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GEOMETRÍA ANALÍTICA

Esther Morales (2009)

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INTRODUCCIÓN:

Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. En los siguientes apartados se presentan las ecuaciones más sencillas de las curvas cónicas cuyos ejes focales son paralelos a los ejes coordenados. Objetivos específicos:

Determina la ecuación de una circunferencia conociendo el centro y el radio. Pasa de la ecuación canónica de una circunferencia a la ecuación general y viceversa. Encuentra la intersección entre una recta y una circunferencia conociendo sus ecuaciones. Encuentra la ecuación de la recta tangente a una circunferencia conociendo la ecuación de

la circunferencia y el punto de tangencia. Para las cónicas parábola, elipse e hipérbola (considerar solo los casos donde los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes coordenados):

Identifica y grafica la curva a partir de su ecuación Pasa de la ecuación general a la canónica y viceversa. Dada la ecuación encuentra los elementos principales como focos, vértices, excentricidad

entre otros.

1. La circunferencia

Lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof. Esther Morales (2009)



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En la figura, si P es un punto cualquiera de la circunferencia y C es el centro.

CP = r (constante) es el radio

1.1. Ecuación de la circunferencia

Siendo el centro de una circunferencia el punto fijo C (h, k), un punto cualquiera de la curva P (x,

y) estará a r unidades de C, por tanto cumple la condición: PC = r

Por distancia entre dos puntos, se tiene: r)ky()hx( 22

Elevando al cuadrado resulta:

(x - h) 2 + (y – k) 2 = r 2 (I)

Que es la forma canónica, reducida o natural de la ecuación de una circunferencia.

Desarrollando (I) se obtiene: x 2 - 2 h x + h 2 + y 2 - 2 k y + k 2 - r 2 = 0

Ordenando se tiene: x 2 + y 2 - 2 h x – 2 k y + h 2 + k 2 - r 2 = 0 (II)

Que es la ecuación de una circunferencia en su forma general.

Si comparamos la ecuación (II) con la ecuación general de segundo grado con dos incógnitas que es la de forma

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Podemos observar que (II) resulta ser un caso particular, donde

A = C y B = 0

Esta es la condición necesaria que debe cumplir una ecuación de 2º grado con dos incógnitas, para que represente una circunferencia. Así por ejemplo en la ecuación (II) tenemos:

A = C = 1, B = 0, D = -2 h E = - 2 k F = h 2 + k 2 - r 2

Ejemplos. Hallar en cada caso la ecuación de la circunferencia.

1. El centro C (2, 3), el radio r = 3

2. El centro C ( )4

3,

3

2 , el radio r = 5

r C

P



3

Solución 1:

Por (I), se tiene: (x – 2) 2 + (y –3) 2 = 9 Forma reducida

Desarrollando resulta:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 = 9;

x 2 + y 2 - 4 x – 6 y + 4 = 0 Forma General

En esta última ecuación podemos observar que:

A = C = 1, B = 0, D = -4, E = -6, F = 4

Solución 2:

Por (I) se tiene:

(x – 3

2) 2 + (y +

4

3) 2 = 25 Forma reducida

Desarrollando resulta:

x 2 - 24 4 3 9x + + y + y + - 25 = 03 9 2 16

Quitando denominadores y ordenando se obtiene:

144 x 2 + 144 y 2 - 192x + 216y – 575 = 0 Forma general

Donde podemos observar que

A = C = 144 B = 0, D = -192, E = 216, y F = -575

Observación importante

Para que una ecuación de segundo grado con dos variables corresponda a una circunferencia, es necesario que carezca de términos en xy, y que los coeficientes de x 2 , y 2 sean iguales.

1.2. Circunferencia con centro en el origen.

La ecuación de una circunferencia en esta posición es un caso particular del anterior.

Siendo C (0, 0) el centro y P (x, y) un punto cualquiera de la curva, se cumple la condición CP = r.



4

Entonces (x - 0) 2 + (y – 0) 2 = r 2

Que equivale a: x 2 + y 2 = r 2 (III)

o bien x 2 + y 2 - r 2 = 0

que es una ecuación de segundo grado con dos incógnitas de la forma

A x 2 + C y 2 + F = 0 donde A = C = 1, F = - r 2

Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5 unidades.

Por (III) se tiene: x 2 + y 2 = 25 o bien x 2 + y 2 - 25 = 0 donde A = C = 1, F = -25

PROBLEMAS

I. Hay diferentes situaciones problemas, donde se proporciona la ecuación de una circunferencia en su forma general, y es necesario obtener la ecuación en su forma reducida, para obtener las coordenadas del centro y el radio.

La ecuación general de la circunferencia es de la forma.

0CDyCxByAx 22

que corresponde a una ecuación general de segundo grado sin términos xy.

Teorema.

Si los coeficientes A y B son iguales y no nulos, la ecuación

0CDyCxByAx 22

Representa una circunferencia, o bien un punto o no representa ningún lugar geométrico.

Ejemplo 1:

Sea la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 + 6 x + 4 y – 3 = 0, encontrar el centro y el radio.

Solución:

Se puede emplear el procedimiento de completar cuadrados en la forma siguiente:

Ordenando y pasando al 2º miembro el término independiente



5

x 2 + y 2 + 6 x + 4 y = 3

Completando cuadrados con respecto a las variables x e y:

x 2 + 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 = 3 + 9 + 4

¿Cómo se hizo?

Recordemos que:

(x - h) 2 = x 2 - 2 h x + h 2

Por otro lado sólo tengo x 2 + 6 x

Por lo cual hago 6 = -2 h; h = 6 32

; h 2 = 9

Luego: (x + 3) 2 = x 2 + 6 x + 9

En forma análoga obtenemos a k = -2 ; k 2 = 4

Luego: (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 16

Por tanto, C (-3, -2), r = 4

También puede resolverse el problema considerando que la ecuación dada x 2 + y 2 + 6 x + 4y -3 = 0, es de la forma:

x 2 + y 2 - 2 h x – 2 k y + h 2 + k 2 - r 2 = 0

Comparando tenemos:

-2 h = 6, h =2

6

= -3

-2 k = 4, k = 2

4

= -2

Por lo tanto C (-3 -2)

Además h 2 + k 2 - r 2 = -3; 9 + 4 - r 2 = -3; r 2 = 9 + 4 + 3 = 16; r = 4

La ecuación de la circunferencia en su forma reducida es: (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 16



6

Ejemplo 2: Sea la circunferencia de ecuación -3 x 2 – 3 y 2 + 12 x - 5 y + 6 = 0, obtener el centro y el radio.

Solución:

Observemos que a diferencia del caso anterior A = C 1 , por lo cual ordenamos primero y luego factorizamos:

-3 (x 2 - 4 x) – 3 (y 2 + y3

5) = -6

Dividiendo entre – 3 ambos miembros, resulta: x 2 - 4 x + y 2 + y3

5 = 2

Completando cuadrado: x 2 - 4 x + 4 + y 2 + y3

5+

36

25= 2 + 4 +

36

25

Luego: (x – 2) 2 + (y + 6

5) 2 =

36

241

Por tanto, el centro de la circunferencia es: C = (2, - 6

5) y su radio es: r =

36

241

Ejemplo 3. Determina el lugar geométrico de las siguientes ecuaciones

a) 010y6x2y2x2 22 b) 028y12x4y2x2 22

Solución a.

Después de la completación de cuadrado

Resulta 03y1x 22

Por lo tanto su lugar geométrico es una punto (-1,3)

Representación gráfica:



7

Solución b.


Resulta 43y1x 22 (1)

Note: que la suma de dos números reales no puede ser negativa y además si hacemos

r = 4 este valor no pertenece a un número real..

Conclusión no representa ningún lugar geométrico en el plano, ya que no existe ningún punto del plano que sustituyendo en la ecuación (1) la suma de igual a -4.

II. En otros tipos de problemas se solicitan hallar la ecuación de una circunferencia tangente a una recta de ecuación dada.

Ejemplo: Hallar la ecuación general de una circunferencia con centro C (3, 2) y tangente a la recta y = x + 4.

CONCEPTOS: Ecuación de una recta Circunferencia Radio Centro de una circunferencia Distancia entre un punto y una recta Recta tangente a una circunferencia Ecuación general de una circunferencia

TRANSFORMACIONES: Expresando la ecuación de la recta en su forma general se tiene: x – y + 4 = 0 Calculamos el radio de la circunferencia solicitada aplicando la formula de distancia entre un punto y una recta. Sabiendo que existe una propiedad que dice: la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de contacto.

r = 3 2 4

1 1

= 5 ;

2 r

2 =

2

25;

r = 3,5 aproximadamente

Luego la ecuación en su forma canónica es:

(x – 3)2

+ (y – 2)2

= 252

Desarrollando se obtiene la ecuación en forma general:

2 x2

+ 2 y2

- 12 x – 8 y + 1 = 0 Representación gráfica:

Meta: ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta y = x + 4 y tiene centro en (3,2)?

EVENTOS y = x + 4

C(3,2)



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III. Otro problema común es cuando se dan las coordenadas de los extremos del diámetro de una circunferencia para obtener su ecuación.

Ejemplo. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos A (-1, -2) y B (3, 4).

Por punto medio de un segmento C (1, 1).

Por distancias entre dos puntos

r = CB = 2222 32)14()13( = 1394

Luego, la ecuación de la circunferencia será:

(x - 1) 2 + (y – 1 ) 2 = 13 Forma reducida.

Desarrollando se tiene:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 13

x 2 + y 2 - 2 x – 2 y – 11 = 0 Forma general.

IV. Otro problema común es cuando se dan las coordenadas de tres puntos que pertenecen al lugar geométrico de la circunferencia, para hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia.

Ejemplo. Hallar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia que pasa por los puntos P(3,8), Q(9,6) y R(13,-2).

Solución:

Se sustituyen los puntos P, Q y R en la ecuación general 2 2x + y + Ax + By + C = 0 de la circunferencia, nos resulta el sistema:

9 64 3 8 0 (1)

81 36 9 6 0 (2)

169 4 13 2 0 (3)

A B C

A B C

A B C

Al eliminar C de (1) y (2), al restar (2) de (1):

-3A + B = 22 (4)

Eliminando C de (1) y (3), al restar (3) de (1):

-A + B =10 (5)



9

Eliminando B de (4) y (5), al restar (5) menos (4) se obtiene A = -6. Se sustituye este valor en (5) para hallar que B = 4. Luego se sustituyen en (1) estos valores para obtener C = -87.

Conclusión la ecuación general de la circunferencia es:

2 2x + y + -6x + 4y - 87 = 0

Al completar los cuadrados se obtiene:

2 2x - 3 + y + 2 = 100 Ecuación ordinaria

Circunferencia de centro (3,-2) y radio 10

V. En otros problemas se solicitan lugares geométricos sin aclarar explícitamente que se trata de una circunferencia, por lo que el que resuelve el problema depende de un planteamiento adecuado inicial y luego en sus transformaciones descubre que se trata de una circunferencia.

Ejemplo 1. Un punto se mueve en forma tal que el cuadrado de su distancia al origen es igual a 4. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de dicho punto.

Solución:

Primero hagamos una representación simbólica de lo que dice el problema:

Sabiendo que el punto general es P(x,y), su distancia al origen viene dada por:

2 2 2 2PO = x - 0 + y - 0 = x + y

Luego el cuadrado de su distancia al origen es: 22 2PO = x + y

Como el cuadrado de su distancia al origen es igual a 4, tenemos que:

22 2PO = x + y = 4 . Representación simbólica del evento inicial del problema.

Ahora podemos concluir que la ecuación del lugar geométrico corresponde a una circunferencia de centro (0,0) y radio 2.



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Ejemplo 2. Obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la distancia al punto A (3, 0) es siempre igual al doble de su distancia del punto B (-3, 0).

CONCEPTOS: Circunferencia Radio Centro de una circunferencia Distancia entre dos puntos Ecuación general de una circunferencia Ecuación canónica de una circunferencia

TRANSFORMACIONES:

Dado que PA =2PB (I), apliquemos la formula de

distancia para sustituir PA y PB en (I).

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

x - 3 + y - 0 =2 x + 3 + y - 0

x - 3 + y - 0 = 4 x + 3 +4 y - 0

x - 3 +y = 4 x + 6x + 9 +4y

x - 6x+ 9 + y = 4x + 24x+ 36 + 4y

3x + 3y + 30x + 27 = 0

Para identificar el lugar geométrico obtendremos su ecuación canónica:

2 2

2 2

2 2

2 2

3x + 3y + 30x + 27 = 0;

x + y +10x + 9 = 0

x+5 + y = 25 - 9

x+5 + y =16

Conclusión: Lugar geométrico es una circunferencia de centro (-5,0) y radio 4.

Meta: ¿Cuál es la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la distancia al punto A (3, 0) es siempre igual al doble de su distancia del punto B (-3, 0).

EVENTOS Sabiendo que el punto general es: P(x,y) Y dado los puntos A (3, 0) y B (-3, 0), tenemos:

PA =2 PB



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VI. Problemas de aplicación:

Ejemplo 1. La sección transversal de un remache tiene una cabeza que tiene la forma de un arco de círculo (véase la figura). Si los extremos del arco están separados por 12 milímetros y la cabeza está 4 milímetros arriba de los extremos, ¿cuál es el radio de la circunferencia que contiene al arco?

CONCEPTOS: Circunferencia Radio Centro de una circunferencia Distancia entre dos puntos Ecuación general de una circunferencia Ecuación ordinaria de una circunferencia

TRANSFORMACIONES: Para visualizar el evento inicial nos imaginamos que la circunferencia tiene un sistema de coordenadas colocado en el origen de la misma, sabemos que la cabeza del remache mide 12 mm de ancho y 4 mm de alto, por lo tanto su extremo punto P está a 6 mm del centro y a r-4 mm de altura. Por lo tanto: Sustituimos el punto P(6, r-4) en la ecuación ordinaria

2 2 2x + y = r cuyo centro es el origen

Resultando: 22 26 + r - 4 = r (1)

Desarrollando (1) obtenemos: r = 6,5 mm Conclusión: El radio de la circunferencia que contiene al arco es 6,5 mm

Meta: ¿Cuál es el radio de la circunferencia que contiene al arco de la figura dada?

EVENTOS

P(6, r-4)



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Ejemplo 2.

El pueblo B está localizado a 36 millas al este y 15 millas al norte del pueblo A (véase figura). Una compañía local de teléfonos quiere colocar una torre de transmisión de tal manera que la distancia desde la torre del pueblo B sea dos veces la distancia desde la torre al pueblo A. Muestre que la torre debe estar en una circunferencia, encuentre el centro y el radio de esta.

CONCEPTOS: Circunferencia Radio Centro de una circunferencia Distancia entre dos puntos Ecuación general de una circunferencia Ecuación ordinaria de una circunferencia

TRANSFORMACIONES:

Partimos de TB = 2TA (1) Sustituimos T(x,y), A(0,0) y B(36,15) en (1)

2 2 2 2x - 36 + y - 15 = 2 x + y (2)

Desarrollamos (2)

2 2x - 36 + y - 15 = 4 2 2x + y

2 2x + y + 24x + 10y - 507 = 0

2 2 2x + 12 + y + 5 26 (3)

Conclusión: La ecuación (3) es una circunferencia de radio 26 y de centro (-12,-5)

Meta: ¿El punto T (x,y) donde se localiza la torre está ubicado en una circunferencia?

EVENTOS

T(x,y) punto donde se localiza la torre

TB = 2TA

(36,15)



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2. La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija D llamada directriz y que no contiene al punto F.

En la figura 1, F es el foco; y D, la directriz.

El punto V es el vértice de la parábola y se encuentra situado en el punto medio de HF.

La recta HF es el eje de simetría de la parábola o el eje focal.

La distancia del foco a la directriz, es decir, la longitud del segmento HF, se llama parámetro y se representa por 2p.

Nota: El parámetro en algunos textos se representa por p, ya que se considera p como la distancia del foco al vértice.

Fig. 1

En general, siendo M un punto cualquiera de la parábola se cumple la condición

MF = MK

2.1. Lado recto.

La cuerda que pasa por el foco, siendo perpendicular al eje de simetría (en este caso el eje y), recibe el nombre de lado recto o ancho focal de la parábola.

En la figura 2, E'E es el lado recto o ancho focal de la parábola.

V

F

K

M

D

H



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F'EEF , porque la recta HF es el eje de simetría.

Además, se tiene: EREF Por definición de la parábola.

Pero, EREF = FH = 2 p Luego: 'EE = 4p

Fórmula que permite calcular la longitud del lado recto.

Fig. 2

2.2. Ecuación de la parábola, con vértice en el origen y cuyo eje de simetría coincidente con uno de los ejes coordenados.

En este caso se deben considerar las cuatro posiciones siguientes:

I. Vértice en el origen, eje de simetría o eje focal en el eje x y dirección x >0 (La parábola abre hacia la derecha, ver figura 3).

Si M (x, y) es un punto cualquiera de la parábola y F (p, o) el foco, tenemos: MF = MK (1)

Entonces, por distancia entre dos puntos

MF = 2 2 2 2(x - p) +(y - 0) = (x - p) + y (2)

Además, K (-p, y), ya que pNKVHVF , p > 0

Luego

MK = 2 2 2(x + p) + (y - y) = (x + p) (3)

F

E’ E

V

H R



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Fig.3

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene: 222 )px(y)px(

(x – p) 2 + y 2 = (x + p) 2

Desarrollando y simplificando resulta:

x 2 - 2 p x + p 2 + y 2 = x 2 + 2 p x + p 2

y 2 = 4px (I) que es la ecuación de la parábola en la posición dada.

II. Vértice en el origen, eje focal o eje de simetría en el eje x y dirección x < 0 (La parábola abre hacia la izquierda, ver figura 4).

Siendo M (x, y) un punto cualquiera de la parábola F (- p, 0) y K (p, y)

Fig. 4

K H

N M

X

K H

M N

X

D

D



16

Por un razonamiento análogo al anterior se concluye que la ecuación es:

y 2 = - 4px (II)

III. Vértice en el origen, eje focal o eje de simetría en el eje y, dirección y >0 (La parábola abre hacia arriba, ver figura 5).

Siendo M (x,y) un punto cualquiera de la parábola, donde F(O, p) y K(x, -p)

Fig. 5

En forma análoga en los casos anteriores se tiene:

x 2 = 4py (III)

IV. Vértice en el origen, eje focal o eje de simetría en el eje y, dirección xy< 0 (La parábola abre hacia abajo, ver figura 6).

Siendo M (x, y) un punto cualquiera de la parábola

F (0, -p) y K (x, p)

Fig. 6

Y

D

K

M N

X

D



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En la forma análoga se tiene:

x 2 = -4py (IV)

Problemas importantes.

De lo anteriormente estudiado resultan dos problemas fundamentales:

I. Dada la ecuación de una parábola, determinar su posición en el plano; encontrar las coordenadas del vértice y el foco, la longitud del parámetro, el ancho focal y las ecuaciones de la directriz y del eje focal.

Ejemplos

a) Sea la parábola de ecuación y 2 = 12 x

Como la ecuación es de la forma y 2 = 4px, se trata de una parábola con vértice en el origen, eje de simetría en el eje x, la cual abre hacia la derecha

Entonces: 4p =12, Ancho focal = 12

2 p = 6, Parámetro = 6

P = 3

V (0, 0), F (3, 0)

Ecuación de la directriz x = -3

Eje focal y = 0

Representación gráfica.

x = -3



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b) Sea la parábola de ecuación x 2 = -4 y

Como la ecuación es de la forma x 2 = -4py, se trata de una parábola con vértice en el origen, eje de focal con el eje y, la cual abre hacia abajo.

Entonces: -4p = -4 ; 4p = 4, Ancho focal = 4

2p = 2, parámetro = 2 ; p = 1

V (0, 0) F (0, -1)

Ecuación de la directriz: y = 1

Ecuación eje focal x = 0

Representación grafica.

II. Dado algunos elementos de la parábola, obtener la ecuación de la curva. Ejemplos

a) Datos: Vértice V (0, 0); Foco F (-4, 0)

Como el vértice y el foco tienen ordenada 0, el eje de simetría coincide con el eje x.

El vértice esta en el origen y el foco por tener abscisa -4, se encuentra a la izquierda del vértice. Esto significa que la parábola abre hacia la izquierda.

Su ecuación es de la forma y 2 = -4px.

Luego como p = 4, valor absoluto de la abscisa del foco la ecuación es:

y 2 = - 16 x

y = -1

X



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b) Datos: Vértice V (0, 0), directriz: y = -2

La directriz es paralela al eje de las x, el eje de simetría coincide con el eje y, y el foco está arriba del vértice.

La ecuación es de la forma: x 2 = 4py

Como la directriz se encuentra a 2 unidades del eje de las y, p = 2 y F (0, 2)

Por tanto la ecuación de la parábola es: x 2 = 8 y

Representación gráfica

2.3. Parábola de vértice (h,k) y con eje focal o de simetría paralelo a los ejes de coordenados.

En este caso se deben considerar las cuatro posiciones siguientes:

I. Eje de simetría paralelo al eje x, y abre hacia la derecha.

Consideremos en la figura 7 que M (x, y) es un punto cualquiera de la parábola y V (h, k) el vértice. Las coordenadas de ambos puntos con referencia al sistema de ejes x e y.

D



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Fig. 7

En cambio, con referencia al sistema de ejes x’ y’, dichos puntos tendrán las coordenadas siguientes:

M (x’, y’) y V (0, 0)

Para este nuevo sistema de ejes que resulta de una traslación, la ecuación de la parábola es de la forma siguiente:

(y’) 2 = 4 p x’ donde: x’ = x – h y’ = y – k

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, resulta:

(y – k) 2 = 4 p (x – h) (V)

La ecuación (V) representa la ecuación de la parábola en la posición dada.

II. Eje de simetría paralelo al eje x, y abre hacia la izquierda. (ver figura 8)

M (x, y) es un punto cualquiera de la parábola y V (h, k) es el vértice.

Fig. 8

Fig. 8 Fig.9

Y D M F V H O X

D Y Y’ M H V F X O X’

Y H D O X V M F



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Por un razonamiento análogo al anterior, se concluye que la ecuación es:

(y – k) 2 = -4 p (x –h) (VI)

III. Eje de simetría paralelo al eje y, y abre hacia arriba. (Ver figura 9)


Fig. 10 Fig. 11

Por un razonamiento análogo a los anteriores resulta:

(x – h) 2 = 4 p (y – k) (VII)

IV. Eje de simetría paralelo al eje y, y abre hacia abajo. (ver figura 10)


En forma análoga se tiene:

(x – h) 2 = - 4 p (y - k) (IV)

Problema 1.

Dados algunos elementos de la parábola, obtener la ecuación de la curva

Ejemplos

a) Eventos: Vértice V (2, 3), foco: F (6, 3)

Y F M V O X D H

Y H D O X V M F



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CONCEPTOS: Ecuación de una parábola Parábola Vértice Foco Parámetro Directriz Parámetro p

TRANSFORMACIONES: Como el vértice y el foco tienen la misma ordenada es decir 3, el eje de simetría es paralelo al eje x. El foco está a la derecha del vértice, entonces la parábola abre a la derecha. La ecuación de la parábola es de la forma

(y – k) 2

= 4 p (x – h)

Luego, como p = VF = 6 – 2 = 4 y V(2,3), la ecuación es:

(y - 3) 2

= 16 (x – 2) Desarrollando y simplificando se tiene:

y2

- 6 y + 9 = 16 x – 32

y2

- 6 y – 16x + 41 = 0 (Ecuación general) Representación gráfica:

Meta: ¿Cuál es la ecuación de la parábola, sabiendo que su vértice es (2,3) y su foco es (6,3) ?

EVENTOS Parábola Vértice: V (2,3) Foco: F (6,3)



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b) Eventos: Vértice: V (-2, 5); directriz: y = 8

Problema 2.

Dada la ecuación general de la parábola construir la ecuación ordinaria (I), (II), (III) o (IV), y luego encontrar las coordenadas del vértice y del foco, el valor de p, la longitud del lado recto, las ecuaciones de la directriz y del eje de simetría.

Si desarrollamos y transponemos términos en la ecuación:

(y – k) 2 = 4 p (x – h) (I)

Obtenemos:

CONCEPTOS: Ecuación de una parábola Parábola Vértice Foco Parámetro Directriz Parámetro p

TRANSFORMACIONES: La directriz que tiene por ecuación y = 8, es paralela al eje x. Entonces el eje de simetría es paralelo al eje Y y el foco está abajo del vértice. La parábola tiene dirección negativa (abre hacia abajo) y su ecuación es de la forma

(x – h) 2

= - 4 p (y – k). Como V (-2, 5), la distancia del vértice a la directriz es 8 – 5 = 3, p = 3 y f (-2, 2) La ecuación es:

(x + 2) 2

= -12 (y – 5) Desarrollando y simplificando se tiene:

x2

+ 4 x + 4 = -12 y + 60

x2

+ 4 x + 12 y – 56 = 0 (ecuación general) Representación gráfica:

Meta: ¿Cuál es la ecuación de la parábola, sabiendo que su vértice es (-2,5) y su directriz es y = 8 ?

EVENTOS Parábola Vértice: V (-2,5) Directriz: y = 8



24

2 2y - 4px - 2ky + k + 4ph = 0

Que puede escribirse en la forma:

2y + Dx + Ey + F = 0 , ecuación general de la parábola

En donde:

D = -4p, E = -2k y F = 2k + 4ph

Recíprocamente, si D 0, completando el cuadrado en y, podemos demostrar que una ecuación de la forma (I) representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje x.

Si D = 0, la ecuación toma la forma 2y + Ey + F = 0 (2)

Que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las raíces de (2) son reales y desiguales, digamos

1 2y yy , entonces la ecuación (2) puede escribirse en la forma:

1 2y - y y - y 0

y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas diferentes:

1 2

y = y y y = y , paralelas ambas al eje x.

Si las raíces son reales e iguales, el lugar geométrico consta de una sola recta paralela al eje x.

Finalmente, si las raíces de (2) son complejas, no existe ningún lugar geométrico.

Una discusión semejante se aplica a la otra forma ordinaria de la parábola

(x – h) 2 = 4 p (y – k) (II)

Cuya ecuación general es:

2x + Dy + Ex + F = 0

Si D = 0, la ecuación toma la forma 2x + Ex + F = 0 (3).

Cuyo lugar geométrico si existe, es:

Dos rectas paralelas al eje y ó una recta paralela al eje y.



25

Ejemplos.

a) Eventos: y 2 - 4 y – 8 x + 44 = 0

CONCEPTOS: Ecuación de una parábola Parábola Vértice Foco Directriz Parámetro p Lado recto

TRANSFORMACIONES: Por el método de completar cuadrados

y2

- 4 y = 8 x – 44

y2

- 4 y + 4 = 8x – 44 + 4

(y – 2) 2

= 8 x – 40

( y -2) 2

= 8 (x-5) esta ecuación es de la forma

(y – k) 2

= 4 p (x – h) que corresponde a una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje x, y abre a la derecha) Luego 4 p = 8, 2 p = 4, p = 2 V (5, 2), F (7, 2), lado recto = 8 Directriz: x = 3 eje focal: y = 2 Representación gráfica:

Meta: ¿Cuáles son las coordenadas del vértice y del foco, la longitud de parámetro, el ancho focal, la ecuación de la directriz y del eje de simetría de la parábola dada?

EVENTOS Parábola

y 2- 4y – 8x + 44 = 0



26

b) Evento: x 2 + 6x – 4 y + 9 = 0

Problema 3.

Determinar el lugar geométrico de la curva dada.

Ejemplo (a)

02yy2

Observe que carece de termino Cx, es decir C = 0, por lo tanto el lugar geométrico no es una parábola. Al factorizar tenemos:

CONCEPTOS: Ecuación de una parábola Parábola Vértice Foco Parámetro p Directriz Lado recto

TRANSFORMACIONES: Por el método de completar cuadrados

x2

+ 6 x = 4 y – 9

x2

+ 6 x + 9 = 4 y – 9 + 9

(x + 3) 2

= 4 y

(x + 3) 2

= 4 (y – 0) Esta ecuación es de la forma (x – h) = 4 p (y – k) que corresponde a una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y, y abre hacia arriba. Luego. 4p = 4, 2 p = 2; p = 1 V (-3, 0), F (-3, 1), lado recto = 4 Directriz: y = -1 Eje focal: x = -3 Representación gráfica:

Meta: ¿Cuáles son las coordenadas del vértice y del foco, la longitud de parámetro, el ancho focal, la ecuación de la directriz y del eje de simetría de la parábola dada?

EVENTOS Parábola

x2

+ 6x – 4 y + 9 = 0



27

0)1y)(2y(2yy2

Por consiguiente el lugar geométrico son dos rectas y =-2 e y = 1.


Ejemplo (b).

04x4x2

Observe que carece de termino Dy, es decir D = 0, por lo tanto el lugar geométrico no es una parábola. Al factorizar tenemos:

0)2x(4x4x 22

Por consiguiente el lugar geométrico es una recta; x = 2.




28

Ejemplo ©.

012x4x2

Observe que carece de termino Dy, es decir D = 0, por lo tanto el lugar geométrico no es una parábola.

Al intentar factorizar, nos encontramos que la ecuación no es factorizable, es decir no existe ningún punto del plano que haga esta ecuación igual a cero.

Por lo tanto, no tiene lugar geométrico.

Problema 4.

En otros problemas se solicitan lugares geométricos sin aclarar explícitamente que se trata de una parábola, por lo que, el que resuelve el problema depende de un planteamiento adecuado inicial y luego en sus transformaciones descubre que se trata de una parábola.

Ejemplo. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (6,2) es siempre igual a su distancia a la recta x – 2 = 0. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico.

Solución:

Representación inicial del problema

Sabiendo que P(x,y) es el punto general, la distancia entre P y (6,2) esta dada por:

2 2x - 6 + y - 2 (I)

Calculamos la distancia de P a la recta x - 2 = 0:

2 2

x - 2PR x - 2

1 +0 (II)

Luego igualamos a (I) y (II)

2 2x - 6 + y - 2 = x - 2 (III)

Desarrollemos la ecuación (III)

2 2x - 6 + y - 2 = 2

x - 2 ; 2 2y - 2 8 32; y - 2 8 4x x



29

De lo cual concluimos que el lugar geométrico es una parábola de vértice (4,2), que abre hacia la derecha, y su eje focal es paralelo al eje x.

Problemas de aplicación:

La parábola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la parábola con su foco, el ángulo que forman el radio focal con la tangente en ese punto, es igual al ángulo que forma la tangente en ese punto con la recta paralela al eje de la parábola.

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja paralelo al eje y viceversa (una emisión, de luz o sonido, paralela al eje de la parábola se concentra en el foco.

Los faros de los coches y las antenas parabólicas hacen uso de esta propiedad. (ojo, en ambos casos son paraboloides no parábolas, pero la propiedad se mantiene).

Hay otros problemas de aplicación que se resuelven teniendo los conocimientos básicos de los conceptos estudiados en esta sección.



30

Problema 1.

La trayectoria de un proyectil disparado desde el nivel del suelo es una parábola abierta hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 100 metros y su alcance horizontal es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo al punto donde el proyectil alcanza por primera vez una altura de 64 metros?

CONCEPTOS: Ecuación de una parábola Parábola Vértice Parámetro p metro

TRANSFORMACIONES: Construido los eventos iniciales, obtenemos: Vértice V (400,100) Punto de inicio P (0,0) Punto de alcance máximo Q (800,0). Sustituimos V y Q en la ecuación ordinaria (x – h) = -4 p (y – k) Para obtener el valor de p (distancia del vértice al foco).

(800 - 400) 2

=- 4p ( 0 - 100) p = 100 Luego sustituimos p y 64 en la ecuación ordinaria para determinar el valor de x

(x - 400) 2

=- 400 (64 - 100) ; x = 520 Como 520 está a la derecha de 400 entonces suponemos que el primer valor donde alcanza por primera vez 64 m es 400-120. Así concluimos que el valor solicitado es: x1 = 280 m

Meta: ¿Cuál es el valor de x1, donde el proyectil alcanza por primera vez 64 m?

EVENTOS

x1 y x2 es el valor en el cual el proyectil alcanza la altura de 64 m



31

Problema 2.

Suponga que el agua, al salir del extremo de un tubo horizontal que se encuentra a 7,5 metros de arriba del suelo, describe una curva parabólica, estando el vértice en el extremo del tubo. Si en un punto a 2,4 m por debajo del nivel del tubo, el flujo de agua se encuentra a 3 m de la vertical que pasa por el extremo del tubo, ¿a qué distancia de esta vertical llegará el agua al suelo?

CONCEPTOS: Ecuación de una parábola Parábola Vértice Parámetro p Metro

TRANSFORMACIONES: Construido los eventos iniciales, obtenemos: Vértice V (0, 7,5) Punto que pertenece a la parábola P (3, 5,1) Q (x,0) punto de alcance del flujo de agua desde la vertical. Sustituimos V y P en la ecuación ordinaria (x – h) = -4 p (y – k) Para obtener el valor de p (distancia del vértice al foco)

(3 )2

=- 4p (5,1 – 7,5) p = 0,94 Luego sustituimos p en la ecuación ordinaria par obtener:

(x )2

=-3,76 (y – 7,5) (I) Luego sustituimos Q (x,0) en (I), para obtener el valor de x por despeje. x = 5,3 m A 5,3 m de la vertical llegará el agua al suelo

Meta: ¿A qué distancia de la vertical llegará el agua al suelo?

EVENTOS

x es la distancia de la vertical a la que llegará el agua al suelo

(3, 5,1)



32

3. La elipse.

Lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Si M es un punto móvil de la curva y F y F’ los focos, se cumple la condición:

MF + 'MF = constante

En la figura 1

'AA Y 'BB son los ejes de simetría de la elipse y O su centro de simetría.

'AA Es el eje mayor, diámetro mayor o eje focal

'BB Es el eje menor, diámetro menor o eje no focal

'FF Es la distancia focal

FM + F'M Se llaman radios vectores o simplemente vectores.

Fig. 1

3.1. Ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.

En este caso se deben considerar las dos posiciones siguientes:

I. Eje mayor coincide con el eje x, y el eje menor coincide con el eje y.

Sea M (x, y) un punto cualquiera de la elipse (ver figura 3) y F (c, o) y F’ (-c, o) los focos.

M

A’ A

B

B’

F’ F



33

M

Fig.3

De acuerdo con la definición de la curva

MF´+ MF = 2 a (1)

donde a>c>0

Por distancia entre dos puntos

MF´= 22 y)cx( y MF = 22 y)cx(

Sustituyendo en (1) se tiene:

a2)cx(y)cx( 222

Para eliminar los radicales en la ecuación anterior, procedemos en la forma siguiente:

22 y)cx( = 2 a - 22 y)cx(

Elevando al cuadrado

(x – c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4 a 22 y)cx( + (x + c) 2 + y 2

Desarrollando y simplificando

x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 = 4a 2 - 4a 22 y)cx( + x 2 +2 c x + c 2 + y 2

4a cx4a4y)cx( 222

p

A’

Y B

B’

A X F’ O Q F

r

M(x,y)



34

a cxay)cx( 222

Elevando al cuadrado

a 2 (x + c) 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2 a 2 c x + c 2 x 2

a 2 (x 2 + 2 c x + c 2 ) + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 c x + c 2 x 2

a 2 x 2 +2a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2 a 2 c x + c 2 x 2

a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 - a 2 c 2

Factorizando x 2 (a 2 -c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 -c 2 )

Como 2 2a - c 0 , podemos hacer 2 2 2a - c = b con b>o

resulta: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2

Dividiendo ambos miembros entre a 2 b 2 se obtiene:

2

2

2

2

b

y

a

x =1 ( I )

La ecuación (I) es la ecuación de la elipse en la posición dada.

Note que los puntos de cortes con el eje x son (o,-a) y (o,a), y los puntos de cortes con el eje y son (0,-b) y (0,b), luego, la longitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje menor es 2b. Es inmediato que la distancia focal es 2c.

II. Eje mayor coincide con eje y, y el eje menor coincide con el eje x. (ver fig.4)

Sea M (x, y) un punto móvil.

Fig. 4

B`

Y A

A’

B X

F Q O F’

M



35

Por un razonamiento análogo al anterior obtenemos (II)

2

2

2

2

b

x

a

y =1 ( II )

que es la ecuación de la elipse en la posición dada. Donde la longitud del eje mayor es 2a, la longitud del eje menor es 2b y la distancia focal es 2c.

Ejemplos

a) Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que sus dos vértices del eje mayor son respectivamente A (6, 0), A’ (-6, 0) y la longitud del eje menor es 2b = 10.

Solución:

Según los eventos dados, se trata de una elipse, cuyo eje mayor coincide con el eje x y su eje menor coincide con el eje y.

Como 2a = 12 y 2b = 10; a = 6 y b = 5

Por (I), tenemos: 22 yx + 1

36 25

o sea: 25x 2 + 36y 2 = 36(25); 25x 2 + 36y 2 - 900 = 0


b) Hallar la ecuación de la elipse, sabiendo que sus dos vértices del eje mayor son respectivamente: A (0, 8), A’ (0, -8) y un foco está ubicado en F (0, 6).

Solución:

Se trata de una elipse cuyo eje mayor coincide con el eje y, tiene como centro el origen por tanto BB’ coincide con el eje x.



36

Como: 2 a = 'AA = 16, a = 8 c = OF = 6

Por tanto, aplicando la relación 2 2 2a - c = b , se tiene que b = 3664 = 28

Por (II), resulta: 2 2y x+ = 1

64 28

O sea: 28 y 2 + 64 x 2 = 64.28; 64x 2 + 28y 2= 1792; 16x 2 + 7y 2 = 448

Luego 16x 2 + 7y 2 - 448 = 0


3.2. Ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados y de centro (h,k).


I. Eje mayor paralelo al eje x

Consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x. Tal como se indica en la figura 5.

Fig. 5

M A A’

F

F’



37

Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen 0´ coincida con el centro (h,k) de la elipse, la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes x´ y y´ está dada por:

2 2

2 2

x´ y´+ 1

a b

Las sustituciones x´ = x – h y y´ = y – k conducen a:

2 2

2 2

(x - h) (y - k)+

a b= 1 (III)

Que es la ecuación de la elipse en la posición dada. (Ver Fig.5)

II. Eje mayor paralelo al eje y.

Consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y. Tal como se indica en la figura 6.

Fig. 6

Por un razonamiento análogo a lo anterior:

2

2

2

2

b

)hx(

a

)ky(

= 1 (II) que es la ecuación de la elipse en la posición dada.



38

Problema 1

Dados algunos elementos de la elipse, obtener la ecuación de la curva

Ejemplos a) Obtener la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones: su centro es C (3, 2), eje mayor es paralelo al eje x, la longitud del eje mayor es 2a = 4, y la longitud del eje menor es 2b = 3.

CONCEPTOS: Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro

222 cba Focos Vértices

TRANSFORMACIONES:

Por ser el eje mayor AA’ paralelo al eje x, la ecuación de la elipse es de la forma

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Como a = 2 y b = 2

3y C(3,2), se tiene:

1

4

9)2y(

4

)3x( 22

Quitando denominadores y simplificando resulta:

)4

9)(4()2y(4)3x(

4

9 22

9 (x2

- 6x + 9) + 16 (y2

- 4 y + 4= 36

9x2

- 54x + 81 + 16 y2

- 64y + 64 = 36

9x2

+ 16y2

- 54x – 64y + 109= 0 Representación gráfica.

Meta: ¿Cuál es la ecuación de la Elipse, que satisface las condiciones planteadas en los eventos iniciales?

EVENTOS Elipse

Centro: C (3,2) eje mayor eje x

2a = 4 2b = 3



39

b) Obtener la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones: los vértices en el eje mayor son A (2, 8), A’ (2, -2), sus focos son F (2, 6) y F’ (2, 0).

CONCEPTOS: Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro

222 cba Focos Vértices

TRANSFORMACIONES: Por tener A y A’ la misma abscisa, el eje mayor AA’ es paralelo a YY’. Entonces la ecuación es de la forma:

1b

)hx(

a

)ky(

2

2

2

2

Como el centro de la elipse es el punto medio

de 'AA y de 'FF , se tiene: C = (2, 3) Además, por ser los ejes de la elipse paralelos a los ejes coordenados, resulta:

2 a = ,'AA 8 – (-2) = 10, a = 5

2 c = 'FF , 6 – 0 = 6, c = 3

b = 925 = 416 Sustituyendo tenemos:

116

)2x(

25

)3y( 22

Quitando denominadores y simplificando

16 (y – 3)2

+ 25 (x- 2)2

= 25 (16)

16 (y2

- 6y + 9) + 25 (x2

- 4 + 4) = 400

16 y2

- 96y + 144 + 25x2

- 100x + 100 = 400

25 x2

+ 16 y2

- 100 x – 96 y – 156 = 0 Representación gráfica.

Meta: ¿Cuál es la ecuación de la elipse que satisface las condiciones iniciales dadas del problema ?

EVENTOS

Elipse

A (2, 8) y A’ (2, -2)

F (2, 6) y F’ (2, 0)



40

3.3. Lado recto.

Recibe este nombre cualquiera de las cuerdas que pasa por los focos y es perpendicular al eje focal.

En la figura 7, 'MM y 'NN son lados rectos de elipse.

Fig. 7

De la ecuación 2

2

2

2

b

x

a

y =1 (*) se desprende un corolario que permite establecer una

importante propiedad de la elipse, que recibe el nombre de PROPIEDAD INTRINSECA.

La cual se obtiene al sustituir en ( * )

x por OQ ( distancia del centro al pie de la perpendicular que pasa por M)

y por PQ (distancia de P al eje mayor)

Es decir:

2

2

OQ

a+

2

2

PQ

b= 1 Propiedad intrínseca de la elipse.

A partir de esta propiedad podemos obtener el lado recto de la siguiente manera:

2

2

OFa

+ 2

2

MFb

= 1

Despejando MF se tiene:

2

2

MF 1b

- 2

2

OFa

; 2

2

MFb

22

2

a -OF( )a

; 2

MF = 22

2

2

a -OFb ( )a



41

y como OF = c, entonces 2

MF = b 2 )a

ca(

2

22

Además, a 2 - c 2 = b 2 , entonces: 2

MF = 4

2

ba

; MF = a

b2

y como la distancia se considera en su valor absoluto, luego MF = 2b

a

por tanto; 'MM = 2 MF = a

b2 2; 'MM =

a

b2 2 (**)

La fórmula (**) nos permite calcular la longitud del lado recto de la elipse, conociendo las longitudes de sus ejes de simetría.

3.4. Excentricidad.

Dada una elipse, se define como su excentricidad el número resultante de dividir su distancia focal entre la longitud de su eje mayor. La excentricidad se denota por e. Luego

e = 2c c=2a a

El aspecto de una elipse depende del valor de su excentricidad.

Si e = 0, entonces c = 0 y a = b. Entonces los dos focos coinciden en el centro y la elipse es un círculo.

Conforme e crece, los focos se separan, alejándose del centro y b decrece. Conforme e se acerca a 1, c se acerca a a y b se acerca a 0. Por esta razón, la elipse que comenzó como círculo se vuelve más y más angosta. Si e = 1, la definición de elipse requiere que la representación gráfica sea el segmento de recta que conecta a los focos.

Resumiendo se tiene una elipse real si 0< ca

< 1

Esto significa que el valor de la excentricidad debe estar comprendido entre 0 y 1.

Cuando e es ligeramente mayor que cero, la elipse es casi un círculo; cuando e es ligeramente menor que 1, la elipse es relativamente larga y angosta.



42

3.5. Forma general de la ecuación de una elipse

Si desarrollamos la ecuación

2 2

2 2

(x - h) (y - k)+

a b= 1 (III)

Obtenemos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x + a y - 2b hx - 2a ky + b h + a k - a b = 0 (III)

La ecuación (III) puede escribirse en la forma:

2 2Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 (IV)

Donde

A = 2b ; C = 2a ; D = 2 2b h ; E = 22a k ; F = 2 2 2 2 2 2b h + a k - a b

Obviamente los coeficientes A y B son de igual signo y no nulos.

Recíprocamente, si consideramos la ecuación (III) completando cuadrados obtenemos:

2 2

2 2

2 2

D Ex + y +2A 2C CD +AE - 4ACF+ =C A 4A C

(V)

y consideramos ahora varios casos posibles, llamando

N = 2 2CD + AE - 4ACF y M = 2 2

N4A C

Tenemos:

a) Si N = 0, entonces la ecuación (V) representa un único punto ,2 2D EA C

b) Si N 0, la ecuación (V) equivale a



43

2 2

D Ex + y +2A 2C+ =1

MC MA (VI)

y aquí como A y C son de igual signo, entonces MC y MA son del mismo signo.

i) Si MC > 0 y MA > 0, la ecuación (V) representa una elipse de ejes paralelos a los ejes

coordenados y centro ,2 2D EA C

ii) Si MC < 0 y MA < 0, la ecuación (V) no representa ningún lugar geométrico.

En general:

Teorema:

Si los coeficientes A y C son diferentes y del mismo signo y no nulos, entonces la ecuación de segundo grado

2 2Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0

representa un único punto, una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados o ningún lugar geométrico.



44

Problema 2.

Dada la ecuación general (III), determinar el lugar geométrico que describe la ecuación, en caso de ser elipse construir la ecuación ordinaria, luego encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad.

Ejemplo (a): 2 x 2 + 9 y 2 - 900 = 0

CONCEPTOS: Lugar geométrico Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro

222 cba Focos Vértices Excentricidad Lado Recto

TRANSFORMACIONES: Según los teoremas anteriores podemos previamente suponer que el lugar geométrico de la ecuación dada posiblemente es o una elipse, un punto o ningún lugar geométrico. Ya que A = 2 y B = 9 son diferentes y positivos

Por tanto la ecuación 2x2

+ 9y2

= 900 (I) La dividimos entre 900 y simplificando

1100

y

36

x 22 ; 1

36

x

100

y 22 (II)

La ecuación (II) es de la forma

1b

x

a

y2

2

2

2

Conclusión tenemos una elipse de: Centro (0, 0) Longitud eje mayor 2a = 20 Longitud eje menor 2b =12 Entonces la longitud del vértice al foco es

c = 22 ba

c = 86436100

Lado recto = a

b2 2

Entonces: Lado recto = 2.710

72

10

)36(2

e = 5

4

10

8


Meta: ¿Cuál es el lugar geométrico que describe la ecuación dada? ¿Es una elipse? ¿Cuáles son las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad, de la elipse dada?

EVENTOS

2x2

+ 9 y2

- 900 = 0 (I)



45

Ejemplo (b): 2 x 2 -8x + 3 y 2 -18y + 29 = 0

CONCEPTOS: Lugar geométrico Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro

222 cba Focos Vértices Excentricidad Lado Recto

TRANSFORMACIONES: Según los teoremas anteriores podemos previamente suponer que el lugar geométrico de la ecuación dada posiblemente es o una elipse, un punto o ningún lugar geométrico. Ya que A = 2 y B = 3 son diferentes y positivos Tratemos de construir la ecuación ordinaria. Por el método de completar cuadrados se obtiene:

2x2

- 8 x + 3y2

- 18 y = -29

2 (x2

- 4 x) + 3 (y2

- 6 y) = -29

2 (x2

- 4 x + 4) + 3 (y2

- 6y + 9) = -29 + 8 + 27

2 (x – 2) 2

+ 3 (y – 3) 2

= 6 Dividiendo entre 6, ambos miembros, tenemos:

12

)3y(

3

)2x( 22

Luego la ecuación es de la forma

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Conclusión tenemos una elipse de:

C (2, 3), 2 a = 2 3 , 2 b = 2 2

c = 1123 Lado recto

menteaproximada27.23

34

3

4

e = menteaproximada57.03

3

3

1


Meta: ¿Cuál es el lugar geométrico que describe la ecuación dada? ¿Es una elipse? ¿Cuáles son las longitudes del eje mayor y del menor, la distancia focal, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad, de la elipse dada?

EVENTOS

2 x 2 -8x + 3 y 2 -18y + 29 = 0



46

Ejemplo (c): 016y36x8y9x4 22

Ecuación ordinaria 14

)2y(

9

)2x( 22

El lugar geométrico es una elipse de centro (2,2)

Longitud del eje mayor 6, paralelo al eje x

Longitud del eje menor 4


Ejemplo (d):

052y36x8y9x4 22


Resulta 04

)2y(

9

)2x( 22

El lugar geométrico es el punto (2,2)


Ejemplo (e):

088y36x8y9x4 22


Resulta 14

)2y(

9

)2x( 22



47

De aquí se desprende que 9by4a 22 , lo que permitiría afirmar que a y b no tienen longitudes reales, luego el lugar geométrico no existe en el plano.

Problema 3:

En otros problemas se solicitan lugares geométricos sin aclarar explícitamente que se trata de una Elipse, por lo que, el que resuelve el problema depende de un planteamiento adecuado inicial y luego en sus transformaciones descubre que se trata de una parábola.

Ejemplo (a): Obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos A (3, 0) y B (-3, 0) es igual a 10.

CONCEPTOS: Lugar geométrico Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro Vértices a y b.

TRANSFORMACIONES:

Dado que PA + PB = 10 (I), apliquemos la formula de

distancia para sustituir PA y PB en (I).

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 22

22 2 2

2 2

x - 3 + y - 0 + x + 3 + y - 0 = 10

x - 3 + y - 0 = 10 - x + 3 + y - 0

x - 3 +y = 100 - 20 x + 3 + y + x + 3 + y

x - 3 =100 - 20 x + 3 + y + x + 3

x - 6x+ 9 =100 - 20 x + 3 +y + x + 6x + 9

20 x + 3 +y =12x+100

5 x +

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

22

3 +y 3 25

25 x + 3 +y 9 150 625

25 150 225 25 9 6 625

16 25 400 0;

16 25 400

125 16

x

x x

x x y x x

x y

x y

yx

Lugar geométrico: Una elipse con C(0,0) y eje mayor paralelo al eje x, a = 10 y b = 4.

Meta: ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos A (3, 0) y B (-3, 0) es igual a 10?

EVENTOS Sabiendo que el punto general es: P(x,y) Y dado los puntos A (3, 0) y B (-3, 0), tenemos:

PA + PB = 10



48

Ejemplo (b): Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve que se mueve de tal manera que su distancia a la recta y = -8 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,-2).

Aplicación de la elipse

La elipse tiene una propiedad muy interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la elipse con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto son iguales.

CONCEPTOS: Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro Vértices a y b.

TRANSFORMACIONES:

Dado que PR = 2PA (I), apliquemos la formula de

distancia para sustituir PR y PA en (I).

2 2

2 2

2 2

8=2 x - 0 + y + 2

0 1

8 =2 x - 0 + y + 2

y

y

Elevando al cuadrado y simplificando tenemos:

4x2

+ 3y2

- 48 = 0 (II) Completando cuadrado en (II)

22 yx + = 1

12 16

Lugar geométrico: Una elipse con C(0,0) y eje mayor

paralelo al eje x, a = 4 y b = 12 .

Meta: ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos tales que se mueve4 de tal manera que su distancia a la recta y = -8 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,-2).

EVENTOS Sabiendo que el punto general es: P(x,y) Y dado el punto A (0,-2) y la recta R: y = -8

PR = 2PA



49

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco.

Hay otros problemas de aplicación que se resuelven teniendo los conocimientos básicos de los conceptos estudiados en esta sección.

Problema 1: La tierra se mueve sobre una órbita elíptica con el sol en uno de sus focos. Si la longitud de la mitad del eje mayor es 93 millones de millas y la excentricidad es 0,017. Hallar las distancias mínima y máxima entre la tierra y el sol.

CONCEPTOS: Lugar geométrico Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro Vértices Focos

TRANSFORMACIONES: La solución de este problema depende de un buen planteamiento inicial en el cual se realiza una representación del evento partiendo de una elipse centrada en el origen y conociendo previamente que la tierra se encuentra en los vértices ubicados en el eje mayor; a la izquierda del sol para calcular la distancia mínima entre ella y el sol, y a la derecha del sol para calcular la distancia máxima de la tierra al sol. Para calcular estas distancias partimos de

2 932 2

eje mayora a millones de millas.

Luego Sabiendo que:

Excentricidad = ca

= 0,017 , entonces podemos obtener:

c = 1,581. Con el valor de c, calculamos la distancia del centro al foco, es decir la distancia del centro de la elipse al sol. Para ello se resta a la longitud a = 93 la longitud c, es decir; 93 - 1,581 = 91,419 millones de milla. Conclusión: La distancia mínima del sol a la tierra es 91,419 millones de millas. La distancia máxima del sol a la tierra es a + c = 94,419 millones de millas.

Meta: ¿Cuál es la distancia mínima y máxima entre la tierra y el sol?

EVENTOS

932

eje mayor millones de millas

excentricidad 0,017 La tierra se mueve sobre una orbita elíptica gira y el sol está ubicado en uno de los focos



50

Problema 2: El techo de un pasillo de 10 m de altura tiene la forma de una semielipse y 9 metros de altura en el centro, así como 6 m de altura en las paredes laterales. Calcule la altura del techo a 2 m de una pared.

CONCEPTOS: Lugar geométrico Ecuación de una elipse Elipse Eje mayor Eje menor Centro Vértices Focos

TRANSFORMACIONES: La solución de este problema depende de un buen planteamiento inicial en el cual se realiza una representación del evento partiendo de una elipse centrada en el origen y considerando todos los datos proporcionados. De la gráfica deducimos que se tiene que obtener la ecuación de la elipse para luego sustituir el valor de x = 3 ó x = -3 lo cual representa la posición del punto a 2 m de cada pared lateral. Conocemos además el valor de: La longitud del semi eje mayor = a = 5m La longitud del semi eje menor =b = 3m Lo cual nos permite obtener la ecuación ordinaria de la elipse dada:

22

2 2

yx + = 15 3

(I)

Luego sustituimos el valor de x = 3 ó x = -3 en (I) y despejamos el valor de y

222

2 2

y3 81 144 12+ = 1; y 9 ; y25 25 55 3

Conclusión:

La altura del techo a 2 m de la pared es 12 m5

Meta: ¿Cuál es la altura del techo a 2m de una pared?

EVENTOS

El dibujo representa un techo en forma de semi-elipse con 10 m de anchura y las paredes laterales de 6 m de altura.



51

4. La hipérbola

Lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Si M es un punto cualquiera de la curva y F y F’ los focos, se cumple la condición.

MF´ - MF = CONSTANTE

En la figura 1:

L1 y L2 son los ejes de simetría de la hipérbola y O su centro de simetría.

L1 es el eje focal de la hipérbola, eje transverso o eje real

A y A’ se encuentran en el eje focal y se denominan vértices de la hipérbola.

'AA es la longitud del eje real

L2 es el eje no focal, eje imaginario o eje conjugado

B y B’ están situados de modo que AB= 'AB = OF

'BB es la longitud del eje conjugado

'FF es la distancia focal

MF y 'MF se llaman radio vectores o, simplemente, vectores.

L1

L2Fig. 1



52

4.1. Ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.


I. Eje real coincide con el eje x y el eje imaginario coincide con el eje y.

Sea M (x, y) un puntos cualquiera de la hipérbola (ver figura 2); F (c, 0) y F’ (-c, 0) los focos.

De acuerdo con la definición de la curva

MF ̀- MF = 2a (1)

Donde 0 < a < c

Por distancia entre dos puntos

MF´= 22 y)cx( y MF = 22 y)cx(

Sustituyendo en (1) se tiene:

2 2 2 2(x + c) + y - (x - c) +y = 2a

Aplicando definición de valor absoluto:

22 y)cx( - 22 y)cx( = 2a

Despejando

22 y)cx( = 2a + 22 y)cx(

Fig.2

M



53

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última igualdad y simplificando obtenemos:

a22 y)cx( = c x - a 2

Elevando al cuadrado y reagrupando obtenemos:.

x2

(c2

- a2

) - a2

y2

= a2

(c2

- a2) (1)

Como 0 < 2a < 2c, podemos escribir

c2

- a2

= b2

, con b>0 y así (1) se transforma en:

b2

x2

- a2 y

2= a

2b

2

Dividiendo ambos miembros entre a2b

2 se obtiene:

1b

y

a

x2

2

2

2 (I)

La ecuación (I) representa la ecuación ordinaria o canónica en la posición dada. Las intersecciones con el eje x son (a,0) y (a,0), luego la longitud del eje real es igual a 2a. La longitud del eje conjugado es 2b y la distancia focal es 2c.

II. Eje real coincide con eje y, el eje imaginario coincide con el eje x.

Sea M(x, y) un punto móvil cualquiera de la hipérbola (ver figura 3).

En forma análoga probamos que:

Fig.3



54

1b

x

a

y2

2

2

2 (II)

La ecuación (II) representa la ecuación ordinaria o canónica en la posición dada. Igualmente, para este caso, la longitud del eje real es igual a 2a., la longitud del eje conjugado es 2b y la distancia focal es 2c.

Ejemplos

Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola que cumple las siguientes condiciones:

a) Sus focos son respectivamente F’ (-3, 0) y F (3, 0), la longitud del eje real es 2a = 4.

b) Sus vértices son A (0, 7) y A’ (0, -7), y B = (5, 0), B’ (-5, 0)

Solución(a):

Las coordenadas de los focos nos dicen de forma implícita que se trata de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje x, por lo cual el eje no focal coincide con el eje y.

'FF = 2 c = 6 distancia focal considerada desde -3 hasta 3; c = 3

De 2a = 4 se deduce que: a = 2

Como: b = 2 2c - a ; b = 549

Por (I) tenemos:

22 yx - = 1

4 5 Ecuación ordinaria de la hipérbola




55

Solución (b):

En los eventos se observa que se trata de una hipérbola en la que 'AA coincide con el eje y y

'BB coincide con el eje x.

'AA = 2 a = 14, a = 7

'BB = 2b = 10, b = 5

Por (II) tenemos: 125

x

49

y 22

O sea:

25y 2 - 49 x 2 = 1225

Luego: 49 x 2 - 25 y 2 - 1225 = 0 es la ecuación de la hipérbola estudiada.


4.2 Lado recto.

Recibe este nombre cualquiera de las cuerdas que pasa por los focos y es perpendicular al eje focal.

En la figura, MM´ y NN´ son lados rectos de la hipérbola (Ver figura 4)



56

Al sustituir x = c en la ecuación (II) y usar la relación 2 2 2c = a + b , se encuentra que los

extremos de un lado recto son:

2 2b bc, - y c,

a a

Por lo tanto la longitud es 22b

a

Esta fórmula nos permite calcular la longitud del lado recto de la hipérbola, conociendo las longitudes de sus ejes de simetría.

4.3 Asíntotas de una curva.

Si la distancia a una recta desde un punto móvil de una curva tiende a cero, cuando dicho punto se mueve en determinada dirección, se dice que la recta es asíntota de la curva.

En la figura, la distancia MQ del punto M a la recta OP tiende a cero, a medida que se mueve en la dirección OP. La recta OP es asíntota de la curva.

Asíntotas de la hipérbola.

Las rectas determinadas por las diagonales del rectángulo de lados 2a y 2b, y de centro el centro de la hipérbola como aparece en la figura 5 son las asíntotas de la hipérbola.

r 1 y r 2 son las asíntotas de la hipérbola.

O Q

M

P

Fig.4



57

Es decir, r1 y r 2 son las diagonales extendidas del rectángulo formado por las rectas de ecuaciones x = a, x = -a, y = b, y = -b.

Por tratarse de rectas que pasan por el origen, las ecuaciones de r1 y r 2 son del tipo y = mx

Fig. 5

Como m = a

b para r1 , m =

ba

para r 2

Las ecuaciones de las asíntotas son:

y = a

bx, y = -

a

bx para r 1 y r 2 respectivamente.

También se pueden obtener las ecuaciones de las asíntotas a partir de la ecuación de la hipérbola.

2

2

a

x- 2

2

b

y= 1

Despejando y, resulta:

2

2

b

y= 2

2

a

x- 1 ; 2

22

a

ax

b

y ; y =

22 axa

b

Lo que se puede expresar así:

y = a

b)

x

ax(x

2

222

r1 r 2



58

y = a

b)

x

a1(x

2

22

y = a

b x 2

2

x

a1

Se observa que si la abscisa de un punto móvil M de la hipérbola es un valor muy grande positivo

o negativo, la fracción 2

2

x

aes un valor que se acerca a cero, por tanto el radical 2

2

x

a1 se

acerca a 1.

Se obtiene entonces: y = a

bx , que son las ecuaciones de las asíntotas.

La distancia MP es cada vez menor y la hipérbola tiende a coincidir con las rectas r1 y r 2 .

4. Excentricidad.

La excentricidad e de una hipérbola se expresa por la razón e = a

c.

El ángulo de intersección de las asíntotas y el aspecto de la hipérbola, depende del valor de e. Como c > a, el valor de e es mayor que 1. Si c es solo un poco mayor que a, de modo que e esta

cerca de 1, la relación 2 2 2c = a + b muestra que b es pequeño, comparado con a. Entonces las

asíntotas toman un par de ángulos pequeños. Las ramas de la hipérbola, encerrados por ángulos pequeños divergen lentamente. Si e crece, las ramas están encerradas por ángulos mayores, y los ángulos pueden estar cerca de 180º al tomar valores grandes de e.

4.5. Relación entre los puntos de una hipérbola y sus asíntotas.

Sea la hipérbola de ecuación 1b

y

a

x2

2

2

2

Las asíntotas de la curva tienen por ecuaciones:

r 1 : y = xa

b o sea: bx – ay = 0

r 2 : y = - xa

b o sea: bx + ay = 0



59

Si consideramos M (x, y), un punto cualquiera de la hipérbola (ver figura 6), por distancia de un punto a una recta, se tiene:

MN = 2 2

bx - ay

a + b (1)

22 ba

aybxMP

(2)

Multiplicando miembro a miembro (1) y (2)

MN x MP = 22

2222

ba

yaxb

Es decir: MN x MP = tetanconsba

ba22

22

Por tanto, se puede concluir que el producto que resulta de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de una hipérbola a sus asíntotas, es una cantidad constante.

Esta propiedad nos permite determinar las ecuaciones de sus asíntotas y de las coordenadas de un punto cualquiera de la curva.

Ejemplo

Obtener la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto M (4, 0) y cuyas asíntotas tienen por ecuaciones: (R1) 3 x – 4 y = 0, (R2) 3 x + 4 y = 0

Solución:

Fig. 6



60

Se realiza una representación de lo planteado de forma implícita para tener una idea inicial de lo que dice el problema:

Por la propiedad establecida.

MN x MP = K (constante) (1)

Por lo estudiado anteriormente (distancia entre un punto y una recta), tenemos:

MN = 3x - 4y 3x - 4y

=59 +16

(2)

MP = 3x + 4y

9 +16=

3x + 4y

5 (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), resulta:

3x - 4y 3x + 4y

×5 5

= K (4)

Como sabemos que M (4, 0) es un punto de la curva, sustituyendo en (4), se obtiene:

3(4) 4(0) 3(4) 4(0) 12 12

5 5 5 514425

K

K

Sustituyendo el valor de K en (4), tenemos:

3x - 4y 3x + 4y

×5 5

= 14425

M

R1R2 N

P



61

2 29x - 16y 144=25 25

2 29x - 16 y = 144

2 29x - 16 y = 144

Luego: 19

y

16

x 22 y

22 yx + = 116 9

son las ecuaciones de las ecuación de la hipérbolas

solicitadas.

4.6. Hipérbola equilátera.

Recibe este nombre la hipérbola cuyos ejes, real e imaginario, tienen igual longitud.

La hipérbola de la figura 8 es equilátera porque: 2a = 2b

Dada su posición en el plano su ecuación es: 1a

y

a

x2

2

2

2 , ya que a = b

También puede escribirse así: x 2 - y 2 = a 2

Además se puede afirmar que las asíntotas de la hipérbola equilátera son perpendiculares por coincidir con las diagonales de un cuadrado.

Ejemplo: 22 yx - = 1

4 4

Hipérbola de centro (0,0) y longitud del eje real = longitud del eje conjugado = 4. Ver Fig.7.

Fig. 7



62

4.7. Hipérbolas conjugadas.

En algunos casos se introduce el término de hipérbolas conjugadas, para denotar dos hipérbolas en las que el eje real de una es eje imaginario de la otra, como vemos en la figura 8.

Fig. 8

Cuando los ejes de la hipérbola coinciden con los ejes coordenados, como sucede en este caso sus ecuaciones son:

1b

y

a

x2

2

2

2 y 1

a

y

b

x2

2

2

2 respectivamente

4.8. Ecuación de la hipérbola cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados y centro (h,k).

Si el centro de la hipérbola no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, sus ecuaciones pueden obtenerse tal como se determinaron ambas formas de la ecuación de la elipse.


I. Eje focal paralelo al eje x

Sean M (x, y) un punto cualquiera de la hipérbola y su centro C (h, k). La ecuación de la hipérbola es de la forma:

2

2

a

)hx( - 2

2

b

)ky( = 1 (III)

Ejemplo gráfico:



63

II. Eje focal paralelo al eje y.

Sea M (x, y) un punto cualquiera de la hipérbola y su centro C (h, k). La ecuación de la hipérbola es de la forma:

2

2

(y - k)

a-

2

2

(x - h)

b= 1 (IV)

Ejemplo gráfico:

Para cada hipérbola: a es la longitud del semieje transverso b es la longitud del semieje conjugado c es la distancia del centro a cada uno de los focos. a, b y c están ligadas por la relación:

2 2 2c = a + b

4.9. Forma general de la ecuación de una hipérbola

Si desarrollamos la ecuación

2 2

2 2

(x - h) (y - k)-

a b= 1 (II)

Obtenemos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b x - a y - 2b hx + 2a ky + b h - a k - a b = 0 (III)

La ecuación (III) puede escribirse en la forma:



64

2 2Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 (IV)

Donde

A = 2b ; C = - 2a ; D = 2 -2b h ; E = 22a k ; F = 2 2 2 2 2 2b h - a k - a b

Obviamente los coeficientes A y C difieren en el signo y son no nulos.

Recíprocamente, si consideramos la ecuación (IV) completando cuadrados obtenemos:

2 2

2 2

2 2

D Ex + y +2A 2C CD +AE - 4ACF- =C A 4A C

(V)

y consideramos ahora varios casos posibles, llamando

N = 2 2CD + AE - 4ACF y M = 2 2

N4A C

Tenemos:

c) Si N = 0, entonces la ecuación (V) representa dos rectas:

D Ey = x + -2A 2C

y D Ey = -x - +2A 2C

d) Si N 0, la ecuación (V) equivale a

2 2

D Ex + y +2A 2C- =1

MC MA (VI)

y aquí como A y C son de diferentes signos, entonces la ecuación (IV) podrá ser también de la forma:

2 2

D Ex + y +2A 2C+ =1

MC MA donde MC y MA siempre serán positivos, distintos o iguales.

En general:

Si los coeficientes A y C son de diferentes signos y no nulos, entonces la ecuación de segundo grado

2 2Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0



65

representa dos rectas que se cortan o una hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados.

Ejemplos

a) Obtener la ecuación general de la hipérbola que cumple con las siguientes condiciones: Centro C (3, 5), longitud del eje real; 2a = 4, la longitud del semieje conjugado b = 6, eje real es paralelo al eje x.

Por los eventos se observa que la ecuación de la hipérbola es de la forma

2

2

a

)hx( - 2

2

b

)ky( = 1

Como a = 2 y b = 3, sustituyendo se tiene:

9

)5y(

4

)3x( 22

= 1

O sea:

9 (x – 3) 2

- 4 (y – 5) 2= 36

9 (x2

- 6 x + 9) – 4 (y2

- 10 y + 25) = 36

9 x2- 54x + 81 – 4 y

2 + 40 y – 100 = 36

9 x2- 4 y

2- 54 x + 40y – 55 = 0 Ecuación general de la hipérbola

b) Encontrar la ecuación general de la hipérbola siendo:

F (-4, 5), F’ (-4, -3) y A (-4, -1)

Solución:

Por los eventos se observa que los focos y el punto A están situados sobre una paralela al eje y, que tiene la misma abscisa.

Por tanto, la ecuación es de la forma

2

2

a

)ky( - 2

2

b

)hx( = 1



66

C (-4, 1), por ser punto medio de FF´

CA = a = 2

Por diferencia de las ordenadas de los puntos C y A

CF = c = 4

Por diferencia de ordenadas de los puntos C y F

b = 12416ac 22

Sustituyendo en (IV) se tiene: 112

)4x(

4

)1y( 22

O sea:

12 (y – 1)2

- 4 (x + 4)2

= 48

12 (y2

- 2 y + 1) – 4 (x2+ 8 x + 16) = 48

12y2

- 24 y + 12 – 4 x2

- 32x – 64 = 48

-4x2+ 12 y

2 - 32 x – 24 y - 100 = 0

- x2

- 3 y2

- 8 x – 6 y – 25 = 0

x2

- 3y2

+ 8x + 6y + 25 = 0


c) Determina el lugar geométrico de la ecuación:

050y36x8y9x4 22



67

Solución: Ecuación ordinaria 14

)2y(

9

)2x( 22

El lugar geométrico es una hipérbola de centro (2,2)

Longitud del eje real 6, paralelo al eje x

Longitud del eje imaginario 4


d) Determina el lugar geométrico de la ecuación:

024y36x8y9x4 22

Luego de completar cuadrado queda: 04

)2y(

9

)2x( 22

El lugar geométrico son dos rectas

0)2y(3)2x(2;036

)2y(9)2x(4

4

)2y(

9

)2x( 222222

Luego 0)2y(3)2x(2)2y(3)2x(2)2y(3)2x(2 22

Por lo tanto 0)2y(3)2x(2ó0)2y(3)2x(2

Simplificando se obtienen las rectas: 3y + 2x-10 = 0 y -3y + 2x + 2 = 0


Obtención de los elementos de una hipérbola.



68

Problema 1.

Dada la ecuación de una hipérbola cuyos ejes coinciden o son paralelos a los ejes coordenados, encontrar las coordenadas del centro, las longitudes de los ejes real e imaginario, la distancia focal, las coordenadas de los vértices y de los focos, la longitud del lado recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.

Ejemplos (a): Evento: 4 x2

- 9 y2

= 36

CONCEPTOS: Ecuación de una hipérbola Hipérbola Eje focal Eje real Eje imaginario Distancia focal Centro Focos Vértices Lado recto Excentricidad Asíntotas

TRANSFORMACIONES: Dividendo los dos miembros de la ecuación entre 36 y simplificando, tenemos:

14

y

9

x 22 (I)

La ecuación (I) es la ecuación ordinaria de una hipérbola centrada en el origen. Longitud eje mayor coincide con el eje x. Longitud eje menor coincide con el eje y. El centro es: C (0, 0) a = 3, 2 a =6 b = 2, 2b = 4 Luego:

C = 22 ba = 6.31349

A (3, 0), A’ (-3, 0); F ( 13 , 0), F’(- 13 , 0)

Lado recto = a

b2 2

= 3

8

3

)4(2

e = ,a

c e =

3

13

r 1 : y = x3

2 o sea 2x – 3 y = 0 Asíntota

r 2 : y = - x3

2, o sea 2x + 3 y = 0 Asíntota


Meta: ¿ Cuáles son las coordenadas del centro, las longitudes de los ejes real e imaginario, la distancia focal, las coordenadas de los vértices y de los focos, la longitud del lado recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas, de la hipérbola dada?

EVENTOS Hipérbola

4 x2

- 9 y2

= 36



69

b) Evento: x2- 9 y

2- 4 x + 36 y – 41 = 0

CONCEPTOS: Ecuación de una hipérbola Hipérbola Eje focal Eje real Eje imaginario Distancia focal Centro Focos Vértices Lado recto Excentricidad Asíntotas Trinomio cuadrado perfecto

TRANSFORMACIONES: Por el método de completar cuadrados, tenemos:

x2

- 4 x – 9 y2

+ 36y = 41

x2

- 4 x – 9(y2

- 4y) = 41

x 2

- 4 x + 4 – 9 (y2

- 4 y + 4) = 41 + 4 – 36

(x - 2) 2

- 9 (y – 2) 2

= 9

11

)2y(

9

)2x( 22

La ecuación es de la forma

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Luego eje real es paralelo al eje x. Eje conjugado es paralelo al eje y. El centro es: C (2, 2) a = 3, 2 a = 6; b = 1, 2b = 2

c = 22 ba = 16.31019

A (5, 2), A’ (-1, 2); F (2 + 10 , 2)

Lado recto = a

b2 2

; Lado recto = 3

)1(2

e = ,a

c e =

3

10

Como las asíntotas r 1 y r 2 son rectas que pasan por el punto C (2, 2) y de pendiente

m = a

b , es decir, m =

3

1

Sus ecuaciones son:

r 1 : y – 2 = 3

1(x – 2); x – 3 y + 4 = 0 Asíntotas

r 2 : y – 2 = - 3

1(x - 2); x + 3 y = -8 = 0 Asíntotas



EVENTOS Hipérbola

x2

- 9 y2

- 4 x + 36 y – 41 = 0



70

c) Evento: 9 x2- 16y

2 - 54x + 225 = 0

CONCEPTOS: Ecuación de una hipérbola Hipérbola Eje focal Eje real Eje imaginario Distancia focal Centro

222 bac Focos Vértices Lado recto Excentricidad Asíntotas Trinomio cuadrado perfecto

TRANSFORMACIONES: Por el método de completar cuadrados, tenemos:

9 (x2

- 6x ) – 16y2

= - 225

9 (x2

- 6x + 9) – 16 y2

= - 225 + 81

9 (x-3) 2

- 16y2

= - 144

1144

y16

144

)3x(9 22

116

)3x(

9

y 22


1b

)hx(

a

)ky(2

2

2

2

Luego eje real es paralelo al eje y, eje conjugado es coincide con el eje x El centro es: C (3, 0) a = 3, 2 a = 6; b = 4, 2b = 8

c = 22 ba = 525169

A (3, 3), A’ (3, -3); F (3, 5), F’ (3, -5) Como las asíntotas son rectas que pasan por el

punto C (3, 0) y de pendiente m = b

a, es

decir, 4

3 sus ecuaciones son:

r 1 : y – 0 = 4

3(x – 3) ; 3 x – 4y – 9 = 0

r 2 : y – 0 = - )3x(4

3 ; 3x + 4y – 9 = 0



EVENTOS Hipérbola

9 x2

- 16y2

- 54x + 225 = 0



71

Problema 2.

Hay problemas donde se solicitan lugares geométricos sin aclarar explícitamente que se trata de una hipérbola, por lo que, el que resuelve el problema depende de un planteamiento adecuado inicial y luego en sus transformaciones descubre que se trata de una hipérbola.

Ejemplo: Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve que se mueve de tal manera que su distancia del punto (6,0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x - 3 = 0.

CONCEPTOS: Ecuación de una hipérbola Hipérbola Eje focal Eje real Eje imaginario Distancia focal Centro Focos Vértices Distancia entre un punto y una recta

TRANSFORMACIONES:

1PP 2PR ( )I

Sustituyamos en (I)

2 2

2 2

2x 3x 6 y 0 2

2 0

2 2x 6 y 2x 3 (II)

Desarrollando y simplificando (II)

2 23x y 27 0 ; 2 23x y 27

22 yx 19 27


1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

El Lugar geométrico es una hipérbola: Eje real es paralelo al eje x. Eje conjugado es paralelo al eje y. El centro es: C (0, 0)

a = 3, 2 a = 6; b = 27 , 2b =2 27

Meta: ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos tales que se mueve de tal manera que su distancia del punto (6,0) es siempre igual al doble de su distancia a la recta 2x - 3 = 0 ?

EVENTOS Sea P(x,y) el punto desconocido Sea P1(6,0) punto conocido Sea R la recta dada por 2x -3 = 0

1PP 2PR



72

Aplicación de la hipérbola

La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. (También se puede decir que la tangente es la bisectriz del ángulo que forman los radios focales)

Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.

universidad nacional experimental … · lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de...

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