unidad 4 proporcionalidad
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Miss: Joscelyn MeloCurso: 7°
Colegio Inglés WoodlandDpto. de matemáticaEducación Básica
UNIDAD 4PROPORCIONALIDAD
RazónDos amigos recolectan latas de bebidas como una manera de juntar dinero para una campaña de beneficencia. Matías juntó 50 latas, y Francisco, 100
Las cantidades de latas que recolecta cada uno de estos amigos se pueden comparar por diferencia o por cociente
Por diferencia:Francisco recolectó: 50 latas más que Matías, ya que 100 - 50=50.
Matías recolectó: 50 latas menos que Francisco, ya que 50 - 100= - 50.
Por cociente:Francisco recolectó el doble de latas que Matías, ya que 100/50=2.
Matías recolectó la mitad de latas que Francisco, ya que 50/100=-1/2.
Para GrabarUna razón es una comparación entre dos cantidades mediante la división. El cociente de esta división se denomina valor de la razón.
La razón entre a y b se escribe:
En ambos casos se lee “a es a b”. Además, a:b es distinto que b:a.
Ejemplo:Si en una fiesta hay 20 mujeres y 5 hombres, la razón entre la cantidad de mujeres y hombres es:
Esta se leen “20 es a 5” y su valor es 4.
b
aba o :
5
20 o 5:20
La razón entre 5 y 30.
Notación: Se lee:
“5 es a 30”
EjercitaRepresenta en cada caso la razón pedida, escribe su notación y la forma en que se lee. Observa el ejemplo.1
30
5 o 30:5
b. La razón entre el precio que pagó Catalina y el que pagó Javier por la compra de un pendrive. Si ellos pagaron $ 10.000 y $8.500, respectivamente.
a. La razón entre las masas corporales de dos personas, una de 56 kg y otra de 55 kg.
Calcula el valor de cada razón y exprésalo como número decimal.2
Analiza el siguiente enunciado y luego responde las preguntas.3
“En el curso de Rodrigo hay 15 hombres y 26 mujeres”
a. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el de hombres del curso de Rodrigo?
b. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de hombres y el total de estudiantes del curso de Rodrigo?
c. ¿Cuál es la razón entre el número total de estudiantes del curso y el total de mujeres?
24
12 a.
3:01 b.
144
24 c.
100:52 d.
12
3 e.
0,2:1 f.
0,25:0,5 g.
70
9,4 h.
3,0
2,1 i.
Analiza la situación que se plantea a continuación y luego responde.4
En el taller de básquetbol de un colegio, conformado por 40 jóvenes, la cantidad de balones por número de estudiantes se relaciona según la tabla.
Balones por estudiantes
Cantidad de balones
Números de estudiantes
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
6 24
7 28
a. ¿Cuál es el valor de la razón entre la cantidad de balones y el número de estudiantes?
_______________________________________
b. ¿Cuántos balones se utilizan en este taller?_______________________________________
c. ¿Cuántos balones más se necesitarían si ingresan 8 nuevos jóvenes al taller, de forma que la razón entre el número de balones y la cantidad de personas se mantenga?_______________________________________________________________________
ProporcionesLas edades de una niña y su madre son, respectivamente, 9 y 36 años. La madre dice: “Por cada uno de tus años yo tengo 4”. La niña responde: “No, mamá. Por cada 3 de mis años tu tienes 12”. ¿Quién está en lo correcto?
La niña y su madre están en lo correcto, ya que sus afirmaciones son equivalentes. Al comparar los valores de las razones asociadas se tiene que:
“Por cada uno de tus años yo tengo 4”:
“Por cada 3 de mis años tú tienes 12”:
Años de la hija:
Años de la madre:
Años de la hija:
Años de la madre:
25,04
1
25,04
1
12
3
correcto. loen están ambas ,4
1
12
3 como tanto,loPor
Para GrabarUna proporción es una igualdad entre razones. Si los valores de dos razones son iguales, entonces forman una proporción.
Valores extremos
Valores medios
En ambos casos se lee “a es a b como c es a d”
a : b = c : d
:entonces iguales,son y razones las de valoreslos sid
c
b
a
c:da:bd
c
b
a o
Ejemplo:En un curso de 45 estudiantes, 9 participarán en un concurso científico que prepara su colegio.
Propiedad fundamental de toda proporción:
En toda proporción, el producto de los valores extremos es equivalente al producto de los valores medio
5
1.
45
9 :proporción siguiente laformar puede sey
45
9 :es curso del totalely concurso elen participa que sestudiante de número el entrerazón La
dcbad
c
b
a
5·31·15 :que ya , verdaderaes 15
3
5
1 igualdad La
EjercitaAplica la propiedad fundamental de las proporciones y determina si cada par de razones forman una proporción.1
Razones Propiedad fundamental Respuesta
18
10
9
5 y
4
18
3
16 y
07,0
7
001,0
1,0 y
Calcula en cada proporción el valor de x. Observa el ejemplo2
Razones Propiedad fundamental Solución
10
2
15 y
x
10
2
15
x
2
15x
10
5
4 yx
5
20
10
xy
12603 :, y x:
Resuelve los siguientes problemas.3
a. La razón entre niños y niñas es 4:5. si hay 20 niños, ¿Cuántas niñas son?
b. La razón entre mesas y sillas de una oficina es 2:12. si hay 16 mesas, ¿Cuántas sillas hay?
c. La razón entre la edad de un padre y su hijo es 8:2. Si el padre tiene 40 años, ¿Cuántos años tiene el hijo?
Identifica en cada caso si en las variables es posible establecer una proporción. Justifica.
4
a. La cantidad de años de una persona y la cantidad de sus familiares.
________________________________________________________________________________________________________________________________
b. El número de kilógramos de azúcar y el espacio que ocupan en un supermercado.______________________________________________________________________________________________________________________________________
c. Horas de estudio para la prueba de matemática y la calificación obtenida.______________________________________________________________________________________________________________________________________
d. El número de los asistentes a un cine el día domingo y el dinero recaudado por el cine.______________________________________________________________________________________________________________________________________
Ayuda: Dos variables se relacionan de manera proporcional si para cada para cada par de valores es posible establecer una proporción.
Proporcionalidad directaCuatros amigos calculan que gastarán $60.000 por las entradas para un partido de fútbol. Si el número de amigos que asistirá al partido aumenta al doble, ¿Cuánto deberán gastar ahora?
Al aumentar al doble la cantidad de amigos, el dinero que deben pagar será el doble. Ocurre algo similar si el número de amigos se reduce a la mitad. Observa la tabla:
Gasto para un partido de fútbol
Costo total de las entradas ($) 30.000 60.000 120.000
Número de amigos asistentes 2 4 8
A medida que el número de asistentes aumenta, el costo aumenta
Por lo tanto, los 8 amigos deberán pagar $120.000 por las entradas.Además, con los valores de la tabla se pueden establecer las siguientes igualdades:
15.0008
120.000
4
000.60
2
000.30
Para GrabarDos variables (x e y) están en proporcionalidad directa si al aumentar (o disminuir) una en cierto factor, la otra aumenta (o disminuye) en el mismo factor. Es decir, el cociente entre sus valores relacionados es constante.
Ejemplo:Si el costo de 4 fotocopias es de $100, ¿Cuál es la mitad del valor de 2 fotocopias?
Al disminuir a la mitad la cantidad de fotocopias, el costo disminuye a la mitad, $50.
El gráfico que representa la proporcionalidad directa entre dos variables en una recta que pasa por el origen (0)
25.2
50
4
100 :que tienese Además,
constante)( , k kx
y
EjercitaInterpreta la información de cada tabla y determina si las magnitudes son directamente proporcionales. Verifica si el cociente entre ellas se mantiene constante.
1
Hora en un estacionamiento
Número de horas Total a pagar ($)
1 630
2 1.260
3 1.890
4 2.520
5 3.150
Plan de telefonía celular
Precio ($) Número de horas
8.000 100
9.000 120
10.000 140
11.000 160
12.000 180
A.B.
Representa gráficamente la información de cada tabla. Luego, indica si las magnitudes presentes son directamente proporcionales.
2
Perímetro de un cuadrado
Medida del lado (cm) Perímetro (cm)
0 0
2 8
3 12
4 16
5 20
Archivos en un disco duro
Capacidad (GB) Cantidad de archivos
0 0
80 16
160 32
240 48
320 64
Y
XO
Y
XO
Perímetro de un cuadrado
Archivos en disco duro
A.
B.
Identifica si en las siguientes situaciones las magnitudes son directamente proporcionales. Justifica.
3
a. La cantidad de estudiantes ordenando los libros de la biblioteca y el tiempo que demoran en hacerlo.
________________________________________________________________
b. El lado de un cuadrado con respecto a la medida de su superficie.________________________________________________________________
c. La longitud de los lados de un rectángulo con respecto a su perímetro._______________________________________________________________
Resuelve los siguientes problemas.4
a. Tres poleras del mismo tipo cuestan $17.970. ¿Cuánto se pagará por 10 de ellas?
b. Un poste de 6 metros de longitud genera una sombra de 1,2 metros. ¿Cuál será la altura de un edificio que a la misma hora origina una sombra de 6 metros?
Proporcionalidad inversaUn criador de perros de raza dachshund le da 200 gramos de pellets diarios a cada uno de sus perros. Si se cuenta con 3 kilógramos, ¿para cuántos días alcanza el alimento si tiene 2 perros dachshund?
Para calcular el número de días se debe dividir el total de gramos de pellets con los que se cuenta (3.000 g) por la cantidad de gramos que consumen 2 perros (400 g).
Duración de alimento para perros
Cantidad de perros Números de días
1 15
2 7,5
3 5
4 3,75
5 3
A medida que la cantidad de perros aumenta, los días que durará el alimento disminuye.
Además, al multiplicar los valores relacionados de cada variable, el producto se mantiene constante. Es decir
153 · 53,75 · 45 · 37,5 · 21·15
Para GrabarDos variables (x e y) están en proporcionalidad inversa si al aumentar (o disminuir) una en un factor, la otra disminuye (o aumenta) en un factor igual al recíproco del aumento (o disminución) de la primera magnitud o variable considerada. Es decir, el producto entre sus valores relacionados es constante.
Un automóvil que viaja con una rapidez constante de 100 km/h demora, entre un pueblo y otro, 4 horas. ¿Cuántos demoraría si por un desperfecto viaja de forma constante a solo 50 km/h?
Respuesta: al disminuir a la mitad la rapidez, el automóvil demorará el doble de tiempo, es decir 8 horas, ya que:
100 ∙ 4 = 50 ∙ y y = 50
Ejemplo: constante)( , k kyx
El gráfico que representa la proporcionalidad inversa entre dos variables es una curva que no pasa por el origen (O) y no intersecta los ejes
EjercitaInterpreta la información de cada tabla y determina si las magnitudes son inversamente proporcionales. Verifica si el producto entre sus valores es constante.1
Tiempo en realizar una obra
Cantidad de trabajadores
Número de días
1 120
2 60
3 40
4 30
5 24
Entadas sin vender de un partido de fútbol
Número de asistentes Cantidad de entrada si vender
1.500 7.500
3.000 6.000
4.500 4.500
6.000 3.000
12.000 180
A. B.
Representa gráficamente la información de cada tabla. Luego, indica si las magnitudes involucradas son inversamente proporcionales.
2
Venta de manzanas
Precio ($) Cantidad de manzanas
12 15
15 12
18 10
20 9
Gasto mensual de luz
Cantidad de ampolletas Gasto ($)
9 1.800
8 1.600
7 1.400
6 1.200
5 1.000
Y
XO
Y
XO
Venta de manzanas
Gasto mensual de luz
A.
B.
Identifica si en las siguientes situaciones las magnitudes son inversamente proporcionales. Justifica.
3
a. Número de estudiantes en un campamento y la cantidad de carpas que usarán.___________________________________________________________________
b. Tiempo que tarda un auto en recorrer cierta distancia y su velocidad.___________________________________________________________________
c. Cantidad de pintura que se debe utilizar para pintar un muro y la superficie de este.____________________________________________________________________
Resuelve los siguientes problemas.4
a. Rodrigo puede comprar 7 entradas para el cine si cada una de ellas cuesta $2.800. ¿Cuántas podrá comprar si las entradas suben a $3.920?
b. Una casa puede ser construida en 28 días con 60 hombres trabajando todos por igual una determinada cantidad de horas diarias. ¿Cuántos hombres se necesitarían para construir la casa en 12 días en la misma condiciones?
PorcentajeEl 20% de los estudiantes de un curso obtuvo la calificación máxima en la prueba de Matemática. Si 40 estudiantes rindieron la prueba, ¿Cuántos obtuvieron la calificación máxima?
El 20$ de los 40 estudiantes que rindieron la prueba es equivalente a calcular el producto
Representa el 20% Cantidad a la cual se le calcula el porcentaje pedido.
Por lo tanto, 8 de los 40 estudiantes que rindieron la prueba lograron el puntaje máximo
¿Cuál es el valor de la razón entre el número de estudiantes que obtuvo el puntaje máximo y el total de ellos?¿Tiene relación este resultado con el porcentaje pedido ?
8100
80040
100
20
Para GrabarEl porcentaje se refiere al número de partes que cumplen con una característica de un total de 100. en otras palabras, si hubiese 100 elementos, cuántos tienen la característica. El porcentaje es un caso particular de proporcionalidad directa
Ejemplo:El 20% de 40 como proporción: Cantidad Porcentaje
a 20
40 100
Cálculo del 20% de 40:
100
20
40
a
8100
800
100
4020
a
8405
140
100
20a
8402,0 a
EjercitaCalcula los siguientes porcentajes. 1
a. 25% de 50.
b. 20% de 2.430.
c. 3% de 15.
Calcula lo que se pide en cada caso. 2
a. ¿Qué porcentaje es 205 de 1.000?
b. ¿ Qué porcentaje es 15 de 105?
c. ¿ Qué porcentaje es 50 de 25?
d. ¿De qué cantidad 20 es el 5% ?
e. ¿ De qué cantidad 12,3 es el 4%?
f. ¿ De qué cantidad 57,6 es el 120%?
Resuelve los siguientes problemas. 3
a. Andrea coopera con el 30% de su sueldo mensual para los gastos de su casa. Si gana $360.0000, ¿Cuánto dinero aporta en tres meses?
b. De los 42 estudiantes de un séptimo básico, 36 están registrados en facebook. ¿Que porcentaje de los estudiantes del curso no lo están?
c. El 15% de los integrantes de una familia son escolares. ¿Cuántas personas componen la familia si tiene 3 escolares?
d. Un televisor cuesta $250.000. Si una persona lo compra en cuotas terminará pagando $400.000. ¿en qué porcentaje aumentó el costo del televisor?
Evalúa los procedimientos para resolver el problemas planteado a continuación y determina cual de ellos es incorrecto. Justifica
4
Unos jeans que tenían un costo de $25.000 se están liquidando con una rebaja del 30%. Luego de un tiempo, el valor del jeans aumentó en 30%. ¿Cuál es el precio actual del jeans?
Procedimiento 1:
El 30% del valor del jeans es 0,3 $25.000= $7.500, por lo que ∙queda a un precio de rebaja de $25.000-$7.500=$17.500. Si luego se aumenta el precio en un 30%, el jeans quedará en el valor de original de $25.000.
Procedimiento 2:
El precio del jeans luego de la rebaja del 30% es 0,7 $25.000= $17.500, y el ∙precio luego del aumento del 30% es: 1,3 $17.500= $22.750.∙
Aplicaciones de porcentajeEl Índice del Precio al Consumidor, IPC, es una variación en los precios de una cesta definida de productos
En la cesta o canasta utilizada en diciembre del 2008 se consideraron algunos de los siguientes bienes y servicios:
Algunos bienes y servicios presentes en la canasta
Alimento
Vestuario y calzado
Equipamiento de la vivienda
Salud
Transporte
Comunicaciones
Recreación y cultura
Educación
Para GrabarUna aplicación del porcentaje corresponde al Índice de Precios al Consumidor (IPC). Este índice mide la variación de los precios de una canasta de bienes y servicios consumida por un hogar.
Ejemplo:Los trabajadores de una empresa recibirán un bono según la variación anual del IPC. Si el sueldo de un trabajador fue de $350.000 y la variación del IPC fue de un 5%, ¿Cuánto recibirá de sueldo ese trabajador?
Por lo tanto, ese trabajador recibirá $367.500
500.17$100
5000.350$ 1
500.367$500.17$000.350$ 2
EjercitaAnaliza la siguiente información. Luego, responde.
1
Cuando se hace el cálculo del IPC y el INE(Instituto Nacional de Estadística) informa el porcentaje de variación del costo de la cesta respecto del mes anterior, este puede ser positivo, negativo o cero. Si el valor es positivo, el costo de la canasta es mas caro. Por el contrario, si su valor es negativo, el costo es mas barato; en el caso de que sea cero, se puede decir que el costo de la canasta no ha variado.
a. ¿En qué meses se obtuvo el IPC negativo?
b. ¿Qué mes se registró el IPC más alto?
c. ¿En qué meses del año el IPC tiene sus mayores alzas respecto del mes anterior?
Resuelve los siguientes problemas.2
a. En una empresa reajustan anualmente los sueldos de sus empleados de acuerdo con la variación anual del IPC. Si un año el IPC es de 5,3%, ¿Cuál será el nuevo sueldo de un empleado que ganaba $485.000?
b. Si el Índice de Precios al Consumidor (IPC) tiene una variación de 0,6% y una familia en promedio, gasta $500.000, ¿En cuánto dinero se podría estimar el gasto familiar si su consumo se mantiene respecto del mes anterior?
c. Al raíz de una sequia, alimentos como las verduras experimentaron un alza considerable en sus precios, con lo que el IPC se incrementó aproximadamente en 2% entre el mes de marzo y abril. Si una familia gastó aproximadamente $50.000 en verduras el mes de marzo, ¿en cuánto aumentará su gasto el mes de abril si mantienen su gasto en ese ítem?
d. Producto de una crisis financiera, el IPC tuvo una variación negativa de 0,8% entre marzo y mayo de un mismo año. Si una familia gastó en marzo $580.000, ¿Cuánto menos se puede estimar que gastará en mayo si consume aproximadamente los mismos bienes y servicios que en el mes de marzo?