la construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-crítico

La construcción del espaciogeométrico, un ensayo

histórico-crítico

Luis Moreno ArmellaCINVESTAV – IPN, México

Introducción

Vamos a hablar del conocimiento matemáti-co, con la intención de establecer bases parauna reflexión sobre nuestra disciplina. La ma-temática educativa guarda una relación muyestrecha con la matemática, desde luego,pero también con la psicología, la epistemo-logía, la historia, la semiótica y con otras dis-ciplinas. Podría decirse que su propósitoconsiste en investigar y desarrollar la ense-ñanza y el aprendizaje de las matemáticas,dentro de los sistemas educativos. Se imponeentonces, un enfoque interdisciplinario so-bre los contenidos matemáticos de la ense-ñanza, sobre la matematización, el análisisde las estrategias de resolución de proble-mas, la estructura de la demostración en cla-se, sobre los sistemas de representación tan-to los clásicos como los suministrados porla intervención de las tecnologías computa-cionales, etc. Hay una observación que nopuede dejarse de mencionar: se refiere a loscontenidos matemáticos. La geometría eucli-diana, como campo de investigación para losmatemáticos, no parece tener mayor impor-tancia hoy en día. Sin embargo, hay un po-

tencial formativo en sus contenidos, en losmétodos de demostración, por ejemplo, quele dan un lugar de importancia para la mate-mática educativa. Dirigiremos nuestra aten-ción a su desarrollo y a los obstáculos que sepresentan a lo largo de ese desarrollo. Ape-nas digo esto, debo aclarar que la tentaciónpor la historia de las matemáticas no se tra-duce en un mecanismo cuyo propósito seaforzar una identificación de la historia con losprocesos constructivos inherentes al apren-dizaje de las matemáticas. Se trata más bien,de buscar aquellos lugares en donde la ense-ñanza encuentre cuestiones de orden episte-mológico, como el ideal de simplicidad y elproblema de la demostración. Imaginamos lahistoria como algo que puede ser interroga-do a propósito de las condiciones de cons-trucción del conocimiento, del cambio con-ceptual, de la relación entre conocimientoformal y realidad educativa.

Nuestros esfuerzos de fundamentación de laenseñanza de las matemáticas, no puedendesconocer la necesidad de la reflexión epis-temológica. Por ejemplo, al tratar de transmi-

tir el saber matemático, quedan planteados

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diversos problemas de relaciones entre laconstitución y la adquisición del conocimien-to; el estudiante debe intentar entoncesapropiarse de un conocimiento que le es aje-no. No se puede dar la espalda a la necesariadistinción entre el acto de conocer y el cono-cimiento en sí mismo. Y a su necesaria articu-lación.

La historia no ha de usarse para buscar unorigen, casi siempre ilusorio, con la esperan-za de hallar las claves para develar la esenciade las nociones. Más bien, ella nos acerca ala comprensión de cierto desarrollo (de unconocimiento), que no es el desarrollo de talconocimiento en el estudiante, pero quehace viable una cierta problematización dela enseñanza.

La epistemología en Grecia

La reflexión sistemática sobre la naturaleza, talcomo se desarrolló en Grecia, se orientó ateorizar sobre el mundo material. Ya los filó-sofos presocráticos dejaron constancia deello. Sus estudios sobre lo uno y lo múltiple,sobre la permanencia y el cambio, ejercieronuna marcada influencia sobre el desarrolloposterior de la filosofía. Ante la diversidad,Heráclito escribió que lo sustantivo era la es-tructura del mundo, su organización.

En la escuela pitagórica, se arribó a una con-cepción aritmética: todas las cosas son nú-mero. Entonces, para comprender el mundomaterial, había que hallar el número que por-taba la esencia de cada cosa. Todas estasideas nos hablan de una preocupación pormodelar de maneras estructurales y matemáti-cas las observaciones.

A partir de allí, el desarrollo filosófico griegoserá conducido por Platón y Aristóteles. Sucontribución al pensamiento filosófico es, de

acuerdo a Russell, el mayor que se ha desple-gado en toda la historia de la filosofía. Ellosrepresentan las escuelas que serán conoci-das como idealismo (Platón) y empirismo(Aristóteles).

Platón distinguía claramente entre el mundomaterial y el mundo (superior) de las ideas.Sostenía que las cosas materiales son comolas sombras de las ideas que se arrojan al ta-blero de la experiencia. Como Pitágoras,creía que la inteligibilidad del mundo mate-rial sólo era posible mediante la matemática.Pero, ¿cómo era posible acceder a ese cono-cimiento? Reconocer un triángulo, una esfe-ra o cualquier otra figura geométrica es reco-nocer una copia del “molde” perfecto queexiste como idea.

Para Aristóteles las cosas eran de otra mane-ra: el molde existía, pero era resultado deuna abstracción después de haber tenidomúltiples experiencias con figuras concretas.En su sistema de ideas, el conocimiento pro-venía del mundo material. Se generaba me-diado por la intuición y la abstracción. La ma-temática era un instrumento que ayudaba enla investigación del mundo; suministraba ellenguaje para tratar con propiedades forma-les como eran las propiedades aritméticas ygeométricas de los cuerpos. De acuerdo asus planes, tal esfuerzo debía tener como re-compensa la conquista de verdades sobre lanaturaleza.

Esa forma que tienen los objetos de la mate-mática de imponerse al pensamiento, quizásea la razón por la cual tanto Platón comoAristóteles buscaron en una realidad ya cons-tituida la explicación de la objetividad mate-mática.

Se explicaba el éxito de las aplicaciones delas matemáticas a la óptica y la astronomía,por ejemplo, puesto que aquella disciplina

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Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

era resultado de la abstracción a partir de losobjetos materiales. La geometría versaba so-bre figuras que representaban abstraccionesde cuerpos continuos; la aritmética versabasobre el número, abstracción de lo discreto.

La organización euclidiana

La teoría del conocimiento propuesta porAristóteles definió a los objetos matemáticoscomo resultado de la abstracción de los ob-jetos naturales. La tesis: todo cuerpo de co-nocimiento a lo largo de su desarrollo seorienta a la búsqueda de sus principios, se tra-dujo, después de considerables esfuerzos,en el sistema euclidiano clásico. Sin embar-go, esta geometría discurre no sobre objetosmatemáticos, sino sobre objetos matematiza-dos. La intuición geométrica se desarrolla apartir de un conjunto de acciones interioriza-das. Se realiza allí una captura del objeto físi-co mediante el lenguaje. Los objetos mate-matizados pueden tener una cierta autono-mía lógica pero, ontológicamente, permane-cen dependientes de los objetos físicos y, enconsecuencia, aquellos objetos están obliga-dos a respetar los límites impuestos a los ob-jetos físicos. Desde esta perspectiva, el objetomagnitud matemática permanece subordina-do al objeto magnitud física. Por ejemplo, lamagnitud matemática sólo puede ser infinitaen potencia (Moreno-Waldegg, 1995). Hayun control permanente, de orden ontológi-co, sobre los objetos de esa matemática eu-clidiana. Los postulados deben ser evidentespor sí mismos, carácter que heredaban de lascondiciones materiales de las que provenían.Estas consideraciones ayudan a entender porqué Euclides hizo un esfuerzo considerablepara mantener al Postulado de las Paralelasal margen de su desarrollo geométrico. Enefecto, decir que: por un punto exterior a unarecta pasa una única paralela, equivale a ha-

cer una afirmación que elude el control delobjeto físico correspondiente. Como esta-mos ante un postulado, tenemos que mante-ner ante nuestros ojos el problema ontológi-co y, en consecuencia, los límites impuestosa los objetos matematizados. Como bien sesabe, lo primero que hizo Euclides fue susti-tuir la versión anterior del postulado de lasparalelas por una versión que no menciona-ba explícitamente al infinito. El costo fue muyalto: la nueva versión era muy larga, compli-cada y tenía todas las trazas de ser una pro-posición deducible de los restantes postula-dos. Dice así (véase Euclides, Los Elementos):

Dadas dos rectas y una transversal aellas, si los ángulos internos de un mis-mo lado suman menos que dos rectosentonces, al prolongar estas rectas ellasdeberán intersectarse del lado de estosángulos.

De allí que haya suscitado una voluntad desimplificación en quienes la estudiaban, porlo que se dedicaron a tratar de demostraresta nueva proposición, en lugar de aceptar-la como evidente por sí misma.

La riqueza de las acciones simbólicas es ma-yor que la producida por objetos matematiza-dos que están controlados ontológicamente,como es el caso de la geometría euclidiana.Sin embargo, en su momento, no hubo unatoma de conciencia sobre este hecho, comolo muestra la continuada búsqueda de unademostración, que aunque realizada a niveldigamos formal, pretendía dejar constanciasobre la naturaleza euclidiana del espacio. Noestaba pues tematizada la estructura formalcomo objeto de indagación.

La historia de estos trabajos es larga, muy larga:se despliega a lo largo de mas de veinte siglos.Garantía inequívoca, de que no estamos anteun problema menor del conocimiento. El de-

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La construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-crítico

senlace de este proceso ha sido el desarrollode las geometrías no-euclidianas.

De Euclides hasta el siglo XVII

Después de intentar la demostración de launicidad de la paralela, tratando de utilizaruna propiedad de las mismas que no se des-prende de su definición dentro del sistemaeuclidiano, se pasa a una etapa en donde laestrategia consiste en introducir una nuevaproposición que sustituya al quinto postula-do y, a partir del nuevo sistema axiomático,demostrar este último. Un ejemplo notable(Bonola, 1955) lo proporciona el trabajo deWallis (1616-1703) durante el siglo XVII,quien supone que

así como existen circunferencias de ta-maño arbitrario, también deben existirtriángulos semejantes de tamaño arbi-trario.

Basado en este aserto de mucho sentido co-mún, Wallis logra dar una demostración delpostulado. Todos estos son intentos fallidos.La atribución de la equidistancia entre para-lelas, la existencia de triángulos semejantesque no sean congruentes, son afirmacionesque respetan la ontología aunque lógicamen-

te equivalen a lo que se desea demostrar.

La vía del absurdo

Durante este periodo se cambia el acerca-miento al problema. Se trata ahora de consi-derar como un postulado la siguiente formade negación del postulado de las paralelas. Asaber, que por un punto exterior a una rectapasa más de una paralela. El objetivo es desa-rrollar las consecuencias del nuevo sistemaaxiomático hasta que aparezca una contra-dicción. Esta será atribuida a la presencia de

una hipótesis absurda (i.e., la negación delquinto postulado). Como conclusión quedaestablecida la validez del quinto postulado,puesto que su negación es absurda. Los geó-metras, después de una larga experiencia fa-llida, están dispuestos a aceptar como pos-tulado uno que ¡ya no es evidente por sí mis-mo!

Lo que presenciamos aquí es un abandono in-consciente del control ontológico del objetomatemático a favor de la estructura lógica delsistema geométrico en su conjunto. Decimosinconsciente porque el propósito mismo de laestrategia de solución está determinado porla convicción en la naturaleza euclidiana delespacio. Sin embargo, se ha dado un giro co-pernicano al problema: se trabaja bajo la hipó-tesis que la esperada contradicción que sequiere ver aparecer en el horizonte, establez-ca la veracidad de la geometría, lo cual supo-ne (y es aquí donde se presiente la gestaciónde un nuevo punto de vista) que ahora la es-tructura matemática-lógica de la geometríapuede imponer sus dictados a la ontología.Aunque sea para estar de acuerdo con ésta.De todas formas, se inicia lo que podríamosllamar la tematización de la estructura comoobjeto de estudio. A este periodo correspon-den los trabajos de Saccheri (1667-1733),(véase Bonola, 1955) principalmente y deotros geómetras.

Una reconsideración epistemológica

Los desarrollos que hemos analizado hastaahora, son solidarios de una concepción rea-lista de la matemática. Ahora, debemos anali-zar la concepción epistemológica de Kant(1724-1804) que se erigió en un formidableobstáculo a los desarrollos geométricos pos-teriores, pero que, una vez superado, hizoposible a las matemáticas acceder a un nivel

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de equilibrio conceptual del que no habíadisfrutado antes.

Para Kant, había llegado la hora de investigarsi no se iba más lejos subordinando el objetoa la cognición, contrario al enfoque empiris-ta. Hasta aquí, la nueva alternativa heredabaal racionalismo cartesiano, pero Kant sostu-vo que la cognición, aunque subordine al ob-jeto, comienza por él.

En la introducción de su Crítica de la RazónPura Kant expresa:

“No hay duda alguna de que todonuestro conocimiento comienza conla experiencia. Pues ¿por dónde iba adespertarse la facultad de conocercomo no fuera por medio de objetosque hieren los sentidos... y elaboranasí, con la materia bruta de las impre-siones sensibles, un conocimiento delos objetos que llamamos experien-cia?... Mas si todo nuestro conocimientocomienza con la experiencia no porello se origina todo él en la experien-cia. Bien podría ser que nuestro cono-cimiento empírico fuera compuestode lo que recibimos por medio de im-presiones y de lo que nuestra facultadde conocer (...) proporciona por símisma sin que distingamos este añadi-do de aquella materia fundamental...”

De modo que nuestro conocimiento delmundo, no es una representación (en el sen-tido de una copia) de esa realidad externa ennuestro intelecto, sino una interpretación,una reconstrucción que hacemos tomandonuestros registros perceptuales como mate-ria prima y sometiéndolos al influjo de esamáquina de interpretar y organizar constitui-da por nuestro intelecto.

Para Kant nuestras experiencias sensorialesson posibles como fenómenos que se desa-rrollan en el espacio y en el tiempo. Pero, espa-

cio y tiempo son las formas de sensibilidadmediante las cuales el intelecto capta las expe-riencias. Las formas de sensibilidad son innatas.Sin ellas las experiencias son imposibles.

Las experiencias son moldeadas por las for-mas de sensibilidad, así como el agua al en-trar al recipiente, adopta la forma de éste.

No tenemos acceso a las cosas en sí mismas.La objetividad del conocimiento no reside enla realidad externa como querían los empiris-tas, sino en la interacción de aquella con elsujeto. Con un sujeto trascendental.

El conocimiento se torna un problema teóri-co y no sólo una actividad volcada sobre elmundo desde el que se revela como algomás que una simple reproducción de la reali-dad. El conocimiento se impone entoncescomo el producto de elaboraciones en elmundo de las experiencias del sujeto.

Para Kant:

sólo es posible dar cuenta de la certezade la ciencia natural y de sus posibilida-des de matematización, si suponemosque la estructura de nuestra experienciaproviene de nuestras facultades cogniti-vas, que sirven de fundamento a priori anuestras experiencias.

Como lo ha señalado Popper (Popper-Lo-renz, 1995), Kant debió renunciar al ideal deuna ciencia que no hace suposiciones; dejóclaro que no puede partirse con las manosvacías y que debemos acercarnos a nuestrabúsqueda con un sistema de hipótesis queestán al margen de los métodos empíricos delas ciencias. Tal sistema de hipótesis es loque denominó aparato categórico.

Mediante la tematización de la organizaciónaxiomática, la geometría empezó a emergerde la esfera puramente empirista hacia unafase de mayor organización lógica. Se dio un

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giro copernicano y la estructura formal pasóa ser vista como necesaria, como inevitable.No se podía, en consecuencia, contradecireste sistema geométrico sin esperar conse-cuencias considerables.

Gauss y Lobachevski

Gauss (1777-1855) llegó a la universidad deGotinga en 1795. Kant falleció en 1804. Seha conservado la correspondencia de Gaussy allí se ve cómo fue evolucionando su pen-samiento y cómo éste permaneció siemprearticulado con sus concepciones epistemo-lógicas. En él hay ya señales claras de que elproblema estaba siendo conceptualizado demanera distinta.

Hacia finales del siglo XVIII los puntos de vis-ta dominantes sobre el espacio eran los deKant y los de Newton. En su obra Principia,Newton nos dice que no va a definir ni espa-cio, ni tiempo puesto que son de todos co-

nocidos. Para él, el espacio verdadero coin-cide con el euclidiano. Dada su autoridad, lanaturaleza euclidiana del espacio quedabafuera de toda duda. Esto debió representarpara Gauss y posteriormente, para Loba-chevski, un formidable obstáculo. Fue enesta atmósfera en la que debieron desarro-llar su trabajo.

Si bien en sus inicios Gauss intentó demos-trar el quinto postulado, pronto su pensa-miento dio un giro y empezó a considerarcuidadosamente la imposibilidad de una de-

mostración dentro del marco del sistema axio-

mático (Bonola, 1995). Razonó así: la demos-tración del quinto postulado implicaba paralos geómetras de generaciones anteriores,que un sistema lógicamente coherente ga-rantizaba la naturaleza euclidiana del espa-cio. Pero esto no era posible en el marco es-

trictamente euclidiano pues, de acuerdo a lanaturaleza de los objetos geométricos, talcomo estos se construían en la epistemologíaaristotélica, había un control del objeto físicosobre el objeto matemático, no al revés. Si losgeómetras, Saccheri incluido, habían supues-to que la prueba de consistencia implicaba laeuclidianidad del espacio, era porque incons-cientemente ¡habían cambiado las reglas deljuego! de hecho, se habían inclinado por untotal control simbólico de los objetos.

Gauss hizo explícito este cambio de reglas.Separó el problema de la consistencia del sis-tema axiomático del problema de la naturale-za del espacio físico. Sabiendo que el postula-do de las paralelas era equivalente al aserto: lasuma de los ángulos interiores de un triánguloes 180 grados y, siendo consciente de la dife-rencia entre las propiedades locales y globa-les del espacio, calculó la suma de los ángulosdel triángulo formado por las cimas de lasmontañas Brocken, Hohenhagen e Inselberg.Desafortunadamente, el error cometido en lamedición estuvo dentro del rango del errorexperimental permitido por el problema; suexperimento geométrico no fue concluyente.Gauss, a diferencia de Kant, pensaba que ladecisión sobre la naturaleza del espacio físicono podía ser un a priori.

Sobre este punto, de la suma de los ángulosde un triángulo, escribió a su amigo Taurinusen 1824 (Bonola, 1955):

La hipótesis: “la suma de los ángulos deun triángulo es menor que 180 grados”da lugar a una geometría curiosa, muydiferente a la nuestra (la euclidiana) quehe desarrollado a mi entera satisfacción,tanto que puedo, en ella, resolver cual-quier problema excepto la determina-ción de una constante que no puede serdeterminada a priori... los teoremas deesta geometría parecen paradójicos y

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hasta absurdos... pero calma, una refle-

xión sostenida revela que no contienen

nada imposible. Por ejemplo, los tres

ángulos de un triángulo se hacen arbi-

trariamente pequeños si tomamos los la-

dos suficientemente grandes, a pesar de

lo cual el área permanece siempre aco-

tada... No encuentro contradicciones

en esta geometría no-euclidiana a pesar

de todos mis esfuerzos... varias veces he

expresado mi deseo de que la geome-

tría euclidiana no fuera verdadera por-

que entonces tendríamos una unidad

absoluta de longitud...

Uno de los resultados aparentemente absur-dos se refiere a la fórmula mediante la cualcalculamos el área de un triángulo. Suponerque por un punto externo a una recta pasamás de una paralela implica que, dado untriángulo cuyos ángulos miden (en grados) a,b, y c, su área es:

área = k (180 — (a+b+c))

donde k es una constante positiva que no sepuede determinar a priori. Es claro de estafórmula, que a diferencia de lo que ocurrecon la geometría euclidiana, el área de lostriángulos depende de la longitud de los la-dos así: a medida que aumenta la longitud delos lados, disminuyen los ángulos, y por lotanto aumenta el área, pero permanece siem-pre acotada. Gauss tenía razón en pedirnoscalma. El resultado es asombroso. Desde lue-go, esta situación no puede presentarse en lageometría euclidiana. Recordando a Wallis,él intentó demostrar el quinto postulado to-mando como hipótesis adicional que en lageometría podían existir triángulos de áreaarbitrariamente grande. La fórmula del áreahiperbólica hallada por Gauss muestra conmucha claridad en dónde estaba la peticiónde principio, como dicen los lógicos, cometi-

da por Wallis. Explica la ilegitimidad de su hi-pótesis.

Es importante leer la pregunta ¿cuál es lageometría “verdadera”? de cara al resulta-do: área = k(180 – (a+b+c)), que se originaen el dominio matemático y, a los esfuer-zos de Gauss por darle un sustento experi-mental. Nos parece que esta es una aporta-ción central de sus meditaciones sobre lafundamentación de la geometría. Su bús-queda estuvo orientada a la consecuciónde un modelo geométrico que sirviera deorganizador de nuestra experiencia geomé-trica, que Gauss no veía desvinculada delas capacidades cognoscitivas del ser hu-mano. Solía invitar a sus amigos a imaginaruna especie que sólo estuviera conscientede dos dimensiones. Es decir, no construi-mos nuestra noción de espacio como unamera abstracción de lo empírico, como hu-biera querido Aristóteles, sino que en talconstrucción está involucrado cómo cono-ce el ser humano.

En 1902, en su obra, La Ciencia y la Hipótesis,Poincaré escribió:

Los axiomas de la geometría no son jui-cios a priori, ni hechos experimentales.Los axiomas son hipótesis; nuestra elec-ción, entre todas las posibles, está guia-da por los hechos experimentales; perosigue siendo libre y sólo limitada por lanecesidad de coherencia. Es así que lospostulados pueden ser rigurosamenteverdaderos (aquí Poincaré se refiere a lacoherencia del sistema axiomático) aúncuando las leyes experimentales quehan determinado su adopción sólo seanaproximadas.

Es decir, hay una diferencia de fondo entre lamatemática y la física. Hay una verdad for-mal, en el terreno de la matemática, que co-rresponde a las posibilidades deductivas y

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una verdad física que corresponde a la cons-trucción de la objetividad.

Como se habla de la búsqueda de una teoríaverdadera, casi por un reflejo especular, esinevitable pensar en términos popperianos y,más bien, pensar en la falsación o refutaciónde una teoría científica. Suscribimos la tesisde que no puede demostrarse que una teoríaes verdadera. ¿Qué sentido tendría decir quela geometría euclidiana es verdadera? ParaAristóteles, el sentido estriba en que el siste-ma euclidiano representa fielmente al espa-cio físico. Para el falsacionismo popperiano,no tiene sentido tal aserto. Lo que tiene senti-do es buscar una refutación de la teoría encuestión, en este caso la geometría euclidia-na, pero no con el propósito de descartarlasino para demarcarla, es decir, para definir sudominio de validez instrumental -como uninstrumento para explorar. Ese fue el caso dela mecánica newtoniana frente a un cuerpoteórico más organizado como la teoría de larelatividad.

La refutación kantiana a manos de las geo-metrías no-euclidianas consistió, más bien,en la demarcación del dominio de aplicabili-dad de la geometría euclidiana. Volveremosa este asunto un poco más adelante.

El trabajo de Gauss no fue conocido sinohasta después que otros pioneros como Lo-bachevski, hicieron público el suyo. Sólo en-tonces, Gauss brindó su apoyo a la nuevageometría.

En 1835 Lobachevski escribió (Nuovi Principidella Geometria, Boringhieri, 1974):

Es bien conocido que hasta la fecha, lateoría de las paralelas ha permanecidoincompleta. Los esfuerzos infructuososrealizados desde los tiempos de Eucli-des hasta la fecha, a lo largo de más dedos mil años, me han llevado a la con-

vicción de que los conceptos involucra-dos en esta investigación no contienenla verdad de lo que se deseaba demos-trar... convencido de mi conjetura escri-bí mis argumentos en 1826.

Un punto de vista semejante al de Gauss.Como nos dice Lombardo Radice, Loba-chevski no es sólo un lógico, también es unfísico, un experimentador. El hecho de quela medición real nos lleve a concluir la vera-cidad del teorema de Pitágoras y que lasuma de los ángulos del triángulo es 180grados, tan solo es una prueba de la con-cordancia de la geometría ordinaria con laexperiencia ordinaria, dentro de los límitesde la observación ordinaria, y no más alláde éstas. Por ejemplo, la suma de los ángu-los de un triángulo puede diferir de 180grados por una cantidad muy pequeña, in-sensible a las mediciones prácticas por pre-cisas que estas sean. Pero las diferenciaspueden hacerse ostensibles a medida queabandonamos la esfera de nuestra expe-riencia ordinaria. Esta reflexión llevó a Lo-bachevski a intentar la exploración empíri-ca de la naturaleza del espacio físicomediante el cálculo de la suma de los ángu-los del triángulo formado por la tierra, el soly la estrella sirio. Desafortunadamente parasus propósitos, todavía a esta escala, las di-ferencias con respecto a los clásicos 180grados resultaba despreciable.

Para Lobachevski, los principios geométricosno se derivan exclusivamente de la razón,con independencia de los objetos materia-les. Un punto de vista que se opone al kantia-no. Para él, los principios de una ciencia sonel resultado último de la investigación, sonresultado de un delicado proceso de abstrac-ción. El elemento dialéctico de su obra semanifiesta en la toma de conciencia de laexistencia de diferentes esferas de validez de

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las leyes geométricas. La geometría euclidianaera, en este enfoque, la geometría práctica.

Lobachevski utilizó las fórmulas de la trigo-nometría hiperbólica como soporte de lacoherencia lógica de su sistema geométrico.Bajo la hipótesis del ángulo agudo (es decir,que la suma de los ángulos de un triángulo esinferior a 180 grados), pudo demostrar queen la figura siguiente:

si las rectas m y n son las paralelas a derechae izquierda (en la geometría euclidiana el án-gulo de paralelismo es recto y por lo tanto lasrectas coinciden) entonces se cumple la si-guiente relación fundamental:

tan ( a/2 ) = exp (- d )

que muestra, analíticamente, la relación en-tre la unidad de medida angular y la unidadde medida de longitud. (En la geometría eu-clidiana, por otra parte, sólo hay unidad an-gular natural, a saber, la vuelta completa. Nohay unidad natural de longitud). Ahora, a me-dida que d tiende a cero, el ángulo de parale-lismo tiende a 90 grados, con lo cual quedaestablecido que la geometría euclidiana esun caso límite de la geometría no-euclidiana,y no algo desvinculado radicalmente de ella.Esta fórmula nos sirve para explicar y com-prender, por qué se tiene la impresión (queresulta muy práctica) que el espacio es eucli-diano. Así es, porque nuestra experiencia eslocal, porque depende de nuestra estructuracognoscitiva y de su interacción con el espa-

cio de nuestra experiencia. La explicación yla comprensión del fenómeno, sólo puedenprovenir del modelo. El error de Kant es natu-ral y proviene de atribuir al espacio en su to-talidad un comportamiento que es derivadode nuestra experiencia local de ese espacio—allí estaba la clave de su aparente euclidia-nidad.

Intentaremos ahora un somero resumen dela historia anterior:

1. La geometría griega está controlada por laontología.

2. Hay una toma de conciencia que discurrelentamente, sobre la necesidad de pasar delcontrol ontológico al estudio de la estructuraaxiomática.

3. Se distinguen los problemas de la ade-cuación de un sistema geométrico al espa-cio físico (es decir el sistema axiomáticocomo una hipótesis sobre el espacio) y elproblema de la validez matemática del sis-tema.

4. Pueden existir sistemas geométricos lógi-camente incompatibles pero adecuadospara la matematización del espacio.

Todo esto requirió un largo proceso evoluti-vo. A partir de la toma de conciencia sobre ladiferencia entre el tipo de conocimiento quese produce en el interior de una organiza-ción matemática y el que se produce cuandotal organización funciona como modelo enlas ciencias naturales (aunque en algunas,como la física, la matemática es mucho másque un auxiliar), el desarrollo de la matemáti-ca fue profundizando la ruptura con las posi-ciones sustancialistas. La situación queda des-crita en la introducción del libro clásico deCourant-Robbins ¿Qué es la matemática? enestos términos:

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mn

ad

A través de los tiempos los matemáticos

consideraron sus objetos —números,

puntos etc.— como cosas sustanciales

en sí. Pero en vista de que aquellos de-

safiaban una descripción adecuada, los

matemáticos del siglo pasado llegaron a

la convicción de que el problema de la

significación de dichos objetos como

cosas sustanciales no tenía sentido den-

tro de la matemática. Las únicas propo-

siciones relativas a ellos que importan

son las que expresan las relaciones mu-

tuas entre objetos indefinidos: su estruc-

tura y relaciones... la percepción de la

necesidad de la desustanciación de los

objetos matemáticos ha sido uno de los

resultados más fecundos del desarrollo

axiomático moderno.

Consideraciones finales

La idea de que las cosas son resultado de unproceso evolutivo incesante, que lo que ob-servamos en cada momento es un estadotransitorio de una forma en equilibracióncontinua, ha seducido a más de un pensadoren diferentes épocas.

A lo largo del presente siglo, son muchos losque se han preocupado por la construcciónde una epistemología evolutiva. La cienciamoderna ha hecho suyas muchas de las posi-ciones que estas epistemologías han defendi-do. Por ejemplo, Heisenberg, en su obra Lapartie et le tout escribe:

En la física atómica, hemos aprendido

que nuestras percepciones no pueden

apoyarse en un modelo de la “cosa en

sí”; [por ejemplo]: no hay “átomo en sí”.

En la mecánica cuántica los resultados

de nuestras percepciones no pueden

ser objetivados de la misma manera que

lo son en la física clásica.

Una de las enseñanzas epistemológicas quese extraen de la lectura de este notable libro,consiste en que los conceptos que nos sirvenpara describir nuestra experiencia cotidianatienen un dominio de aplicación limitado.Frente a términos como objeto de la percep-ción, simultáneo, temperatura, etc. siemprees posible imaginar situaciones, nos dice Hei-senberg, en las cuales estos términos pierdansu significado habitual. Por ejemplo, nosdice, ¿qué sería la temperatura de un átomo?

Esta forma de ver el proceso de produccióndel conocimiento compromete de inmedia-to la manera tradicional de concebir la objeti-vidad. Ahora, la objetividad del conocimien-to se ve como resultado de la crecienteactividad del sujeto cognoscente. Pero estees sólo el primer nivel en la constitución de laobjetividad del conocimiento. Un nivel másalto resulta de la coordinación de puntos devista, de la construcción de dominios con-sensuales a partir de la comunicación con losdemás. La epistemología constructivista hareconocido que la causa más frecuente deldesequilibrio cognitivo surge en el marco dela interacción social, cuando las personas to-man conciencia de las limitaciones de susconceptualizaciones al enfrentarlas a las delos demás.

Estas son, a grandes rasgos, algunas de lasideas de una epistemología abierta que, ellamisma, está en construcción permanente yque trata de responder a las exigencias de laciencia de hoy.

Referencias

Bonola, R. Non-Euclidean Geometry, Dover, NewYork, 1955.

Courant, R. , Robbins, H. ¿Qué es la Matemáti-ca?, ed. Aguilar, Madrid, 1962.

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Euclides, The Thirteen Books of the Elements, SirThomas Heath (ed y trad). Dover Publica-tions Inc., New York, 1956.

Heisenberg, W. La partie et le tout , Flammarion,Paris, 1972.

Lobachevski, N. Nuovi Principi della Geometria,Boringhieri, 1974.

Moreno, L. Waldegg, G. Variación y representa-ción: del número al continuo, EducaciónMatemática, vol. VII, No 1, 1995.

Poincaré, H. La Science et l´hypothese, Flamma-rion, París, 1902.

Popper, K, y Lorenz, K. El Porvenir está Abierto, Tus-quets, colección Metatemas, vol. 28, 1995.

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Graficación de funciones


En el contexto de la graficación de funcionesilustraremos el principio fundamental de quetoda acción cognitiva es una acción mediadapor instrumentos (materiales o simbólicos). Eneste contexto se puede vislumbrar claramen-te cómo el uso de la tecnología (la calculado-ra TI-92), transforma el tipo de conocimientoque logran construir los estudiantes.

Vamos a abordar el estudio de la graficaciónde funciones considerando a la calculadoracomo una ventana a través de la cual estudia-mos una fenomenología visual: las gráficasde las funciones. Esto deberá darnos un co-nocimiento sustancial de cómo funciona elplano cartesiano, cuando lo vemos a travésde las ventanas de la calculadora.

Desarrollaremos una serie de estrategias degraficación propias del contexto que habráque combinar con las estrategias analíticasque permitan confirmar los resultados que

sugieren las representaciones visuales. Sinembargo, a medida que vayamos desarro-llando mejores estrategias de graficación, elestudiante sentirá que esa intuición educaday respaldada por la tecnología, le da un crite-rio suficientemente sólido para saber si nece-sita o no, de la confirmación analítica

Cuando se utiliza la tecnología para graficarfunciones, la elección de la ventana de grafi-cación es el tema central. Por ejemplo, consi-deremos la función y(x) = x3 – 2x2 + x – 30 ygeneremos gráficas en las ventanas que seproponen en la figura 1.

En cada ventana se nos ofrece un paisaje di-ferente de la función, como cuando conoce-mos distintas partes de una ciudad. Tenemosentonces el problema de cómo integrar losdiferentes paisajes para obtener una visión deconjunto.

110

[-10, 10] x [-10, 10] [-10, 10] x [-30, 30] [-10, 10] x [-50, 50]

Figura 1

111


(2) Máximo(1) Creciente

El problema cognitivo al que se enfrenta aquíel estudiante es una manifestación de unpro-blema más general: ¿Cómo ir de un co-nocimiento fragmentado a un conocimientoholístico?

En el caso de la graficación de funciones, elconocimiento holístico se producirá cuando

tengamos una gráfica (de antemano una ven-tana de graficación especial) en la cualqueden en evidencia todas las característicasesenciales de la función. Y, ¿cuáles son estascaracterísticas esenciales? Observemos las si-guientes ventanas (figura 2):

(3) Inflexión (4) Asíntota

(6) Mínimo(5) Cero

Figura 2

Podemos imaginar que estas seis situacionesconstituyen las letras de un abecedario. Unagráfica holística de una función es una pala-bra de este lenguaje. Una función puede en-tenderse como un momento en la evoluciónde una familia de funciones, o también comouna palabra de la frase que nos habla de suevolución.

En el contexto de las funciones polinómicas,la gráfica de una de segundo orden puede ar-marse (visualmente) si conocemos un (único)máximo o mínimo y las intersecciones con eleje x (las raíces del polinomio).

Una función polinómica de tercer grado pue-de tener máximo, mínimo ó puntos de infle-xión y tres raíces. El resto es monotonía.

Problema 1: Determinar la ventana comple-ta9 de la función y = x4 - 8x2 + 1.

Empecemos por introducir la función que sequiere analizar. Esto se hace en el editor defunciones como se muestra en la figura 5.

Ahora demos valores para el dominio y con-tradominio de la función, es decir determine-mos una ventana de graficación. Considere-mos inicialmente lo que llamamos ventanaestándar10 siendo esta [-10, 10]2. En las figu-ras 6 y 7 se observa la elección de la venta-na y la gráfica de la función para ésta.

112


Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 3

9 Con ventana completa nos referimos a hallar aquella ventana que contenga una parte de la gráfica que muestra todas las característicasde la función. Las características a las que se hace referencia son: monotonía, raíces, valores extremos, puntos de inflexión y asíntotas.

10 Si x varía de a a b y y varía de c a d, denotamos la ventana de la siguiente forma: [a, b]× [c, d], para el caso en que x y y tengan la mismavariación se denota como [a, b]2.

Con la representación de la gráfica en ésta ven-tana se observa que las dimensiones no son lasadecuadas, ya que hay valores de x en dondeno se ve el valor para y y no se puede apreciartotalmente la gráfica; es necesario aumentar elrango. Bien, hagamos esto considerando aho-ra la ventana [-4, 4] × [-20, 10] (El valor de x

queda determinado por lo obtenido en la gráfi-ca anterior y con y se sigue probando). El resul-tado de esta nueva ventana se presenta en la fi-gura 8.

Ahora ya es posible ver el comportamientode la función en la parte inferior pero no sesabe qué ocurre con la superior, así que au-mentemos el valor de la y, considerando lasiguiente ventana [-4, 4] × [-20, 20] (figura9).

En este caso observamos que el comporta-miento de la representación anterior se man-tiene. Así que al parecer ya se tiene una ven-tana que contiene las características de lafunción. Pero falta determinar si ésta es o nola ventana completa.

Monotonía

¿Cómo se sabe que la función ya no baja, esdecir, que el comportamiento observado semantiene?

Para contestar esta pregunta recurramos a latabla para ver si efectivamente este compor-tamiento (el valor de y aumenta) se mantie-ne. En las figuras siguientes (figura 10 y figura11) se muestra cómo se hace la elección deun valor inicial para la tabla y un incremento,en este caso de 1, así como la tabla de la fun-ción.

113


Figura 9Figura 7

Figura 10

Figura 8

Observamos que los valores de y siempre au-mentan por lo que el comportamiento mos-trado se mantiene y el valor de la función alparecer ya no disminuye. Por lo cual, de la ta-bla, se puede conjeturar que la función esmonótona. Otra forma para determinar la mo-notonía de la función es usando el comandoderivada que se encuentra en F3, en la pan-talla HOME (figura 13).

Haciendo uso del comando factor de F2, fac-toricemos la derivada de la función (figura 14).

Tenemos que la derivada es:

4x(x - 2)(x + 2)

lo cual nos sugiere analizar los intervalos(- ∞,-2), (-2,0), (0,2) y (2,∞) para determinarsu comportamiento. Consideremos valores

114


Figura 11

Figura 12

Figura 13

De la tabla se observa que los valores de y

para las x mayores que 4 y menores de -4 vaaumentando, por lo que al parecer el com-

portamiento se conserva. Tomemos un in-cremento mayor, digamos de 10 y veamosque ocurre (figura 12)

dentro de estos intervalos y evaluémoslosen la derivada para determinar lo pedido(figura 15).

De lo anterior, se puede apreciar que la fun-ción se comporta de la siguiente forma:

En (-∞,-2) y en (0,2) es decreciente y en (-2,0)y en (2, ∞) es creciente, por lo cual se tieneque la función es monótona y el valor de y yano disminuye.

Esto nos confirma que la ventana escogidaes una ventana adecuada para representarla gráfica. Veamos las demás característi-cas de la función.

Ceros

Primero, sin hacer uso de la calculadora,notemos que la función dada es polinómi-ca de cuarto grado y en la gráfica se obser-va que se corta 4 veces el eje x, con lo cualse tendrían todos los ceros en esta ventana.

Usemos la tabla para ver esto (figura 16).

En este caso se observa que hay cuatro cam-bios de signo lo que nos señala 4 ceros;como la función es monótona no es posibleque haya más ceros, por lo cual todos estáncomprendidos en esta ventana.

Para determinar cuáles son éstos, observa-mos las marcas de los ejes; en la gráfica setiene que son aproximadamente:

-2.8, -0.4, 0.4 y 2.8.

115


Figura 14

Figura 15

Figura 16

Tratemos de verificar esto usando el coman-do ZoomBox de F2 en forma iterada; esto es,aplicando el comando a cada resultado. Encada caso se hace uso de F3 Trace para de-terminar el valor sobre el eje x.

Para aproximar el primer cero (empezandopor la izquierda) se tiene la siguiente secuen-cia de imágenes. La primera nos muestracómo se hace uso del comando (figura 17).

Realizando un procedimiento semejante, al-rededor de los otros ceros, se tiene lo si-guiente:

Segundo cero (figura 18)

Tercer cero (figura 19)

116


Figura 17

Figura 19

Figura 18

Cuarto cero (figura 20)

Con este desarrollo se tienen los siguientesceros (considerando sólo dos decimales y re-dondeando):

-2.81, -0.36, 0.36, 2.81

Finalmente hagamos uso del comando Zero

de F5; éste nos determina con precisión cadacero, indicándole un intervalo de la gráfica.(figura 21).

En la figura 21 se aprecia la secuencia de imá-genes en la forma en que se encuentra uncero. La figura 22 muestra los ceros.

117


2o. cero

3er. cero

Figura 20

Figura 21

1er. cero

Lo que nos dice que los ceros son:

-2.81, -0.36, 0.36 y 2.81.

Resulta interesante observar que los resulta-dos dados usando Zero son prácticamentelos mismos que los obtenidos con el Zoom.

Valores extremos

Empecemos analizando la tabla de la funcióny veamos dónde se presentan los valores mí-nimos y máximos (si los hay) de la función. (fi-gura 23)

Se observa que el valor más pequeño quetoma la función es -15, tomando este valoren x = -2 y x = 2, así como también que no se

puede determinar un valor mayor, es deciruno que exceda a los demás, por lo cual sepuede concluir que hay dos valores para x enque se tiene un valor mínimo absoluto y nohay valor máximo absoluto.

Introduzcamos la derivada (la cual se presen-ta en y2 ) en el editor de funciones y vayámo-nos a la tabla (figura 24)

118


Figura 23

4o. cero

Figura 22

En esta vemos que la derivada es cero enx = -2, x = 0 y x = 2 lo que nos sugiere que enéstos puntos se presentan valores extremos.Junto con el análisis de la tabla para la fun-ción observamos que en x = 2 y x = -2 se tie-nen mínimos, pero en cero no se nota nin-gún comportamiento especial por lo queprobablemente en este valor se tenga un va-lor extremo local.

También es posible determinar los valoresextremos usando los comandos Minimum y

Maximum de F5. Con éstos, encontramos losvalores extremos considerando intervalos.(figura 25).

Se observa que efectivamente en x = –2 yx = 2 se tiene un mínimo mientras que enx = 0 se presenta un máximo local.

Del análisis realizado a la gráfica, observa-mos que la ventana sugerida como la apro-piada cumple con las características quedebe tener una ventana completa (en ella es-tán las raíces, los valores extremos y se tieneque, por fuera de ella, la función es monóto-na) por lo que podemos decir que la ventana[-4, 4] x [-20, 20] es la ventana completa11 dela función y = x4 – 8x2 +1.

Problema 2: un ejemplo más degraficación

Trabajaremos con la función:y = x10 - 100x9 + 30x8 - 7x4 + x - 100 para discu-tir otras herramientas útiles en la graficaciónde funciones. Intentaremos encontrar la ven-

119


Figura 25

Figura 24

11 En este caso se necesitaron muy pocos intentos para hallar la ventana completa. No siempre resulta tan fácil de encontrar, incluso enocasiones no es posible determinarla. Esto queda de manifiesto en el siguiente problema.

tana completa de graficación, es decir, laventana que muestre los elementos más im-portantes de la función y.

Daremos la primera imagen de la función enla ventana estándar de graficación cuyas di-mensiones son: [-10, 10] × [-10, 10] con unaescala12 en x igual que en y, esto es, de 1.

La función y dada, es polinómica, por lo cualsabemos que está definida para todo valorreal de x y es continua en dicho dominio.Realmente esperábamos una imagen distintaque la recta vertical que muestra la ventanaestándar (figura 26).

Un elemento importante por rescatar, enesta ventana de graficación, es la presenciade un cero. La escala en el eje x nos permiteaproximar el valor de la x donde se encuen-tra el cero de la función. En este caso pode-mos acotarla en el intervalo [-2, 0].

Ampliaremos la ventana de graficación paratener otra visión de la función; el dominio dela función nos permite realizar tal acción.Usaremos la ventana [-25, 25] × [-50, 50] conescala en x = 5 y y =10 (figura 27).

La ventana nos muestra nuevamente una lí-nea recta que se encuentra muy cercana aleje y. Quizás estemos trabajando con unaventana pequeña, la cual no llega a contenertodas las características de la función. Inten-temos entonces con una ventana más gran-de como lo es [-50, 50] ´ [-150, 150] con es-cala en x = 25 y en y = 50 (figura 28).

Elegimos el intervalo del dominio más pe-queño que el del rango por el hecho de teneren la ventana anterior, que el rango era insu-ficiente para los valores dados.

120


Figura 27

Figura 28

Figura 26

12 Los comandos xscl y yscl que aparecen en la ventana WINDOWS, los denotaremos como escala en x y escala en y, tratándose en reali-dad de marcas o señalamientos en dichos ejes, de acuerdo con el número asignado en tal comando.

En esta ocasión apreciamos un cambio en lagráfica de la función. Podemos ver que de-crece y en algún momento cambia de “direc-ción”; de los valores negativos del dominio alos valores positivos.

Puesto que hemos visto un comportamientosimilar en las tres ventanas anteriores pode-mos conjeturar que la función se comportade manera decreciente.

Investiguemos qué está pasando cerca deleje y; para ello, tenemos que proporcionaruna nueva ventana de graficación buscandoacotar el valor de x donde se encuentra laraíz de la función.

La ventana [-5, 5] × [-150, 150] con escalax =1; y = 50, puede servirnos para tal fin (fi-gura 29).

Esta ventana presenta un escalón en la función.Intentemos verlo más de cerca. La informa-ción que obtenemos de la ventana actual esque la intersección se da aproximadamenteen x =1. El escalón se forma en y = -100 y vadesde -1 a 1.

Optemos por una ventana más reducida:[-1.5, 1.5] × [-300, 100] con escala:x = 0.5 y = 10 (figura 30).

Apreciamos el escalón en la función pero, novemos qué es lo que realmente está suce-diendo en este intervalo para que la gráficase muestre de tal forma.

Importancia de la tabla en lagraficación de funciones

Recurrimos a la tabla para identificar los valo-res que está tomando la función en el interva-lo [-1, 1] que es donde se presenta el escalón.Podríamos efectuar esta observación de valo-res a partir de la misma gráfica, haciendo usode F3 Trace, pero nos veríamos limitados alos valores de la gráfica únicamente, mientrasque en la tabla podemos manipular los valo-res de la función para analizar el comporta-miento de los mismos de manera global.

En este caso mostraremos los resultados deuna tabla que inicia en x = -1.5 y presentaun incremento de 0.1 (figura 31). La fun-ción y = x10 - 100x9 + 30x8 - 7x4 + x - 100, estádesignada en la tabla como y1.

Observemos que la función está decrecien-do en este intervalo tomando valores positi-vos, hasta que llega a x = -0.9, donde se gene-ra un cambio de signo, lo cual es señalinequívoca de la presencia de un cero de la

121


Figura 29

Figura 30

función entre los valores de -1 y -0.9. Por otrolado, avanzando en la tabla de -1 a -0.3, po-demos distinguir un comportamiento impor-tante entre los valores presentes en la tabla(figura 31).

El valor más pequeño identificado en esta tablaes el de y = -100.6 que se da cuando x = -0.5.Puesto que los valores adyacentes a y =100.6son mayores, concluimos que este valor es elde un mínimo de la función, que considerare-mos local, por el momento.

Continuando con esta tabla de incrementosde 0.1, nos enfocamos en la tabla que iniciaen x = 0.0 (figura 32).

En esta tabla el valor más grande es el dey = -99.76, el cual se genera al evaluar la

función en x = 0.3. Ya que los valores adya-centes a y = -99.76 son más pequeños,concluimos que tal valor es un máximo dela función.

Las observaciones extraídas de la tabla sondignas de apreciar gráficamente. Tenemoselementos suficientes para proponer unaventana de graficación que encierre estascaracterísticas de la función. Veamos lagráfica de la función en la ventana[-1.5,1.5] × [-103,-97] manejando una esca-la de x = 0.5 y y = 5 (figura 33).

Aquí tenemos el escalón que nos aparecíacon anterioridad; realmente escondía un mí-nimo y un máximo. Recurriremos a la herra-mienta algebraica presente en la pantallaHOME para verificar cada uno de los elemen-tos o características de la función encontra-dos hasta ahora, a través de las gráficas de lafunción, así como la tabla de valores de lamisma.

Monotonía

Tratemos de confirmar la monotonía latenteen las gráficas, de naturaleza decreciente an-tes de x = -1.5 y después de x = 1.5.

Visualizaremos esta característica haciendouso de la tabla de valores de la función.

122


Figura 32

Figura 31

Figura 33

Barriendo hacia atrás la tabla, vemos que losvalores están decreciendo (figura 34). Por otrolado observando la tabla de la figura 35, seaprecian dos comportamientos de la función:primero, la función decrece y luego crece.

Cuando decrece llega a tener un valor muygrande, esto negativamente hablando ya queen x = 81.5 se tiene y = -3 x 1018 y cuandocrece, a partir de x =101.5, toma valores posi-tivos muy grandes (y = 2.1 × 1018) es decir, lafunción en algún momento intersecta al ejex, lo cual significa que tenemos otra raíz de lafunción.

Contamos con la estrategia de depurar la ta-bla en el intervalo [81.5, 101.5]. Pero, paraaproximarnos al lugar donde se encuentra la

raíz de la función, lo que haremos en cambioserá remitirnos a la gráfica en una ventanaque contenga a dicho intervalo, para integrarla información obtenida de la segunda tabla(figura 35) e ilustrar el comportamiento de lafunción.

La ventana [50, 102.5] × [-4×10I8, 4×1018]con escala: x = 5; y = 1 × 10l0, nos servirá paradistinguir los cambios presentes en la fun-ción. Veamos la función en este recuadro delplano cartesiano (figura 36).

Ahora intentaremos integrar el máximo y mí-nimo, así como el cero encontrado en el in-tervalo de [-1.5, 1.5].

Presentaremos la gráfica de la función en[-5, 102.5] × [-4 × 1018, 4 × 1018] como venta-na de graficación con escala en x = 10,y = 1 × 1010 (figura 37).

123


Figura 34

Figura 35

Figura 36

Figura 37

La ventana ha podido capturar un mínimo dela función, pero no vemos nada cerca del eje y,que es donde se encuentran los elementos res-tantes de la función, máximo, mínimo locales,y el cero de la función. La falta de apreciaciónen la gráfica de los elementos anteriores, sedebe a la diferencia tan grande que existe en-tre los valores a comparar: mínimo local y míni-mo absoluto, además de las limitaciones quetenemos por las dimensiones de la pantalla degraficación. Posteriormente se presentarán ydiscutirán algunos problemas propios de la cal-culadora en el ámbito de graficación.

La situación anterior nos plantea la dificultadde encontrar una ventana completa de grafica-ción que muestre los elementos o característi-cas principales de una función. Fue necesariohacer uso de la tabla de valores de la funciónpara rescatar información de la misma.

Ahora bien, no podemos afirmar que los ele-mentos que hemos logrado capturar en lasventanas de graficación, así como en la tablade valores, sean los únicos importantes de lafunción. Estamos comprometidos a confir-mar algebraicamente los elementos encon-trados en nuestro análisis gráfico y aritméticode la función y de la misma manera, tenemosque verificar si son los únicos comportamien-tos importantes de la función. Esto lo lograre-mos haciendo uso de la herramienta alge-braica de Cálculo Diferencial.

Procedemos a realizar este análisis en la ven-tana de HOME.

Ceros

Para encontrar los valores del dominio quehacen posible anular la función o bien en-contrar los ceros de la misma, tenemos variasopciones:

– Por el hecho de tratarse de una funciónpolinómica, podemos factorizar la fun-ción dada y con los factores lineales, de-terminar los ceros.

En la ventana HOME, tenemos dentro de F2

Algebra, el comando factor el cual nosproporciona la factorización del polinomio(figura 38).

Por supuesto la factorización comprendefactores lineales que determinan los ceros dela función, pero he preferido presentarlas enotra de las opciones que tenemos para en-contrar raíces de una función. La factoriza-ción también puede presentar factores cua-dráticos que pueden generar dificultades enla identificación de las raíces.

– En F2 Algebra, contamos también con elcomando solve, el cual resuelve ecua-ciones dadas (figura 39). Los ceros de una

124


Figura 39

Figura 38

función se encuentran resolviendo laecuación que se obtiene al igualar a ceroel polinomio.

Esta instrucción dentro de la calculadora, nosfacilita la lectura de los ceros de la funciónpolinomial.

– Una tercera forma de encontrar los cerosde la función es con el comando zeros,que aparece en F2 también.

Máximos y mínimos

El Cálculo Diferencial nos brinda la forma deencontrar los valores en los cuales se presen-tan los máximos o mínimos de una función,esto a través de la primer derivada de la fun-ción. La ventana HOME cuenta con un menúde cálculo, en el cual encontramos en coman-do d(differentiate), que nos proporcio-na la derivada de una función. Para nuestroejemplo, necesitamos determinar la derivadade la función para encontrar los puntos críti-cos de la misma, en los cuales se tienen losmáximos o mínimos de la función; estos losobtenemos igualando a cero la derivada ante-rior, o usando el comando zeros.

Utilizaremos en esta ocasión, el comandozeros, que se había mencionado con ante-rioridad.

Deseamos conocer los valores de la funciónen estos valores críticos que hemos encon-trado. Procederemos entonces a evaluar lafunción en dichos valores. En este caso hare-mos uso de la instrucción “tal que”, compara-remos los valores de la función y los clasifica-remos como mínimos y máximos locales oabsolutos (figura 41).

Si bien, la foto de la pantalla HOME no nosmuestra la instrucción completa para evaluar lafunción en los puntos críticos, podemos dedu-cir que el primer valor de x es -0.48307 y nosproporciona un mínimo local comparándolocon el último valor de la pantalla, que se tratade un mínimo absoluto. El valor intermedio enla pantalla x = 0.3269 es un máximo local.

El comportamiento de la derivada nos ilus-tra sobre el comportamiento de la función.Podemos realizar una comparación de di-chas funciones para visualizar la monoto-nía. Esto lo podemos efectuar desde la ta-bla de valores (figuras 42 y 43).

Estas dos tablas no ilustran todo el comporta-miento, pero ejemplifican la situación en lacual podemos comparar la derivada con lafunción. Si la derivada es negativa, la funciónes decreciente, si la derivada es positiva lafunción es creciente.

125


Figura 40

Figura 41

Las herramientas con las que cuenta la calcu-ladora TI-92, facilitan el manejo del cálculopara distinguir las componentes esenciales eimportantes de la gráfica de una función, asícomo las diferentes formas en las que se pue-de representar.

Algunos problemas que surgen algraficar funciones en la TI-92

Cuando se empieza a graficar en la calcula-dora TI-92 es inevitable encontrarse con algu-nos problemas. A continuación analizamosalgunos de ellos.

1) Graficar la función y = x en la ventana[-10,10]2 (figura 44).

Visualmente la gráfica es una recta que noestá a 45° con respecto al eje x.

Si graficamos con una ventana de tamaño[ -10, 10 ] x [-5, 5] (figura 45).

Parece que la recta ahora si está a 45°. En F2

apliquemos ZoomSqr (figura 46).

Visualmente puede uno aceptar que la gráfi-ca si está a 45°. Si nos vamos a WINDOW nosencontramos con las siguientes dimensionesde la ventana de graficación:

126


Figura 44Figura 42

Figura 43

Figura 45

Figura 46

[-11.6666666667, 11.6666666667] ´ [-5, 5]¿Qué está pasando?

2) Graficar la función y x= 25 2– en la ven-

tana [-10,10]2 (figura 47).

Visualmente la gráfica no parece una semi-circunferencia. Grafiquemos en la ventana[-10,10] ´ [-5,5] (figura 48).

Visualmente la gráfica parece una semicir-cunferencia. Sin embargo, al aplicar la fun-ción ZoomSqr obtenemos la siguiente gráfi-ca con dimensiones[-11.6666666667, 11.6666666667] ´ [-5, 5].

Además, observamos que la gráfica no sepega al eje x. ¿Qué está pasando?

3) Graficar la función yx

x=

2 4

2

–

–en la venta-

na [-10,10]2 (figura 49).

La gráfica es una recta. Apliquemos la fun-ción ZoomSqr (figura 50).

Observamos una recta. La función yx

x=

2 4

2

–

–presenta un problema en x = 2.

Si nos vamos a la tabla, encontramos quecuando x = 2 la función está indefinida (figura51).

¿Por qué el problema que muestra la expre-sión algebraica y que también muestra la ta-bla no lo muestra la gráfica?

Sabemos que la ventana de graficación de laTI-92 tiene 239 pixeles horizontales y 103 ver-

127


Figura 49

Figura 47

Figura 48

Figura 50

ticales. Estas dimensiones nos sugieren venta-nas de graficación convenientes a nuestrastres funciones.

La ventana de graficación con dimensiones[-119, 119] × [-51, 51] nos dice que cada pun-to de los ejes que representan números ente-ros cae sobre un pixel. Si consideramos lasdimensiones [-11.9, 11.9] × [-5.1, 5.1] nueva-mente cada punto de los ejes que represen-tan números enteros cae sobre un pixel y ade-más, del cero al 1 hay 10 pixeles.

Sugerimos entonces la ventana de graficacióncon dimensiones [-11.9, 11.9] × [-5.1, 5.1]para las tres funciones consideradas anterior-mente. Las gráficas de dichas funciones que-dan como lo muestra la figura 52:

Existen muchas funciones con sus problemasparticulares. Para dar una explicación de porqué se presentan dichos problemas, creemos

que es importante no olvidar que la pantallade graficación está compuesta por 239 pixe-les horizontales y 103 verticales.

Las asíntotas

Algunas funciones tienen comportamientosasintóticos. Es claro que la asíntota no es par-te de la gráfica de la función; sin embargo, enocasiones la usamos para tener una mejorcomprensión de las características de la fun-ción ¿Cómo abordar esta situación cuandograficamos este tipo de función en la TI-92, detal manera que no se forme en la mente delalumno una imagen errónea de la gráfica dela función?

Veamos, en una primera situación, la gráfica

de yx

= 1

2–. La primera imagen de esta fun-

128


Figura 52

Figura 51

ción, puede ser algo parecido a lo que obser-vamos en la figura 53, cuya ventana de grafi-cación es [-10,10]2 con xres = 1.

En esta primera imagen, observamos:

a) antes de x = -9, la función está sobre eleje x

b) cuando x es aproximadamente igual a 2,aparece una recta vertical

c) después de x = 5, la función se “pega” aleje x.

Apoyándonos en el comando Trace, po-demos decir, del inciso a), que a pesar deque se confunden la función y el eje x, losvalores de y no son cero. Del inciso b) po-demos decir que la recta pasa por los pun-tos (1.93, -14.87) y (2.01, 59.5), lo quemuestra que la recta no es vertical, a pesarde verse así. Con respecto al inciso c), lo quese observa, es que la gráfica de la función seacerca al eje x. En relación con el inciso b) esposible comentar que este segmento es unaaproximación de la asíntota, aclarando queno es ésta, ya que toca a ambas ramas de lagráfica. Esto se observa si se cambia a la ven-tana [-10, 10] ´ [-15, 60], tal y como se mues-tra en la figura 54:

Para evidenciar la existencia de la asíntota,podemos recurrir a la tabla (TABLE) y obser-var qué pasa con los valores de la funcióncuando x se acerca a 2 por ambos lados (fi-gura 55).

Al cambiar los valores del incremento, to-mando como inicio el valor de 2, es notorioque cuando x se acerca a 2 por valores me-nores que éste, los valores de la función de-crecen cada vez más. Cuando x se acercapor valores mayores a 2, la función crece. Latabla también aclara el hecho de que si x = 2,la función está indefinida.

Si el alumno ha trabajado con límites, es posi-ble ir a HOME y calcular los límites lateralespara confirmar el comportamiento asintótico(figura 56).

129


Figura 54

Figura 53

Figura 55

La pregunta que surge de forma natural es,¿cómo hacer la gráfica en la TI-92, sin que apa-rezca ese segmento (la asíntota)? Lo únicoque se necesita es obligar a la TI-92 a tomarcomo valor de x para la graficación el valorde 2 (figura 57):

En este caso, la forma de obligar a la TI-92

para que tome el valor de x = 2 y construirla función, consiste en tomar un intervalodonde el 2 sea punto medio. Precisamentela mitad, ya que 238 tiene como divisor a 2.Así pues, en el caso mostrado, partimos dex = -3 y al asignar valores de x a los pixeles,los primeros 119 pixeles se utilizan paraconstruir la gráfica antes de x = 2, y losotros 119 para el resto de la gráfica. Esta esuna forma sencilla de eliminar el problemade la asíntota.

Veamos, como segundo ejemplo, la gráfica de

yx

x=

3

2 9–. Tomemos como ventana de inicio,

la ventana estándar, [-10,10]2 (figura 58).

En este caso, aparecen dos asíntotas. Paraver más de la gráfica, podemos incrementarel intervalo en y. Este incremento en reali-dad no afecta a las asíntotas. El cambio quees necesario hacer para eliminarlas, es enlos valores de x. ¿En qué intervalo se podráneliminar las asíntotas? Si seguimos el proce-dimiento usado en el ejemplo anterior, sólopodremos eliminar una de las asíntotas (fi-gura 59):

Lo que queremos es que la TI-92 evalúe la fun-ción en x = -3 y x =3. Veamos una forma dehacerlo, siguiendo el procedimiento mostra-do al inicio de esta sección.

130


Figura 57

Figura 56

Figura 58

Figura 59

Primero determinamos el valor de x en elcual deseamos que inicie el intervalo, porejemplo x = -6. Queremos que el intervaloen x termine en un valor lo más aproxima-do posible a 6, para que el eje y quedeaproximadamente a la mitad. El intervalode graficación consta entonces de 12 uni-dades. Si dividimos 238 pixeles entre 12unidades, tenemos 19.8333 pixeles porunidad. Tomando el entero más próximo aeste valor, podemos decir que por cada 20pixeles tendremos una unidad en el eje x,es decir 20 pixeles por unidad. Para cono-cer el otro extremo del intervalo, dividimoslos 238 pixeles entre los 20 pixeles por unidad,para obtener 11.9 unidades. Como nuestrovalor de inicio es -6, sólo nos falta sumarlelas 11.9 unidades de toda la ventana y ob-tenemos el extremo del intervalo, x = 5.9.Veamos la gráfica en el intervalo encontra-do: [-6, 5.9] ´ [-25, 25] (figura 60).

Creemos que esta información debe cono-cerla el profesor que utiliza la TI-92 en la ense-ñanza de la graficación de funciones y hacernotar a sus alumnos que la asíntota no es par-te de la gráfica de una función; si la calcula-dora muestra las asíntotas es por situacionesde diseño y de ajuste de un continuo en algodiscreto.

Ejercicios

1. Estudiar y(x) = – 3x2 + 12x + 5 en:

i. [0, 5] × [0, 5]ii. [-10, 10] × [-10, 10]iii. [-5, 10] × [-10, 20]

2. Estudiar la función y xx

x1

2 1

2( )

–= +

en la ven-

tana [-10, 10] × [-20, 20].

Observando quex

x xx

2 1

2

5

22

+ = + +– –

( ) graficar

en la ventana anterior y2(x) = x + 2 y analizarlas diferencias entre las gráficas de y1 y y2.

3. Graficar la función g( ) –xx x

= +7 81

4 2en

[-5, 5] × [-5, 10] y estudiar su comportamiento.

4. Graficar la función ƒ(x) = x2 + 3 en cadauna de las siguientes ventanas y discutir so-bre sus observaciones:

a) [-2, 2] × [-2,2]b) [-4, 4] × [-4, 4]c) [-10, 10] × [-5, 30]d) [-50, 50] × [-100, 1000]

.

5. Graficar la función y = x3 – 49x en las ven-tanas:

a) [-10, 10] × [-10, 10]b) [-10, 10] × [-100, 100]c) [-10, 10] × [-200, 200]

Pérdida de información entrepixeles

Consideremos la gráfica de la función y = cos x

en la ventana [-6, 6] × [-1.5, 1.5], con unaxres = 1 (figura 61).

131


Figura 60

Si hacemos un ZoomBox (ancho de un pixel aotro) como se muestra en la figura 62, obser-vamos una recta casi horizontal:

Haciendo este zoom en cualquier parte dela gráfica, siempre encontraremos un com-

portamiento muy parecido al anterior:aproximadamente una recta, con una pen-diente muy pequeña (horizontal en algu-nos casos).

Ahora consideremos la gráfica de la funcióny = cos 2x en la misma ventana de y = cosx (fi-gura 63).

Haciendo el ZoomBox que aplicamos ante-riormente, observamos algo muy parecido alo anterior (figura 64):

A continuación se muestran una serie de fi-guras que muestran las gráficas de y = cos kxen la misma ventana, para distintos valoresde k así como también un ZoomBox (comolos anteriores) representante para cada grá-

132


Figura 62

Figura 61

Figura 63

Figura 64

fica; en algunos casos hemos añadido unarecta con el comando Line. Esta rectapasa por el punto que está más a la izquier-

da en la pantalla y el punto que está más ala derecha (figuras 65 a 72):

133


Figura 65: y = cos (10x)



134





No esperábamos que fuese a aparecer unagráfica como la última. Los zoom añadidosnos dan información del por qué ocurre esto.Recordemos que el zoom es entre dos pixe-les consecutivos en dirección x, y que al grafi-car en la TI-92, lo que se hace es tomar puntosde la función y después unirlos con una líneao segmento. Al principio, la línea que une losdos pixeles consecutivos, sustituía a la líneaque se observa en el zoom. Al incrementar elvalor de k, la línea empezó a sustituir com-portamientos más complejos.

Pero, ¿por qué aparece una función parecidaal coseno en el último caso? Obsérvese que

en este caso la pendiente de la recta es muypequeña, y lo mismo ocurre para cualquierzoom que se haga a la gráfica. Esto quiere de-cir que dos pixeles sucesivos en x determi-nan valores sucesivos de y que están cerca-nos y además entre pixel y pixel se escondesiempre una misma longitud de la curva delcoseno de x.

Para confirmar lo expresado en el párrafo an-terior, vayamos a la tabla de valores de estafunción. Hagamos que la tabla muestre losvalores utilizados para la gráfica de la fun-ción (figura 73):

135




Tomemos dos valores consecutivos cuales-quiera de x, por ejemplo: 0.201681 y0.151261. Estos son dos valores asignadosa pixeles consecutivos. Como la funcióngraficada es y = cos(500x), calculemos losvalores del argumento para estas cantidades:[500 (0.20168) = 100.841; 500 (0.15126) = 75.6305].La función coseno es evaluada para estosdos valores consecutivos, pero ¿qué distan-cia hay entre estos dos valores? La distanciaes 100.841-75.6305 = 25.2105 = 8.02475π= 4(2π) + 0.02475π.

Esto quiere decir que, sabiendo que el perio-do del coseno es de 2π, entre dos pixeles hay4 veces el periodo y un cachito. Es este cachi-to el que hace la diferencia en y para dos va-lores consecutivos de x, y es el responsablede un comportamiento que aparente sercomo el de la función coseno.

De este análisis resulta algo muy interesan-te. ¡Es posible construir una recta con la fun-ción coseno! Para hacerlo sólo basta asegu-rarnos que la distancia entre dos pixelesconsecutivos sea igual a 2π o un múltiplopar de π. Un intervalo donde esto se cumplees [-238π, 238π]. Entonces hagamos la gráfi-ca de y = cos x en [-238π, 238π] × [-1.5, 1.5](figura 74):

Si hacemos un ZoomBox como los que hemoshecho anteriormente, ¿que va a aparecer?

Ejercicios

1. Graficar y = sen(50x) en las ventanas:

a) [-15, 15] × [-1.5, 1.5]b) [-14, 14] × [-1.5, 1.5]c) [-10, 10] × [-1.5, 1.5]d) [-8, 8] × [-1.5, 1.5]e) [-5, 5] × [-1.5, 1.5]

El comportamiento tan sorprendente de lafunción y = sen(50x) puede explicarse me-diante el periodo de la función:

Como senx tiene periodo 2p entonces

sen50x tendría periodo2

500126

π= . . Es decir

que, en un intervalo de longitud 0.126 ve-mos, de la función sen50x, lo mismo que ve-mos de la función senx en un intervalo delongitud 2π.

Ahora podemos entender lo que ocurre enlas ventanas de graficación elegidas. Si eldominio de la función es grande, habrá mu-cho espacio para las rápidas oscilacionesde sen50x. Sin ser aleatorio el comporta-miento es bastante accidental. Hagamosun ZOOM alrededor del primer cero positivode y = sen(50x) graficada sobre [-10, 10].

136


Figura 74

Figura 73

2. Graficar la función y xx= +sen

cos100

100en

las ventanas:

a) [-7, 7] × [-1.5, 1.5]b) [-0.1, 0.1] × [-0.1,0.1]c) Hacer un ZOOM alrededor de un máximo

de la función

3. Graficar yx=sen( )40

¿Cuál será una venta-

na adecuada para estudiar la gráfica de estafunción?

4. Estudiar la función y x=32cos en las ventanas:

a) [-4, 4] × [-3, 3]b) [-4, 4] × [-1, 3]c) [-4, 4] × [-0.5, 3.5]

Dificultades en la graficacióninherentes a la función dada

Hemos visto cómo en la TI-92 podemos obte-ner la representación gráfica de algunas fun-ciones por complicadas que éstas sean. Pero,hay ciertas funciones de las que no es posibleobtener su representación gráfica, ni siquieracon la calculadora, debido a que éstas tienenun comportamiento muy variable en algún in-tervalo o en todo su dominio. La calculadoranos permite ver este comportamiento, lo cualno es posible con papel y lápiz.

Analizaremos la función13 f(x) = x sen1

x

. Co-

menzando con la ventana [-10,10]2 obtene-mos la pantalla que se presenta en la figura 75.

La gráfica que nos presenta la pantalla noparece corresponder a la función, pues se

esperaría ver oscilaciones, por el sen(1/x)que está en juego; entonces es necesarioexplorar qué está pasando en las cercaníasde cero. Elijamos ahora la ventana[-1, 1]×[-1•2,1.2] para acercarnos más acero. En la figura 76 podemos ver algunasoscilaciones.

Pero aún no es claro el comportamiento dela función alrededor de cero. Haciendo un

137


Figura 75

13 Esta función no está definida en cero, sin embargo la calculadora le asigna el valor cero.

ZoomBox para acercarnos más y ver con másdetalle qué pasa alrededor de cero, vemos losiguiente en la figura 77.

Ahora nos damos cuenta que por problemasde espacio en la pantalla las oscilaciones nose veían.

Hacemos un ZoomIn con centro en cero y lapantalla nos muestra algo como en la figura 78.

Aquí se empieza a presentar el problema delos pixeles que ya se explicó anteriormente ylas oscilaciones están deformadas; pero po-demos ver que entre más se acerca a cero,más oscila la función. Si usamos el comandoTrace podemos darnos una idea de los pun-tos que la máquina ha ido conectando consegmentos de recta.

Aplicamos ZoomIn una vez más y lo que ve-mos en la pantalla es lo que aparece en la fi-gura 79:

El comportamiento sigue siendo el mismo.¿Cuál es la información que podemos obte-ner de la exploración que hemos estado ha-

138


Figura 77

Figura 76

Figura 78

Figura 79

ciendo a través de los acercamientos con elZoom?

Cuando una función tiene un comporta-miento no tan variable, si hacemos acerca-mientos a un intervalo muy pequeño con elZoom, terminamos viendo en la pantalla unarecta. Pero en el caso de esta función vemosque la gráfica está cada vez más complicada.Entonces podemos interpretar lo que nosmuestra la pantalla como una prueba visualde que la función no es derivable en cero. Yefectivamente esto se verifica calculando laderivada en cero, usando el menú F5.

A continuación analizamos lo que pasa con

la función: ƒ( ) ( )x x=

=

∞

∑ 2

39

1

n

n

n

cos π conocida

como función de WEIERSTRASS. Para que lacalculadora pueda darnos una representa-ción en la pantalla gráfica, tomemos la suma-toria de 1 a 8, es decir:

ƒ8( ) ( )x x=

=∑ 2

39

1

8n

n

n

cos π

Usando la ventana de [-5, 5]2 obtenemos unaimagen como la de la figura 80:

Vemos una representación muy complicada;entonces, hacemos un ZoomBox para obser-var en detalle una parte muy pequeña de la

gráfica. La figura 81 nos muestra la parte quetomamos para el ZoomBox y el resultado:

Vemos el mismo comportamiento en unaparte muy pequeña de la gráfica. Hacemos

139


Figura 80

Figura 81

un nuevo ZoomBox como se muestra en lafigura 82:

El comportamiento sigue siendo igual. Hace-mos un ZoomBox nuevamente tomandouna parte todavía más pequeña (figura 83):

Observamos que el comportamiento siguesiendo complejo; donde parecía que sola-mente había un par de ondas, resultó habermuchas. Haremos ahora un ZoomBox enuna parte que parece ser un segmento derecta; observemos el resultado en la figura84.

Con lo anterior es suficiente para convencer-se de que la función ƒ es imposible derectificar; pero hemos observado su compor-tamiento y lo que pasa es que esta funciónno es derivable en ningún punto.

140


Figura 84

Figura 83

Figura 82

Ideas geométricas delcurrículum presentadas

mediante el Cabri Géomètre


1. Introducción

Actualmente, ante las propuestas que se ha-cen al profesor y al sistema educativo en suconjunto para que se adopten las nuevas tec-nologías, los didactas deben tener respues-tas claras. Respuestas a preguntas como ¿por

qué introducir la calculadora para la enseñan-

za de la geometría?

Sabemos que una parte sustancial de la geo-metría se refiere a temas que se tratan con re-gla y compás. Por ejemplo, dado un segmen-to dividirlo en tres partes iguales, usandosólo compás y regla (¡sin marcas!); construirun triángulo equilátero cuyos lados sean con-gruentes a un segmento dado; dados unarecta l, un punto P sobre l y un punto Q exte-rior a l, construir un círculo que pase por Q ysea tangente a l.

Todos estos problemas, y muchos más desdeluego, pueden ser resueltos con regla y com-pás. Por ejemplo, veamos cómo construir untriángulo equilátero conociendo su lado.

El segmento AB es el lado propuesto. Conuna abertura del compás de A hasta B, traza-

mos dos circunferencias, una con centro enA y la segunda con centro en B. Elijamos C,uno de los puntos de intersección de estasdos circunferencias.

Ahora bien, ¿qué añade a esta construcciónel realizarla en un medio de geometría diná-mica como CABRI GÉOMÈTRE? Este es el tipode preguntas que tendremos que responder.

Una lista preliminar de las características delmedio geométrico dinámico que vamos a es-tudiar en las páginas siguientes es:

141

Figura 1

– La capacidad de arrastre (dragging) de lasfiguras construidas favorece la búsquedade rasgos que permanecen vivos durantela deformación a que las sometemos.Estas propiedades invariantes, constitu-yen las genuinas propiedades geométricas.El objeto geométrico queda definido porestas propiedades.

– El uso extensivo de locus y trace (hue-lla que deja una figura geométrica cuandose le arrastra) para visualizar y descubrirhechos geométricos.

– La animación de figuras para presenciar elproceso constructivo de un hecho geo-métrico.

Es claro que estas características (entre mu-chas otras) incorporadas al medio dinámicoCABRI GÉOMÈTRE, nos van a permitir una ex-ploración geométrica mucho más a fondoque la posible con regla y compás clásicos.Bajo las deformaciones convenientes que sehagan, usando el movimiento en nuestro pla-no geométrico, podremos apreciar propie-dades invariantes difíciles de apreciar conotros medios.

2. El currículumy la geometría dinámica

Uno de los ejes curriculares lo constituye elPensamiento Geométrico. Debemos abor-dar este eje temático con la voluntad deabandonar un estilo de enseñanza que favo-rece la memorización de hechos aislados yadoptar un estilo que estimule y cree lascondiciones para una comprensión másconceptual. Esto puede lograrse medianteun ambiente de aprendizaje (el suministra-do por CABRI GÉOMÈTRE) que dé al estudian-te herramientas para construir un medio ex-presivo de sus ideas. Por ejemplo, si un

estudiante tiene la creencia de que ciertoángulo de una figura siempre mide 90 gra-dos, puede arrastrar uno de los lados de lafigura, moverla, etc., para ver qué pasa conel ángulo bajo estudio.

Esas incipientes exploraciones, que el em-pleo del instrumento informático le permitiráir profundizando, ya denotan un aumento enla capacidad expresiva del estudiante. En unmedio clásico de papel y lápiz, el estudiantecontempla la figura y si no logra dar una de-mostración convincente de la validez de suconjetura, no sabremos cuál ha sido su trende pensamiento.

Esto ocurre pues no resulta natural para el es-tudiante tratar de volcar sobre la hoja susideas. Entonces, estando en posesión de estemedio, podemos considerar como desea-bles los siguientes temas:

– la exploración dinámica de conjeturas

– el uso de la actividad exploratoria comomedio para el desarrollo de conceptos

– la organización (deductiva) de coleccio-nes pequeñas de resultados (en otros tra-bajos hemos hablado de organizacioneslocales).

Debemos proponernos un empleo innovati-vo de la tecnología. Esta innovación incluyeun primer nivel de comprensión de un pro-blema que es el visual, pero acompañado deinstrumentos de control que suministran elmedio dinámico como son la medición y ve-

rificación de propiedades. Esto es muy impor-tante pues inicia el camino hacia la sistemati-zación y verificación sistemática de loshechos geométricos. Todo esto desemboca,en una segunda etapa, en la construcción de

demostraciones cada vez con un mayor nivelde formalización.

142


3. Del dibujo al objeto geométrico

La confusión entre un dibujo y el objeto geo-métrico que dicho dibujo representa, ha sidoexplorada como una de las fuentes de inhibi-ción del desarrollo del pensamiento geomé-trico.

Por ejemplo, al tratar de explicar que un ángu-lo exterior de un triángulo es mayor que cual-quiera de los ángulos interiores no adyacen-tes, el profesor —con inusitada frecuencia— seapoya en un dibujo como el de la figura 2

Se trata de probar que a < b. Después de que-dar perplejo al escuchar a su profesor, el estu-diante se pregunta: ¿no es obvio que a < b,dado que a es la medida de un ángulo agudoy b la de uno obtuso?

El estudiante no capta la generalidad del ar-gumento del profesor y el profesor no siem-pre es consciente del ruido que ese dibujo in-troduce a su argumento.

Pues bien, CABRI GÉOMÈTRE permite compro-bar que en cualquier triángulo que represen-temos en la pantalla de la computadora (¡laTI-92 lo es!) siempre se cumple que a < b. Deeste modo el estudiante va captando, gra-dualmente, que los hechos geométricos a losque se hace mención en los teoremas, sonpropiedades generales, válidas por ejemplo,para todos los triángulos y NO para ese parti-cular que está dibujado sobre su cuaderno.En términos generales, entonces, un mediodinámico como CABRI GÉOMÈTRE nos permiteavanzar por la ruta sugerida en la figura 3.

143

Ideas geométricas del currículum presentadas mediante el Cabri Géomètre

Figura 3

enunciado de una propiedad generalobjeto geométrico definido como el hábitat

de las propiedades generales

captación de una propiedadmás general

conocimiento geométricoorganizado

dibujo modificado por arrastredibujo

Figura 2

Ilustremos lo anterior con el siguiente ejem-plo. Entramos al salón de clase y vemos en lapantalla de la computadora de un estudiantela figura 4.

Si nos limitamos a consideraciones visualesexclusivamente, diremos que la recta t es tan-gente a la circunferencia (parece que sólo latoca en un punto). Pero, ¿ese hecho visual es

un hecho geométrico? Para ver si la respuestaes sí debemos comprobar que lo que vemos

en la pantalla es una relación entre la circunfe-

rencia y la recta t que NO se destruye al modi-ficar mediante arrastre a la circunferencia o ala recta.

Podemos modificar la posición de la circun-ferencia, por ejemplo, arrastrándola por sucentro. Al hacerlo, observamos que se des-

pega de la recta, con lo cual comprobamosque la situación ilustrada en el dibujo ante-rior era solo aparente: no se había llegado aella como resultado de una construccióngeométrica sino tan solo acercando entre sílos dos objetos geométricos considerados.

Pero podemos decir más aún. Si pedimos aCABRI GÉOMÈTRE que genere el punto de in-tersección NO lo hace. Esto prueba queCABRI GÉOMÈTRE sabe que ese dibujo (elec-

trónico) no representa un hecho geométrico.Cuando realmente la recta sea tangente, esarelación de tangencia definida por la recta yla circunferencia no se puede destruir modifi-cando la figura.

Resumiendo, un hecho es geométrico, cuan-do es capaz de pasar el test del arrastre.

Esto, que podemos implementar en el mediogeométrico propio de CABRI GÉOMÈTRE, con-tiene el criterio fundamental para distinguirentre dibujo y objeto geométrico.

4. Algunos ejemplos

Para que el lector se compenetre más con lasideas que hemos expuesto en los párrafosanteriores le sugerimos estudiar con la ópticadinámica de CABRI GÉOMÈTRE algunos con-ceptos, objetos y relaciones geométricas.Proponemos los siguientes temas como pun-to de partida.

a) Propiedades de rectas paralelas cortadaspor una transversal. El hecho básico en esta si-tuación es que el ángulo a es congruente conel ángulo b. Experimente con el programa mo-viendo los puntos sobre las rectas paralelas ycambiando la dirección de las mismas.

Herramientas: Line, Parallel Line,Angle, Pointer y Rotate.

144


Figura 4

Figura 5

b) Ángulos de un triángulo. La suma de losángulos internos de un triángulo es 180° y unángulo externo de un triángulo es mayor quelos internos no adyacentes.

Herramientas: Triangle, Parallel Line,Angle, Pointer y Rotate.

c) Triángulos equiláteros, isósceles y rectán-gulos. Exploración del Teorema de Pitágoras.

Herramientas: Triangle, Parallel

Line, Angle, Perpendicular Line,Circle, Pointer y Rotate.

d) Bisectrices e incentro de un triángulo. Lasbisectrices de los ángulos internos de untriángulo son concurrentes. El punto de con-currencia se llama incentro del triángulo y esel centro de la circunferencia inscrita en di-cho triángulo.

Herramientas: Triangle, PerpendicularLine, Circle, Angle Bisector, Poin-ter y Rotate.

e) Medianas y centroide de un triángulo.Las medianas de un triángulo son concurren-tes. El punto de concurrencia es el centroidedel triángulo (también llamado baricentro).

Herramientas: Triangle, Circle, Mid-

point, Pointer y Rotate.

f) Alturas y ortocentro de un triángulo. Las al-turas de un triángulo concurren en un puntollamado ortocentro.

Herramientas: Triangle, Parallel Line,Perpendicular Line, Circle, Pointer

y Rotate.

g) Mediatrices y circuncentro de un trián-gulo. Las mediatrices de los lados de untriángulo concurren en el circuncentro, quees el centro del círculo circunscrito al trián-gulo.

Herramientas: Triangle, Parallel Line,Perpendicular Line, Perpendicular

Bisector, Circle, Pointer y Rotate.

h) Arcos de circunferencias y ángulos sub-tendidos por arcos. Todos los ángulos sub-tendidos por un mismo arco de circunferen-cia son iguales (cuadriláteros cíclicos)

Herramientas: Circle, Segment, Angle,Arc, Pointer y Rotate.

i) Tangentes a una circunferencia trazadasdesde un punto exterior elegido. Veamoscómo se trazan las dos tangentes a una cir-cunferencia desde un punto exterior a ella.

Para trazar una tangente desde P a la circun-ferencia, determine el punto medio del seg-mento CP. Trace la circunferencia de centroM y radio MP. Los puntos de intersección R, T

son los puntos de tangencia de las rectas l ym. Observemos que la recta CP es la bisectrizdel ángulo ∠ RPT, entonces, dadas dos rectasconcurrentes PR y PT, ya tenemos la clavepara construir una circunferencia tangente aestas dos rectas.

Herramientas: Line, Circle, Segment,Midpoint, Intersection Point, Angle,Arc, Pointer y Rotate.


145

Figura 6

j) Construcción de circunferencias tangen-tes a dos rectas concurrentes. Trace la bisec-triz del ángulo ∠ RPT. Desde cualquier puntoC sobre esa mediatriz, trace perpendicularesa las rectas PR y PT. Los puntos S y K son detangencia de la circunferencia con centro enC y radio CS.

Observe que podemos trazar la bisectrizcomo la mediatriz del segmento que unepuntos equidistantes de P, cada uno en los la-dos PT y PR.

Herramientas: Line, Circle, Perpendi-

cular Line, Segment, Angle Bisector,

Midpoint, Intersection Point, Poin-ter y Rotate.

k) Potencia de un punto con respecto a unacircunferencia. Dadas las cuerdas AB y CD

en una circunferencia, que concurren en elpunto S, AS * SB = CS * SD. AS * SB es la potenciadel punto S (proposición 35 del libro III de Eu-clides).

Herramientas: Circle, Segment, Angle,Intersection Point, Pointer y Rota-

te.

l) Teorema de Steiner. La longitud de PT alcuadrado, es la potencia de P respecto a lacircunferencia.

146


Figura 8

Figura 7

Figura 10

PT = PQ PR∗

Figura 9

m) Construcción de una circunferencia quepasa por un punto predeterminado y que estangente a una recta en un punto predeter-minado. Se trata de construir una circunfe-rencia que pasa por P y es tangente a l en R.Para esto

– levante la perpendicular a l por R

– construya la mediatriz de PR .

El punto C en donde la mediatriz corta a laperpendicular, es el centro de la circunferen-cia requerida.

Observe qué pasa al mover P sobre la circun-ferencia y al desplazar R sobre l. ¡C traza unaparábola!

Herramientas: Line, Circle, Point on

Object, Perpendicular Bisector,Pointer y Rotate.

n) Construcción de una circunferencia deradio dado, tangente a otras dos circunfe-rencias ya dadas. Desde C, trace un arcode radio r1 + R; desde C2 uno de radio r2 +R. El punto de intersección de estos arcoses el centro de la circunferencia de radio R

tangente a ambas circunferencias origina-les.

Herramientas: Line, Circle, Segment,Pointer y Rotate.

o) Construcción de una tangente común ados circunferencias dadas. Para esto

– trace PH (arbitrario) y la paralela a PH porel centro Q de la segunda circunferencia

– trace la recta HA y considere el punto J deintersección de HA con PQ (recta que pasapor los centros de las circunferencias)

– desplace H (sobre la circunferencia) hastahallar una posición en que HA es tangentea ambas.

Observe que cuando HA es tangente a am-bas circunferencias, la posición de J será el


147

Figura 11

Figura 12

Figura 13

centro de dilatación que lleva un círculo enel otro. Cualquier recta tangente (a una delas circunferencias) que pase por J automáti-camente será tangente a la otra.

Herramientas: Line, Circle, Parallel

Line, Itersection Point, Pointer yRotate.

p) Construcción de una elipse a partir deuna circunferencia. Trace una circunferen-cia con centro C. Vamos a construir una elip-se con focos C y F

– elija F arbitrario

– trace FR (R arbitrario, sobre la circunferen-cia) y luego trace su mediatriz

– el punto N de intersección de la mediatrizcon CR describe la elipse buscada, cuandoR gira alrededor de la circunferencia.

Herramientas: Point, Line, Circle,Segment, Perpendicular Bisector,Itersection Point, Locus, Pointer yRotate.

q) Construcción del Caracol de Pascal.Dado un punto fijo P y una circunferenciafija, construya una tangente y una perpendi-cular a la tangente, que contenga a P. Tan-gente y perpendicular se encuentran en F.

Cuando desplace el punto de tangencia T, al-rededor de la circunferencia, el punto F des-cribe una curva conocida como Caracol dePascal (figura 16).

Herramientas: Point, Line, Circle,Perpendicular Line, Itersection

Point, Locus, Pointer y Rotate.

r) El Teorema de Napoleón. Dado un trián-gulo ABC, arbitrario, construya triángulosequiláteros sobre cada uno de sus lados. Eltriángulo PQR que se obtiene conectando loscentroides de los triángulos equiláteros, essiempre un triángulo equilátero. Se llama eltriángulo de Napoleón.

148


Figura 14

Figura 15

Figura 16

Herramientas: Triangle, Regular Poly-

gon, Midpoint, Itersection Point,Pointer y Rotate.

s) Tres rectas famosas: de Pappaus, de Eulery de Simson. Construya dos rectas AC y A’C’

intersecantes y los puntos A, B, C, A’, B’, C’, talcomo se muestra en la figura 18. Una lospuntos como aparece indicado.

P, Q y R resultan ser colineales. La recta quecontiene a los puntos P, Q, R es la recta dePappus.

Herramientas: Line, Itersection Point,Pointer y Rotate.

La recta de Euler es la que pasa por el orto-centro, el circuncentro y el centroide de untriángulo.

Sea P un punto sobre el círculo circunscritode un triángulo. Desde P bajamos perpendi-culares a los lados (o sus prolongaciones)del triángulo. Los pies de estas perpendicu-lares (sobre los lados) son colineales. La rec-ta que los contiene es la recta de Simson.

t) Dos problemas de optimización: el delos tres puntos de Steiner y el del triángu-lo órtico de Schwarz. Dados A, B, C hallar P

tal que AP + BP + CP sea mínimo. Solución: P

debe colocarse de modo que cada uno delos ángulos mida 120°;m(∠ APB) = m(∠ BPC) = m(∠ CPA) = 120°.

Herramientas: Point, Segment, Angle,Pointer y Rotate.

Observe que si hemos resuelto el problema,entonces m(AP) + m(PB) es mínima. Por lo tanto(Snell) m(∠ APC) = m(∠ BPC) y en consecuenciam(∠ APB) = m(∠ APC) y todos son de 120°. La si-guiente figura sugiere cómo encontrar P.

149


Figura 19

Figura 18

Figura 17

5. Una reflexión sobrerepresentaciones

El comportamiento de un objeto geométricoque vive en el Cabri–espacio (la pantalla con-trolada por el sistema lógico constitutivo deCABRI GÉOMÈTRE) depende de cómo se le haconstruido.

Esta observación es esencial pues marca unadiferencia de fondo entre los sistemas de re-presentación clásicos de la geometría y lossistemas ejecutables de CABRI GÉOMÈTRE. Porejemplo, en la geometría apoyada en papel ylápiz, el siguiente objeto, o representación,no tiene historia. ¿Qué significa esto? Que elproceso de producción de la representación,una vez producida, representa a un únicoobjeto posible. A partir de ese momento, yano hay una fenomenología propia de la re-

presentación. En cambio veamos lo que ocu-rre con un Cabri–triángulo.

Si esta representación ha sido producida deacuerdo a las reglas (activando la opciónTriángulo en F3), podemos calcular el áreamediante la opción Área (F6). Pero si hemosconstruido el triángulo, por ejemplo, conec-tando tres segmentos, entonces CABRI no re-conoce a la figura como un triángulo oficial

y no le asigna un área. Esto significa queCABRI sólo ve los tres segmentos. En cambio,en el primer caso, ve los tres lados y el inte-rior. Por ello le asigna un área.

Así pues, aunque veamos la misma figura so-bre la pantalla, la historia del proceso pro-ductivo de dicha figura se incorpora a la na-turaleza que ella tiene como una Cabri–figura.

150


Figura 21

Figura 20

Problematizar estudio de matemáticas:aspecto esencial en organización del

currículum y el aprendizaje

Luz Manuel Santos TrigoCINVESTAN – IPN, México

En lugar de presentarnos la información y esperar que la entendamos

instantáneamente, pídannos que formulemos nuestras propias preguntas,

que cambiemos condiciones y que diseñemos nuestros propios

problemas

(estudiante en un curso de resolución de problemas).

Resumen

La propuesta de aprender matemáticas con énfasis enla resolución de problemas ha producido diversas ten-siones entre los maestros al tratar de implantarla en elsalón de clases ¿Qué tipo de problemas? y ¿qué activi-dades instruccionales son consistentes con el enfoque?son preguntas que han propiciado diversas interpreta-ciones en su aplicación. En la fase de implantación esimportante considerar aspectos que incluyen el cono-cimiento previo de los estudiantes, los fundamentos dela disciplina y su relación con el quehacer matemático,y los aspectos pedagógicos que le dan sustento a lasactividades de aprendizaje. Un principio que puedeayudar a plantear metas particulares durante el estudiode las matemáticas es que el estudiante problematicesu propio aprendizaje. En este trabajo se revisan aspec-tos importantes que relacionan la investigación en elárea y su influencia en la instrucción; se propone queel estudiante explícitamente se plantee preguntas y di-

lemas que generen una discusión abierta de argumen-tos y explicaciones en donde pongan en perspectivasus conocimientos.

Summary

What type of knowledge is important for mathema-tics instructors to know in order to implement pro-blem solving activities successfully in their classroom?This is a fundamental question to analyse what instruc-tors do during their mathematical problem solvingcourses. In this paper, the idea that students need toproblematize their study of the discipline is taken as akey ingredient for their learning. That is, they need toquestion, critique, and transform the content studiedin their classes via an active participation. In this con-text, the tasks and activities that instructors choose toimplement should take in to account information rela-ted to previous knowledge of their students, the esen-

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Problematizar el estudio de lasmatemáticas: un aspecto esencial en la

organización del currículum y en elaprendizaje de los estudiantes14

14 Publicado en el libro Investigaciones en Matemática Educativa II, CINVESTAV, México.14 Publicado en el libro Investigaciones en Matemática Educativa II, CINVESTAV, México.

tial of the discipline, and pedagogical knowledge(examples, and learning activities) used to make theirdecisions.

Introducción

¿Cuáles son los componentes críticos en laformación de los maestros de matemáticasque contribuyen directamente en el desarro-llo de un aprendizaje sólido en sus estudian-tes? ¿Qué tipo de conocimiento ayuda a losmaestros a tomar decisiones respecto al pro-grama de la materia, al uso de materiales di-dácticos y a favorecer el potencial de sus es-tudiantes? Son preguntas que15 han sidoparte del desarrollo de la educación matemá-tica en los últimos años. Así, por ejemplo,Shulman y Grossman (1988) proponen unmarco para analizar el papel de los maestrosen la enseñanza de las matemáticas. En supropuesta distinguen siete dominios de co-nocimiento que inciden directamente en lapráctica de la enseñanza: (a) el conocimien-to sobre la materia; (b) el conocimiento pe-dagógico del contenido; (c) el conocimientode otros contenidos; (d) el conocimiento delcurrículum; (e) el conocimiento de los alum-nos; (f) el conocimiento de las metas educa-cionales; y (g) el conocimiento pedagógicogeneral. En esta perspectiva, es evidente queel proceso de promover actividades deaprendizaje que permitan a los estudiantesaprender la disciplina es un problema que in-volucra varios aspectos y que, en particular,el solo dominio de la disciplina no garantizaque el maestro logre un aprendizaje significa-tivo en sus estudiantes. En este trabajo se in-tenta revisar algunos resultados de la investi-gación en aspectos relacionados con elpapel de la matemática y la resolución de

problemas. En particular, se identifican algu-nos principios generales que pueden ayudara vincular los diversos tipos de conocimientodel maestro, propuestos por Shulman yGrossman, con la práctica de la enseñanzade las matemáticas.

La Naturaleza de las Matemáticas yel Aprendizaje

Aun cuando nadie cuestiona la idea de queel maestro debe conocer ampliamente la dis-ciplina que enseña para poder proponer acti-vidades interesantes de aprendizaje a sus es-tudiantes, no existe consenso en cuanto aqué parte de ella es fundamental en la forma-ción de los maestros. La experiencia sugiereque muchos de los maestros que se formanen las escuelas de ciencias e ingeniería nonecesariamente desarrollan una práctica exi-tosa en el salón de clases. El problema funda-mental radica en identificar los aspectos dela actividad matemática que ayuden a losmaestros a proponer actividades de aprendi-zaje consistentes con la práctica de la disci-plina (Santos, 1996). Algunos aspectos nece-sariamente involucran una discusión sobrelos contenidos y su organización, mientrasque otros apuntan al tipo de interacción yparticipación que los estudiantes deben rea-lizar durante el aprendizaje de la disciplina.¿Qué tipo de problemas o tareas ayudan alos estudiantes a aprender el contenido ma-temático? ¿Qué significa y cómo se docu-menta el aprendizaje de determinado con-cepto o idea matemática? ¿Qué actividadesinstruccionales son importantes dentro y fue-ra del salón de clases? ¿Cuál es el papel delmaestro y los estudiantes en el salón de cla-ses? Son algunas preguntas que pueden ayu-

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15 La realización de este trabajo fue apoyada por CONACYT a través del proyecto con referencia 3720-PS

dar a organizar la discusión de los aspectosque inciden directamente en la enseñanzade las matemáticas. En particular, un aspectocentral que ayuda a organizar las preguntasanteriores es la concepción de aprendizajeque se busque promover en los estudiantes.

La noción de que el aprender un determina-do concepto es un proceso que se robusteceen función del tiempo y a través de una dis-cusión directa de aspectos que examinen susconexiones y representaciones ayuda a ubi-car la importancia de explicitar dónde sedebe poner atención durante el aprendizaje.Greeno (1997) sugiere que para que los estu-diantes aprendan es importante ponerleatención a los aspectos fundamentales o in-variantes vinculados con el contenido en es-tudio. Además, es importante reconocer queel aprendizaje se logra bajo la perspectiva deuna práctica social.

El aprendizaje puede interpretarse en funciónde la participación de los estudiantes al interac-tuar con los obstáculos e identificar argumen-tos y explicaciones que les ayuden a avanzaren su entendimiento. En este sentido, si elaprendizaje se logra al ponerse a tono con la si-tuación en estudio y atender las diversas re-presentaciones de los invariantes, entonceses posible que fácilmente se favorezca unatransferencia del aprendizaje a otras situacio-nes. La transferencia es importante y puededarse dentro del estudio de un determinadoconcepto o al intentar aplicarlo a problemas encontextos diferentes. Conviene hacer notarque el aprender a través de las actividades debúsqueda necesariamente incluye la formula-ción y evaluación de preguntas o problemas,así como también el proponer soluciones yconclusiones, criticar explicaciones, argumen-tos y ejemplos es crítico para una participaciónsignificativa en la sociedad.

Para examinar la generalidad en el aprendi-zaje del conocimiento, Greeno plantea re-flexionar sobre lo siguiente: ¿La actividadque tiene lugar en un tipo de situación tieneaspectos que fueron aprendidos como prác-ticas e interacciones con los recursos dispo-nibles en ese tipo de situación, o tiene as-pectos que fueron aprendidos comoprácticas e interacciones con recursos en al-gún tipo de situación totalmente diferente?(Greeno 1997; p.6) Se observa que la pre-gunta se plantea en términos de la actividady las situaciones en que ocurre. Es decir, seenfoca en función de las prácticas en quelos individuos han aprendido a participar.

Thurston (1995) afirma que la gente tiene di-ferentes formas de entender contenidos par-ticulares de las matemáticas. Por ejemplo, elconcepto de derivada puede ser pensadocomo:

(i) Un modelo infinitesimal: la razón entreel cambio infinitesimal en el valor de unafunción y el cambio infinitesimal en lavariable.

(ii) Una manipulación simbólica: la deriva-da de xn es nxn-1, la derivada de senx escosx, la derivada de f·g es f´· g+ g’· f, etc.

(iii) Una definición formal: f’(x) = d(x) si y so-lamente si para todo ε>0 existe un δ>0tal que cuando 0 < |∆x|<δ se tieneƒ( ∆ ƒ( )

∆εx x x

xx

+ <)–– ( )d

(iv) Una interpretación geométrica: la deri-vada es la pendiente de la recta tangen-te a la gráfica de la función, si la gráficatiene una tangente.

(v) Una razón: la velocidad instantánea def(t), donde t es la variable tiempo.

153

Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia

(vi) Una aproximación: la derivada de unafunción es la mejor aproximación linealde una función cerca de un punto.

La lista anterior no agota todas las posibilida-des acerca de cómo pensar el concepto dederivada. Es claro que cada forma de enfocarel concepto ofrece la opción de reflexionaracerca de los alcances y límites de las diver-sas representaciones que la acompañan. Enesta dirección, el transitar de una representa-ción a otra juega un papel importante en suaprendizaje.

Lo que Thruston plantea respecto a la variedadde formas de acercamiento al estudio de unconcepto ilustra la importancia de atender tan-to a los recursos matemáticos asociados concada representación y la necesidad de ir inte-grando diversos acercamientos. Es claro quepensar el concepto de derivada bajo la pers-pectiva de una manipulación simbólica planteainicialmente una problemática diferente a laque plantea un acercamiento geométrico. Elconocimiento de la disciplina ayuda aquí a queel maestro distinga y ponga en perspectiva lasconexiones entre distintas interpretaciones deun mismo objeto matemático.

Además de la complejidad que involucra larepresentación del propio concepto, existentambién limitaciones para documentar loque los estudiantes procesan en su interac-ción con el concepto. Por ejemplo, Irwin(1996) afirma que

el proceso de construir el entendi-miento [de un concepto] nunca pue-de ser completamente entendido, yaque ocurre dentro de las mentes decada estudiante. Los estudiantes nonecesariamente exhiben todo lo queocurre durante el proceso de encon-trarle sentido a las cosas. Lo que ofre-ce son ventanas para observar parte

del proceso de la formación de losconceptos a partir del proceso y lasdiscusiones de lo que hacen (p. 137).

Al reconocer la dificultad de acceder com-pletamente a toda la información que décuenta de cuándo un estudiante ha aprendi-do determinado concepto, se hace necesa-rio considerar diversas formas o caminosque ayuden a documentar las ideas de losestudiantes. En esta dirección, las preguntasque se formule el estudiante al interactuarcon las tareas que se le propongan, asícomo las respuestas o explicaciones queofrezca, son fundamentales para compren-der lo que entiende alrededor de un con-cepto. Por ejemplo, cuando se le proporcio-nan dos fracciones 3/a y 7/2a y se le solicitaencontrar dos fracciones uniformemente es-paciadas entre las dos dadas, el estudiantepuede preguntarse acerca del significadode la expresión uniformemente espaciadas,presentar algunos ejemplos con númerosenteros (entender la situación), y utilizar larecta numérica para representar su trabajo.Al emplear recursos que le ayuden a aplicaralgunas propiedades de las fracciones, porejemplo, utilizar que 3/a y 7/2a pueden es-cribirse como 18/6a y 21/6a, respectiva-mente, el estudiante está mostrando ciertamadurez en la construcción de fraccionesequivalentes. Esta última representación lopuede llevar a la solución del problema, esdecir, a las fracciones buscadas que serían19/6a y 20/6a respectivamente.

Existen diversas formas para promover en elsalón de clases un ambiente donde el estu-diante valore la presentación de sus ideas yel planteamiento de preguntas. Por ejemplo,el National Council of Teachers of Mathema-tics (1990) identifica cuatro actividades im-portantes del maestro de matemáticas en laenseñanza:

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1. Crear un ambiente en el salón de clasesen donde se valore el aprendizaje de ladisciplina.

2. Identificar metas y seleccionar o formu-lar problemas que ayuden a los estu-diantes a lograr tales metas.

3. Estimular y fomentar un discurso en elsalón de clases en donde los estudiantesy maestros tengan claridad en lo que seaprende.

4. Analizar el aprendizaje de los estudian-tes, los problemas o tareas matemáticasy el ambiente de la clase para tomar de-cisiones instruccionales (p.4).

Estas actividades, al implantarse consistente-mente dentro de la clase, proporcionan infor-mación valiosa de cómo los estudiantes estánconceptualizando a las matemáticas y cuáldebe ser su papel durante el aprendizaje y laresolución de problemas. La idea es aceptarque el aprender matemáticas no es un procesode absorber pasivamente cierta información yalmacenarla en fragmentos a partir de una ins-trucción que le dé énfasis a la repetición y re-forzamiento; sino que los estudiantes interac-túan con la nueva información, a partir de unconocimiento previo y participan activamenteen la construcción de sus propios significados.

El aprendizaje de las matemáticas yla resolución de problemas

Las propuestas recientes sobre el contenidoa incluir en el currículo y el cómo aprenderlo,identifican a la resolución de problemascomo una parte fundamental para que los es-tudiantes desarrollen habilidades y estrate-gias propias del quehacer matemático. Sinembargo, la idea de relacionar el aprendizajede las matemáticas con la resolución de pro-blemas ha producido diversas tensiones, tan-

to en la gente que participa en el diseño delcurrículo como en los maestros encargadosde implantar las ideas en el aula. De hecho,han aparecido diversas interpretaciones delsignificado de esta propuesta en el salón declases. En esta dirección, se torna importantediscutir los principios fundamentales que ledan sustento y pertinencia a la propuesta.Esta discusión puede ayudar a identificarrelaciones entre lo que se considera funda-mental en los contenidos, la práctica de de-sarrollar las ideas matemáticas y el aprendi-zaje de los estudiantes.

Se parte de que el trabajo publicado en losúltimos 25 años en educación matemáticaha aportado información valiosa que ha per-mitido identificar y contrastar varios de loscomponentes fundamentales de la propues-ta. Es decir, que sus principios se han ido ro-busteciendo con los resultados de la investi-gación. En esta parte se intenta presentar unbosquejo general de los aspectos importan-tes de la resolución de problemas que contri-buya a entender los avances y limitacionesde la propuesta y ubicar así las ideas que ledan racionalidad a su implantación en el sa-lón de clases.

Un principio integrador en la resolución deproblemas es que el estudiante debe tener laoportunidad de problematizar su aprendiza-je de la disciplina. Es decir, debe enfocar susactividades alrededor de preguntas en don-de se cuestione por qué las cosas se presen-tan de tal forma, investigar y analizar solucio-nes, y resolver incongruencias o rediseñar oformular nuevos problemas. Esto significaque tanto el currículo como la instruccióndeben presentarse en forma de problemas,dilemas, o preguntas donde el estudiantetenga la oportunidad de reflexionar, atacar yresolver una serie de interrogantes relaciona-

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Problematizar estudio de matemáticas: aspecto esencial en organización del currículum y el aprendizaje

das directamente con el tema en estudio.Lampert (1995) establece que:

[últimamente] los investigadores y

reformadores [en educación mate-mática] apoyan la idea de que elambiente de aprendizaje debe serestructurado de tal manera que losestudiantes deban plantearse pre-guntas de su interés, mostrar sus co-nocimientos y habilidades de razo-namiento y usarlos al extender susentendimientos a nuevos dominios(p.213).

Una pregunta importante relacionada con lascondiciones de aprendizaje en el salón de cla-ses es ¿qué actividades de aprendizaje ayu-dan a los estudiantes a que participen en prác-ticas sociales en donde se valore el desarrollode su identidad como aprendices? Los méto-dos de instrucción no son solamente instru-mentos para adquirir información, sino queson prácticas en donde los estudiantes apren-den a participar. Es aquí donde los estudiantesdesarrollan patrones de participación quecontribuyen directamente en la forma en quelos estudiantes mismos toman la iniciativa y suresponsabilidad en el aprendizaje.

Que los estudiantes aprendan a través deuna participación activa implica que la ins-trucción debe basarse en actividades dondeel conocimiento pueda ser desarrollado. Sinembargo, el proponer solamente una colec-ción interesante de actividades no es sufi-ciente para lograr el objetivo. Es importantedocumentar si la nueva información lleva alestudiante a restructurar su conocimiento.Además, en el análisis del trabajo de los estu-diantes es necesario considerar aspectos re-lacionados directamente con el medio enque se desarrollan las actividades. ComoRomberg (1993) lo señala

la pertinencia y efectividad de las ac-

tividades de aprendizaje selecciona-

das son un problema empírico. Su

evaluación depende del conoci-

miento previo del estudiante, de sus

expectativas, y de las expectativas de

la sociedad (pp. 107-108).

Una instrucción donde el estudiante proble-matice el contenido es una forma de tratarlode acuerdo a las preguntas y respuestas delos estudiantes y sus formas de pensar acercadel tema. El maestro puede definir o delimi-tar el estudio de un tema por medio de la for-mulación de algún problema para la clase;pero los estudiantes deben tomar un papelactivo al cuestionar el problema, buscar for-mas de solución y plantear otros problemas.En este proceso aparecen definiciones detérminos, procedimientos y recursos mate-máticos necesarios para la comunicación.Además, la idea de problematizar el conteni-do es consistente con las reformas actualessobre el estudio de las matemáticas y cien-cias, que se fundamentan en la idea de quelos estudiantes desarrollan un aprendizajemás profundo si se estudian menos tópicoscon mayor detalle y profundidad.

Momentos notables en la resoluciónde problemas

La forma en que se caracteriza a las matemá-ticas influye directamente en la concepciónque se tenga acerca de la resolución de pro-blemas y el aprendizaje de la disciplina. Porejemplo, a principios del siglo XX se intentabarelacionar el contenido del currículo mate-mático con la fuerza de trabajo existente fue-ra de la escuela. Los debates acerca de la or-ganización del currículo se planteaban apartir de las aplicaciones de la disciplina.En esta dirección el papel de los problemas

156


era servir como vehículos para que los es-tudiantes practicaran las aplicaciones. Ladiscusión se centraba en identificar las va-riables que hacían que un problema fuesedifícil para los estudiantes (contenido, con-texto, términos).

Otra etapa importante se caracteriza por elestudio detallado del comportamiento de ex-pertos y estudiantes al enfrentar diversos pro-blemas. La idea fundamental era documentarcómo los expertos utilizaban estrategias paraacceder a los recursos matemáticos y cómolos empleaban en sus métodos de solución.Un aspecto fundamental que emerge en estalínea de investigación es la importancia de lasestrategias metacognitivas durante la toma dedecisiones y el proceso de solución.

Un aspecto importante que ha influido tan-to en la forma de investigar como en la ins-trucción dentro del salón de clases es eltipo de métodos empleados para recoger yanalizar la información. Lester (1994) resu-me algunos temas más sobresalientes quehan sido parte de la investigación en la re-solución de problemas en los últimos 25años. Se observa que el componente meto-dológico le da un matiz al grado de análisisy presentación de los resultados.

La presencia de los métodos cualitativos a par-tir de los 80s ha aportado valiosa informaciónacerca de lo que un individuo muestra al traba-jar problemas matemáticos. Santos (1996) pre-senta ejemplos de los instrumentos y el tipo deanálisis que se utiliza en la investigación en laresolución de problemas.

Hacia el desarrollo de una culturamatemática en el salón de clases

Entre los principios fundamentales que sevinculan con la actividad de problematizar

el aprendizaje de las matemáticas se en-cuentra el promover un microcosmos en elsalón de clases que refleje actividades pro-pias del quehacer matemático. Schoenfeld(1992) sugiere que el aprendizaje de las ma-temáticas es más que la adquisición de he-rramientas primarias: hechos, definiciones,algoritmos, y procedimientos, con el fin deutilizarlas en la solución de algunos proble-mas. Afirma que durante el aprendizaje delas matemáticas los estudiantes deben teneroportunidad de proponer conjeturas, perci-bir conexiones de los resultados y desarro-llar conocimiento que puede ser nuevo parauno mismo o para la comunidad. Es impor-tante además, darle peso al proceso de ana-lizar (razonar) sobre los resultados obteni-dos. En algunos casos es tan importantediscutir distintas formas de abordar un pro-blema como el obtener algún resultado. Así,los resultados que los estudiantes no pue-dan explicar, aún cuando sean correctos, notienen valor y las explicaciones de cómo lasideas se generaron deben ser valoradas, sinimportar que éstas no produzcan necesaria-mente soluciones.

Es necesario reconocer que las actividadesmatemáticas de los estudiantes tienen lugaren un medio donde se valora la participaciónen pequeños grupos, la participación indivi-dual y como participantes de las actividadesde todo el salón de clases. El ambiente declases debe motivar y dar el soporte para quelos estudiantes desarrollen una comunica-ción matemática oral y escrita. Así, una activi-dad natural es que los estudiantes evalúen,cuestionen y critiquen las sugerencias oideas que se presenten tanto por el instructorcomo por los mismos estudiantes.

Un alumno, al estudiar sólo con un libro ouna computadora, puede no tener a otro in-dividuo cerca de él; sin embargo, la actividad

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del alumno está influenciada por el tipo depreguntas que éste se plantee y la búsquedade explicaciones y respuestas que proporcio-ne el libro o la computadora acerca del mate-rial en estudio.

El papel del maestro y losestudiantes en la problematizaciónde las matemáticas

La responsabilidad del maestro consiste endesarrollar en el salón de clases una comuni-dad donde se problematice el estudio de lasmatemáticas. En esta comunidad, la activi-dad central es la discusión de los métodosque puedan ayudar a resolver los problemasidentificados. El analizar la pertinencia de losmétodos y evaluar el potencial particular o

general de éstos son actividades que ayudana construir y mantener una comunidad socialen el salón de clases. El papel del maestro esproveer información y preparar las tareasque ayuden a problematizar la disciplina porparte de los estudiantes. Es decir, el maestrotendrá un papel activo en la selección y pre-sentación de las tareas. En este camino, esimportante que tenga en consideración losconocimientos y habilidades de los estudian-tes al diseñar las tareas. De acuerdo conSchoenfeld, el estudio de las matemáticas in-cluye la participación directa, por parte delestudiante, en una variedad de situacionesproblemáticas que lo lleven a analizar o pro-poner otras variantes y situaciones novedo-sas. La búsqueda y discusión de solucionesde problemas no es el único foco de la activi-dad; los problemas deben servir como pun-

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Período Énfasis de la investigación Metodología Énfasis en la instrucción

1970-1982

Identificación de elementosque hacen un problema difícil,características de los buenosresolutores de problemas, lasheurísticas.

Análisis de regresiónestadística:Tratamiento A vstratamiento B.

Entrenamiento en el usode las heurísticas.

Actividades centradas enel profesor.

1978-1985

Expertos vs. Novicios.

Entrenamiento en el uso deestrategias.

Estudio de casospensar en voz alta,análisis de protocolos.

Modelación de algunasestrategias de losexpertos.

1982-1990

Metacognición, relación entreafecto, creencias y resoluciónde problemas, entrenamientometacognitivo.

Estudio de casos,pensar en voz alta,análisis de protocolos.

La instrucción centradaen el estudiante.Actividades para eldesarrollo de lametacognición.

1990

Influencia Social:la resolución de problemas encontexto (la resolución deproblemas situada).

Métodosetnográficos.

El salón de clases comouna entidad social. Laproblematización delconocimiento.

Temas, aspectos metodológicos y la instrucción en la resolución de problemas.

tos de referencia para proponer generaliza-ciones o establecer conexiones con otrosdominios, revelar la estructura matemática yformular nuevos problemas.

Aprender a resolver problemas y pensar ma-temáticamente requiere una reflexión conti-nua acerca del quehacer o actividad mate-mática. Algunas preguntas que llegan a serrutina en un curso de resolución de proble-mas y juegan un papel central en el desarro-llo de tal reflexión matemática en los estu-diantes son, por ejemplo: ¿he usado oidentificado la información importante en elproblema?, ¿estoy convencido de la formade solución del problema?, ¿puedo conven-cer a un amigo o a un enemigo?, ¿he resueltototalmente el problema?, ¿puedo utilizarotra(s) estrategia(s) de solución?, ¿puede esteresultado ser generalizado? Entre otras, éstasson preguntas que los estudiantes debencontestar al interactuar con los problemas(Santos, 1997).

Por otro lado, los estudiantes adquieren elcompromiso y responsabilidad de desarro-llar una comunidad donde participen activa-mente en el desarrollo y monitoreo delaprendizaje. Así, deben compartir los resulta-dos de sus exploraciones y presentar justifi-caciones y explicaciones de los métodos queempleen en sus conclusiones. En este senti-do, el aprender incluye el aprender de losotros, tomar ventaja de sus ideas y de los re-sultados de sus investigaciones; esto requie-re que los estudiantes aprendan a escuchar asus compañeros y respondan adecuadamen-te a sus puntos de vistas e inquietudes.

Dos tipos de estrategias aparecen como im-portantes al presentar el aprendizaje a partirdel enfoque de resolver problemas. Por unlado, se encuentran las estrategias directa-mente relacionadas con la solución de un

problema particular. Por ejemplo, la bús-queda de patrones para analizar el compor-tamiento de una expresión o el uso de dia-gramas son estrategias que pueden funcio-nar en la solución de algún problema. Porotro lado, aparecen las estrategias generalesque ayudan a seleccionar y construir los pro-cedimientos adecuados para plantear y re-solver problemas. Es decir, al trabajar las si-tuaciones problemáticas los estudiantesaprenden a construir estrategias y lo más im-portante, cómo responder ante situacionesque presenten otras clases de problemas.Los estudiantes que son motivados a tratar lassituaciones o contenidos de forma problemá-tica tienden a desarrollar sus propias estrate-gias y a inventar otras nuevas al enfrentarse anuevos problemas (Santos, 1996; Fennema,Franke, Carpenter, & Carey, 1993).

La forma como se organiza el conocimientoen el currículo y cómo lo presenta el profesoren la clase, incluyendo aquí el tipo de proble-mas que se discutan, influyen directamenteen las actitudes y creencias que los estudian-tes desarrollen hacia las matemáticas y suaprendizaje. En esta dirección, el problemati-zar el estudio de las matemáticas le da a losestudiantes oportunidades de reconocer elpotencial de su propia práctica y ver a las ma-temáticas como una actividad intelectual endonde ellos mismos pueden participar. Existeevidencia de que los estudiantes que partici-pan en una búsqueda reflexiva y se les permi-te enfocar el estudio de las matemáticas enuna forma problemática, desarrollan una dis-posición consistente con el quehacer mate-mático (Santos, 1996a).

Por mucho tiempo ha habido interés por vin-cular el estudio de las matemáticas con lasactividades que se realizan fuera del contex-to escolar. Por ejemplo, el introducir proble-mas del mundo real ha sido una línea impor-

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tante del currículum en los últimos años. Laracionalidad en este intento se centra encompartir la idea de que las matemáticas sonútiles sólo si ayudan a resolver problemasque aparecen en las tareas cotidianas. El prin-cipio didáctico aquí es que los estudiantesverán aplicaciones apropiadas de las mate-máticas si le dedican un tiempo considerablea trabajar situaciones de aplicación y apren-derán conocimientos específicos del domi-nio durante el proceso de solución. En estecontexto, los problemas se tornan importan-tes en función de que el contenido matemá-tico aparece directamente relacionado concontextos extra escolares. Una crítica a estaperspectiva se relaciona con ver a la mate-mática en una línea demasiada utilitaria.Como consecuencia, la atención de los es-tudiantes puede centrarse en los procedi-mientos y no en las ideas que encierran loscontenidos matemáticos en estudio (Pra-wat, 1991).

En la perspectiva de problematizar el estu-dio de las matemáticas se enfatiza en quelos estudiantes participen en una actividadreflexiva al resolver los problemas y, por lotanto, desaparece el temor de que los estu-diantes le den prioridad a los aspectos pro-cedimentales. El problema: Pedro y María

visitaron una granja el fin de semana que

produce gallinas y cerdos. Pedro observó

que en total había 19 cabezas, mientras que

María dijo que tenían 60 patas. ¿Cuántas ga-

llinas y cuántos cerdos había en esa granja

que visitaron? ha resultado ser una situa-ción propicia para que los estudiantes pro-pongan diversas formas de solución (ensa-yo y error, pictórica, algebraica, etc.) y asímuestren sus recursos matemáticos. Sinembargo, este problema no representa nin-gún aspecto o fenómeno de la realidad ode la vida cotidiana.

En este sentido, la crítica de considerar losproblemas de la vida real se centra en queson sólo un contexto para que el estudianterealice esa búsqueda reflexiva. En el estudiode las matemáticas existen otros contextosdonde los estudiantes deben necesariamen-te construir y desarrollar sus experienciasmatemáticas (la construcción de cuadradosmágicos, por ejemplo, es una situación queofrece un gran potencial para que los estu-diantes evalúen una serie de estrategias im-portantes de la actividad matemática).

La motivación en los estudiantes

Un aspecto que mucha gente relaciona conla motivación de los estudiantes es que losbuenos problemas son condición necesariapara la motivación. Por ejemplo, se cree quelos problemas de la vida real pueden ser unaspecto importante en la motivación de losestudiantes porque directamente los llevan aintentar resolver un problema de interés paraellos. Esto llevaría a suponer que la fuente deinterés y motivación para el aprendizaje radi-ca fundamentalmente en la propia tarea oproblema.

Un punto de vista más amplio es que lo querealmente influye en la motivación e interéspor problematizar y trabajar una situaciónson las experiencias y conocimientos pre-vios que los estudiantes traen al salón declases. Es decir, es importante plantear ta-reas y problemas donde los estudiantes pue-dan emplear sus recursos e iniciar una discu-sión reflexiva. El progreso hacia la solucióndependerá del conocimiento al que ellos re-curran al interactuar con la tarea, de las opor-tunidades que se les presenten para resolverel problema y de los valores y expectativasque se establezcan dentro del salón de cla-ses (Santos, 1997). El principio de la motiva-

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ción en la problematización del estudio delas matemáticas le apuesta más a la formacomo se espera que los estudiantes interac-túen con la situación o tarea propuesta y noa la tarea misma.

En un ambiente donde se promueva la partici-pación de los estudiantes a partir de la formula-ción de preguntas y la búsqueda de explicacio-nes que incluyan argumentos matemáticos esimportante aceptar responsabilidades tantodel maestro como de los alumnos. Las conjetu-ras o preguntas iniciales planteadas por los es-tudiantes pueden incluir diversas direcciones yes aquí donde el maestro debe orientar la dis-cusión en función con lo que los estudiantesdeben aprender en ese tema específico. Losestudiantes pueden desarrollar sistemas parti-culares para estructurar sus conocimientos,pero deben también aprender a comunicarlosa una comunidad más amplia en donde sus ex-plicaciones puedan ser puestas a prueba.

El conocimiento de las concepciones matemá-ticas que los estudiantes traen al salón de cla-ses, aporta información valiosa acerca del pa-pel del maestro en la instrucción. En algunoscasos se tiene que pensar en implantar estrate-gias que ayuden a los estudiantes a retar ocuestionar tales concepciones. En esta direc-ción, para que se pueda construir un ambienteen donde se le dé importancia a los procesosde búsqueda y construcción del conocimien-to, el maestro debe convencer a los estudian-tes de que el cuestionamiento y la búsquedade explicaciones es un proceso legítimo e im-portante del quehacer matemático.

La visión del trabajo del experto y laresolución de problemas

Una visión del aprendizaje de las matemáti-cas que ha influenciado las actividades del

salón de clases es la idea de promover un mi-crocosmos en el salón de clases que reflejelas actividades del experto. Aquí, el aprendi-zaje se ve como una aculturación en una co-munidad donde el estudiante aprende a tra-vés de realizar las actividades propias delquehacer matemático. Es decir, el estudiantees considerado como un aprendiz que tieneque practicar las actividades que un matemá-tico realiza en su práctica diaria (Schoen-feld,1994; Brown, Collins, & Duguid,1989).Esta visión es completamente consistentecon la propuesta de problematizar la discipli-na durante el aprendizaje. Particularmentepueden existir diferencias en cuanto al énfa-sis o enfoque de las actividades. Por ejemplo,mientras que modelar, dirigir, apoyar y desa-parecer son actividades importantes en elmodelo de los expertos, la perspectiva deproblematizar la disciplina le da más aten-ción al desarrollo de procesos de búsquedaen los estudiantes, cuando problematizan elcontenido y buscan soluciones. La diferenciaradica en que la resolución de problemas noes el tema central en el modelo clásico deaprendiz.

Los estudiantes aprenden por medio de laobservación directa e imitando las activida-des del experto. Esto requiere que los re-cursos para avanzar en la solución de la ta-rea sean visibles y mostrados al estudiante.El experto modela, dirige y coordina, mien-tras que el estudiante evalúa sus avances alcontrastar su trabajo con el del experto. Lameta es generalmente un producto visible.La búsqueda reflexiva, por otro lado, lepone énfasis al proceso de resolver proble-mas y a la búsqueda de soluciones y no so-lamente al producto o solución terminaday pulida (Hiebert, Carptenter, Fennema, Fu-son, Human, Murray, Olivier, & Weame,1996).

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Las tareas se ven como problemas o dificulta-des a ser resueltas y no como una habilidad amecanizar. El uso apropiado de los métodosde solución depende de la lógica del estu-diante y no solamente del maestro o experto.Por otro lado, el enfocar en el proceso debúsqueda por parte de los estudiantes tam-bién ayuda a matizar la metáfora de que losestudiantes se comporten como pequeñosmatemáticos.

Se acepta que los estudiantes son diferentesde los matemáticos en sus experiencias, am-biciones inmediatas, poder cognitivo, uso deherramientas, etc. Es decir, los estudiantes nonecesitan verse como pequeños matemáti-cos sino que necesitan pensar como estu-diantes acerca de los problemas e ideas queson fértiles matemáticamente. La principal si-militud entre los matemáticos y los estudian-tes es que ambos trabajan situaciones quenecesitan problematizar, con el objetivo deentender las situaciones y desarrollar méto-dos de solución que tengan sentido paraellos.

La meta de la instrucción en laproblematización de lasmatemáticas

Como se ha mencionado anteriormente, unapremisa fundamental en el aprendizaje de lasmatemáticas es que el estudiante problema-tice el estudio de la disciplina. Es importantepermitir que los estudiantes traten a las ta-reas como problemas genuinos, es decir,que los hagan suyos. En este sentido, tantolos problemas de la escuela, como los de lavida real juegan un papel importante en elaprendizaje de los estudiantes.

La cuestión esencial es a qué nivel el estu-diante ha conceptualizado el problema por

sí mismo y muestra una disposición matemá-tica por resolverlo. Durante el proceso deinteracción con los problemas, el instructorpuede proponer una situación que permita alos estudiantes participar en una discusiónmatemática. Como ya se ha mencionado an-tes, empezar a plantear preguntas juega unpapel importante en la interacción con losproblemas. Por ejemplo, al tratar el tema delas ecuaciones cuadráticas con alumnos delnivel medio superior, se puede plantear unproblema en donde se puedan discutir para-lelamente algunas propiedades de los expo-nentes y formas de solución de la cuadrática.Si el problema consiste en encontrar todoslos valores reales de x que satisfagan la ex-presión:

( – ) –x x x x2 9 205 5 12

+ =+

¿Qué significa que una expresión elevada aun exponente dé como resultado la unidad?(base distinta de cero y el exponente cero).¿Existen valores particulares para la base endonde, al elevarla a cierta potencia, dé comoresultado la unidad? ¿Qué pasa cuando labase (en la expresión) toma el valor de 1 ó-1? (el exponente puede tomar cualquier va-lor real o el exponente debe ser par). ¿Quéquiere decir encontrar todos los valores de x?¿Qué métodos pueden ayudar a resolver unaecuación cuadrática? Son preguntas quepueden ayudar al estudiante a usar recursosmatemáticos previamente estudiados y pro-poner formas de solución del problema. Elplanteamiento de preguntas puede ofrecerun medio para discutir la pertinencia y la cali-dad de las respuestas entre los estudiantes.

Un ejemplo donde se cuestiona un ejerciciode productos notables podría plantearse entérmino de estimación: si m y n son enterospositivos tales que m2 - n2 = 29, entonces esti-

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me cómo debe ser el producto mn (por ejem-plo, menos que 100, entre 100 y 150, etc..).En esta situación el estudiante tiene la opor-tunidad de acceder a recursos que le ayudena analizar el comportamiento de la expre-sión. Por ejemplo, se puede plantear:

¿Cómo escribir la expresión de tal maneraque podamos distinguir información acercade m y n? ¿Puede ayudar al desarrollo (en fac-tores) de la diferencia de cuadrados? ¿Cómodescomponer el 29 en dos factores? ¿Quésignifica igualar dos productos con dos facto-res?, etc.

En esa misma dirección, los estudiantes pue-den trabajar situaciones donde la comunica-ción de las ideas sea un factor necesario en labúsqueda de soluciones. Una situación queayuda a los estudiantes a poner atención alos aspectos fundamentales es aquella don-de tiene que proponer direcciones precisaspara efectuar cierta actividad. Por ejemplo:

Tu compañero, que hoy no pudoasistir a la escuela, te llama por telé-fono para preguntarte la tarea. Enuna parte de ella se tiene que dibu-jar la figura 1. Escribe las instruccio-nes que le darás para que dibujeexactamente las figuras en su cua-derno.

Finalmente, una actividad que puede ayudara los estudiantes a poner atención a los ele-mentos importantes de un problema es la re-formulación o el planteamiento de proble-mas. Santos (en revisión) analiza resultadosde una instrucción en donde los estudiantesconsistentemente participaron en activida-des que incluían:

(i) Proporcionar cierta información, datos,o algún contexto específico y se reque-ría que los estudiantes formularan un

problema, tomando en cuenta lainformación dada. Por ejemplo, el creci-miento de la población en Inglaterra enla primera mitad del siglo XX fue lineal,aproximadamente, aumentando de 38millones en 1900 a 48 millones en 1950”.Con esta información plantea tres pre-guntas y contéstalas.

(ii) Dar alguna información incompleta y sesolicitaba al estudiante completar la infor-mación y formular el problema y resol-verlo. Por ejemplo: Dados dos círculos, elradio de uno de ellos es 3 cm y la distanciaentre sus centros es de 10 cm. ¿Se inter-ceptan estos círculos? (aquí claramente senecesita saber el radio del otro círculopara contestar la pregunta).


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Figura 1

(iii) Proporcionar datos o información inne-cesaria y se pedía a los estudiantes queseleccionaran la información mínimaque se necesitaba para resolver el pro-blema y explicar el por qué la informa-ción que desechaban no era necesaria.

(iv) Trabajar una lista de problemas de algúnlibro de texto y posteriormente se solici-taba a los estudiantes que cambiaran losenunciados del problema de tal maneraque fueran más abiertos o que hubieseuna extensión del planteamiento origi-nal. Por ejemplo, uno de los problemasen donde se pedía que el estudiante gra-ficara la expresión y = x – 8x + 2 se trans-formó en ¿cuál es el valor de c si el vérticede la parábola y = x2 – 8x + c es un puntosobre el eje de las x?

(v) Presentar un problema con su solución.El proceso de solución contenía un errorconceptual o de procedimiento y se lesolicitaba al estudiante revisar crítica-mente la solución.

En las actividades anteriores, la meta funda-mental para los estudiantes es formular pre-guntas o problemas y proponer diversasformas de explicación o solución. En la fasede entendimiento de la información, el es-tudiante debe contestar preguntas relacio-nada con la pertinencia, consistencia y sufi-ciencia de los datos. Es decir, tienen queproblematizar la situación que les permitaencontrar o establecer relaciones entre losdatos para así proponer diversas formas desolución.

Conclusiones

En el desarrollo del trabajo se propone quelos estudiantes se planteen preguntas y pro-pongan argumentos y explicaciones durante

el estudio de las matemáticas. Esta actividadde problematizar el aprendizaje es una as-pecto esencial para que los estudiantes pon-gan en juego sus recursos matemáticos ypuedan valorar las cualidades de las diversasestrategias o formas de resolver un proble-ma. En esta dirección no sólo interesa que sellegue a obtener un resultado o respuesta fi-nal, sino que el estudiante aporte un sustentoo argumento que le de soporte a las respues-tas. En este contexto, es importante que du-rante el diseño de actividades de aprendiza-je, el profesor considere información acercadel conocimiento previo de los estudiantes,las diversas conexiones y aplicaciones delpropio contenido en estudio, y el medio don-de se promueva la participación activa de losestudiantes. Los ejemplos, que se presentanen el desarrollo del trabajo ilustran el tipo desituaciones y preguntas que pueden ayudara promover una discusión abierta de los con-tenidos en estudio.

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