universidad de sonora - departamento de …ftapia/notas de clase/notas 2012/mis notas tema... ·...

UNIVERSIDAD DE SONORA

Divisin de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemticas

Estadstica Aplicada a las Licenciaturas:

Administracin, Contadura e Informtica

Administrativa.

Fascculo III:

Clculo de Probabilidades y Variables Aleatorias

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno

Estadstica I Aplicada a la Administracin, Contadura, Informtica Administrativa, Economa, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas.

Tema III. Probabilidad Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Octubre de 2012

Departamento de Matemticas Universidad de Sonora 1

Prlogo.

Este es el tercer folleto correspondiente al Tema III de Estadstica Aplicada a las Licenciaturas: Negocios y

Comercio Internacionales, Administracin, Contadura e Informtica Administrativa que se ofrecen en la

Universidad de Sonora. Los temas presentados aqu son congruentes con el programa vigente de la materia de

Estadstica I del rea econmico- administrativo.

En este tercer tema del programa, denominado Probabilidad, el alumno percibir de manera intuitiva el

concepto de la probabilidad. Conocer y utilizar los conceptos bsicos de probabilidad as como sus diferentes

enfoques. Usar el anlisis combinatorio para resolver problemas sencillos de probabilidad. Calcular

probabilidades para diferentes eventos. Conocer las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias

discretas ms comunes y observar su comportamiento grfico cuando varan sus parmetros y cuando el

valor de la variable crece. Aprender a calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta y usar este concepto para tomar decisiones. Calcular la varianza y la desviacin estndar de una variable aleatoria discreta.

Nuestro propsito al elaborar este tercer folleto, es dotar al alumno de las herramientas necesarias, apegada al

programa vigente, para que el alumno por s mismo, recopile, organice, represente de manera grfica, analice e

interprete la informacin recabada ya sea por medio de una muestra o de un censo, utilice la probabilidad como

un instrumento esencial en el anlisis de la variabilidad, la cual desempea un papel muy importante en el campo

de los negocios, especialmente en la toma de decisiones.

Este trabajo se sita en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemticas por

dotar al alumno del material didctico necesario para que ste optimice su proceso de

enseanza/aprendizaje/formacin de las matemticas.

Hermosillo, Sonora, Mxico. Octubre de 2012.




Contenido.

Pag.

Tema III. Probabilidad 04

3.1. Introduccin a la probabilidad 04

3.2. Experimentos aleatorios y deterministas 04

3.3. Conceptos bsicos involucrados en experimentos aleatorios 05

Ejercicios 1 07

3.4. Operaciones con sucesos. 07

3.4.1. Unin 07

3.4.2. Interseccin 08

3.4.3. Diferencia 08

3.4.4. Complemento 09

3.5. Probabilidad condicional 11

3.5.1. Sucesos dependientes e independientes 12

Ejercicios 2 13

3.6. Diferentes enfoques de probabilidad 14

Ejercicios 3 17

3.7. Combinatoria y clculo de probabilidades 17

3.7.1. Tcnicas de conteo 17

3.7.2. Principios fundamentales del anlisis combinatorio 18

3.7.2.1. Principio multiplicativo 18

3.7.2.2. Principio aditivo 18

3.7.3. Combinaciones 19

3.7.4. Permutaciones 19

3.7.5. Ordenaciones 20




Ejercicios 4 20

3.8. Distribuciones de probabilidad 21

3.8.1. Distribuciones discretas de probabilidad 21

3.8.2. Valor esperado de variables aleatorias discretas 25

Ejercicios 5 27

3.8.3. Distribuciones discretas ms comunes 27

3.8.3. 1. Distribucin uniforme discreta 28

3.8.3. 2. Distribucin Bernoulli 28

3.8.3. 3. Distribucin Binomial 28

3.8.3.4. Distribucin Geomtrica 29

3.8.3. 5. Distribucin Binomial Negativa 31

3.8.3. 6. Distribucin hipergeomtrica 31

3.8.3. 7. Distribucin de Poisson 32

Ejercicios 6 33

3.9. Ejercicio prctico donde se aplica parte de la teora de probabilidad 34




Tema III

Probabilidad

3.1. Introduccin a la probabilidad La teora de probabilidades se ocupa de asignar un cierto nmero a cada posible resultado que pueda ocurrir en

un experimento aleatorio, con el propsito de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es ms probable

que otro. Dicha teora, es la base de la inferencia estadstica y un instrumento esencial en el anlisis de la

variabilidad que desempea un papel muy importante en el campo de los negocios, especialmente en la toma de

decisiones y en la investigacin en diversas disciplinas tales como la medicina, biologa, fsica, ciencias sociales

y muchas otras.

Los fenmenos aleatorios se ven afectados por la incertidumbre y expresiones tales como: hoy existen muchas

posibilidades que nuestra empresa realice una gran venta o, es muy poco probable que en esta empresa ocurra

un accidente en el rea de produccin o probablemente el mes que tengamos que incrementar la produccin.

Es en este tipo de situaciones donde la teora de probabilidades puede resultar una gran herramienta para

modelar y abordar casos donde se tenga algn tipo de incertidumbre. Por otra parte, cuando se aplican los

mtodos estadsticos a la recoleccin de datos, anlisis e interpretacin de los mismos, la teora de

probabilidades proporciona una base para valorar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas en las inferencias o

pronsticos realizados

Debido al importante papel que juega la probabilidad en la estadstica, en este tercer folleto estudiamos los

conceptos y principios bsicos de la teora de probabilidades. Para introducirnos a los aspectos tcnicos de la

misma, empezamos mencionando los conceptos de variable aleatoria, espacio de muestra, resultado y evento, los

resultados matemticos de la teora de probabilidad, los principios matemticos bsicos que sustentan los

clculos ms complejos y la importante idea de independencia estadstica. Finalizamos describiendo algunas

tcnicas que se pueden utilizar para combinar los principios matemticos bsicos en la solucin de problemas

ms complicados.

3.2. Experimentos aleatorios y deterministas Existen dos tipos de experimentos:

Los experimentos o fenmenos aleatorios son aquellos que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del

experimento.

Los experimentos deterministas son aquellos en donde podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Es decir, este tipo de experimentos siempre tiene el mismo resultado.




La vida cotidiana est plagada de sucesos aleatorios y deterministas. Por ejemplo, (viajes, accidentes, nmero de

personas que acudirn a un gran almacn o que se matricularn en una carrera...) aunque son suma de muchas

decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios y

Ejemplo 3.1. Si calentamos agua sabemos de antemano que sta hervir a los 100 cien grados centgrados. Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc.,

sabremos con seguridad dnde caer, cunto tiempo tardar, etc. Ambos casos se trata de una experiencia

determinista. Por otro lado, si lanzamos un dado o una moneda sobre una mesa, ignoramos qu cara quedar

arriba. El resultado depende del azar. En ambos casos se trata de una experiencia aleatoria.

3.3. Conceptos bsicos involucrados en experimentos aleatorios Dado que objetivo de estudio de la estadstica es explicar el comportamiento de un fenmeno aleatorio, para lo

cual hace uso de herramientas, entre las cuales se encuentra la probabilidad. El concepto de probabilidad es de

suma importancia. En esta seccin estudiaremos los conceptos bsicos relacionados con el concepto de

probabilidad y la forma de trabajarla.

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar.

Suceso elemental es cualquiera de los posibles resultados simples del experimento aleatorio.

Experimento compuesto. si est formado por varios experimentos simples.

Dentro de los sucesos cabe destacar: a) El suceso seguro que es aquel que ocurre siempre, es el propio espacio de

muestra, b) El suceso imposible que es aquel que no ocurre nunca y se indica por , y c) El suceso elemental que

es el suceso indivisible.

Ejemplo 3.2. Sea el experimento observar a un cliente y ver si realiza una compra o no. Los

sucesos elementales son: {S} y {N}.

Espacio de muestra es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, el cual lo designaremos por E.

Ejemplo 3. 3. Se observa a los clientes que llegan a un centro comercial y se registra si stos han realizado una

compra o no. En este caso,

El experimento aleatorio es: observacin de un cliente elegido al azar.

El suceso aleatorio es: realizacin de una compra

El espacio de muestra es: E = {Si realiza la compra, No realiza la compra} = {S, N}

Ejemplo 3.4. Para el ejemplo 3.1 se tiene que: S y N .

Ejemplo 3.5. Dos clientes llegan a un centro comercial y se observa si stos han realizado una compra (S) o no

(N). El espacio de muestra para este experimento es E = {SS, SN, NS, NN} entonces se tiene que:

SS , SN , NS , NN .

Ejemplo 3.6. El espacio de muestra del estado civil de las personas es:

E = {Soltero, Casado, Viudo, Divorciado, Concubinato}




Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:

C = {Casado, Concubinato}; S = {Soltero, Divorciado}; V = {Viudo}.

Todos estos subconjuntos del espacio de muestra E, los llamamos sucesos. As, C, S y V son sucesos del

experimento: Estado civil de las persona.

Ejemplo 3.7. El espacio de muestra asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos

obtenidos es:

E = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

Algunos subconjuntos de E son:

{Obtener mltiplo de 5}; M = {5,10,15}

{Obtener nmero primo}; P = {2,3,5,7,11,13,17}

{Obtener nmero mayor o igual que 12}; D = {12,13,14,15,16,17,18}

Los subconjuntos M, P y D son sucesos del experimento: lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los

puntos.

Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S y si E tiene un nmero finito, n,

de elementos, el nmero de sucesos de E es 2n.

Ejemplo 3.8. Los sucesos elementales de E en el caso del experimento de estado civil de las personas son:

{Soltero}, {Casado}, {Viudo}, {Divorciado}, {Concubinato}.

Ejemplo 3.9. Consideremos los siguientes sucesos {1,2}, {2, 4, 6}, {3, 5}. {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} son los

sucesos individuales o elementales del experimento.

Ejemplo 3.10. En el experimento estado civil de las personas existen 25 = 32 sucesos diferentes.

Ejemplo 3.11. En el experimento sexo de una persona hay 22 = 4 sucesos, que son: , {Mujer}, {Hombre},

{Mujer, Hombre}. Es decir,

E = {, {M}, {H}, {M, H}}

Para introducirnos en el tema y visualizar los conceptos ms fcilmente, vamos a considerar experiencias

aleatorias sencillas que se dan en la vida diaria y tambin usaremos ejemplos ilustrativos tal como lanzar dados o

monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas, etc.

Ejemplo 3.12. A una reunin llegan Carmina (C), Mercedes (M), Sergio (S), y Luis (L). Se eligen dos personas

al azar sin importar el orden. El espacio de muestra de este experimento es:

E = {(C, M), (C, S), (C, L), (M, S), (M, L), (S, L)}

Ejemplo 3.13. En relacin al sexo de las personas que llegan al centro comercial, el espacio de muestra es:

E = {Femenino, Masculino} = {F, M}




Variable aleatoria es una funcin que asigna valores numricos a los sucesos elementales en un espacio de muestra.

Clasificacin de las variables aleatorias. Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. Se le llaman discretas si toman un nmero finito o infinito numerable de valores (numerable

significa que los valores asignados se pueden enumerar en secuencia, de manera que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y as sucesivamente), y se llaman continuas si dado

un intervalo (a, b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.

Ejemplo 3.14. Las variables del ejemplo 3.4 y del ejemplo 3.4 son discretas ya que ambas variables toman un

nmero finito de valores (0 y 1 para la primera y 0,1 y 2 para la segunda). Para ms ejemplos, ver la seccin de

distribuciones discretas de probabilidad ms adelante. La variable que asigna la estatura a una persona extrada

de una determinada poblacin es una variable continua ya que, tericamente, todo valor es posible entre, 0 y 2.75

metros.

Ejercicios 1 Ejercicio 3.1. Se observa un semforo y se anota la luz que despide. Defina el experimento aleatorio, los sucesos

aleatorios y el espacio de muestra del experimento y especifique el tipo de variable aleatoria que es.

Ejercicio 3.2. Se observa el tiempo que impera en un da determinado. Defina el experimento aleatorio, los

sucesos aleatorios y el espacio de muestra del experimento y especifique el tipo de variable aleatoria que es.

Ejercicio 3.3. Describe el espacio de muestra asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Seleccin aleatoria de tres personas del grupo siguiente: Mara, Carlos, Carolina, Julia, Jos y Ricardo b) Seleccionar dos personas aleatoriamente en el ejercicio anterior que sean hombre y mujer. c) Extraccin de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. d) El tiempo, con relacin a la lluvia, que har durante tres das consecutivos.

Ejercicio 3.4. Escriba todos los sucesos del experimento Actitud del cliente considerando como espacio de

muestra E = {Escepticismo, Aceptacin, Indiferencia, Objecin} Cuntos hay?

Ejercicio 3.5. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es

mujer, y B el suceso los dos hijos pequeos son varones. Cules son los elementos de A y B?

3.4. Operaciones con sucesos En esta seccin estudiaremos las operaciones con sucesos. Estas operaciones son tiles para obtener informacin

adicional a la recopilada en un muestreo o censo.

3.4.1. Unin Dados dos sucesos, A y B, definimos la Unin de A y B indicada por BA como el suceso formado por todos

los elementos de A y todos los elementos de B. Grficamente tenemos

Ejemplo 3.15. En un centro comercial colocan en promocin 315 pantalones cortos para hombre y 220

pantalones cortos para mujer. Si A = {pantalones cortos en promocin para hombre} y Si B = {pantalones cortos

en promocin para mujer} entonces el suceso BA = {pantalones cortos en promocin de hombre o de

mujer}; el nuevo suceso BA tendr 315 + 220 = 535 pantalones cortos en promocin.

http://es.wikipedia.org/wiki/Estatura




A B

3.4.2. Interseccin Dados dos sucesos, A y B, definimos la Interseccin de A y B denotada por BA como el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Grficamente se tiene

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningn elemento comn. Es decir, cuando

BA (A y B son disjuntos o ajenos). Grficamente se tiene

Se dice que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es

uno de los sucesos elementales de dicho suceso. De manera anloga, decimos que:

a) El suceso BA se verifica cuando se experimenta uno de los dos o ambos sucesos. b) El suceso BA se cumple cuando se verifican simultneamente A y B.

c) El suceso cA , contrario de A, se verifica cuando no se experimenta A. d) Dos sucesos incompatibles no se verifican simultneamente.

Ejemplo 3.16. Una empresa ha clasificado a sus empleados en dos grupos: 1) trabajadores que tienen ms de 10

aos de antigedad en la empresa, 2) empleados que ganan ms de 3 salarios mnimos al mes.

Si A = {Los empleados con ms de 10 aos de antigedad en la empresa} y B = {Los trabajadores que ganan

ms de 3 salarios mnimos al mes} entonces, BA = {trabajadores con ms de 10 aos de antigedad en la

empresa y que ganan ms de tres salarios mnimos por mes}

3.4.3. Diferencia Dados dos sucesos, A y B, definimos la diferencia de A y B indicada por BA como el suceso formado por

todos los elementos de A que no son de B. Grficamente se tiene:

Ejemplo 3.17. En el ejemplo anterior, BA = {trabajadores con ms de 10 aos de antigedad en la empresa y

que ganan tres o menos salarios mnimos por mes}, y AB = {trabajadores que ganan ms de tres salarios mnimos al mes y con 10 o menos aos de labor en la empresa}.




Ejemplo 3.18. De acuerdo a una investigacin realizada en esta ciudad acerca de mujeres mayores de 20 aos,

se ha comprobado que entre otras cosas, el 75% estn casadas, de stas el 38 % trabaja fuera del hogar. De las

solteras, el 74 % trabajan fuera del hogar: a. Calcula el porcentaje de mujeres mayores de 20 aos que trabaja fuera del hogar. b. Si se selecciona al azar una mujer mayor de 20 aos, cul es la probabilidad que sea soltera y se

dedique al hogar?

Usamos las operaciones con sucesos y los pasos siguientes para resolver este tipo de problemas.

Paso 1. Definimos el espacio de muestra y cada uno de los sucesos dados en el contexto del problema:

E = {Mujeres mayores de 20 aos de esta ciudad}; C = {Mujeres casadas} y T = {Mujeres que trabajan

fuera del hogar}

Paso 2. Escribimos la informacin del problema usando simbologa matemtica y construimos un diagrama de

Venn para la situacin particular.

P(C) = 0.75; P(CT) = (0.75)*(0.38) = 0.285 debido a que el 38% del 75% es el 28.5%.

P(CcT) = (0.25)(0.74) = 0.185, puesto que el 25% de las mujeres no estn casadas y de stas, el 74% trabaja

fuera del hogar.

Preguntas: Calcular: a) (T) b)

Paso 3. Aplicamos las frmulas de lgica de conjuntos como sigue:

Respuesta a)

Por lo tanto, el 47% de las mujeres trabaja fuera del hogar.

Respuesta b) c c pero,

c c

c c .

Es decir, slo el 6.5% de las mujeres es soltera y trabaja dentro del hogar.

3.4.4. Complemento

Dados un suceso, A, se define el Suceso contrario o complemento de A indicado por cA , como AEA

c .

Grficamente se observa:

c

c c E




Ejemplo 3.19. En relacin a los conjuntos dados en el ejercicio anterior, cA = {trabajadores con 10 o menos

aos de antigedad en la empresa y cB = {empleados que ganan tres o menos salarios mnimos por mes}

Ejemplo 3.20. En relacin al ejercicio de los pantalones puestos en promocin, BA ya que en la

promocin no se colocaron pantalones unisex.

Ejemplo 3.21. Si al realizar una venta a un cliente se registra la forma de pago realizado por este, y se ha

verificado, entre otros, los sucesos {M}, {M, V, C} o E, donde M = efectivo, V = vales de despensa y C = tarjeta

de crdito,

Ejemplo 3.22. En el experimento E = "observar a un cliente", consideramos los sucesos:

A = {El cliente realiz una compra}

B = {El cliente es hombre}

C = {El monto de la compra del cliente es mayor que

$500}

D = {el cliente es mujer}

F = {el cliente tiene crdito en la empresa}

G = {el cliente ha presentado morosidad en sus

pagos}.

A y Dc son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.

C est contenido en A. Luego AC = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (compra mayor de

$500) ocurre el suceso A, puesto que el cliente ha realizado una compra.

B y D son incompatibles, ya que DB y complementarios, al cumplirse EDB .

BA {el cliente es hombre o realiz una compra o ambas cosas}.

GA {El cliente realiz una compra y ha presentado morosidad en sus pagos}

cDCDC {Clientes hombres cuyo monto de la compra es mayor que $500}

BDB ya que B y D son incompatibles puesto que DB .

Ejemplo 3.23. En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = par nmeroun Sacar .

B = {1, 2, 3, 5} = 5 3 2, 1,un obtener ".

C = {4, 6} = {obtener un 4 un 6".

D = {2, 4, 6} = {Obtener un 2, 4 6}.

F = {1,3} = {obtener un 1 un 3}.

G = {obtener un mltiplo de 3}.

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.

C est contenido en A. Luego AC = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 6) ocurre

el suceso A, puesto que se obtiene un nmero par.

B y C son incompatibles, ya que CB y complementarios, al cumplirse ECB .

BA par nmeroun sacar {1, 2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E. GA {2, 4, 6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso interseccin de los sucesos par nmeroun sacar y

tresde mltiploun obtener es 6un sacar .

DBDB {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = Aimpar nmeroun obtener

C y F son incompatibles puesto que FC .

Las operaciones unin, interseccin y complementacin (contrario) verifican las siguientes propiedades:




Propiedad Unin Interseccin

1. Conmutativa ABBA ABBA

2. Asociativa ABACBA )()( CBACBA )()(

3. Idempotente AAA AAA

4. Simplificacin AABA )( AABA )(

5. Distributiva )()()( CABACBA )()()( CABACBA

6. Elemento neutro AA A

7. Absorcin EEA AEA

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina lgebras de Boole. En el

lgebra Booleana se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

1) El suceso contrario de la unin de dos sucesos es la interseccin de sus sucesos contrarios:

ccc BABA 2) El suceso contrario de la interseccin de dos sucesos es la unin de sus sucesos contrarios:

ccc BABA

3.5. Probabilidad condicional En el clculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad ser en funcin del

conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Por ejemplo, si disponemos de una urna

que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir

para realizar una segunda extraccin, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola nmero 3 en la segunda

extraccin es la misma que en la primera. Si realizamos el mismo proceso sin remplazar la bola extrada la

probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola nmero 3 en la segunda extraccin depender de la bola extrada en

primer lugar. La definicin siguiente nos indica cmo calcular estas probabilidades.

Dados dos sucesos A y B tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, indicada por P(B/A),

a la probabilidad de B tomando a A como espacio de muestra, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que

ha sucedido A.

)A(P

)AB(P)A/B(P

De esta igualdad se deduce que:

P( BA ) = P( B/A ) P( A )

La frmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:

P( AB C ) = P( A ) P( B/A ) P( C/A B )

O bien por la frmula equivalente

P( AB C ) = P( A/ (B C) ) P( B/C ) P( C/A )

Estas dos frmulas admiten una generalizacin para un nmero cualquiera de sucesos.




Ejemplo 3.24. Una compaa de artculos de belleza coloca un anuncio de una nueva crema para la cara en una

televisora local. La compaa cree que el anuncio ser visto por un 36% de los televidentes y que el 3% de los

clientes que vean el anuncio comprarn la crema anunciada. . Calcule la probabilidad de que el televidente vea el

anuncio y compre la crema.

Respuesta: Definimos primero los eventos:

E= {Clientes que compran crema para la cara}; C = {clientes que compran la crema anunciada};

V = {Televidentes que ven el anuncio}

Los datos que ofrece el enunciado del problema son:

;

Es decir, la posibilidad de que un cliente vea el anuncio y compre la crema es de un 1.08%.

Ejemplo.3.25 Consideremos el experimento de {lanzar un dado al aire}. Calculemos, por ejemplo, la

probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un nmero impar:

Definimos los sucesos A = {sacar 3} y B = {1, 3, 5}; entonces,

puesto que si sabemos que ha salido

un nmero impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A slo 1.

3.5.1. Sucesos dependientes e independientes El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B,

pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del

otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre s. Formalmente

decimos que:

Dos sucesos A y B son independientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del

otro, es decir, si

P( B/A ) = P( B ) P( A/B ) = P( A )

y que dos sucesos A y B son dependientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del

otro, es decir, si

P( B/A ) P( B ) P( A/B ) P( A )




Como consecuencia inmediata de la definicin se tiene:

1. Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

P( A B ) = P( A ) P( B )

2. Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

a) P( A B ) = P( A ) P( B ) b) P( A C ) = P( A ) P( C ) c) P( B C ) = P( B ) P( C ) d) P( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C )

Ejercicios 2 Ejercicio. 3.6. En una colonia de esta ciudad, un 40% de la poblacin realiza sus compras en la tienda Ley ms

cercana, 25% de la poblacin realiza compras en la tienda Wal Mart ms prxima y el 15 % realiza sus compras

en ambas tiendas. Se selecciona al azar a una persona,

a. Cul es la probabilidad de que no compre en ninguna de las dos tiendas mencionadas? b. Si realiza sus compras en la tienda Ley ms cercana cul es la probabilidad de que no compre en la

tienda Wal Mart ms prxima?

Ejercicio.3.7. Realizamos un experimento que consiste en entrevistar a una persona seleccionada aleatoriamente

sobre la calidad en el transporte urbano de Hermosillo. Consideremos los sucesos siguientes: S = {la persona es

mujer} y O = {La persona opina que el transporte urbano es deficiente}, B = {La persona opina que el transporte

urbano es eficiente}.

a) Calcula los eventos i) SO ; ii) OS ; iii) SO ; iv) BS c ; v) BO y vi) BO b) Los eventos O y B son compatibles o incompatibles? c) Define los eventos opuestos a S, O y B

Ejercicio 3.8. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste

en sacar una bola de la urna, anotar el nmero y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A ={

salir un nmero primo} y B = { salir un nmero cuadrado}. Responda a las siguientes cuestiones:

a. Calcula los sucesos BABA y

b. Los sucesos A y B, son compatibles o incompatibles? c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Ejercicio 3.9. Se sortea un viaje a China entre los 120 mejores clientes de una agencia de automviles. De ellos,

65 son mujeres, 80 estn casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

a) Cul es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

b) Si del afortunado se sabe ya que es casado, cul es la probabilidad de que sea una mujer?

Ejercicio 3.10. En una empresa, el 40% de los empleados gana tres o ms salarios mnimos al mes y el 50% de

los mismos tiene 10 o ms aos de antigedad. Adems, la probabilidad de ganar tres o ms salarios mnimos al

mes teniendo diez o ms aos de antigedad en la empresa, es 0.8.

a) Probar que la mitad de los empleados de la empresa ganan menos de tres salarios mnimos y tienen menos de

10 aos de antigedad en la empresa.

b) Calcula el porcentaje de empleados que ganan 3 o ms salarios mnimos y tienen diez aos o ms de

antigedad en la empresa.

Ejercicio 3.11. Se lanzan dos dados:

a. Cul es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? b. Si la suma de puntos ha sido 7, cul es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un

tres?




Ejercicio 3.12. El 6% de los coches de una fbrica tienen defecto en el motor, el 8% tienen defecto en la

carrocera, y el 2% tienen ambos defectos.

a) Son independientes los sucesos tener defecto en el motor y tener defecto en la carrocera?.

b) Calcula la probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto.

c) Calcula la probabilidad de que un coche no tenga ningn defecto.

Ejercicio.3.13. En la fabricacin de un cierto artculo, se encuentra que se presenta un tipo de defecto con una

probabilidad 0.09 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0.045. Se supone la independencia entre

ambos tipos de defectos. Cul es la probabilidad que:

a. Un artculo no tenga ambos tipos de defectos? b. Un articulo sea defectuoso?

Ejercicio 3.14. Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P (B)=

0.6; P( )=0.58. a. Son independientes A y B?

b. Si M A, cul es el valor de P( / )?

3.6. Diferentes enfoques de probabilidad Para definir la probabilidad y determinar valores de probabilidad, se han desarrollado 3 enfoques conceptuales:

1) El enfoque clsico de probabilidad. 2) El enfoque de frecuencias relativas y 3) El enfoque subjetivo de

probabilidad.

Enfoque clsico de la probabilidad (a priori). Este enfoque permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori. Este

enfoque es aplicado cuando todos los resultados son igualmente probables (equiprobables) y no pueden

ocurrir al mismo tiempo.

Si queremos conocer la probabilidad de un evento A, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el nmero de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el nmero de

resultados posibles del experimento. Es decir,

Ejemplo.3.26. El jefe del Departamento de Polica, asignar una patrulla para que realice rondines durante la

noche en 5 colonias del sector poniente de Hermosillo. Las 5 colonias son elegidas aleatoriamente cada da.

Suponga que el poniente de Hermosillo lo componen 35 colonias entre las que se encuentra la colonia Nuevo

Sahuaro. Si definimos el evento A = {Asignacin de una patrulla para que realice rondines en la colonia Nuevo

Sahuaro el da de hoy} entonces, podemos calcular la probabilidad de que en la colonia mencionada, se realice

un rondn el da de hoy, como sigue:

Nmero de casos favorables en donde sale elegida la colonia Nuevo Sahuaro: ( )

Nmero de casos posibles = ( )

P(A) =

Ejemplo 3.27. Un lote de artculos contiene 13 artculos no defectuosos, 3 con defectos secundarios y 4 con

defectos considerables. Se toma al azar un artculo. Determine la probabilidad que el artculo:




a) no tenga defectos.

b) no tenga defectos considerables.

Del mismo lote se extraen 2 artculos al azar. Determine la probabilidad que:

c) ambos sean no defectuosos, si se extrae uno despus del otro

d) ambos tengan defectos considerables

Respuestas: Para resolver a) y b), aplicamos la definicin de Laplace como sigue:

a) P(No tenga defectos) =

b) P(No tenga defectos considerables) =

Para los casos c) y d) aplicamos la definicin de Laplace y el hecho de que la extraccin es consecutiva.

c) Realizamos la primera extraccin: P(No tenga defectos) =

Realizamos la segunda extraccin: P(No tenga defectos) =

Ahora, calculamos la probabilidad de que ambos eventos se lleven a cabo de la manera siguiente:

P(El primero no tenga defectos y el segundo no tenga defectos) .

d) Realizamos la primera extraccin: P(Tenga defectos considerables) =

Realizamos la segunda extraccin: P(Tenga defectos considerables) =

Ahora, calculamos la probabilidad de que ambos eventos se lleven a cabo de la manera siguiente:

P(El primero tenga defectos considerables y el segundo tenga defectos considerables) .

Ejemplo 3.28. Consideremos el experimento {lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado }.

El espacio de muestra es E = {1, X, 2}. Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:

1. P() = 0 2. P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3 3. P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3 4. P({1,X,2}) = P(E) = 1.

Enfoque de frecuencias relativas (a posteriori o emprico). Este enfoque afirma que la probabilidad

de un suceso, es el nmero al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso, a medida que crece el

nmero de veces que se realiza el experimento. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes

nmeros, establecida por Jakob Bernoulli. Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en

la proporcin de veces que ocurre un resultado favorable en cierto nmero experimentos. No implica

ningn supuesto previo de igualdad de probabilidades. A este enfoque se le denomina tambin enfoque

emprico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observacin y de la

recopilacin de datos. Tambin se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene despus de

realizar el experimento un cierto nmero de veces.

La frecuencia relativa del suceso A, indicada por )( Ar

f se obtiene mediante la frmula:




Este enfoque tiene el inconveniente de variar la sucesin de las frecuencias relativas de unas series de

realizaciones a otras (muestreos), si bien el valor al que se aproximan, a medida que el nmero de realizaciones

aumenta, se mantiene estable.

Ejemplo 3.29. Se realiza un experimento en una empresa donde hay 720 trabajadores. El experimento consiste

en seleccionar aleatoriamente a un trabajador y preguntarle su sexo. Se sabe que en la empresa hay 230 mujeres

y 490 hombres. Si definimos el evento M = {La persona seleccionada es mujer} entonces,

3194444.0)(720

230M

rf

Ejemplo 3.30. Antes de incluir la cobertura para personas diabticas en plizas de seguros mdicos para adultos

con empleo, una compaa de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa enfermedad, para

que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadstica recopila

datos para 15,000 personas que se encuentran en las categoras de edad apropiadas y encuentra que 200 de ellos

han experimentado sntomas de diabetes. La probabilidad de ocurrencia es:

Enfoque subjetivo de probabilidad (personalista). Este enfoque se diferencia de los dos anteriores, debido a que tanto el enfoque clsico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad

objetivos y este enfoque seala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una

persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado

en la intuicin, opiniones, creencias personales y otra informacin indirecta. Este enfoque no depende de

la repetitividad de ningn evento y permite calcular la probabilidad de sucesos nicos y se da el caso de

que ocurra o no esa nica vez. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque

subjetivo se le denomina tambin enfoque personalista.

Ejemplo 3.31. a) Existe la probabilidad del 90% de que las ventas mejoren el ao prximo. b) Hay una alta

probabilidad del 20% de que hoy llueva. c) Existe una probabilidad del 80% de sacarme un 100 en el

examen de estadstica I.

Ejemplo 3.32. A causa de los impuestos y de otros posibles usos de sus fondos, un inversionista ha

determinado que la compra de terrenos slo se justifica si existe al menos una probabilidad de 0.90 de que

los terrenos estimen su valor en un 50% o ms en los cuatro aos siguientes. Al evaluar cierto terreno, este

inversionista estudia los cambios de precio en el rea en los aos recientes, considera los niveles de precios

vigentes, estudia la situacin imperante y probablemente futura de proyectos de desarrollo urbano y consulta

las estadsticas sobre el desarrollo econmico del rea geogrfica en general. Con base en este recuento,

concluye que existe una probabilidad de alrededor de 0.75 de que efectivamente ocurra la requerida

apreciacin de valor. Puesto que este valor de probabilidad es inferior a la probabilidad mnima requerida de

0.90, el inversionista determina que la compra de terrenos en este momento, no se justifica.




Ejercicios 3 Ejercicio 3.15. Se escogen al azar 5 artculos elctricos entre un total de 20, de las cuales 8 son defectuosos.

Calcule la probabilidad que:

a) ninguna sea defectuosa

b) una exactamente sea defectuosa

c) por los menos una sea defectuosa.

Ejercicio 3.16. En una empresa hay 10 profesionistas: 3 administradores, 5 ingenieros y 2 contadores. Se eligen

3 profesionistas al azar:

a) Hallar la probabilidad de que los tres tengan profesin distinta.

b) Hallar la probabilidad de que los tres tengan la misma profesin.

Ejercicio 3.17. Dos personas piensan acudir a un buen restaurant de la localidad, sabiendo que slo hay 10

restaurantes en la localidad considerados como buenos, calcula la probabilidad de que las dos personas no

piensen asistir al mismo restaurant.

Ejercicio 3.18. El departamento de caballeros de un centro comercial tiene 2 empleados hombres y 3 mujeres, y

el departamento de zapatera del mismo centro comercial tiene 4 hombres y 3 mujeres.

a) Si se elige al azar uno de los dos departamentos y se selecciona un empleado al azar, cul es la probabilidad de que se trate de un hombre?

b) Si se elige al azar uno de los dos departamentos y se selecciona dos empleado al azar, cul es la probabilidad de que se trate dos mujeres?

Ejercicio 3.19. En una empresa hay 24 trabajadores, de los cuales 14 de los empleados son hermosillenses. De

entre los hermosillenses, 7 son hombres, mientras que de los forneos, slo 2 son hombres.

a) Qu porcentaje de empleados forneos son mujeres?

b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la empresa sea mujer.

c) Fernando trabaja en dicha empresa. Cul es la probabilidad de que sea hermosillense?

Ejercicio 3.20. En el ayuntamiento de Hermosillo hay cinco regidores del partido PRI, cuatro del PAN y uno del

PRD, si se eligen al azar y sucesivamente 3 regidores,

a) cul es la probabilidad de que los tres sean del partido PRI? b) Cul es la probabilidad de que los regidores pertenezcan a partidos distintos?

Ejercicio 3.21. Si escogemos al azar dos nmeros de telfono y observamos la ltima cifra de cada uno,

determina las probabilidades siguientes:

a. Que las dos cifras sean iguales. b. Que su suma sea 11. c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.

Ejercicio 3.22. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a. La suma de los nmeros aparecidos sea menor que 8. b. La suma de los nmeros sea mayor que 4 y menor que 8.

3.7. Combinatoria y clculo de probabilidades El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido de manera conjunta con el desarrollo de probabilidad.

Con frecuencia se nos presenta la necesidad de calcular el nmero de maneras distintas en que un suceso se

presenta o puede realizare. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento

especfico. En ambos casos se requiere del sentido comn, o se establecen mtodos que permitan sistematizar

tales clculos. Con frecuencia el sentido comn ayuda a entender por qu se eligi un procedimiento dado,

mientras que la formalizacin del clculo las vas para encontrar las soluciones apropiadas. En esta seccin estudiaremos algunas tcnicas de conteo y calcularemos probabilidades usando estas tcnicas.

3.7.1. Tcnicas de conteo Las tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar. El principio

fundamental en el proceso de contar ofrece un mtodo general para contar el nmero de posibles arreglos de




objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Al conjunto de tcnicas de conteo se le denomina

anlisis combinatorio y nos permite resolver muchos problemas prcticos. El estudio y comprensin de este tema

es muy til para entender y resolver problemas sobre el clculo de probabilidades ya que en l tenemos una

manera prctica y abreviada de contar las operaciones o actividades que se presentan y que son designadas como

eventos o sucesos.

Con las tcnicas de conteo y con el anlisis combinatorio se pueden calcular por ejemplo, cuntos nmeros

telefnicos de un nmero determinado de dgitos, cuntas placas de autos se pueden hacer utilizando una

combinacin dada de letras y nmeros. Por otro lado,

3.7.2. Principios fundamentales del anlisis combinatorio En la mayora de los problemas del anlisis combinatorio se observa que una operacin o actividad aparece en

forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operacin. Para dichos

casos es til conocer determinadas tcnicas o estrategias de conteo que facilitarn el clculo sealado. Por

ejemplo podemos calcular, 1) las diferentes maneras que una persona se puede vestir, utilizando un nmero

determinado de prendas de vestir, 2) las distintas maneras en que 8 personas pueden ocupar la plaza de 5

empleos disponibles, 3) las formas posibles en que pueden seleccionarse 10 personas de un total de 37

candidatos y 4) cuntas palabras de 5 letras que contengan 4 vocales y 2 consonantes.

3.7.2.1. Principio multiplicativo Si un evento o suceso A puede ocurrir, de m maneras diferentes y otro suceso, de manera independiente al

primero, puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces el nmero de maneras distintas en que pueden suceder

ambos sucesos es .

Ejemplo 3.33. De cuntas maneras pueden repartirse 4 premios a un conjunto de 85 personas, suponiendo que

cada persona no puede obtener ms de un premio?

Solucin: 1) Existen 85 personas que pueden recibir el primer premio. 2) Una vez que el primer premio ha sido

entregado, existen 84 personas que pueden recibir el segundo, 3) una vez entregados los dos primeros premio,

existen 83 personas que pueden recibir el tercer premio y 4) una vez entregados los 3 primeros premios existen

82 personas que pueden recibir el ltimo premio. Por lo tanto, existen maneras distintas de entregar los premios.

Ejemplo 3.34. Cuntas placas para automvil pueden hacerse si cada placa consta de tres letras diferentes

seguidas de tres dgitos diferentes? (considere 26 letras del alfabeto).

Solucin: 1) Con las letras se pueden formar placas y 2) con los dgitos se pueden formar placas. Por lo tanto, el nmero de placas que cumplen simultneamente con ambos requerimientos son

3.7.2.2. Principio aditivo Si un evento A puede realizarse de m maneras distintas y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes

y si , (es decir, no es posible que ambos eventos se realicen juntos), entonces el evento A o el evento B se realizarn de (m + n) maneras distintas.

Ejemplo 3.35. Un tipo de detergente se vende en 6 tiendas de Ley y en 4 tiendas Soriana. De cuntas formas se

puede adquirir el detergente?

Solucin: Se cuentan con 6 formas de la tienda Ley ms 8 formas de la tienda Soriana. Por lo tanto, existen14

formas distintas de adquirir el detergente.

Ejemplo 3.36. Se desea cruzar un ro, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. De cuantas

formas se puede cruzar el ro utilizando los medios de transporte sealados?




Solucin: Se tienen 3 formas con los botes, 2 formas con las lanchas y 1 forma con el deslizador. Por lo tanto,

existen 6 formas distintas de cruzar el rio.

3.7.3. Combinaciones Una combinacin, es un arreglo de objetos en donde no nos interesa el lugar, orden o posicin que ocupan los

objetos del arreglo. Existen dos tipos de combinaciones, con repeticin y sin repeticin, por requerimientos del programa de la materia y fines prcticos del desarrollo del tema de probabilidad, en este curso slo veremos las

combinaciones sin repeticin. Las combinaciones de n objetos tomados en grupos de k objetos, se calculan

mediante la frmula siguiente:

(

)

donde la expresin ( ) representa las combinaciones de n objetos, tomados en grupos de k objetos", n ! " se

denomina "factorial de n" y es la multiplicacin de todos los nmeros que van desde "n" hasta 1. Por ejemplo, 5!

= = 120. Por definicin, 0! = 1.

Ejemplo 3.37. ( ) son las combinaciones de 15 elementos agrupndolos en grupos de 8 elementos. Existen

(

)

Es decir, podramos formar 6,435 grupos diferentes de 8 objetos, a partir de 15 de stos.

3.7.4. Permutaciones Una permutacin es todo arreglo de objetos en donde nos interesa el orden, lugar o posicin que ocupa cada uno

de los objetos que constituyen dicho arreglo. Para calcular el nmero de permutaciones se aplica la frmula

siguiente:

donde La expresin representa las permutaciones de "n" objetos, tomando todos los objetos a la vez. Los conjuntos de objetos se diferenciaran nicamente por el orden de los objetos. Al igual que en las combinaciones,

existen dos tipos de permutaciones con repeticin y sin repeticin y con fines prcticos slo estudiaremos las

permutaciones sin repeticin.

Ejemplo 3.38. Calcular las permutaciones de 5 objetos tomados todos a la vez.

Solucin. permutaciones.

Es decir, tendramos 120 formas diferentes de agrupar 5 objetos.




3.7.5. Ordenaciones Las ordenaciones son aquellas formas de agrupar n objetos de un conjunto, tomando grupos de r objetos a la vez

y teniendo en cuenta el orden en que se colocan. Para calcular el nmero de variaciones se aplica la frmula

siguiente:

La expresin representa las ordenaciones de "n" objetos, formando grupos de "r" objetos elegidos a la vez.

En este caso, un subgrupo se diferenciar del resto, ya sea por los objetos que lo forman o por el orden de dichos

objetos. Tambin existen dos tipos de ordenaciones, con repeticin y sin repeticin y por causas explicadas

antes, slo estudiaremos las ordenaciones sin repeticin.

Ejemplo 3.39. Calcular las ordenaciones posibles de 6 objetos tomando grupos de 3 objetos a la vez.

ordenaciones

Por lo tanto, se pueden formar 120 grupos diferentes de 3 objetos, a partir de los 6 objetos.

Ejercicios 4 Ejercicio 3.23. a) De cuntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y

tesorero de una empresa, sabiendo que hay 12 posibles candidatos? b) Si Hugo, Paco y Luis pertenecen al grupo

Qu probabilidad hay de que al menos dos de ellos sean seleccionados?

Ejercicio 3.24. a) Con las letras de la palabra libro, cuntas palabras de cinco letras se pueden hacer que

empiecen por vocal? b) calcula la probabilidad de que al elegir una palabra al azar, sta empiece con una vocal.

Ejercicio 3.25. a) De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en

tres? b) Cul es la probabilidad de que una mezcla dada contenga los colores rojo y azul?

Problema 3.26. a) Cuntos nmeros de cinco cifras distintas mayores de 65,350 se pueden formar con las cifras

impares? Cul es la probabilidad de que un nmero seleccionado al azar sea tambin mayor que 70,000?

Ejercicio 3.27. A una reunin asisten 10 personas 6 hombres y 4 mujeres, se intercambian saludos entre todos.

a) Cuntos saludos se han intercambiado? b) Si se seleccionan al azar dos personas de las 10 posibles para que

se saluden, Cul es la probabilidad de que sean dos mujeres?

Ejercicio 3.28. Con las cifras 1, 3 y 4, a) cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse? b) Cul es la

probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente uno de estos nmeros, ste sea impar?

Ejercicio 3.29. a) De cuntas formas pueden colocarse 12 solicitantes de empleo en 12 puestos disponibles,

teniendo en cuenta que el mensajero (office boy) y el encargado de la limpieza no pueden ocupar otra posicin

distinta a la que les corresponden? b) Si existen dos puestos de capturista, Cul es la probabilidad de que a un

solicitante seleccionado al azar le toque el puesto de capturista?

Ejercicio 3.30. Una mesa presidencial est formada por ocho personas, a) de cuntas formas distintas se pueden

sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? b) Cul es la probabilidad de que ambos queden

separados?

Ejercicio 3.31. De un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres se formar un comit de 5 personas

a) De cuntas formas distintas pueden formarse estos comits? b) Cul es la probabilidad de que el comit est

formado por puras mujeres? c) Cul es la probabilidad de que el comit este formado por 2 hombres y 3

mujeres?




3.8. Distribuciones de probabilidad Toda variable aleatoria posee una distribucin de probabilidad que describe su comportamiento. Si la variable es

discreta, su distribucin de probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la

probabilidad de que cada uno ocurra. En el caso de una variable continua, la distribucin de probabilidad permite

determinar las probabilidades correspondientes con subintervalos de valores. Una forma usual de describir la

distribucin de probabilidad de una variable aleatoria es mediante la denominada funcin de densidad, en tanto

que lo que se conoce como funcin de distribucin representa las probabilidades acumuladas.

Una de las preocupaciones de los investigadores actuales es construir modelos de distribuciones de probabilidad

que puedan representar el comportamiento de diferentes fenmenos aleatorios que aparecen en el mundo real.

Por ejemplo, un gerente de una aerolnea podra estar interesado en modelar el nmero de pasajeros que no se

presenta a tomar el vuelo, con el propsito de fijar las polticas de la empresa en lo relativo a este aspecto. En

este caso, el nmero de pasajeros que no se presentan son aleatorios, varan de un vuelo a otro, como de un da a

otro en el mismo vuelo. El nmero de pasajeros que no toman el vuelo es una variable numrica, y hablar del

nmero promedio de pasajeros que no se presentan o del nmero estimado de pasajeros que no se presentarn en

un vuelo especfico en un da determinado tiene un sentido muy claro.

La pretensin de modelar lo observable ha constituido siempre una necesidad bsica para el investigador

emprico, dado que a travs de esas construcciones tericas, los modelos, puede experimentar sobre aquello que

la realidad no le permite. Por otra parte, un modelo resulta extremadamente til para un investigador, siempre y

cuando corresponda con la realidad que pretende representar o predecir, de manera que resalte las propiedades

ms importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificacin que implica todo modelo. En

la prctica, existen distribuciones discretas de probabilidad tales como la binomial, la hipergeomtrica y la de

Poisson las cuales estudiaremos en esta seccin y distribuciones continuas tales como la normal, la F y la Ji

cuadrado.

3.8.1. Distribuciones discretas de probabilidad. Para definir el concepto de una distribucin discreta de probabilidad nos basaremos en el siguiente problema:

Suponga que se lanzan dos dados sobre una mesa y nuestro objetivo es obtener la probabilidad de que la suma de

los puntos en los dados. Si suponemos que todos los resultados observados al tirar los dados son equiprobables

(tienen la misma posibilidad de salir) entonces, el espacio de muestra del experimento, con 36 resultados

posibles es el que se muestra en la Tabla 3.1.

TABLA 3.1. ESPACIO DE MUESTRA DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.

D a d o 2

D

a

d

o

1

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2,5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5,5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Una vez determinado el espacio de muestra, podemos calcular la probabilidad para cada uno de los casos

posibles. Por ejemplo, X = 7 se interpretar como el evento de que se observ el resultado 7 al tirar los dos

dados, esto es el evento (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ocurri. Por lo tanto, P(X = 7) = P( (1,

6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ) = 61

366 . Todas las probabilidades posibles se muestran en la Tabla 3.2.




TABLA 3.2. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.

Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidad 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Hemos encontrado la distribucin de probabilidad de los valores posibles de la suma en el lanzamiento dos

dados.

Si D1 representa el resultado observado en el dado 1 y D2 el resultado que se obtiene en el dado 2, podemos

expresar el valor que nos interesa as: X = D1 + D2. Antes de lanzar los dados, no se sabe qu valores se

observarn para D1 y D2, por lo tanto tampoco se sabe el valor para X. El valor que X tomar puede variar de

tirada en tirada sujeto a la distribucin especificada en la Tabla 3.2. As X es una variable, que asume un nmero

finito de valores sujeto a una distribucin de probabilidad. Este es un ejemplo que complementa el concepto de

una variable aleatoria discreta visto en el ejercicio 3.14. Otros ejemplos son las variables D1 y D2. En general, si

S es un espacio de muestra con una medida de probabilidad P, se define una variable aleatoria como una

funcin que asigna un nmero real a cada uno de los elementos de S. Es decir, X es una funcin cuyo dominio es

el espacio de muestra S y su rango es el conjunto de los nmeros reales.

En el caso del lanzamiento de dos dados, la variable X puede asumir un valor de entre un conjunto finito de

valores posibles. Como se dijo antes, cualquier variable que pueda tomar un nmero finito de valores decimos

que es una variable aleatoria discreta. Tambin son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un

nmero muy grande o infinito de valores que potencialmente podran ser contados, tal como el nmero de latas

de atn producidas por la empresa Guaymex, el nmero de clientes que han comprado en las tiendas Soriana

desde su apertura, el nmero de estrellas en el firmamento, el nmero de hojas en los rboles, el nmero de

granos de arena en Baha de Kino etc.

En la Tabla 3.2 observamos que a cada valor posible de X, le asignamos un nmero correspondiente a su

probabilidad. De esta forma podemos definir otra funcin: ),()( xXPxf para cada nmero x en el campo

de valores de la variable X. Esta funcin se llama funcin de probabilidad o distribucin de probabilidad de

la variable X. Para el ejemplo que estamos tratando de la suma en el lanzamiento de dos dados, los valores de

esta funcin estn dados en la Tabla 3.2, la cual podemos rescribir utilizando los conceptos estudiados.

TABLA 3.3. FUNCION DE PROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 )( xf

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Podemos observar las siguientes propiedades: )( xf nunca adquiere un valor menor que cero. Esto se debe a

que )( xf representa una probabilidad, la cual nunca puede ser negativa. De igual manera )( xf nunca puede

ser mayor que 1. Si sumamos todos los valores que puede tomar )( xf obtenemos 1, debido a que estamos

sumando las probabilidades de que la variable aleatoria tome uno de los valores establecidos. Por definicin, la

funcin de probabilidad tiene las siguientes caractersticas:

1. )( xf 0 para todo valor x en el dominio.

2. x

xf 1)( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio de f.

Los valores de la funcin de probabilidad, para el caso sumar los resultados al lanzar dos dados, se pueden

representar en una grfica como la que se presenta en la Figura 3.1.




Figura 3.1. Histograma de probabilidad de x.

La probabilidad de observar un valor particular de la variable aleatoria, por ejemplo X = 4 est dado por la altura

de la barra sobre el 4, es decir 30804121

363 .)( XP . De manera similar, en lugar de asociar la altura de

la barra con la probabilidad, podemos ver que el rea de la barra sobre el 4 es 30801121

363

363 . , ya que la

altura de la barra es de 3080121

363 . y su ancho es 1. Utilizar el rea de las barras para representar la

probabilidad es muy til para extender la nocin de probabilidad a otras variables.

Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P( X 5 ). Vemos que P(X 5 ).= P(X = 2 X = 3 X = 4 X =5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5), ya que los eventos donde X =

2, X = 3, X = 4 y X = 5 son disjuntos o ajenos, se tiene que P(X 5 ).= 3610

364

363

362

361 , que se obtiene

sumando las reas de las barras que estn sobre el 5 y a su izquierda. Se debe ser muy cuidadoso con las

desigualdades ya que P(X 5 ).= 185

3610 , mientras que P( X < 5 ) =

61

366 .

Si extendemos la idea de probabilidades acumulativas, podemos definir otra funcin partiendo de la distribucin

de probabilidad. Si X es una variable aleatoria discreta, definimos la funcin de distribucin de X o funcin

acumulativa de X de la manera siguiente:

F(x) = P(X x ) =

para xt

tf )( x

La Tabla 3.4 presenta la funcin de distribucin acumulativa del resultado observado al tirar dos dados.

TABLA 3.4. FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULATIVA DEL TOTAL OBSERVADO AL TIRAR DOS DADOS.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 )( xF

361

363

366

3610

3615

3621

3626

3630

3633

3635

3636

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

P(

X =

x)

Valor observado de la variable x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




De la Tabla 3.4 podemos deducir algunas propiedades. Por ejemplo, observamos que F(4) F(5), es decir si el

valor en que se evala la funcin es mayor, el valor de la funcin tambin ser mayor.

A pesar de que el valor de la funcin de la distribucin acumulativa para x = 5.7 no est incluida entre los

valores en la tabla, podemos utilizar la definicin para obtenerlo F(x) = P(X x ), as F(5.7) = P(X 5.7 ).

Cuando escribimos esta ltima probabilidad nos preguntamos cul es la probabilidad de observar que el total

de puntos de dos dados es menor o igual que 5.7? Por la naturaleza del experimento, vemos que no es posible

observar valores distintos a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, por esta razn los resultados que pueden observarse

y que son menores o iguales a 5.7 son 2, 3, 4, 5, se tiene que, F(5.7) = P(X 5.7) = F(5) = 185

3610 . Esto

demuestra que la propiedad que habamos visto antes, en la que establecimos que si a y b son dos nmeros reales

con a b entonces F(a) F(b) no siempre es cierta. La que si es cierta es que si tenemos dos nmeros reales a y

b, tal que a b entonces F(a) F(b). Por la definicin de probabilidad y por esta propiedad, vemos que el valor

ms grande que puede tener F(x) es 1 y el valor ms pequeo de esta funcin es 0. Hagamos un resumen de las

propiedades encontradas.

1. F(-) = 0

2. F() = 1

3. Si a y b son nmeros reales a b, entonces F(a) F(b). Esto significa, en el lenguaje matemtico, que F es una funcin no decreciente.

4. F(x) es una funcin continua por la derecha: si a es un nmero real, entonces )()( aFxFax

lim .

La grfica de F(x) parece una escalera y se muestra en la Figura 3.2. Podemos ver el motivo por el cual esta

grfica debe ser de esta manera si examinamos los valores de la funcin de distribucin en un intervalo tal como

[6, 7]. Vemos que F(6) = 3615 si escogemos un nmero x mayor que 6, pero menor que 7, tenemos que F(x) =

3615 .

Sin embargo, al evaluar la funcin en x = 7 vemos que F(7) = 127

3621 , por esta razn la grfica muestra un salto

en ese punto.

Figura 3.2. Grfica de la funcin de distribucin acumulativa del total de puntos al tirar dos dados.

Tambin podemos notar que el tamao del salto en x = 6 nos dice la probabilidad de X = 7. Para valores de x

entre 6 y 7 (sin incluir el 7) tenemos que F(x) = 3615 , como habamos visto y luego F(7) =

3621 , as el tamao del

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F(X

) =

P(X

x)

Valor observado de la variable X.




salto en X = 6 es 61

366

3615

3621 . Este ltimo valor es la probabilidad de que el total de puntos en dos dados, X

sea igual a 7, es decir, P(X = 7) = 61 .

Visto de otra manera, P(X = 7) = P(X 7) P(X 7). Esto es igual a P(X 7) P(X 6) = 3615

3621

61

366 .

En general, el tamao del salto de la funcin de distribucin en un valor particular, nos da la probabilidad de que

la variable aleatoria sea igual a ese valor.

3.8.2. Valor esperado de variables aleatorias discretas. Sea X una variable aleatoria con funcin de probabilidad ),( xf entonces el valor esperado de X es

.)()( x

xfxXE Ilustremos esta frmula mediante dos ejemplos.

Ejemplo 3.40. Si X es el nmero de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, obtenemos el valor

esperado de la variable aleatoria 2XY .

La funcin de probabilidad de X es 61)( xf si .6 5, 4, 3, 2, ,1x La funcin de probabilidad de

2XY es entonces 61)( yf si ,36 25, 16, 9, 4, ,1y as

.)( 63652541639241 xPxPxPxPxPxPYE

366125

6116

619

614

611

61 )(YE

)()()( 33221122

XPXPXP

)()()( 665544222

XPXPXP

.)( x

xXPx2

Ejemplo 41. Si X es una variable aleatoria que tiene funcin de probabilidad 61)( xf si

3 2, 1, 0, 1,- ,2x y 2XY . La funcin de probabilidad de Y es 62)( yf si 4 1,y y

61)( yf si

.,9 0y Entonces .)( 9610

614

621

62 YE Esta ecuacin la podemos rescribir como:

.)( 9610

614

621

62 YE

)()()()( 19004411 YPYPYPYP

).()()()( 33002 221 112222

XPXPXXPXXP

))()()()( ( 22 22 11 11 2222 X)(-XPXPXP P

+ )( 002

XP ).( 332

XP

.)( x

xXPx2

A travs de estos ejemplos, e visualiza que no es necesario calcular la funcin de probabilidad de Y , slo se

tiene que usar la funcin de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la funcin .)( 2XXgY




Esto es cierto an en el caso en que la funcin no es uno a uno. Esto conduce al teorema siguiente cuya prueba

se omite.

Nota. Todas las demostraciones de los teoremas se omitirn, por no estar dentro de los intereses de este texto.

Teorema 3.1. Si X es una v. a. discreta y )( xf es su funcin de linealidad, )( XgY es una

funcin a valores reales, es decir, Y es una variable aleatoria, entonces su valor esperado es

x

xfxgxgEYE ).()())(()(

En particular se puede utilizar este teorema en el caso especial en que la funcin )( Xg es lineal, es decir

,)( baXXgY donde ., ba As se obtiene

x

xXPbx x

xXPaxxXPbaxbaXEYE )()()()()()(

.)()()( bXaEx

xXPbx

xXxPa

Este resultado nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 3.2. Si a y b son constantes reales y baXXg )( es una funcin a valores reales,

entonces .)()( bXaEbaXE

Corolario 3.1. Si a es una constante real, entonces ).()( XaEaXE

Corolario 3.2. Si b es una constante real, entonces .)( bbE

Teorema 3.3. Si nccc ,,, 21 son constantes reales, y ),(,),(),( XgXgXg n21 son funciones

reales de X, entonces

n

i

ii

n

i

ii XgEcXgcE11

))(()(

Existen casos especiales de la funcin )( Xg las cuales requieren ms atencin. En nuestro caso, nos interesa el

comportamiento de ))(( XgE cuando rXXg )( para r = 0, 1, 2, 3,... . La expresin )( rXE se conoce

como el errsimo momento de X alrededor del origen de la variable aleatoria X. Se tiene que

).()( xfxXEx

rr

El primer momento )( XE se conoce como la media (poblacional) de la variable aleatoria X y se indica

usualmente por la letra griega ( se lee mu ), ).( XE Otros momentos nos permiten describir la forma de

la distribucin de X. El errsimo momento de X alrededor de la media es

x

rr xfxXE ),()()( para r = 0, 1, 2, ...




El segundo momento alrededor de la media es de gran inters en estadstica y se conoce como la varianza

(poblacional) de la variable X. La varianza se denota a menudo mediante la letra griega (sigma minscula)

elevada al cuadrado: .)())( 222 XEXEXE Su raz cuadrada positiva, , se conoce como la desviacin estndar (poblacional) de X.

Frecuentemente es ms fcil calcular la varianza a partir del primer y segundo momento alrededor del origen.

Teorema 3.4. .)()()( 22222Var XEXEXEX

Teorema 3.5. Si X es una variable aleatoria con varianza ,2 entonces

.)()( 222VarVar aXabaX

La varianza es un valor muy til para estudiar la distribucin de una variable aleatoria. En particular, nos ofrece

informacin sobre la probabilidad de observar valores extremos de X. Esta relacin se establece en el siguiente

teorema.

Teorema 3.6. (Teorema de Chebyshev). Si X es una variable aleatoria con varianza 2 y media ,

entonces para cualquier constante positiva k, se tiene que

2

11

kkXP .

Ejercicios 5. Ejercicio 3.36. D 6 ejemplos de variables aleatorias discretas. Indique cules pueden tomar un nmero finito de

valores distintos y cules un nmero infinito de valores.

Ejercicio 3.33. D 3 ejemplos de variables aleatorias que no sean discretas.

Ejercicio 3.34. Examine la tabla 3.3 y usa la definicin de f(x) para deducir algunas propiedades de esta funcin.

Ejercicio 3.35. Verifica que la funcin

es una funcin de probabilidad para x = 1, 2, 3, 4, 5. Indique

su dominio y su campo de valores.

Ejercicio 3.36. Considera el lanzamiento de 4 monedas al aire. Defina la variable aleatoria Y como el nmero de

sellos observados. Construya la funcin de probabilidad de Y.

Ejercicio 3.37. Considera el lanzamiento de dos dados al aire. Defina la variable aleatoria X como la diferencia

de los puntos observados en los dados. Construya la funcin de probabilidad de X.

Ejercicio 3.38. Encuentre las siguientes probabilidades: P( X = 11 ), P( X < 5 ), P( X 6 ), P(X = 4.5 y P(X =

7.3) para el ejemplo anterior.

Ejercicio 3.39. Calcule la funcin de distribucin acumulativa de la suma de los puntos de dos dados.

Ejercicio 3.40. Use las propiedades de la funcin de probabilidad para encontrar algunas propiedades de la

funcin de distribucin acumulativa.

Ejercicio 3.41. Esta propiedad es siempre cierta? Examine que sucede con x = 5, x = 6 y con Ejercicio 3.42. Utilice la funcin de distribucin para encontrar P(X = 9.8).

3.8.3. Distribuciones discretas ms comunes En el estudio de las variables aleatorias, por lo general nos interesan las probabilidades de que puedan tomar

diversos valores posibles, es decir, sus distribuciones de probabilidad, en esta seccin se mencionan las ms

importantes.




3.8.3.1. Distribucin uniforme discreta. La variable aleatoria X tiene una distribucin uniforme discreta si su funcin de probabilidad est dada por

). si,(,,,, para 1

)( 21 jixxxxxxk

xfkxf jik Donde,

kixXE

k

i

1

1

)( y k

xk

i

i

12

1

2

)(

Las aplicaciones de las variables aleatorias distribuidas uniformemente se encuentran en el desarrollo de las

loteras y otras formas de juegos de azar; en la generacin de nmeros aleatorios para experimentos de ingeniera

o de simulacin y en la evaluacin de probabilidades previas de una persona en relacin con el resultado de

algn evento futuro para la toma de decisiones.

Ejemplo 3.42. La probabilidad de que en el lanzamiento de un dado legal aparezca un 5 es 61 y , es la misma

que la probabilidad de obtener un 3, o un 7, o un 2, etc.

3.8.3.2. Distribucin Bernoulli A esta distribucin tambin se le conoce como binomial punto. Si una variable aleatoria discreta X slo tiene

dos valores posibles, como sucede por ejemplo en experimentos en los que slo existen dos resultados posibles,

fracaso o xito, se le asigna 0 a fracaso y 1 a xito; si le llamamos p a la probabilidad de xito, la probabilidad de

fracaso es 1- p, que generalmente se le llama q, por lo que la densidad de X es:

0,)( xqxf

1, xp

= 0 de otro modo.

Esta funcin se puede resumir de la manera siguiente:

1,0 para p)-(1)( x-1 xxpxf

Cualquier variable aleatoria discreta X, cuya densidad se ajuste a esta patrn, se dir que se distribuye Bernoulli, con parmetro p, denotndose esto por:

X ~ Ber(p)

Ejemplo 3.43. La probabilidad de que un presunto cliente elegido aleatoriamente realice una compra es 0.20.

Por lo tanto, la probabilidad de que el cliente elegido no realice la compra ser de 1 0.20 = 0.80.

3.8.3.3. Distribucin Binomial. La distribucin binomial es una distribucin de probabilidad discreta, aplicable cada vez que suponga que un

proceso de muestreo conforma un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en

el cual:




i) Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observacin. Estos resultados obtenidos se denominan xito y fracaso.

ii) La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. iii) La probabilidad de xito, designada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. Es decir, el

proceso es estacionario

En una distribucin Binomial, se realizan n repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli. La

variable X representa el nmero de xitos obtenidos en las n repeticiones. Nos preguntamos sobre la probabilidad

de obtener x xitos en las n repeticiones, as, la funcin de probabilidad es:

).(.,,,,)()()( pnpnpnxxn

px

pCnxkxfxXP

1y211

2

Ejemplo 3.44. Suponga que un lote de 300 fusibles elctricos contiene 5% defectuosos. Determine la

probabilidad de que se pueda encontrar al menos un fusible defectuoso en una muestra de cinco fusibles.

Solucin. Es pertinente suponer que X, nmero de fusibles defectuosos observados, tenga aproximadamente una

distribucin binomial debido a que el lote es grande. As

P(al menos uno defectuoso) = 50

51)0(1 qp

226.0774.0195.01 5

obsrvese que existe una probabilidad bastante grande de obtener al menos uno defectuoso, aunque la muestra

sea relativamente pequea.

3.8.3.4. Distribucin Geomtrica. Se efectan tantas repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli como sean necesarias para

obtener el primer xito. Si la probabilidad de xito es p, la de fracaso es 1 - p, entonces la funcin de

probabilidad de X, el nmero de repeticiones hasta observar el primer xito es:

,,,,)()()( 3211 1 xpppxfxXP x

Su valor esperado es p

XE1

)( y su varianza es igual a 2

2 1)(p

pYV

.

Una variable aleatoria geomtrica no tiene memoria, es decir: :)()( mXPnXmnXP

Utilizando la definicin de probabilidad condicional obtenemos:

)./()(/,()( nPmnXPnXPnXmnXPnXmnXP

Ahora obtenemos el denominador:




n

x

xppnXPnXP1

1111 )()()(

1

0

111111

n

x

nx

p

pppp

)()(

np )( 1

As tenemos que

n

mn

p

pp

nXP

mnXPnXPnXmnXP

)(

)(

)(

)()(/,(

1

1 1

).()( mXPpp m 11

Ejemplo 3.45. Suponga que la probabilidad de que un motor falle durante cualquier periodo de una hora es

02.0p .

a) Encuentre la probabilidad de que dicho motor funcione bien durante 2 horas. b) Halle la media y la desviacin estndar de Y.

Solucin. a) Sea X el nmero de intervalos de una hora hasta la primera falla, entonces

P(de funcionar bien por dos horas) =

3

3

y

xpXP

Como ,11

y

xp

P(de funcionar bien por dos horas) =

3

1

y

xp

= 9604.002.098.002.011 qpp

b) Se tiene que la media = p

XE1

)( y su varianza es igual a 2

2 1)(p

pXV

. As que




5002.0

1)( XE , esto significa que se tendr que esperar muchas horas hasta que ocurra la primera falla.

Por oto lado,

450,202.0

02.01)(

2

2

XV , entonces la desviacin estndar de Y es 497.49450,2 .

3.8.3.5. Distribucin Binomial Negativa En esta distribucin se hacen tantas repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli como sean

necesarias para obtener k xitos. Si la probabilidad de xito es p, la de fracaso es 1 - p y la funcin de

probabilidad de Y, el nmero de repeticiones necesarias hasta observar k xitos es:

,2,1,,)1(),()(1

1

kkkxppkpxfxXP kxk

x

kC

La media de X es p

kXE )( y la varianza es

2

2 1)(p

pkYV

.

Ejemplo 3.46. Un estudio geolgico indica que un pozo exploratorio, perforado en una regin particular, debera

manar petrleo con una probabilidad de 0.20.

a) Encuentre la probabilidad de que el tercer encuentro de petrleo ocurra en el quinto pozo que se perfora.

b) Halle la media y la desviacin estndar.

Solucin. a) Sea Y el nmero de la prueba en la cual ocurre el tercer descubrimiento de petrleo, suponiendo

perforaciones independientes con una probabilidad de 0.2 de encontrar petrleo en cualquier paso. Entonces es

razonable suponer que Y tiene una distribucin binomial negativa con 2.0p . As

0307.08.02.02

455

23

pYP

b) Como la media de Y es p

kYE )( y la varianza es

2

2 1)(p

pkYV

, se tiene que

152.0

3

p

k . Esto indica que se espera perforar 15 pozos antes de que emane petrleo de alguno de

ellos y

122.0

2.0132

por lo que 464.312 .

3.8.3.6. Distribucin hipergeomtrica. En esta distribucin se tiene una poblacin finita de N elementos de los cuales k son de un tipo (digamos xitos)

y N - k son fracasos. Seleccionamos n elementos sin remplazo de la poblacin de N. Nos interesa la probabilidad

de obtener x xitos entre los n elementos seleccionados. La funcin de probabilidad de Y, el nmero de xitos

obtenidos entre los n elementos seleccionados est dada por:




.,;,,2,1,0 para,),,)( kNxnkxnxkNnxfxXP

C

CCN

n

kN

xn

k

x

La media de X, o valor esperado es: N

nkXE )( y la varianza de X es .

)(

))((

universidad de sonora - departamento de …ftapia/notas de clase/notas 2012/mis notas tema... ·...

Documents