unidad 8 funciones.€¦ · ies padre poveda (guadix) matemáticas i departamento de matemáticas...
TRANSCRIPT
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
UNIDAD 8 FUNCIONES.
1. Concepto de función. 2. Monotonía y extremos. Acotación.
2.1. Monotonía. 2.2. Extremos relativos y absolutos. 2.3. Funciones acotadas.
3. Simetría y periodicidad. 3.1. Funciones simétricas. 3.2. Funciones periódicas.
4. Operaciones con funciones. 5. Composición de funciones. 6. Función inversa. 7. Funciones elementales.
7.1. Funciones polinómicas. 7.2. Funciones racionales. 7.3. Funciones irracionales. 7.4. Funciones exponenciales. 7.5. Funciones logarítmicas. 7.6. Funciones circulares y sus inversas. 7.7. Funciones definidas a trozos. 7.8. Otras funciones definidas a trozos. 7.9. Función valor absoluto.
8. Otras transformaciones de funciones. 8.1. Traslaciones verticales. 8.2. Traslaciones horizontales. 8.3. Composición de traslaciones. 8.4. Dilataciones y contracciones sobre el eje OY. 8.5. Dilataciones y contracciones sobre el eje OX. 8.6. Simetrías.
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 3 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
xy 2= 2 1
UNIDAD 8 FUNCIONES.
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas formas de expresar una “función”.
Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble.
Tabla de valores: Expresión analítica de la relación Gráfica: o fórmula matemática: xy 2= o bien: xxf 2)( = De este modo: 422)2( =⋅=f , 8)4(2)4( −=−⋅=−f … Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
Son distintas formas de expresar una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un ÚNICO valor de la variable y.
Al único valor de y que le corresponde a x se le llama imagen de x. Al valor de x cuya imagen es y, lo llamamos original de y o antiimagen de y.
En el ejemplo anterior: ⎩⎨⎧
⇒=9 es 18 de antiimagen La
18 es 9 deimagen La18)9(f
Una FUNCIÓN entre dos conjuntos numéricos A y B es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A, a lo sumo, un único elemento y de B.
x→ Variable independiente. y→Variable dependiente (depende de x). A→Conjunto inicial (donde toma valores la variable independiente). B→Conjunto final (donde toma valores la variable dependiente).
Dominio de una función: Conjunto de valores que toma la variable independiente x. Se denota por Dom(f) y es un subconjunto de A. También se llama campo de existencia de la función. Recorrido o imagen de una función: Conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Se denota por Rec(f) o también Im(f). Es un subconjunto del conjunto final B. Si el conjunto inicial y final de una función es ℜ , se llama función real de variable real. Se escribe:
)()(:
xfyxfDomf
=ℜ⎯→⎯
a ( ) ℜ⊂fDom
Nos ocuparemos exclusivamente de este tipo de funciones.
Ejemplo:
2)(
:)xxfx
fa=
ℜ⎯→⎯ℜ
a
[ )xxfx
fb
=
ℜ⎯→⎯∞+
)(
,0:)
a
Notación: ( )∞+=ℜ+ ,0 [ )∞+=ℜ+ ,00 ( )0,∞−=ℜ− ( ]0,0 ∞−=ℜ− ℜ=ℜ∗ \{ }0
Ejercicio: Dada la función ( ) .122 +−= xxxf a) Calcula la imagen de 2x = y 3.x −= b) Calcula la antiimagen de 4 y de 25.
NÚMERO (x)
SU DOBLE (y)
-2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 3 6
… … x 2x
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
TIPOS DE FUNCIONES:
( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=→
+=→
=→
−=→
+
−=→
−+=→
−
4)(
32ln)(
2)(
72)(
12
23)(
272)(
3
3
2
xtgxfRICASTRIGONOMÉT
xxfASLOGARÍTMIC
xfLESEXPONENCIA
TESTRASCENDEN
xxfESIRRACIONAL
x
xxfRACIONALES
xxxfSPOLINÓMICA
SALGEBRAICA
FUNCIONES
x
Podemos tener funciones como ( )x
exxfx
cos)4ln(
32 +−
= mezcla de varios tipos de trascendentes.
Recuerda: Una gráfica corresponde a una función cuando cada recta paralela al eje de ordenadas corta a la gráfica, a lo sumo, una sola vez. Sí es función No es función Sí es función No es función CÁLCULO DE DOMINIOS: Si la función viene dada por su expresión matemática es conveniente obtener su dominio para así saber dónde está definida. El dominio de una función debe estar formado por los valores de x para los que tiene sentido sustituir en su expresión analítica. En el cálculo de dominios debemos evitar los valores de x que: Anulan denominadores (división por cero).
Dan lugar a raíces de índice par de números negativos. Dan lugar a logaritmos de números no positivos.
Ejemplos: ( ) 2) 2 ++= xxxfa
( )x
xxfb 13) −=
( )732)
+−
=xxxfc
( ) ( )( )53)
−−=
xxxxfd
( )954) 2 −
−=
xxxfe
( )954) 2 +
−=
xxxff
( )127
74) 2 +−−
=xx
xxfg
( )64
125) 23
2
−+++−
=xxx
xxxfh
( )107
23) 24 +−+
=xx
xxfi
( )107
23)24 +−
+=
xxxxfj
( ) xxfk =)
( ) 1) −= xxfl
( )1
1)−
=x
xfm
( ) xxfn 23) −=
( )x
xxfñ2372)
−+
=
( ) 25) 2 −= xxfo
( ) 225) xxfp −=
( ) 25) 2 += xxfq
( ) 4 2 127) +−= xxxfr
( ) 3 2 127) +−= xxxfs
( )127
1)2 +−
=xx
xft
( )32
4)+−
=x
xxfu
( )xx
xxfv53) 2 −
−=
( ) ( )115ln) −= xxfw
( ) 9log) 2 −= xxfx
( )11ln)
−+
=xxxfy
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
2. MONOTONÍA Y EXTREMOS. ACOTACIÓN. 2.1. MONOTONÍA.
• f es estrictamente creciente en un intervalo abierto ),,( ba si
para cualquier pareja de números reales ( )badc ,, ∈ se cumple que ( ) ( ).dfcfdcsi <⇒<
• f es estrictamente decreciente en un intervalo abierto
),,( ba si para cualquier pareja de números reales ( )badc ,, ∈ se cumple que ( ) ( ).dfcfdcsi >⇒<
• Si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente
en un intervalo abierto ),,( ba diremos que f es estrictamente monótona en ).,( ba
2.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.
• f tiene un máximo relativo (o local) en a si existe un
entorno de a , ( )rara +− , , en el que:
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
<⇒><⇒<
afxfaxsiafxfaxsi
• f tiene un mínimo relativo (o local) en a si existe un
entorno de a , ( )rara +− , , en el que:
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
>⇒>>⇒<
afxfaxsiafxfaxsi
• Si f presenta un máximo o un mínimo relativo en a
diremos que f presenta un extremo relativo en a .
• f tiene su máximo absoluto (o global) en a si: ( ) ( ) ( )fDomxafxf ∈∀≤
• f tiene su minino absoluto(o global) en a si: ( ) ( ) ( )fDomxxfaf ∈∀≤
• Si f presenta un máximo o un mínimo absoluto en a diremos que f presenta un extremo absoluto en a .
Fíjate:
Podemos encontrar mínimos relativos con valor mayor que máximos relativos y viceversa. Un extremo absoluto puede alcanzarse en uno o varios puntos distintos o bien no alcanzarse.
Extremos relativos→Concepto local Extremos absolutos→Concepto global
2.3. FUNCIONES ACOTADAS.
• f está acotada superiormente si existe un número real M tal que:
( ) ( )fDomxMxf ∈∀≤
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
• f está acotada inferiormente si existe un número real
N tal que: ( ) ( )fDomxxfN ∈∀≤
• f está acotada si lo está superior e inferiormente, es
decir, existen dos números reales M y N tales que:
( ) ( )fDomxMxfN ∈∀≤≤
Observa: En las figuras anteriores, la menor de las cotas superiores (llamada supremo) coincide con el máximo absoluto de la función. Del mismo modo, la mayor de las cotas inferiores (llamada ínfimo) coincide con el mínimo absoluto. Sin embargo, puede que una función esté acotada superiormente y/o inferiormente y sin embargo no tener máximo ni mínimo absolutos como en el siguiente ejemplo.
Cota superior: M = 1.8 Cota inferior: N = -1.8 Sin embargo no tiene extremos absolutos ni relativos.
3. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD.
3.1. FUNCIONES SIMÉTRICAS.
• f es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY) si:
( ) ( ) ( )fDomxxfxf ∈∀=−
Se dice que f es una función par.
• f es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0) si:
( ) ( ) ( )fDomxxfxf ∈∀−=−
Se dice que f es una función impar.
Ejemplo 1: Estudia las simetrías de las siguientes funciones:
a) b) c)
Ejemplo 2: Estudia, analíticamente, si estas funciones presentan algún tipo de simetría. ( ) 26) xxxfa −= ( ) xxxfb 2) 3 −= ( ) xxxfc 2) 5 += ( ) 23) xxxfd −=
-x x
f( -x) f( x)
-x x
f( x)
f( -x)
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 7 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
3.2. FUNCIONES PERIÓDICAS. f es periódica de periodo T, si existe un número real T tal que:
( ) ( ) ( )fDomxxfTxf ∈∀=+ Fíjate: 2T, 3T… también son periodos de T. A T se le llama periodo principal.
4. OPERACIONES CON FUNCIONES. Dadas dos funciones f y g, se define: Suma de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=+∈∀
Diferencia de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf −=− ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=−∈∀ Producto de k ℜ∈ y f: ( )( ) ( )xfkxkf ⋅= ( ) ( )fDomkfDomx =∈∀
Producto de f y g: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf ⋅=⋅ ( ) ( ) ( )gDomfDomgfDomx ∩=⋅∈∀
Cociente de f y g: ( ) ( )( )xgxfx
gf
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ( ) ( )gDomfDom
gfDomx ∩=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∈∀ con ( ) 0≠xg
Ejemplo 1: Si ( ) 253 2 +−= xxxf y ( ) ,4+= xxg calcular:
gfa +) gfb −) fc 3) fd −) gfe ⋅) gff ) gfg 32) +
fh 1)
Ejemplo 2: Si ( )41
2 −+
=xxxf y ( ) ,3−= xxg calcular:
gfa +) gfb −) gfc ⋅) fd ⋅3) gfe) gff 35) −
gg 1) gh −)
5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Consideremos las funciones ( ) xxf = y ( )
xxg 1= .
16 A 16 le hemos aplicado f : ( ) 41616 ==f .
( ) xxf = A 4 le hemos aplicado g: ( ) .414 =g
4 ( ) xxg /1=
1/4 16 Pretendemos construir una nueva función que transforme 16 en 1/4 directamente:
( ) xxf = ( )( ) ( )x
xgxfg 1==⇒ ( )( )
41
16116 ==⇒ fg ( )( )
xxfg 1=o
Esta nueva función se representa por fg o y se denomina composición de f y g. 1/4 ( )( ) ( )( )xfgxfg =o ( ) ( ) ( ) ( ){ }gDomxffDomxfgDom ∈∈= /o Observación:
→fg o Se lee f compuesta con g. →gf o Se lee g compuesta con f.
En general, fggf oo ≠ , es decir, no cumple la propiedad conmutativa.
( ) ( )( ) ( )4141641616 ==⎯→⎯=⎯→⎯ gfgf gf
fg o
Esta función ( ) xxf cos= es periódica de periodo π2=T
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 8 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Ejemplo: Si ( ) xxxf 52 −= ( ) .xxg = a) Obtén ( )( )9fg o sin calcular la función .fg o
( )( ) ( )( )( )
( ) 6363699369
=====↑
gfgfgf
o
b) Calcula ( )( )9fg o obteniendo previamente .fg o
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxxfgxxxxgxfgxfg 555 222 −=⇒−=−== oo
( )( ) 6369599 2 ==⋅−=⇒ fg o c) Calcula .gf o
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) xxxxxfxgfxgf 552
−=−===o Observa: fggf oo ≠
Ejercicio: Obtén gf o , fg o , ff o y gg o en los siguientes casos: a) ( ) 12 += xxf ( ) .3xxg = b) ( ) 14 += xxf ( ) .2xxg =
c) ( ) 12 += xxf ( ) .1
1−
=x
xg
d) ( ) 2+= xxf ( ) .1x
xg =
6. FUNCIÓN INVERSA. Dada la función ( ) 32 −= xxf busco otra función que “actúe al revés”. 4 5 ( ) 32 −= xxf ( ) ?1 =− xf 5 4 Para obtenerla seguimos los siguientes pasos:
1º) Escribo: 32 −= xy f
2º) Despejo x: 2
3+=
yx 1−f
3º) Cambio x por y y viceversa: 2
3+=
xy
4º) Cambio y por ( ):1 xf − ( )2
31 +=− xxf
A 1−f se le llama función inversa (o recíproca) de la función .f No todas las funciones tienen inversa. Únicamente las que son inyectivas.
Propiedad 1: Las gráficas de f y 1−f son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. (Observa la gráfica del ejemplo anterior).
Propiedad 2: ( )( ) ( )( ) xxffxff == −− oo 11 . En este caso la composición es conmutativa.
En el ejemplo anterior:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxffxxxxfxffxff
xxffxxxxfxffxff
=⇒=//
=/+/−
=−==
=⇒=−+=−/+
/=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==
−−−−
−−−
oo
oo
1111
111
22
233232
3332
322
3
Recuerda: f inyectiva si
)()( yfxf = yx =⇒
Inyectiva
No inyectiva
( ) 32 −= xxf
4 5 ?¿ 1−f
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 9 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Ejemplo 1: Calcula 1−f en los siguientes casos y comprueba que iffff == −− 11 oo .
a) ( ) 63 −= xxf
( ) 313
333
66
;666
+=⇒+=
+=⇒+=⇒−=− xxfxy
yxyxxy
Veamos que iffff == −− 11 oo
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) xxx
xfxffxff
xxx
xfxffxff
=/−/+=−+=
=+==
==/+/−=
=−==
−−
−−−
6666
6)(
66
6
33
311
3 33 3
3111
o
o
b) ( ) 52 −= xxf
c) ( )62
1+
=x
xf
d) ( )21
−+
=xxxf
e) ( ) 132 += xxf
Ejemplo 2: Si ( ) 2xxf = obtén, si es posible, 1−f .
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒=
−
−
xxf
xxf
xy
xy
yx
yxxy
1
12 ¿Cuál elegimos?
Esto ocurre porque f no es inyectiva. En este caso podemos descomponer f en dos tramos en los que sí lo es y tendrá su inversa respectiva en uno de ellos:
( ) 2xxf = en [ )+∞,0 ( ) xxf =⇒ −1
( ) 2xxf = en ( ]0,∞− ( ) xxf −=⇒ −1 Observa las gráficas en cada tramo:
Fíjate: ( ) ( ) abfbaf =⇒= −1
f
f -1
No es una función
f
f -1
f
f
f -1
Recuerda: xxi =)( es la
función identidad.
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 10 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7. FUNCIONES ELEMENTALES. 7.1. FUNCIONES POLINÓMICAS. 7.1.1. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO. Son de la forma:
( ) nmxxf += →m Pendiente. →n Ordenada en el origen.
Gráfica: Recta que pasa por el punto ( ).,0 n Si ⇒> 0m Estrictamente creciente Si ⇒< 0m Estrictamente decreciente
En ambos casos ( ) ℜ=fDom , ( ) ℜ=fRec . No está acotada ni superior ni inferiormente (siempre que 0≠m ). Pendiente m→ Indica el aumento o disminución de y cuando x aumenta una unidad.
Recuerda que 12
12
xxyym
−−
= siendo ( )11, yxP y ( )22 , yxQ puntos de la recta.
Además,
También, si m es conocida y ( )11, yxP es un punto de la recta, podemos obtener la ecuación de la recta en forma punto – pendiente:
( ) 11 yxxmy +−= (o bien ( ) ( ) 11 yxxmxf +−= )
Dos funciones polinómicas de primer grado tienen gráficas paralelas si tienen la misma pendiente (si además coincide la ordenada en el origen, serán coincidentes).
Recuerda:
Si ( ) mxxfn =⇒= 0 Función lineal o de proporcionalidad directa. Su gráfica es una recta que pasa por ( ).0,0
Si ( ) nmxxfnm +=⇒≠≠ 0;0 Función afín. Si ( ) nxfm =⇒= 0 Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado).
Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por ( ).,0 n En este caso: ( ) ℜ=fDom ( ) { }nfRec = .
Ejercicio: Un transportista de mercancías de gran tonelaje cobra 250 € por usar el camión más 20 € por tonelada transportada. ¿Cuánto ha transportado por un viaje en el que ha cobrado 594 €?
( )n,0 ( )n,0
( )n,0
f(x) = mx+n
f(x) = mx+n
f(x) = n
2y
1y 12 yy −
12 xx −
1x 2x
P
Q
α αtgm =
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 11 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7.1.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS O POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO. Son de la forma: ( ) cbxaxxf ++= 2 con ℜ∈cba ,, 0≠a ( ) ℜ=fDom Gráfica: Parábola. Mayor valor de →a Más “estilizada” (cerrada) es la parábola. Recuerda:
Si ( )∪⇒> Convexaa 0 Si ( )∩⇒< Cóncavaa 0 Mínimo absoluto en el vértice Máximo absoluto en el vértice No acotada superiormente No acotada inferiormente Sí acotada inferiormente Sí acotada superiormente
Ejemplo: Representa la función ( ) 322 −−= xxxf . Estudia su dominio, recorrido, monotonía, extremos y acotación.
1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 ( ) ℜ=fomD
2º) Puntos de corte con los ejes:
Eje OX: ( )( )⎩
⎨⎧
−⇒−=⇒=
⇒=−−⇒=0,11
0,330320
2
12
PxPx
xxy
Eje OY: ( ) ( )3,0300 3 −⇒−=⇒= Pfx 3º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convexa)
;122
2==
−=
abxv ( ) ⇒−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 41
2f
abfyv ( )4,1 −V
( ) [ )∞+−= ,4fRec Estr. decreciente en ( );1,∞− Estr. creciente en ( ).,1 ∞+ Acotada inferiormente (N=-4), pero no superiormente.
Ejercicio 1: La altura, en metros, de una pelota de tenis que es lanzada hacia arriba viene dada por la función
( ) 29.45.24 ttth −=
a) ¿Qué altura tiene a los 2 segundos? b) ¿Cuándo vuelve a pasar por la misma altura? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? d) ¿Cuántos segundos tarda en regresar al suelo? e) Representa la trayectoria que describe la pelota.
Ejercicio 2: El consumo de un vehículo en función de la velocidad en en kilómetros por hora, por cada 100 kilómetros recorridos, viene dado por la expresión
( ) 1012.0001.0 2 +−= xxxC
a) ¿A qué velocidad el consumo es menor? b) ¿Entre qué velocidades el consumo no supera los 8 litros? c) Representa gráficamente la función ( )xC .
f
0>Δ 0=Δ 0<Δ
0>Δ
0=Δ 0<Δ
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 12 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7.1.3. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR. Función polinómica de grado n: ( ) 01
22
11 ... axaxaxaxaxf n
nn
n +++++= −− con ℜ∈ia .0≠na
Propiedades:
• ( ) ℜ=fDom , ( )fRec depende de cada función. • Continua en .ℜ • A lo sumo corta n veces al eje de abscisas.
El resto de propiedades son específicas de cada función y se estudiarán en siguientes unidades.
Ejemplos de gráficas: Si 0>na Si 0<na n par n impar n par n impar
7.2.FUNCIONES RACIONALES.
Son de la forma:
( ) ( )( )xQxPxf = con ( )xP , ( )xQ funciones polinómicas.
( ) ℜ=fDom \ ( ){ }0/ =ℜ∈ xQx . Ejemplos:
a) ( )41
2
3
−−
=xxxf b) ( )
11
2 +=
xxg
( ) ℜ=fDom \{ }2,2− ; ( ) ℜ=fRec ( ) ℜ=gDom ; ( ) ( ]1,0=gRec
Sus propiedades son diferentes para cada función.
CASO PARTICULAR: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Son de la forma:
( )xkxf = con ℜ∈k .0≠k
Gráfica: Hipérbola equilátera.
f f
f
f
f
g
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 13 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Ejemplos:
a) ( )x
xf 1= b) ( )
xxg 2= c) ( )
xxh 1−=
Observa: Si ⇒> 0k Ramas situadas en el primer y tercer cuadrante. Si ⇒< 0k Ramas situadas en el segundo y cuarto cuadrante.
Propiedades:
• ( ) ℜ=fDom \{ }0 , ( ) ℜ=fRec \{ }0 . • Si ⇒> 0k Estrictamente decreciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00, .
Si ⇒< 0k Estrictamente creciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00, . • No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada ni superior ni inferiormente. • Impar (simetría respecto al origen). • 0=y es una asíntota horizontal. • 0=x es una asíntota vertical.
También tienen como gráfica una hipérbola las funciones racionales del tipo:
( )dcxbax
xf++
= ( ) ℜ=fDom \{ }cd /− Asíntota vertical: cdx /−=
( ) ℜ=fRec \{ }ca / Asíntota horizontal: cay /=
Sin embargo tendremos en cuenta algunos casos como el ejemplo b).
Ejemplos:
a) ( )253
−−
=xx
xf
( ) ℜ=fDom \{ }2 ( ) ℜ=fRec \{ }3
Asíntota vertical: 2=x Asíntota horizontal: 3=y . Estrictamente decreciente en: ( ) ( )+∞∪∞− ,22, . No acotada ni superior ni inferiormente. No presenta extremos absolutos ni relativos. No es impar.
Fíjate: ( )2
13253
−+=
−−
=xx
xxf ¿Qué observas?
b) Dada la función ( )263
−−
=xx
xg ¿su gráfica es una hipérbola? ¿por qué?
f
g h
• Puntos de la gráfica: ( ) ( )kPkf ,11 ⇒= ( ) ( )1,1 kQkf ⇒= ( ) ( )kRkf −−⇒−=− ,11( ) ( )1,1 −−⇒−=− kSkf
f
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 14 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7.3. FUNCIONES IRRACIONALES. Son de la forma: ( ) ( )n xgxf = con ( )xg polinómica o racional.
Si n es par ( ) ( ){ }0/)( ≥∈=⇒ xggDomxfDom Si n es impar ( ) ( )gDomfDom =⇒
Ejemplos:
a) ( ) xxf = ( ) [ )∞+=ℜ= + ,00fDom b) ( ) 3 1+= xxg ( ) ℜ=gDom
( ) [ )∞+=ℜ= + ,00fRec ( ) ℜ=gRec
7.4. FUNCIONES EXPONENCIALES. Son de la forma:
( ) xaxf = con ;ℜ∈a 0>a y 1≠a
Ejemplos:
a) ( ) xxf 2= y ( ) xxg 3= b) ( )x
xf ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
y ( )x
xg ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
31
Fíjate: Las gráficas de ( ) xaxf = y ( )x
axg ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 son simétricas respecto al eje OY.
f
x 0 1 4 9 16 f(x) 0 1 2 3 4
x -9 -2 -1 0 7 g(x) -2 -1 0 1 2
x -2 -1 0 1 2 3 x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) 4 2 1 1/2 1/4 1/8 g(x) 1/9 1/3 1 3 9 27
g(x) 9 3 1 1/3 1/9 1/27
f g
f(x) = 2xg(x) = (1/2)x
f(x)=(1/2)xf(x)=2xg(x)=3x
g(x)=(1/3)x a > 1 0 < a < 1
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 15 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Propiedades: • ( ) ℜ=fDom , ( ) ( )∞+= ,0fRec . • Su gráfica pasa por los puntos: ( )1,0P , es decir, ( ) .10 == oaf ( )aQ ,1 , es decir, ( ) .1 1 aaf ==
( )aR /1,1− , es decir, ( ) ./11 1 aaf ==− − • Convexa en .ℜ • No tiene extremos absolutos ni relativos. • Está acotada inferiormente por N=0, pero no está acotada superiormente. • Si 1>a es estrictamente creciente en .ℜ
Si 10 << a es estrictamente decreciente en .ℜ • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en .ℜ • 0=y es una asíntota horizontal.
Una función exponencial muy especial:
( ) xexf = ←Función exponencial de base e Recuerda que: ...7182818.2=e
Pasa por: ( )1,0P ; ( )eQ ,1 ; ( )eR /1,1− .
7.5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Son de la forma:
( ) xxf alog= con ;ℜ∈a 0>a y 1≠a Ejemplos: a) ( ) xxf 2log= y ( ) xxg 3log= b) ( ) xxf
21log= y ( ) xxg
31log=
Fíjate: Las gráficas de ( ) xxf alog= y ( ) xxga1log= son simétricas respecto al eje OX.
x 1 2 4 8 1/2 1/4 f(x) 0 1 2 3 -1 -2
x 1 2 4 8 1/2 1/4f(x) 0 -1 -2 -3 1 2
x 1 3 9 27 1/3 1/9 g(x) 0 -1 -2 -3 1 2
x 1 3 9 27 1/3 1/9 g(x) 0 1 2 3 -1 -2
g(x)=log3 x
f(x ) = ex
f(x)=log2 x
f(x)=log1/2 x
g(x)=log1/3 x
f(x)=log1/2 x
g(x)=log2 x
0 < a < 1 a > 1
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 16 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Propiedades: • ( ) ( )∞+= ,0fDom , ( ) ℜ=fcRe . • Su gráfica pasa por los puntos:
( )0,1P , es decir, ( ) 01log1 == af ( )1,aQ , es decir, ( ) 1log == aaf a ( )1,/1 −aR , es decir, ( ) 1/1log/1 −== aaf a
• No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada, ni superior ni inferiormente. • Si 1>a es estrictamente creciente y cóncava en ( )∞+,0 .
Si 10 << a es estrictamente decreciente y convexa en ( )∞+,0 . • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en ( )∞+,0 . • 0=x es una asíntota vertical.
Observación: ( ) xaxf = y ( ) xxg alog= son funciones inversas. Por tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Una función logarítmica muy especial:
( ) xxf ln= ←Función logaritmo neperiano Recuerda que: xx elogln = Pasa por:
( )0,1P ; ( )1,eQ ; ( )1,/1 −eR
7.6. FUNCIONES CIRCULARES Y SUS INVERSAS. ( ) xsenxf =
( ) xcosxf =
x 0 π /4 π /2 3π /4 π 3π /2 2π f(x) 0 2/2
1 2/2 0 -1 0
x 0 π /4 π /2 3π /4 π 3π /2 2π f(x) 1 2/2
0 - 2/2 -1 0 1
Propiedades f(x) = sen x: • ;)( ℜ=fDom [ ]1,1)(Re −=fc . • Periódica con π2=T rad. • Monotonía en [ )π2,0 . Estr. creciente en:
( ) ( )πππ 2,2/32/,0 ∪ Estr. decreciente en:
( )2/3,2/ ππ
• Curvatura en [ )π2,0 .
Convexa en: ( )ππ 2,
Cóncava en: ( )π,0 • Extremos relativos y absolutos:
Máximo absoluto y relativo en: 2/π=x con valor ( ) 12/ =πf
Mínimo absoluto y relativo en: 2/3π=x con valor ( ) 12/3 −=πf
• Función impar. • Acotada. M=1; N=-1. • Continua
f f
f(x)=ln x
f(x ) = sen x
f(x) = cos x
g = f -1
g = f -1
a > 1 0 < a < 1
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 17 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Como ejercicio, estudia las propiedades de f(x)=cos x
( ) xtgxf =
Propiedades f(x) =tg x:
• ℜ=)( fDom \⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ Ζ∈+ kk /
2π
π
• ℜ=)( fRec . • Periódica con π=T rad. Estudia el resto de sus propiedades.
Análogamente se pueden obtener las gráficas de la funciones cosecante, secante y cotangente: ( ) xcosecxf = ( ) xsecxf =
( ) xcotgxf =
FUNCIONES ARCO: Son las inversas del seno, coseno y tangente (en el sentido de la composición de funciones) tomando intervalos en los que son inyectivas. Por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
( ) xarcsenxf = ( ) xarccosxf = ( ) xarctgxf =
( ) [ ];1,1−=fDom ( ) [ ]2
,2
ππ−=fRec ( ) [ ];1,1−=fDom ( ) [ ]π,0=fRec ( ) ;ℜ=fDom ( ) ( )2
,2
ππ−=fRec
x 0 π /4 π /2 3π /4 π 5π /4 3π /2 7π /4 2π f(x) 0 1 ∃/ -1 0 1 ∃/ -1 0
f(x) = tg x
f
f
f(x)=arcsen x
f(x)=arccos x
g(x)= sen x
g(x)= tg x
g(x)= cos x
f(x)=arctg x
Observa las gráficas anteriores y estudia sus propiedades.
f
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 18 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7.7. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Están definidas por varias expresiones algebraicas.
Ejemplos: Representa estas funciones definidas a trozos.
a) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+−<≤−
<=
42412
1
xsixxsi
xsixxf
b) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<<
≤++=
43401
0122
xsixxsi
xsixxxg
Primer trozo: Arco de parábola 1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 2º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX: ( )0,110120 2 −⇒−=⇒=++⇒= Pxxxy ⇒( Coincide con el vértice).
Eje OY: ( ) ( )1,0100 Qgx ⇒=⇒= (Fin arco parábola). 3º) Vértice:
;122
2−=
−=
−=
abxv ( ) ⇒=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 01
2g
abgyv ( )0,1−V
c) ( )[ )[ ]( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
∈∈+−
−∈+=
7,343,012
0,312
xsixsixxxsix
xh
x f(x)=x x f(x)=-2 x f(x)=-x+2 -1 -1 1 -2 4 -2 1 1
4 -2
6 -4
x g(x) = 1 x g(x) = x-3 0 1 4 1 4 1
6 3
xxf =)( 2)( −=xf 2)( +−= xxf
1 4 ℜ=)( fDom
12)( 2 ++= xxxg 1)( =xg 3)( −= xxg
0 4 ℜ=)(gDom
[ )∞+= ,0)(gRec
( )1,)( ∞−=fRec
Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica y estudia su dominio y recorrido.
f
g
h
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 19 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7.8. OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. a) Función parte entera. Función parte entera E(x)
b) Función parte decimal. c) Función signo.
Ejercicio: Representa estas funciones expresándolas previamente como una función definida a trozos.
)32() −xSiga
Es inmediato que ⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
>
=
<−
=−
<⇒<−
=⇒=−
>⇒>−
2/312/302/31
)32(2/30322/30322/3032
xsixsixsi
xSigxxxxxx
)128() 2 +− xxSigb . Comprueba que obtienes la gráfica del margen.
Dom(E)= ;ℜ Rec(E)= Z
E(x)
D(x) = x-E(x)
Sig(x )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤−−
−<≤−−
−<≤−−
=
...433322211100011
122233
...
)(
xsixsixsixsixsixsixsi
xE
Dom(D)= ℜ ; Rec(D)= [ )1,0 Periódica con T = 1
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<≤−
<≤−
<≤
<≤−+
−<≤−+
=
...32221110011
122
...
)(
xsixxsixxsixxsixxsix
xD
Dom(Sig)= ℜ ; Rec(Sig)= { }1,0,1−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=
<−
=
010001
)(xsixsixsi
xSig
Sig(2x-3)
Sig(x2-8x+12)
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 20 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
7.9. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Se define la función valor absoluto como la función definida a trozos:
( )⎩⎨⎧
≥<−
==00
xsixxsix
xxf
Fíjate: Podemos definir la función signo como: xxxSig =)( si .0≠x
Ejemplo 1: Representa y expresa como función definida a trozos: ( ) 42) −= xxfa
Se representa: 42 −= xy . Corte con eje OX: (si no se ha obtenido en la tabla) ( )0,220420 Pxxy ⇒=⇒=−⇒= Como función a trozos queda:
( )⎩⎨⎧
≥−<+−
=242242
xsixxsix
xf
( ) 45) 2 +−= xxxfb
Se representa 452 +−= xxy 1º) Curvatura: ( )∪⇒>= Convexaa 01 2º) Puntos de corte con los ejes:
Eje OX: ( )( )⎩
⎨⎧
⇒=⇒=
⇒=+−⇒=0,44
0,110450
2
12
PxPx
xxy
Eje OY: ( )4,00 3Px ⇒= 3º) Vértice:
;5.225
2==
−=
abxv 25.245.255.2 2 −=+⋅−=vy
( )25.2,5.2 −⇒V
Como función a trozos queda: ( )⎩⎨⎧
<<−+−≥≤+−
=4145
41452
2
xsixxxóxsixx
xf
( ) 54) 2 ++−= xxxfc
Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica.
x y = 2x - 4 0 -4 3 2
f(x)=|x| ℜ=)( fDom
[ )∞+= ,0)( fRec
f(x)= |2x-4|
f(x)= |x2-5x+4|
;)( ℜ=fDom [ )∞+= ,0)( fRec
;)( ℜ=fDom [ )∞+= ,0)( fRec
f(x)= |-x2+4x+5|
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 21 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Ejemplo 2: Representa estas funciones y observa las simetrías que presentan algunos casos: ( ) xsenxfa =) ( ) xsenxfb =) ( ) xxfc cos) −= ( ) xtgxfd =) ( ) xxfe ln) = ( ) xxff ln) =
( ) xxfg ln) −= ( ) xexfh =) ( ) xexfi =) ( ) x
exfj−
=) ( ) xexfk −=) ( ) xexfl−
−=)
c) f(x) = -|cos x| Periódica con T = π
a) f(x) = |sen x| Periódica con T = π
e) f(x) = |ln x|
d ) f(x) = |tg x| Periódica con T = π
f) f(x) = ln|x| g) f(x) = -ln|x|
b) f(x) = sen |x| No periódica
¿Cuál es su dominio?
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 22 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Ejemplo 3: Expresar como una función definida a trozos y representar: a) ( ) xxxf =
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<−==
0
02
2
xsix
xsixxxxf
Ya que ⎩⎨⎧
≥<−
=00
xsixxsix
x
b) ( ) 33 −++= xxxg
;3333
033033
3⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
−≥+
−<−−=
≥++
<+−−=+
xsixxsix
xsixxsix
x ⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
≥−
<+−=
≥−−
<−+−=−
3333
033033
3xsixxsix
xsixxsix
x
h) f(x) = |ex| ¡Coincide con y = ex!
i) f(x) = e| x |
j) f(x) = e -| x |
k) f(x) = -e x l) f(x) = - e-|x|
f(x)= x|x|
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 23 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
Por tanto:
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<≤−
−<−
=
32336
32
xsixxsi
xsixxg ya que:
c) ( ) 312 +−−++= xxxxh . Comprueba que, en este caso, su gráfica es:
8. OTRAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. 8.1. TRASLACIONES VERTICALES.
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
⇒>
⇒+
abajo”). (“hacia negativo sentidoen de gráfica laen unidades de verticalTraslación 0
arriba”). (“hacia positivo sentidoen de gráfica laen unidades de verticalTraslación 0
f kk
f kk
kxf
Ejemplos:
a) Observa las gráficas de la derecha obtenidas al trasladar la función f(x).
( ) ( ) 4+= xfxg Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba. ( ) ( ) 2−= xfxh
Traslación vertical de dos unidades hacia abajo.
3+x 3−x 3+x + 3−x
3−<x 3−− x 3+− x x2− 33 <≤− x 3+x 3+− x 6
3≥x 3+x 3−x x2
g(x)= |x+3| + |x-3|
h(x)= |x+2| + |x-1| - |x+3|
g(x) = f(x) + 4
f(x)
h(x) = f(x) - 2
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 24 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
b) Observa ahora estas gráficas obtenidas por traslación de la función f(x) = sen x. ( ) ( ) ( ) ⇒+=⇒+= 22 xsenxgxfxg Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. ( ) ( ) ( ) ⇒−=⇒−= 33 xsenxhxfxh Traslación vertical de tres unidades hacia abajo.
8.2. TRASLACIONES HORIZONTALES.
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
⇒>
⇒+
derecha”). la (“hacia positivo sentidoen de gráfica laen unidades de horizontal Traslación 0
).izquierda” la (“hacia negativo sentidoen de gráfica laen unidades de horizontal Traslación 0
fkk
f kk
kxf
Ejemplos:
a) Presta atención a estas gráficas obtenidas por traslación horizontal de f(x).
( ) ( )→−= 2xfxg Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha. ( ) ( )→+= 4xfxh Traslación horizontal de cuatro unidades hacia la izquierda.
b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la función f(x) = sen x.
( ) ( ) ( ) ( )⇒+=⇒+= 2/2/ ππ xsenxgxfxg Traslación horizontal de π/2 unidades hacia la izquierda.
( ) ( ) ( ) ( )⇒−=⇒−= ππ xsenxhxfxh Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha.
g(x) = sen x + 2
f(x) = sen x
h(x) = sen x - 3
h(x) = sen (x-π) f(x) = sen x g(x) = sen (x + π/2 )
g(x) = f (x - 2)
f(x)
h(x) = f ( x+4)
Observa: ( ) ( ) xxsenxg cos2/ =+= π
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 25 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
8.3. COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES. ( ) →++ 21 kkxf Traslación horizontal de 1k unidades (hacia la izquierda si 01 >k o hacia
la derecha si 01 <k ), junto con otra traslación vertical de 2k unidades (hacia arriba si 02 >k o hacia abajo si 02 <k ).
Ejemplo: Representar ( ) ( ) 42 2 +−= xxg a partir de la función ( ) .2xxf =
( ) ( ) →+−= 42xfxg ⎩⎨⎧
arriba. hacia unidades cuatro de verticalTraslaciónderecha. la hacia unidades dos de horizontal Traslación
8.4. DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OY.
( )⎩⎨⎧
⇒<<
⇒>⇒
OY. eje el sobre de gráfica la den Contracció 10OY. eje el sobre de gráfica la de Dilatación 1
fkSifkSi
xfk
Ejemplo: Presta atención a estas gráficas obtenidas por dilatación y contracción de
f(x) = sen x sobre el eje OY.
( ) ( )⇒= xfxg 2 Dilatación sobre el eje OY (se dilata “el doble”). ( ) ( )⇒= xfxh 3 Dilatación sobre el eje OY (se dilata “el triple”).
( ) ( )⇒= xfxi )2/1( Contracción sobre el eje OY (se contrae “a la mitad”).
Observa: • Los puntos de corte con el eje OX son los únicos que permanecen fijos y el periodo, en
este ejemplo T = 2π, se mantiene. • Si k < 0 se obtiene la función simétrica respecto al eje OX de la obtenida al representar
( )xfk .
x 0 π /2 π 3π /2 2π g(x)=2senx 0 2 0 -2 0 h(x)=3senx 0 3 0 -3 0
i(x)=(1/2)senx 0 1/2 0 -1/2 0
f(x) = sen x
g(x) = 2sen x
h(x) = 3sen x
i(x) =(1/2)sen x
f (x)
f (x-2)
f (x-2) + 4
IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas I
Departamento de Matemáticas 26 Bloque IV: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 8: Funciones
8.5. DILATACIONES Y CONTRACCIONES SOBRE EL EJE OX.
( )⎩⎨⎧
⇒<<
⇒>⇒
OX. eje el sobre de gráfica la de Dilatación 10OX. eje el sobre de gráfica la den Contracció 1
fkSifkSi
kxf
Ejemplo: Fíjate en estas gráficas obtenidas por dilatación y contracción de f(x) = sen x
sobre el eje OX.
( ) ( ) ( ) ( )⇒=⇒= xsenxgxfxg 22 Contracción sobre el eje OX (se contrae “a la mitad”).
( ) ( ) ( )⇒=⇒= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
221 xsenxhxfxh Dilatación sobre el eje OX (se dilata “el doble”).
Observa: En este caso los periodos sí han cambiado.
Para hacer las representaciones gráficas anteriores hemos tenido en cuenta que:
( ) ( )xsenxg 2= ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2xsenxh
Periodo: πππ =⇒=⇒= Txx 22 Periodo: πππ 4422
=⇒=⇒= Txx
( ) 000002 ==⇒=⇒= sengxx ( ) 000002
==⇒=⇒= senhxx
12442
2 ==⇒=⇒= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ππππ
sengxx ( ) 1222==⇒=⇒=
πππ
πsenhx
x
( ) 0222
==⇒=⇒= ππππ senhxx
12
34
34
32
32 −==⇒=⇒= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππππ
sengxx ( ) 12
333
23
2−==⇒=⇒=
πππ
πsenhx
x
( ) 0222 ==⇒=⇒= ππππ sengxx ( ) 024422
==⇒=⇒= ππππ senhxx
8.6. SIMETRÍAS. 8.6.1. Funciones opuestas: Representación de – f(x) a partir de f(x).
f(x) y - f(x) son simétricas respecto al eje OX.
8.6.2. Representación de f(-x) a partir de f(x). f(x) y f(-x) son simétricas respecto
al eje OY.
Fíjate: Si f es par, coincidirán ambas gráficas.
g(x) = sen2x f(x) = sen x h(x) = sen(x/2)
022
2 ==⇒=⇒= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ πππ
π sengxx
f(x)
- f(x)
f(x) f(-x)