unidad educativa particular sultana del oriente macas ......2.4 teorema de pitagoras en primer lugar...
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Unidad Educativa Particular Sultana del Orienterdquo
MACAS-MORONA SANTIAGO- ECUADOR
MODULO DE MATEMATICA 2do BACHILLERATO
[2]
Contenido
1- FUNCIONES 5
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA 5
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA 7
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA 8
14 FUNCION INVERSA 9
141 PROPIEDADES 9
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa 9
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES 11
21 TRIGONOMETRIA 11
22 AacuteNGULO 11
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO 11
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA 12
24 TEOREMA DE PITAGORAS 13
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS 14
251 Seno 15
252 Coseno 15
253 Tangente 15
254 Cotangente 15
255 Secante 16
256 Cosecante 16
26 SOH-CAH-TOA 16
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS 16
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm 18
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm 19
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300 450 y 600 19
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS 20
2111 TEOREMA DE LOS SENOS 20
2112 Teorema del coseno 22
3- PROGRESIONES 24
31 PROGRESIONES ARITMETICAS 24
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA 25
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA 25
[3]
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS 26
4- MATRICES 30
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ 30
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ 30
43 MATRICES IGUALES 30
44 TIPOS DE MATRICES 30
441 MATRIZ FILA 30
442 MATRIZ COLUMNA 31
443 MATRIZ RECTANGULAR 31
444 MATRIZ TRASPUESTA 31
445 MATRIZ NULA 31
446 MATRIZ CUADRADA 32
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS 32
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 32
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR 32
453 MATRIZ DIAGONAL 32
454 MATRIZ ESCALAR 33
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD 33
46 SUMA DE MATRICES 33
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 33
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES 33
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ 34
48 PRODUCTO DE MATRICES 34
49 MATRIZ INVERSA 36
5- ESTADISTICA 40
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS 40
52 PARAMETROS ESTADISTICOS 40
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS 41
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN 41
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN 41
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN 41
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION 42
531 MEDIA ARITMETICA 42
[4]
532 LA MEDIANA 43
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS 44
533 MODA 46
5331 Calculo de la moda con datos agrupados 46
54 MEDIDAS DE DISPERSION 48
541 VARIANZA 48
542 DESVIACION ESTANDAR 48
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1- FUNCIONES En matemaacutetica una funcioacuten (f) es una relacioacuten entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un uacutenico elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido tambieacuten llamado rango o aacutembito)
Las funciones se simbolizan por letras tales como f g h i j entre otras Asiacute para
notar la funcioacuten f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada) se
escribe f X rarr Y y se lee ldquoeferdquo de X en Y
La inyectividad sobreyectividad y biyectividad dan informacioacuten acerca de coacutemo se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y
Cabe recordar que una funcioacuten f es una relacioacuten que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y)
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA La funcioacuten f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como maacuteximo un elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde Es decir no pueden haber maacutes de un valor de X que
tenga la misma imagen y
[6]
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es inyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x+1 es inyectiva
Veamos que se cumple la condicioacuten de inyectividad
En efecto si x y y tienen la misma imagen necesariamente deben ser el mismo elemento Por
lo tanto f es inyectiva
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[2]
Contenido
1- FUNCIONES 5
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA 5
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA 7
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA 8
14 FUNCION INVERSA 9
141 PROPIEDADES 9
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa 9
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES 11
21 TRIGONOMETRIA 11
22 AacuteNGULO 11
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO 11
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA 12
24 TEOREMA DE PITAGORAS 13
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS 14
251 Seno 15
252 Coseno 15
253 Tangente 15
254 Cotangente 15
255 Secante 16
256 Cosecante 16
26 SOH-CAH-TOA 16
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS 16
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm 18
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm 19
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300 450 y 600 19
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS 20
2111 TEOREMA DE LOS SENOS 20
2112 Teorema del coseno 22
3- PROGRESIONES 24
31 PROGRESIONES ARITMETICAS 24
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA 25
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA 25
[3]
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS 26
4- MATRICES 30
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ 30
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ 30
43 MATRICES IGUALES 30
44 TIPOS DE MATRICES 30
441 MATRIZ FILA 30
442 MATRIZ COLUMNA 31
443 MATRIZ RECTANGULAR 31
444 MATRIZ TRASPUESTA 31
445 MATRIZ NULA 31
446 MATRIZ CUADRADA 32
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS 32
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 32
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR 32
453 MATRIZ DIAGONAL 32
454 MATRIZ ESCALAR 33
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD 33
46 SUMA DE MATRICES 33
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 33
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES 33
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ 34
48 PRODUCTO DE MATRICES 34
49 MATRIZ INVERSA 36
5- ESTADISTICA 40
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS 40
52 PARAMETROS ESTADISTICOS 40
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS 41
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN 41
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN 41
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN 41
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION 42
531 MEDIA ARITMETICA 42
[4]
532 LA MEDIANA 43
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS 44
533 MODA 46
5331 Calculo de la moda con datos agrupados 46
54 MEDIDAS DE DISPERSION 48
541 VARIANZA 48
542 DESVIACION ESTANDAR 48
[5]
1- FUNCIONES En matemaacutetica una funcioacuten (f) es una relacioacuten entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un uacutenico elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido tambieacuten llamado rango o aacutembito)
Las funciones se simbolizan por letras tales como f g h i j entre otras Asiacute para
notar la funcioacuten f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada) se
escribe f X rarr Y y se lee ldquoeferdquo de X en Y
La inyectividad sobreyectividad y biyectividad dan informacioacuten acerca de coacutemo se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y
Cabe recordar que una funcioacuten f es una relacioacuten que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y)
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA La funcioacuten f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como maacuteximo un elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde Es decir no pueden haber maacutes de un valor de X que
tenga la misma imagen y
[6]
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es inyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x+1 es inyectiva
Veamos que se cumple la condicioacuten de inyectividad
En efecto si x y y tienen la misma imagen necesariamente deben ser el mismo elemento Por
lo tanto f es inyectiva
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
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httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
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httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
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httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[3]
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS 26
4- MATRICES 30
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ 30
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ 30
43 MATRICES IGUALES 30
44 TIPOS DE MATRICES 30
441 MATRIZ FILA 30
442 MATRIZ COLUMNA 31
443 MATRIZ RECTANGULAR 31
444 MATRIZ TRASPUESTA 31
445 MATRIZ NULA 31
446 MATRIZ CUADRADA 32
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS 32
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 32
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR 32
453 MATRIZ DIAGONAL 32
454 MATRIZ ESCALAR 33
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD 33
46 SUMA DE MATRICES 33
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 33
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES 33
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ 34
48 PRODUCTO DE MATRICES 34
49 MATRIZ INVERSA 36
5- ESTADISTICA 40
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS 40
52 PARAMETROS ESTADISTICOS 40
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS 41
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN 41
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN 41
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN 41
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION 42
531 MEDIA ARITMETICA 42
[4]
532 LA MEDIANA 43
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS 44
533 MODA 46
5331 Calculo de la moda con datos agrupados 46
54 MEDIDAS DE DISPERSION 48
541 VARIANZA 48
542 DESVIACION ESTANDAR 48
[5]
1- FUNCIONES En matemaacutetica una funcioacuten (f) es una relacioacuten entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un uacutenico elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido tambieacuten llamado rango o aacutembito)
Las funciones se simbolizan por letras tales como f g h i j entre otras Asiacute para
notar la funcioacuten f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada) se
escribe f X rarr Y y se lee ldquoeferdquo de X en Y
La inyectividad sobreyectividad y biyectividad dan informacioacuten acerca de coacutemo se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y
Cabe recordar que una funcioacuten f es una relacioacuten que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y)
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA La funcioacuten f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como maacuteximo un elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde Es decir no pueden haber maacutes de un valor de X que
tenga la misma imagen y
[6]
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es inyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x+1 es inyectiva
Veamos que se cumple la condicioacuten de inyectividad
En efecto si x y y tienen la misma imagen necesariamente deben ser el mismo elemento Por
lo tanto f es inyectiva
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
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httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[4]
532 LA MEDIANA 43
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS 44
533 MODA 46
5331 Calculo de la moda con datos agrupados 46
54 MEDIDAS DE DISPERSION 48
541 VARIANZA 48
542 DESVIACION ESTANDAR 48
[5]
1- FUNCIONES En matemaacutetica una funcioacuten (f) es una relacioacuten entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un uacutenico elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido tambieacuten llamado rango o aacutembito)
Las funciones se simbolizan por letras tales como f g h i j entre otras Asiacute para
notar la funcioacuten f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada) se
escribe f X rarr Y y se lee ldquoeferdquo de X en Y
La inyectividad sobreyectividad y biyectividad dan informacioacuten acerca de coacutemo se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y
Cabe recordar que una funcioacuten f es una relacioacuten que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y)
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA La funcioacuten f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como maacuteximo un elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde Es decir no pueden haber maacutes de un valor de X que
tenga la misma imagen y
[6]
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es inyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x+1 es inyectiva
Veamos que se cumple la condicioacuten de inyectividad
En efecto si x y y tienen la misma imagen necesariamente deben ser el mismo elemento Por
lo tanto f es inyectiva
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[5]
1- FUNCIONES En matemaacutetica una funcioacuten (f) es una relacioacuten entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un uacutenico elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido tambieacuten llamado rango o aacutembito)
Las funciones se simbolizan por letras tales como f g h i j entre otras Asiacute para
notar la funcioacuten f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada) se
escribe f X rarr Y y se lee ldquoeferdquo de X en Y
La inyectividad sobreyectividad y biyectividad dan informacioacuten acerca de coacutemo se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y
Cabe recordar que una funcioacuten f es una relacioacuten que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y)
11 FUNCIOacuteN INYECTIVA La funcioacuten f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como maacuteximo un elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde Es decir no pueden haber maacutes de un valor de X que
tenga la misma imagen y
[6]
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es inyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x+1 es inyectiva
Veamos que se cumple la condicioacuten de inyectividad
En efecto si x y y tienen la misma imagen necesariamente deben ser el mismo elemento Por
lo tanto f es inyectiva
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
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biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
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httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
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httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
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httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[6]
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es inyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x+1 es inyectiva
Veamos que se cumple la condicioacuten de inyectividad
En efecto si x y y tienen la misma imagen necesariamente deben ser el mismo elemento Por
lo tanto f es inyectiva
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
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agrupados
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[51]
[7]
12 FUNCIOacuteN SOBREYECTIVA
Una funcioacuten f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
Es decir una funcioacuten es sobreyectiva si el recorrido de la funcioacuten es el conjunto final Y
En teacuterminos matemaacuteticos una funcioacuten f es sobreyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten en los nuacutemeros reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva
Esta funcioacuten siacute que es sobreyectiva Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
funcioacuten son todos los nuacutemeros reales
El recorrido de la funcioacuten es el mismo que el conjunto final Y por lo que la f es sobreyectiva
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
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httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[8]
13 FUNCIOacuteN BIYECTIVA Una funcioacuten f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Es decir si todo
elemento del conjunto final Y tiene un uacutenico elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condicioacuten de funcioacuten sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una uacutenica imagen en el conjunto final Y (condicioacuten de funcioacuten inyectiva)
Teoacutericamente una funcioacuten f es biyectiva si
EJEMPLO
La funcioacuten f(x) = 2x definida en los nuacutemeros reales es biyectiva
Para comprobarlo veamos que f es inyectiva y sobreyectiva Empezaremos por la condicioacuten
de inyectividad
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[9]
Se cumple la condicioacuten de inyectividad por lo que ahora nos quedariacutea demostrar
la sobreyectividad Para ello tenemos que demostrar que el recorrido de la funcioacuten son todos
los nuacutemeros reales
La funcioacuten tambieacuten es sobreyectiva por lo que f es biyectiva
ACTIVIDADES
14 FUNCION INVERSA Se llama funcioacuten inversa o reciacuteproca de una funcioacuten f a una nueva funcioacuten cuyo dominio es
la imagen de la funcioacuten inicial y su imagen es el dominio de la funcioacuten inicial
Es decir si la funcioacuten g es la funcioacuten inversa de f entonces se cumple que si f (b) = a entonces g(a)=b
141 PROPIEDADES
142 Caacutelculo de la funcioacuten inversa
1 Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y
2 Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y
3 Se intercambian las variables
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[10]
EJEMPLO
y son inversas
ACTIVIDADES- Calcula la funcion inversa de las siguientes funciones
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
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biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
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httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
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aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[11]
2 TRIGONOMETRIA- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
21 TRIGONOMETRIA
Trigonometriacutea rama de las matemaacuteticas que estudia las relaciones entre los lados y los aacutengulos
de triaacutengulos de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos
Las dos ramas fundamentales de la trigonometriacutea son la trigonometriacutea plana que se ocupa de
figuras contenidas en un plano y la trigonometriacutea esfeacuterica que se ocupa de triaacutengulos que
forman parte de la superficie de una esfera
Las primeras aplicaciones de la trigonometriacutea se hicieron en los campos de la navegacioacuten la
geodesia y la astronomiacutea en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible como la distancia entre la Tierra y la Luna o una distancia que no podiacutea ser medida
de forma directa Otras aplicaciones de la trigonometriacutea se pueden encontrar en la fiacutesica
quiacutemica y en casi todas las ramas de la ingenieriacutea
22 AacuteNGULO
Es la porcioacuten de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto
Los aacutengulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas
El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj
23 MEDIDA DE UN AacuteNGULO
La unidad de medida de los aacutengulos se llama grado y resulta de dividir un aacutengulo recto en
90 partes iguales por lo tanto un aacutengulo recto mide 90ordm
El sistema de medicioacuten de los aacutengulos se llama sexagesimal y estaacute formado por un grado
= 60 minutos un minuto = 60 segundos
En la trigonometriacutea se emplean tres unidades si bien la maacutes utilizada en la vida cotidiana es el
Grado Sexagesimal en matemaacuteticas es el Radiaacuten la maacutes utilizada
RADIAN Es el aacutengulo plano que teniendo su veacutertice en el centro de un ciacuterculo de manera
que el arco situado sobre la circunferencia de ese ciacuterculo tiene la longitud igual al radio Su
siacutembolo es rad
El aacutengulo llano mide Radianes o sea 180ordm
El aacutengulo recto mide 2Radianes es decir 90ordm
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
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biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
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httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[12]
Por ser la longitud de la circunferencia 2 r que contiene 360deg
Entonces 2 r = 360deg por lo tanto
1 radian = 180ordm = 57296deg = 57ordm 17rsquo 45rdquo∙ = 314159
Grado Sexagesimal aacutengulo recto 90ordm (Deg en la calculadora)
Grado Centesimal centeacutesima parte de un aacutengulo recto 100ordm
231 CONVERSION DE GRADOS SEXAGECIMALES A RADIANES Y VICEVERSA
Para convertir grados a radianes utilizamos la siguiente foacutermula
Para convertir radianes a grados utilizamos la siguiente foacutermula
Ejemplos
a) Convertir 436 rad a grados
b) Expresar en radianes 74deg47rsquo
c) Convertir 23 radianes a grados
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
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httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
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aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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agrupados
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[51]
[13]
AVTIVIDADES
Convertir los siguientes aacutengulos en radianes a grados sexagesimales a) 715 (rad)
b) 35 (rad) c) 10 (rad) d) 9 (rad) e) 8 (rad) f) 18 (rad)
g) 1112 (rad) h) 47 (rad)
Convertir los siguientes aacutengulos dados en grados sexagesimales a radianes a) 300 b) 3450
c) 6000 d) 1500 e) 2250
24 TEOREMA DE PITAGORAS En primer lugar deberiacuteamos recordar un par de ideas
Un triaacutengulo rectaacutengulo es un triaacutengulo que tiene un aacutengulo recto es decir de 90ordm
En un triaacutengulo rectaacutengulo el lado maacutes grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados
se llaman catetos
Teorema de Pitaacutegoras- En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
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httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[14]
EJEMPLOS
25 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS Las razones de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo se llaman razones trigonomeacutetricas Tres
razones trigonomeacutetricas comunes son seno (sin) coseno (cos) y tangente (tan)
Dado el siguiente triangulo rectaacutengulo estudiaremos todas las razones
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
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httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
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httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
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aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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administracion-airya-5edipdf
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agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[15]
251 Seno
El seno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y la
h ipotenusa Se denota por sen B
252 Coseno
El coseno del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto contiguo al aacutengulo y la
hipotenusa Se denota por cos B
253 Tangente
La tangente del aacutengulo B es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto
contiguo al aacutengulo Se denota por tg B
254 Cotangente
La cotangente del aacutengulo B es la razoacuten inversa de la tangente de B Se denota
por cotg B
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[16]
255 Secante
La secante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del coseno de B Se denota por sec B
256 Cosecante
La cosecante del aacutengulo B es la razoacuten inversa del seno de B Se denota por cosec
B
En estas definiciones los teacuterminos opuesto adyacente e hipotenusa se refieren a
las longitudes de esos lados
26 SOH-CAH-TOA Una manera sencilla de recordar las razones trigonomeacutetricas la palabra sohcahtoa nos ayuda
a recordar las definiciones de seno coseno y tangente He aquiacute como funciona esto
27 RESOLUCIOacuteN DE TRIAacuteNGULOS RECTAacuteNGULOS
El triaacutengulo debe ser rectaacutengulo
Si lo que conocemos es un aacutengulo y un lado dependiendo del lado conocido y del que
necesitamos calcular utilizamos una razoacuten u otra
Debemos usar siempre seno coseno o tangente porque son las que calcula la calculadora
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
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[51]
[17]
Si conocemos dos lados y necesitamos calcular el aacutengulo lo mismo ponemos la razoacuten
correspondiente y con la calculadora mediante la tecla shift calculamos el aacutengulo Esta tecla
hace el efecto de ldquoarcrdquo
Si senα=05rArrα=arcsen05=30ordm
Resolver un triaacutengulo consiste en calcular seis elementos los tres lados y los tres aacutengulos Para
ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un
lado Si el triaacutengulo es rectaacutengulo (un aacutengulo es 90ordm) basta conocer dos de sus elementos uno
de los cuales debe ser un lado
EJEMPLO 1- resolver el siguiente triangulo rectaacutengulo
EJEMPLO 2-
Se tiene un lado adyacente al aacutengulo y nos pide calcular el lado opuesto por lo tanto se aplica
la funcion tangente
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
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[51]
[18]
tan 600 =119888119886119905119890119905119900 119900119901119906119890119904119905119900
119888119886119905119890119905119900 119886119889119905119886119888119890119899119905119890=
ℎ
8119898
h = tan 600 119909 8119898 = 1385m
ACTIVIDADES- Los siguientes problemas se refieren solamente a triaacutengulos rectaacutengulos Las
soluciones se dan en el orden de seno coseno y tangente
28 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 30ordm Y 60ordm Si cogemos un triaacutengulo equilaacutetero ABC que como recordaraacutes tiene todos sus lados (l) y sus
aacutengulos iguales (60ordm) y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triaacutengulos rectaacutengulos
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[19]
Aplicando el teorema de Pitaacutegoras obtenemos y despejando la altura ℎ = radic1198712 minus (119871
2)
2
se obtiene
que es igual a frac12 de la hipotenusa por radic3
29 RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE LOS AacuteNGULOS DE 45ordm Para determinar las razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo de 45ordm tomaremos un cuadrado de
lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triaacutengulos isoacutesceles
Recuerda que un triaacutengulo isoacutesceles tiene dos aacutengulos de 45ordm y uno de 90ordm
210 VALORES NUMERICOS DE LAS UNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS 300
450 y 600
Para recordar con facilidad los valores numeacutericos se puede valer de este truco (se explicara
durante la clase)
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[20]
ACIVIDADES- Calcular el valor de las siguientes expresiones
1 2 sen 300 cos 300
2 5 sen2 450 +8cos2 300
3 sen 600 -cos 900
4 4sen 300 cos 600
5 Sen2 300 +cos2 300
211- TRIAacuteNGULOS OBLICUANGULOS Un triaacutengulo oblicuaacutengulo es aquel que no es recto ninguno de sus aacutengulos por lo que no
se puede resolver directamente por el teorema de Pitaacutegoras el triaacutengulo oblicuaacutengulo se
resuelve por leyes de senos y de cosenos asiacute como el que la suma de todos los aacutengulos
internos de un triaacutengulo suman 180 grados
Entre ellos tenemos
2111 TEOREMA DE LOS SENOS
Si en un triaacutengulo ABC las medidas de los lados opuestos a los aacutengulos A B y C son
respectivamente a b c entonces
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[21]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[22]
2112 Teorema del coseno
El cuadrado de un lado (a b o c) cualquiera de un triaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados
de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del aacutengulo (A B
o C) que forman El teorema del coseno es una generalizacioacuten del teorema de Pitaacutegoras para
cualquier triaacutengulo
Dado un triaacutengulo ABC cualquiera siendo α β γ los aacutengulos y a b c los lados
respectivamente opuestos a estos aacutengulos entonces
EJEMPLO
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[23]
ACTIVIDADES
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
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httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
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httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
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administracion-airya-5edipdf
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httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[24]
3- PROGRESIONES Toda secuencia ordenada de nuacutemeros reales recibe el nombre de sucesioacuten Dentro del
grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad
que permite sistematizar la definicioacuten de sus propiedades las progresiones aritmeacuteticas y
geomeacutetricas
31 PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresioacuten aritmeacutetica es una clase de sucesioacuten de nuacutemeros reales en la que cada teacutermino
se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia
Llamando d a esta diferencia el teacutermino general de la progresioacuten an que ocupa el nuacutemero de
orden n en la misma se puede determinar a partir del valor del primero de los teacuterminos a1
Formulas
an = a1 + (n - 1) d Ultimo termino
a1= an - (n - 1) d primer termino
d= (an - a1) (n - 1) diferencia
EJEMPLO 1
En la progresioacuten 2 5 8helliphelliphelliphellip iquestCuaacutento vale el teacutermino que ocupa el lugar 31
Aplico la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
EJEMPLO 2
Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica de 10 teacuterminos de la que conocemos el
valor de d = 5 y los dos uacuteltimos teacuterminos 45 y 50 el uacuteltimo
Aplico tambieacuten la foacutermula del uacuteltimo teacutermino
Despejando el valor de
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[25]
311 SUMA DE LOS TEacuteRMINOS DE UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Para determinar la suma de un nuacutemero finito de teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
denotada por a1 a2 a3 an-2 an-1 an basta con considerar el principio de que los pares de
teacuterminos a1 y an a2 y an-1 a3 y an-2 etceacutetera son equidistantes de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad
Generalizando esta consideracioacuten se tiene que la suma de todos los teacuterminos de una
progresioacuten aritmeacutetica es igual a
EJEMPLO 1-Calcula la suma de los 20 primeros teacuterminos de la progresioacuten 2 4 6 8helliphelliphellip
Primero calculamos el valor del uacuteltimo teacutermino
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Aplicando la foacutermula de la suma de los teacuterminos de una progresioacuten aritmeacutetica
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
312 INTERPOLACIOacuteN DE TEacuteRMINOS EN UNA PROGRESIOacuteN ARITMEacuteTICA
Entre cada dos teacuterminos a y b de una progresioacuten aritmeacutetica es posible interpolar otros m
teacuterminos llamados medios diferenciales de manera que todos ellos integren una nueva
progresioacuten aritmeacutetica (con m + 2 teacuterminos) donde a y b sean los extremos
La diferencia de esta progresioacuten se determinaraacute con arreglo a la siguiente foacutermula
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[26]
EJEMPLO- Escribir tres medios ari tmeacuteticos entre 3 y 23
a= 3 b= 23
d= (23-3) (3+1) = 5
3 8 13 18 23
ACTIVIDADES
1 Hallar los teacuterminos que se indican de las siguientes progresiones aritmeacuteticas
a) El teacutermino 20 en
a)1 6 11 16 b) El teacutermino 6 en 3 7 11 15
c) El 12 en -4 0 4 8 d) El teacutermino 10 en 2 5 8 11
2 Halla los teacuterminos a4 a7 a2 a10 de las siguientes sucesiones
a) an = 3n-2 b) an = 2n-1 c) an = 4n-3 d) an = 2n+3
3 Calcula el primer teacutermino de una progresioacuten aritmeacutetica que consta de 10 teacuterminos si se sabe
que el uacuteltimo es 34 y la diferencia es 3
4 En una progresioacuten aritmeacutetica a12 = -7 y d = -2 Hallar a1
5 En una progresioacuten aritmeacutetica a20 = -33 y a12 = -28 hallar a1 y d
32 PROGRESIONES GEOMETRICAS
Una progresioacuten geomeacutetrica es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razoacuten o factor de la
progresioacuten Se suele reservar el teacutermino progresioacuten cuando la secuencia tiene una cantidad
finita de teacuterminos mientras que se usa sucesioacuten o serie cuando hay una cantidad infinita de
teacuterminos
Asiacute 515 45 135 405helliphellip es una progresioacuten geomeacutetrica con razoacuten igual a 3 porque cada
elemento es el triple del anterior Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[27]
secuencia mediante la expresioacuten del teacutermino general siendo an el teacutermino en cuestioacuten a1 el
primer teacutermino y r la razoacuten
Ultimo termino
En el ejemplo anterior el sexto elemento de la serie seriacutea
Que se puede verificar multiplicando el uacuteltimo teacutermino por la razoacuten
Para obtener la razoacuten de una progresioacuten geomeacutetrica solo se divide un teacutermino cualquiera entre el teacutermino
anterior o sea
Razoacuten
SUMA DE N TERMINOS
EJEMPLO 1
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[28]
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[29]
ACTIVIDADES
1- Hallar los teacuterminos que se indican en las siguientes progresiones geomeacutetricas
a) a9 a12 y a15 en 2 4 8
b) a5 a7 y a10 en 1 3 9
c) a4 a6 y a8 en
2- Determina los seis primeros teacuterminos de una progresioacuten geomeacutetrica si los dos primeros
teacuterminos son 2 y 5
3- El quinto teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 9 y su razoacuten es 3 Calcula el valor
del primer teacutermino
4- El tercer teacutermino de una progresioacuten geomeacutetrica es 12 y el sexto teacutermino es 96 Calcula
la expresioacuten del teacutermino general de dicha progresioacuten
5- Determinar la expresioacuten del teacutermino general de una progresioacuten geomeacutetrica cuyo cuarto
teacutermino es 1 y el seacuteptimo teacutermino es 64
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[30]
4- MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de nuacutemeros o expresiones dispuestos en forma
rectangular formando filas y columnas
41 ELEMENTO DE UNA MATRIZ Cada uno de los nuacutemeros de que consta la matriz se denomina elemento
Un elemento se distingue de otro por la posicioacuten que ocupa es decir la f i la y
la columna a la que pertenece
42DIMENSIOacuteN DE UNA MATRIZ El nuacutemero de fi las y columnas de una matriz se denomina dimensioacuten de una
matriz Asiacute una matriz de dimensioacuten mxn es una matriz que tiene m fi las y n columnas
De este modo una matriz puede ser de dimensioacuten 2x4 (2 fi las y 4 columnas) 3x2 (3
fi las y 2 columnas) 2x5 (2 fi las y 5 columnas)
Siacute la matriz tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas se dice que es de orden 2 3
4
El conjunto de matrices de m fi las y n columnas se denota por A mxn o (a i j)
Un elemento cualquiera de la misma que se encuentra en la fi la i y en
la columna j se denota por a i j
43 MATRICES IGUALES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensioacuten y los elementos que ocupan el
mismo lugar en ambas son iguales
44 TIPOS DE MATRICES
441 MATRIZ FILA
Una matriz fila estaacute constituida por una sola fila
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[31]
442 MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna
443 MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto nuacutemero de filas que de columnas siendo su
dimensioacuten mxn
444 MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α middotA)t = αmiddot At
(A middot B)t = Bt middot At
445 MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[32]
446 MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada tiene el mismo nuacutemero de filas que de columnas
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1 siendo n el orden de la matriz
45 TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
451 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros
452 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal
son ceros
453 MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos que no estaacuten situados en la diagonal principal
son nulos
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
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httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
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httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
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agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[33]
454 MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales
455 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1
46 SUMA DE MATRICES
461 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1 Interna- La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensioacuten m
x n
2 Asociativa- A + (B + C) = (A + B) + C
3 Elemento neutro- A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensioacuten que la matriz A
4 Elemento opuesto- A + (minusA) = O
La matriz opuesta es aquel la en que todos los elementos estaacuten cambiados de
signo
5 Conmutativa- A + B = B + A
462 DEFINICIOacuteN DE LA SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B de la misma dimensioacuten m x n se define la suma como
Donde ai j representa el elemento de la fila i y la columna j de A
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[34]
EJEMPLO - Dadas las matrices
Calcular
A + B A minus B
47 PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (a i j) y un nuacutemero real k se define el producto de un nuacutemero
real por una matriz a la matriz de la misma dimensioacuten que A en la que cada elemento estaacute
multiplicado por k
k middot A = (k middot a i j)
EJEMPLO
48 PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nuacutemero de columnas de A coincide con el
nuacutemero de filas de B Am x n x Bn x p = Cm x p
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[35]
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento
de la f i la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y
sumaacutendolos
EJEMPLO 1- Hal lar el producto de dos matrices
EJEMPLO 2
Sean las matrices
Efectuar las siguientes operaciones
(A + B) 2 (A minus B)2 (B)3 A middot B t middot C
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[36]
49 MATRIZ INVERSA Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por
la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad
A middot Aminus 1 = Aminus 1 middot A = I
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[37]
Propiedades
(A middot B)minus1 = Bminus1 middot Aminus1
(Aminus1)minus1 = A
(k middot A)minus1 = kminus1 middot Aminus1
(At)minus1 = (Aminus1)t
EJEMPLO- Calcular por el meacutetodo de Gauss la matriz inversa de
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2 Utilizar el meacutetodo Gauss para transformar la mitad izquierda A en la matriz
identidad y la matriz que resulte en el lado derecho seraacute la matriz inversa Aminus1
A partir de esta matriz se procede de la siguiente manera Con la primera y segunda fila
F2 minus F1
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[38]
F3 + F2
F2 minus F3
F1 + F2
(minus1) F2
La matriz inversa es
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[39]
ACTIVIDADES
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[40]
5- ESTADISTICA
51 TABLA DE FRECUENCIAS CONTINUacuteAS
Ordenamos los datos en forma creciente
La amplitud total A = 120 ndash60=60
Nuacutemero de clases K = radic30 = 548 Aprox 6 clases
Extensioacuten del intervalo H = A K = 606 = 10
En este caso entonces la tabla de frecuencias tendraacute aproximadamente 6
clases de amplitud 10 unidades en cada clase
A partir de que conocemos como organizar datos veremos la aplicacioacuten para poder realizar
otros caacutelculos estadiacutesticos
52 PARAMETROS ESTADISTICOS
Un paraacutemetro estadiacutestico es un nuacutemero que se obtiene a partir de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Los paraacutemetros estadiacutesticos sirven para sintetizar la informacioacuten dada por una
tabla o por una graacutefica
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[41]
521 TIPOS DE PARAacuteMETROS ESTADIacuteSTICOS
Hay tres tipos paraacutemetros estadiacutesticos
5211 MEDIDAS DE CENTRALIZACIOacuteN
Nos indican en torno a queacute valor (centro) se distribuyen los datos
Las medidas de central izacioacuten son
Media ari tmeacutetica-La media es el valor promedio de la distribucioacuten
Mediana-La mediana es la puntacioacuten de la escala que separa la mitad superior de
la distribucioacuten y la inferior es decir divide la serie de datos en dos partes iguales
Moda-La moda es el valor que maacutes se repi te en una distribucioacuten
5212 MEDIDAS DE POSICIOacuteN
Las medidas de posicioacuten dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nuacutemero
de individuos
Para calcular las medidas de posicioacuten es necesario que los datos esteacuten
ordenados de menor a mayor
Las medidas de posicioacuten son
Cuarti les- Los cuarti les dividen la serie de datos en cuatro partes iguales
Deci les- Los deci les dividen la serie de datos en diez partes iguales
Percenti les- Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales
5213 MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Las medidas de dispersioacuten nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores
de la distribucioacuten
Las medidas de dispersioacuten son
Rango o recorrido- El rango es la di ferencia entre el mayor y el menor de los datos de
una distribucioacuten estadiacutestica
Desviacioacuten media- La desviacioacuten media es la media ari tmeacutetica de los valores
absolutos de las desviaciones respecto a la media
Varianza- La varianza es la media ari tmeacutetica del cuadrado de las
desviaciones respecto a la media
Desviacioacuten tiacutepica- La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[42]
53 MEDIDAS DE CENTRALIZACION
531 MEDIA ARITMETICA La media aritmeacutetica es el valor promedio de las muestras y es independiente de las amplitudes
de los intervalos Se simboliza como y se encuentra soacutelo para variables cuantitativas Se
encuentra sumando todos los valores y dividiendo por el nuacutemero total de datos
La foacutermula general para N elementos es
EJEMPLO- Hallar la media dl conjunto de datos
=10+5+8+9+6+7+4+1
8=
99
8= 123
Para calcular la media aritmeacutetica en el caso de N datos agrupados en n intervalos viene gado
por la foacutermula
Donde fi son las veces que se repite el valor xi
El agrupamiento tambieacuten puede hacerse por intervalos calculando el valor medio de los
intervalos (marca de clase)
EJEMPLO- calcular la media
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
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httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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agrupados
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[51]
[43]
ACTIVIDADES-
1- Completar la tabla y calcular la media aritmeacutetica
532 LA MEDIANA La mediana estadiacutestica es el nuacutemero central de un grupo de nuacutemeros ordenados por tamantildeo
Si la cantidad de teacuterminos es par la mediana es el promedio de los dos nuacutemeros centrales
Para averiguar la mediana de un grupo de nuacutemeros
Ordena los nuacutemeros seguacuten su tamantildeo
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
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httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
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httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
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0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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agrupados
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[51]
[44]
Si la cantidad de teacuterminos es impar la mediana es el valor central Si la cantidad de teacuterminos es par suma los dos teacuterminos del medio y divide por 2
EJEMPLOS
Hal lar la mediana de las siguientes series de nuacutemeros
a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8
Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es impar entonces la mediana es
Me = 5
b) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6 Ordenando 2 2 3 5 5 5 6 6 8 9 Como el nuacutemero de datos es par entonces la mediana es
5321 CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
Luego calculamos seguacuten la siguiente foacutermula
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano
ti es la amplitud de los intervalos
EJEMPLO
Ahora calculemos la mediana (Me) seguacuten las foacutermulas explicadas maacutes arriba
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N 2
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
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httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
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httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[45]
En este caso N 2 = 31 2 rArr 155
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor obtenido (155)
Veamos
Recuerda
Li-1 es el liacutemite inferior de la clase donde se encuentra la mediana en este caso el liacutemite inferior es 20
N 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas en este caso es 155
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana en este caso es 9
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano en este caso es 7
ti es la amplitud de los intervalos Se calcula restando el extremo superior menos el inferior del intervalo en este caso es
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[46]
30 - 20 = 10
533 MODA
Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta En tablas de frecuencias con datos agrupados hablaremos de intervalo modal
La moda se representa por Mo
EJEMPLO
La moda de la distribucioacuten2 3 3 4 4 4 5 5 es Mo = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la maacutexima la distribucioacuten es bimodal o multimodal es decir t iene varias modas 1 1 1 4 4 5 5 5 7 8 9 9 9 Mo= 1 5 9
5331 Calculo de la moda con datos agrupados
Todos los intervalos tienen la misma amplitud
Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta)
fi Frecuencia absoluta del intervalo modal
fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal
fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal
ti Amplitud de los intervalos
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
httpwwwuniversoformulascommatematicasanalisisfunciones-inyectivas-sobreyectivas-
biyectivas
Funcioacuten inversa | La Guiacutea de atemaacutetica
httpmatematicalaguia2000comgeneralfuncion-inversaixzz4pJtuMgDf
httpswwwfisicanetcomarmatematicatrigonometriaap02_trigonometriaphp
httpswwwumesdocenciapherreromathispitagorasteoremahtm
httpdinamateorggeometriatrigonometriagrvpdf
httprecursosticeducacionesdescarteswebmateriales_didacticosresolver_tri_rectangul
os_pjgeTriangulos_rectangulos1htm
httpsesslidesharenetjonathanpanimboza5trigonometra-de-granville
httpavanzaenlineacomvalores-numericos-de-expresiones-trigonometricas
httptriangulosoblicuangulos-504blogspotcom
httpwwwvadenumerosesactividadesresolucion-de-trianguloshtm
httpwwwcajondecienciascomDescargas20mate2ER20teoremas20seno20y2
0cosenopdf
httpwwwaulafacilcomcursosl10846cienciamatematicasprogresiones-
aritmeticassuma-de-los-terminos-de-una-progresion-geometrica
httpwwwuniversoformulascommatematicastrigonometriateorema-coseno
httpshugarcapellafileswordpresscom200811matematicas-aplicadas-a-la-
administracion-airya-5edipdf
httpwwwsangakoocomestemasmedia-aritmetica
httpswwwportaleducativonetoctavo-basico792Media-moda-y-mediana-para-datos-
agrupados
httpwwwmonografiascomtrabajos89desviacion-estandardesviacion-estandarshtmlixzz4qDhCQJ6q
[51]
[47]
EJEMPLO
Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
Ahora podemos reemplazar los datos en la foacutermula
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la media
aritmeacutetica mediana y moda
[48]
54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
BIBLIOGRAFIA
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biyectivas
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agrupados
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54 MEDIDAS DE DISPERSION
541 VARIANZA
La varianza es la media aritmeacutetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la
media de una distribucioacuten estadiacutestica
La varianza se representa por
542 DESVIACION ESTANDAR
La desviacioacuten tiacutepica es una medida del grado de dispersioacuten de los datos con respecto al
valor promedio Dicho de otra manera la desviacioacuten estaacutendar es simplemente el promedio
o variacioacuten esperada con respecto a la media aritmeacutetica
La desviacioacuten tiacutepica es la raiacutez cuadrada de la varianza
Es decir la raiacutez cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviacioacuten
La desviacioacuten tiacutepica se representa por σ
EJEMPLO 1 Hallar la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de la siguiente serie de datos
12 6 7 3 15 10 18 5
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EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
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ACTIVIDADES
Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
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agrupados
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[51]
[49]
EJEMPLO 2 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto variacutean los pesos de los empaques (en gramos) de uno de sus productos por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos Los productos tienen los siguientes pesos (490 500 510 515 y 520) gramos respectivamente Por lo que su media es
EJEMPLO 3 - Calcular la desviacioacuten tiacutepica de la distribucioacuten de la tabla
[50]
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Los siguientes valores organizar en la tabla de distribucioacuten de frecuencias y calcular la
desviacioacuten tiacutepica y varianza
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