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Notas de Estadística Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa I y Negocios y Comercio Internacionales.

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Marzo de 2011.

Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas 73

Tema III

Distribuciones discretas y continuas

En este tema analizaremos dos importantes temas de la inferencia estadística: las distribuciones discretas y las

distribuciones continuas. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable aleatoria puede pude tomar un

número determinado de valores. Por ejemplo, el número de trabajadores en cada uno de los departamentos de un centro

comercial o el número de automóviles ensamblados por día en la planta Ford de Hermosillo.

Las distribuciones continuas son aquellas que la variable aleatoria puede tomar un número infinito de posibles valores.

Por ejemplo, el peso promedio de las bolsas de 1 kg de café mexicano para exportación puede tomar una infinidad de

valores en un intervalo (0.995kg, 0.996kg., 09965kg., 0.998 kg., 0.9985 kg, …, 1.001 kg, 1.005 kg, 1.010 kg., etc.).

Como se mencionó en el tema II, una tabla, gráfico o expresión matemática que dé las probabilidades con que una

variable aleatoria toma diferentes valores, se llama distribución de la variable aleatoria. La inferencia estadística se

relaciona con las conclusiones que se pueden sacar acerca de una población de observaciones basándose en una muestra

de observaciones. Entonces intervienen las probabilidades en el proceso de la selección de la muestra; en este caso se

desea saber algo sobre una distribución con base en una muestra aleatoria de esa distribución. De tal manera vemos que

trabajamos con muestras aleatorias de una población que es más grande que la muestra obtenida; tal muestra aleatoria

aislada no es más que una de muchas muestras diferentes que se habrían podido obtener mediante el proceso de

selección. Este concepto es realmente importante en estadística.

3.1. Distribuciones discretas.

Muchas cuestiones de probabilidad, de gran importancia para los gerentes, comprenden resultados aleatorios numéricos.

Por ejemplo, el número de pasajeros que no hacen uso de una reservación en una línea aérea es de suma importancia al

fijar las políticas de la empresa en lo relativo a este aspecto. El número de pasajeros que no se presentan es aleatorio,

varía de un vuelo a otro, como de un día a otro en el mismo vuelo. El número de pasajeros que no toman el vuelo es una

variable numérica, y hablar del número promedio de pasajeros que no se presentaron tiene un sentido muy claro. El

concepto de variable aleatoria es la idea central para entender los resultados numéricos aleatorios.

Variables aleatorias discretas.

Para definir el concepto de variable aleatoria discreta, nos basaremos en el siguiente problema: Suponga que se lanzan

dos dados sobre una mesa y nuestro objetivo es obtener la probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea 11

o 7. Si suponemos que todos los resultados observados al tirar los dados son equiprobables (tienen la misma posibilidad

de salir) entonces el espacio de muestra del experimento, con 36 resultados posibles es




TABLA 3.1 ESPACIO DE MUESTRA DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.

Como nuestro interés es la suma de los puntos observados, si obtenemos el resultado (4 ,3) le asignamos el valor 7, el

cual corresponde a la suma de 4 y 3. Podemos calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 7 contando todos los

resultados donde la suma es 7 y dividiendo este valor entre el número de casos posibles (36). El evento de que la suma

es 7 contiene 6 resultados (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) por lo tanto, la probabilidad de obtener la suma de

7 es 61

366 . Podemos repetir el proceso para cada uno de los resultados y obtener la tabla siguiente:

TABLA 3.2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.

Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidad 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Hemos encontrado la distribución de probabilidad de los valores posibles de la suma al lazar dos dados si D1 representa

el resultado observado en el dado 1 y D2 el resultado que se obtiene en el dado 2, podemos expresar el valor que nos

interesa así: X = D1 + D2. Antes de lanzar los dados, no se sabe qué valores se observarán para D1 y D2, por lo tanto

tampoco se sabe el valor para X.

El valor que X tomará puede variar de tirada en tirada sujeto a la distribución especificada en la tabla 3.2. Así X es una

variable, que asume un número finito de valores sujeto a una distribución de probabilidad. Este es un ejemplo de una

variable aleatoria discreta. Otros ejemplos son las variables D1 y D2. En general, si S es un espacio de muestra con una

medida de probabilidad P, se define una variable aleatoria como una función que asigna un número real a cada uno de

los elementos de S. Es decir, X es una función cuyo dominio es el espacio de muestra S y su rango es el conjunto de los

números reales , en la notación usual SX : .

Así, por ejemplo X = 7 se interpretará como el evento de que se observó el resultado 7 al tirar los dos dados, esto es el

evento (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ocurrió. Por lo tanto, vemos que P(X = 7) = P( (1, 6), (2, 5), (3,

4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ) = 61

366 . Nótese que no obstante de que X es una función, usualmente no se escribe el

argumento de la función, es decir, si s es un elemento del espacio de muestra S, en lugar de escribir X(s), sólo

escribimos X. Es común denotar las variables aleatorias por letras mayúsculas y los valores que puede tomar por letras

minúsculas.

En este caso, la variable X puede asumir un valor de entre un conjunto finito de valores posibles. Cualquier variable que

pueda tomar un número finito de valores decimos que es una variable aleatoria discreta. También son variables

aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un número muy grande o infinito de valores que potencialmente podrían

ser contados, tal como el número de latas de atún producidas por la empresa Guaymex, el número de clientes que han

comprado en las tiendas Mazon desde su apertura, el número de estrellas en el firmamento, el número de hojas en los

árboles, el número de granos de arena en Bahía de Kino etc.

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2,5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5,5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

D

a

d

o

1

D a d o 2




Ejercicio 3.1. Dé 6 ejemplos de variables aleatorias discretas. Indique cuáles pueden tomar un número finito de valores

distintos y cuáles un número infinito de valores.

Ejercicio 3.2. Dé 3 ejemplos de variables aleatorias que no sean discretas.

En la tabla 3.2 observamos que a cada valor posible de X, le asignamos un número correspondiente a su probabilidad.

De esta forma podemos definir otra función: ),()( xXPxf para cada número x en el campo de valores de la

variable X. Esta función se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable X. Para el

ejemplo que estamos tratando de la suma en el lanzamiento de dos dados, los valores de esta función están dados en la

tabla 3.3, la cual podemos rescribir utilizando los conceptos estudiados.

TABLA 3.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA SUMA OBSERVADA EN EL LANZAMIENTO DE DOS DADOS.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)( xf 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Ejercicio 3.3. Examine la tabla 3.3 y usa la definición de )( xf para deducir algunas propiedades de esta función.

Podemos observar que )( xf nunca adquiere un valor menor que cero. Esto se debe a que )( xf representa una

probabilidad, la cual nunca puede ser negativa. De igual manera )( xf nunca puede ser mayor que 1. Si sumamos

todos los valores que puede tomar )( xf obtenemos 1, debido a que estamos sumando las probabilidades de que la

variable aleatoria tome uno de los valores establecidos. Por definición, la función de probabilidad tiene las siguientes

características:

1. )( xf 0 para todo valor x en el dominio.

2. x

xf 1)( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio de f.

Ejercicio 3.4. Verifica que la función 15

xxf )( es una función de probabilidad para x = 1, 2, 3, 4, 5. Indique su

dominio y su campo de valores.

Ejercicio 3.5. Considera el lanzamiento de 4 monedas al aire. Defina la variable aleatoria Y como el número de sellos

observados. Construya la función de probabilidad de Y.

Ejercicio 3.6. Considera el lanzamiento de dos dados al aire. Defina la variable aleatoria X como la diferencia de los

puntos observados en los dados. Construya la función de probabilidad de X.

Los valores de la función de probabilidad, para el caso “sumar los resultados al lanzar dos dados”, se pueden representar

en una gráfica como lo muestra la Figura3.1.




Figura 3.1. Histograma de probabilidad de x.

La probabilidad de observar un valor particular de la variable aleatoria, por ejemplo X = 4 está dado por la altura de la

barra sobre el 4, es decir 30804121

363 .)( XP . De manera similar, en lugar de asociar la altura de la barra

con la probabilidad, podemos ver que el área de la barra sobre el 4 es 30801121

363

363 . , ya que la altura de la

barra es de 3080121

363 . y su ancho es 1. Utilizar el área de las barras para representar la probabilidad es muy útil

para extender la noción de probabilidad a otras variables.

Ejercicio 3.7. Encuentre las siguientes probabilidades: P( X = 11 ), P( X < 5 ), P( X 6 ), )5.4( XP y P(X = 7.3)

para el ejemplo anterior.

Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P( X 5 ). Vemos que P(X 5 ).=

P(X = 2 ó X = 3 ó X = 4 ó X =5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5), ya que los eventos donde X = 2, X = 3, X =

4 y X = 5 son disjuntos o ajenos, se tiene que P(X 5 ).= 3610

364

363

362

361 , que se obtiene sumando las áreas de

las barras que están sobre el 5 y a su izquierda. Se debe ser muy cuidadoso con las desigualdades ya que P(X 5 ).=

185

3610 , mientras que P( X < 5 ) =

61

366 .

Si extendemos la idea de probabilidades acumulativas, podemos definir otra función partiendo de la distribución de

probabilidad. Si X es una variable aleatoria discreta, definimos la función de distribución de X o función acumulativa

de X de la manera siguiente:

F(x) = P(X x ) =

para xt

tf )( x

Ejercicio 3.8. Calcule la función de distribución acumulativa de la suma de los puntos de dos dados.

Ejercicio 3.9. Use las propiedades de la función de probabilidad para encontrar algunas propiedades de la función de

distribución acumulativa.

La tabla 3.4 presenta la función de distribución acumulativa del resultado observado al tirar dos dados.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

P(

X =

x)

Valor observado de la variable x

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




TABLA 3.4. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DEL TOTAL OBSERVADO AL TIRAR DOS DADOS.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

)( xF 361

363

366

3610

3615

3621

3626

3630

3633

3635

3636

De esa tabla podemos deducir algunas propiedades. Por ejemplo, observamos que F(4) F(5), es decir si el valor en

que se evalúa la función es mayor, el valor de la función también será mayor.

Ejercicio 3.10. ¿Esta propiedad es siempre cierta? Examine que sucede con x = 5, x = 6 y con 7.5x .

A pesar de que el valor de la función de la distribución acumulativa para x = 5.7 no está incluida entre los valores en la

tabla, podemos utilizar la definición para obtenerlo F(x) = P(X x ), así F(5.7) = P(X 5.7 ). Cuando escribimos esta

última probabilidad nos preguntamos ¿cuál es la probabilidad de observar que el total de puntos de dos dados es menor

o igual que 5.7? Por la naturaleza del experimento, vemos que no es posible observar valores distintos a 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10, 11, 12, por esta razón los resultados que pueden observarse y que son menores o iguales a 5.7 son 2, 3, 4, 5,

se tiene que, F(5.7) = P(X 5.7) = F(5) = 185

3610 .

Esto demuestra que la propiedad que habíamos visto antes, en la que establecimos que si a y b son dos números reales

con a b entonces F(a) F(b) no siempre es cierta. La que si es cierta es que si tenemos dos números reales a y b, tal

que a b entonces F(a) F(b). Por la definición de probabilidad y por esta propiedad, vemos que el valor más grande

que puede tener F(x) es 1 y el valor más pequeño de esta función es 0. Hagamos un resumen de las propiedades

encontradas.

1. F(-) = 0

2. F() = 1

3. Si a y b son números reales a b, entonces F(a) F(b). Esto significa, en el lenguaje matemático, que F es una

función no decreciente.

4. F(x) es una función continua por la derecha: si a es un número real, entonces )()( aFxFax

lim .

Figura 3.2. Gráfica de la función de distribución acumulativa del total de puntos al tirar dos dados.




La gráfica de F(x) parece una escalera tal y como se muestra en la Figura3.2. Podemos observar la razón por la cual esta

gráfica debe ser de esta manera si examinamos los valores de la función de distribución en un intervalo tal como [6, 7].

Vemos que F(6) = 3615 si escogemos un número x mayor que 6, pero menor que 7, tenemos que F(x) =

3615 . Sin embargo,

al evaluar la función en x = 7 vemos que F(7) = 127

3621 , por esta razón la gráfica muestra un salto en ese punto.

También podemos notar que el tamaño del salto en x = 6 nos dice la probabilidad de X = 7. Para valores de x entre 6 y 7

(sin incluir el 7) tenemos que F(x) = 3615 , como habíamos visto y luego F(7) =

3621 , así el tamaño del salto en X = 6 es

61

366

3615

3621 . Este último valor es la probabilidad de que el total de puntos en dos dados, X sea igual a 7, es decir,

P(X = 7) = 61 .

Visto de otra manera, P(X = 7) = P(X 7) P(X 7). Esto es igual a P(X 7) P(X 6) = 3615

3621

61

366 . En

general, el tamaño del salto de la función de distribución en un valor particular, nos da la probabilidad de que la variable

aleatoria sea igual a ese valor.

Ejercicio 3.11. Utilice la función de distribución para encontrar P(X = 9.8)

Valor esperado de variables aleatorias discretas.

Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad ),( xf entonces el valor esperado de X es

.)()( x

xfxXE Ilustremos esta fórmula mediante dos ejemplos.

Ejemplo 3.12. Si X es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, obtenemos el valor esperado de

la variable aleatoria 2XY .

La función de probabilidad de X es 61)( xf si .6 5, 4, 3, 2, ,1x La función de probabilidad de

2XY es entonces 61)( yf si ,36 25, 16, 9, 4, ,1y así

.)( 63652541639241 xPxPxPxPxPxPYE

366125

6116

619

614

611

61 )(YE

)()()( 33221122

XPXPXP

)()()( 665544222

XPXPXP

.)(

x

xXPx2

Ejemplo 3.11.2 Si X es una variable aleatoria que tiene función de probabilidad 61)( xf si

3 2, 1, 0, 1,- ,2x y 2XY . La función de probabilidad de Y es

62)( yf si 4 1,y y

61)( yf si

.,9 0y Entonces .)( 9610

614

621

62 YE Esta ecuación la podemos rescribir como:




.)( 9610

614

621

62 YE

)()()()( 19004411 YPYPYPYP

).()()()( 33002 ó 221 ó 112222

XPXPXXPXXP

))()()()( ( 22 22 11 112222

X)(-XPXPXP P

+ )( 002

XP ).( 332

XP

.)(

x

xXPx2

A través de estos ejemplos, e visualiza que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y , sólo se tiene que

usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la función .)( 2XXgY Esto es cierto

aún en el caso en que la función no es uno a uno. Esto conduce al teorema siguiente cuya prueba se omite.

Nota. Todas las demostraciones de los teoremas se omitirán, por no estar dentro de los intereses de este texto.

Teorema 3.1. Si X es una v. a. discreta y )( xf es su función de linealidad, )( XgY es una función a

valores reales, es decir, Y es una variable aleatoria, entonces su valor esperado es

x

xfxgxgEYE ).()())(()(

En particular se puede utilizar este teorema en el caso especial en que la función )( Xg es lineal, es decir

,)( baXXgY donde ., ba Así se obtiene

x

xXPbx x

xXPaxxXPbaxbaXEYE )()()()()()(

.)()()( bXaEx

xXPbx

xXxPa

Este resultado nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 3.2. Si a y b son constantes reales y baXXg )( es una función a valores reales, entonces

.)()( bXaEbaXE

Corolario 3.1. Si a es una constante real, entonces ).()( XaEaXE

Corolario 3.2. Si b es una constante real, entonces .)( bbE

Teorema 3.3. Si nccc ,,, 21 son constantes reales, y ),(,),(),( XgXgXg n21 son funciones

reales de X, entonces

n

i

ii

n

i

ii XgEcXgcE11

))(()(




Existen casos especiales de la función )( Xg las cuales requieren más atención. En nuestro caso, nos interesa el

comportamiento de ))(( XgE cuando rXXg )( para r = 0, 1, 2, 3,... . La expresión )( rXE se conoce como el

errésimo momento de X alrededor del origen de la variable aleatoria X. Se tiene que ).()( xfxXEx

rr

El primer momento )( XE se conoce como la media (poblacional) de la variable aleatoria X y se indica usualmente por

la letra griega (se lee mu ), ).( XE Otros momentos nos permiten describir la forma de la distribución de X. El

errésimo momento de X alrededor de la media es

x

rr xfxXE ),()()( para r = 0, 1, 2, ...

El segundo momento alrededor de la media es de gran interés en estadística y se conoce como la varianza (poblacional)

de la variable X. La varianza se denota a menudo mediante la letra griega (sigma minúscula) elevada al cuadrado:

.)())( 222 XEXEXE Su raíz cuadrada positiva, , se conoce como la desviación estándar

(poblacional) de X.

Frecuentemente es más fácil calcular la varianza a partir del primer y segundo momento alrededor del origen.

Teorema 3.4. .)()()( 22222Var XEXEXEX

Teorema 3.5. Si X es una variable aleatoria con varianza ,2 entonces

.)()( 222VarVar aXabaX

La varianza es un valor muy útil para estudiar la distribución de una variable aleatoria. En particular, nos ofrece

información sobre la probabilidad de observar valores extremos de X. Esta relación se establece en el siguiente teorema.

Teorema 3.6. (Teorema de Chebyshev). Si X es una variable aleatoria con varianza 2 y media ,

entonces para cualquier constante positiva k, se tiene que

2

11

kkXP .

3.1.1. Distribuciones discretas más comunes.

En el estudio de las variables aleatorias, por lo general nos interesan las probabilidades de que puedan tomar diversos

valores posibles, es decir, sus distribuciones de probabilidad, en esta sección se mencionan las más importantes.




Distribución uniforme discreta.

La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta si su función de probabilidad está dada por

). si,(,,,, para 1

)( 21 jixxxxxxk

xfkxf jik Donde,

kixXE

k

i

1

1

)( y k

xk

i

i

12

1

2

)(

Las aplicaciones de las variables aleatorias distribuidas uniformemente se encuentran en el desarrollo de las loterías y

otras formas de juegos de azar; en la generación de números aleatorios para experimentos de ingeniería o de simulación

y en la evaluación de “probabilidades previas” de una persona en relación con el resultado de algún evento futuro para

la toma de decisiones.

Ejemplo 3.10. La probabilidad de que en el lanzamiento de un dado legal aparezca un 5 es 61 y , es la misma que la

probabilidad de obtener un 3, o un 7, o un 2, etc.

Ejercicio 3.12. El número de productos empaquetados por un trabajador en una hora oscilan entre 10 a 18 unidades y se

piensa que están distribuidos uniformemente. ¿Cuál es la probabilidad de que se empaqueten entre 12 y 15 productos en

una hora determinada?

Distribución Bernoulli

A esta distribución también se le conoce como binomial punto. Si una variable aleatoria discreta X sólo tiene dos

valores posibles, como sucede por ejemplo en experimentos en los que sólo existen dos resultados posibles, fracaso o

éxito, se le asigna 0 a fracaso y 1 a éxito; si le llamamos p a la probabilidad de éxito, la probabilidad de fracaso es 1- p,

que generalmente se le llama q, por lo que la densidad de X es:

0,)( xqxf

1, xp

= 0 de otro modo.

Esta función se puede resumir de la manera siguiente:

1,0 para p)-(1)( x-1 xxpxf

Cualquier variable aleatoria discreta X, cuya densidad se ajuste a esta patrón, se dirá que se distribuye Bernoulli, con

parámetro p, denotándose esto por:

X ~ Ber(p)




Ejemplo 3.11.. La probabilidad de que un presunto cliente elegido aleatoriamente realice una compra es 0.20. Por lo

tanto, la probabilidad de que el cliente elegido no realice la compra será de 1 – 0.20 = 0.80.

Distribución Binomial.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, aplicable cada vez que suponga que un proceso de

muestreo conforma un proceso de Bernoulli. Un proceso de Bernoulli es un proceso de muestreo en el cual:

i) Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. Estos resultados

obtenidos se denominan éxito y fracaso.

ii) La serie de ensayos u observaciones constituyen evento independientes.

iii) La probabilidad de éxito, designada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. Es decir, el proceso es

estacionario

En una distribución Binomial, se realizan n repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli. La variable X

representa el número de éxitos obtenidos en las n repeticiones. Nos preguntamos sobre la probabilidad de obtener x

éxitos en las n repeticiones, así, la función de probabilidad es:

).(.,,,,)()()( pnpnpnxxn

px

pCnxkxfxXP

1y211

2

Ejemplo 3.12. Suponga que un lote de 300 fusibles eléctricos contiene 5% defectuosos. Determine la probabilidad de

que se pueda encontrar al menos un fusible defectuoso en una muestra de cinco fusibles.

Solución. Es pertinente suponer que X, número de fusibles defectuosos observados, tenga aproximadamente una

distribución binomial debido a que el lote es grande. Así

P(al menos uno defectuoso) = 5

0

51)0(1 qp

226.0774.0195.015

obsérvese que existe una probabilidad bastante grande de obtener al menos uno defectuoso, aunque la muestra sea

relativamente pequeña.

Ejercicio 3.13. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas personas que contrataron no son lo que pretenden ser.

Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio:

agencias investigadoras de antecedentes. Una revista nacional, notificó sobre este problema mencionando que una

agencia, en un periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados.

Supóngase que usted ha contratado la semana pasada a cinco nuevos empleados y que la probabilidad de que un

empleado haya falsificado la información en su solicitud de trabajo es 0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos

una de las cinco solicitudes haya sido falsificada?




Distribución Geométrica.

Se efectúan tantas repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli como sean necesarias para obtener el

primer éxito. Si la probabilidad de éxito es p, la de fracaso es 1 - p, entonces la función de probabilidad de X, el número

de repeticiones hasta observar el primer éxito es:

,,,,)()()( 3211 1 xpppxfxXP x

Su valor esperado es p

XE1

)( y su varianza es igual a 2

2 1)(

p

pYV

.

Una variable aleatoria geométrica no tiene memoria, es decir: :)()( mXPnXmnXP

Utilizando la definición de probabilidad condicional obtenemos:

)./()(/,()( nPmnXPnXPnXmnXPnXmnXP

Ahora obtenemos el denominador:

n

x

xppnXPnXP1

1111 )()()(

1

0

111111

n

x

nx

p

pppp

)()(

np )( 1

Así tenemos que

n

mn

p

pp

nXP

mnXPnXPnXmnXP

)(

)(

)(

)()(/,(

1

1 1

).()( mXPpp m 11

Ejemplo 3.13. Suponga que la probabilidad de que un motor falle durante cualquier periodo de una hora es 02.0p .

a) Encuentre la probabilidad de que dicho motor funcione bien durante 2 horas.

b) Halle la media y la desviación estándar de Y.

Solución. a) Sea X el número de intervalos de una hora hasta la primera falla, entonces




P(de funcionar bien por dos horas) =

3

3

y

xpXP

Como ,1

1

y

xp

P(de funcionar bien por dos horas) =

3

1

y

xp

= 9604.002.098.002.011 qpp

b) Se tiene que la media = p

XE1

)( y su varianza es igual a 2

2 1)(

p

pXV

. Así que

5002.0

1)( XE , esto significa que se tendrá que esperar muchas horas hasta que ocurra la primera falla. Por oto

lado,

450,202.0

02.01)(

2

2

XV , entonces la desviación estándar de Y es 497.49450,2 .

Ejercicio 3.14. Se supone que el 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene un entrenamiento avanzado de

programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de

aspirantes.

a) Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en

programación en la quinta entrevista.

b) ¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar el primer aspirante

con un entrenamiento avanzado en programación?

Distribución Binomial Negativa.

En esta distribución se hacen tantas repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli como sean necesarias

para obtener k éxitos. Si la probabilidad de éxito es p, la de fracaso es 1 - p y la función de probabilidad de Y, el número

de repeticiones necesarias hasta observar k éxitos es:

,2,1,,)1(),()(1

1

kkkxppkpxfxXP kxkx

kC

La media de X es p

kXE )( y la varianza es

2

2 1)(

p

pkYV

.




Ejemplo 3.14. Un estudio geológico indica que un pozo exploratorio, perforado en una región particular, debería manar

petróleo con una probabilidad de 0.20.

a) Encuentre la probabilidad de que el tercer encuentro de petróleo ocurra en el quinto pozo que se

perfora.

b) Halle la media y la desviación estándar.

Solución. a) Sea Y el número de la prueba en la cual ocurre el tercer descubrimiento de petróleo, suponiendo

perforaciones independientes con una probabilidad de 0.2 de encontrar petróleo en cualquier paso. Entonces es

razonable suponer que Y tiene una distribución binomial negativa con 2.0p . Así

0307.08.02.02

455

23

pYP

b) Como la media de Y es p

kYE )( y la varianza es

2

2 1)(

p

pkYV

, se tiene que 15

2.0

3

p

k

. Esto indica que se espera perforar 15 pozos antes de que emane petróleo de alguno de ellos y

12

2.0

2.0132

por lo que 464.312 .

Ejercicio 3.15. Se aplican análisis a los obreros de una empresa que fabrica material aislante, a fin de detectar la

existencia de asbesto en sus pulmones. La fábrica tiene que mandar tres obreros, con indicaciones positivas de asbesto, a

un centro médico para realizar más pruebas. Si el 40% de los trabajadores tienen indicaciones positivas de asbesto en los

pulmones,

a) Encuentre la probabilidad de que se tengan que examinar a diez operarios para encontrar “tres”

positivos.

b) Si cada prueba cuesta 200 pesos, obtenga el valor esperado y la varianza del costo total de la

realización de las pruebas necesarias para localizar tres empleados “positivos”.

Distribución hipergeométrica.

En esta distribución se tiene una población finita de N elementos de los cuales k son de un tipo (digamos éxitos) y N - k

son fracasos. Seleccionamos n elementos sin reemplazo de la población de N. Nos interesa la probabilidad de obtener x

éxitos entre los n elementos seleccionados. La función de probabilidad de Y, el número de éxitos obtenidos entre los n

elementos seleccionados está dada por:

.,;,,2,1,0 para,),,)( kNxnkxnxkNnxfxXP

C

CCN

n

kN

xn

k

x

La media de X, o valor esperado es: N

nkXE )( y la varianza de X es .

)(

))((

12

2

NN

nNkNnk




Ejemplo 3.15. Un problema importante que enfrentan los jefes de personal y otras personas encargadas de la selección

de los mejores de un conjunto finito de elementos se describe mediante la situación siguiente. Se seleccionan 10

personas para un trabajo de un grupo de 20 ingenieros con doctorado.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de los 10 ingenieros seleccionados incluya a los cinco

mejores del grupo de 20?

b) Encuentre la media y la varianza para el grupo de los 20 ingenieros.

Solución. a) Para este ejemplo 5y 10,20 knN , es decir, hay solamente cinco en el conjunto de los 5 mejores

ingenieros y nosotros buscamos la probabilidad de que 5X , siendo X el número de los mejores entre los 10

seleccionados. Entonces

162.0292,1

21

20

1010

105

15

10

20

5

15

5

5

5

P

b) Dado que la media de Y esN

nkXE )( y la varianza

)1(

))((2

2

NN

nNkNnk , entonces

5.2

20

510)( YE esto significa que en el grupo seleccionado de 10 ingenieros, se espera que 2 o 3 de ellos sean de

los mejores. Como

,9868.0600,7

500,7

)120(20

)1020)(520(5102

2

entonces 9934.09868.0

Ejercicio 3.16. Un producto industrial particular se embarca en lotes de 50. La prueba para determinar si el artículo es

defectuoso es costosa y por lo tanto el productor selecciona una muestra de su producción en lugar de usar un plan de

inspección al 100%. Un proyecto de muestreo elaborado para minimizar el número de artículos defectuosos surtidos a

los consumidores exige un muestreo de 10 artículos de cada lote y el rechazo del lote si se encuentra más de dos

artículos defectuosos. (En el caso de ser rechazados el lote, se prueba cada artículo de éste). Si un lote contiene 6

artículos defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que sea rechazado? ¿Cuál es el número esperado de defectuosos en la

muestra de tamaño 10? ¿Cuál es la varianza del número de defectuosos en la muestra de tamaño 10?

Distribución de Poisson.

En esta distribución se observan eventos a través del tiempo o espacio con las siguientes propiedades; la probabilidad de

observar un evento en una unidad de tiempo o espacio t es t para algún 0 . La probabilidad de observar dos

o más eventos simultáneamente es muy pequeña. A los procesos que ocurren en un espectro continuo de tiempo y

espacio se le denomina proceso de Poisson; es similar al proceso de Bernoulli visto en la sección 3.2.3 excepto que los

eventos suceden en un espectro continuo en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. Un ejemplo de tal proceso

es la llegada de personas a la cola de una ventanilla bancaria. Tal como en el proceso de Bernoulli, se supone que los

eventos son independientes y que el proceso es estacionario.

Sea X la variable aleatoria que nos dice el número de eventos observados en un intervalo de tiempo o de espacio de

longitud t, entonces su función de probabilidad viene dada por:




!

)(),(

x

ttxf

tx e

, x = 0, 1, 2, ... 0

La media de X es tE(X) y su varianza es t 2

.

En el caso particular cuando el periodo de tiempo y espacio es 1t (digamos 1 mes, una semana, un metro, un

kilómetro, etc) se tiene que

!

)()(

xxf

ex

, x = 0, 1, 2, ... 0

La media de X es E(X) y su varianza es 2.

Ejemplo 3.16. El promedio mensual de accidentes en una fábrica resulta ser igual a 3. Durante el mes pasado hubo 6

accidentes. ¿Consideraría este número demasiado alto (muy poco probable si es todavía 3) e indicador de un aumento

en la media ?

Solución. El número de accidentes X tendría posiblemente una distribución de probabilidad de Poisson con 3 . La

probabilidad de que X sea de 6 es

5

0

3

6

3

!

31)6(1

!

3)6(

x

x

x

x

x

eXP

x

eXP

Así,

1008.01680.02240.02240.01494.01498.00498.01)6( XP

084.0916.01

Además, se tiene que 3 , 32 y 73.13 .

Una regla empírica indica que hay que esperar que Y tome valores en el intervalo 2 con una alta probabilidad.

Obsérvese que 46.673.1232 . El número de accidentes observado X = 6, no se encuentra a más de 2

de , pero está cerca de la frontera. Por lo tanto, el resultado observado no es muy improbable, pero puede tener la

suficiente improbabilidad para justificar una investigación.

Ejercicio 3.17. En un almacén particular, los clientes llegan al mostrador de caja de acuerdo a una distribución de

Poisson con un promedio de 7 por hora. En una hora determinada, ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) no lleguen más de tres clientes?

b) Lleguen al menos dos clientes?

c) Lleguen exactamente 5 clientes?




3.2. Distribuciones continuas

Surgen espacios de muestra continuos siempre que se manejan cantidades que se miden en escala continua (por ejemplo

cuando medimos la velocidad de fabricación de un producto, el peso neto de un paquete de comida, la pureza de un

producto, la cantidad de alcohol que contiene una bebida o el tiempo de duración de un artículo eléctrico). En casos

como éstos existen continuidades de posibilidades y en la práctica lo que realmente interesa son probabilidades

asociadas con intervalos o regiones, no números o puntos individuales de un espacio de muestra. Por ejemplo podríamos

desear conocer la probabilidad de que un tipo dado de maquinaria empaque entre 500 y 600 productos por hora (no

exactamente 550.5) o que un paquete de comida congelada pese más de 750 gramos (no exactamente 800.6 gramos)

En esta sección conoceremos las distribuciones de probabilidad de las variables continuas más comunes así como sus

funciones de densidad las cuales son modelos teóricos para la distribución de frecuencias de una población de

mediciones.

Variables aleatorias continuas.

El tipo de variable aleatoria que toma cualquier valor en un intervalo se llama variable continua, por ejemplo, el tiempo

de producción de un producto en un proceso de ensamblaje y el tiempo de duración de una lavadora. El intervalo sobre

el cual se definen estas dos variables es la parte positiva de la línea de los números reales. Esto no significa que al

observar suficientes lavadoras, se observaría en algún momento cada número real positivo como al menos un resultado.

No obstante, lo importante es que no puede descartarse algún número real como un posible resultado de una observación

de la durabilidad de una lavadora.

Forma de las distribuciones continuas.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta siempre se puede obtener asignando una probabilidad

positiva a cada uno de los posibles valores que puede tomar la variable. Naturalmente se tiene que estar seguro de que la

suma de las probabilidades asignadas sea siempre igual a 1. Desafortunadamente, la distribución de probabilidad de una

variable aleatoria continua no puede establecerse de la misma manera. Es matemáticamente imposible asignar

probabilidades diferentes de cero a todos los puntos de un intervalo real y al mismo tiempo satisfacer el requisito de que

la suma de probabilidades de los distintos valores posibles tiene que ser 1. Por lo que se debe desarrollar un método

diferente para describir la distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua.

Para obtener una definición formal de una variable aleatoria continua debemos definir primero una función de

distribución (o función de distribución acumulativa).

Definición 3.1. Sea Y cualquier variable aleatoria. La función de distribución de Y, denotada por F(y) está dada por F(y)

= P(Y y), para y .

La naturaleza de una función de distribución asociada a una variable aleatoria se utiliza para determinar si la variable

aleatoria es continua o discreta. Las funciones de distribución de variables aleatorias discretas siempre son funciones

escalonadas, puesto que la función de distribución acumulativa solamente se incrementa en un conjunto numerable de

puntos.




Como la función de distribución asociada a cualquier variable aleatoria se define tal que ),()( yYPyF es claro

que en la práctica )()( FYP tiene que ser cero. Si se consideran dos valores 21 yy , entonces

)()( 21 yYPyYP . Es decir, )()( 21 yFyF ; esto significa que la función F(y) es una función monótona, no

decreciente. Además, es claro que 1 )()( FYP . Estas tres características definen las propiedades de

cualquier función de distribución.

Definición 3.2. Sea Y una variable aleatoria con una función de distribución F(y). Se dice que Y es continua si F(y) es

continua, para y .

Definición 3.3. Sea F(y) la función de distribución de una variable continua Y. Entonces )( yf , dado por

)()(

)( yFdy

ydFyf

siempre y cuando exista la derivada, se denomina la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria Y.

De las definiciones 3.2 y 3.3 se deduce que F(y) se puede escribir como

y

dttfyF )()(

en donde )( yf es la función de densidad de probabilidad y t se utiliza como la variable para la integración. La

representación gráfica de esta relación entre la función de distribución y la función de densidad está dada en la figura

3.3.

Como la función F(y) para cualquier variable aleatoria tiene ciertas propiedades , también las funciones de densidad

tendrán algunas propiedades correspondientes. Como F(y) es una función no decreciente, la derivada )( yf nunca es

negativa. Además, se sabe que 1)(F y por esto, que 1)(

dttf .

)( yf

)( 0yF

0y y

Figura 3.3.




Valor esperado de variables aleatorias continuas.

En esta sección veremos cómo se calculan las medias, las varianzas y desviaciones estándar de las variables aleatorias

continuas y de esta manera la obtención las medidas numéricas descriptivas de sus funciones de densidad.

Definición 3.4. El valor esperado de una variable aleatoria continua es

dyyyfYE )()(

siempre que exista la integral.

La varianza y la desviación estándar podemos encontrarla mediante la relación

222 )()()( YEYEYV

3.2.1. Distribuciones continuas más comunes.

Varias distribuciones de probabilidad continua específicas son aplicables a una gran variedad de variables continuas

bajo circunstancias designadas. Por lo tanto se han preparado tablas de probabilidad para algunas de estas distribuciones

continuas para que el estadístico no se vea involucrado en la integración de áreas bajo curvas de probabilidad. Las

distribuciones de probabilidad continua específicas descritas en esta sección son las distribuciones de probabilidad más

comunes.

Distribución uniforme.

Sea y una variable aleatoria continua cuya densidad sea una constante dentro de un intervalo (a, b) (no importa si es

abierto o cerrado), entonces su función densidad será:

byaab

yf

,)(1

= 0 de otra manera

Así, cualquier variable aleatoria continua y, cuya densidad se ajuste a este patrón, se dirá que se distribuye uniforme,

con parámetros a y b , denotándose esto:

),(~ baUY .

La media y la varianza vienen dadas por las fórmulas

Media 2

ba y Varianza

12

2ba




Ejercicio 3.18. Investigue cómo son las gráficas de las distribuciones de probabilidad uniformes de una variable

aleatoria continua

Ejemplo 3.17: el precio medio del kilo de aguacate durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 10 y 15

pesos . Podría ser, por tanto, de 11 pesos., o de 12.5 pesos., o de 12.56 pesos., o de 12.95 pesos, etc. Hay infinitas

posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Solución. Su función de densidad, nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, en el ejemplo,

b : es el extremo superior del intervalo, 15 pesos; a :es el extremo inferior del intervalo, 10 pesos.

Por lo tanto, la función de distribución es:

2001015

1.)(

yf

Es decir, que el valor final esté entre 10 pesos. y 11 pesos. tiene un 20% de probabilidad, que esté entre 11 y 12, otro

20%, etc.

El valor medio de esta distribución se calcula:

2

bayE

)(

En el ejemplo:

5122

1015.)(

yE

Por lo tanto, el precio medio esperado del aguacate para el próximo año es de 12.5 pesos.

Ejercicio 3.19. El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Hermosillo va a oscilar

entre 40 y 50 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada:

Distribución normal.

Sea y una variable aleatoria continua con densidad:

2

2

1 )(exp2

1)( 2

yyf , .y

Así, cualquier variable aleatoria continua y, cuya densidad se ajuste a este patrón, se dirá que se distribuye normal, con

parámetros y 2 , denotándose esto: Y ~ N( ,

2 ). La distribución normal es muy importante en la investigación,

por eso conviene mencionar sus características:




1. Tiene forma de campana

2. Es simétrica con respecto a la media

3. La media, la moda y la mediana coinciden

4. La p( - < y < + ) = 0.6826

5. La p( - 2 < y < + 2 ) = 0.9544

6. La p( - 3 < y < + 3 ) = 0.9974

7. Fue desarrollada por Carl F.Gauss

Distribución normal estándar.

Sea y una variable aleatoria continua tal que Y ~ N( , 2 ) y sea Z=

) -(X , entonces:

Z ~ N(0 , 1)

De lo anterior deducimos que Z es un caso particular de la Distribución Normal.

Nota: Cualquier variable que siga la distribución normal se puede transformar a una Z; dada esta cualidad, esto ha traído

como resultado que se pueden efectuar comparaciones entre variables normales, aunque tengan distintos parámetros. La

Tabla I trae la integral a la derecha para cualquier valor de Z positivo (los negativos se evitan, por la simetría, ya que la

media de la distribución es cero).

Ejemplo 3.19. Sea Z una variable aleatoria normal con media 0 y desviación estándar 1. Determinar

a) ).( 2ZP

b) ).( 22 ZP

c) )..( 7310 ZP

Solución.

a) Se procede hacia abajo en la primera columna (z) en la Tabla I, y se lee el área frente al valor z = 2.0. Esta área,

denotada por el símbolo A(z), es A(z = 2.0) = 0.0228. Entonces 022802 .)( ZP

b) En la parte a) se determinó que A1 = A(Z =2.0) = 0.0228. Como la función de densidad es simétrica con

respecto a la media, ,0 tenemos que A2 = A1 = 0.0228 y se tiene entonces que

954400228021122 21 ..)( AAZP

c) Obsérvese que 731507310 ..).( AZP en donde A(1.73) se obtiene al proceder hacia abajo en la

columna z de la Tabla I hasta la hilera "1.7" y después se va a la parte superior de la tabla hasta la columna

marcada "0.03", en donde se lee A(1.73) = 0.0418. Entonces

4582.00418.05.0)73.10( ZP




Ejemplo 3.20. Los resultados de un examen de admisión en un colegio de bachilleres de la localidad tiene una

distribución normal con media 75 y desviación estándar 10. ¿Qué fracción de resultados queda entre 80 y 90?

Solución. z representa la distancia de la media de una distribución normal expresada en unidades de la desviación

estándar. Así,

) -(yz

Entonces la fracción buscada de la población está dada por el área entre

5010

) 75 -(80.z y 5.1

10

) 75 -(90z

Se tiene que 2417006680308505150 ..... AAA

Ejercicio 3.21.1. Utilice la Tabla I para encontrar las probabilidades siguientes para una variable aleatoria normal

estándar Z.

a) 210 . ZP

b) 090 ZP .

c) 56130 .. ZP

d) 2020 .. ZP

e) 20561 .. ZP

Ejercicio 3.21.2. Se observó durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las

reparaciones en cierta fabrica tiene aproximadamente una distribución normal con una media de 4 mil pesos y una

desviación estándar de 200 pesos. Si el presupuesto para la próxima semana es de 4 mil 500 pesos,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad presupuestada?

b) ¿De cuánto tendría que ser el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento, para que la

cantidad presupuestada solamente se rebasara con una probabilidad de 0.1?

Distribución lognormal.

Sea Y una variable aleatoria continua, se dice que la variable tiene una distribución log-normal si YX ln tiene una

distribución normal. (el símbolo ln indica logaritmo natural.). En este caso Y no debe ser negativo. La ecuación de la

función de densidad lognormal es

0,

0

2

1)(

22

2)(ln

yeyyf

y

en cualquier otro

punto




Así, cualquier variable aleatoria continua y, cuya densidad se ajuste a este patrón, se dirá que se distribuye logaritmo

normal o simplemente lognormal, con parámetros y , denotándose: Y ~ LN ( , ) .

Ya que )ln(Y es una función monótona de y,

yXPyYPyYP lnlnln

En donde X tiene una distribución normal con media y varianza 2

La distribución lognormal se usa con frecuencia en las ciencias biológicas y físicas como modelo de magnitudes, de

volumen de peso, de diversas cantidades, tales como partículas de carbón molido, cultivos, colonias de bacterias y

animales individuales.

Ejercicio 3.22. Si Y tiene distribución log-normal con 4 y ,12 , encuentre,

a) 4YP y b) 8YP

Distribución gamma.

Sea y una variable aleatoria continua con densidad:

001 1

,,

)()( yeyyf

y

= 0 en cualquier otro punto.

en donde

0

1 dyey y . La cantidad se conoce como la función gamma. La integración directa da que

11 . La integración por partes indica 11 para cualquier 1 y que !1 nn , para un

número entero n. Si no es un número entero, es imposible encontrar la antiderivada del integrando de la expresión

d

cdcdyey

y

0)(

1 1

y por lo tanto es imposible encontrar las áreas bajo la función de densidad tipo gamma mediante la integración directa.

Para estos casos, se hace una aproximación mediante las sumas de probabilidades de Poisson.

Cualquier variable aleatoria continua y, cuya densidad se ajuste a este patrón, se dirá que se distribuye gamma, con

parámetros y , denotándose esto: y ~ G ( , ). La media y la varianza vienen dadas por las fórmulas:

Media y Varianza 2




La función de densidad Gamma para el caso especial 1 se denomina función de densidad exponencial y en muchas

ocasiones es útil en los modelos de duración de componentes eléctricos.

Ejercicio 3.23. Investigue cómo son las graficas de las Distribuciones Gamma para distintos valores de y .

Ejemplo 3.21. Los ingresos anuales de los jefes de familia en cierta sección de la ciudad de Hermosillo tienen

aproximadamente una distribución gamma con 0001 y 5 . Determine la media y la varianza de estos ingresos.

¿Esperaría encontrar muchos ingresos superiores a $ 8,000 en esta área de la ciudad?

Solución. La media de los ingresos es ,,$, 000550001 mientras que la varianza es 22 50001, =

$25,000. De la varianza se obtiene la desviación estándar igual a $158.11 por lo que la respuesta a la pregunta es no, es

decir, la probabilidad de encontrar ingresos superiores a 8 mil pesos en esta sección de Hermosillo es prácticamente

nula.

Ejercicio.3.24. El tiempo semanal Y (en horas) durante el que cierta máquina industrial no funciona, tiene

aproximadamente una distribución gamma con 3 y 2 . La pérdida, en pesos para la operación industrial debido

a esta baja, está dada por .220300 YYL Calcule el valor esperado y la varianza de L.

Distribución Beta.

Sea X una variable aleatoria continua con densidad

10111

yyyyf

)(

= 0 en cualquier otro punto..

Cualquier variable aleatoria continua y, cuya densidad se ajusta a este patrón, se dirá que se distribuye beta, con

parámetros y , denotándose esto:

y ~ B ( , )

NOTA: Si y ~ B(1, 1) se puede demostrar que y ~ U (0,1). La media y la varianza para esta distribución vienen dadas por

las fórmulas

1y

2

2

)()( YVYE .

Ejercicio 3.25. Investigue cómo son las graficas de las Distribuciones Beta.




Ejemplo 3.22. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenaje que contienen una cantidad fija

de gasolina y que llenan cada lunes. La proporción de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo interés

para el distribuidor. Mediante observaciones durante muchas semanas se encontró que se podría representar el modelo

de esta proporción mediante una distribución beta con 2y 4 . Encontrar la probabilidad de que el mayorista

venda al menos 90% de su reserva durante una semana dada.

Solución. Sea Y la proporción vendida durante la semana, entonces

10124

24 3

yyyyf )(

= 0 en cualquier otro punto.

Y así,

080042090

1

590

1

4202090

541

90

431

90.)(.

..)().(

..

yy

dyyydyyfYP

Este resultado indica que no es muy probable que como mínimo se venda el 90% de la reserva en una semana dada.

Ejercicio 3.26. Durante un turno de 8 horas, la proporción, Y, del tiempo que una máquina de estampado en lámina

metálica no está funcionando por mantenimiento o reparación, tiene una distribución beta con 2y 1 . Es decir,

,0

),1(2)(

yyf

punto. otrocualquier en

,10 y

El costo (en miles de pesos) por tiempo de inactividad, debido a producción perdida y costos de mantenimiento y de

separación, esta dado por

240000,2000,1 YYC

Halle la media y la varianza de C.

Distribución t de Student.

Si

vY

ZT , donde Y ~ )( v

2 entonces la densidad de y será:




2

1

2

21

2

1

v

v

v

y

v

yf

Se ha demostrado que si se tiene una variable normal, y se toma una muestra de tamaño v + 1, se calcula la media de la

muestra y la S2 (varianza de la muestra), entonces:

1/

1/

2

2

s

y

s

y

tendrá una densidad como la anterior, con v grados de libertad.

Así, cualquier variable aleatoria continua y, cuya densidad se ajuste a este patrón, se dirá que se distribuye t, con v

grados de libertad, es decir, con parámetro v, denotándose esto:

Y ~ t(v)

La Tabla II trae los valores de y para algunos valores usuales de

ydyyf )(

, para algunos valores de .

Ejercicio 3.27. Investigue cómo son las graficas de las Distribuciones t de Student para distintos gados de libertad.

Ejemplo 3.23. La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre de púas se distribuye normalmente con una media

desconocida y una varianza desconocida 2 . Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y

se midió iY , la resistencia a la tensión para el segmento i, en donde i = 1, 2, ..., 6. La media de la población y la

varianza 2 se pueden estimar por 2Sy Y , respectivamente. Ya que

nY

22

, 2Y puede ser estimada por

n

S 2

.

Obtenga la probabilidad aproximada de que Y esté a lo más an

S2 de la verdadera media poblacional .

Solución. Se desea encontrar

22

22

S

YnP

n

SY

n

SP

22 TP

en donde T tiene una distribución t con n - 1 = 5 grados de libertad en este caso. Observando la tabla II, vemos que el

área a la derecha de 2.015 es 0.05. Por lo tanto,




90001520152 ... TP

y la probabilidad de que Y esté dentro de dos desviaciones estándar estimadas de será un poco menor que 0.90.

Obsérvese que si se conociera 2 la probabilidad de que Y tome un valor que difiera a lo más en Y

2 de estará

dada por

22

22

YnP

nY

nP

9544022 . ZP

Distribución 2 (Ji cuadrada).

Si una variable aleatoria continua Y ~ G(2

, 2), en donde es un entero positivo, entonces se dice que se distribuye ji

cuadrada con grados de libertad, denotándose esto: Y ~ )( 2 La densidad para este tipo de variables viene dada por

la función:

0

2

2

2

122

2

2

2

2

ef

)()(

)(

La Tabla III trae los valores de y para algunos valores usuales de 2 y varios valores de .

La distribución 2 desempeña un papel importante cuando se desea hacer una inferencia con respecto a la varianza 2

de la población basada en una muestra aleatoria nYYY ,, 21 tomada de una población normal. esto se analizará a su

tiempo. Un buen estimador de 2 es la varianza de la muestra

n

i

i YYn

S

1

22

1

1

El teorema siguiente nos da la distribución de probabilidad para una función del estadístico S2.

Teorema 3.1. Sea nYYY ,, 21 una muestra elegida al azar de una variable aleatoria que sigue una

distribución normal con media y varianza 2 . Entonces ~

2

2

1

2

2

11

SnYY

n

i

i




tiene una distribución 2 con 1n grados de libertad.

2y SY son variables aleatorias independientes.

Teorema 3.2 (Cochran). Sea 2

21 ,~,, NXXX n variables aleatorias independientes. Entonces

nNX

nX

n

i

i

2

1

,~1

2

1

12

2

~

n

n

i

i XX

ntes.independie aleatorias lesson variaby

12

2

n

i

i XXX

Ejercicio 3.28. Investigue cómo son las graficas de las Distribuciones 2 para distintos grados de libertad.

Ejemplo 3.24. Una máquina embotelladora de refrescos puede regularse de tal manera que llene un promedio de

onzas por botella. Se ha observado que las onzas del contenido que vacía la máquina embotelladora tiene una

distribución normal con 12 . Supóngase que se desea obtener una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el

contenido en cada botella. Si se utilizan estas 10 observaciones para calcular 2S , podría ser útil especificar un intervalo

de valores que incluyeran a 2S con una alta probabilidad. Encontrar los números 21 y bb tales que

90022

1 . bSbP

Solución. Observemos que

2

2

2

2

2

12

21

111

bnSnbnPbSbP

Ya que 12 , en consecuencia

2

2

2

11

SnSn

tiene una distribución 2 con )( 1n grados de libertad.

Podemos utilizar la tabla III para encontrar los números 21 y aa tales que

9001 22

1 . aSnaP

un método para hacerlo es encontrar el valor a2 que limita un área de 0.05 de la cola derecha y un valor a1 que limita un

área de 0.05 de la cola izquierda (0.95 de área a la derecha). Ya que hay 9 grados de libertad, la tabla III nos da

3253y 91916 12 .. aa . Así debemos tener




112

11 91

1bbn

bna

222

22 91

1bbn

bna

O sea

88019

91916y 3690

9

325321 .

..

. bb

De donde se deduce que sise desea tener un intervalo que incluya a S2 con una probabilidad de 0.90, uno de tales

intervalos es (0.369, 1.880). Obsérvese que este intervalo es demasiado grande.

Distribución F de Fisher.

Sea ,

n

V

m

U

X siendo U y V dos variables ji cuadrada con m y n grados de libertad, respectivamente. Entonces la

densidad de X será:

0,

1

22

2

2

2

22

x

n

mxnm

xn

mnm

xfnm

mm

= 0, de otra manera.

Así, cualquier variable aleatoria continua X, cuya densidad se ajuste a este patrón, se dirá que se distribuye F, con

parámetros m y n (con m y n grados de libertad) denotándose esto:

X~ F(m, n).

La función de densidad para variables aleatorias con la distribución F es un miembro de la familia de las distribuciones

beta y es muy utilizada en las pruebas de Análisis de Varianza (ANDEVA).

Ejercicio 3.29. Investigue cómo es la grafica de la Distribución F de Fisher para cualesquiera grados de libertad m y n.

Considerando nuevamente las muestras aleatorias independientes de distribuciones normales, sabemos que




2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

1

S

S

n

Sn

m

Sm

n

Vm

U

X

tiene una distribución F con 1m grados de libertad del numerador y 1n grados de libertad del denominador.

Ejemplo 3.25. Si tomamos dos muestras independientes de tamaño 10y 6 21 nn de dos poblaciones normales con

la misma varianza poblacional, encuentre el número b tal que

95.022

21

b

S

SP

Solución. Como 10 ,6 21 nn y las varianzas poblacionales son iguales, entonces

22

21

22

22

21

21

S

S

S

S

tiene una distribución F con 511 nn grados de libertad del numerador y 912 nm grados de libertad del

denominador. También

b

S

SPb

S

SP

22

21

22

21 1

Por lo tanto, se desea encontrar el número b que limita un área a la derecha de 0.05 bajo la función de densidad F con 5

grados de libertad del numerador y 9 grados de libertad del denominador. Al buscar en la columna 5 y el renglón 9 en la

Tabla IV, vemos que el valor apropiado para b es 3.48. Obsérvese que aún cuando las varianzas poblacionales son

iguales, la probabilidad de que la razón de las varianzas de las muestras exceda a 3.48 es aún de 0.05 (suponiendo

tamaños de muestras de 10 ,6 21 nn ).

Si Y es una variable aleatoria que tiene una distribución F con 1n grados de libertad del numerador y 2n grados de

libertad del denominador, Y

U1

tendrá una distribución F con 2n grados de libertad del numerador y 1n grados de

libertad del denominador. Además,

kU

UPk

U

UP

1

1

2

2

1 . Use estos hechos para resolver el Ejercicio 3.30 .

Ejercicio 3.30. Sea 21S la varianza de la muestra de una muestra aleatoria de 10 valores de ln(CL50) para cobre y sea

22S la varianza de la muestra de una muestra aleatoria de 8 valores de ln(CL50) para plomo, habiendo utilizado en

ambas muestras la misma especie de peces. Supóngase que la varianza poblacional para las mediciones con respecto al




cobre es el doble de la varianza poblacional correspondiente para las mediciones con respecto al plomo. Encuentre dos

números a y b tales que

90.022

21

b

S

SaP

suponiendo que 21S y

22S son independientes.




Tabla I. Area bajo la densidad de la distribución normal estándar

a la izquierda de Z.

Z ~ N(0,1) zZP

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990




Tabla II. Valores críticos para la distribución t de Student.

alfa = área a la derecha de t (df, alfa)

T~t(df) P(T > t(df,alfa))

grados

de

libertad

alfa

0.1000 0.0500 0.0250 0.0100 0.0050 0.0010 0.0005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289 636.578

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328 31.600

3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 12.924

4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.437

12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.318

13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.221

14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.140

15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.015

17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.965

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922

19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.819

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.768

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.745

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.707

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.689

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.674

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.660

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

31 1.309 1.696 2.040 2.453 2.744 3.375 3.633

32 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.365 3.622




Tabla II. Valores críticos para la distribución t de Student.

alfa = área a la derecha de t (df, alfa)

T~t(df) P(T > t(df,alfa))

grados

de

libertad

alfa

0.1000 0.0500 0.0250 0.0100 0.0050 0.0010 0.0005

33 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733 3.356 3.611

34 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.348 3.601

35 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.340 3.591

36 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 3.333 3.582

37 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715 3.326 3.574

38 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 3.319 3.566

39 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708 3.313 3.558

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.551

60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373

inf 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576 3.091 3.291




Tabla III. Valores críticos para la distribución Ji Cuadrado

alfa = área a la izquierda de 2 (df, alfa)

X ~ 2 (df) P(X >

2 (df.alfa))

grados

de

libertad

alfa

0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

1 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794

2 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965

3 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381

4 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602

5 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496

6 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475

7 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777

8 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549

9 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893

10 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.1881

11 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 26.7569

12 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.2997

13 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.8193

14 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194

15 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 32.8015

16 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671

17 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.7184

18 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564

19 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821

20 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969

21 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009

22 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957

23 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814

24 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5584

25 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 46.9280

26 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898

27 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 49.6450

28 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 50.9936

29 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 52.3355

30 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 53.6719

31 41.4217 44.9853 48.2319 52.1914 55.0025

32 42.5847 46.1942 49.4804 53.4857 56.3280

33 43.7452 47.3999 50.7251 54.7754 57.6483

34 44.9032 48.6024 51.9660 56.0609 58.9637

35 46.0588 49.8018 53.2033 57.3420 60.2746





alfa = área a la izquierda de 2 (df, alfa)

X ~ 2 (df) P(X >

2 (df.alfa))

grados

de

libertad

alfa

0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

36 47.2122 50.9985 54.4373 58.6192 61.5811

37 48.3634 52.1923 55.6680 59.8926 62.8832

38 49.5126 53.3835 56.8955 61.1620 64.1812

39 50.6598 54.5722 58.1201 62.4281 65.4753

40 51.8050 55.7585 59.3417 63.6908 66.7660

50 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 79.4898

60 74.3970 79.0820 83.2977 88.3794 91.9518

70 85.5270 90.5313 95.0231 100.4251 104.2148

80 96.5782 101.8795 106.6285 112.3288 116.3209

90 107.5650 113.1452 118.1359 124.1162 128.2987

100 118.4980 124.3421 129.5613 135.8069 140.1697

150 172.5812 179.5806 185.8004 193.2075 198.3599

200 226.0210 233.9942 241.0578 249.4452 255.2638

300 331.7885 341.3951 349.8745 359.9064 366.8439

400 436.6490 447.6324 457.3056 468.7244 476.6068

500 540.9303 553.1269 563.8514 576.4931 585.2060





alfa = área a la derecha de 2 (df, alfa)

X ~ 2 (df) P(X >

2 (df, alfa))

grados

de

libertad

alfa

0.995 0.990 0.975 0.950 0.900

1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158

2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107

3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844

4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636

5 0.4118 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103

6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041

7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331

8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895

9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682

10 2.1558 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652

11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778

12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038

13 3.5650 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415

14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895

15 4.6009 5.2294 6.2621 7.2609 8.5468

16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122

17 5.6973 6.4077 7.5642 8.6718 10.0852

18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3904 10.8649

19 6.8439 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509

20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426

21 8.0336 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396

22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415

23 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480

24 9.8862 10.8563 12.4011 13.8484 15.6587

25 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734

26 11.1602 12.1982 13.8439 15.3792 17.2919

27 11.8077 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139

28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392

29 13.1211 14.2564 16.0471 17.7084 19.7677

30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992

31 14.4577 15.6555 17.5387 19.2806 21.4336

32 15.1340 16.3622 18.2908 20.0719 22.2706

33 15.8152 17.0735 19.0467 20.8665 23.1102

34 16.5013 17.7891 19.8062 21.6643 23.9522

35 17.1917 18.5089 20.5694 22.4650 24.7966





alfa = área a la derecha de 2 (df, alfa)

X ~ 2 (df) P(X >

2 (df, alfa))

grados

de

libertad

alfa

0.995 0.990 0.975 0.950 0.900

36 17.8868 19.2326 21.3359 23.2686 25.6433

37 18.5859 19.9603 22.1056 24.0749 26.4921

38 19.2888 20.6914 22.8785 24.8839 27.3430

39 19.9958 21.4261 23.6543 25.6954 28.1958

40 20.7066 22.1642 24.4331 26.5093 29.0505

50 27.9908 29.7067 32.3574 34.7642 37.6886

60 35.5344 37.4848 40.4817 43.1880 46.4589

70 43.2753 45.4417 48.7575 51.7393 55.3289

80 51.1719 53.5400 57.1532 60.3915 64.2778

90 59.1963 61.7540 65.6466 69.1260 73.2911

100 67.3275 70.0650 74.2219 77.9294 82.3581

150 109.1423 112.6676 117.9846 122.6918 128.2750

200 152.2408 156.4321 162.7280 168.2785 174.8353

300 240.6631 245.9727 253.9122 260.8781 269.0679

400 330.9029 337.1552 346.4817 354.6410 364.2074

500 422.3034 429.3874 439.9360 449.1467 459.9261




Tabla IV: Valores percentiles en 95avos (niveles de 0.05), nmF ,,95.0 1,

para la distribución F.

m grados de libertad en el numerador

n grados de libertad en el denominador

m n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 244 246 248 249 250 251 252 253 254

2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5

3 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53

4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63

5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 5.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.37

6 5.99 5.14 4.75 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67

7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23

8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93

9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71

10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54

11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40

12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30

13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21

14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13

15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07

16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01

17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96

18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92

19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88

20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84

21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81

22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78

23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76

24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73

25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71

26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.69

27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67

28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65

29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64

30 4.17 3.32 2.62 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62

40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51

60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39

120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25

3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00

http://www.edustatspr.com/documentos/mi_lugar_en_el_ciberespacio.htm

0.95 0.05

95.0F

http://www.edustatspr.com/documentos/mi_lugar_en_el_ciberespacio.htm

tema iii distribuciones discretas y continuas - mat.uson.mxmat.uson.mx/~ftapia/notas de clase/notas...

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