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Unidad I
[UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES]
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Introducción a las Probabilidades
¿Qué es Probabilidad?
La probabilidad es una disciplina, una rama de la matemática que tiene tres
principios básicos como teoría: su contenido lógico formal, el antecedente intuitivo
y sus aplicaciones.
Gómez (2003) lo define como: “Un valor numérico que debe cumplir con ciertas
condiciones o propiedades matemáticas, y que se asocia a un evento o suceso
determinado para expresar el grado de confianza que se tiene en la verificación
futura de dicho evento. (p. 356)
La teoría de las probabilidades se aplica actualmente en
muchos y diversos campos. Por ejemplo, desde
experiencias simples como: arrojar una moneda y tirar
un dado, hasta fenómenos físicos de masa y energía.
Así, como dice Feller (1983): “históricamente, el
propósito original de la teoría de la probabilidades
consistía en describir el dominio excesivamente estrecho de la experiencia
relativa a los juegos de azar, y el esfuerzo principal se dirigía al cálculo de algunas
probabilidades”.
En síntesis, las probabilidades son una forma intuitiva de responder ante un hecho
y comienza con experiencias simples.
El Azar
Torstein Frode cuenta que en Hising había una ciudad que estaba ligada en su
suerte tanto a Noruega como a Suecia. Los dos reyes convinieron entonces echar
suertes por ver quién de ellos les correspondería; arrojarían los dados y el
ganador sería aquel que obtuviera el total de puntos mayor.
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El rey de Suecia sacó dos seis y dijo que no valía la pena que el rey Olav probara
suerte, pero éste, mientras sacudía en la manos los dados, le respondió: “Hay
todavía dos seis en estos dados y no es difícil que Dios, mi Señor, los haga salir”.
Tiró los dados y obtuvo dos seis. El rey de Suecia volvió a echar los dados y
obtuvo de nuevo dos seis. Luego, el rey Olav tornó a jugar y uno de los dados
mostró todavía un seis pero el otro se quebró en dos pedazos, con tanta fortuna
que indicó un siete. Entonces la ciudad le tocó a él.
¿Se podría tener “suerte” de una manera perfectamente honesta, es el azar
independiente de toda manipulación humana?
El Azar se define como: La “casualidad” de que ocurra un determinado suceso, es
decir, son eventos inesperados, los cuales no tienen causa alguna de ser
provocados. Para algunos la incertidumbre que les genera la probabilidad hacen
que estudien al azar y la probabilidad como una teoría idéntica, sin embargo, para
la mayoría de científicos y matemáticos, el azar es la base de la probabilidad y se
le culpa de todo aquello que en la probabilidad carece de certeza o no se puede
predecir, es decir, de todo que se salió de alguna manera de las reglas ya
establecidas en la teoría de la probabilidad.
Experimento: Es cualquier proceso en el que se observó algo. Es decir, cualquier
acción cuyo resultado se registra como un dato. Ejemplo:
Se divide en dos tipos: Experimento determinista y experimento aleatorio.
1. Experimento Determinista: es aquél donde los posibles resultados se
conocen antes del experimento, es decir, el resultado se determina sin
necesidad de llevarlo a la práctica.
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2. Experimento Aleatorio: es imposible predecir sus resultados. Se dice que en
este experimento, los resultados dependen del azar. Los siguientes
aspectos caracterizan a un experimento aleatorio:
Cada experimento puede ser repetido bajo las mismas condiciones.
Aunque no se puede establecer un resultado particular del
experimento, podemos describir el conjunto de todos los resultados
posibles de este.
Si un experimento puede repetirse un gran número de veces
aparece un patrón de regularidad. Por ejemplo si se lanza una
moneda al aire un gran número de veces observaremos que la mitad
o aproximadamente la mitad de las veces aparece cara (siempre y
cuando la moneda no esté cargada). Y esto ocurre a pesar de cada
resultado individual aparecería de manera casi arbitraria e imposible
de predecir. Es precisamente esta regularidad la que hace posible
construir un modelo probabilístico para analizar u experimento
aleatorio.
Evento: Es una uno de los resultados posibles en un experimento. Ejemplo:
Lanzar una moneda.
( )
( )
Se clasifica en:
1. Evento Simple: cada uno de los elementos un espacio de un
evento determinado. Por ejemplo: al lanzar un dado, sus eventos
simples son seis: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
2. Evento Compuesto: Es la unión de varios eventos simples.
Ejemplos: al lanzar un dado, “que salga un número par”, es la
unión de los eventos simples: 2, 4 y 6.
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3. Evento Imposible: es un evento donde al realizarse un
experimento, se sabe que dicha situación o suceso no se puede
presentar. Se le denota como: . Por ejemplo: que al lanzar un
dado, salga el número 7.
4. Evento Seguro: es un evento donde al realizarse un experimento,
se sabe que dicha situación o suceso siempre se puede
presentar. Se le denota como el conjunto universal: .
5. Eventos Mutuamente Excluyentes: son los eventos que no
pueden ocurrir a la vez, por ejemplo: el evento seguro es
mutuamente excluyente con el evento imposible.
Punto Muestral: Son disjuntos, pues no ocurren dos al mismo tiempo y siempre
se relaciona con un evento simple.
Espacio Muestral: Es el conjunto de puntos muestrales posibles en un
experimento. Es una lista de todos los resultados posibles. Un tipo de espacio
muestral es el Discreto, en la cual se cumple que: hay una cantidad finita o
contable de puntos muestrales y lleva un orden.
TECNICAS DE CONTEO
1. Principio de la Suma: Si las formas o maneras de realizar un producto se
clasifica en “k” casos, y es el conjunto de todas las maneras de realizar el
proceso en el caso Se sigue que, | | | |+| |
| |. Es decir, que el número total de formas de realizar el proceso es la
suma de las cardinalidades de
Ejemplo 1: Supóngase que se desea viajar de Concepción a Santiago y debemos
decidir entre viajar en Tren, Bus, Auto o Avión. Si hay 1 ruta de tren, 2 rutas de
bus, 3 rutas de auto, y 1 ruta de avión, entonces el número total de rutas distintas
disponibles para el viaje es
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Ejemplo 2: En un colegio se tienen 5 grupos de undécimo, 9 grupos de décimo y
18 grupos de noveno. Una empresa regalará una fiesta a un grupo de tercer ciclo
o ciclo diversificado. Si el grupo se elige al azar. De cuantas maneras se puede
seleccionar.
2. Principio de la Multiplicación: la realización de un proceso se divide en k”
etapas. Sea el conjunto de las maneras de realizar la etapa
Entonces, | | | |+| | | |. Es decir, que el número total de
formas de realizar el proceso es el producto de las cardinalidades de .
Ejemplo 1: Un contrato de construcción ofrece casas con cinco tipos distintos de
distribución de las habitaciones, tres tipos de techo y dos tipos de alfombrado ¿De
cuantas maneras diferentes puede un comprador elegir una casa?
Ejemplo 2: ¿Cómo se puede formar un número de cuatro dígitos con números del
1 al 7?
Ejemplo 3: ¿Cómo se puede formar un número de cuatro dígitos con números del
1 al 7, pero sin repetir los números?
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3. Permutaciones y Combinaciones
Permutaciones de Objetos Distintos: una permutación de “n” objetos distintos es
un ordenamiento de ellos. El número total de permutaciones se denota por ( )
Teorema: ( )
Ejemplo 1: ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra
“maestro”?
Ejemplo 2: ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con los números
0,1,3,5,6,9?
a) Los números 1,3,5 están juntos.
b) El número 3 está después de la segunda posición y el número 6 debe ir en
cualquier lugar que esté posterior al 3.
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Arreglos tomados de objetos distintos: un arreglo o permutación de “r” objetos
tomados de “n” objetos distintos es una ESCOGENCIA ORDENADA de estos r
objetos. La notación utilizada es ( )
Teorema: ( )
( )
Ejemplo 1: en una clase de 32 estudiantes desean formar una directiva
(presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y fiscal), ¿De cuántas maneras se
pueden efectuar esta selección?
Combinaciones tomadas de objetos distintos: una combinación de “r” objetos
tomados de “n” objetos distintos es una selección de estos “r” objetos. La notación
es ( ) .
/.
Teorema: ( ) .
/
( )
Ejemplo 1: Para visitar un laboratorio de biotecnología deben seleccionarse 20
estudiantes de entre tres secciones en un colegio. Una de las secciones tiene 25
estudiantes, otra tiene 22 y la tercera tiene 28. ¿De cuántas maneras puede
hacerse la selección si se deben escoger 7 estudiantes de la primera sección, 5 de
la segunda y 8 de la tercera?
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Práctica #1
1) Se tienen 15 libros de matemáticas distintos, de los cuales tres son de
probabilidad. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar estos libros en un
estante, si el primer libro de probabilidad debe estar en la quinta o novena
posición?
2) ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra
“matemática”?
3) Un proceso de ensamblaje en una fábrica incluye 4 etapas que puede
ejecutarse en cualquier orden. Si el fabricante desea estudiar, ¿cuánto tiempo
dura el proceso en cada orden posible?, ¿cuántas pruebas distintas deberá
estudiar?
4) Escriba el espacio muestral correspondiente si se tiene una caja con 6 bolas
(4 rojas y 2 blancas), se seleccionan consecutivamente 3 bolas con reemplazo
(cada bola es devuelta a la caja antes de una nueva selección).
5) De una urna que contiene los nombres de 30 empleados de una pequeña
empresa, se van a elegir aleatoriamente, sin reemplazo los nombres de 3. El
individuo cuyo nombre sale primero recibe 100 dólares, el siguiente en salir su
nombre recibe 50 dólares y el tercero recibe 25 dólares. ¿Cuántos puntos
muestrales se asocian con este experimento?
6) Una operación de ensamblaje en una fábrica requiere tres etapas, que pueden
ejecutarse en cualquier orden. ¿En cuántas formas distintas se puede realizar
el ensamblaje?
7) Una línea aérea tiene programado seis vuelos diarios de New York a California
y siete de California a Hawai. Si los vuelos se programan para diferentes días,
¿Cuántas diferentes opciones de vuelo puede ofrecer la aerolínea de New York
a Hawai?
8) Un modelo de automóvil viene en cinco presentaciones, con cuatro clases de
motor, dos tipos de transmisión y ocho colores.
a) ¿Cuántos automóviles tiene que almacenar un distribuidor si incluye una
combinación de tipo de motor y transmisión?
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b) ¿Cuántos automóviles tendrían que transportar un centro de
distribución, si se almacenan automóviles de todos los colores, de
acuerdo con la combinación del inciso a?
9) La directora de personal de una corporación contrató a diez nuevos ingenieros.
Si hay tres vacantes (distintas) en la plata de Cleveland, ¿de cuántas maneras
puede cubrir los puestos?
10) Los alumnos que asisten a la universidad de Florida pueden elegir 130
asignaturas, las cuales se identifican en los registros de admisión del
estudiante con un código de dos o tres letras (por ejemplo, la estadística se
identifica mediante STA y las matemáticas con MS). Algunos estudiantes
eligen dos asignaturas y cumplen con los requisitos de las dos áreas
principales antes de la graduación. Se pidió al coordinador de admisiones que
asignara a estas materias dobles un código diferente a los establecidos y que
puedan identificarse en el sistema de registro de los estudiantes.
a) ¿Cuál es la cantidad máxima de asignaturas dobles de la que pueden
disponer los estudiantes de la universidad de Florida?
b) Si está disponible algún código de 2 o 3 letras para identificar las
asignaturas sencillas o dobles, ¿entre cuántos códigos de asignatura se
puede elegir?
c) ¿Cuántos códigos se requieren para identificar a los estudiantes que
tienen asignaturas sencillas o dobles?
d) ¿Hay suficientes códigos disponibles para identificar a todas las
asignaturas sencillas o dobles en la universidad de Florida?
11) Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de
caucásicos en Estados Unidos son alrededor de ,
respectivamente. Se elige un caucásico en forma aleatoria de la población.
Elabore una lista del espacio muestral de este experimento.
12) Un vehículo que llega a un crucero puede dar la vuelta a la derecha, a la
izquierda o continuar al frente. El experimento consiste en observar la dirección
que toma un vehículo que pasa por el crucero. Elabore una lista del espacio
muestral de este experimento.
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13) Patricia le ofrece a su hijo Julio dos regalos para su cumpleaños, los cuales
pueden ser seleccionados del siguiente conjunto:
* +
a) El ejemplo anterior, ¿corresponde a una permutación o una
combinación?
b) ¿Cuántas opciones puede armar Julio?
14) El banco “x” le pide a Noé crear una clave para su pin de tres dígitos (sin
repetir el número), los cuales debe seleccionar del conjunto:
a) El ejemplo anterior, ¿corresponde a una permutación o una
combinación?
b) ¿Cuántas claves puede ser creadas por Noé?
15) ¿Cuántas maneras hay de asignar los primeros cuatro lugares de un concurso
de creatividad que se realiza en una institución educativa de nuestro país, si
hay 14 participantes?
16) ¿Cuántas maneras hay de que se asignen a 120 personas, tres premios de un
sorteo en donde el primero premio es un departamento, el segundo un auto y
el tercero un centro de cómputo? (sin reemplazo).
17) ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera
de autos, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación
es totalmente al azar y sin reemplazo.
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Definición Clásica de Probabilidad: Es un evento donde todos los puntos
muestrales son igualmente probables, según Chaves (2012): “si un experimento
genera el espacio muestral S, el cual contiene n puntos muestrales, de los cuales
k puntos muestrales favorecen la ocurrencia de un evento A, entonces la
probabilidad de A, denotada por ( )P A viene dada por: ( )k
P An
”.(p.18).
Ejemplo #1: Obtener la probabilidad de sacar el número 1 en un dado:
1(1)
6P .
Ejemplo #2: En un curso de Bioestadística hay 30 alumnos, 10 de la carrera de
Bioquímica, 15 de Farmacia y 5 de Enfermería. El 70% del total son mujeres y el
resto varones. Se escoge uno al azar; hallar la probabilidad de que sea de la
carrera de:
Bioquímica: ( )
Farmacia: ( )
Enfermería: ( )
¿Cuál será la cantidad de mujeres M?
( )
⇒
Enfoque Frecuencial de la Probabilidad: Complementa la definición clásica
pues atiende casos que no pueden resolver con dicha definición.
Según Chaves (2012): “si se hace n número de observaciones de una
misma clase, donde n es grande y se encuentra que el evento A ocurre en k
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ocasiones, entonces la probabilidad del evento A es aproximadamente:
( )
. Por tanto, con base en esta definición, se entiende como
Probabilidad de Ocurrencia de un evento a un cierto valor, generalmente
desconocido, al cual tienden las frecuencias relativas al aumentar el
número de observaciones en que están basadas”. (p.21)
Reglas básicas de Probabilidad: Supongamos que S es un espacio muestral
relacionado con un experimento. Para cada evento A en S (A es un subconjunto
de S), asignamos un número ( ) denominado Probabilidad de A, de tal manera
que se cumplan los siguientes axiomas:
I. ( )
II. ( ) , “no hay espacios incompletos”
III. Si forman una sucesión de eventos mutuamente
excluyentes por parejas de S, es decir, si
entonces ( ) ∑ ( )
Nota: Como consecuencia de la definición, tenemos que la probabilidad de un
evento “Imposible” es cero. Por otro lado, dichas reglas corresponden en forma
parcial a los axiomas de Kolmogorov sobre el “Cálculo de Probabilidades”.
Ejemplo #1: Suponga que se lanza una moneda tres veces para observar si se
tiene escudo o corona, en cada lanzamiento. Vamos a suponer que la moneda
está equilibrada y los tres lanzamientos tienen las mismas condiciones:
Espacio Muestral:
Escudo: A
Corona: B
Donde, , 1 8iE con i son los eventos
probables
1
2
3
4
E AAA
E BBB
E AAB
E ABA
5
6
7
8
E BAA
E BBA
E BAB
E ABB
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B: Obtuve una Corona
3 4 5, ,B E E E
Solución: Asigne probabilidades a los eventos simples
( )
8 , suponiendo que todos tienen igual probabilidad de
ocurrencia.
( )
8 la suma, o los tres eventos simples de A.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
8
8
8
La Ley de la Suma
A) Teorema:
( ) ( ) ( ) ( )
Si A y B son mutuamente excluyentes entonces ( ) , así:
( ) ( ) ( ).
B) Teorema: ( ) ( ̅)
𝐸 𝐸 𝐸6 𝐸
𝐸
𝐸7 𝐸8 𝐸
Eventos Simples
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Donde, P A significa la probabilidad del complemento de A.
Definición de Probabilidad Condicional de un Evento
( ⁄ ) ( )
( )
Definición de Eventos Independientes:
( ⁄ ) ( )
( ⁄ ) ( )
( ) ( ) ( ), si A y B son independientes
Teorema: Ley Multiplicativa: Si A y B son dependientes:
( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ )
En resumen:
Dos Eventos A y B
Eventos NO Mutuamente Excluyentes
INDEPENDIENTES
( ) ( )
DEPENDIENTES
⁄
( ) ( ⁄ )
Eventos Mutuamente Excluyentes
( )
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Nota: “Algunas Leyes Importantes”
A) Leyes Distributivas:
a. ( ) ( ) ( )
b. ( ) ( ) ( )
B) Leyes de De Morgan:
a. ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ̅ ̅
b. ( ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) ̅ ̅
Ejemplo 1: se tiene una canasta con 15 bolas numeradas del 1 al 15. Las bolas
con números entre 1 y 7 son rojas y las demás son verdes. Se elige una bola al
azar, considere los eventos:
A: la bola extraída es verde
B: la bola extraída es roja
C: la bola extraída tiene un número par
Determine: ( ) ( ) ( ̅) ( ⁄ ) ( ) ( ) ¿Son independientes los
eventos A y C?
Ejemplo 2: Considere el ejemplo de lanzar dos dados:
Escriba el espacio muestral
Escriba el espacio muestral para cuando la suma sea par. Determine su
probabilidad.
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Ejercicios
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma sea un
número par o un número menor que cinco?
2. Si se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 ó 5?
3. Considere el caso de una urna que contiene 7 bolas blancas y 5 negras, siendo
ellas en todo iguales, excepto su color. Se saca una bola al azar y luego otra
sin reemplazo de la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea
blanca y la segunda sea negra?
4. Si de ocho grupos de sétimo cada uno de treinta estudiantes, desertaron en
total ochenta y cuatro estudiantes en el primer trimestre, ¿cuál es la
probabilidad que un estudiante cualquiera haya desertado en ese trimestre?
5. Supongamos que de 240 estudiantes, cien son hombres y de los 95 que
aprobaron el curso 55 eran hombres.
1. ¿cuál es la probabilidad que uno cualquiera de esos estudiantes sea
hombre o haya aprobado el curso?
2. ¿cuál es la probabilidad que sea mujer y haya aprobado el curso?
3. Si seleccionamos un estudiante cualquiera y sabemos que es mujer,
cual es la probabilidad de que haya aprobado el curso?
6. Suponga que en una familia hay dos visitantes de diferente edad y que nos
interesa conocer el sexo y la edad de estos visitantes. Se utiliza la letra H para
representar a un hombre, M para una mujer y HM para denotar que la persona
con más edad es mujer y el menor es hombre.
¿Cuál es el espacio muestral?
Sea A el subconjunto de todas las posibilidades que no incluyen varones
Sea B el subconjunto que contiene dos varones.
Sea C el subconjunto que contiene al menos un varón
Distribución de Probabilidad: una distribución de probabilidad, p(x) ó una
función de probabilidad de masa, es una fórmula o función, tabla o gráfica, que
proporciona a cada posible valor de la variable aleatoria su probabilidad asociada.
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Teorema: Si p(x) es la distribución de probabilidad de x, entonces,
i. ( )
ii. ∑ ( )
Definición: Sea x una variable aleatoria discreta con función de probabilidad
p(x). Entonces, el valor esperado de x, se define como: ( ) ∑ ( )
además, ( ) (es decir, E(x)= La Media)
Medidas de Variabilidad del Conjunto de Datos:
a) Definición: se define varianza (o variancia) de una variable aleatoria
discreta x como ( ) ,( ) - ,( ( )) -.
b) De la definición anterior se tiene que la desviación estándar de x es
( ) √ ( ) y representa “que tanto” se desvían los datos
respecto al promedio.
c) Teorema: sea x una variable aleatoria discreta con función de
probabilidad p(x).
Entonces, ( ) ,( ) - ( ) ( )
Teniendo las distribuciones de Probabilidad se puede utilizar el siguiente cuadro y
determinar la media, la varianza y la desviación estándar:
x P(x) ( ) ( ) ( ) ( )
TOTAL = =
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Práctica #4
1. El colegio San Francisco tiene 5 grupos de quinto año, 9 grupos de cuarto año
y 18 grupos de noveno año. Una empresa regalara una fiesta a un grupo de
dicho colegio, si el grupo se elige al azar, ¿de cuántas maneras se puede
seleccionar?
2. Suponga que en la Asamblea Legislativa hay 16 diputados demócratas, 26
diputados republicanos y 11 minoritarios. Se debe hacer una comisión de 8
diputados. ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión de forma que
haya 3 diputados demócratas, 4 diputados republicanos y uno minoritario?
3. Se tiene 20 bolitas todas diferentes, 5 son de color verde, 5 son de color rojo, 5
de color azul y 5 de color amarillo. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3
bolitas de diferentes colores?
4. La pulpería LA MINITA tiene 3 tipos de confites: frutinis, morenitos y confites de
menta. Juan se desea comprar 10 confites, ¿De cuántas maneras puede Juan
seleccionar los diez confites, si se tiene doce confites en total?
5. En cierta Ciudad la prevalencia de cáncer es de 5%. Cierta prueba para
detectar cáncer detecta la enfermedad (da resultado positivo) en el 97% de las
personas que tienen cáncer, y en el 2% de los que no tiene cáncer. Si se
selecciona una de estas personas al azar y se le aplica la prueba,
a) Cuál es la probabilidad de obtener un resultado equivocado?
b) Que la persona no tenga cáncer dado un resultado positivo.
6. La probabilidad de que una pieza fabricada por la empresa X tenga defectos es
del 45%. Las piezas son elaboradas por dos máquinas, la maquina 1 fabrica el
60% de las piezas, y la probabilidad de que una pieza elaborada por la
maquina 1 tenga defectos es de 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que una
pieza elaborada por la maquina 2 tenga defectos?
7. Un mecanismo electrónico de control requiere de cinco chips de memoria
idénticos ¿De cuántas maneras puede ensamblarse este mecanismo
colocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro del controlador?
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8. ¿De cuántas maneras diferentes pueden seleccionarse 3 de 20 asistentes
de laboratorios para colaborar en un proyecto?
9. Con el objetivo de comprobar si cierto contaminante se encuentra en la
misma proporción en los ríos más contaminados de Costa Rica, se requiere
de un estudio para medir el nivel de dicho contaminante en 15 de los ríos
más contaminados. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 3 de los 15
para la investigación inicial?
10. ¿Qué probabilidad hay de obtener un escudo al lanzar una moneda no
cargada?
11. En la Escuela de Informática se necesita reparar 10 computadoras portátiles
y 15 de escritorio. Por razones presupuestarias solo se podrán reparar seis.
Si la selección de estas computadoras se realiza al azar:
a) ¿se trata de un ejercicio con permutaciones o con combinaciones?
b) ¿cuál es la probabilidad de que cuatro de las computadoras
seleccionadas sean de escritorio y las otras dos portátiles?
12. El Ministerio de Educación Pública equipó un laboratorio con 20
computadoras, en una escuela de la zona sur. Al poco tiempo de ser puesto
en uso, se observan problemas de funcionamiento en 8 máquinas.
a) ¿cuántas formas hay de seleccionar 5 computadoras para una
revisión completa?
b) ¿cuántas formas hay de seleccionar cinco computadoras de tal forma
que exactamente cuatro muestren problemas de funcionamiento?
13. Un vendedor de motores británicos muestra los autos a un potencial
comprador. Hay diez carros del precio deseado por el comprador, pero éste
tiene tiempo para ver solamente tres de ellos:
a) ¿cuántas formas hay de escoger tres carros si el orden importa?
14. En cierto residencial, 60% de las familias está suscrito al periódico la nación,
80% está suscrito al periódico la república y 50% está suscrito a ambos,
¿cuál es la probabilidad de estar suscrito al menos en uno de los dos
periódicos?