universidad nacional autÓnoma de mÉxico lemniscata de bernoulli fis. juan velÁzquez torres
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
LEMNISCATA DE BERNOULLI
FIS. JUAN VELÁZQUEZ TORRES
LA NOTA HISTÓRICA
La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jacob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. La lemniscata es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el producto de estas distancias es una constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".
Introducción
LAS ECUACIONES
La Lemniscata de Bernoulli es un tipo de curva descrita mediante coordenadas Polares según las siguientes ecuaciones:
2 2
2 2
2
cos 2
r a sen
ó
r a
Ecuación de la Lemniscata de Bernoulli
La ecuación genérica de los óvalos de Cassini en forma polar es:
La ecuación genérica de los óvalos de Cassini en coordenadas cartesianases:
La forma de la curva depende de la relación b/a. Si es mayor que 1 la curva tiene dos lazos; si es menor que 1 la curva sólo tiene un lazo y si es 1, la curva es la Lemniscata de Bernoulli
4 4 2 2 42 cos 2r a a r b
22 2 2 2 2 4 42 0x y a x y a b
Óvalos de Cassini
UN MÉTODO GEOMÉTRICO
Método geométrico para la construcción de una Lemniscata de Bernoulli
1m
2m
2n
1n1p 2p
2q
1q
M
N
P
Q
1. Trazar dos rectas perpendiculares r y s.
2. Trazar una circunferencia tangente a las dos rectas con el radio que se quiera.
3. Por O (intersección de r y s), trazar rectas secantes a la circunferencia. Cada secante corta a la circunferencia en una pareja de puntos, como la pareja m1 y m 2 4. Tomar la longitud de cada cuerda y situarse en la recta a partir de O obteniendo puntos de la curva como M al tomar la cuerda m1m2, N para n1 n2, P para p1 p2…
5. Al unir los diferentes puntos M, N, P… la curva queda determinada.
r s
O
LA DIVERSIÓN
Si seccionamos un toro con un plano paralelo a su eje, obtendremos óvalos de Cassini con diferentes formas según el plano esté más cerca o lejos de dicho eje (simplificando mucho la forma de expresarlo). En las imágenes está la Lemniscata de Bernoulli, caso particular de los óvalos de Cassini.
Dulce Lemniscata de Bernoulli
APLICACIÓN A LA INGENIERÍA
Desde el momento en que un vehículo en marcha por una carretera entra en una curva, actúa sobre él, además de la fuerza gravitatoria, la fuerza centrífuga.
La Lemniscata de Bernoulli tiene radio de curvatura variable por lo que junto a un peralte adecuado puede minimizar el efecto de la fuerza centrífuga
La Lemniscata de Bernoulli en las curvas de las carreteras
LA RELACIÓN CON LA FÍSICA
Fuerza centrípeta
2
c
mvF
r
LA RELACIÓN CON LA
ASTRONOMÍA
La imagen muestra un reloj de Sol, conocido como cuadrante vertical meridiano (exactamente frente al sur), con correcciones por longitud y por ecuación del tiempo. En dicho cuadrante aparecen unas líneas en forma de ocho muy alargados, llamadas Lemniscatas de Bernoulli, que son las encargadas de introducir la correción por la ecuación del tiempo (E.T.)
Relojes de Sol
LA NOTA ESOTÉRICA
En el Tarot de Rider se corresponde con el Arcano de la Fuerza, el cual porta el símbolo del infinito, la Lemniscata de Bernoulli, sobre la cabeza. Se asocia al psiquismo, a la naturaleza dulce de lo femenino, al lado amable de la naturaleza humana, que al sublimarse logra maravillas, resultados concretos. La fuerza representa la conquista que alguien ha logrado sobre si mismo, teniendo ahora un poder infinito como aliado
Significado esotérico de la Lemniscata de Bernoulli
Frida Kalo con el símbolo de infinito en su trenza
LA RELACIÓN CON EL
SÍMBOLO INFINITO
El símbolo de infinito fue creado por el matemático inglés John Wallis más o menos por 1655. Tiene la forma de una curva llamada Lemniscata de Bernoulli, aunque no se sabe de dónde sacó Wallis la idea.
Al y más allá
GRACIAS POR SU ATENCIÓN