unidad2 ficha1 funcionesenelplano is

7/24/2019 Unidad2 Ficha1 Funcionesenelplano Is

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INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS

ESPECIALIDAD MATEMTICA

GEOMETRA

UNIDAD 2

FICHA 1: Funciones en el plano Isometras.

1 Funciones en el plano.2 Isometras.2.1 Axioma mtrico. Definicin de isometra.2.2 Estructura de las isometras.2.3 Simetra axial.2.4 Rotacin (y simetra central).2.5 Traslacin.2.6 Antitraslacin.

2008


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Instituto de Profesores Artigas Geometra Unidad 2

2008 Ficha 1: Funciones en el plano Isometras.2

1. Funciones en el plano.

En cada una de las siguientes funciones en el plano:i) hallar la imagen de *una recta, *un tringulo, *un cuadrado.ii) investigar si es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y hallar recorrido.iii) en caso de ser biyectiva definir la funcin inversa.iv) investigar si conserva el sentido del plano.

v) investigar si conserva las distancias.vi) investigar si conserva la alineacin.vii) investigar si conserva el paralelismo.

1.- Elegida una unidad de longitud u y un punto O fijo, se define la funcin f : como sigue:f (O) = Osi P O, f (P) = P donde P pertenece a la semirrecta OP de forma que OP = OP + u.

2.- Dada a definimos f a : como sigue:si P af ( P ) = P

si P af ( P ) = P y para hallar P se traza r a por P, r a = {PO},P opPOP / PPO= 2.POP.

3.- Dado O definimos f O : como sigue:f ( O ) = Osi P Of ( P ) = P siendo el tringulo (OPP ) equiltero y antihorario.

4.- Dadas a, b de modo que a b , definimos f a, b : como sigue:si P a f ( P ) = Psi P a f ( P ) = P y para hallar Pse traza r // b por P, r a = {P}.

5.- Dadas a, b de modo que a b , definimos f a, b : como sigue:si P (a b)f ( P ) = Psi P (a b)f ( P ) = P y para hallar Pse traza r a por P, r a = {PO},

s b por PO, s b = {P1}, t // r por P1,Pt / PP1 = POP y (POP1P ) antihorario.

6.- Dados A, B definimos f A, B : como sigue:si PABf ( P ) = P con P AB, PB = PA y PP = AB.si P ABf ( P ) = P con P el cuarto vrtice del paralelogramo (PABP).

7.- Dada a definimos f a : como sigue:si P af ( P ) = Psi P af ( P ) = P y para hallar P se traza r a por P, r a = {PO},

P1opPOP / P1PO = POP,s // a por P1,P s / PP1 = P1P y (PP1P ) antihorario.

8.- Dado O y definimos f O, -3 : como sigue:f ( O ) = Osi P Of ( P ) = P con P opOP / OP = 3.OP.


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9.- Dados A, B definimos f A, B : como sigue:

si PABf ( P ) = P con P AB, PB = PA y PP = AB.si P ABf ( P ) = P y para hallar P se traza r a por P,

r a = {PO}, P1opPOP / P1PO= POP,P es el cuarto vrtice del paralelogramo (P1ABP).

10.- Dado O definimos f O : como sigue:

f ( O ) = Osi P Of ( P ) = P siendo el tringulo (OPP ) rectngulo en P y horario.

11.- Defina su propia funcin del plano en el plano y responda a las cuestiones iniciales.

Definicin: llamaremosfuncin de A en Ba toda relacin de A en B tal que todo elemento de A tiene un nicocorrespondiente en B.

f : AB es funcin i) f AxBii) a A, bB / (a,b) fiii) si (a,b) f (a,c) fb = c

Al conjunto A lo llamaremosDominio de la funcin f.Como notacin usaremos: Dom( f )

Al conjunto B lo llamaremosCodominio de la funcin f.Notacin: Cod( f )

Definicin:Diremos que dosfunciones f : A B y g : A B son igualessi y slo si f(x) = g(x) x A.

f : ABg : ABf = g f(x) = g(x) x A

Definicin: llamaremosRecorrido de la funcin fal conjunto de elementos de B que admiten un antecedente en A.

Rec ( f ) = {y B / (x,y) f }

Definicin: diremos que lafuncin f : A B es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imgenes distintasen el codominio.

f : AB es inyectivax'A, x''A, x' x'' f (x') f (x'')

que es equivalente a decir:

f : AB es inyectivax'A, x''A, f (x') = f (x'') x' x''

Definicin:diremos que lafuncin f : A B es sobreyectivasi todo elemento del codominio es imagen de algnelemento del dominio.

f : AB es sobreyectivay B, x A / y = f (x)

Definicin:diremos que lafuncin f : A B es biyectivasi la funcin es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

f : AB es biyectivaf inyectiva y f sobreyectiva.

Definicin: dada la funcin f :A B llamamosfuncin inversa de fa la funcin f 1: BA que cumplef 1(Y) = X Y = f (X)


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2. Isometras.

2.1 Axioma mtrico. Definicin de isometra.

Axioma MtricoExiste una funcin d: R a la que llamaremos distancia que a cada par de puntos le hacecorresponder un nmero real y tiene las siguientes propiedades:

i)

d(A,B) 0 A,Bii) d(A,B) = d(B,A) A,Biii) si C pertenece al segmento AB d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)iv) si C no pertenece al segmento AB d(A,B) < d(A,C) + d(C,B)v) recta orientada r, Or, kR+ existe un nico punto Pr / O precede a P

y d(O,P) = k.

Observaciones:

* d(A,B) = 0 A = B

*A, B, P d(A,B) d(A,P) + d(P,B) [Desigualdad triangular]Inmediato a partir de las condiciones iii) y iv).

* d(A,B) = d(A,P) + d(P,B) P pertenece al segmento ABsi suponemos que P no pertenece al segmento AB(?)d(A,B) < d(A,P) + d(P,B). Absurdo.

Una funcin f : es una ISOMETRA del plano si y slo si es una funcin

biyectiva que conserva las distancias.

f : es ISOMETRA i) f biyectivaii) X,Y se cumple d(X,Y) = d(f(X),f(Y))

Toda funcin que conserve las distancias es inyectiva.

f : / X,Y se cumple d ( X,Y ) = d ( f (X), f (Y) ) f inyectiva.

X,Y con X Yd ( X, Y ) > 0como d ( X,Y ) = d ( f (X), f (Y) ) d ( X,Y ) = d ( f (X), f (Y) ) > 0 f (X) f (Y).

Definicin:Definimos la funcin identidadcomo la funcin I : / I ( X ) = X X .

La funcin identidad es una isometra?


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Las isometras transforman puntos alineados en puntos alineados y puntos no alineados en puntos

no alineados.f es isometrai) A, B, C alineados f (A), f (B), f (C) alineados.ii) A, B, C no alineados f (A), f (B), f (C) no alineados.

i) A, B, C alineadossea C AB(?)d (A,B) = d (A,C) + d (C,B)

(?)d (f (A),f (B)) = d (f (A),f (C)) + d (f (C),f (B))(?)f (C) f (A)f (B)f (A),f (B), f (C) alineados.

ii) A, B, C no alineadossea C AB(?)d (A,B) < d (A,C) + d (C,B)(?)d (f (A),f (B)) < d (f (A),f (C)) + d (f (C),f (B))(?)f (C) f (A)f (B)f (A), f (B), f (C) no alineados.

Las isometras conservan los ngulos.

f es isometra ngulo ABC = ngulo f(A)f(B)f(C)

Af (A) d (A,B) = d (f (A),f (B))Bf (B) (?) d (B,C) = d (f (B),f (C)) (?)(ABC) = f(A)f(B)f(C)Cf (C) d (C,A) = d (f (C),f (A))

(?)ngulo ABC = ngulo f(A)f(B)f(C).

Diremos que una isometra es directa si conserva el sentido del plano y que es indirecta si invierte

el sentido del plano.

Ejercicio:Considerando las funciones del item 1 (pginas 1 y 2), indicar cules son isometras y clasificarlas endirectas o indirectas.


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2.2 Estructura de las isometras.

Definicin:f : ABg : B'CB B'llamaremosfuncin compuesta de g con fa la funcin ( g o f ): AC / ( g o f )(x) = g (f (x) )

Ejemplo: f : NN / f (n) = n + 2g : NN / g (n) = n2

( g o f ): NN / ( g o f )(n) = g(f (n)) = g(n + 2) = (n + 2) 2= n2+ 4n + 4( f o g ): NN / ( f o g )(n) = f(g(n)) = f (n 2) = n2+ 2

Vemos que en la definicin de funcin compuesta importa el orden en que se consideran lasfunciones f y g. En otras palabras, la composicin de funciones no es conmutativa.

Definicin:

Llamaremos ley de composicin interna en un conjunto Aa toda funcin de AxA en A.

* es ley de composicin interna en A * : AxA A es funcin.

Ejemplo: La adicin de nmeros naturales es una ley de composicin interna en N.+ : NxN N

A cada par ordenado de nmeros naturales la funcin adicin le asocia un nuevo nmero natural quellamamos suma de a y b: (a,b) a + b

La sustraccin de nmeros naturales no es una ley de composicin interna en N.: NxN N

(5,2)5 2 = 3(5,9)5 9 N

ya que no todo par ordenado de nmeros naturales tiene una imagen en el conjunto de los nmerosnaturales.

Ejemplo: Si tenemos f : RR y g : RR definimos una nueva funcin, a la que llamaremos sumade f y g, de la siguiente manera:

f g : RR / (f g )(x) = f(x) + g(x) xR.

Sea P2= {f : RR / f es polinomio de grado 2 }La suma de polinomios de grado 2 es una ley de composicin interna en el conjunto P2?

: P2x P2P2( f , g )f g

Si la respuesta es afirmativa, si tenemos f, g P2tenemos que demostrar que f g P2,cualesquiera sean f y g.

f : RR / f (x) = ax2+ bx +cg : RR / g (x) = mx2+ nx +p

f g : RR / ( f g )(x) = f(x) + g(x) = (a + m)x2

+ (b + n)x +(c + p) tambin es unpolinomio de grado 2.


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Ejemplo: Sea P2= {f : RR / f es polinomio de grado 2 }La composicin de polinomios de grado 2, es una ley de composicin interna en el conjunto P2?

o : P2x P2P2( f , g ) g o f

Para demostrar que la respuesta es negativa alcanza con hallar un caso donde la composicin de dospolinomios de grado 2 no sea un polinomio de grado 2.

f : RR / f (x) = x24xg : RR / g (x) = 3x2+ 1

( g o f ): RR / ( g o f )(x) = g( f (x) ) = g (x 24x) = 3(x24x)2+ 1 == 3 (x48x3+ 16x2) + 1 == 3x424x3+ 48x2+ 1.

La composicin de isometras es una ley de composicin interna en el conjunto de las isometras.

( H ) = {f : / f es isometra } ( T )f , g ( g o f )

Tenemos que demostrar que la composicin de dos isometras es otra isometra (por lo visto en elejemplo anterior no siempre la composicin de dos funciones de un conjunto es otra funcin delconjunto).

( g o f ) (i) ( g o f ) biyectiva(+) ( g o f ) inyectiva.(++) ( g o f ) sobreyectiva.

(ii) ( g o f ) conserva las distancias.

(i) (+) Si X,Y con X Y(?)f (X) f (Y)(?)g (f (X)) g (f (Y))(?)

(g o f ) (X) (g o f ) (Y)(g o f ) inyectiva.

(++) Dado Z (?)Y / g (Y) = Z (?)X / f (X) = Yg (Y) = Z

g (f (X)) = Z(?)(g o f ) (X) = Z (g o f ) sobreyectiva.

(ii) X,Y (?)d ( X,Y ) = d ( f (X), f (Y) )

f (X), f (Y) (?)d ( f (X), f (Y) ) = d ( g (f (X)), g (f (Y)) ) =(?)= d ( (g o f )(X), (g o f ) (Y))

d ( X,Y ) = d ( (g o f ) (X), (g o f ) (Y)) (g o f ) conserva las distancias.


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Definicin:G conjunto no vacoDecimos que el par( G, * ) es un gruposi y slo si * es una ley de composicin interna en G,asociativa, con neutro y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *.

G

( G, * ) es grupo 0) * es ley de composicin interna en G

1) asociatividad

a, b, c

G se cumple (a * b ) * c = a * ( b * c)

2) existencia de neuto

e G / a G se cumple a * e = e * a = a a A.

3) existencia de inversos

a

G , a'

G se cumple a * a' = a' * a = e

si adems se verifica4) conmutatividad

a, b

G se cumple a * b = b * a

diremos que el grupo es conmutativo.

El conjunto de las isometras con la composicin de funciones es un grupo.

( H ) = {f : / f es isometra } ( T )o composicin de funciones ( , o ) es grupo.

0) Se demostr previamente que la composicin de isometras es una isometra.

1)La composicin de funciones es asociativa

f : ABg : BC h o ( g o f ) = ( h o g ) o fh : CD

f : ABg : BC (?)(g o f ): AC

h : CD (?)h o (g o f ): A D


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g : BC f : ABh : CD (?)(h o g ): BD (?)( h o g ) o f : A D

h o (g o f ) y ( h o g ) o f son dos funciones del mismo dominio A y codominio B, para probar queson iguales hay que verificar que la igualdad se cumple X A.

Sea X A: [ h o (g o f ) ](X) =(?)= h [(g o f ) (X)] =(?)= h [ g ( f (X) ) ][( h o g ) o f )](X) =(?)= (h o g ) ( f (X) ) =(?)= h [ g ( f (X) ) ]

En nuestro caso A = B = C = D = .

2)Existe I / f se cumple f o I = I o f = f.

I : / I ( X ) = X. X . Ya probamos que I es una isometraI .

f o I = f (f o I ) (X ) = f (X ) X .

Si X (f o I ) (X ) =(?)= f (I (X )) =(?)= f (X ).

De forma anloga:I o f = f ( I o f ) (X ) = f (X ) X .

Si X ( I o f ) (X ) =(?)= I (f (X )) =(?)= f (X ).

3) f existe f 1 / se cumple f 1o f = f o f 1 = I.

f f biyectiva(?)existe f 1: / f 1(Y ) = X si f (X ) = Y (?)f 1es biyectiva.

Para probar que f 1falta probar que f 1conserva las distancias.

Sean X , Y f 1(X ) = Xf (X) = X .f 1(Y ) = Yf (Y) = Y .

d (X , Y ) =(?)= d (f (X), f (Y)) =(?)= d ( X, Y ) =(?)= d (f 1 (X ), f 1 (Y ))

f 1 conserva las distancias.

f

1

.X : ( f 1o f ) (X) =(?)= f 1(f (X )) =(?)= f 1(X ) =(?)= X =(?)= I (X).

X : f o f 1= I(?) f 1o (f o f 1) = f 1o I(?) (f 1o f ) o f 1) = f 1(?) I o f 1 = f 1(?) f 1 = f 1

Acabamos de probar que ( , o ) es un grupo.Ser un grupo conmutativo?


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Las isometras conservan el paralelismo.

f a // b f(a) // f (b)

Definicin: a // b a = b o a b =

Si a = b f (a) = f (b)(?)f (a) // f (b)

Si a b =suponemos f (a) f (b) nico P / f (a) f (b) = {P}(?)

P f (a) y Pf (b)f f 1(P) f 1(f (a)) =(?)= (f 1o f )(a)) =(?)= I (a) = a(, o) es grupo f 1 f 1(P) f 1(f (b)) =(?)= (f 1o f )(b)) =(?)= I (b) = b

f 1(P) a y f 1(P) b (?) f 1(P) a b

pero a b =contradiccin originada en suponer que f (a) f (b) f (a) f (b) = f (a) // f (b).

La imagen de un segmento en una isometra es un segmento, el segmento cuyos extremos son las

imgenes de los extremos del segmento original.

f f ( PQ ) = f(P)f(Q)

A, B conjuntos. Def. A B(xAx B) Def. A = B(A B B A)Pf (P)

Qf (Q)f ( PQ ) = f (P)f (Q) (i) f ( PQ ) f (P)f (Q)(X PQf (X) f (P)f (Q))(ii) f (P)f (Q) f ( PQ )(Y f (P)f (Q)Y f (PQ))

(i) Si X PQ(?)d (P,Q) = d (P,X) + d (X,Q)(?)d (f (P),f (Q)) = d (f (P), f (X)) + d (f (X), f (Q))(?)f (X) f (P)f (Q)

(ii) f y como (, o) es grupo f 1Si Y f (P)f (Q)(?)d (f (P),f (Q)) = d (f (P),Y) + d (Y,f (Q))

(?)d (f

1

(f (P)),f

1

(f (Q))) = d (f

1

(f (P)), f

1

(Y)) + d (f

1

(Y), f

1

( f (Q)))(?)d ((f 1of )(P),(f 1of )(Q)) = d ((f 1of )(P), f 1(Y)) + d (f 1(Y), (f 1of )(Q))(?)d (I (P),I (Q)) = d (I (P), f 1(Y)) + d (f 1(Y), I (Q))(?)d ( P, Q) = d ( P, f 1(Y)) + d (f 1(Y), Q)(?)f 1(Y) PQ (?)f (f 1(Y)) f (PQ)(?)(?)(f of 1)(Y) f (PQ) (?) I (Y) f (PQ) (?)Y f (PQ)


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2.3 Simetra axial.

Llamamos Simetra axial de eje e a la funcinSe : / si P e Se(P) = P

si P e e = mediatriz de PSe(P)

En general nombraremos a Se (P), la imagen de P en la simetra axial de eje e, como P.Es la simetra axial de eje e una isometra?

Que la simetra axial de eje e es una funcin biyectiva no hay duda (?).Debemos demostrar entonces que la funcin as definida conserva las distancias.Para ello analicemos las situaciones que se pueden dar:

i) Ambos puntos pertenecientes al eje.

ii) Un punto perteneciente al eje y el otro no.

Los tringulos (ABP) y APB) son iguales (?)AB = AB.

iii) Ambos puntos pertenecen a un mismo semiplano de borde e.

Los tringulos (QPB) y (QPB) son iguales (?)(?)los ngulos BQP, BQP son iguales y como AQP =AQP(?)AQB = AQB y adems AQ = AQ, QB = QB(?)los tringulos (AQB) y (AQB) son iguales(?)AB = AB.

iv) Ambos puntos pertenecen a semiplanos opuestos de borde e.

Si AB e = {F}, vamos a demostrar que A, F, B estnalineados.AFQ =(?)= AFQBFP =(?)= BFPAFQ =(?)= BFP

AFQ = BFP.

AFB = AFQ + AFQ + AFB =(?)= BFP + AFQ + AFB = QFP

= 180A, F, B alineados.

AB = AF + FB =(?)= AF + FB =(?)= AB.

Demostramos entonces que la simetra axial de eje e es una isometra.


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La simetra axial de eje e es una isometra indirecta.

La isometra inversa de una simetra axial de eje e es la misma simetra axial de eje e.

Si P e : PSePSePP Seo SeP (Seo Se)(P) = P

Si P e : PSePSePP Seo SeP (Seo Se)(P) = P

(Seo Se)(P) = P PSeo Se= ISe-1o Seo Se= Se

-1o II o Se= Se-1Se= Se

-1

Problemas

1.- En una circunferencia (CO r ) fija se consideran un punto A fijo y la tangente t a (CO, r ) en A.B variable en (CO,r ). Se construyen los rombos (ABCD) que tienen la diagonal AC incluida enla recta t. Hallar el lugar geomtrico de D.

2.- O, A fijos y la recta r variable pasando por O. La recta s es perpendicular a la recta r por A,s r = {H}.i) Hallar el lugar geomtrico de H.ii) Sr (A) = A'. Hallar el lugar geomtrico de A'.

3.- A un punto fijo de una recta r fija. Se considera una recta s variable de manera que el ngulorOs = es constante. Ss (A) = P.Hallar el lugar geomtrico de P.

4.- i) Construir (ABC) acutngulo conociendo AB, el radio r de su circunferencia circunscripta yla altura CE.ii) H ortocentro de (ABC). La recta CE corta a la circunferencia circunscripta al (ABC) en D.Demostrar que ABD = ABH y que SAB ( H ) = D.iii) El dimetro por C corta a la circunferencia circunscripta al (ABC) en T. TD // AB?

5.- (OAB) issceles antihorario con OA = OB. La recta r variable por O de forma que r no cortaal segmento AB.i) Sr (A) = M. Hallar el lugar geomtrico de M.i) BM r = {P}. Comparar los ngulos AOB, AMB y APB.iii) Hallar el lugar geomtrico de P.

iv) Idem i), ii), iii) si r corta al segmentoAB.

6.- (ABC) issceles con AC = BC. P perteneciente al segmento AB. Q y R los pies de lasperpendiculares trazadas por P a AC y BC respectivamente. SAB (Q) = Q.i) Demostrar que AQ' // BC.ii) Demostrar que Q, P, R estn alineados.iii) Demostrar que QP + PR = AD, siendo D el pie de la altura correspondiente al vrtice A.iv) Dadas a y b rectas secantes, hallar el lugar geomtrico de P tales que:

dist(P,a) + dist(P,b) = k cte.

7.- (ABCD) cuadrado de lado k. SAC ( P ) = P.Hallar el lugar geomtrico de P tales que dist( P, P ) = k2.


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J

Tr

s

J

T

r

8.- (ABC) cualquiera.

Construir un segmento MN que tenga por mediatriz a la recta BC, que M pertenezca a la rectaAB y que N pertenezca a la recta AC.

9.- Se da una circunferencia (CO, r ) y dos rectas a y b.Construir un cuadrado (ABCD) que tenga la diagonal AC incluida en la recta a, el vrtice B

perteneciente a la recta b y el vrtice D perteneciente a (CO, r ).

10.- Construir un cuadriltero (ABCD) conociendo sus cuatro lados y que BD es bisectriz de ABC.

11.- Dados a, P, P hallar b y c de modo que (S b o Sa )(P) = P y (Sa o Sc )(P) = P.

12.- Tarzn est ansioso de ver a Jane quien le dijo que slo aceptara verlo si antes se baaba.A qu punto del ro debe dirigirse Tarzn para que su recorrido sea lo ms corto posible?

13.- Tarzn sigue ansioso de ver a Jane, quien, sabiendo lo acontecido la vez anterior, sloaceptar verlo en esta ocasin si previamente se baa una vez en cada ro.A qu puntos de cada ro deber dirigirse Tarzn para llegar lo ms rpido posible?


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2.4 Rotacin (y simetra central).

LlamamosRotacina la composicin de dos simetras axiales de ejes secantes.

R(a,b)= Sb o Sacon a b ={O}

Def. llamaremoscentro de rotacinal punto de interseccin de los ejes.

1.- La rotacin es una isometra.

Ya probamos que la composicin de funciones es una ley de composicin interna en el conjunto delas isometras.

2.- La rotacin es una isometra directa.

(ABC) en sentido antihorario Sa(A0B0C0) en sentido horario Sa(ABC) en sentidoantihorario(ABC) en sentido antihorario Sbo Sa (ABC) en sentido antihorario

3.- El centro de rotacin es fijo.

4.-Dnde buscar la imagen de un punto en una rotacin?La imagen P de un punto P en una rotacin de centro O pertenece a la circunferencia de

centro O y radio OP.

Def.llamaremosngulo de rotacinal ngulo determinado por un punto, el centro de rotacin y laimagen del punto en dicha rotacin.P O, R(a,b)( P ) = P' POP' ngulo de rotacin

5.- El ngulo de rotacin es el doble del ngulo que forman los ejes.

aOb =R(a,b)( P ) = P' POP' = 2


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6.- La composicin de simetras axiales no es conmutativa.

Sb o Sa Sb o Sa.

7.-El orden en que se componen las simetras axiales determina el sentido de la rotacin.

R(a,b)= Sb o Sa R(b,a)= Sa o Sb.

Si marcamos el ngulo que estamos considerando como ngulo entre los ejes, el sentido de la rotacinse halla yendo del primer eje hacia el segundo eje recorriendo el ngulo marcado.

8.-Si tenemos una rotacin definida por dos simetras axiales lo demostrado en las propiedades 3, 5 y7 nos permiten expresar la rotacin mediante:

i)centro de rotacin: es el punto de interseccin de los ejes de las simetras axiales.ii)ngulo de rotacin: doble del ngulo formado por los ejes de las simetras axiales.iii)sentido de rotacin: yendo del primer eje de simetra hacia el segundo recorriendo el

ngulo considerado como ngulo entre los ejes.

a b = {O}aOb = RO, 2

( P ) = P' (se debe adems indicar sentido)

R(a,b)( P ) = P'

Por ejemplo: RO, 2

, antihorario( P ) = P', RO, + 2

( P ) = P', RO, 2

( P ) = P'


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Si el ngulo entre los ejes considerado es el suplementario del anterior tenemos:a b ={O}aOb = 180- RO,360- 2

( P ) = P'R(a,b)( P ) = P'

Podemos concluir entonces que RO, 2 en un sentido= RO,360 - 2 en el sentido contrario.

Para hallar la imagen de un punto en una rotacin expresada de esta manera:i) se traza (CO,OP), circunferencia de centro O y radio OP.ii) se traza la semirrecta Or de forma que:

POr = ngulo de rotaciny el sentido de ir desde un punto de OP a un punto de Or sea el mismo de la rotacin.

iii) Or (CO,OP) = {P'}.

9.- Si tenemos una rotacin dada por su centro de rotacin, ngulo de rotacin y sentido de rotacin lapodemos expresar de infinitas maneras como composicin de dos simetras axiales cuyos ejescumplan:

i) ser secantes en el centro de rotacin.

ii) el ngulo entre los ejes sea la mitad del ngulo de rotacin.iii) el sentido de ir de un eje hacia el otro recorriendo el ngulo que estamos considerandocomo ngulo entre los ejes sea el mismo que el de la rotacin.

RO,

( P ) = P' RO,(a,b)( P ) = RO,(c,d)( P ) = RO,(e,f)( P ) =...= P'a b = {O}c d = {O} e f = {O}...aOb = /2 cOd = /2 eOf = /2 ...


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10.- La isometra inversa de una rotacin es otra rotacin del mismo centro, el mismo ngulo y

sentido contrario.

Sb o Sa= RO,

en un sentido ( Sb o Sa)- 1= ( RO,

en un sentido) - 1= Sa o Sb= RO,

en el sentido

contrario.

Dada la rotacin (Sb o Sa ) queremos hallar f / f o (Sb o Sa) = I(?) f o (Sb o Sa) o Sa= I oSa(?)f o Sb o ( Sa o Sa) =Sa(?) f o (Sb o I ) = Sa

(?) f o Sb = Sa(?) f o (Sb o Sb) = Sao Sb(?) f o I = Sao Sb(?) f = Sao Sb


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Llamamos Simetra Central a la composicin de dos simetras axiales de ejes

perpendiculares.

CO= Sb o Sa con a b, a b = {O}

Por su definicin la simetra central es una rotacin por lo que las propiedades demostradas para larotacin siguen siendo vlidas para la simetra central.

1.- La Simetra Central es una isometra.

2.- La Simetra Central es una isometra directa.

3.- El centro de la Simetra Central es fijo.

4.- La imagen P de un punto P en una rotacin de centro O pertenece a la circunferencia de

centro O y radio OP.

5.- El ngulo de rotacin en la Simetra Central es de 180.

6.- La composicin de simetras axiales de ejes perpendiculares es conmutativa.

Sbo Sa = Sao Sb.

7.- El orden en que se componen las simetras axiales determina el sentido de la rotacin.

8.- R O, 180 en sentido antihorario = R O, 180 en sentido horario de ah que simplificando la notacin le

llamemos CO.

Para hallar la imagen P de un punto P en una Simetra Central de centro O se construye Pdemodo que O sea punto medio del segmento PP'.

9.- Toda Simetra Central de centro O se puede expresar de infinitas maneras como la

composicin de dos simetras axiales de ejes perpendiculares secantes en O.

10.- La isometra inversa de una Simetra Central es la misma Simetra Central.

CO-1

= CO

La imagen de una recta en una Simetra Central es una recta paralela.

CO ( r ) = r' r' // r.

Si O r:Si A r CO(A) = A CO(OA) = OA recta OA = recta OAr= rr// r.

CO(O) = O A, O, A

Si O r:Consideramos A y B pertenecientes a r.CO(A) = A d (O,A) = d (O,A)CO(B) = B d (O,B) = d (O,B)CO(O) = O d (A,B) = d (A,B)

(AOB) = (AOB) OBA = OBA y son alternos internos r // r.


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Problemas

1.- Dados un punto A y una recta r fijos con A r, se construyen los tringulos (ABC) horariosrectngulos en A e issceles, tales que B r.Hallar el lugar geomtrico de C al variar B.

2.- Sea (CO,r ) una circunferencia de centro O y radio r. P exterior fijo.

Se consideran los tringulos equilteros (APB) antihorarios con A (CO,r ).Hallar el lugar geomtrico de B al variar A.

3.- (ABC) antihorario con AB fijo y C variable de modo que ACB = 60.Se considera M op.CA / CM = CB.i) Hallar el lugar geomtrico de M.Se considera N CA / CN = CB.ii) Hallar el lugar geomtrico de N.

4.- (ABC) equiltero antihorario de circuncentro O.a) Hallar la imagen de (ABC) en de cada una de las isometras que siguen:

i) e : / e = SAB o SBC ii) f : / f = SBC o SABiii) g : / go SAO= SAC iv) h : / h = SOB o R B, 60, horario.v) j : / j = RB, 60, horario o R A, 60, horariovi) k : / RB, 120, horario o k = R C, 120, antihvii) m : / R O, 60, antiho RO, 240, horarioo m = RO, 120, horarioviii) n : / SACo n o RC, 90, horario= SAOo RC, 30, antih

b) Qu punto(s) del tringulo (ABC) est(n) a menor distancia de su imagen? Y a mayordistancia?

5.- A fijo. R A, 90, horario : / R A, 90, horario (P) = P.Hallar el lugar geomtrico de P para que d( P,P' ) = 32.

6.- Se consideran B fijo y C variable, ambos pertenecientes a una circunferencia (C) y loscuadrados (BCDE) horarios.i) Demostrar que las rectas CD pasan por un punto fijo A.ii) Demostrar que las rectas CE pasan por un punto fijo F.iii) Demostrar que las rectas DE pasan por un punto fijo J, punto medio de AF.

7.- (ABC) antihorario issceles con A = 120.i) Hallar el centro O y el ngulo de la rotacin en que a la AB le corresponde la CA.ii) Sean M AB y N AC de modo que AM = CN. Naturaleza del (MNO).iii) Hallar la imgen (A'B'C') del (ABC) en la rotacin de i) y demostrar que B, O, C'alineados y que BAC' = 90.

8.- Se dan dos rectas a, b y un punto P que no pertenece a ninguna de ellas.Construir un tringulo (PMN) equiltero tal que Ma y Nb.(Considerar dos casos: i) a // b, ii) a y b secantes).

9.- A y O dos puntos fijos en el mismo semiplano respecto de una recta r dada y B r.

i) Construir un paralelogramo (ABCD) de centro O.ii) Hallar el lugar geomtrico de D al variar B.iii) Hallar D para que el paralelogramo (ABCD) sea (a) rectngulo, (b) rombo, (c) cuadrado.


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10.- Se dan dos puntos M y B fijos y un ngulo cte.. Se considera la familia de tringulos (ABC)de modo que M es el punto medio de AC y BAC = cte.Hallar el lugar geomtrico de C.

11.- (ABCD) cuadrado antihorario de centro O. M punto medio de AB.a) Hallar la imagen de (ABCD) en cada una de las siguientes isometras:

i) e : / e = SAC o SBD ii) f : / f = SBD o SACiii) g : / g o CD= SDC iv) h : / h o CM= R B, 90, horariov) j : / CO o SBC o j = SDB vi) k : / R D, 90, horarioo COo k o CA= I

b) Qu punto(s) del cuadrado (ABCD) est(n) a menor distancia de su imagen? Y a mayordistancia?

12.- (ABC) antihorario rectngulo en A. f : la isometra directa que transforma la semirrectaAB en la semirrecta CA.i) Hallar P, punto fijo en f.ii) Una circunferencia variable que pasa por A y P corta a AB en D y a AC en E.Demostrar que si O es el centro de la circunferencia, se cumple que PO DE.iii) SDE : / SDE( P ) = P. Hallar el lugar geomtrico de P al variar O.iv) f : / f ( P' ) = P. Hallar el lugar geomtrico de P.

13.- (ABC) cualquiera. MApunto medio de BC.BOy COlos pies de las perpendiculares trazadas por B y C a la recta AMA.i) Demostrar que BOy COse corresponden en una simetra central.ii) Naturaleza de (BCOCBO).

14.- i) Probar que la composicin de dos rotaciones de centros A y B respectivamente y ngulos de90 en el mismo sentido es una simetra central con centro en el centro de un cuadrado de ladoAB.ii) Sobre los lados de un tringulo (ABC) antihorario y exteriores a l se construyen loscuadrados (BCDE) y (ACFG). Si A y B son fijos y C vara libremente demostrar que lasrectas GE pasan por un punto fijo.

15.- (ABC) antihorario cualquiera. Demostrar que la composicin de las rotaciones de centros A,B, C y ngulos A, B, C respectivamente y en sentido horario se pueden expresar como unasimetra central de centro perteneciente a AC.

16.- Sean (CO,r) y A (CO,r) fijos y de manera que r


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2.5 Traslacin.

Llamamos Traslacin a la composicin de dos simetras axiales de ejes disjuntos.

T(a,b)= Sb o Sacon a b =

1.- La traslacin es una isometra?

2.- La traslacin es una isometra directa?

3.- En la traslacin ningn punto es fijo.T(a,b)(P) = P P P

Suponemos P = PT(a,b)(P) = P(?)(Sb o Sa)(P) = P (?)Sb (Sa(P)) = PSi Sa(P) = P0(?)a = mediatriz PP0

Si Sb(P0) = P (?)b = mediatriz PP0 a = b lo que es contradictorio con que a b =.

4.- Dnde buscar la imagen de un punto en una traslacin?

La recta determinada por un punto y su imagen en una Traslacin es perpendicular a los

ejes de las simetras axiales que definen la Traslacin.

T(a,b)(P) = P PP a

T(a,b)(P) = P(?)(Sb o Sa)(P) = P (?)Sb (Sa(P)) = P

Si Sa(P) = P0(?)PP0 aSi Sb(P0) = P (?)P0P b y a b =P0P a

(?)recta PP0= recta P0P = recta PP a.

5.- La distancia entre un punto y su imagen en una Traslacin es el doble de la distancia entre

los ejes de las simetras axiales que definen la Traslacin.

T(a,b)( P ) = P' d(P,P' ) = 2.d(a,b)

6.- La composicin de simetras axiales de ejes disjuntos no es conmutativa.

Sb o Sa Sb o Sa.


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7.- El orden en que se componen las simetras axiales determina el sentido de la Traslacin.

Sb o Sa Sb o Sa.

T(a,b)= Sb o Sa

T(b,a)= Sa o Sb

El sentido de la Traslacin se halla yendo del primer eje hacia el segundo eje.

8.- Si tenemos una Traslacin definida por dos simetras axiales lo demostrado en las propiedades4, 5 y 7 nos permiten expresar la Traslacin mediante un vector vque lo determinamos de lasiguiente manera:

i) direccin: perpendicular a los ejes de las simetras axiales.ii) mdulo: doble de la distancia entre los ejes de las simetras axiales.iii) sentido: del primer eje de simetra hacia el segundo

a

b =

T (a,b)( P ) = P' T v( P ) = P'

Para hallar la imagen de un punto en una Traslacin expresada de esta manera:i) se traza r paralela al vector por P.ii) se traza (C P, 2d(a,b))iii) r (C P, 2d(a,b)) = {Q, P' }siendo P' tal que el sentido de PP' es el mismo que de a hacia b.

9.- Si tenemos una Traslacin expresada mediante un vector ( direccin, mdulo y sentido)vemos que podemos expresarla (de infinitas maneras) mediante la composicin de dossimetras axiales cuyos ejes cumplan:

i) ser perpendiculares al vector de traslacin.

ii) la distancia entre los ejes sea la mitad del mdulo del vector.iii) el sentido de ir del primer eje que se aplica hacia el segundo sea el mismo que el deel vector de la traslacin.

Tv( P ) = P' T(a,b)( P ) = T(c,d)( P ) = T(e,f)( P ) =...= P'a b = c d = e f = ...d(a,b)=v/2 d(c,d)=v/2 d(e,f)=v/2 ...


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10.- La isometra inversa de una traslacin es otra traslacin de vector con la misma direccin,mdulo y con sentido contrario.

Sb o Sa= T ven un sentido( Sb o Sa)- 1= ( T v en un sentido)

- 1= Sa o Sb= T v en el sentidocontrario.

Dada la traslacin (Sb o Sa ) queremos hallar f / f o (Sb o Sa) = I(?) f o (Sb o Sa) o Sa= I oSa(?)f o Sb o ( Sa o Sa) =Sa(?) f o (Sb o I ) = Sa(?) f o Sb = Sa(?) f o (Sb o Sb) = Sao Sb(?) f o I = Sao Sb(?) f = Sao Sb

12.- La imagen de una recta en una traslacin es una recta paralela.

T v ( r ) = r ' r ' // r

13.- i) Son iguales las funciones f : / f = CBo CA y g : / f = T 2AB?

ii) Demostrar que las funciones j : / j = Tv2o Tv1 y k : / k = T (v1 + v2)son

iguales.


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Problemas

1.- Dada una circunferencia (CO,r ) y el segmento AB que corta a la circunferencia, se consideranlos paralelogramos (ABCD) de modo que C(CO,r).Hallar el lugar geomtrico de D al variar C.

2.- Se consideran los trapecios (ABCD) tales que AB = a es fijo, CD es paralelo a AB, variable

pero de longitud constante igual a 2a y adems CAD es recto.i) M punto medio de CD. Hallar el lugar geomtrico de M al variar C.ii) Hallar el lugar geomtrico de D y el lugar geomtrico de C.iii) Ubicar M para que ADC = 60 y para ese caso construir (ABCD) y calcular su rea enfuncin de AB = a.

3.- Sea (ABC) con AB fijo y ACB agudo constante. H el ortocentro de (ABC), D el puntodiametralmente opuesto de C en la circunferencia circunscripta de centro O y M el puntomedio de AB.i) Probar que si (ABC) no es rectngulo se cumple que:

(a) AH // DB,

(b) (ADBH) es paralelogramo,(c) D, M, H alineados.

Distinguir segn (ABC) acutngulo u obtusngulo.ii) Probar que CH = 2OM. Distinguir segn (ABC) acutngulo, rectngulo u obtusngulo.iii) Hallar el lugar geomtrico de H al variar C.

4.- (ABCD) cuadrado de centro O.a) Hallar la imagen de (ABCD) en de cada una de las isometras que siguen:

i) e : / e = SBCo SAD ii) j : / j = TACo CO

iii) f : / f = SADo SBC iv) k : / RC, 90, antiho TADo k = Iv) g : / g = TDAo SCD vi) m : / m = RB, 90, antiho CAo TBAvii) h : / h o TDB= SAC

b) Qu punto(s) del cuadrado (ABCD) est(n) a menor distancia de su imagen? Y a mayordistancia?

5.- Sobre los lados de un tringulo (ABC) antihorario y exteriores a l se construyen loscuadrados (BCDE) y (ACFG) antihorarios. Si A y B son fijos y C vara libremente demostrarque las rectas GE son paralelas.

6.- (ABCD) paralelogramo.Hallar la imagen de (ABCD) en de cada una de las isometras que siguen:

i) e : / e = CBo CA ii) f : / f = CCo CBo CA

iii) g : / g = TCOo TADo TAB iv) h : / TCOo TABo TADo h o TDA= TCB

v) j : / TBOo j o CA= TCBo CD

7.- r, s rectas secantes.Construir un paralelogramo (ABCD) conociendo AB y sabiendo que C r y D s.

8.- Construir un trapecio conociendo sus cuatro lados.


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2.6 Antitraslacin.

Estudiar la composicin de tres simetras axiales de ejes concurrentes y de tres ejes paralelos.

Llamamos Antitraslacin a la composicin de tres simetras axiales de ejes ni

paralelos ni concurrentes los tres.

At ( a, b, c ) = Sc o Sb o Sa cona, b, c ni paralelos ni concurrentes los tres.

1.- La Antitraslacin es una isometra?

2.- La Antitraslacin es una isometra indirecta?

3.- Toda antitraslacin se puede expresar como la composicin de una traslacin con una

simetra axial donde el vector de la traslacin es paralelo al eje de la simetra axial.

At ( a, b, c ) = Sc o Sb o Sa At e , v = Se o T v con v // e

At ( a, b, c ) = Sc o Sb o Sa con a b = {O}= Sc o RO, 2antihorario= Sc o S2 o S1 con 2 c, 2 c = {H}= CH o S1= S4 o S3 o S1 con 3 // 1, 4 1 = {J}

= S JH o T2JH= At JH, 2JH

4.- La composicin de una traslacin con una simetra axial donde el vector de la traslacin es

paralelo al eje de la simetra axial es conmutativa.

At e , v =Se o T v con v // e At e , v = T v o Se con v // e

At e , v = Se o T v con v // e= Se o S2 o S1 con 2 e, 2 e = {Q}= S2 o Se o S1 con 1 e = {P}

= Se o CP= Se o S1 o Se= T2PQ o S1= T v o Se con v // e


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5.- En la Antitraslacin ningn punto es fijo.

At e , v( P ) = P' P P'

Supongamos que P= PAt e , v(P) = P' (?)(Se o Tv)(P) = P(?)Se (T v(P)) = P

Si T v(P) = P0PP0// e

Si Se (P0) = P PP0e. Estas dos ltimas afirmaciones son contradictorias.

6.- Los segmentos determinados por un punto y su imagen en una Antitraslacin son

intersecados por el eje de la simetra axial en sus puntos medios.

At e , v( P ) = P'P e E es punto medio de PP'.PP' e = {E}

At e , v(P) =(?)= (Tv o Se)(P) =(?)= Tv (Se(P)) = Tv (P0) = P siendo Se (P) = P0

Se (P) = P0 (?)PP0e = {M}con M punto medio de PP0Tv (P0) = P(?)P0P // v // e

En (PP0P): e // P0P por M = punto medio de PP0si PP e = {E}

(?)E punto medio de PP.

7.- La isometra inversa de una Antitraslacin es otra Antitraslacin con el mismo eje de

simetra y vector con la misma direccin y mdulo y con sentido contrario.


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Instituto de Profesores Artigas Geometra Unidad 2Problemas

1.- (ABEF) y (BCDE) cuadrados como en la figura.Hallar la expresin cannica de cada una de las isometras que se indican:i) f : / SBEo f o SAB = SAE.ii) g: / SBEo g = SABo SAE.iii) h : / h o CE = SBD.

iv) j : / SFEo j o R B, 90, antih = Iv) k : / k o T2FA = SEC.

2.- (ABC) issceles con AC = BC y ACB = .i) Determinar f : / f = SABo SBCo SAC.ii) Hallar para que el mdulo del vector sea igual a la altura CH del (ABC).

3.- Se consideran una recta m y una circunferencia (CO, r ) exterior.i) Construir un tringulo (PQR) issceles de base PQ = 6r, R(C O, r ) y de modo que losrespectivos puntos medios de PR y QR pertenezcan a la recta m.

ii) Hallar el lugar geomtrico de P al variar R. Construir.iii) Hallar el lugar geomtrico de Q al variar R. Construir.

4.- (ABCD) cuadrado de lado a. AtAC, AC : / AtAC, AC( P ) = P'.Hallar el lugar geomtrico de P para que d( P, P' ) = (a10)/2.

5.- (ABC) equiltero.Determinar e y v para que At e, v(semirrecta AC ) = semirrecta BA.

6.- Dadas dos rectas r, s y una circunferencia (C) y un segmento de longitud 'a', construir unrectngulo (ABCD) tal que r sea paralela media, A s, C (C) y d(A,B) = a.

Considerar dos casos segn (ABCD) horario o antihorario.

unidad2 ficha1 funcionesenelplano is

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