991).
Portanto, torna-se interessante incluir uma análise dos efeitos reológicos no processo
de escolha de armaduras de um elemento estrutural, visando minimizar os danos
causados pelas deformações decorrentes de tais efeitos e, para isso, deve-se conhecer
de que forma estes influenciam no comportamento da estrutura.
Dentre os métodos empregados na prática, pode-se citar o CEB/78, que
apresenta uma formulação do tipo soma, considerando a deformação por fluência
variando linearmente com a tensão aplicada. Além deste, o método de CEB/90
apresenta uma formulação do tipo produto, com a deformação variando de forma não-
linear com a tensão. Finalmente, tem-se ainda o método da NBR-6118 que, como o
CEB/78, também é do tipo soma e assume a linearidade entre a deformação por fluência
e a tensão aplicada. Cada um destes métodos leva em consideração diversos fatores
na fluência, como umidade relativa, tipo de cimento, resistência do concreto, etc
2
(ALVES, 2017). Todavia, estes métodos adotam muitas aproximações e, por isso,
muitas vezes não condizem com a realidade, tornando-os não confiáveis.
Quanto aos modelos viscoelásticos que são apresentados, existem diversos
trabalhos que os aplicam em análises e problemas. Todavia, estes possuem uma
abordagem teórica, considerando elementos de um material viscoelástico isolado. Não
há ainda uma referência que os tenha empregado em uma situação prática de
engenharia civil, envolvendo materiais utilizados na prática, como concreto armado,
introduzindo uma interação entre o concreto e o aço. Em vista da carência de uma
análise do trabalho em conjunto destes materiais por parte desse campo de estudo,
propõe-se aqui aplicar os modelos viscoelásticos em problemas simples, porém comuns
na engenharia civil, incluindo a análise da viscoelasticidade dos materiais.
Com isso, pretende-se tocar em um problema ainda pouco explorado, criando
espaço para estudos mais aprofundados para empregar essas soluções em problemas
complexos, como por exemplo, as pontes em balanços sucessivos.
1.2 Objetivo
Diante do exposto, o objetivo do presente trabalho é analisar a influência dos
efeitos reológicos em estruturas de concreto armado e protendido, bem como a
interação entre os elementos da estrutura. A análise é feita a partir de modelos básicos
já existentes, como o de Kelvin e de Maxwell. Para isso, são empregadas soluções
analíticas já adotadas por outros autores, além de desenvolver soluções numéricas a
partir de equações diferenciais derivadas dos modelos utilizando métodos como Runge-
Kutta ou Diferenças Finitas. Essas soluções são feitas de forma computacional, com
programação em linguagem MatLab ou empregando softwares como Microsoft Excel.
1.3 Estrutura da pesquisa
O trabalho é dividido em nove capítulos:
O primeiro capítulo, introdutório, contém as informações acerca do que se trata
a pesquisa, bem como sua importância, aplicações e interesse, além de apresentar a
proposta de solução adotada no trabalho.
O segundo capítulo é destinado a conceituar os efeitos reológicos, apresentando
suas definições e descrever o comportamento típico do concreto e do aço ao longo do
tempo, incluindo fatores que influenciam os efeitos reológicos nestes materiais.
No terceiro capítulo são apresentados e descritos os modelos viscoelásticos que
são adotados para prever os efeitos reológicos.
3
O quarto capítulo tem a função de apresentar o problema viscoelástico a ser
solucionado.
No quinto capítulo apresenta-se a solução do problema descrito no capítulo
quatro, empregando os modelos introduzidos no capítulo três.
O sexto capítulo descreve a influência da retração no problema anterior,
apresentando métodos para sua previsão e solucionando o problema com a atuação da
retração e fluência em conjunto.
No sétimo capítulo apresenta-se, de forma semelhante ao capítulo anterior, a
influência da relaxação no problema. Com a solução de uma variação do problema, é
analisado o caso de concreto protendido submetido à fluência, retração e relaxação.
O oitavo capítulo apresenta comparações das soluções obtidas no quinto
capítulo com as obtidas por outro modelo apresentado no capítulo três. Neste capítulo
descreve-se o método numérico empregado para solucionar o modelo proposto.
O último capítulo contém as conclusões e sugestões de continuidade, propondo
um novo problema e descrevendo a forma de solução do mesmo.
4
2 Reologia
2.1 Definição
Reologia tem como definição: “Ramo da física que estuda a viscosidade, a
plasticidade, a elasticidade e o escoamento da matéria em geral” (www.dicio.com.br) e
tem origem do grego rhein, que significa escorrer. A reologia passou a ser conhecida
em meados do século XVII por Newton e Hooke, porém apenas passou a ser estudada
em 1920, após o interesse de previsão do comportamento mecânico de materiais
industriais por parte da física, da matemática, da mecânica e da química (TANNER,
1988) e entende-se como o estudo da deformação e escoamento da matéria (VAN
WAZER et al., 1966).
A reologia analisa as respostas de um material provocadas pela aplicação de
uma tensão ou de uma deformação (DE CASTRO, 2007), ou seja, busca determinar o
valor de uma força necessária para gerar uma dada deformação em um sólido ou
escoamento em um fluido, definindo relações entre tensão e deformação, taxa de
deformação e tempo (TATTERSALL & BANFILL, 1983). Pode ser também definida
como a ciência que estuda o fluxo e a deformação dos materiais quando submetidos a
uma determinada tensão ou solicitação mecânica externa (STEIN, 1986 apud. DE
CASTRO, 2007)
O estudo reológico envolve os três estados da matéria (sólido, líquido e gasoso)
e seu escopo abrange desde deformações em sólidos elásticos ideais ou fluidos simples
até materiais com propriedades de escoamento mais complexas. Outro aspecto
importante é o caráter temporal das propriedades reológicas de uma substância, que
podem apresentar mudanças significativas em função do tempo.
2.2 Deformações do concreto
O estudo reológico aplicado à engenharia civil se mostrou extremamente
importante com a necessidade de se desenvolver uma teoria única de flexão que
descrevesse melhor a realidade (RÜSCH, 1960) e que levasse em consideração a
influência do tempo na resistência e na deformação do concreto.
O concreto, por ser constituído de cimento, água e agregados miúdo e graúdo,
é considerado um material heterogêneo, cujas propriedades ao endurecer são
influenciadas principalmente por sua estrutura interna, imaginada como sendo formada
pelo agregado graúdo embebido numa matriz de argamassa (OLVEIRA, 2011). Dessa
5
forma, suas propriedades reológicas decorrem dessa heterogeneidade, que é
condicionada pelas reações de hidratação do cimento (FUSCO, 1976).
Além disso, a NBR-7125/1996 define velocidade de carregamento de (0,25 ±
0,05) MPa/s para determinação da resistência à compressão do cimento Portland.
Todavia, a resistência do concreto é extremamente relacionada a tal velocidade, como
ficou evidenciado através de ensaios realizados por RÜSCH em 1960, que resultaram
no gráfico apresentado na Figura 1Erro! Fonte de referência não encontrada.. O
ensaio foi realizado em corpos-de-prova cilíndricos, submetidos a quatro velocidades de
carregamento (calculadas como taxa de deformação) distintas e evidencia a influência
do tempo na resistência do concreto:
Vale ressaltar que outros fatores também influenciam nas curvas obtidas, tais
como tipo de cimento, diâmetro e módulo de elasticidade dos agregados, temperatura
e umidade (RÜSCH, 1960). Analisando as curvas obtidas, observa-se que uma
velocidade de carregamento lenta acarreta em uma tensão máxima no concreto
aproximadamente 20% menor do que um carregamento rápido, de forma que sob uma
taxa de deformação de 0,001 a cada 100 dias, a tensão máxima no concreto é de
apenas aproximadamente 90% da sua resistência.
Segundo MC CEB-FIP (2010), as deformações do concreto se classificam como
mecânicas e não mecânicas, dependendo se ocorrem devido à força aplicada ou se são
inerentes do material.
0,75
0,50
0,25
1,00
Razã
o e
ntr
e ten
são
no
co
ncre
to e
re
sis
tên
cia
do
cili
nd
ro
0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
Deformação no concreto, 휀
Resistência do cilindro
𝑓𝑐′ ≅ 21 𝑀𝑃𝑎
a 56 dias
Figura 1 - Resistência do concreto para diferentes velocidades de carregamento (adaptado de RÜSCH, 1960)
6
A única deformação não mecânica observada em estruturas de concreto é a
retração, classificada como retração plástica, autógena, por secagem ou por
carbonatação.
Sobre a deformação mecânica do concreto, Neville (2011) as separa, assim
como o dicionário, em 3 categorias: elásticas, plásticas e viscosas, podendo haver
combinações entre as mesmas.
A deformação elástica é regida pela Lei de Hooke. Portanto, é instantânea, linear
(tensão e deformação são proporcionais) e reversível com o descarregamento. A
deformação plástica também é instantânea, porém é irreversível, pode depender do
tempo e não há relação entre a tensão e a deformação. Já a deformação viscosa, além
de possuir parcelas reversíveis e irreversíveis, deve variar com o tempo e há uma
proporcionalidade entre a tensão e a velocidade de deformação, ou seja, uma relação
entre a tensão aplicada e a deformação em um dado instante (NEVILLE, 2011).
Nesta última se encaixa a fluência do concreto, definida como um crescimento
da deformação sob uma tensão constante ou, caso a deformação seja mantida
constante, manifesta-se como uma redução de tensão, fenômeno que é denominado
relaxação (NEVILLE, 2011). A fluência básica é aquela que ocorre sem consideração
da umidade, ou seja, em um concreto conservado em 100% de umidade relativa
(OLIVEIRA, 2011). A influência da umidade e, consequentemente, da retração por
secagem, causa a fluência por secagem, sendo a fluência total a soma de ambas as
fluências (básica e por secagem). Finalmente, a deformação total é dada pela soma da
fluência total com a deformação por retração. Essa dinâmica é ilustrada pelo gráfico da
Figura 2 (NEVILLE, 2011).
Figura 2 - Deformação do concreto ao longo do tempo sob carregamento constante (Fonte: NEVILLE, 1997).
7
2.2.1 Retração plástica
A retração plástica é ocasionada pela evaporação de água da superfície e, como
o nome sugere, ocorre no concreto ainda no estado plástico, podendo se dar nos
primeiros minutos após a moldagem. Mehta e Monteiro (1994) discorre sucintamente
sobre as principais causas da retração plástica, listadas a seguir:
Assentamento da fôrma
Exsudação
Perda de água por evaporação
Redução no volume do sistema cimento-água
Inicialmente, após a mistura, observa-se o assentamento dos materiais: cimento
e agregados. Então, devido à diferença de peso específico, a água tende a ascender,
em fenômeno chamado exsudação, que pode ser seguido de evaporação. Esse
processo pode ser agravado por elevadas temperaturas ou velocidade do vento
(MANGAT; AZARI, 1990). Ao passo que a água evapora e a superfície se torna seca,
formam-se meniscos nos capilares entre partículas sólidas, nos quais atuam tensões
superficiais (NEWMAN; CHOO, 2003), gerando contração volumétrica do material.
Segundo Neville (2011), um dos fatores mais influentes na retração é a umidade relativa
do ar, tal que uma umidade relativa maior gera menos retração, uma vez que dificulta a
perda de água para o ar por evaporação. Além disso, a temperatura e a velocidade do
vento também são fatores preponderantes, como descreve a Tabela 1:
Tabela 1 - Retração plástica de pasta de cimento ao ar com umidade relativa de 50% e temperatura de 20°C (adaptado de NEVILLE, 2011)
A maior consequência advinda da retração plástica é a formação de fissuras,
que ocorre quando a velocidade de evaporação excede a velocidade de exsudação (ou
ascensão) da água para a superfície. O tempo necessário para que tal fato advenha
depende da composição do material, geometria do elemento e condições do ambiente
externo (SOROUSSHIAN; RAVANBAKHSH, 1998 apud. SALES, 2006). Tais fissuras
representam um risco para a vida útil da peça, uma vez que podem influenciar
negativamente sobre o comportamento mecânico, diminuindo sua resistência, além de
aumentar a vulnerabilidade à umidade e substâncias agressivas do meio externo. Como
m/s km/h
0 0 1700
0,6 2,16 6000
1 3,6 7300
7 a 8 25 a 29 14000
Velocidade do vento Retração após 8
horas (x 10-6)
8
forma de evitar a formação das fissuras, Neville (2011) sugere que se mantenha ao
mínimo a taxa de evaporação de água na superfície do concreto.
2.2.2 Retração autógena
Após o início da pega, é possível observar outro tipo de retração: a retração
autógena, causada pela hidratação do material cimentício. Esse processo, que engloba
fenômenos gerados pela reação química do cimento com a água, ocorre com a remoção
de umidade dos poros capilares por hidratação do cimento não-hidratado, resultando
numa redução de volume da pasta de cimento, sem troca de umidade e sob temperatura
constante (SALES, 2006). Os poros, que anteriormente continham água, passam a
sofrer tensões capilares, que são responsáveis pela contração do material sólido e a
consequente redução do volume.
Essas forças e, consequentemente, a retração autógena são minimizadas por
um alto fator água/cimento, que aumenta os diâmetros dos poros. Temperaturas muito
altas são responsáveis pelo aumento da intensidade dessa retração e a finura do
cimento e sua composição química (principalmente teor de aluminato tricálcico) também
interferem na mesma (GIROTTO, 2012).
A água quimicamente combinada que participa no processo de hidratação do
cimento sofre uma contração de 25% do seu volume original (KALINTZIS, 2000)
2.2.3 Retração por secagem
Também conhecida como retração hidráulica, a retração por secagem afeta não
apenas materiais cimentícios, mas também qualquer material de natureza porosa. Esse
tipo de retração acontece devido à perda de umidade por parte dos elementos
componentes do concreto para o meio ambiente, ocorrendo de forma simultânea à
retração autógena, podendo levar à formação de fissuras e reduzir a resistência e
durabilidade da peça, assim como afetar negativamente o caráter estético da construção
(KATAOKA, 2010).
Com mudanças nas condições do ambiente, ou continuidade de hidratação após
a pega do cimento, forma-se um gradiente de umidade, expelindo água por exsudação.
Então, uma vez que os vazios, anteriormente preenchidos por água, perdem umidade,
aumentam-se as tensões capilares, causando retração do elemento sólido (SALES,
2006). Esse fenômeno é semelhante à retração plástica, descrita anteriormente, se
distinguindo por acontecer com o concreto já no estado sólido.
Segundo Acker e Ulm (2001), a retração por secagem se apresenta em duas
fases: a primeira, que ocorre nas primeiras horas, enquanto ainda na fase líquida, e gera
9
fissuras irregulares e superficiais. A segunda fase ocorre a longo prazo, sendo a duração
proporcional ao quadrado da espessura da peça.
2.2.4 Deformação instantânea
Como mencionado, a deformação instantânea se dá através da Lei de Hooke,
de forma imediata à aplicação da carga. Dessa forma, a tensão aplicada é linearmente
proporcional à deformação medida, podendo ser expressa como:
휀𝑐(𝑡0) =𝜎𝑐(𝑡0)
𝐸𝑐(𝑡0)(2. 1)
onde a tensão no tempo 𝑡0 de aplicação da carga é dada por 𝜎𝑐(𝑡0), a
deformação medida no mesmo instante é denominada 휀𝑐(𝑡0) e a constante 𝐸𝑐(𝑡0) é o
módulo de elasticidade secante do concreto (GHALI et al., 2002).
Essa deformação fornece uma curva de tensão-deformação como a ilustrada na
Figura 3:
2.2.5 Fluência ou deformação lenta
A deformação lenta se difere da deformação instantânea por ser dependente do
tempo. A definição de fluência por Neville (2011), como mencionada anteriormente, é
um crescimento da deformação sob tensão constante. Já a relaxação se trata do mesmo
fenômeno, porém a deformação é mantida constante, de forma que se observa uma
redução da tensão. As figuras Figura 4 e Figura 5 ilustram ambos efeitos:
Tangente = 𝐸𝑐(𝑡0)
Tensão, 𝜎𝑐(𝑡
0)
Deformação instantânea, 휀𝑐(𝑡0)
Figura 3 - Curva tensão-deformação para deformação instantânea (adaptado de GHALI et al., 2002)
10
Figura 4 - Efeito da fluência (VALERIANO, 2018)
Figura 5 - Efeito da relaxação (VALERIANO, 2018)
A fluência foi primeiramente observada por Hatt em 1907 (RILEM, 1998). De
forma semelhante à Lei de Hooke, é possível se obter uma curva tensão-deformação
dependente do tempo para a fluência, através de um experimento que consiste na
observação da fluência a longo prazo, mantendo-se corpos de prova sob carregamento
constante, com ambiente em temperatura e umidade controladas e também constantes
e medindo sua deformação axial ao longo do tempo (SALES, 2006). A Figura 6 ilustra a
deformação do concreto ao longo do tempo.
Tensão
𝜏0 0
𝜎𝑐0
Tempo, t
Deformação total
휀𝑟𝑒(𝑡) – retração
휀𝑖𝑛(𝑡) – instantânea
𝜏0 𝜏𝑑 0 Tempo, t
휀𝑓𝑙(𝑡) – fluência
Figura 6 - Deformação do concreto ao longo do tempo sob carregamento constante (adaptado de GILBERT; RANZI, 2011)
11
O instante 𝜏𝑑 é o início do endurecimento ou final da cura úmida. Já 𝜏0 é o
instante de aplicação do carregamento.
De forma semelhante à deformação instantânea, a fluência pode ser expressa
por:
휀𝑐(𝑡) =𝜎𝑐(𝑡0)
𝐸𝑐(𝑡0)[1 + 𝜑(𝑡, 𝑡0)] (2. 2)
onde o coeficiente adimensional 𝜑(𝑡, 𝑡0) para o tempo 𝑡 de cálculo da
deformação e instante 𝑡0 de aplicação do carregamento é a relação entre a fluência e a
deformação instantânea.
Quanto menor a idade do concreto no instante 𝑡0 de aplicação da carga, maior a
fluência. Igualmente, quanto maior o período entre 𝑡 e 𝑡0, ou seja, quanto mais tempo
durar o carregamento, também será maior a fluência (GHALI et al., 2002).
É possível observar que o efeito da fluência é reduzido ao longo do tempo, ou
seja, a fluência atua sob uma taxa decrescente, de forma que aproximadamente 50%
da deformação total por fluência ocorre durante os 2 a 3 primeiros meses do
carregamento (GILBERT; RANZI, 2011). A magnitude das deformações por fluência é
tal que a deformação típica, mantendo-se um carregamento por um ano, pode chegar a
três vezes a deformação na aplicação da carga (NEVILLE, 1970).
O cálculo da fluência é feito subtraindo da deformação total a deformação por
retração de um elemento semelhante conservado nas mesmas condições durante o
mesmo período de tempo (KATAOKA, 2010).
Como já mencionado, a fluência é dividida em duas categorias: a fluência básica
e a fluência por secagem, sendo a fluência total a soma de ambas.
Segundo Acker e Ulm (2011), a água possui uma função paradoxal quanto à sua
ação sobre a fluência: em testes realizados sem troca de umidade com o ambiente
(fluência básica), quanto menor a quantidade de água evaporável da amostra, menor a
fluência. Todavia, ao reduzir a umidade do ambiente, quanto mais secagem ocorrer,
maior a fluência, como mostra a Figura 7, onde a umidade relativa é entendida como a
relação entre a umidade do ambiente e a umidade do corpo-de-prova.
12
Acker e Ulm (2011) ainda concluíram que a fluência básica pode ser observada
em dois mecanismos compatíveis com o movimento de água: o primeiro, pela sua
característica de curto prazo (da ordem de 10 dias), sugere que seja ocasionado pela
migração da água para os poros de maiores diâmetros após a aplicação do
carregamento. A ativação desse mecanismo pode ser ocasionada pela permeação nos
polos capilares saturados, o que explicaria a diminuição da fluência básica devido à
menor umidade. Já o segundo mecanismo, de longo prazo, está relacionado ao fluxo
viscoso nos hidratos, ocorrendo através de deslizamento dos lençóis de colóide.
A fluência é originada da movimentação da água no interior da estrutura de gel
do cimento sólido, devido à aplicação de um carregamento (RÜSCH, 1981). Essa
estrutura de gel possui poros capilares e é composta de lençóis de colóide de silicato
de cálcio hidratado (C-S-H), separados por vazios preenchidos por água adsorvida
(GILBERT; RANZI, 2011). As causas da fluência ainda não são totalmente conhecidas,
porém Neville et al. (1983) apud. Gilbert e Ranzi (2011) as identifica a partir dos
seguintes mecanismos:
Deslizamento dos lençóis de colóide entre as camadas de água
adsorvida (escoamento viscoso)
Migração e decomposição das águas dos vazios dentro do gel de cimento
(infiltração)
Deformação elástica dos agregados e cristais de gel com a atuação do
fluxo viscoso e infiltração (elasticidade atrasada)
Fissuração local da estrutura de gel cimentícia envolvendo a quebra e
formação de ligações físicas intermoleculares (microfissuras)
Teoria da deformação mecânica
Fluxo plástico
Fluência por secagem
Fluência básica 5
4
3
2
1
0 0 50 100
Umidade relativa (%)
Flu
ência
rela
tiva
Figura 7 - Fluência a longo prazo sob umidade relativa variável (adaptado de ACKER; ULM, 2011)
13
Ou seja, sabe-se que a fonte da fluência está na pasta de cimento hidratada e
está relacionada ao movimento de água adsorvida pelos poros. Uma vez que a fluência
pode ocorrer em concretos de grandes dimensões, a perda de água para o ambiente
não é necessária para a ocorrência da fluência básica, porém tem um papel influente na
ocorrência da fluência por secagem. Além disso, mudanças na fluência sob
temperaturas muito altas podem sugerir que sua fonte deixe de ser o movimento de
água para uma deformação no gel de cimento em si, quando nessas condições.
A função dos vazios na estrutura cimentícia na ocorrência da fluência pode ser
indicada pela relação entre a fluência e a resistência do cimento, já que a quantidade
de vazios no gel de cimento pode ser responsável tanto pela sua resistência quanto pela
fluência. Nesse caso, o volume de vazios do cimento estaria diretamente ligado à
movimentação interna de água no concreto e é determinado pelo fator água/cimento
(NEVILLE, 2011).
Normalmente, a velocidade de aplicação da carga influencia na deformação
instantânea, o que sugere que a mesma inclua não apenas a deformação elástica, mas
também uma parte da fluência inicial. Isso torna complexa a diferenciação entre a
deformação instantânea, regida pela Lei de Hooke e proporcional ao módulo de
elasticidade do material, e a fluência inicial. No entanto, a deformação total permanece
a mesma.
2.2.5.1 Reversibilidade
Parte dos estudos que envolvem a previsão da fluência foi direcionada para
entender seu caráter de reversibilidade no descarregamento. Por não se tratar de uma
deformação totalmente elástica, parte da deformação por fluência será irreversível,
como exemplificado pela Figura 8Erro! Fonte de referência não encontrada.:
14
Figura 8 - Curva de deformação do concreto ao longo do tempo no carregamento e descarregamento para até 40% da carga de ruptura (SCANDIUZZI; ANDRIOLO, 1986)
Todavia, segundo Rüsch et al. (1983), ensaios como os realizados por McHenry
foram capazes de tratar a parte recuperável da fluência, a partir do princípio de
superposição das deformações. Esse tratamento determina que qualquer deformação
no tempo 𝑡 advinda de um incremento de carga aplicado em um instante 𝑡0 é
independente dos efeitos de qualquer tensão aplicada em um momento anterior ou
posterior a 𝑡0. Dessa forma, caso haja um descarregamento em um instante 𝑡1, a
recuperação da fluência em qualquer momento seguinte será igual à deformação por
fluência no mesmo momento de um elemento carregado com a mesma tensão na idade
𝑡1.
15
Figura 9 - Recuperação da fluência através do princípio de superposição proposto por McHenry (NEVILLE, 2011)
A Figura 9 demonstra a recuperação da deformação por fluência em um
elemento sem exposição ao ambiente, ou seja, trata apenas da fluência básica. Note
que o termo fluência específica refere-se à deformação de fluência por unidade de
tensão aplicada.
O princípio da superposição determina, de um modo geral, uma recuperação
exagerada, o que significa que a deformação residual após o descarregamento costuma
ser maior do que a prevista, ou seja, a fluência é, de fato, menor do que o esperado.
Isso se dá porque o princípio da superposição trata a fluência como uma deformação
elástica atrasada, cuja recuperação é impedida pela hidratação do cimento. (NEVILLE,
2011). Tal suposição não é totalmente correta, uma vez que existe uma parcela da
fluência causada por um fluxo irreversível.
É importante ressaltar que McHenry validou este princípio com base em
experimentos sobre corpos-de-prova isolados e, portanto, apenas sujeitos à fluência
básica. Dessa forma, ao introduzir a possibilidade de perda de água, o erro se torna
elevado tal que a recuperação é extremamente superestimada (RÜSCH et al., 1983).
De forma a confirmar o princípio da superposição, Rüsch et al. (1983) realizou
experimentos em três corpos-de-prova, que foram carregados igualmente, porém em
idades distintas e durante períodos diferentes, como pode ser visto na Figura 10Erro!
Fonte de referência não encontrada.. O corpo-de-prova A foi carregado aos 28 dias,
o corpo-de-prova B aos 90 dias, e o corpo-de-prova C carregado aos 28 dias e
descarregado aos 90 dias. Foram medidas as deformações destes três corpos-de-prova
ao longo do tempo.
16
Dessa forma, o resultado esperado deveria ser C = A - B. Porém, como mostra
a Figura 11, tal suposição não é inteiramente correta.
Esse experimento demonstra, portanto, o erro associado com a suposição do
princípio de que a fluência é uma deformação elástica atrasada.
De forma semelhante ao descarregamento e recuperação da fluência, Mehta e
Monteiro (2008) concluíram que a retração por secagem também possui um caráter
recuperativo na molhagem. A Figura 12 demonstra que, assim como a recuperação da
fluência, a recuperação da retração também apresenta uma parte irreversível, sendo a
deformação total por retração a soma da retração reversível por molhagem e a retração
irreversível.
Idade do concreto, dias 90 28
Carga Idade do concreto, dias 90 28
Idade do concreto, dias 28
Carga Experimento
A
Carga
B
C
Superposição: A - B
B
A
C
Idade do concreto, dias
0
0
2
4
6
10-5
100 200 300 400
Figura 11 - Deformações por fluência dos corpos-de-prova A, B e C (adaptado de RÜSCH et al., 1983).
Figura 10 - Teste experimental para avaliar o princípio da superposição: C = A - B (adaptado de RÜSCH et al., 1983).
17
Figura 12 - Recuperação da retração por secagem (MEHTA; MONTEIRO, 2008 apud. KATAOKA, 2010)
2.2.6 Fatores influenciando a fluência e retração por secagem
Muitas análises, como as feitas a partir do princípio da superposição, são
baseadas na suposição de que a fluência e a retração são fenômenos independentes,
o que não é o caso exatamente, de modo que a retração possui o efeito de aumento da
magnitude da fluência. Todavia, em casos práticos, ambos ocorrem de maneira
simultânea, sendo muito semelhantes e correlacionados em diversos aspectos. Por isso
torna-se conveniente tratar os dois de forma única.
Diversos fatores influenciam nos fenômenos da fluência e retração por secagem,
de forma que o controle dessa influência é extremamente complexo, uma vez que tais
fatores estão ligados entre si, e alterando um deles certamente modifica-se algum outro
(KATAOKA, 2010). Aqui enumeramos e explicamos estes fatores que são capazes de
influenciar no comportamento do concreto quanto às deformações por fluência e
retração.
2.2.6.1 Materiais e dosagem
Inicialmente, é válido ressaltar que a fluência e a retração ocorrem na pasta de
cimento hidratada, sendo o papel do agregado apenas o de contenção dessas
deformações. O agregado comumente utilizado sob tensões da ordem de grandeza das
atuantes no concreto em si não está sujeito a esses tipos de deformação. Assim, é lógica
a conclusão de que a fluência do concreto é uma função do teor de pasta de cimento
utilizado. Segundo Neville (2011), essa relação não é linear, e obedece a equação (2.3),
que relaciona a fluência do concreto 𝑐, o teor de agregado 𝑔, o volume de pasta de
18
cimento não-hidratado 𝑢 e a fluência 𝑐𝑝 da pasta de cimento pura de mesma qualidade
da usada no concreto:
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑝
𝑐= 𝛼 ∙ 𝑙𝑜𝑔 (
1
1 − 𝑔 − 𝑢) (2. 3)
Tal que a constante alfa é dada por:
𝛼 =3 ∙ (1 − 𝜇)
1 + 𝜇 + 2 ∙ (1 − 2 ∙ 𝜇𝑎) ∙𝐸𝐸𝑎
(2. 4)
onde 𝜇𝑎 é o coeficiente de Poisson do agregado, 𝜇 é o coeficiente de Poisson do
concreto, 𝐸𝑎 é o módulo de elasticidade do agregado e 𝐸 é o módulo de elasticidade do
concreto.
A maior influência dos agregados advém do seu teor, de tal forma que um
aumento de 65% a 75% deles é capaz de reduzir a fluência em 10%. A granulometria e
o formato influenciam de forma indireta, mas devido ao seu efeito de modificar o teor do
agregado. Além disso, o módulo de elasticidade do agregado também representa
grande importância para a fluência e retração, tal que quanto maior o mesmo, maior a
capacidade do agregado de conter a deformação, diminuindo-a (NEVILLE, 2011).
Segundo Mehta e Monteiro (2008), isso pode explicar a influência do volume de pasta
de cimento na retração e fluência, pois quanto mais cimento utilizado, menor é a fração
dos agregados, aumentando tais deformações.
É possível ainda que a porosidade do agregado tenha influência sobre as
deformações por fluência e retração, porém isso pode ser explicado pelo fato dos
agregados mais porosos em geral possuírem um menor módulo de elasticidade. A
porosidade dos agregados pode ainda gerar um ambiente propício para a ocorrência de
fluência e retração por secagem, pois pode facilitar a movimentação de água dentro da
estrutura do concreto (NEVILLE, 2011). Seguindo a lógica apresentada para essas
características, é possível determinar que o tipo de agregado desempenha um papel
importante na fluência e retração por secagem, já que para cada tipo as características
mencionadas variam. A Figura 13 apresenta resultados de um estudo conduzido por
Troxell et al. apud. Kataoka (2010), que relaciona os tipos de agregado com as
deformações por fluência e retração por secagem:
19
Figura 13 - Fluência e retração por secagem em função dos tipos de agregado (TROXELL et al. apud. KATAOKA, 2010)
O fator água/cimento também pode influenciar na fluência e retração por
secagem, de forma que um aumento do mesmo significa um aumento da
permeabilidade e diminuição da resistência, intensificando a magnitude das
deformações por fluência e retração (KATAOKA, 2010). Brooks apud. Neville (2011)
demonstra que a retração da pasta de cimento hidratada é diretamente proporcional ao
fator água/cimento para valores entre 0,2 e 0,6. Para valores acima deste intervalo, a
água excedente é removida por secagem sem a ocorrência de retração.
2.2.6.2 Resistência e tensão
Existe uma relação direta entre a tensão aplicada no concreto e a fluência
consequente. De acordo com Neville (2011), essa proporcionalidade se mantém desde
níveis de tensão muito baixos (visto que a fluência ocorre mesmo para pequenas
tensões), até tensões mais altas, quando se tem início um estado de fissuração grave,
geralmente entre 40% e 60% da resistência do concreto, podendo ir tão baixo quanto
30% ou alto até 75%. Acima do limite de 80% a 90% da resistência, as deformações por
fluência podem causar uma falha temporal, na qual a razão de aumento da fluência
devido a um acréscimo na tensão aumenta até que o concreto atinja sua deformação
máxima e sofra ruptura. Todavia, de qualquer forma, para tensões em serviço, é
possível assumir que a proporcionalidade entre tensão e deformação por fluência é
válida.
Além disso, é possível constatar que as deformações por fluência são
inversamente proporcionais à resistência do concreto na idade de aplicação da carga
(MEHTA; MONTEIRO, 2008), como pode ser observado na Tabela 2:
20
Tabela 2 - Fluência específica final de concretos de diferentes resistências carregados a idade de 7 dias (adaptado de NEVILLE, 2011)
Com isso conclui-se que existe uma relação linear entre as deformações por
fluência e a razão tensão/resistência do concreto e, apesar de fatores como relação
água/cimento e tipo de cimento também influenciarem na fluência, a razão
tensão/resistência tem maior finalidade prática, uma vez que são grandezas facilmente
obtidas do projeto. É possível assumir que para uma mesma relação tensão/resistência,
a fluência é aproximadamente independente do fator água/cimento. Além disso, a idade
de aplicação da carga tem como influência apenas a determinação da resistência do
concreto no momento do carregamento, não sendo um fator independente (NEVILLE,
2011).
Estudos realizados por Howells, Lark e Barr (2005), baseados em resultados de
diferentes métodos de previsão, concluíram que, além da umidade relativa do ar, a
resistência do concreto é um dos fatores que mais influenciam na deformação por
fluência, o que deve ser esperado, uma vez que para aumentar a resistência do concreto
deve-se diminuir a quantidade de água, o que reduziria a fluência e retração por
secagem.
2.2.6.3 Propriedades do cimento
A influência do tipo de cimento na fluência está limitada à sua capacidade de
alterar a resistência do concreto. Dessa forma, uma comparação feita entre as
deformações por fluência de diferentes tipos de cimento deve levar em consideração a
influência de tal tipo na resistência do concreto na idade de aplicação da carga
(NEVILLE, 2011).
Utilizando-se da mesma explicação, os estudos conduzidos por Howells, Lark e
Barr (2005) também concluíram que o tipo de cimento não tem grande influência sobre
as deformações por fluência e retração.
Experimentos conduzidos por Neville (2011) chegaram à conclusão de que a
finura do cimento, através da influência no desenvolvimento da resistência, afeta a
fluência, de tal forma que a finura em si não é um fator influente nessas deformações.
Um elemento composto por cimento extremamente fino e área superficial de 740 m²/kg
Resistência à compressão
do concreto
Fluência
específica final
Produto entre resistência
e fluência (x10-3)
MPa 10-6 por MPa
14 203 2,8
28 116 3,2
41 80 3,3
55 58 3,2
21
apresenta uma alta fluência inicial, porém uma queda após um a dois anos do
carregamento. Isso se dá pelo rápido ganho de resistência por parte dos cimentos mais
finos.
Howells, Lark e Barr (2005) classificam o tipo de cimento como um fator
insignificante quando se trata de influência nas deformações por retração e fluência.
Sendo o estudo realizado para previsões de deformações após 6 meses, a justificativa
apresentada para tal conclusão é de que a resistência do concreto para diferentes tipos
de cimentos após 6 meses é a mesma, diferindo-se apenas no ganho de resistência
inicial. Dessa forma, a influência seria notável apenas nos três primeiros meses de
idade.
Neville (2011) ainda afirma que a fluência é menor quanto maior for o ganho de
resistência após o momento de aplicação do carregamento. Dessa forma, cimentos com
ganho rápido de resistência apresentarão maior fluência, sendo o cimento de alta
resistência inicial o que apresenta maiores deformações por fluência, e o cimento de
baixo calor de hidratação, os menores. Todavia, para uma tensão constante aplicada
em idades inicias, a ordem se inverte: observa-se maiores deformações no cimento de
baixo calor de hidratação e menores no cimento de alta resistência inicial. Isso se deve
uma vez que, para uma mesma tensão, o cimento de alta resistência inicial apresenta
uma razão tensão/resistência menor do que o de baixo calor de hidratação.
Apesar de não influenciar no desenvolvimento da fluência e da recuperação da
fluência, a presença de materiais cimentícios como cinza volante, escória de alto-forno
e sílica ativa pode ter efeito sobre a permeabilidade e difusividade da pasta de cimento,
o que teria influência sobre a fluência por secagem. Por exemplo, experimentos
conduzidos por Buil e Acker (1985) concluíram que o uso de sílica ativa não afeta a
fluência básica, porém leva a uma menor fluência por secagem. Isso se dá porque as
reações de hidratação da sílica ativa reduzem a quantidade de água disponível para
movimentação no gel de cimento. Além disso, tais materiais têm a capacidade de
interferir na taxa de desenvolvimento de resistência, fator que foi determinado
anteriormente como importante influenciador na deformação por fluência.
2.2.6.4 Umidade relativa do ambiente
Como já mencionado anteriormente, Howells, Lark e Barr (2005) consideraram,
nas conclusões de seus estudos, que a umidade relativa do ar é um dos fatores mais
importantes na influência das deformações dependentes do tempo. Segundo seus
estudos, a fluência tende a sofrer mais alterações devido à variação de umidade relativa
do ar devido à influência da fluência por secagem.
22
Neville (2011) afirma que, para dado concreto, quanto menor a umidade relativa
do ambiente maior será a fluência e a retração, relação ilustrada pelas figuras Figura 14
e Figura 15:
5
Anos Dias
30 20 10 2 1 90 28 10
0
400
800
1200
Flu
ência
(1
0-6
)
Tempo desde carregamento (escala logarítmica)
Umidade relativa
0
1200
800
400
-400
Anos
28
Tempo desde carregamento (escala logarítmica)
Dias
10 90 1 2 5 10 20 30
Retr
ação (
10
-6)
Umidade relativa
Figura 15 - Retração do concreto curado em ambiente saturado, carregado e armazenado sob diferentes umidades (adaptado de NEVILLE, 2011)
Figura 14 - Fluência do concreto curado em ambiente saturado, carregado e armazenado sob diferentes umidades (adaptado de NEVILLE, 2011)
23
O gráfico apresenta curvas para a variação da fluência de peças de concreto
curadas em ambiente com 100% de umidade relativa, carregadas e armazenadas em
condições diferentes de umidade relativa. Tais condições resultam em uma retração
inicial extremamente discrepante entre os corpos-de-prova. As taxas de fluência variam
de forma correspondente e, em idades mais avançadas, essas taxas se tornam mais
próximas. Conclui-se que a secagem sob carregamento intensifica a fluência, uma vez
que induz a fluência por secagem.
A influência da umidade relativa é muito pequena, ou ausente, em corpos-de-
prova em equilíbrio higroscópico com o ambiente antes da aplicação do carregamento,
o que indica que a umidade relativa do ambiente não influencia por si só a fluência, mas
sim o processo de secagem (NEVILLE, 2011).
É esperado que um aumento da umidade atmosférica retarde a perda de
umidade das partes interiores do concreto para sua superfície. O CEB-FIP fornece dois
gráficos relacionando a umidade relativa do ar com a retração por secagem e o
coeficiente de fluência, como pode ser visto na Figura 16:
Figura 16 - Influência da umidade relativa na a) retração por secagem e b) coeficiente de fluência (adaptado de CEB-FIP, 1970)
Umidade relativa do ar, %
Retr
ação
po
r seca
ge
m, x
10
-5
Satu
rado
Muito ú
mid
o
Norm
al
Muito s
eco
Co
eficie
nte
de f
luê
ncia
Satu
rado
Muito ú
mid
o
Norm
al
Muito s
eco
Umidade relativa do ar, %
24
3 Modelos viscoelásticos
Após as análises dos fenômenos que serão estudados pelo presente trabalho,
este capítulo apresenta os modelos de previsão das deformações viscoelásticas e
respectivas expressões.
Em qualquer problema estático, alguns tipos de equações são empregadas:
equações de equilíbrio, que são relações entre as forças ou tensões, e as equações
geométricas, que relacionam os deslocamentos com a deformação. Todavia, nenhuma
dessas equações depende do material do qual o elemento é constituído. A influência
deste material é expressa por um terceiro tipo de equação: as equações constitutivas,
que relacionam as tensões e as deformações. Nos problemas viscoelásticos, as
equações constitutivas sofrem alterações e os modelos viscoelásticos podem ser
empregados para encontrar essas equações para a teoria linear da viscoelasticidade
(FLÜGGE, 1967).
Os modelos são compostos por ligações de elementos de mola e de amortecedor
em série e/ou paralelo. As molas respeitam a Lei de Hooke, representando uma
deformação instantânea diretamente proporcional à carga aplicada. Já os
amortecedores representam a deformação viscosa, sendo a velocidade de deformação
proporcional à tensão. Dessa forma, os modelos são capazes de descrever o
comportamento elástico (parcela da mola) e viscoso (parcela do amortecedor) ao
mesmo tempo.
3.1 Elementos básicos
Inicialmente são apresentados sucintamente os elementos básicos que
constituem os modelos fundamentais: a mola e o amortecedor.
3.1.1 Mola
O elemento de mola é conhecido por ter seu comportamento regido pela Lei de
Hooke. Para uma força 𝑃 aplicada sobre uma mola, será observado um deslocamento
𝑢, de forma que, após o descarregamento, a mola retorna ao seu comprimento original.
A constante 𝑘, que determina a proporcionalidade entre eles, é a rigidez da mola, ou
seja 𝑃 = 𝑘 ∙ 𝑢.
É preferível utilizar a Lei de Hooke em forma de tensões 𝜎 e deformações 𝜖, uma
vez que essa análise descarta as propriedades da seção transversal e comprimento do
elemento. Para um material elástico-linear tem-se:
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖 (3. 1)
25
onde 𝐸 é o módulo de elasticidade do material, 𝜎 = 𝑃 𝐴⁄ a tensão normal e 𝜖 =
𝑢 𝐿⁄ sua deformação.
3.1.2 Amortecedor
O comportamento do amortecedor é similar ao de um cilindro com um pistão
interno cujas paredes possuem um lubrificante viscoso. Uma força 𝑃 é necessária para
mover o pistão e, quanto maior essa força, maior será a velocidade do pistão. Ou seja,
tem-se uma relação entre o carregamento e a velocidade de deformação. Para uma
relação linear, tem-se 𝑃 = 𝑘 ∙ (𝑑𝑢 𝑑𝑡⁄ ). Esse comportamento é observado em barras de
certos materiais, nas quais o carregamento não é proporcional ao alongamento 𝜖 ∙ 𝐿 mas
sim à sua velocidade 𝑑(𝜖 ∙ 𝐿) 𝑑𝑡⁄ . Em termos de tensão e deformação, tem-se:
𝜎 = 𝜂 ∙ 𝑑𝜖 𝑑𝑡⁄ = 𝜂 ∙ 𝜖̇ (3. 2)
O termo 𝜖̇ é chamado de taxa de deformação e um material cuja tensão é
proporcional a essa taxa é chamado de material viscoso. A constante de
proporcionalidade 𝜂 é chamada de módulo de viscosidade.
A Figura 17 ilustra o comportamento de ambos elementos:
Figura 17 - Comportamento de elementos elásticos (a) e (b) e viscosos (c) e (d) (FLÜGGE, 1967)
Diversos modelos podem ser aplicados para descrever os efeitos viscosos e
elásticos em materiais viscoelásticos. Esses modelos são, em geral, constituídos por
arranjos geométricos de elementos de molas e amortecedores (SANTOS, 2008).
26
3.2 Fluido de Maxwell
O modelo fluido de Maxwell possui como característica principal a organização
de uma mola e um amortecedor em série. A deformação na mola é designada por 𝜖′ e
a deformação do amortecedor por 𝜖′′, como ilustra a Figura 18.
Figura 18 - Fluido de Maxwell: mola e amortecedor em série (FLÜGGE, 1967)
Com isso, tem-se que a deformação total do sistema é a soma das deformações
da mola e do amortecedor:
𝜖 = 𝜖′ + 𝜖′′ (3. 3)
Derivando a equação (3.3) e substituindo as deformações da mola e do
amortecedor pelas suas relações tensão-deformação apresentadas no item 3.1, tem-se:
�̇�
𝐸+𝜎
𝜂= 𝜖 ′̇ + 𝜖′′̇ = 𝜖̇ (3. 4)
Substituindo as constantes 𝑝1 =𝜂
𝐸 e 𝑞1 = 𝜂, chega-se a:
𝜎 + 𝑝1 ∙ �̇� = 𝑞1 ∙ 𝜖̇ (3. 5)
Em um primeiro estágio aplica-se um carregamento súbito e constante 𝜎 = 𝜎0 no
instante 𝑡 = 0. A solução da equação diferencial, integrando os dois lados, resulta em:
𝜖 =𝜎0𝑞1
∙ 𝑡 + 𝐶1 (3. 6)
onde 𝐶1 é a constante de integração referente à deformação 𝜖 = 𝜖0 em 𝑡 = 0.
Para encontrá-la considera-se que deve haver uma descontinuidade de �̇� em 𝑡 =
0, uma vez que a aplicação do carregamento é feito de forma repentina. Integrando a
equação (3.5) em torno deste ponto, obtém-se para a constante:
𝐶1 =𝑝1 ∙ 𝜎0𝑞1
(3. 7)
Substituindo na equação (3.6):
𝜖 =𝜎0𝑞1
∙ (𝑝1 + 𝑡) =𝜎0𝐸+𝜎0𝜂∙ 𝑡 (3. 8)
Portanto tem-se uma relação linear entre a deformação do sistema e a tensão
aplicada. Os gráficos de tensão e deformação ao longo do tempo estão exemplificados
na Figura 19:
27
Figura 19 – Primeiro estágio do elemento de Maxwell (SANTOS, 2008)
É possível observar que, para uma tensão constante, tem-se uma deformação
inicial elástica com valor 𝜎0
𝐸 e uma deformação viscosa dependente do tempo de valor
igual a 𝜎0
𝜂∙ 𝑡. Com o descarregamento tem-se uma recuperação da deformação elástica,
enquanto a deformação viscosa no momento do descarregamento é mantida de forma
permanente (SANTOS, 2008). Este estágio é chamado de fase de fluência.
No segundo estágio do experimento de Maxwell, altera-se o descarregamento
por uma fixação da deformação. Ou seja, no instante 𝑡1 contrariamente ao
descarregamento, mantém-se a deformação constante e observa-se o comportamento
da tensão ao longo do tempo, como ilustra a Figura 20:
𝜎0𝐸
𝜎0𝐸+𝜎0𝜂∙ 𝑡
𝜎0𝐸+𝜎0𝜂∙ 𝑡1
𝑡1
𝑡1 𝑡
𝑡
𝜎
𝜖
?
𝜎0
Figura 20 – Segundo estágio do elemento de Maxwell (adaptado de SANTOS, 2008)
28
Voltando à equação (3.5), para uma deformação constante 𝜖 = 𝜖1,
consequentemente tem-se 𝜖̇ = 0. Isso resulta em uma equação diferencial homogênea
cujo resultado pode ser escrito como:
𝜎 = 𝐶2 ∙ 𝑒−𝑡 𝑝1⁄ , 𝑡 > 𝑡1 (3. 9)
Para encontrar 𝐶2 necessita-se do valor da tensão logo após o instante 𝑡1, ou
seja, 𝜎(𝑡1+). Sabe-se que um salto no valor de 𝜎 resultaria em um valor infinito de �̇� e,
consequentemente, a partir de (3.5), um valor infinito de 𝜖̇. Pode-se concluir que este
não é o caso, uma vez que não há descontinuidades no valor de 𝜖. Dessa forma, tem-
se a solução:
𝜎 = 𝜎0 ∙ 𝑒−(𝑡−𝑡1) 𝑝1⁄ =
𝜎0
𝑒(𝑡−𝑡1)∙𝐸 𝜂⁄(3. 10)
A equação (3.10) determina que a tensão diminui ao longo do tempo, tendendo
a zero quando 𝑡 → ∞. Este estágio é chamado de fase da relaxação. Resumidamente,
a fase de fluência determina um aumento da deformação ao longo do tempo para uma
tensão constante, de forma descrita por (3.8). A fase de relaxação é uma redução da
tensão ao longo do tempo para uma deformação constante, comportamento ditado por
(3.10). A Figura 21 ilustra ambos os estágios:
Figura 21 - Ensaio padrão do fluido de Maxwell (FLÜGGE, 1967)
Para 0 < 𝑡 < 𝑡1 tem-se a fase de fluência e para 𝑡 > 𝑡1 tem-se a fase de
relaxação. As linhas tracejadas na Figura 21 indicam o comportamento caso a fase de
fluência se estendesse para 𝑡 → ∞ e as relações permanecessem lineares, o que não é
condizente com a realidade. Todavia, no âmbito da linearidade, estas seriam as
29
propriedades de um fluido, que é capaz de atingir deformações ilimitadas sob tensão
finita (FLÜGGE, 1967).
3.3 Sólido de Kelvin
O elemento de Kelvin é, também, composto por uma mola e um amortecedor. O
arranjo, todavia, é feito em paralelo. A Figura 22 ilustra o modelo.
Figura 22 - Sólido de Kelvin: mola e amortecedor em paralelo (SANTOS, 2008)
Quando os elementos são dispostos desta maneira define-se uma deformação
equivalente 𝜖′ = 𝜖′′ = 𝜖. A tensão se divide entre estes, sendo 𝜎′ a tensão na mola e 𝜎′′
a tensão no amortecedor, de tal forma que 𝜎 = 𝜎′ + 𝜎′′. Aplicando as equações (3.1) e
(3.2) nos elementos, tem-se:
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖 + 𝜂 ∙ 𝜖̇ = 𝑞0 ∙ 𝜖 + 𝑞1 ∙ 𝜖̇ (3. 11)
onde 𝑞0 = 𝐸 e 𝑞1 = 𝜂.
Aplicando ambos os estágios, da mesma maneira feita no modelo de Maxwell.
Para a fase de fluência com 𝜎 = 𝜎0, tem-se a seguinte solução:
𝜖 =𝜎0𝑞0
+ 𝐶1 ∙ 𝑒−𝑞0∙𝑡 𝑞1⁄ (3. 12)
Na descontinuidade em 𝑡 = 0 quando 𝜎 salta de 0 para 𝜎0, a tensão 𝜎 permanece
finita e, segundo (3.9), 𝜖̇ também deve permanecer finito. Assim, conclui-se que 𝜖 não
pode ter um salto e 𝜖(0+) = 𝜖(0−) = 0. Ou seja, diferentemente do modelo de Maxwell,
o modelo de Kelvin não sofre uma deformação instantânea inicial. Com isso tem-se 𝐶1 =
−𝜎0 𝐸⁄ e, portanto:
𝜖 =𝜎0𝑞0
∙ (1 − 𝑒−𝑞0∙𝑡 𝑞1⁄ ) (3. 13)
Pode-se observar que para 𝑡 → ∞ a deformação converge para o valor da
deformação elástica: 𝜖∞ =𝜎0
𝐸, em oposição ao aumento infinito de deformação proposto
pelo modelo de Maxwell. A Figura 23 ilustra o comportamento do modelo no primeiro
estágio.
30
Como a deformação nunca atinge o valor da deformação elástica, porém tende
ao mesmo, chama-se este comportamento de elasticidade atrasada.
Para a fase de relaxação, tem-se 𝜖 = 𝜖1 e 𝜖̇ = 0. Assim, deduz-se da equação
(3.11):
𝜎 = 𝑞0 ∙ 𝜖1 (3. 14)
Substituindo o valor de 𝜖1 obtido da equação (3.13) tem-se:
𝜎 = 𝜎0 ∙ (1 − 𝑒−𝑞0∙𝑡1 𝑞1⁄ ) (3. 15)
Ou seja, a tensão assume um valor constante e menor que 𝜎0. Dessa forma tem-
se uma redução imediata da tensão, que permanece constante em seguida. A Figura
24 ilustra ambos os estágios do modelo de Kelvin:
𝑡1 𝑡
𝜎
𝜎0𝐸
𝑡1 𝑡
𝜎0
Figura 23 - Primeiro estágio do elemento de Kelvin (adaptado de SANTOS, 2008)
𝜖
31
Figura 24 - Ensaio padrão do sólido de Kelvin (FLÜGGE, 1967)
3.4 Modelo de Boltzmann
Considerando os modelos apresentados em conjunto é possível formar, por
exemplo, um sólido de três parâmetros como o apresentado na Figura 25:
Figura 25 – Modelo de Boltzmann (FLÜGGE, 1967)
Sabe-se que a tensão na mola é igual a tensão no sólido de Kelvin e, portanto,
tem-se, a partir das equações (3.1) e (3.11):
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜖′ (3. 16)
𝜎 = 𝑞0′′ ∙ 𝜖′′ + 𝑞1
′′ ∙ 𝜖̇′′ (3. 17)
Aplicando a transformada de Laplace e assumindo que os valores das funções
e suas derivadas em zero são nulos:
�̅� = 𝐸 ∙ 𝜖 ′̅ (3. 18)
�̅� = 𝑞0′′ ∙ 𝜖′′̅̅ ̅ + 𝑞1
′′ ∙ 𝑠 ∙ 𝜖′′̅̅ ̅ = (𝑞0′′ + 𝑠 ∙ 𝑞1
′′) ∙ 𝜖′′̅̅ ̅ (3. 19)
32
Somando as duas deformações tem-se:
𝜖 ′̅ + 𝜖′′̅̅ ̅ =�̅�
𝐸+
�̅�
(𝑞0′′ + 𝑠 ∙ 𝑞1
′′)(3. 20)
Finalmente, rearranjando os termos, chega-se à equação:
𝐸(𝑞0′′ + 𝑠 ∙ 𝑞1
′′)(𝜖 ′̅ + 𝜖′′̅̅ ̅) = 𝐸 ∙ �̅� + (𝑞0′′ + 𝑠 ∙ 𝑞1
′′) ∙ �̅� (3. 21)
Como a transformada da deformação total 𝜖 ̅é a soma das transformadas das
deformações de cada elemento, tem-se:
𝐸(𝑞0′′ + 𝑠 ∙ 𝑞1
′′)𝜖̅ = 𝐸 ∙ �̅� + (𝑞0′′ + 𝑠 ∙ 𝑞1
′′) ∙ �̅� (3. 22)
Transformando as funções de volta às originais, tem-se a equação diferencial
que rege o modelo, escrita como:
(𝐸 + 𝑞0′′) ∙ 𝜎 + 𝑞1
′′ ∙ �̇� = 𝐸 ∙ 𝑞0′′ ∙ 𝜖 + 𝐸 ∙ 𝑞1
′′ ∙ 𝜖̇ (3. 23)
Pode-se reescrevê-la da seguinte forma:
𝜎 + 𝑝1�̇� = 𝑞0𝜖 + 𝑞1𝜖̇ (3. 24)
onde:
𝑝1 = 𝑞1′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄ (3. 25)
𝑞0 = 𝐸 ∙ 𝑞0′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄ (3. 26)
𝑞1 = 𝐸 ∙ 𝑞1′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄ (3. 27)
Dessas relações, obtém-se:
𝑞1𝑝1
− 𝑞0 =𝐸2
𝐸 + 𝑞0′′ (3. 28)
O lado esquerdo da equação (3.28) deve ser sempre positivo e, portanto:
𝑞1 > 𝑝1 ∙ 𝑞0 (3. 29)
Novamente aplica-se o ensaio padrão, começando pela fase de fluência, onde a
tensão é mantida constante a partir de uma aplicação súbita. Ou seja:
𝜎 = 𝜎0 ∙ 𝛥(𝑡) (3. 30)
onde Δ(𝑡) é a função degrau, iniciando na origem.
Aplica-se, então, a transformada de Laplace na equação (3.24), assumindo que
os valores das funções e suas derivadas em 𝑡 = 0 são nulos:
𝜎0 ∙ (1
𝑠+ 𝑝1) = (𝑞0 + 𝑞1 ∙ 𝑠) ∙ 𝜖̅ (3. 31)
Isolando a deformação, tem-se:
𝜖̅ = 𝜎0 ∙1 + 𝑝1 ∙ 𝑠
𝑠 ∙ (𝑞0 + 𝑞1 ∙ 𝑠)(3. 32)
Aplicando uma constante definida como 𝜆 = 𝑞0 𝑞1⁄ , resulta em:
33
𝜖̅ =𝜎0𝑞1
∙ [1
𝑠 ∙ (𝑠 + 𝜆)+
𝑝1𝑠 + 𝜆
] (3. 33)
Transformando de volta para a função original:
𝜖 =𝜎0𝑞1
∙ [1
𝜆∙ (1 − 𝑒−𝜆∙𝑡) + 𝑝1 ∙ 𝑒
−𝜆∙𝑡] (3. 34)
Substituindo o valor de 𝜆, encontra-se a função da deformação no tempo:
𝜖 =𝜎0𝑞0
∙ [1 − (1 −𝑝1 ∙ 𝑞0𝑞1
) ∙ 𝑒−𝑞0∙𝑡 𝑞1⁄ ] (3. 35)
Analisando a equação (3.35), pode-se observar que inicialmente o material sofre
uma deformação elástica:
𝜖(0+) = 𝜖0 = 𝜎0 ∙𝑝1𝑞1
=𝜎0𝐸0
(3. 36)
E possui ainda um comportamento assintótico, tendendo a:
𝜖(∞) = 𝜖∞ =𝜎0𝑞0
=𝜎0𝐸∞
(3. 37)
Esse comportamento é descrito pela Figura 26:
A partir do instante 𝑡1 insere-se linhas pontilhadas, uma vez que é o instante em
que terá início a fase de relaxação, que será tratada. Na fase de relaxação mantém-se
a deformação constante e aplica-se uma variável temporal 𝜏 definida de forma que 𝜏 =
𝜖0 𝜖1
𝑡1
𝜎0 𝑞0⁄
𝜖
𝑡
𝑡1
𝜎0
𝜎
𝑡
Figura 26 - Fase de fluência do modelo de Boltzmann (adaptado de FLÜGGE, 1967)
34
𝑡 − 𝑡1. Assim, para 𝜏 ≥ 0, tem-se 𝜖 = 𝜖1 ∙ Δ(𝜏), cuja transformada de Laplace é 𝜖̅ = 𝜖1 𝑠⁄ .
Assim, pode-se escrever a nova transformada de Laplace de (3.24). Desta vez as
funções não possuem valores nulos para 𝜏 = 0:
�̅� + 𝑝1 ∙ (𝑠 ∙ �̅� − 𝜎0) = 𝑞0 ∙ 𝜖 ̅ + 𝑞1 ∙ (𝑠 ∙ 𝜖̅ − 𝜖1) = 𝑞0 ∙ 𝜖1 𝑠⁄ (3. 38)
Isolando �̅�:
�̅� =𝑞0 ∙ 𝜖1
𝑠 ∙ (1 + 𝑝1 ∙ 𝑠)+
𝑝1 ∙ 𝜎01 + 𝑝1 ∙ 𝑠
(3. 39)
Trazendo de volta para a função original obtém-se a função da tensão no tempo:
𝜎 = 𝑞0 ∙ 𝜖1 ∙ (1 − 𝑒−𝜏 𝑝1⁄ ) + 𝜎0 ∙ 𝑒−𝜏 𝑝1⁄ (3. 40)
Nota-se que a tensão diminui assintoticamente, tendendo a 𝜎∞ = 𝑞0 ∙ 𝜖1 = 𝐸∞ ∙
𝜖1. Assim, pode-se finalizar os gráficos de 𝜎 × 𝑡 e 𝜖 × 𝑡 contendo ambas as fases:
Outros modelos mais complexos podem ser desenvolvidos e, para isso, deve-se
usar uma equação diferencial genérica, a seguir apresentada.
3.5 Equação constitutiva da viscoelasticidade
A equação diferencial genérica que pode ser aplicada a qualquer modelo
baseado nos elementos de Kelvin e Maxwell é apresentada a seguir:
𝜖
𝜖0 𝜖1
𝑡1 𝑡
𝜎0 𝑞0⁄
𝜎
𝜎0
𝑡1 𝑡
𝑞0 ∙ 𝜖1
Figura 27 - Fases de fluência e relaxação do modelo de Boltzmann (adaptado de FLÜGGE, 1967)
35
𝜎 + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̈� + ⋯ = 𝑞0𝜖 + 𝑞1𝜖̇ + 𝑞2𝜖̈ + ⋯ (3. 41)
Pode-se escrevê-la em forma de somatório:
∑𝑝𝑘𝑑𝑘𝜎
𝑑𝑡𝑘
𝑚
0
=∑𝑞𝑘𝑑𝑘𝜖
𝑑𝑡𝑘
𝑛
0
(3. 42)
onde mantém-se 𝑝0 sempre unitário, dividindo a equação por seu valor.
Pode-se reescrever os somatórios de modo a gerar a seguinte equação:
𝑷𝜎 = 𝑸𝜖 (3. 43)
onde os coeficientes 𝐏 e 𝐐 são operadores diferenciais, escritos como:
𝑷 =∑𝑝𝑘𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝑚
0
(3. 44)
𝑸 =∑𝑞𝑘𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝑛
0
(3. 45)
Para cada modelo tem-se um número diferente de coeficientes 𝑝𝑘 e 𝑞𝑘, ou seja,
valores diferentes para 𝑚 e 𝑛. Assumindo que os valores de ambas funções e suas
derivadas em zero são nulos, obtém-se a transformação de Laplace para (3.42):
∑𝑝𝑘 ∙ 𝑠𝑘 ∙ �̅�
𝑚
0
=∑𝑞𝑘 ∙ 𝑠𝑘 ∙ 𝜖 ̅
𝑛
0
(3. 46)
Pode-se reescrever a equação (3.46) da seguinte forma:
𝒫(𝑠) ∙ �̅� = ℒ(𝑠) ∙ 𝜖̅ (3. 47)
onde 𝒫 e ℒ são polinômios em função de 𝑠:
𝒫(𝑠) =∑𝑝𝑘 ∙ 𝑠𝑘
𝑚
0
(3. 48)
ℒ(𝑠) =∑𝑞𝑘 ∙ 𝑠𝑘
𝑛
0
(3. 49)
3.6 Coeficientes de fluência e relaxação
A seguir apresenta-se brevemente dois parâmetros aplicados ao estudo de
problemas viscoelásticos: os coeficientes de fluência e relaxação. Nos itens anteriores,
divide-se o ensaio padrão em duas fases: fase da fluência e fase da relaxação.
Começando pela fase da fluência, tem-se uma aplicação súbita de uma tensão, que é
mantida constante. Ou seja, tem-se uma tensão 𝜎 = 𝜎0 ∙ Δ(𝑡), onde Δ(𝑡) é a função
degrau. Como se tratam de materiais lineares, pode-se escrever a seguinte relação
entre tensão e deformação:
𝜖(𝑡) = 𝜎0 ∙ 𝐽(𝑡) (3. 50)
36
A função 𝐽(𝑡) depende do tempo e é capaz de descrever a relação entre a tensão
e a deformação na fase de fluência. Essa função é chamada de coeficiente de fluência,
definida como sendo deformação por carga aplicada, e varia para cada material. Pode-
se obtê-la a partir das equações diferenciais de cada modelo considerando 𝜎0 = 1, 𝜎 =
Δ(𝑡) e 𝜖(𝑡) = 𝐽(𝑡).
De forma análoga, também se tem uma mesma relação para a fase de relaxação.
Nesta fase, tem-se uma deformação imposta de forma súbita e mantida constante. Ou
seja, 𝜖(𝑡) = 𝜖0 ∙ Δ(𝑡). A relação tensão-deformação deve ser:
𝜎(𝑡) = 𝜖0 ∙ 𝑌(𝑡) (3. 51)
onde 𝑌(𝑡) é uma função dependente do tempo, definida como tensão por
deformação aplicada, e que varia para cada material. Esta é chamada de módulo de
relaxação, e pode ser obtida da mesma maneira que 𝐽(𝑡): admite-se que 𝜖0 = 1, 𝜖(𝑡) =
Δ(𝑡) e 𝜎(𝑡) = 𝑌(𝑡).
3.7 Princípio da correspondência
Em geral, um problema viscoelástico se difere de um problema elástico apenas
pela relação constitutiva, que relaciona as tensões e as deformações. Enquanto a
elasticidade obedece a Lei de Hooke, a viscoelasticidade possui outra relação,
dependente do tempo, e já apresentada anteriormente.
Dessa forma, o princípio da correspondência busca encontrar relações entre os
problemas elásticos e viscoelásticos, mais precisamente encontrando equivalências
entre seus parâmetros. Para exemplificar o princípio, considera-se uma viga composta
por material viscoelástico, inicialmente submetida a um carregamento 𝑃0 no instante 𝑡 =
0. O carregamento é, então, mantido constante, o que caracteriza a fase de fluência do
ensaio padrão, como descreve a Figura 28:
Figura 28 - Carregamento 𝑃 em função do tempo
37
Assim, pode-se escrever:
𝑃(𝑡) = 𝑃0 ∙ 𝛥(𝑡) (3. 52)
Pode-se ainda escrever a tensão em função do tempo:
𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝛥(𝑡) (3. 53)
onde 𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧) é a tensão da viga elástica.
Como visto no item Erro! Fonte de referência não encontrada., pode-se
escrever a relação tensão-deformação:
𝜖(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝐽(𝑡) (3. 54)
É possível observar que, para um material viscoelástico, a deformação em
qualquer instante 𝑡 seria igual à deformação de um material elástico cujo módulo de
elasticidade seja 𝐸 = 1 𝐽(𝑡)⁄ .
Chega-se à conclusão de que se uma viga viscoelástica sofrer carregamentos
simultâneos em um instante 𝑡 = 0, que são então mantidos constantes, suas tensões
são as mesmas que as de uma viga elástica submetida aos mesmos carregamentos, e
suas deformações e deslocamentos dependem do tempo e podem ser obtidos do
problema elástico substituindo o módulo de elasticidade 𝐸 pelo inverso do coeficiente
de fluência: 1 𝐽(𝑡)⁄ . Essa é a primeira parte do princípio da correspondência.
Em seguida, efetiva-se uma análise semelhante para a fase de relaxação. Seja
um deslocamento subitamente imposto e mantido constante, como um deslocamento
𝑤0 na ponta em balanço de uma viga engastada e livre. Tem-se, para um ponto 𝑥0
qualquer, um comportamento descrito pela Figura 29:
Figura 29 - Deslocamento 𝑤(𝑥0) de um ponto 𝑥0 qualquer em função do tempo
Assim, pode-se escrever para qualquer ponto 𝑥:
𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑤(𝑥) ∙ 𝛥(𝑡) (3. 55)
Em termos de deformações, tem-se:
38
𝜖(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜖(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝛥(𝑡) (3. 56)
Como já visto no item Erro! Fonte de referência não encontrada., tem-se uma
relação linear entre as tensões e as deformações:
𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜖(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑌(𝑡) (3. 57)
Tem-se, portanto, a segunda parte do princípio da correspondência: se uma viga
viscoelástica for submetida a deslocamentos simultâneos em um instante 𝑡 = 0, que são
então mantidos constantes, suas deformações são as mesmas que as de uma viga
elástica submetida aos mesmos deslocamentos, e suas tensões dependem do tempo e
podem ser obtidos do problema elástico substituindo o módulo de elasticidade 𝐸 pelo
coeficiente de relaxação 𝑌(𝑡).
Para exemplificar, considera-se uma viga biapoiada submetida a um
deslocamento 𝑤0 em seu centro no momento 𝑡 = 0, que será mantido constante. Uma
força 𝑃, ainda desconhecida, é necessária para causar tal deslocamento.
Figura 30 - Aplicação do deslocamento 𝑤0 no instante t = 0 (adaptado de FLÜGGE, 1967)
Figura 31 - Força 𝑃 necessária para gerar 𝑤0 (adaptado de FLÜGGE, 1967)
Para uma viga elástica, tem-se a relação de resistência dos materiais:
𝑤0 =𝑃𝑙3
48𝐸𝐼(3. 58)
Isolando o carregamento 𝑃 e substituindo 𝐸 pelo módulo de relaxação, tem-se:
𝑃 =48𝐼 ∙ 𝑤0
𝑙3∙ 𝑌(𝑡) (3. 59)
39
Substituindo os valores de 𝑌(𝑡) na equação (3.59), pode-se obter as funções de
𝑃(𝑡) para o sólido e fluido de três parâmetros, conforme tabela 2.2 encontrada em
FLÜGGE, 1967:
𝑃(𝑡) =48𝐼 ∙ 𝑤0
𝑙3∙ [𝑞1𝑝1
∙ 𝑒−𝑡 𝑝1⁄ + 𝑞0 ∙ (1 − 𝑒−𝑡 𝑝1⁄ )] (3. 60)
𝑃(𝑡) =48𝐼 ∙ 𝑤0
𝑙3∙ [𝑞2𝑝1
∙ 𝛿(𝑡) +1
𝑝1∙ (𝑞1 −
𝑞2𝑝1) ∙ 𝑒−𝑡 𝑝1⁄ ] (3. 61)
onde 𝛿(𝑡) é a função delta de Dirac.
A partir das funções (3.60) e (3.61) tem-se os gráficos de 𝑃(𝑡):
Figura 32 - Carregamento 𝑃 em função do tempo para o a) sólido de três parâmetros e b) fluido
de três parâmetros (FLÜGGE, 1967)
40
4 Caracterização do problema
No capítulo 2 definiu-se que a fluência se trata de um aumento da deformação
sob tensão constante. Todavia, esse fenômeno pode gerar um comportamento distinto
do esperado quando se trata de estruturas de concreto armado. Isso ocorre devido à
interação entre o concreto e o aço apresentar um novo aspecto ao problema
viscoelástico, indo além da simples incidência dos efeitos reológicos individualmente.
Segundo Gilbert e Ranzi (2011), quando se trata de concreto armado, a fluência
pode ter o efeito de mudança dramática na distribuição de tensões. Por exemplo, as
tensões causadas pela retração ou variação de temperatura podem ser aliviadas pela
fluência, que também causa uma redistribuição das tensões entre o concreto e a
armadura.
Assumindo uma seção transversal de concreto armado submetida a uma tensão
constante, uma vez que o concreto e o aço estão unidos em um único elemento, a
compatibilidade requer que a deformação em ambos seja idêntica. Ao passo que o
concreto comprimido sofre fluência (contração), o aço é comprimido e a tensão de
compressão no aço aumenta gradativamente. Esse efeito é similar para a retração.
Então, devido ao equilíbrio, a tensão compressiva atuante no aço precisa ser
compensada por uma tensão de tração de mesma direção e sentido oposto no concreto.
Dessa forma, a tensão de compressão no concreto diminui com o tempo, ao passo que
a tensão no aço aumenta.
Para caracterizar esse comportamento, propõe-se analisar a distribuição de
tensões entre o aço e o concreto de uma coluna de concreto armado submetida a um
carregamento axial constante de compressão, conforme Figura 33. Como é esperado,
as tensões irão se distribuir inicialmente entre os dois elementos. O objetivo é, então,
prever como essas tensões se distribuem ao longo do tempo, ao passo que o concreto
sofre fluência e se deforma, deformando igualmente o aço estrutural.
41
Figura 33 – Caracterização do problema da fluência
Aplica-se neste problema o modelo de Boltzmann descrito no item Erro! Fonte
de referência não encontrada.. Para isso, são necessários valores satisfatórios para
os coeficientes incluídos nos operadores diferenciais 𝐏 e 𝐐. Esse processo pode ser
feito tanto de forma experimental quanto teórica. Opta-se aqui pela maneira teórica,
através de um refinamento computacional até atingir um resultado próximo do esperado.
4.1 Obtenção dos coeficientes
Dedica-se esta seção à obtenção dos coeficientes a serem usados na resolução
do problema. Primeiramente, reapresenta-se as relações (3.25), (3.26) e (3.27)
introduzidas no item Erro! Fonte de referência não encontrada.:
𝑝1 = 𝑞1′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄ (4. 1)
𝑞0 = 𝐸 ∙ 𝑞0′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄ (4. 2)
𝑞1 = 𝐸 ∙ 𝑞1′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄ (4. 3)
42
onde 𝑞0′′ e 𝑞1
′′ são a constante elástica da mola e o módulo de viscosidade do
amortecedor, respectivamente, presentes no sólido de Kelvin, sendo 𝐸 o módulo de
elasticidade da mola associada em série com o sólido.
Essas designações são indicadas na Figura 34:
Figura 34 - Parâmetros iniciais do modelo de Boltzmann (adaptado de FLÜGGE, 1967)
A equação (3.35) da deformação em função do tempo obtida no item Erro! Fonte
de referência não encontrada. é reapresentada a seguir:
𝜖(𝑡) =𝜎0𝑞0
∙ [1 − (1 −𝑝1 ∙ 𝑞0𝑞1
) ∙ 𝑒−𝑞0∙𝑡 𝑞1⁄ ] (4. 4)
Como observado no item supracitado, a deformação inicial é dada por:
𝜖(0+) = 𝜖0 = 𝜎0 ∙𝑝1𝑞1
=𝜎0𝐸0
(4. 5)
Dessa forma, a razão 𝑞1
𝑝1 deve apresentar um valor tal que a deformação inicial
seja igual à deformação elástica do concreto. Assim:
𝑞1𝑝1
= 𝐸𝑐 (4. 6)
Desta relação, tem-se:
𝐸 ∙ 𝑞1′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄
𝑞1′′ (𝐸 + 𝑞0
′′)⁄= 𝐸𝑐 → 𝐸 = 𝐸𝑐 (4. 7)
Adotando-se o valor do módulo de elasticidade do concreto como 𝐸𝑐 = 25 𝐺𝑃𝑎 e
estimando-se os seguintes valores iniciais para os parâmetros:
𝑞0′′ = 105 𝑀𝑃𝑎 (4. 8)
𝑞1′′ = 10−2 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎 (4. 9)
𝐸 = 25 × 103 𝑀𝑃𝑎 (4. 10)
Obtém-se os coeficientes iniciais:
𝑝1 = 10−2 (25 × 103 + 105)⁄ = 8 × 10−8 𝑑𝑖𝑎𝑠 (4. 11)
𝑞0 = 25 × 103 × 105 (25 × 103 + 105)⁄ = 20000 𝑀𝑃𝑎 (4. 12)
43
𝑞1 = 25 × 103 × 10−2 (25 × 103 + 105)⁄ = 0,002 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎 (4. 13)
A equação para a deformação em função do tempo é, portanto:
𝜖 =𝜎0
20000∙ [1 − (1 −
8 × 10−8 × 20000
0,002) ∙ 𝑒−20000∙𝑡 0,002⁄ ] (4. 14)
Simplificando, pode-se escrevê-la como:
𝜖(𝑡) =𝜎0
20000∙ (1 − 0,2 ∙ 𝑒−10
7∙𝑡) (4. 15)
Assumindo uma tensão inicial 𝜎0 = 20 𝑀𝑃𝑎, produz-se um gráfico da função
obtida pelo tempo:
Figura 35 - Deformação em função do tempo - modelo de Boltzmann - coeficientes iniciais
Observa-se pelo gráfico que não foram obtidos coeficientes satisfatórios. A
deformação rapidamente convergiu, de forma semelhante à deformação elástica. Isso
se dá pelo fato de ter sido adotado um módulo de viscosidade muito baixo.
Dando continuidade ao processo de refinamento dos parâmetros, chega-se ao
resultado a seguir:
𝑞0′′ = 15000 𝑀𝑃𝑎 (4. 16)
𝑞1′′ = 1,5 × 107 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎 (4. 17)
𝐸 = 25 × 103 𝑀𝑃𝑎 (4. 18)
44
Com isso, calculam-se os coeficientes a serem usados na equação da
deformação:
𝑝1 = 1,5 × 107 (15000 + 25 × 103)⁄ = 375 𝑑𝑖𝑎𝑠 (4. 19)
𝑞0 = 15000 × 25 × 103 (15000 + 25 × 103)⁄ = 9375 𝑀𝑃𝑎 (4. 20)
𝑞1 = 25 × 103 × 1,5 × 107 (15000 + 25 × 103)⁄ = 9375000 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎𝑠 (4. 21)
Esses valores, inseridos na equação (4.4), resulta em:
𝜖(𝑡) =𝜎0
9375∙ [1 − (1 −
375 × 9375
9375000) ∙ 𝑒−9375∙𝑡 9375000⁄ ] (4. 22)
Simplificando, obtém-se:
𝜖(𝑡) =𝜎0
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡) (4. 23)
Para uma tensão inicial 𝜎0 = 20 𝑀𝑃𝑎, obtém-se o gráfico apresentado na Figura
36.
Figura 36 - Deformação em função do tempo após refinamento dos parâmetros
Considerando-se satisfatórios os resultados obtidos, pode-se justificar a adoção
destes coeficientes.
45
4.2 Método de solução
A qualquer momento após a aplicação da tensão inicial na coluna de concreto
armado, tem-se a seguinte condição que determina a distribuição de tensões entre o
aço e o concreto, devendo ser sempre respeitada:
𝜎𝑠 ∙ 𝐴𝑠 + 𝜎𝑐 ∙ 𝐴𝑐 = 𝑃 (4. 24)
A equação (4.24) é a equação de equilíbrio do problema. Além disso, considera-
se que a deformação no concreto e a deformação no aço são sempre iguais.
𝜖𝑐 = 𝜖𝑠 (4. 25)
A equação (4.25) é definida como equação de compatibilidade. Essas equações,
em conjunto com a equação (4.23), são empregadas na solução do problema.
Inicialmente, após a aplicação da carga 𝑃, tem-se uma distribuição inicial de
tensões, de tal forma que, a partir de (4.25), tem-se:
𝜖𝑐(𝑡0) = 𝜖𝑠(𝑡0) →𝜎𝑠(𝑡0)
𝐸𝑠=𝜎𝑐(𝑡0)
𝐸𝑐(4. 26)
De onde pode-se determinar a tensão no aço em função da tensão no concreto:
𝜎𝑠(𝑡0) =𝐸𝑠𝐸𝑐
∙ 𝜎𝑐(𝑡0) (4. 27)
Substituindo em (4.24), tem-se:
𝐸𝑠𝐸𝑐
∙ 𝜎𝑐(𝑡0) ∙ 𝐴𝑠 + 𝜎𝑐(𝑡0) ∙ 𝐴𝑐 = 𝑃 → 𝜎𝑐(𝑡0) ∙ (𝐸𝑠𝐸𝑐
∙ 𝐴𝑠 + 𝐴𝑐) = 𝑃 (4. 28)
Finalmente, obtém-se a tensão inicial no concreto:
𝜎𝑐(𝑡0) =𝑃
(𝐸𝑠𝐸𝑐
∙ 𝐴𝑠 + 𝐴𝑐)(4. 29)
Para encontrar a tensão no aço, utiliza-se novamente a equação (4.24), desta
vez conhecendo a tensão no concreto:
𝜎𝑠(𝑡0) =𝑃 − 𝜎𝑐(𝑡0) ∙ 𝐴𝑐
𝐴𝑠(4. 30)
Como mencionado no item 4, apenas o concreto estará sujeito ao efeito da
fluência, uma vez que seu comportamento viscoelástico é predominante em
comparação ao do aço nas tensões sob as quais geralmente estão sujeitas as estruturas
de concreto armado.
Portanto, para considerarmos a fluência, define-se um passo Δ𝑡, dentro do qual
assume-se que a tensão no concreto permanece constante. Dessa forma, através de
(4.23), pode-se calcular a deformação sofrida pelo concreto após esse passo, em um
instante 𝑡1 = Δ𝑡:
46
𝜖𝑐(𝑡1) =𝜎0
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡1) (4. 31)
Em seguida, de acordo com a equação (4.25), tem-se também a deformação no
aço:
𝜖𝑠(𝑡1) = 𝜖𝑐(𝑡1) (4. 32)
Assim, pela Lei de Hooke, pode-se calcular a nova tensão no aço.
𝜎𝑠(𝑡1) = 𝐸𝑠 ∙ 𝜖𝑠(𝑡1) (4. 33)
Através da equação (4.24), calcula-se também a nova tensão no concreto,
prevendo a redistribuição das tensões após o intervalo de tempo Δ𝑡.
𝜎𝑐(𝑡1) =𝑃 − 𝜎𝑠(𝑡1) ∙ 𝐴𝑠
𝐴𝑐(4. 34)
Após o primeiro passo, o cálculo da deformação no concreto tem uma pequena
mudança, uma vez que a tensão no concreto foi alterada de 𝜎0 para 𝜎1 devido à variação
de deformação do aço, ocasionada pela fluência do concreto durante o primeiro passo.
Nesse caso, primeiramente, calcula-se a deformação que o concreto sofreria no instante
𝑡2 = 2 ∙ Δ𝑡 sob ação de 𝜎1:
𝜖𝑐′(𝑡2) =
𝜎19375
∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡2) (4. 35)
Todavia, esse cálculo representa o valor da deformação no concreto caso ele
estivesse sujeito à tensão 𝜎1 durante o intervalo 2 ∙ Δ𝑡 inteiro. Então, subtrai-se deste
valor a deformação que o concreto sofreria até o instante 𝑡1 = Δ𝑡 sob ação da mesma
tensão, obtendo a variação da deformação entre os instantes 𝑡1 e 𝑡2 para 𝜎1:
𝛥𝜖𝑐(𝑡2) = 𝜖𝑐′(𝑡2) − 𝜖𝑐
′(𝑡1) (4. 36)
𝛥𝜖𝑐(𝑡2) =𝜎1
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡2) −
𝜎19375
∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡1) (4. 37)
Somando a essa variação a deformação obtida por (4.32), obtém-se a
deformação do concreto no instante 𝑡2:
𝜖𝑐(𝑡2) = 𝜖𝑐(𝑡1) + 𝛥𝜖𝑐(𝑡2) (4. 38)
Com isso, pode-se calcular a deformação no aço, e as tensões no aço e no
concreto da mesma maneira feita para o instante 𝑡1. Esse mesmo processo é repetido
para qualquer instante 𝑡𝑛.
Finalmente, apresenta-se um fluxograma explicativo de todo o procedimento na
Figura 37.
47
Figura 37 - Fluxograma descritivo do método de solução do problema da fluência
𝜎𝑐(𝑡0) =𝑃
𝐸𝑠𝐸𝑐
𝐴𝑠+𝐴𝑐
𝜎𝑠(𝑡0) =𝑃− 𝜎𝑐(𝑡0) 𝐴𝑐
𝐴𝑠
Tensão inicial no concreto:
Tensão inicial no aço (equação de equilíbrio):
Estado de tensões iniciais
Δ𝑡 (passo)
𝜖𝑐 𝑡1 =𝜎0
3448,28 1 − 1−
137,93× 3448,28
3448275,86 𝑒−3 8,28 𝑡1 3 8275,8 ⁄
𝜖𝑠 𝑡1 = 𝜖𝑐 𝑡1
Deformação por fluência do concreto:
Equação de compatibilidade:
𝜎𝑠 𝑡1 = 𝐸𝑠 𝜖𝑠 𝑡1Lei de Hooke para o aço:
𝜎𝑐 𝑡1 =𝑃 −𝜎𝑠 𝑡1 𝐴𝑠
𝐴𝑐Tensão no concreto (equação de equilíbrio):
Estado de tensões no tempo 𝑡1
Deformação por fluência do concreto: 𝜖𝑐 𝑡2 =𝜎1
9375 1 − 0,625 𝑒−0,001 𝑡2 −
𝜎19375
1 − 0,625 𝑒−0,001 𝑡1 + 𝜖𝑐 𝑡1
𝜖𝑠 𝑡2 = 𝜖𝑐 𝑡2Equação de compatibilidade:
𝜎𝑠 𝑡2 = 𝐸𝑠 𝜖𝑠 𝑡2Lei de Hooke para o aço:
𝜎𝑐 𝑡2 =𝑃−𝜎𝑠 𝑡2 𝐴𝑠
𝐴𝑐Tensão no concreto (equação de equilíbrio):
Estado de tensões no tempo 𝑡2
Δ𝑡 (passo)
Repete-se o processo para qualquer tempo 𝑡𝑛
Δ𝜖𝑐(𝑡2)
48
4.3 Dados iniciais
Define-se a seção transversal da coluna com dimensões de 40 x 40 cm², sendo
armada com 10 barras de 32 mm de diâmetro (10𝜙32 𝑚𝑚), totalizando 80 cm², conforme
a Figura 38.
Figura 38 - Seção transversal da coluna de concreto armado analisada
Os parâmetros adotados para os materiais são os seguintes:
𝐸𝑐 = 25 𝐺𝑃𝑎 (4. 39)
𝐸𝑠 = 200 𝐺𝑃𝑎 (4. 40)
A carga aplicada será 𝑃 = 5000 𝑘𝑁. Assim, de (4.29), calcula-se a tensão inicial
no concreto:
𝜎𝑐(𝑡0) =5000
(20025
∙ 80 × 10− + 0,42)= 22321 𝑘𝑃𝑎 (4. 41)
Calcula-se, por (4.30), a tensão inicial no aço:
𝜎𝑠(𝑡0) =5000 − 22321 × 0,42
80 × 10− = 178580 𝑘𝑃𝑎 (4. 42)
49
5 Solução do problema
Determinando um passo de Δ𝑡 = 10 𝑑𝑖𝑎𝑠, observa-se que a deformação se
estabiliza após aproximadamente 4700 dias, no qual a tensão no concreto prevista é
𝜎𝑐 = 11,52 𝑀𝑃𝑎 e a tensão no aço é 𝜎𝑠 = 394,66 𝑀𝑃𝑎. A variação dessas tensões no
tempo é dada no gráfico da Figura 39.
Figura 39 - Variação da tensão no aço e no concreto
É possível observar na curva a demonstração do comportamento descrito no
item 4, no qual se prevê que a fluência teria um efeito de aumento da tensão
compressiva no aço e diminuição da mesma tensão no concreto. A variação entre as
tensões inicial e final do concreto é de, aproximadamente, 48%. Já o aço tem sua tensão
aumentada em 1,2 vezes.
5.1 Variação dos dados iniciais
Agora, com o intuito de observar de que forma os dados iniciais utilizados afetam
a solução obtida, opta-se por variar o valor do carregamento inicial, como descrito pela
Figura 40. É possível perceber que o comportamento previsto se mantém igual, sendo
apenas os valores das tensões efetivamente alterados.
50
Figura 40 - Variação das tensões no aço e no concreto para 𝑃 = 100000 𝑘𝑁, 𝐴𝑐 = 0,16 𝑚² e
𝐴𝑠 = 0,008 𝑚²
Em seguida, variando a área de concreto, se torna nítido que esta é determinante
no desenvolvimento da variação das tensões, além de influenciar no valor das mesmas.
Figura 41 - Variação das tensões no aço e no concreto para 𝐴𝑐 = 0,5 𝑚², 𝐴𝑠 = 0,008 𝑚² e 𝑃 =5000 𝑘𝑁
51
Nota-se, pela Figura 41, que a evolução das tensões se dá de maneira mais
gradual e, além das tensões encontradas terem menor valor, a variação entre a tensão
inicial e final do concreto foram também menores, tendo sua tensão variando apenas
de 𝜎𝑐(0) = 8,86 𝑀𝑃𝑎 para 𝜎𝑐(4700) = 7,17 𝑀𝑃𝑎, uma variação de 19%. Esse
comportamento é inverso no aço, que tem sua tensão final representando 1,5 vezes o
valor de sua tensão inicial. Ou seja, o acréscimo de área de concreto reduz a variação
relativa de tensões no mesmo, porém aumenta a mesma para as tensões no aço.
Para a área de aço, pode-se observar um comportamento inverso. Uma área de
aço maior proporciona uma evolução mais brusca das tensões. Quanto à influência
sobre as tensões dos elementos, observamos um efeito semelhante.
Figura 42 - Variação das tensões no concreto e no aço para 𝐴𝑠 = 0,02 𝑚², 𝐴𝑐 = 0,16 𝑚² e 𝑃 =5000 𝑘𝑁
Da Figura 42 observa-se que as tensões em ambos elementos são notavelmente
inferiores às tensões obtidas no problema inicial. Além disso, a variação de tensão para
o concreto e para o aço neste caso é de 81%, registrando um aumento da variação
relativa para o concreto, porém uma redução da variação relativa para o aço.
52
6 Influência da retração
O mesmo comportamento descrito no item 4 pode ser observado quando
tratamos isoladamente da retração. A retração gera uma contração no concreto, que
ocasiona uma igual contração na armadura. Isso gera uma resposta no aço de aumento
da compressão, que é equilibrada por uma tração no concreto.
Portanto, neste capítulo tem-se como objetivo incluir a retração no problema já
apresentado. Para isso, precisa-se descrever um modelo de previsão deste fenômeno.
Pode-se encontrar uma variedade de modelos na literatura: Bazant-Baweja B3, CEB
MC90, CEB MC90-99, GL2000 e AS3600-2009 são alguns deles. Primeiramente, é
analisada a retração isolada com os modelos ACI209.2R-08 e AS3600-2009,
comparando os resultados e determinando os mais satisfatórios.
6.1 Retração isolada
Para analisar-se a retração isolada, se faz necessário mudar o problema, que
passa a ser descrito da forma ilustrada pela Figura 43.
Figura 43 - Caracterização do problema para retração isolada
Utiliza-se, além da equação da retração obtida dos modelos, as equações de
equilíbrio (4.24) e de compatibilidade (4.25) anteriormente apresentadas.
Diferentemente do problema da fluência, a carga aplicada na equação de equilíbrio é
nula.
Espera-se observar um comportamento semelhante ao obtido no item 5, porém,
uma vez que não se tem aplicação de um carregamento, deve-se chegar a uma tensão
53
de tração no concreto, em oposição ao alívio de uma tensão de compressão inicial,
como calculado para a fluência.
6.1.1 ACI209.2R-08
Este é um modelo empírico desenvolvido por Branson e Christiason (1971), que
foi modificado pelo ACI (American Institute Committee). Assim como os demais modelos
semelhantes, este modelo adota o mesmo princípio: uma curva hiperbólica que tende a
um valor assintótico chamado de valor último. O modelo assume condições padrões,
que podem ser ajustadas por fatores de correção calculados a partir dos parâmetros
que descrevam as condições reais. Tem-se a seguir a equação da retração em função
do tempo medida a partir da idade de secagem 𝑡𝑐:
𝜖𝑠ℎ(𝑡, 𝑡𝑐) =(𝑡 − 𝑡𝑐)
𝛼
𝑓 + (𝑡 − 𝑡𝑐)∙ 𝜖𝑠ℎ𝑢 (6. 1)
onde 𝑓 (em dias) e 𝛼 são considerados constantes para uma dada forma e
tamanho do elemento, 𝜖𝑠ℎ𝑢 é a deformação por retração última e (𝑡 − 𝑡𝑐) é o tempo a
partir do final da cura inicial.
Para as condições padrões do modelo, ou seja, quando não há informações
acerca dos agregados e características do meio, o valor da deformação por retração
última sob uma umidade relativa de 40% é de:
𝜖𝑠ℎ𝑢 = 780 × 10− 𝑚𝑚 𝑚𝑚⁄ (6. 2)
Além disso, para o valor de 𝑓, é recomendado que se utilize 35 para 7 dias de
cura úmida e 55 para 1 a 3 dias de cura à vapor. Para 𝛼 o modelo sugere um valor de
1,0. Na Tabela 3 descreve-se as condições padrões consideradas pelo modelo
ACI209R-42:
54
Tabela 3 - Fatores afetando a retração do concreto e as variáveis consideradas no método de previsão recomendado (adaptado de ACI 209.2R-08, 2008)
A constante 𝑓 pode ainda ser calculada com base na razão volume-superfície do
elemento, como descrito em (6.3).
𝑓 = 26 ∙ 𝑒[1, 2×10−2∙(𝑉 𝑆⁄ )] (6. 3)
onde 𝑉 𝑆⁄ é a razão volume-superfície em 𝑚𝑚.
Dessa forma, inicialmente, precisa-se determinar uma altura para a coluna do
problema, procurando obter um valor mais próximo da realidade para 𝑓. Assumindo uma
altura de 3,0 m, tem-se:
𝑉 = 0,40 × 0,40 × 3,00 = 0,48 𝑚3 = 4,8 × 108 𝑚𝑚3 (6. 4)
𝑆 = 4 × 0,40 × 3,00 + 0,40 × 0,40 = 4,96 𝑚2 = 4,96 × 10 𝑚𝑚2 (6. 5)
Para esses valores, calcula-se a razão volume-superfície:
𝑉 𝑆⁄ =4,8 × 108
4,96 × 10 = 96,77 𝑚𝑚 (6. 6)
A partir de (6.3), calcula-se o valor de 𝑓:
𝑓 = 26 ∙ 𝑒[1, 2×10−2×9 ,77] = 26,04 (6. 7)
Finalmente, substituindo o valor de 𝑓 encontrado e assumindo 𝑡𝑐 = 0, tem-se a
equação da deformação por retração em função do tempo, a partir de (6.1).
𝜖𝑠ℎ(𝑡) =𝑡1,0
26,04 + 𝑡× 780 × 10− (6. 8)
O método de solução do problema é descrito pelo fluxograma apresentado na
Figura 44.
Variáveis consideradas Condições padrão
Conteúdo da pasta de
cimentoTipo de cimento Tipos I e III
Fator água/cimento Slump 70 mm
Proporções de mistura Conteúdo de ar ≤ 6%
Características dos
agregados
Porcentagem de
agregado miúdo50%
Grau de compacidade Conteúdo de cimento 279 a 446 kg/m³
Cura úmida 7 dias
Cura à vapor 1 a 3 dias
Cura úmida 23,2 ± 2 °C
Cura à vapor ≤ 100 °C
Umidade da cura Umidade relativa ≥ 95%
Temperatura do concretoTemperatura do
concreto23,2 ± 2 °C
Conteúdo de água do
concreto
Umidade relativa do
ambiente40%
Razão volume-superfície V/S = 38 mm
Espessura mínima 150 mm
Fatores
Concreto
Composição do
concreto
Duração da cura inicial
Temperatura de cura
Forma e tamanho
Cura inicial
Ambiente
Geometria
Geometria do
elemento e
condições do
ambiente
55
Figura 44 - Fluxograma descritivo do método de solução ACI209.2R-08 para o problema da retração isolada
A partir deste método, obtém-se o gráfico da Figura 45:
Figura 45 - Distribuição de tensões no concreto e no aço determinadas pelo modelo ACI209.2R-08 para a análise da retração isolada
𝜖𝑐(𝑡𝑛) =𝑡𝑛
1,0
26,04+ 𝑡𝑛× 780× 10−6Deformação no concreto:
𝜖𝑐 = 𝜖𝑠Equação de compatibilidade:
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖𝑠Lei de Hooke para o aço:
𝜎𝑐 =−𝜎𝑠 𝐴𝑠
𝐴𝑐Tensão no concreto (equação de equilíbrio):
Estado de tensões no tempo 𝑡𝑛
56
Pode-se notar que os valores finais atingidos para as tensões são
aproximadamente 160 MPa para o aço e -8,0 MPa no concreto. Além disso, o
desenvolvimento dessas tensões se dá de forma rápida, atingindo seus valores finais
com aproximadamente 1000 dias.
6.1.2 AS3600-2009
O modelo presente no AS3600-2009 para previsão das deformações por
retração em concretos normais e de alta resistência foi proposto por Gilbert (2002). Esse
modelo divide a deformação por retração em duas parcelas: a retração endógena e a
retração por secagem, como descrito pela equação (6.9). A retração endógena é a soma
da retração autógena e retração térmica (causada por variação de temperatura) e é
causada principalmente por reações químicas na pasta de cimento, como carbonatação.
Esse tipo de retração se desenvolve rapidamente e aumenta com a resistência do
concreto. Já a retração por secagem ocorre pela perda de umidade para o ambiente e
tende a se desenvolver mais lentamente, diminuindo com a resistência do concreto
(GILBERT; RANZI, 2011).
𝜖𝑠ℎ = 𝜖𝑠ℎ𝑒 + 𝜖𝑠ℎ𝑑 (6. 9)
A deformação por retração endógena é dada pela equação (6.10).
𝜖𝑠ℎ𝑒 = 𝜖𝑠ℎ𝑒∗ ∙ (1,0 − 𝑒−0,1∙𝑡) (6. 10)
onde 𝑡 é dado em dias.
A retração endógena última 𝜖𝑠ℎ𝑒∗ pode ser calculada através de (6.11).
𝜖𝑠ℎ𝑒∗ = (0,06 ∙ 𝑓′𝑐 − 1,0) ∙ 50 ∙ 10− (6. 11)
onde 𝑓′𝑐 é a resistência do concreto em MPa.
A retração por secagem básica 𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏 é dada por (6.12).
𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏 = (1,0 − 0,008 ∙ 𝑓′𝑐) ∙ 𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏∗ (6. 12)
A retração por secagem básica última 𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏∗ depende da qualidade do agregado
e pode ser tomada como 800 × 10− quando o agregado for de boa qualidade ou 1000 ×
10− quando a qualidade do agregado é incerta. Então, o cálculo da deformação por
retração por secagem é feito a partir de (6.13).
𝜖𝑠ℎ𝑑 = 𝑘1 ∙ 𝑘 ∙ 𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏 (6. 13)
O fator 𝑘 depende das condições de temperatura do ambiente e é igual a 0,7
para ambientes áridos, 0,65 para ambientes internos, 0,6 para ambientes de clima
temperado e 0,5 para ambientes de clima tropical ou costais. Finalmente, o fator 𝑘1 é
dado, para qualquer momento (𝑡 − 𝑡𝑐) após o instante 𝑡𝑐 de início de secagem, por
(6.14).
57
𝑘1 =𝛼1 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑐)
0,8
(𝑡 − 𝑡𝑐)0,8 + 0,15 ∙ 𝑡ℎ
(6. 14)
onde 𝑡ℎ é uma espessura hipotética, calculada pela razão entre o dobro da área
𝐴 da seção transversal da peça e o seu perímetro 𝑢𝑒 exposto à atmosfera acrescido de
metade do perímetro de quaisquer vazios na seção, como descrito pela equação (6.15).
𝑡ℎ =2 ∙ 𝐴
𝑢𝑒(6. 15)
Enfim, o fator 𝛼1 é dado por:
𝛼1 = 0,8 + 1,2 ∙ 𝑒−0,005∙𝑡ℎ (6. 16)
Agora, aplica-se o modelo no problema inicial. Inicialmente, realiza-se o cálculo
da deformação por retração endógena, para o qual precisa-se determinar a retração
endógena última. Considerando um concreto C30, ou seja, 𝑓′𝑐 = 30 𝑀𝑃𝑎, tem-se, a
partir de (6.11):
𝜖𝑠ℎ𝑒∗ = (0,06 × 30 − 1,0) × 50 × 10− = 4 × 10−5 (6. 17)
Utilizando (6.10), tem-se a deformação por retração endógena em função do
tempo.
𝜖𝑠ℎ𝑒 = 4 × 10−5 × (1,0 − 𝑒−0,1∙𝑡) (6. 18)
Em seguida, assumindo uma incerteza acerca da qualidade dos agregados,
determina-se 𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏∗ = 1000 × 10− e é calculada a deformação por retração por
secagem básica, a partir de (6.12).
𝜖𝑠ℎ𝑑,𝑏 = (1,0 − 0,008 × 30) × 1000 × 10− = 7,6 × 10− (6. 19)
Para calcular a deformação por retração por secagem, precisa-se inicialmente
determinar os fatores 𝑘1 e 𝑘 . Para uma realidade próxima da cidade do Rio de Janeiro,
pode-se assumir 𝑘 = 0,50, pois se trata de uma cidade costal com clima semelhante
ao tropical. Agora, calcula-se a espessura hipotética. Como a seção transversal da
coluna não possui vazios, tem-se, de (6.13):
𝑡ℎ =2 × 0,40 × 0,40
4 × 0,40= 0,20 𝑚 = 200 𝑚𝑚 (6. 20)
A partir de (6.16) pode-se calcular o fator 𝛼1:
𝛼1 = 0,8 + 1,2 ∙ 𝑒−0,005×200 = 1,2414 (6. 21)
Assumindo que a secagem tem início no instante 𝑡𝑐 = 0, tem-se 𝑘1 a partir de
(6.14):
𝑘1 =1,2414 ∙ 𝑡0,8
𝑡0,8 + 0,15 × 200=1,2414 ∙ 𝑡0,8
𝑡0,8 + 30(6. 22)
58
Substituindo em (6.13) os valores encontrados em (6.19) e (6.22), tem-se a
deformação por retração por secagem:
𝜖𝑠ℎ𝑑 = 7,6 × 10− × 0,50 ×1,2414 ∙ 𝑡0,8
𝑡0,8 + 30=4,71732 × 10− ∙ 𝑡0,8
𝑡0,8 + 30(6. 23)
Finalmente, substitui-se (6.18) e (6.23) em (6.9) para obter a deformação por
retração em função do tempo:
𝜖𝑠ℎ(𝑡) = 4 × 10−5 × (1,0 − 𝑒−0,1∙𝑡) +4,71732 × 10− ∙ 𝑡0,8
𝑡0,8 + 30(6. 24)
Utilizando o mesmo método de solução apresentado pelo fluxograma da Figura
44 adaptado para a equação (6.24), obtém-se o gráfico apresentado na Figura 46.
Figura 46 - Distribuição de tensões no concreto e no aço determinadas pelo modelo AS3600-2009 para a análise da retração isolada
Chegando a 100 MPa para o aço e -5,0 MPa para o concreto, pode-se concluir
que os valores obtidos para as tensões são consideravelmente inferiores aos calculados
pelo modelo ACI209.2R-08. Além disso, nota-se um desenvolvimento de tensões mais
retardado, uma vez que os valores das tensões apenas atingem seus valores finais com
aproximadamente 3000 dias.
Decide-se, por estes motivos, aplicar os resultados do modelo AS3600-2009 no
problema inicial, para analisar os efeitos da fluência em conjunto com a retração.
59
6.2 Análise da retração e fluência em conjunto
Neste capítulo, as deformações por fluência são incluídas no problema,
buscando observar o comportamento do concreto quando submetido a ambos efeitos
reológicos. Para isso, soma-se as deformações por fluência obtidas no item 5 com as
deformações por retração obtidas do modelo AS3600-2009 no item 6.1.2. A equação
para a deformação em função do tempo é, de (4.23) e (6.19):
𝜖(𝑡) =𝜎0
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡) + 4 × 10−5 × (1,0 − 𝑒−0,1∙𝑡) +
4,71732 × 10− ∙ 𝑡0,8
𝑡0,8 + 30(6. 25)
Aplicando a equação (6.25) no método de solução descrito no item 4.2, obtém-
se o gráfico da Figura 47.
Figura 47 - Distribuição de tensões no concreto e no aço para a análise da fluência e retração em conjunto
É possível observar que o concreto, quando sujeito à retração, sofre um alívio
maior de tensão e, consequentemente, o aumento de tensão no aço também é maior,
quando comparado ao caso onde não se inclui o efeito da retração simultâneo ao
carregamento.
60
Observa-se ainda que a tensão final no aço é consideravelmente maior e,
consequentemente, a tensão final no concreto se mostra menor, quando comparadas
às tensões finais para o problema da fluência isolada. Pode-se mais facilmente analisar
essa comparação com o gráfico no qual são sobrepostas ambas análises, conforme
Figura 48.
Figura 48 – Comparação das distribuições de tensões no concreto e no aço para a análise da fluência e retração e para a análise da fluência isolada
Nota-se também que os valores iniciais das tensões são idênticos e as curvas
de ambas análises possuem formatos semelhantes, sendo a curva das tensões para a
fluência isolada deslocada para valores maiores no concreto e menores no aço.
6.2.1 Comparação dos resultados
Pode-se comparar os resultados obtidos no gráfico da Figura 48 com os obtidos
por uma análise semelhante realizada por Gilbert e Ranzi (2011). Para chegar em seus
resultados, eles utilizaram uma previsão de fluência baseada no coeficiente 𝜑 de
fluência que, quando multiplicado pela deformação elástica, fornece a deformação por
fluência:
𝜖𝑓𝑙(𝑡, 𝜏) = 𝜑(𝑡, 𝜏) ∙ 𝜖𝑒(𝜏) (6. 26)
O método de previsão da retração empregado foi o mesmo utilizado neste estudo
(AS3600-2009). Os dados iniciais adotados por Gilbert e Ranzi (2011) foram:
61
Seção quadrada de 30 x 30 cm
𝐴𝑠 = 1500 𝑚𝑚²
𝐸𝑐 = 25 𝐺𝑃𝑎
𝐸𝑠 = 200 𝐺𝑃𝑎
𝑃 = 1000 𝑘𝑁
Os resultados obtidos para análise da fluência são descritos na Figura 49:
Figura 49 - Variação de tensões devido à fluência em uma seção transversal simetricamente armada sob tensão de compressão axial constante (adaptado de GILBERT; RANZI, 2011)
300
𝜎𝑐 = 7,2 MPa 8 Tensão no concreto
𝜎𝑠 = 80 MPa
12
250
200
150
100
50
0
𝜏 0
0
2
4
6
10 𝜎𝑠 = 242 MPa Tensão no aço 𝜎𝑐 = 10 MPa
300 mm
300 mm
𝐴𝑠 = 1500 mm²
P = 1000 kN
𝐸𝑐 = 25 GPa
𝐸𝑠 = 200 GPa
𝜑∗(𝜏) = 3.0
Tensão d
e c
om
pre
ssão n
o c
oncre
to (
MP
a)
Tempo (dias) 10.000
Tensão d
e c
om
pre
ssão n
o a
ço (
MP
a)
62
Em seguida compara-se as curvas obtidas por Gilbert e Ranzi (2011) com as
curvas obtidas pela análise do item 5, substituindo os dados iniciais para coincidirem
com os utilizados pelos autores, e apresenta-se esta comparação no gráfico da Figura
50.
Figura 50 - Comparação entre os resultados obtidos pela solução do modelo de Boltzmann e a solução de Gilbert e Ranzi para o problema da fluência isolada (2011)
Pode-se observar que o modelo de Boltzmann chega a um resultado
satisfatoriamente semelhante ao obtido pelo método utilizado por Gilbert e Ranzi (2011),
com ambas as curvas se encontrando muito próximas e chegando a valores finais
extremamente parecidos.
Seguindo para a análise conjunta da fluência e retração, apresenta-se os
resultados obtidos por Gilbert e Ranzi (2011) na Figura 51 e uma comparação com a
análise utilizando o modelo adotado na Figura 52.
63
Figura 52 - Comparação entre os resultados obtidos pela solução do modelo de Boltzmann e a solução de Gilbert e Ranzi (2011) para a fluência atuando em conjunto com a retração
Observa-se pela Figura 52 que o efeito da retração se desmonstra discrepante
entre ambas análises nas idades iniciais, logo após o início do carregamento. Enquanto
𝜎𝑠 = 80 MPa
360
300
240
180
120
60
0
𝜏
0
2
4
6
8
10
12
𝜎𝑐 = 5,8 MPa
𝜎𝑠 = 326 MPa 𝜎𝑐 = 10 MPa
300 mm
300 mm
𝐴𝑠 = 1500 mm²
P = 1000 kN 𝐸𝑐 = 25 GPa
𝐸𝑠 = 200 GPa 𝜑∗(𝜏) = 3.0
휀𝑠ℎ∗ = -600x10-6
0 10.000
Tensão d
e c
om
pre
ssão n
o c
oncre
to (
MP
a)
Tensão d
e c
om
pre
ssão n
o a
ço (
MP
a)
Tempo (dias)
Figura 51 - Variação das tensões com o tempo devido à retração em uma seção transversal de concreto simetricamente armado sujeito à compressão axial (adaptado de GILBERT; RANZI,
2011)
64
a análise proposta no item 6.2 registra um desenvolvimento mais rápido da retração, de
forma a acelerar a redistribuição de tensões nos elementos, a análise de Gilbert e Ranzi
(2011) forneceu uma distribuição mais lenta das tensões, de forma que o efeito da
retração não se mostra tão intenso nos períodos iniciais.
Essa diferença pode ser explicada pela falta de informações acerca da análise
realizada pelos autores no que se refere às constantes utilizadas no método AS3600-
2009 de previsão da retração.
65
7 Influência da relaxação
No presente capítulo propõe-se realizar uma análise dos fenômenos
previamente estudados incluindo uma tensão inicial de protensão na armadura, cujo aço
está sujeito ao efeito da relaxação. Dessa forma, atuam tanto a fluência quanto a
retração no concreto, como a relaxação no aço de protensão. Para o problema apenas
a força de protensão dos cabos de aço.
7.1 Caracterização do problema
A caracterização do problema considerando fluência, retração e relaxação pode
ser visto na Figura 53. Inicialmente é aplicada uma protensão sobre a armadura que, ao
ser liberada, engendra uma perda de protensão por deformação imediata (elástica) do
concreto. Nos momentos subsequentes ocorre a atuação dos fenômenos reológicos:
deformação do concreto por fluência e retração e perda de tensão no aço por relaxação.
Figura 53 - Caracterização do problema sob influência da relaxação
Aplica-se novamente o modelo de Boltzmann tanto para a fluência do concreto
quanto para a relaxação do aço. Para a previsão da retração, utiliza-se novamente o
método AS3600-2009 já introduzido anteriormente.
66
7.2 Método de solução
O método de solução empregado aqui é semelhante ao descrito no item 4.2 para
o problema da fluência. Em um momento inicial, tem-se a aplicação de uma carga de
protensão inicial 𝐹𝑝(𝑡0) em cada cabo de aço. Essa força é equivalente a uma tensão
inicial 𝜎𝑝(𝑡0).
𝜎𝑝(𝑡0) =𝑛 ∙ 𝐹𝑝(𝑡0)
𝐴𝑠(7. 1)
onde 𝑛 é o número de barras de aço.
Em conjunto à tensão, tem-se uma deformação inicial dos cabos de aço
protendidos.
𝜖𝑝(𝑡0) =𝜎𝑝(𝑡0)
𝐸𝑝(7. 2)
onde adotamos Ep = Es.
Ao liberarmos os cabos num instante 𝑡0+, essa tensão é transferida para o
concreto, obedecendo a equação de equilíbrio.
𝜎𝑐(𝑡0+) =𝜎𝑝(𝑡0) ∙ 𝐴𝑠
𝐴𝑐(7. 3)
O concreto submetido a essa tensão sofre uma deformação elástica.
𝜖𝑐(𝑡0+) =𝜎𝑐(𝑡0+)
𝐸𝑐(7. 4)
Essa deformação diminui a deformação no aço, segundo uma nova equação de
compatibilidade:
𝜖𝑝(𝑡0+) = 𝜖𝑝(𝑡0) − 𝜖𝑐(𝑡0+) (7. 5)
Devido à redução da deformação, ocorre uma perda de protensão. Chama-se
esse fenômeno de perda por deformação imediata.
𝜎𝑝(𝑡0+) = 𝐸𝑠 ∙ 𝜖𝑝(𝑡0+) (7. 6)
A partir desse momento, com o passar do tempo, a retração e fluência aumentam
a deformação no concreto, o contraindo e, consequentemente, diminuindo a
deformação e tensão no aço de protensão. Já o aço sofre relaxação, o que diminui ainda
mais sua tensão. Para avaliar-se esse comportamento define-se, novamente, um passo
∆𝑡, no qual considera-se que a tensão no concreto e a deformação no aço são
constantes. Com isso, pode-se calcular, através de (6.25), a nova deformação no
concreto após a atuação da fluência e retração durante o passo ∆𝑡:
𝜖𝑐(𝑡1) =𝜎0
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡1) + 4 × 10−5 × (1,0 − 𝑒−0,1∙𝑡1) +
4,71732 × 10− ∙ 𝑡10,8
𝑡10,8 + 30
(7. 7)
67
Com isso, pode-se calcular, através da equação (7.5) de compatibilidade do
problema, a nova deformação no aço:
𝜖𝑝(𝑡1) = 𝜖𝑝(𝑡0) − 𝜖𝑐(𝑡1) (7. 8)
A relaxação sofrida pelo aço é calculada através de (3.37). Todavia, precisa-se
calcular os parâmetros do modelo de Boltzmann para o aço. Aplica-se o mesmo método
teórico de obtenção dos coeficientes utilizado no item 4.1 para o concreto, através do
qual chega-se aos seguintes valores:
𝑞0′′ = 250000 𝑀𝑃𝑎 (7. 9)
𝑞1′′ = 4,5 × 108 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎 (7. 10)
𝐸 = 200 × 103 𝑀𝑃𝑎 (7. 11)
Com isso, chega-se aos coeficientes:
𝑝1 = 4,5 × 108 (250000 + 200 × 103)⁄ = 1000 𝑑𝑖𝑎𝑠 (7. 12)
𝑞0 = 250000 × 200 × 103 (250000 + 200 × 103)⁄ = 111111,11 𝑀𝑃𝑎 (7. 13)
𝑞1 = 200 × 103 × 4,5 × 108 (250000 + 200 × 103)⁄ = 2 × 108 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎𝑠 (7. 14)
A curva da tensão em função do tempo, ilustrada na Figura 54, é obtida através
destes coeficientes.
Figura 54 - Tensão no aço em função do tempo sob atuação da relaxação
68
Por ter aspecto semelhante à curva padrão para a fase de relaxação do modelo
de Boltzmann (descrita na Figura 27), julga-se satisfatórios os coeficientes obtidos.
Então, considerando que a relaxação do aço tem início no instante 𝑡0 = 0, considera-se
𝜏 = 𝑡 e, através de (3.37), calcula-se a nova tensão no aço após a perda por relaxação
durante o passo ∆𝑡.
𝜎𝑝(𝑡1) = 111111,11 ∙ 𝜖𝑝(𝑡0+) ∙ (1 − 𝑒−𝑡1 1000⁄ ) + 𝜎𝑝(𝑡0+) ∙ 𝑒−𝑡1 1000⁄ (7. 15)
Enfim, pode-se calcular, através de (7.3), a nova tensão no concreto com base
na tensão no aço, prevendo a redistribuição de tensões.
𝜎𝑐(𝑡1) =𝜎𝑝(𝑡1) ∙ 𝐴𝑠
𝐴𝑐(7. 16)
Ao seguir para o segundo passo chega-se ao instante 𝑡2 = 2 ∙ ∆𝑡. As equações
(7.7) e (7.15) sofrem algumas mudanças. Como explicado no item 4.2, tem-se uma
variação da deformação no concreto por fluência.
𝛥𝜖𝑐,𝑓𝑙(𝑡2) =𝜎1
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡2) −
𝜎19375
∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡1) (7. 17)
A nova deformação por fluência no concreto no instante 𝑡2 = 2 ∙ ∆𝑡 é a soma
dessa variação com a deformação por fluência no instante anterior:
𝜖𝑐,𝑓𝑙(𝑡2) = 𝛥𝜖𝑐,𝑓𝑙(𝑡2) +𝜎0
9375∙ (1 − 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡1) (7. 18)
Finalmente, a deformação total do concreto no instante 𝑡2 será a soma de (7.18)
com a deformação por retração neste instante:
𝜖𝑐(𝑡2) = 𝜖𝑐,𝑓𝑙(𝑡2) + 4 × 10−5 × (1,0 − 𝑒−0,1∙𝑡2) +4,71732 × 10− ∙ 𝑡2
0,8
𝑡20,8 + 30
Calcula-se, então, a nova deformação no aço novamente através de (7.5).
𝜖𝑝(𝑡2) = 𝜖𝑝(𝑡0) − 𝜖𝑐(𝑡2) (7. 19)
De forma semelhante à deformação do concreto, a tensão no aço neste instante
deve ser calculada através da variação da tensão no aço entre os instantes 𝑡1 e 𝑡2 para
uma deformação constante igual a 𝜖𝑝(𝑡1). Ou seja, precisa-se verificar a perda de tensão
sofrida pelo aço por relaxação entre os instantes 𝑡1 e 𝑡2 quando submetido a uma
deformação 𝜖𝑝(𝑡1).
𝛥𝜎𝑝(𝑡2) = 111111,11 ∙ 𝜖𝑝(𝑡1) ∙ (1 − 𝑒−𝑡2 1000⁄ ) + 𝜎𝑝(𝑡0+) ∙ 𝑒−𝑡2 1000⁄ −
−[111111,11 ∙ 𝜖𝑝(𝑡1) ∙ (1 − 𝑒−𝑡1 1000⁄ ) + 𝜎𝑝(𝑡0+) ∙ 𝑒−𝑡1 1000⁄ ] (7. 20)
Somando essa perda de tensão com a tensão no instante 𝑡1 anterior, obtém-se
a tensão no aço no instante 𝑡2.
𝜎𝑝(𝑡2) = 𝜎𝑝(𝑡1) + 𝛥𝜎𝑝(𝑡2) (7. 21)
Enfim, calcula-se a nova tensão no concreto através de (7.3).
69
𝜎𝑐(𝑡2) =𝜎𝑝(𝑡2) ∙ 𝐴𝑠
𝐴𝑐(7. 22)
Assim, tem-se a redistribuição de tensões no instante 𝑡2. Reproduzindo esse
processo para qualquer instante 𝑡𝑛 soluciona-se o problema. O método de solução
apresentado é descrito pelo fluxograma da Figura 55.
70
Figura 55 - Fluxograma descritivo do método de solução do problema da relaxação
𝜎𝑝(𝑡0) =𝑛 𝐹𝑝(𝑡0)
𝐴𝑠Tensão inicial de protensão:
Estado de tensões iniciais
Δ𝑡 (passo)
𝜖𝑐 𝑡1 =𝜎0
9375 1 − 0,625 𝑒−0,001 𝑡1 +4 ×10−5× 1,0 − 𝑒−0,1 𝑡1 +
4,71732 × 10− 𝑡10,8
𝑡10,8 +30
𝜖𝑝 𝑡1 = 𝜖𝑝 𝑡0 − 𝜖𝑐 𝑡1
Deformação por fluência do concreto:
Equação de compatibilidade:
𝜎𝑐 𝑡1 =𝜎𝑝 𝑡1 𝐴𝑠
𝐴𝑐Tensão no concreto:
Estado de tensões no tempo 𝑡1
Deformação por fluência do concreto: 𝜖𝑐 𝑡2 =𝜎1
9375 1− 0,625 𝑒−0,001 𝑡2 −
𝜎19375
1 − 0,625 𝑒−0,001 𝑡1 +𝜎0
9375∙ 1− 0,625 ∙ 𝑒−0,001∙𝑡1 + 4× 10−5 × 1,0− 𝑒−0,1 𝑡2 +
4,71732× 10− 𝑡20,8
𝑡20,8 +30
𝜖𝑝 𝑡2 = 𝜖𝑝 𝑡0 − 𝜖𝑐 𝑡2Equação de compatibilidade:
𝜎𝑝 𝑡2 = 111111,11 𝜖𝑝 𝑡1 1− 𝑒−𝑡2 1000⁄ +𝜎𝑝 𝑡0+ 𝑒−𝑡2 1000⁄ − 111111,11 𝜖𝑝 𝑡1 1 − 𝑒−𝑡1 1000⁄ + 𝜎𝑝 𝑡0+ 𝑒−𝑡1 1000⁄ + 𝜎𝑝 𝑡1Tensão por relaxação do aço:
𝜎𝑐 𝑡2 =𝜎𝑝 𝑡2 𝐴𝑠
𝐴𝑐Tensão no concreto:
Estado de tensões no tempo 𝑡2
Δ𝑡 (passo)
Repete-se o processo para qualquer tempo 𝑡𝑛
Δ𝜖𝑐,𝑓𝑙(𝑡2)
Deformação inicial do aço de protensão: 𝜖𝑝 𝑡0 =𝜎𝑝(𝑡0)
𝐸𝑝
Tensão inicial do concreto: 𝜎𝑐 𝑡0+ =𝜎𝑝 𝑡0 𝐴𝑠
𝐴𝑐
Deformação inicial do concreto: 𝜖𝑐 𝑡0+ =𝜎𝑐 𝑡0+
𝐸𝑐
Deformação do aço de protensão:𝜖𝑝 𝑡0+ = 𝜖𝑝 𝑡0 − 𝜖𝑐 𝑡0+Ap
ós
lib
era
ção
da
pro
ten
são
Tensão por relaxação do aço: 𝜎𝑝 𝑡1 = 111111,11 𝜖𝑝 𝑡0+ 1 − 𝑒−𝑡1 1000⁄ + 𝜎𝑝 𝑡0+ 𝑒−𝑡1 1000⁄
Δ𝜎𝑝(𝑡2)
𝜖𝑐,𝑓𝑙(𝑡1)
71
7.3 Solução do problema
Utilizando os dados iniciais introduzidos no item 4.3, no que diz respeito à seção
da coluna ilustrada na Figura 38, e o módulo de elasticidade dos materiais:
𝐸𝑐 = 25 𝐺𝑃𝑎 (7. 23)
𝐸𝑠 = 200 𝐺𝑃𝑎 (7. 24)
Adota-se uma força de protensão inicial 𝐹𝑝(𝑡0) = 900 𝑘𝑁 em cada barra. Com
isso, calcula-se a tensão inicial de protensão no aço através de (7.1).
𝜎𝑝(𝑡0) =8 × 900
0,008= 9 × 105 𝑘𝑃𝑎 = 900 𝑀𝑃𝑎 (7. 25)
Então, calcula-se a deformação inicial do aço, por (7.2).
𝜖𝑝(𝑡0) =900
200 × 103= 0,0045 (7. 26)
A tensão inicial no concreto após a liberação da protensão é obtida por (7.3).
𝜎𝑐(𝑡0+) =900 × 0,008
0,16= 45 𝑀𝑃𝑎 (7. 27)
Essa tensão resulta numa deformação elástica do concreto, calculada por (7.4).
𝜖𝑐(𝑡0+) =45
25 × 103= 0,0018 (7. 28)
A consequente redução da deformação do aço é calculada por (7.5).
𝜖𝑝(𝑡0+) = 0,0045 − 0,0018 = 0,0027 (7. 29)
A perda de protensão por deformação imediata é dada por (7.6).
𝜎𝑝(𝑡0+) = 200 × 103 × 0,0027 = 540 𝑀𝑃𝑎 (7. 30)
Nos instantes posteriores, tem-se a atuação dos efeitos reológicos. Utilizando o
método descrito no final do item 7.2 gera-se as curvas da Figura 56.
72
Figura 56 - Variação das tensões do concreto e do aço de protensão sob efeito da fluência, retração e relaxação
Nota-se que a tensão no aço varia de 𝜎𝑝(0) = 540,00 𝑀𝑃𝑎 após a perda por
deformação instantânea, para 𝜎𝑝(4700) = 272,42 𝑀𝑃𝑎, registrando uma perda relativa
de, aproximadamente, 50% da protensão. É possível observar ainda que a curva de
tensão do concreto é paralela à curva de tensão do aço. Isso pode ser explicado pelo
fato de não haver carregamento externo, sendo apenas tensões internas redistribuídas
pelos efeitos reológicos. Dessa forma, a tensão no aço também sofre a mesma perda
relativa, chegando a um valor final de 𝜎𝑐(4700) = 13,62 𝑀𝑃𝑎.
73
8 Comparação entre modelos
Como foi visto no item 3, existem diversos modelos viscoelásticos baseados na
combinação de molas e amortecedores para previsão da fluência. Nos capítulos
anteriores, soluciona-se o problema da coluna comprimida, prevendo a interação entre
o aço e o concreto quando submetidos aos efeitos reológicos usando o modelo de
Boltzmann. Neste capítulo o mesmo problema é solucionado, porém utilizando outro
modelo.
Segundo FLÜGGE (1967), as equações diferenciais que regem cada modelo são
dadas pela Tabela 4.
Tabela 4 - Modelos viscoelásticos (adaptado de FLÜGGE, 1967)
Equação diferencial
Desigualdade
Fluido de 3
parâmetros
Fluido de 4
parâmetros
Sólido de 4
parâmetros
Fluido de Maxwell
Sólido de Kelvin
Modelo de
Boltzmann (Sólido
de 3 parâmetros)
Modelo Nome
Sólido elástico
Fluido viscoso
Flexibilidade à fluência
𝜎 = 𝑞0 𝜖
𝜎 = 𝑞1 𝜖̇
𝜎 + 𝑝1 �̇� = 𝑞1 𝜖̇
𝜎 = 𝑞0 𝜖 + 𝑞1 𝜖̇
𝜎 + 𝑝1 �̇� = 𝑞0 𝜖 + 𝑞1 𝜖̇
𝑞1 > 𝑝1 𝑞0
𝜎 + 𝑝1 �̇� = 𝑞1 𝜖̇ + 𝑞2 𝜖̈
𝑝1 𝑞1 > 𝑞2
𝜎 + 𝑝1 �̇� + 𝑝2 �̈� = 𝑞1 𝜖̇ + 𝑞2 𝜖̈
𝑝12 > 4 𝑝2
𝑝1 𝑞1 𝑞2 = 𝑝2 𝑞12+𝑞2
2
𝜎 + 𝑝1 �̇� = 𝑞0 𝜖 + 𝑞1 𝜖̇ + 𝑞2 𝜖̈
𝑞12 > 4 𝑞0 𝑞2
𝑞1 𝑝1 > 𝑞0 𝑝12 +𝑞2
𝐽(𝑡)
1
𝑞0
𝑡
𝑞1
𝑝1 + 𝑡
𝑞1
1
𝑞0 1 − 𝑒−𝜆𝑡 𝜆 =
𝑞0𝑞1
,
𝑝1𝑞1
𝑒−𝜆𝑡 +1
𝑞0 1 − 𝑒−𝜆𝑡 ,
𝜆 =𝑞0𝑞1
𝑡
𝑞1+𝑝1 𝑞1 −𝑞2
𝑞1² 1 − 𝑒−𝜆𝑡
𝜆 =𝑞0𝑞1
𝑡
𝑞1+𝑝1 𝑞1 −𝑞2
𝑞1² 1 − 𝑒−𝜆𝑡
+𝑝2𝑞2
𝑒−𝜆𝑡
,
, 𝜆 =𝑞1𝑞2
1− 𝑝1 𝜆1𝑞2 𝜆1 𝜆2− 𝜆1
1 − 𝑒−𝜆1𝑡
+1 − 𝑝1 𝜆2
𝑞2 𝜆2 𝜆1 −𝜆2 1 − 𝑒−𝜆2𝑡
onde 𝜆1 e 𝜆2 são raízes de:
𝑞2 𝜆2 −𝑞1 𝜆 + 𝑞0 = 0
74
Dentre os modelos que são listados na Tabela 4, opta-se por desenvolver a
solução pelo sólido de 4 parâmetros, cuja equação diferencial é dada por (8.1).
𝜎 + 𝑝1 ∙ �̇� = 𝑞0 ∙ 𝜖 + 𝑞1 ∙ 𝜖̇ + 𝑞2 ∙ 𝜖̈ (8. 1)
A solução da equação diferencial (8.1) é a função 𝜖(𝑡) da deformação em função
do tempo para o efeito da fluência. Para isso, precisa-se, como visto no item 3 para os
demais modelos, aplicar o ensaio padrão que, para a fase de fluência, consiste em
admitir que a tensão é constante e igual a 𝜎0.
𝜎0 = 𝑞0 ∙ 𝜖 + 𝑞1 ∙ 𝜖̇ + 𝑞2 ∙ 𝜖̈ (8. 2)
Para solucionar a equação diferencial (8.2) propõe-se utilizar um método
numérico, que nos fornece uma solução aproximada, podendo ser comparada com a
solução exata obtida da Tabela 4. Dentre diversos métodos numéricos existentes, como
os métodos das diferenças finitas ou de Runge-Kutta, opta-se por adotar o segundo.
8.1 Método de Runge-Kutta
O método de Runge-Kutta, nomeado em homenagem a Carl David Runge e
Martin Wilhelm Kutta, é um método numérico utilizado para solucionar equações
diferenciais ordinárias. Ele faz uso de uma aproximação por uma tangente média e se
baseia em expansões em séries de Taylor truncadas em uma determinada ordem
(VALERIANO, 2017), de forma a adotar várias avaliações da derivada da função em um
mesmo passo, generalizando o método de Euler.
8.1.1 Segunda Ordem
O método de segunda ordem faz uso de duas tangentes no mesmo passo para
chegar ao ponto seguinte. É empregada a tangente 𝐾1, obtida inicialmente pelas
condições iniciais do problema, para calcular um ponto intermediário, através do qual
obtém-se outra tangente 𝐾2. Calcula-se uma tangente média 𝐾𝑀 a partir das duas
tangentes anteriores, através da qual obtém-se a posição do ponto seguinte, como
descreve a Figura 57.
75
Figura 57 - Método de Runge-Kutta de segunda ordem (VALERIANO, 2017)
Dessa forma, tem-se:
𝐾1 = 𝑦′(𝑥0, 𝑦0) (8. 3)
𝐾2 = 𝑦′(𝑥0 + 𝑐 ∙ ∆𝑥, 𝑦0 + 𝐾1 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑥) (8. 4)
As constantes 𝑐 e 𝑎 definem a abscissa e ordenada do ponto intermediário, no
qual calcula-se a tangente 𝐾2. Já a tangente média é calculada por uma combinação
linear das duas tangentes.
𝐾𝑀 = 𝑏1 ∙ 𝐾1 + 𝑏2 ∙ 𝐾2 (8. 5)
Precisa-se determinar ainda as constantes 𝑏1 e 𝑏2. O ponto seguinte é calculado
através da tangente média.
𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝑦𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 𝑦(𝑥0) + 𝐾𝑀 ∙ ∆𝑥 (8. 6)
Tem-se a aproximação por série de Taylor a partir do ponto (𝑥0, 𝑦0), truncada na
segunda ordem:
𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) ≅ 𝑦(𝑥0) + 𝑦′(𝑥0, 𝑦0) ∙ ∆𝑥 +1
2∙ 𝑦′′(𝑥0, 𝑦0) ∙ ∆𝑥
2 (8. 7)
Pode-se expressar a derivada 𝑦′(𝑥, 𝑦), dada pelo próprio problema como
equação diferencial ordinária, como uma função 𝑓(𝑥, 𝑦):
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) (8. 8)
Dessa forma, pode-se escrever as derivadas na origem de maneira que:
𝑦′(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓0 (8. 9)
É expressada a diferencial total da função 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto (𝑥0, 𝑦0):
76
𝑑𝑓|(𝑥0,𝑦0) =𝜕
𝜕𝑥[𝑓(𝑥0, 𝑦0)]𝑑𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦[𝑓(𝑥0, 𝑦0)]𝑑𝑦 (8. 10)
Dividindo pelo diferencial 𝑑𝑥, encontra-se a derivada da função 𝑓(𝑥, 𝑦) em
relação a 𝑥 no ponto (𝑥0, 𝑦0):
𝑑𝑓
𝑑𝑥|𝑥0,𝑦0
=𝜕𝑓
𝜕𝑥|𝑥0,𝑦0
+𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑥0, 𝑦0) ∙
𝜕𝑓
𝜕𝑦|𝑥0,𝑦0
(8. 11)
Uma vez que 𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑥0, 𝑦0) = 𝑦′(𝑥0, 𝑦0), a derivada segunda da função 𝑦 no ponto
(𝑥0, 𝑦0) é dada por (8.12).
𝑦′′(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓′ = 𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦 (8. 12)
onde:
𝑓𝑥 =𝜕𝑓
𝜕𝑥|𝑥0,𝑦0
(8. 13)
𝑓𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑦|𝑥0,𝑦0
(8. 14)
Pode-se reescrever a aproximação em série de Taylor de forma que:
𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) ≅ 𝑦(𝑥0) + 𝑓0 ∙ ∆𝑥 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥
2 (8. 15)
Igualando (8.6) e (8.15), tem-se:
𝑦(𝑥0) + 𝐾𝑀 ∙ ∆𝑥 = 𝑦(𝑥0) + 𝑓0 ∙ ∆𝑥 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥
2 (8. 16)
Subtraindo ambos os lados por 𝑦(𝑥0) e dividindo-os por ∆𝑥, encontra-se:
𝐾𝑀 = 𝑓0 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥 (8. 17)
Substituindo (8.5) em (8.17):
𝑏1 ∙ 𝐾1 + 𝑏2 ∙ 𝐾2 = 𝑓0 ∙ ∆𝑥 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥
2 (8. 18)
Sabe-se que a expansão em série de Taylor truncada em primeira ordem para
duas variáveis é dada por:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓0 + 𝑓𝑥 ∙ (𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦 ∙ (𝑦 − 𝑦0) (8. 19)
Assim, pode-se expandir a equação de 𝐾2 dada em (8.4).
𝐾2 = 𝑓(𝑥0 + 𝑐 ∙ ∆𝑥, 𝑦0 + 𝐾1 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑥) = 𝑓0 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑐 ∙ ∆𝑥 + 𝑓𝑦 ∙ 𝐾1 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑥 (8. 20)
Substituindo (8.20), (8.3) e (8.9) em (8.18), obtém-se:
𝑏1 ∙ 𝑓0 + 𝑏2 ∙ (𝑓0 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑐 ∙ ∆𝑥 + 𝑓𝑦 ∙ 𝐾1 ∙ 𝑎 ∙ ∆𝑥) = 𝑓0 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥 (8. 21)
Observando-se (8.21), chegamos às seguintes conclusões:
𝑏1 + 𝑏2 = 1 (8. 22)
77
𝑏2 ∙ 𝑐 =1
2(8. 23)
𝑏2 ∙ 𝑎 =1
2(8. 24)
As três equações acima formam um sistema indeterminado, uma vez que
existem quatro incógnitas. Dessa forma, adota-se a seguinte condição para o método
de Runge-Kutta de segunda ordem:
𝑎 = 𝑐 = 1 (8. 25)
Isso permite solucionar o sistema, chegando na solução:
𝑏1 = 𝑏2 =1
2(8. 26)
Finalmente, define-se as tangentes e a solução iterativa do método:
𝐾1 = 𝑦′(𝑥0, 𝑦0) (8. 27)
𝐾2 = 𝑦′(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + 𝐾1 ∙ ∆𝑥) (8. 28)
𝐾𝑀 =1
2∙ 𝐾1 +
1
2∙ 𝐾2 (8. 29)
𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝑦𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 𝑦(𝑥0) +𝐾1 + 𝐾2
2∙ ∆𝑥 (8. 30)
8.1.2 Terceira ordem
De forma análoga ao apresentado no item anterior, pode-se deduzir as seguintes
tangentes intermediárias para o método de Runge-Kutta de terceira ordem:
𝐾1 = 𝑦′(𝑥0, 𝑦0) (8. 31)
𝐾2 = 𝑦′(𝑥0 + 𝑐2 ∙ ∆𝑥, 𝑦0 +𝐾1 ∙ 𝑎21 ∙ ∆𝑥) (8. 32)
𝐾3 = 𝑦′(𝑥0 + 𝑐3 ∙ ∆𝑥, 𝑦0 + 𝐾1 ∙ 𝑎31 ∙ ∆𝑥 + 𝐾2 ∙ 𝑎32 ∙ ∆𝑥) (8. 33)
Dessa forma, tem-se as constantes 𝑐2 e 𝑐3, que definem as abscissas dos pontos
intermediários, e as constantes 𝑎21, 𝑎31 e 𝑎32 que definem as ordenadas dos pontos
intermediários. Assim como no método de segunda ordem, tem-se a tangente média:
𝐾𝑀 = 𝑏1 ∙ 𝐾1 + 𝑏2 ∙ 𝐾2 + 𝑏3 ∙ 𝐾3 (8. 34)
A solução da ordenada do ponto seguinte ao passo é dada por (8.35)
𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝑦(𝑥0) + 𝐾𝑀 ∙ ∆𝑥 (8. 35)
A partir de (8.11), pode-se deduzir que:
𝑑2𝑓
𝑑𝑥2|𝑥0,𝑦0
= (𝜕
𝜕𝑥+ 𝑓0 ∙
𝜕
𝜕𝑦) ∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) (8. 36)
Desenvolvendo a equação (8.36), tem-se:
78
𝑑2𝑓
𝑑𝑥2|𝑥0,𝑦0
= 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 + 2 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 + 𝑓02 ∙ 𝑓𝑦𝑦 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦
2 (8. 37)
A seguir é feita a expansão em série de Taylor em torno do ponto (𝑥0, 𝑦0)
truncada na terceira ordem, substituindo na mesma as equações para 𝑓′(𝑥0, 𝑦0)
encontrada em (8.12) e 𝑓′′(𝑥0, 𝑦0) encontrada em (8.37):
𝑦(𝑥0 + ∆𝑥) ≅ 𝑦(𝑥0) + 𝑓0 ∙ ∆𝑥 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥
2 +
+1
6∙ (𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 + 2 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 + 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦2) ∙ ∆𝑥3 (8. 38)
Então, substituindo (8.1) e (8.34) em (8.38):
𝑏1 ∙ 𝐾1 + 𝑏2 ∙ 𝐾2 + 𝑏3 ∙ 𝐾3 =
= 𝑓0 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥 +
1
6∙ (𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 + 2 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 + 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦2) ∙ ∆𝑥2 (8. 39)
Fazendo a expansão de (8.32) em série de Taylor para duas variáveis truncada
em segunda ordem:
𝐾2 ≅ 𝑓0 + 𝑐2 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑓𝑥 + 𝐾1 ∙ 𝑎21 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑓𝑦 +
+1
2[(𝑐2 ∙ ∆𝑥)
2 ∙ 𝑓𝑥𝑥 + 2 ∙ (𝑐2 ∙ ∆𝑥) ∙ (𝐾1 ∙ 𝑎21 ∙ ∆𝑥) ∙ 𝑓𝑥𝑦 + (𝐾1 ∙ 𝑎21 ∙ ∆𝑥)2 ∙ 𝑓𝑦𝑦] (8. 40)
Desenvolve-se (8.40) e substitui-se nesta a equação (8.31), encontrando (8.41).
𝐾2 ≅ 𝑓0 + (𝑐2 ∙ 𝑓𝑥 + 𝑎21 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥 + (𝑐22
2∙ 𝑓𝑥𝑥 + 𝑐2 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 +
𝑎212
2∙ 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦) ∙ ∆𝑥2(8. 41)
Realizando a mesma expansão de duas variáveis para (8.33):
𝐾3 ≅ 𝑓0 + 𝑐3 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑓𝑥 + (𝐾1 ∙ 𝑎31 + 𝐾2 ∙ 𝑎32) ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑓𝑦 +
+1
2∙ (𝑐3 ∙ ∆𝑥)
2 ∙ 𝑓𝑥𝑥 + 2 ∙ (𝑐3 ∙ ∆𝑥)(𝐾1 ∙ 𝑎31 ∙ ∆𝑥 + 𝐾2 ∙ 𝑎32 ∙ ∆𝑥) ∙ 𝑓𝑥𝑦 +
+1
2∙ (𝐾1 ∙ 𝑎31 ∙ ∆𝑥 + 𝐾2 ∙ 𝑎32 ∙ ∆𝑥)
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 (8. 42)
Novamente, desenvolve-se (8.42) e substitui-se (8.41) e (8.31) para encontrar a
solução (8.43). Foram desprezadas parcelas que contivessem termos além de ∆𝑥².
𝐾3 ≅ 𝑓0 + (𝑐3 ∙ 𝑓𝑥 + 𝑎31 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦 + 𝑎32 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥 +
+(𝑐32
2∙ 𝑓𝑥𝑥 + 𝑐3 ∙ 𝑎31 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 + 𝑐3 ∙ 𝑎32 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 +
𝑎312
2∙ 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 + 𝑎31 ∙ 𝑎32 ∙ 𝑓02 ∙ 𝑓𝑦𝑦 +
+𝑎32
2
2∙ 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 + 𝑐2 ∙ 𝑎32 ∙ 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 + 𝑎21 ∙ 𝑎32 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦2) ∙ ∆𝑥2 (8. 43)
79
Substituindo (8.31), (8.41) e (8.43) em (8.39), tem-se:
(𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3) ∙ 𝑓0 +
+(𝑏2 ∙ 𝑐2 + 𝑏3 ∙ 𝑐3) ∙ 𝑓𝑥 ∙ ∆𝑥 +
+(𝑏2 ∙ 𝑎21 + 𝑏3 ∙ 𝑎31 + 𝑏3 ∙ 𝑎32) ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦 ∙ ∆𝑥 +
+(𝑏2∙𝑐2
2
2+
𝑏3∙𝑐32
2) ∙ 𝑓𝑥𝑥 ∙ ∆𝑥
2 +
+𝑏3 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑎32 ∙ 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 ∙ ∆𝑥2 +
+(𝑏2 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑎21 + 𝑏3 ∙ 𝑐3 ∙ 𝑎31 + 𝑏3 ∙ 𝑐3 ∙ 𝑎32) ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 ∙ ∆𝑥2 +
+(𝑏2∙𝑎21
2
2+
𝑏3∙𝑎312
2+
𝑏3∙𝑎322
2+ 𝑏3 ∙ 𝑎31 ∙ 𝑎32) ∙ 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 ∙ ∆𝑥2 +
+𝑏3 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎32 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦2 ∙ ∆𝑥2 =
= 𝑓0 +1
2∙ (𝑓𝑥 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦) ∙ ∆𝑥 +
1
6∙ (𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 + 2 ∙ 𝑓0 ∙ 𝑓𝑥𝑦 + 𝑓0
2 ∙ 𝑓𝑦𝑦 + 𝑓0 ∙ 𝑓𝑦2) ∙ ∆𝑥2 (8. 44)
Da equação (8.44), obtém-se as condições:
𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 = 1 (8. 45)
𝑏2 ∙ 𝑐2 + 𝑏3 ∙ 𝑐3 =1
2(8. 46)
𝑏2 ∙ 𝑎21 + 𝑏3 ∙ 𝑎31 + 𝑏3 ∙ 𝑎32 =1
2(8. 47)
𝑏2 ∙ 𝑐22
2+𝑏3 ∙ 𝑐3
2
2=1
6(8. 48)
𝑏3 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑎32 =1
6(8. 49)
𝑏2 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑎21 + 𝑏3 ∙ 𝑐3 ∙ 𝑎31 + 𝑏3 ∙ 𝑐3 ∙ 𝑎32 =1
3(8. 50)
𝑏2 ∙ 𝑎212
2+𝑏3 ∙ 𝑎31
2
2+𝑏3 ∙ 𝑎32
2
2+ 𝑏3 ∙ 𝑎31 ∙ 𝑎32 =
1
6(8. 51)
𝑏3 ∙ 𝑎21 ∙ 𝑎32 =1
6(8. 52)
Com isso, pode-se montar o que chama-se quadro de Butcher, dispondo os
coeficientes (𝑎21, 𝑎31, 𝑎32, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑐2, 𝑐3) de maneira descrita pela Figura 58.
Figura 58 - Quadro de Butcher para o método de Runge-Kutta de segunda ordem (VALERIANO, 2017)
0
𝑐2𝑐3
𝑎21𝑎31 𝑎32
𝑏1 𝑏2 𝑏3
80
A última linha do quadro de Butcher, que contém os coeficientes dos pesos das
tangentes, deve ser sempre igual à unidade, de forma que para um método de ordem
𝑛:
∑𝑏𝑛
𝑛
𝑖=1
= 1 (8. 53)
Para as demais linhas, o somatório dos termos 𝑎𝑖𝑗 deve ser igual ao termo 𝑐𝑖:
∑𝑎𝑖𝑗
𝑖−1
𝑗=1
= 𝑐𝑖 (8. 54)
Dessa forma, pode-se assumir diferentes soluções para o método de Runge-
Kutta de terceira ordem. As duas soluções mais utilizadas são apresentadas pelas
figuras Figura 59 e Figura 60.
Figura 59 - Primeira solução do quadro de Butcher para o método de Runge-Kutta de terceira ordem (VALERIANO, 2017)
Assim, tem-se as equações das tangentes intermediárias:
𝐾2 = 𝑦′ (𝑥0 +2
3∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
2
3∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥) (8. 55)
𝐾3 = 𝑦′ (𝑥0 +2
3∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
3∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥 +
1
3∙ 𝐾2 ∙ ∆𝑥) (8. 56)
𝐾𝑀 =1
4∙ 𝐾1 +
3
4∙ 𝐾3 (8. 57)
Figura 60 - Segunda solução do quadro de Butcher para o método de Runge-Kutta de terceira ordem (VALERIANO, 2017)
As tangentes intermediárias para a segunda solução:
𝐾2 = 𝑦′ (𝑥0 +1
2∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
2∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥) (8. 58)
𝐾3 = 𝑦′(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 − 𝐾1 ∙ ∆𝑥 + 2 ∙ 𝐾2 ∙ ∆𝑥) (8. 59)
0
RK31 23
0
23
23
13
13
14
34
0
RK32 12
1
12
−1 2
16
16
46
81
𝐾𝑀 =1
6∙ 𝐾1 +
4
6∙ 𝐾2 +
1
6∙ 𝐾3 (8. 60)
8.1.3 Quarta ordem
O desenvolvimento do método de quarta ordem é análogo ao realizado para os
de segunda e terceira ordem. Pode-se ainda dispor os coeficientes no quadro de
Butcher, como demonstrado no item 8.1.2. Assim, apresenta-se três soluções de quarta
ordem.
Figura 61 - Primeira solução do quadro de Butcher para o método de Runge-Kutta de quarta ordem (VALERIANO, 2017)
𝐾2 = 𝑦′ (𝑥0 +1
2∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
2∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥) (8. 61)
𝐾3 = 𝑦′ (𝑥0 +1
2∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
2∙ 𝐾2 ∙ ∆𝑥) (8. 62)
𝐾 = 𝑦′(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + 𝐾3 ∙ ∆𝑥) (8. 63)
𝐾𝑀 =𝐾1 + 2 ∙ 𝐾2 + 2 ∙ 𝐾3 + 𝐾
6(8. 64)
Figura 62 - Segunda solução do quadro de Butcher para o método de Runge-Kutta de quarta ordem (VALERIANO, 2017)
𝐾2 = 𝑦′ (𝑥0 +1
4∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
4∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥) (8. 65)
𝐾3 = 𝑦′ (𝑥0 +1
2∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
2∙ 𝐾2 ∙ ∆𝑥) (8. 66)
𝐾 = 𝑦′(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + 𝐾1 ∙ ∆𝑥 − 2 ∙ 𝐾2 ∙ ∆𝑥 + 2 ∙ 𝐾3 ∙ ∆𝑥) (8. 67)
𝐾𝑀 =𝐾1 + 4 ∙ 𝐾3 + 𝐾
6(8. 68)
0
RK41 12
12
12
0 12
16
1 0 0 1
26
26
16
0
RK42 14
12
14
0 12
16
1 1 -2 2
0 46
16
82
Figura 63 - Terceira solução do quadro de Butcher para o método de Runge-Kutta de quarta ordem (VALERIANO, 2017)
𝐾2 = 𝑦′ (𝑥0 +1
3∙ ∆𝑥, 𝑦0 +
1
3∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥) (8. 69)
𝐾3 = 𝑦′ (𝑥0 +2
3∙ ∆𝑥, 𝑦0 −
1
3∙ 𝐾1 ∙ ∆𝑥 + 𝐾2 ∙ ∆𝑥) (8. 70)
𝐾 = 𝑦′(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 +𝐾1 ∙ ∆𝑥 − 𝐾2 ∙ ∆𝑥 + 𝐾3 ∙ ∆𝑥) (8. 71)
𝐾𝑀 =𝐾1 + 3 ∙ 𝐾2 + 3 ∙ 𝐾3 + 𝐾
8(8. 72)
A primeira solução é a mais usual das três, sendo a terceira a forma adotada por
Kutta em 1901, no qual assumiu tangentes a cada terço do passo.
8.2 Solução da equação diferencial
Tendo apresentado o método de Runge-Kutta pode-se dar continuidade à
resolução da equação (8.2). Rearranjando os termos para isolar a derivada segunda da
deformação, tem-se (8.73).
𝜖̈ =𝜎0 − 𝑞0 ∙ 𝜖 − 𝑞1 ∙ 𝜖̇
𝑞2(8. 73)
Para adequar as funções nas quais utiliza-se o método de Runge-Kutta, adota-
se as substituições:
𝑌1 = 𝜖 (8. 74)
𝑌2 = 𝜖̇ (8. 75)
Com isso, obtém-se as equações (8.76) e (8.77).
𝑌1′ = 𝑌2 (8. 76)
𝑌2′ =
𝜎0 − 𝑞0 ∙ 𝑌1 − 𝑞1 ∙ 𝑌2𝑞2
(8. 77)
Para solucionar o problema deve-se definir condições iniciais ao mesmo. Para
fins de comparação entre a solução aproximada (pelo método de Runge-Kutta) e a
solução exata, adota-se condições iniciais nulas.
𝜖(0) = 𝑌1(0) = 0 (8. 78)
0
RK43 13
23
13
1
18
1 1 -1 1
38
18
−13
38
83
𝜖̇(0) = 𝑌2(0) = 0 (8. 79)
Como tem-se um sistema de equações diferenciais, deve-se aplicar o método de
Runge-Kutta simultaneamente para cada função 𝑌1′ e 𝑌2
′ em cada iteração.
Utiliza-se os mesmos valores dos coeficientes 𝑞0 e 𝑞1 obtidos em (4.20) e (4.21)
para o modelo de Boltzmann:
𝑞0 = 9375 𝑀𝑃𝑎 (8. 80)
𝑞1 = 9375000 𝑀𝑃𝑎 ∙ 𝑑𝑖𝑎𝑠 (8. 81)
Quanto ao coeficiente 𝑞2, arbitra-se um valor inicial, variando seu valor até se
chegar a um refinamento adequado.
Para comparação do resultado com a solução exata, utiliza-se a flexibilidade à
fluência para o modelo sólido de 4 parâmetros apresentada na Tabela 4. Como descrito
pelo princípio da superposição no item 3.7, sabe-se que a solução da deformação no
tempo para a fluência é dada por 𝜖(𝑡) = 𝜎0 ∙ 𝐽(𝑡). Assim, a solução exata é expressa por
(8.82).
𝜖(𝑡) = 𝜎0 ∙ [1 − 𝑝1 ∙ 𝜆1
𝑞2 ∙ 𝜆1 ∙ (𝜆2 − 𝜆1)∙ (1 − 𝑒−𝜆1𝑡) +
1 − 𝑝1 ∙ 𝜆2𝑞2 ∙ 𝜆2 ∙ (𝜆1 − 𝜆2)
∙ (1 − 𝑒−𝜆2𝑡)] (8. 82)
onde 𝜆1 e 𝜆2 são raízes da equação (8.83).
𝑞2 ∙ 𝜆2 − 𝑞1 ∙ 𝜆 + 𝑞0 = 0 (8. 83)
Automatiza-se o método em um programa em linguagem MatLab, desenvolvido
a partir de um código já existente, obtido de uma disciplina do curso. O programa é
apresentado a seguir:
% SOLUCAO NUMERICA DE PROBLEMA DE VALOR INICIAL
%
% METODO DE RUNGE-KUTTA
%
% 4a ORDEM - RK4EDO2
%
% SISTEMA DE E.D.O.
% =========================================
% INICIALIZACAO
clear; % limpar memoria (variaveis)
clc; % limpar janela de comandos
clf; % limpar figura (graficos)
% DADOS
x(1) = 0.0; % abscissa inicial
dx = 10; % incremento
xf = 10000.; % abscissa final
% VALORES INICIAIS
y(:,1) = [0.; 0.];
84
% COEFICIENTES DO MODELO
p1 = 375
q0 = 9375
q1 = 9375000
q2 = 5*10^8
equac = [q2 -q1 q0]
lambda = roots(equac)
% DEFINICAO DO SISTEMA DE EQUACOES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM
% Y'(x) = yl(x,y)
% y(x) vetor com as equacoes diferencias 1a ordem
yl = @(y,x) [y(2,:);
(22.321-q0*y(1,:)-q1*y(2,:))/q2];
% SOLUCAO ANALITICA
yE1 = @(x) 22.321*((1-p1*lambda(1))*(1-exp(-
lambda(1)*x))/(q2*lambda(1)*(lambda(2)-lambda(1)))+(1-p1*lambda(2))*(1-exp(-
lambda(2)*x))/(q2*lambda(2)*(lambda(1)-lambda(2))));
% DEFINICAO DOS PONTOS DE ABSCISSAS
x = x(1):dx:xf; % abscissas
n = length(x); % numero de pontos
xE = x(1):dx/10:xf; % abscissas com passo 10x menor
% SOLUCAO NUMERICA (RUNGE-KUTTA)
for i = 2:n
k1 = yl(y(:,i-1),x(i-1)); % tangentes K1
y1 = y(:,i-1)+k1*dx/2; % pontos intermediarios 1
k2 = yl(y1,x(i-1)+dx/2); % tangentes K2
y2 = y(:,i-1)+k2*dx/2; % pontos intermediarios 2
k3 = yl(y2,x(i-1)+dx/2); % tangentes K3
y3 = y(:,i-1)+k3*dx; % pontos intermediarios 3
k4 = yl(y3,x(i-1)+dx); % tangentes K4
km = (k1+2*k2+2*k3+k4)/6; % tangentes medias
y(:,i)=y(:,i-1)+dx*km; % solucoes aproximadas
endfor
% GRAFICOS DAS FUNCOES
subplot (1, 1, 1)
hold on; % superpor graficos
grid on; % apresentar "grid"
% PLOTAR SOLUCAO EXATA
plot(xE,yE1(xE)); % resp. exata Y1 em linha continua
% PLOTAR SOLUCAO NUMERICA
plot(x,y(1,:),'*','markeredgecolor','k'); % pontos da resp. aprox. Y1
set(gca,'FontSize',25) % tamanho da fonte dos eixos
tit=strcat('Y1 ;', % título
' dx=',num2str(dx,'%5.2f'), % título
' ; Deformação em função do tempo', % título
' - efeito da fluência', % título
' (modelo sólido de 4 parâmetros)', % título
' - Solução Exata x Runge-Kutta'); % título
title(tit); % apresentar titulo no grafico
set(gca,'FontSize',20) % tamanho da fonte dos eixos
h=get(gca,'title');
set(h,'FontSize',20) % tamanho da fonte do titulo
85
Executando o programa consegue-se extrair os gráficos da solução numérica
(com passo 𝑑𝑥 = 10) e da solução exata sobrepostos, presentes na Figura 64. A curva
em linha cheia clara representa o resultado exato e o de linha pontilhada escura
representa o resultado numérico.
Figura 64 - Deformação em função do tempo para o modelo sólido de 4 parâmetros - Solução Exata x Runge-Kutta
Utiliza-se um coeficiente 𝑞2 = 5 × 108 na solução.
É possível observar que a solução pelo método de Runge-Kutta subestima o
desenvolvimento inicial das deformações quando comparada à solução exata. Dessa
forma, a curva para a solução aproximada possui um aspecto mais suave, com menores
deformações iniciais. Isso pode ser explicado pelo coeficiente 𝑝1, que está presente na
solução exata. Porém, ao adotar-se a consideração de 𝜎 = 𝜎0 no item 8, este coeficiente
se anula, sendo desconsiderado na solução numérica por Runge-Kutta.
Como os valores finais encontrados são iguais, opta-se por continuar com a
solução do problema inicial.
8.3 Solução do problema da coluna comprimida
Neste capítulo aplica-se a solução encontrada pelo método de Runge-Kutta para
solucionar o problema apresentado no item 4.
86
Como os dados iniciais são os mesmos, tem-se que considerar uma condição
inicial diferente da condição do item 8.2, de forma que a deformação inicial do problema
deve ser a deformação elástica do concreto.
𝜖(0) = 𝑌1(0) =𝜎0𝐸𝑐
=22,321
25 × 103= 8,9284 × 10− (8. 84)
𝜖̇(0) = 𝑌2(0) = 0 (8. 85)
Reproduz-se o método de Runge-Kutta em uma planilha Excel e aplica-se a
solução, variando a tensão do concreto em cada passo na equação (8.77) e
comparando as tensões com a solução obtida pelo modelo de Boltzmann no item 5. O
resultado está descrito na Figura 65.
Figura 65 - Comparação entre as soluções do problema pelo modelo de Boltzmann e pelo modelo sólido de 4 parâmetros obtido pelo método de Runge-Kutta
Analisando a comparação, pode-se concluir que os resultados estão próximos,
apesar do modelo sólido de 4 parâmetros prever maiores deformações finais do que o
modelo de Boltzmann, o que se traduz em tensões maiores para o aço e menores para
o concreto.
87
9 Conclusões e sugestões de continuidade
No decorrer dos capítulos anteriores pôde-se prever o comportamento de
estruturas de concreto armado e protendido em um problema simples, de uma coluna
comprimida, sob a ótica da viscoelasticidade. Gerou-se gráficos de previsão da
distribuição de tensões entre os materiais ao longo do tempo para fluência, retração e
relaxação atuando de forma isolada e em conjunto, obtendo resultados satisfatórios
quando comparados a análises feitas por outros autores.
A previsão da fluência pelos modelos viscoelásticos se mostrou extremamente
precisa, gerando curvas de distribuição de tensões muito similares às obtidas por Gilbert
e Ranzi (2011) em sua análise, como mostra a Figura 50. Observou-se algumas
diferenças, principalmente na previsão da retração (que não envolve a aplicação dos
modelos viscoelásticos), porém estas podem ser explicadas pela falta de dados
fornecidos pelos autores. Todavia, como ilustra a Figura 52, apesar do desenvolvimento
da deformação ter se mostrado discrepante, as deformações finais e, por consequência,
as tensões finais do concreto e do aço, se mostraram equivalentes às da análise deles,
o que, neste caso, caracteriza um bom resultado.
Se cumpriu ainda a proposta de comparar os resultados obtidos por modelos
diferentes, desenvolvendo o modelo sólido de 4 parâmetros através do método
numérico de Runge-Kutta. Pôde-se automatizar o método em um programa e obter uma
função da deformação que atinge a mesma assíntota que a solução exata, de acordo
com a Figura 64. O desenvolvimento inicial de deformações se mostrou subestimado
pelo método numérico, o que pode ser explicado pela ausência do coeficiente 𝑝1, que
foi eliminado na consideração de uma tensão constante 𝜎 = 𝜎0, primordial para a
aplicação do método.
Um próximo passo em direção à análise de questões complexas, como é o
exemplo das pontes em balanços sucessivos, pode ser desenvolver uma solução para
o problema da flexão, seguindo os moldes do desenvolvimento do presente trabalho.
9.1 Sugestão de continuidade
Como sugestão de continuidade, apresenta-se o problema da flexão, que
demonstra complexidade ligeiramente maior ao problema da compressão resolvido nos
capítulos 5 a 8.
Segundo FLÜGGE (1967), tem-se as relações (9.1), (9.2) e (9.3) da teoria
elástica.
𝑉′ = −𝑝 (9. 1)
88
𝑀′ = 𝑉 (9. 2)
𝑀′′ = −𝑝 (9. 3)
onde 𝑀 é o momento fletor, 𝑉 é o esforço cortante, 𝑝 é o carregamento
distribuído por unidade de comprimento e os apóstrofos representam derivadas em
função do espaço.
Além das relações acima, tem-se ainda a relação (9.4) para vigas elásticas.
𝑤′′ =−𝑀
𝐸𝐼(9. 4)
A Figura 66a mostra em linhas grossas o formato de um elemento de viga antes
da deformação e em linhas finas seu formato após a deformação. Nota-se que as
seções transversais das suas extremidades eram verticais, porém passaram a formar
um ângulo 𝑑𝜓 = 𝜅𝑑𝑥, onde 𝜅 é a curvatura do eixo da viga. Tem-se que, para uma
deflexão 𝑤 e sua rotação 𝑤′ pequenas, tal que 𝑤′ ≪ 1, a curvatura é dada por:
𝜅 = −𝑤′′ (9. 5)
Toma-se um elemento de área 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 da seção transversal ilustrada pela
Figura 66b, e considera-se uma “fibra” de comprimento 𝑑𝑥 no elemento de viga. Em seu
estado deformado, essa “fibra” é alongada em 𝑧 ∙ 𝑑𝜓, de onde tem-se a deformação:
𝜖 =𝑧 ∙ 𝑑𝜓
𝑑𝑥= 𝑧 ∙ 𝜅 (9. 6)
Figura 66 - Elemento de viga (adaptado de FLÜGGE, 1967)
89
Ao longo do elemento de área 𝑑𝐴, está atuando uma tensão 𝜎 que, sob um
regime viscoelástico, se relaciona com a deformação 𝜖 através de (3.11). A força 𝜎 ∙ 𝑑𝐴
contribui para o momento fletor 𝑀 transmitido na seção transversal.
𝑀 = ∫ 𝜎 ∙ 𝑧 ∙ 𝑑𝐴𝐴
(9. 7)
Na equação (9.7) aplica-se o operador diferencial 𝐏 de (3.40) e, em seguida,
substitui-se 𝐏(𝜎) por 𝐐(𝜖), obtendo:
𝑷(𝑀) = ∫ 𝑷(𝜎) ∙ 𝑧 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= ∫ 𝑸(𝜖) ∙ 𝑧 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= ∫ 𝑸(𝜅 ∙ 𝑧) ∙ 𝑧 ∙ 𝑑𝐴𝐴
(9. 8)
𝐐 é um operador diferencial que contém apenas derivadas no tempo. Dessa
forma, pode-se retirar 𝑧 de sua função e, então, 𝐐(𝜅) para fora da integral, chegando a:
𝑷(𝑀) = ∫ 𝑸(𝜅) ∙ 𝑧2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑸(𝜅) ∙ ∫ 𝑧2 ∙ 𝑑𝐴𝐴
= 𝑸(𝜅) ∙ 𝐼 (9. 9)
onde 𝐼 é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra
(eixo 𝑦), que passa pelo centroide pelo mesmo motivo de uma viga elástica.
Quando se expressa a curvatura em termos da deflexão, pode-se finalmente
chegar na seguinte equação diferencial:
𝐼 ∙ 𝑸(𝑤′′) = −𝑷(𝑀) (9. 10)
Combinando (9.10) com (9.3), obtém-se:
𝐼 ∙ 𝑸(𝑤𝑖𝑣) = 𝑷(𝑝) (9. 11)
Que corresponde a equação elástica conhecida:
𝐸𝐼 ∙ 𝑤𝑖𝑣 = 𝑝 (9. 12)
Como os coeficientes 𝐐 e 𝐏 possuem derivadas no tempo, obtém-se derivadas
no tempo e no espaço na mesma equação. Para solucionar este problema, há duas
opções: aplicar um método numérico na variável 𝑡 do tempo, obtendo uma curva de
variação da deflexão em função do tempo para cada ponto do espaço, ou aplicar o
método na variável 𝑥 do espaço, obtendo uma curva de variação da deflexão em função
do espaço para cada ponto do tempo. Esse procedimento pode ser explicado
graficamente pelas figuras Figura 67 e Figura 68:
90
Figura 67 - Solução numérica para 𝑤(𝑡) em cada posição 𝑥 da viga
Figura 68 - Solução numérica para 𝑤(𝑥) em cada instante 𝑡 da viga
91
Referências Bibliográficas
ACI Committee 209. Guide for modeling and calculating shrinkage and creep in
hardened concrete. Miami, United States of America, 2008.
BAŽANT, Z. P. Prediction of concrete creep and shrinkage: past, present and
future. Nuclear Engineering and Design, p. 27-38, 2001.
BROOKS, J. J. Influence of mix proportions, plasticizers and superplasticizers on
creep and drying shrinkage of concrete. Reino Unido: Magazine of Concrete
Research, p. 145-154, 1989.
BUIL, M.; ACKER, P. Creep of silica fume concrete. Paris: Cement and
Concrete Research, p 463-467, 1985.
CEB, CEB-FIP Model Code 2010, Comité Euro-International du Béton, 2010.
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