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Mecanismos
Análise de Posições - Introdução
Uma vez que um projeto de mecanismo tenha sido proposto, deve
ser analisado. O principal objetivo de uma análise cinemática é
determinar as acelerações de todas as partes móveis do conjunto.
Forças dinâmicas são proporcionais à aceleração, conforme a segunda
lei de Newton.
Precisamos conhecer as forças dinâmicas para calcularmos as
tensões nos componentes. Um engenheiro de projetos deve assegurar
que o mecanismo proposto ou a máquina não falhará sob as condições
operacionais. Para isso, as tensões no material devem ser mantidas em
um nível bem inferior às tensões admissíveis.
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Mecanismos
Análise de Posições - Introdução
Para calcular as tensões, precisamos conhecer as forças estáticas e
dinâmicas dos componentes utilizados. Para calcular as forças dinâmicas,
precisamos conhecer as acelerações.
Para calcular as acelerações devemos, primeiro, encontrar a posição de
todos os elos ou elementos no mecanismo para cada movimento de entrada;
depois, derivar as equações de posição em relação ao tempo a fim de
encontrarmos as velocidades; e, em seguida, derivar novamente e obter as
equações para a aceleração.
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Mecanismos
Análise de Posições - Introdução
Por exemplo, em um mecanismo simples de quatro barras de Grashof,
provavelmente precisaremos calcular as posições, velocidades e acelerações
dos elos de saída (acoplador e seguidor) a cada dois graus (180 posições) de
posição de entrada da manivela para sua rotação.
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Mecanismos
Análise de Posições
Análise Analítica de Mecanismos
Fica mais adequado para processamento
computacional, principalmente na análise de
velocidade e de aceleração.
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Mecanismos
Análise de Posições
Usando álgebra
vetorial complexa
Utiliza-se o Circuito de Vetores (vector loop) para determinar as equações de movimento.
Com os circuitos de vetores fica mais fácil trabalhar com os métodos de Síntese analítica;
Fica mais adequado para processamento computacional, principalmente na análise de velocidade e de aceleração.
Métodos Analíticos
Usando relações
geométricas &
trigonométricas
Metodologia bem simples
Contudo, a análise de velocidade
e de aceleração poderão ficar
difíceis de serem solucionadas
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Mecanismos
Análise de Posições
SOLUÇÃO PARA ANÁ LISE DE POSIÇÕES NO ME CANISMO
BIELA-MANIVELA
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Mecanismos
Substituindo a relação de Euler:
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Mecanismos
Separe os componentes reais e imaginários: parte real
(componente x):
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Mecanismos
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Mecanismos
Deseja-se resolver as Equações simultaneamente para as incógnitas
comprimento do elo d e ângulo do elo θ3. A variável independente é o
ângulo de manivela θ2.
Os comprimentos dos elos a e b, o deslocamento c, e o ângulo θ4 são
conhecidos. Porém, visto que definimos o eixo de coordenadas como
paralelo e perpendicular ao eixo do polo da manivela, o
ângulo θ1 é igual a zero e θ4 é 90º.
A Equação pode ser resolvida para θ3 e o resultado pode ser substituído
na Equação acima de forma a resolvê-la
para d. A solução é:
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Mecanismos
Note que existem novamente duas soluções válidas correspondentes aos dois
circuitos do mecanismo. A função arco seno possui duas soluções. Sua
determinação fornecerá um valor entre 90º representando apenas um dos
circuitos do mecanismo.
O valor de d depende do valor calculado de θ3.
O valor de θ3 para o segundo circuito do mecanismo pode ser encontrado por:
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Mecanismos
Exercícios – Mecanismo Biela-Manivela
O comprimento do elo (mm), o valor de θ2 (graus) e deslocamento (mm) para
alguns mecanismos biela-manivela são definidos na Tabela ao lado.
Para as configurações fornecidas, encontre todas as possíveis
soluções (aberta e cruzada) para o ângulo θ3 e a posição da biela d.
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Mecanismos
Equação do laço de vetores nos mecanismos de quatro barras
Essas escolhas de vetores direção e sentidos, como indicados por seus
vértices em flechas, levam a essa equação do laço de vetores:
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
A equação vetorial é obtida da análise
da figura, como:
4132 RRRR
04132 RRRR
Que na forma complexa fica:
01432
1432 jjjj eCeCeCeC
Aplicando a relação de Euler, temos:
0coscoscos 4441333222 jsenCCjsenCjsenC
Separando em parte real e parte imaginária, temos:
0coscoscos 4413322 CCCC 0443322 senCsenCsenC
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Duas formas de encontrar a solução para as equações:
Forma Fechada
Método Numérico (Newton-Raphson)
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
FORMA FECHADA
Vamos reescrever as equações anteriores para isolar a variável
desconhecida ϴ3 e resolvermos para ϴ4:
2244133 coscoscos CCCC 224433 sensensen CCC
Elevando ao quadrado e somando:
222441
222443
23
223 )coscos()sensen()cos(sen CCCCCC
222441
22244
23 )coscos()sensen( CCCCCC
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Expandindo o lado direito da equação anterior, chega-se a:
)coscossen(sen2cos2 cos2 4242424412212
42
221
23 CCCCCCCCCC
222441
22244
23 )coscos()sensen( CCCCCC
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Manipulando algebricamente, tem-se:
4
2
12
4
1
42
2
4
2
3
2
2
2
14242 coscos
2)coscos(
C
C
C
C
CC
CCCCsensen
Definindo as seguintes constantes:
2
11C
CK
4
12C
CK
42
2
4
2
3
2
2
2
32
1
CC
CCCCK
3224142 coscos)cos( KKK Equação de Freudenstein
32414242 coscos)coscos( KKsensen 2K (1)
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Para fazer a Eq.(1) ter uma solução mais amigável é
aconselhável usar-se as seguintes identidades:
)2/(1
)2/(2sen
42
44
tg
tg
)2/(1
)2/(1cos
42
42
4
tg
tg
Agrupando os comprimentos das peças e a entrada conhecida
ϴ2 nas constantes A, B e C, tem-se:
02
.2
. 442
CtgBtgA
32212 coscos KKKA
22 senB
3221 cos)1( KKKC
A
ACBBtgarc
2
4.2
2
4 2,1(-) Configuração Aberta
(+) Configuração Fechada
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Mecanismos
Análise com Álgebra Vetorial Complexa
Para determinar 3 parte-se das equações da análise de posição
isolando os termos em 4, ou seja:
1332244 coscoscos CCCC 332244 sensensen CCC
Procede-se de maneira similar ao caso anterior até:
D
DFEE
2
42
2
tgarc 1,23
5241
2
52412
cos)1(
2
coscos
KKKF
senE
KKKD
32
2
3
2
2
2
1
2
45
3
14
2 CC
CCCCK
C
CK
02
.2
. 332
FtgEtgD
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Mecanismos
Exemplo de Aplicação – 02
Análise Vetorial Complexa de Mecanismos
a = 50,8 mm
b = 177,8 mm
c = 228,6 mm
b = 152,4 mm
Θ2 = 30º
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Mecanismos
Exercícios
- O comprimento do elo (mm) e o valor de θ2 (graus) para alguns mecanismos de quatro barras
são definidos na abaixo. A configuração e terminologia são mostradas na Figura a seguir. Para as
configurações fornecidas, desenhe o mecanismo em escala e, vetorialmente, encontre todas as possíveis
soluções (aberta e cruzada) para os ângulos θ3 e θ4. Determine a condição de Grashof.
Obs: Exemplo (Nome) “a” foi resolvido em
sala de aula