unidad nº1

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  • UNIDAD UNONMEROS

  • De qu se tratar esta Unidad?

  • Para esto seguramente ser necesario que repases las operaciones bsicas para que las ocupes en distintas situaciones. Consiste en profundizar los conceptos aprendidos en educacin Bsica sobre los nmeros enteros, fraccionales y decimales, positivos y negativos.

  • Sistema de EvaluacinSe realizarn evaluaciones formativas y una prueba sumativa al terminar la Primera Unidad.Las evaluaciones formativas sern mediante prueba escrita, trabajos en clase o revisin de cuaderno con los ejercicios resueltos.

  • A lo largo de la historia el hombre ha tenido la necesidad de contar y de solucionar problemas. Los primeros nmeros escritos de los que tenemos noticia nacieron en Egipto y Mesopotamia hace unos 5.000 aos. Unos 3.000 aos despus, los romanos inventaron nuevos smbolos utilizando letras. Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Nmeros.

  • Pero el ms notable de todos los sistemas numricos primitivos fue el sistema de numeracin de los mayas, un pueblo de Amrica Central. La matemtica se ha ido construyendo recopilando informacin de diversas culturas hasta lo que hoy conocemos. Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Nmeros.

  • La invencin del cero se ha atribuido, por lo general, a los hindes (en una fecha anterior al ao 800 d. C. que todava no se ha podido precisar) y an se discute si los primeros fueron ellos o los babilonios.El cero es un interesante ejemplo de los orgenes independientes de las ideas matemticas en culturas diferentes.Un poco de Historia.

    Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Nmeros.

  • A INVESTIGAR Seala dos ventajas que para la humanidad ha tenido la invencin del cero. Conoces algunos antecedentes sobre la Historia de los Nmeros.

  • Cuadrados MgicosUn cuadrado mgico es un conjunto de nmeros ordenados en igual cantidad de columnas y filas, de manera que los nmeros de cada fila, columna y diagonal sumen lo mismo.

  • Por ejemplo, en el siguiente cuadrado los nmeros de cada fila, columna y diagonal suman 34:ColumnasFilas151441En la primera fila:En la segunda columna: 15 + 6 + 10 + 3= 34, etc.

    1+15+14+4=34Diremos entonces que el nmero mgico de este cuadrado es 34.

    11514412679810115133216

  • A trabajar Completa en tu cuaderno los siguientes cuadrados mgicos, determinando en primer lugar el nmero mgico:

    16235118912415

    1718152357144613121931129

  • En cursos anteriores ya has estudiado los nmeros naturales y sus operaciones. Qu recuerdas de ellos?Encontrars los nmeros naturales en muchas situaciones y anuncios como los siguientes:

  • TERREMOTO DEJA UNA CIFRA DE 1.080 DAMNIFICADOSCOMBO 1:1 HOTDOGBEBIDAPAPAS FRITAS$1.080SE VENDE:Departamento de 2 y 3 dormitorios desde 1.080 UFSi observas la cifra que aparece en cada anuncio, podrs notar que el nmero es el mismo, sin embargo, representan algo distinto dependiendo del contexto en que est.

  • Las propiedades en el conjunto de los nmeros naturales son las siguientes :

    Tiene primer elemento ( el 1 ).Es infinito, o sea, no tiene ltimo elemento.Entre dos nmeros consecutivos, no existe otro. El conjunto es DISCRETO.Est ordenado por la relacin menor ,mayor o igual.Se aplica la propiedad de tricotoma. ( Dos nmeros , se pueden comparar con una solade las siguientes relaciones : mayor , menor o igual.)

  • Adems de las propiedades anteriores, este conjunto se puede separar en dos subconjuntos: los pares y los impares, y ningn nmero pertenece a ambos.Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10 y los impares son: 1, 3, 5, 7, 9 Adems a veces se pueden escribir secuencias con nmeros naturales que cumplen con alguna caracterstica comn o regularidad.Por ejemplo, en la secuencia 12, 15, 18, 21, cada nmero se obtiene agregndole 3 al anterior.

  • En el siguiente ejemplo, verifica que en cada fila las igualdades sean verdaderas.

    5 = 1 5 5 + 7 = 2 6 5 + 7 + 9 = 3 75 + 7 + 9 + 11 = 4 8Cul sera la dcima fila?Para resolver este problema observa cmo son las sumas que estn a la izquierda y los factores correspondientes de la derecha.

  • Los problemas anteriores se caracterizan porque debes descubrir la regularidad numrica, el patrn o ley de formacin de la secuencia.Trabajo en Equipo: Observen y verifiquen las siguientes igualdades: 1 9 + 2 = 11 12 9 + 3 = 111 123 9 + 4 = 1.1111.234 9 + 5 = 11.111Cul ser la octava fila?Segn el patrn dado, Cunto sera 1.234.567 9 + 8?

  • 2. En el siguiente problema las fichas circulares estn colocadas en arreglos triangulares.Cuntas fichas se necesitarn para los dos arreglos triangulares siguientes?Si en el arreglo triangular del lugar 28 se necesitaron 406 fichas, cuntas se necesitarn para el del lugar 29?

  • Los nmeros naturales los encontramos no slo en los diversos tipos de informacin, sino en las actividades diarias. Los utilizamos cuando hacemos las compras en el supermercado, cuando pagamos cuentas como la del telfono, el agua, el gas o la luz; cuando pagamos el pasaje en una micro, y en muchas otras ocasiones. En todos estos casos no basta conocerlos, sino que es importante saber operar con ellos, es decir, sumar, restar, multiplicar y dividir.

  • En lN se definen las siguientes operaciones, con sus respectivas propiedades :

    ADICIONMULTIPLICACIONCerrada, a, b lN, a + b = c , c lN(al sumar dos naturales, el resultado es tambin un natural).

    Asociativa, a, b, c lN; (a + b) + c = a + ( b + c)

    Conmutativa, a, b lN, a + b = b + aCerrada, a, b lN a b = c , c lNii) Asociativa, a, b, c lN; (a b) c = a ( b c)iii) Elemento Neutro, a lN ! 1 lN tal que a 1 1 a a (todo nmero natural multiplicado por 1 da el nmero natural ). iv) Conmutativa, a, b lN, a b = b a v) Distributividad de la multiplicacincon respecto a la adicin : a, b, c lN ; a ( b + c ) = a b + a c

  • EJERCICIOS CON LOS NMEROS NATURALES :

    1. Porqu el conjunto de los nmeros naturales no tiene elemento neutro para la suma ?2. Clarifica por medio de un ejemplo el concepto de la distributividad de la multiplicacin con respecto a la adicin.3. Si a b c = 30 Cunto vale b a c = ...... y c a b = ......4. Se compran 8 libros a $ 2.500 cada uno, 5 lpices a $ 1.200 cada uno y 4 lpices Parker a $4.100 cada uno. Si se vende todo a $ 40.800 Cunto se descuenta ?

    5. Un auto sale de Osorno al Sur a 70 km/hra y otro vehculo sale hacia el Norte a 85 Km/hra. Si ambos salen a las 10 de la maana A qu distancia se hallarn a la 1 de la tarde ?Compr 14 trajes a $ 30.000 cada uno; 22 sombreros a $ 2.000 cadauno y 8 bastones a $ 5.000 cada uno. Vendo los trajes por un total de $ 560.000, cada sombrero a $ 1.000 y cada bastn a $ 3.000. Gano o pierdo ? Cunto ?

  • Nmeros PrimosLos nmeros primos son aquellos nmeros naturales que se pueden descomponer en exactamente dos factores distintos: el uno y el mismo nmero. EJEMPLOEl 17 es un nmero primo, porque al escribirlo como producto resulta:1 17 = 17 o 17 1 = 17, es decir, sus nicos factores son el uno y el mismo 17.

  • El 27 NO ES UN NMERO PRIMO, porque al escribirlo como producto resulta:1 27 = 27 o 27 1 = 27 o 9 3 = 27 o 3 9 = 27 , es decir, sus factores pueden ser el 1, el 3, el 9 y el 27. Se dice entonces que el 27 es un NMERO COMPUESTO.

  • OBSERVACIONES: El nmero uno no es un nmero primo ni compuesto. Los primeros nmeros primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,

    La demostracin de que existen infinitos nmerosprimos fue hecha por Euclides, en el siglo II a. de C., y es considerada una de las ms bellas en la Historia de la matemtica.

  • Una de las propiedades importantes de los nmeros primos es que cualquier nmero natural mayor que 1 es primo o se puede expresar como producto de nmeros primos.Por ejemplo, el nmero 120 se puede expresar como 2 2 2 3 5 = 120 o escrito en potencias: 23 31 51 = 120

  • Esta descomposicin se llama factorizacin prima y tiene importancia para el estudio de las propiedades de los nmeros; entre ellas, los divisores de un nmero, el clculo del mximo comn divisor (MCD) y del mnimo comn mltiplo (mcm).Para descomponer un nmero en factores primos procederemos dividiendo el nmero sucesivamente por los nmeros primos hasta llegar al ltimo factor primo, tal como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

  • Descomponer el nmero 2.700 en factores primos:Por lo tanto, la descomposicin de 2.700 en factores primos corresponde a: 22 33 52.

    2.70021.350 675 225 75 25 5 1233355

  • Trabajito:Clasifica los siguientes nmeros naturales en primos o compuestos.29, 101, 67, 71, 13, 79, 91, 677, 479, 386, 401. Por qu el nmero uno no es primo?Descompn los siguientes nmeros en sus factores primos: 144 136 228 350Escribe todos los nmeros primos desde el 23 al 61. (Son 10).

  • MLTIPLOS Y DIVISORESEn una radioemisora, cada 15 minutos una locutora anuncia la hora mediante una grabacin programada automticamente a travs de una computadora.Por lo tanto, las horas son anunciadas a los 15, 30, 45, 60 minutos, despus de la primera vez.Estos nmeros corresponden a los mltiplos de 15 y son el producto de 15 por los nmeros naturales 1, 2, 2, 4, 5,,etc.

  • El conjunto de todos los mltiplos de 12 lo designaremos con el smbolo M(12) y corresponde a : {12,24,36,48,60,}

  • Si quisiramos saber si 168 es mltiplo o no de 12, es decir, si pertenece al conjunto anterior, tenemos que saber si 168 es el producto de 12 por algn otro nmero natural, es decir, averiguar si 12 divide exactamente a 168.Ya que