Instituto Tecnológico de Tepic.

Academia: Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

Carrera: Ingeniería en Mecatrónica.

Unidad 5.

Materia: Dinámica.

Profesor: Juan Carlos Llamas Negrete.

Nombre del alumno: Greta Marian González Herena.

Núm. De Control del Alumno: 14400812.

25 de 05 del 2016.

Índice:No se encontraron entradas de tabla de contenido.

Introducción:

En este reporte se considera la cinemática de cuerpos rígidos. Se investigan las

relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las

aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido. Después

de un breve análisis del movimiento de traslación, se considera la rotación de un

cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Se definirá la velocidad angular y la aceleración angular de un cuerpo rígido

alrededor de un eje fijo, y el lector aprenderá a expresar la velocidad y la

aceleración de un punto dado del cuerpo en términos de su vector de posición, de

la velocidad angular y de la aceleración angular del cuerpo.

Se usa el método del trabajo y la energía y el del impulso y la cantidad de

movimiento para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de

cuerpos rígidos. Se abordaron relaciones similares, suponiendo en ese caso que

el cuerpo puede considerarse como una partícula, esto es, que su masa podría

concentrarse en un punto y que todas las fuerzas actúan en él. La forma del

cuerpo, así como la ubicación exacta de los puntos de aplicación de las fuerzas,

no serán tomadas en cuenta. Se estudiará no sólo el movimiento del cuerpo como

un todo, sino también el movimiento del cuerpo en torno a su centro de masa.

Ecuaciones que definen la cinemática del cuerpo rígido: Traslación, Rotación, Movimiento en el plano.

Clasificación del movimiento de los cuerpos rígidos: Traslación rectilínea

Traslación curvilínea

Rotación alrededor de un eje fijo.

Movimiento plano general.

Considere un sólido rígido en traslación:

-La dirección de cualquier línea recta en el interior del solido permanece

constante.

-Todas las partículas que forman parte del solido se mueven en líneas paralelas.

Rotación alrededor de un eje fijo.

VELOCIDAD.

Considere la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo AA`

Rotación alrededor de un eje fijo. ACELERACION.

Se afirma que se conoce el movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de

un eje fijo AA cuando su coordenada angular Ө puede expresarse como una

función conocida de t. Sin embargo, en la práctica la rotación de un cuerpo rígido

rara vez se define mediante una relación entre y t.

Con mayor frecuencia, las condiciones de movimiento se especificarán mediante

el tipo de aceleración angular que posea el cuerpo. Por ejemplo, es posible que α

se dé como una función de t, como una función de o como una función de ω. Al

recordar las relaciones, se escribe

o, al despejar dt y sustituir en

Puesto que estas ecuaciones son similares a las que se obtuvieron en el capítulo 11 para el movimiento rectilíneo de una partícula, su integración puede efectuarse siguiendo el procedimiento descrito en la sección 11.3. Con frecuencia se encuentran dos casos particulares de rotación:

1. Rotación uniforme. Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero. Consecuentemente, la aceleración angular es constante, y la coordenada angular está dada por la fórmula:

2. Rotación acelerada uniformemente. En este caso, la aceleración angular es constante. Las siguientes fórmulas que relacionan la velocidad angular, la coordenada angular y el tiempo pueden obtenerse entonces de manera similar a la que se describe en la sección 11.5. La similitud entre las fórmulas derivadas aquí y aquellas obtenidas para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de una partícula es manifiesta.

TRASLACIÓN.

Considere un cuerpo rígido en traslación (ya sea rectilínea o curvilí- nea), y deje que A y B sean cualesquiera dos de sus partículas. Al denotar, respectivamente, por rA y rB los vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de referencia fijo y mediante r B/A al vector que une a A y B, se escribe

Se diferencia esta relación con respecto a t. Hay que resaltar que de la definición pura de traslación, el vector rB/A debe mantener una dirección constante; su magnitud también debe ser constante, ya que A

y B pertenecen al mismo cuerpo rígido. De tal modo, la derivada de rB/A es cero y se tiene

Al diferenciar una vez más, se escribe

En consecuencia, cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. En el caso de traslación curvilínea, la velocidad y la aceleración cambian en dirección, así como en magnitud, en cada instante.

En el caso de traslación rectilínea, todas las partículas del cuerpo se mueven a lo largo de líneas rectas paralelas, y su velocidad y aceleración se mantienen en la misma dirección durante el movimiento completo.

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo AA. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Por conveniencia, se supone que el sistema de referencia está centrado en el punto O sobre AA y que el eje z coincide con AA . Sea B la proyección de P sobre AA; puesto que P debe permanecer a una distancia constante de B, describirá un círculo de centro B y de radio r sen , donde denota el ángulo formado por r y AA.

La posición de P y del cuerpo completo está definida totalmente por el ángulo que forma la línea BP con el plano zx. El plano se conoce como coordenada angular del cuerpo y se define como positiva cuando se ve en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde A. La coordenada angular se expresará en radianes (rad) o, en ocasiones, en grados (°) o revoluciones (rev). Recuérdese que 1 rev

Recuérdese de la sección 11.9 que la velocidad v = dr/dt de una partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P y de magnitud v = ds/dt. Al observar que la longitud Δs del arco descrito por P cuando el cuerpo gira un ángulo es

y al dividir ambos miembros entre Δt, se obtiene en el límite, cuando Δt tiende a cero

donde ˙ denota la derivada en el tiempo de . (Advierta que el ángulo depende de la posición de P dentro del cuerpo, pero que la razón de cambio ˙ es en sí misma independiente de P.) La conclusión es que a velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA y r, y de magnitud v definida. Pero éste es precisamente el resultado que se obtendría al dibujar un vector a lo largo de AA y se formara el producto vectorial . Entonces se escribe

El vector

que está dirigido a lo largo del eje de rotación se denomina la velocidad angular del cuerpo y es igual en magnitud a la razón de cambio ˙ de la coordenada angular; su sentido puede obtenerse mediante la regla de la mano derecha con base en el sentido de rotación del cuerpo. La aceleración a de la partícula P se determinará a continuación. Al diferenciar y recordar la regla de diferenciación de un producto vectorial, se escribe

El vector se denota mediante y se denomina aceleración angular del cuerpo. Al sustituir también v de, se tiene

Al diferenciar y recordar que k es constante en magnitud y dirección, se tiene

De tal modo, la aceleración angular de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación, y es igual en magnitud a la tasa de cambio ˙ de la velocidad angular. Volviendo a , observe que la aceleración de P es la suma de dos vectores. El primer vector es igual al producto vectorial ; es tangente al círculo descrito por P y, por lo tanto, representa la componente tangencial de la aceleración. El segundo vector es igual al triple producto vectorial (mixto de tres vectores) obtenido al formar el producto vectorial de

; ya que es tangente al círculo que describe P, el triple producto vectorial está dirigido hacia el centro B del círculo y, por consiguiente, representa la componente normal de la aceleración.

Movimiento plano general. Hay muchos otros tipos de movimiento plano, esto es, movimientos en los cuales todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos. Cualquier movimiento plano que no es ni una rotación ni una traslación se conoce como un movimiento plano general

.

Ejercicio:La carga B se conecta a una polea doble mediante uno de los dos cables inextensibles que se muestran. El movimiento de la polea se controla mediante el cable C, el cual tiene una aceleración constante de 9 in./s2 y una velocidad inicial de 12 in./s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determine a) el número de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s, b) la velocidad y el cambio en la posición de la carga B después de 2 s, y c) la aceleración del punto D sobre el borde de la polea interna cuando t = 0.

Ecuaciones que definen el giro de un sólido rígido alrededor de ejes fijos.

Movimiento plano general.

Movimiento plano general no es traslación o rotación.

Movimiento plano general se considere la suma de traslación y rotación.

MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO. PRINCIPIO DE D’ALEMBERT.

Establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las

denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este

equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.

El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de

Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La

derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que

sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa   más una fuerza de

ligadura   entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de

momento viene dada por:

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales

de la forma   si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un

desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento

existentes:

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de

desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente

compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo.

Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el

principio de D'Alembert.

Considere una placa rígida de masa m que se mueve bajo la acción de varias

fuerzas externas F1, F2, F3, . . ., contenidas en el plano de la placa. Al sustituir H˙

G escribir las ecuaciones de movimiento fundamentales en forma escalar, se tiene

Las ecuaciones muestran que la aceleración del centro de masa G de la placa y

su aceleración angular se obtienen fácilmente una vez que se ha determinado

la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la placa y su momento

resultante alrededor de G. Al dar condiciones iniciales apropiadas, es posible

obtener por integración en cualquier instante t las coordenadas x y y del centro de

masa y la coordenada angular. De tal modo, el movimiento de la placa está

completamente definido por la resultante y el momento resultante alrededor de G

de las fuerzas externas que actúan sobre ella.

Esta propiedad, que se ampliará en el capítulo 18 al caso de movimiento

tridimensional de un cuerpo rígido, es característica del movimiento de un cuerpo

rígido. De hecho, como se vio en el capítulo 14, el movimiento de un sistema de

partículas que no están rígidamente conectadas dependerá en general de las

fuerzas externas específicas que actúan sobre diferentes partículas, así como de

las fuerzas internas. Puesto que el movimiento de un cuerpo rígido depende sólo

de la resultante y del momento resultante de las fuerzas externas que actúan

sobre él, se concluye que dos sistemas de fuerzas que son equipolentes, esto es,

que tienen la misma resultante y el mismo momento resultante, también son

equivalentes; esto es, tienen exactamente el mismo efecto sobre un cuerpo rígido

dado. Considere en particular el sistema de las fuerzas externas que actúan sobre

un cuerpo rígido y el sistema de fuerzas efectivas asociadas con las partículas

que forman dicho cuerpo . En la sección 14.2 se mostró que dos sistemas

definidos de tal modo son equipolentes. Sin embargo, puesto que las partículas

consideradas ahora constituyen un cuerpo rígido, se concluye de la discusión

anterior que los dos sistemas son también equivalentes. En consecuencia, es

posible establecer que las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido son

equivalentes a las fuerzas efectivas de las diferentes partículas que lo constituyen.

Este enunciado se conoce como principio de d’Alembert, en honor al matemático

Jean le Rond d’Alembert (1717- 1783), aunque el enunciado original de d’Alembert

se escribió de manera un poco diferente. El hecho de que el sistema de fuerzas

externas sea equivalente al sistema de las fuerzas efectivas se ha subrayado

mediante el uso de signos de igualdad rojos en las figuras 16.6 y 16.7, donde al

usar los resultados que se obtuvieron antes en esta sección, se sustituyeron las

fuerzas efectivas por un vector ma fijo en el centro de masa G de la placa y por un

par de momento .

Traslación.

En el caso de un cuerpo en traslación, la aceleración angular del mismo es

idénticamente igual a cero y sus fuerzas efectivas se reducen al vector más fijo en

G. De tal modo, la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo

rígido en traslación pasa por el centro de masa del cuerpo y es igual a ma.

Rotación centroidal.

Cuando una placa o, más generalmente, un cuerpo simétrico con respecto al

plano de referencia, gira alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de

referencia y pasa por su centro de masa G, se afirma que el cuerpo está en

rotación centroidal. Puesto que la aceleración a es idénticamente igual a cero, las

fuerzas efectivas del cuerpo se reducen al par . De tal manera, las fuerzas

extremas que actúan sobre un cuerpo en una rotación centroidal son equivalentes

a un par de momento .

Movimiento plano general. Al comparar, se observa que desde el punto de vista de

la cinética, el movimiento plano más general de un cuerpo rígido simétrico con

respecto al plano de referencia puede reemplazarse por la suma de una traslación

y una rotación centroidales. Hay que advertir que este enunciado es más

restrictivo que el enunciado similar que se hizo antes desde el punto de vista de la

cinemática, ya que se requiere ahora que el centro de masa del cuerpo se elija

como el punto de referencia.

Ejercicio:

Cuando la velocidad hacia adelante de la camioneta que se muestra era de 30 ft/s,

se aplicaron repentinamente los frenos, lo que provocó que las cuatro ruedas

dejaran de girar. Se pudo observar que la camioneta patinó 20 ft antes de

detenerse. Determine la magnitud de la reacción normal y de la fuerza de fricción

en cada rueda cuando la camioneta patinó.

Ecuaciones de Euler-LaGrange

El principio de D’Alembert, en el caso de existir ligaduras no triviales, lleva a las

ecuaciones de Euler-LaGrange si se usa conjunto de coordenadas

generalizadas independientes, que implícitamente incorporen dichas ligaduras.

Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:

Por el teorema de la Función Implícita existirán n = 3N-m coordenadas

generalizadas y N funciones vectoriales tales que:

El principio de D’Alembert en las nuevas coordenadas se expresará simplemente

como:

La última implicación se sigue de que ahora todas las   son independientes.

Además, la fuerza generalizada   y el término   vienen dados por:

Expresando   en términos de la energía cinética   tenemos:

Y por tanto finalmente llegamos a las ecuaciones de Euler-LaGrange:

Si las fuerzas son además conservativas entonces podemos decir que existe una

función potencial   y podemos definir el lagrangiano ,

simplificando aún más la expresión anterior.

Métodos de la energía y la cantidad de movimiento.

El principio de trabajo y energía se utilizará para analizar el movimiento plano de

cuerpos rígidos, y se adapta bien a la solución de problemas en los que

intervienen velocidades y desplazamientos. Su ventaja principal radica en el hecho

de que el trabajo de fuerzas y la energía cinética de las partículas son cantidades

escalares.

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA PARA UN CUERPO RÍGIDO

El principio del trabajo y la energía se utilizará ahora para analizar el movimiento

plano de cuerpos rígidos. Como se señaló en el capítulo 13, este método en

particular se adapta bien a la solución de problemas en los que intervienen

velocidades y desplazamientos. Su ventaja principal radica en el hecho de que el

trabajo de fuerzas y la energía cinética de partículas son cantidades escalares.

donde T1, T2 valores inicial y final de la energía cinética total de las partículas que

forman al cuerpo rígido

U1y2 trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas del

cuerpo

La energía cinética total

TRABAJO DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO RÍGIDO

El trabajo de una fuerza F durante un desplazamiento de su punto de aplicación

desde A1 hasta A2 es

donde F es la magnitud de la fuerza, es el ángulo que forma con la dirección de

movimiento de su punto de aplicación A y s es la variable de integración que mide

la distancia recorrida por A a lo largo de su trayectoria. Al calcular el trabajo de las

fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido, es a menudo conveniente

determinar el trabajo de un par sin considerar por separado el trabajo de cada una

de las fuerzas que lo forman.

SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS

Cuando un problema implica varios cuerpos rígidos, cada cuerpo rígido puede

considerarse por separado y el principio del trabajo y la energía aplicarse a cada

cuerpo. Al sumar las energías cinéticas de todas las partículas y al considerar el

trabajo de todas las fuerzas que participan, es posible escribir también la ecuación

del trabajo y la energía para el sistema completo. Así, se tiene

donde T representa la suma aritmética de las energías cinéticas de los cuerpos

rígidos que forman al sistema (todos los términos son positivos) y U1y2 representa

el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre los distintos cuerpos, ya sea que

estas fuerzas sean internas o externas consideradas desde el punto de vista de un

todo.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.

El trabajo de fuerzas conservativas, como el peso de un cuerpo o la fuerza que

ejerce un resorte, pueden expresarse como el cambio en la energía potencial.

Cuando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mueve bajo la

acción de las fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energía enunciado

en la se expresa en una forma modificada. Al sustituir U1y2 de, se escribe

POTENCIA

La potencia fue definida como la rapidez con la cual se realiza el trabajo. En el

caso de un cuerpo sobre el que actúa la fuerza F, y que se mueve a velocidad v, la

potencia se expresó del modo siguiente:

Para el caso de un cuerpo rígido que gira con velocidad angular y se somete a

la acción de un par de momento M paralelo al eje de rotación, se tiene, de acuerdo

con la ecuación

El principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido es expresado en la

forma:

Dónde:

T1, T2= valores inicial y final de la energía cinética total de las partículas que

conforman el cuerpo rígido.

U1-2= trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas del

cuerpo.

La energía cinética de la partícula se obtiene sumando las cantidades escalares

positivas:

Principio de Conservación de la Energía

La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la

termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema

aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el

tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En

resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede

crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo,

cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.

Cuando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mueven bajo la

acción de fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energía puede ser

expresado de la siguiente forma:

El cual está regido por el principio de la conservación de la energía. Este

principio puede ser usado para resolver problemas que comprenden fuerzas

conservativas del tipo de la fuerza de gravedad o fuerzas empleadas por

resortes.

La fórmula anterior indica que cuando un cuerpo rígido, se mueve bajo la

acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y a energía

potencial del sistema permanece constante.

En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una consecuencia del

teorema de Noether cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo.

El teorema de Noether asegura que cuando se tiene un lagrangiano independiente

del tiempo, y, por tanto, existe un grupo uniparamétrico de traslaciones temporales

o simetría, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que

permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema, esa

magnitud es conocida como hamiltoniano del sistema. Si, además, la energía

cinética es una función sólo del cuadrado de las velocidades generalizadas (o lo

que es equivalente a que los vínculos en el sistema sean esclerónomos, o sea,

independientes del tiempo), puede demostrarse que el hamiltoniano en ese caso

coincide con la energía mecánica del sistema, que en tal caso se conserva.

En mecánica newtoniana el principio de conservación de la energía, no puede

derivarse de un principio tan elegante como el teorema de Noether, pero puede

comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partículas en el caso

de que todas las fuerzas deriven de un potencial, el caso más simple es el de un

sistema de partículas puntuales que interactúan a distancia de modo instantáneo.

Aplicaciones de las leyes de conservación de la energía

Estrategia para resolver problemas

El siguiente procedimiento debe aplicarse cuando se resuelven

problemas relacionados con la conservación de la energía:

• Defina su sistema, el cual puede incluir más de un objeto y

puede o no incluir campos, resortes u otras fuentes de energía

potencial.

• Seleccione una posición de referencia donde la energía

potencial (tanto gravitacional como elástica) sea igual a cero, y

utilice esta posición en su análisis. Si hay más de una fuerza

conservativa, escriba una expresión para la energía potencial

asociada a cada fuerza.

• Recuerde que si la fricción o la resistencia del aire están

presentes, la energía mecánica no es constante.

Si la energía mecánica es constante, escriba la energía inicial total,

E = K + U, en algún punto como la suma de las energías cinética y

potencial. Después escriba una expresión para la energía final total, E = K +

U en el punto final. Puesto que la energía mecánica es constante, iguale las

energías totales y despeje la incógnita.

Si se presentan fuerzas externas o de fricción (en cuyo caso, la energía

mecánica no es constante), escriba primero expresiones para las energías

inicial total y final total. En este caso, la energía total difiere de la energía

inicial total, y la diferencia es la cantidad de energía disipada por fuerzas no

conservativas. Es decir, aplique la ecuación Ext f (K + U) + Δ K + Δ K = (K +

U).

Partiendo de la Segunda Ley de Newton ("La resultante de las fuerzas que actúan

sobre un cuerpo de masa m, es directamente proporcional y tiene la misma

dirección y sentido que la aceleración que produce") podemos definir dos

conceptos importantes para el análisis del movimiento, como son el impulso y la

cantidad de movimiento que posee un cuerpo.

Supongamos que analizamos a un lanzador de bala durante la ejecución de un

lanzamiento, y que este se realiza sobre una plataforma especial que permite

medir la intensidad y registrar el tiempo durante el cual actúan las fuerzas que se

ejercen contra ella.

En la figura podemos observar el registro de las componentes horizontales de las

fuerzas que se ejercen contra el suelo, considerando como positivas a aquellas

que tienen la dirección del lanzamiento, y negativas en caso contrario.

Conclución:

Concuimos que las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las

velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo

rígido. Y se observó que, en un movimiento de este tipo, todos los puntos del

cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante

dado.