unidade 05 mecanismos aluno posições
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Mecanismos
Análise de Posições - Introdução
Uma vez que um projeto de mecanismo tenha sido proposto, deve
ser analisado. O principal objetivo de uma análise cinemática é
determinar as acelerações de todas as partes móveis do conjunto.
Forças dinâmicas são proporcionais à aceleração, conforme a segunda
lei de Newton.
Precisamos conhecer as forças dinâmicas para calcularmos as
tensões nos componentes. Um engenheiro de projetos deve assegurar
que o mecanismo proposto ou a máquina não falhará sob as condições
operacionais. Para isso, as tensões no material devem ser mantidas em
um nível bem inferior às tensões admissíveis.
Mecanismos
Análise de Posições - Introdução
Para calcular as tensões, precisamos conhecer as forças estáticas e
dinâmicas dos componentes utilizados. Para calcular as forças dinâmicas,
precisamos conhecer as acelerações.
Para calcular as acelerações devemos, primeiro, encontrar a posição de
todos os elos ou elementos no mecanismo para cada movimento de entrada;
depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim de
encontrarmos as velocidades; e, em seguida, derivar novamente e obter as
equações para a aceleração.
Mecanismos
Análise de Posições - Introdução
Por exemplo, em um mecanismo simples de quatro barras de Grashof,
provavelmente precisaremos calcular as posições, velocidades e acelerações
dos elos de saída (acoplador e seguidor) a cada dois graus (180 posições) de
posição de entrada da manivela para sua rotação.
Mecanismos
Análise de Posições
Análise Analítica de Mecanismos
Fica mais adequado para processamento
computacional, principalmente na análise de
velocidade e de aceleração.
Mecanismos
Análise de Posições
Usando álgebra
vetorial complexa
Utiliza-se o Circuito de Vetores (vector loop) para determinar as equações de movimento.
Com os circuitos de vetores fica mais fácil trabalhar com os métodos de Síntese analítica;
Fica mais adequado para processamento computacional, principalmente na análise de velocidade e de aceleração.
Métodos Analíticos
Usando relações
geométricas &
trigonométricas
Metodologia bem simples
Contudo, a análise de velocidade
e de aceleração poderão ficar
difíceis de serem solucionadas
Mecanismos
Análise de Posições
SOLUÇÃO PARA ANÁ LISE DE POSIÇÕES NO ME CANISMO
BIELA-MANIVELA
Mecanismos
Substituindo a relação de Euler:
Mecanismos
Separe os componentes reais e imaginários: parte real
(componente x):
Mecanismos
Mecanismos
Deseja-se resolver as Equações simultaneamente para as incógnitas
comprimento do elo d e ângulo do elo θ3. A variável independente é o
ângulo de manivela θ2.
Os comprimentos dos elos a e b, o deslocamento c, e o ângulo θ4 são
conhecidos. Porém, visto que definimos o eixo de coordenadas como
paralelo e perpendicular ao eixo do polo da manivela, o
ângulo θ1 é igual a zero e θ4 é 90º.
A Equação pode ser resolvida para θ3 e o resultado pode ser substituído
na Equação acima de forma a resolvê-la
para d. A solução é:
Mecanismos
Note que existem novamente duas soluções válidas correspondentes aos dois
circuitos do mecanismo. A função arco seno possui duas soluções. Sua
determinação fornecerá um valor entre 90º representando apenas um dos
circuitos do mecanismo.
O valor de d depende do valor calculado de θ3.
O valor de θ3 para o segundo circuito do mecanismo pode ser encontrado por:
Mecanismos
Exercícios – Mecanismo Biela-Manivela
O comprimento do elo (mm), o valor de θ2 (graus) e deslocamento (mm) para
alguns mecanismos biela-manivela são definidos na Tabela ao lado.
Para as configurações fornecidas, encontre todas as possíveis
soluções (aberta e cruzada) para o ângulo θ3 e a posição da biela d.
Mecanismos
Equação do laço de vetores nos mecanismos de quatro barras
Essas escolhas de vetores direção e sentidos, como indicados por seus
vértices em flechas, levam a essa equação do laço de vetores:
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
A equação vetorial é obtida da análise
da figura, como:
4132 RRRR
04132 RRRR
Que na forma complexa fica:
01432
1432 jjjj eCeCeCeC
Aplicando a relação de Euler, temos:
0coscoscos 4441333222 jsenCCjsenCjsenC
Separando em parte real e parte imaginária, temos:
0coscoscos 4413322 CCCC 0443322 senCsenCsenC
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Duas formas de encontrar a solução para as equações:
Forma Fechada
Método Numérico (Newton-Raphson)
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
FORMA FECHADA
Vamos reescrever as equações anteriores para isolar a variável
desconhecida ϴ3 e resolvermos para ϴ4:
2244133 coscoscos CCCC 224433 sensensen CCC
Elevando ao quadrado e somando:
222441
222443
23
223 )coscos()sensen()cos(sen CCCCCC
222441
22244
23 )coscos()sensen( CCCCCC
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Expandindo o lado direito da equação anterior, chega-se a:
)coscossen(sen2cos2 cos2 4242424412212
42
221
23 CCCCCCCCCC
222441
22244
23 )coscos()sensen( CCCCCC
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Manipulando algebricamente, tem-se:
4
2
12
4
1
42
2
4
2
3
2
2
2
14242 coscos
2)coscos(
C
C
C
C
CC
CCCCsensen
Definindo as seguintes constantes:
2
11C
CK
4
12C
CK
42
2
4
2
3
2
2
2
32
1
CC
CCCCK
3224142 coscos)cos( KKK Equação de Freudenstein
32414242 coscos)coscos( KKsensen 2K (1)
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Para fazer a Eq.(1) ter uma solução mais amigável é
aconselhável usar-se as seguintes identidades:
)2/(1
)2/(2sen
42
44
tg
tg
)2/(1
)2/(1cos
42
42
4
tg
tg
Agrupando os comprimentos das peças e a entrada conhecida
ϴ2 nas constantes A, B e C, tem-se:
02
.2
. 442
CtgBtgA
32212 coscos KKKA
22 senB
3221 cos)1( KKKC
A
ACBBtgarc
2
4.2
2
4 2,1(-) Configuração Aberta
(+) Configuração Fechada
Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Para determinar 3 parte-se das equações da análise de posição
isolando os termos em 4, ou seja:
1332244 coscoscos CCCC 332244 sensensen CCC
Procede-se de maneira similar ao caso anterior até:
D
DFEE
2
42
2
tgarc 1,23
5241
2
52412
cos)1(
2
coscos
KKKF
senE
KKKD
32
2
3
2
2
2
1
2
45
3
14
2 CC
CCCCK
C
CK
02
.2
. 332
FtgEtgD
Mecanismos
Exemplo de Aplicação – 02
Análise Vetorial Complexa de Mecanismos
a = 50,8 mm
b = 177,8 mm
c = 228,6 mm
b = 152,4 mm
Θ2 = 30º
Mecanismos
Exercícios
- O comprimento do elo (mm) e o valor de θ2 (graus) para alguns mecanismos de quatro barras
são definidos na abaixo. A configuração e terminologia são mostradas na Figura a seguir. Para as
configurações fornecidas, desenhe o mecanismo em escala e, vetorialmente, encontre todas as possíveis
soluções (aberta e cruzada) para os ângulos θ3 e θ4. Determine a condição de Grashof.
Obs: Exemplo (Nome) “a” foi resolvido em
sala de aula