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Unidad 4. PROGRAMACIÓN LINEAL

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Leonid Vitálievich Kantoróvich, en cirílico ruso Леонид Витальевич Канторович (San

Petersburgo, 19 de enero de 1912 -Moscú, 17 de abril de 1986) fue

un economista, matemático e ingeniero soviético que dirigió el Instituto de Matemáticas de

laURSS (1948-1960) y el Instituto de Control de la Economía Nacional (1971-1976). Fue galardonado

con el Premio Nobel de Economía en 1975 junto a Tjalling Koopmans por sus teorías sobre la

asignación óptima de recursos escasos.

Se lo considera uno de los creadores del método de programación lineal para la optimización de

recursos en la planificación. Algunas de sus obras son: Métodos matemáticos para la organización y

la producción (1939), Sobre la transferencia de masas(1942), La asignación óptima de

recursos (1959) y Solución óptima en economía (1972).

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Unidad 4. PROGRAMACIÓN LINEAL

1.- Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. 2.- Formulación de un problema de programación lineal. 3.- Resolución de un problema de programación lineal. 4.- Resolución gráfica de un problema de programación lineal. 5.- Actividades de ttutoría. 6.- Programación lineal en PAUU-Galicia

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1.- SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Definición: Un sistema de m inecuación lineales es un conjunto de m inecuaciones lineales con las mismas incógnitas.

Definición: Una solución de un sistema de inecuaciones lineales es un par de valores que hacen que se verifiquen todas las inecuaciones.

Resolución de un sistema de inecuaciones con dos incógnitas: Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas recurriremos a métodos gráficos, representando en el mismo sistema de coordenadas el conjunto de soluciones de cada una de las inecuaciones. El conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones lineales será la intersección de todos los semiplanos solución de las diferentes inecuaciones. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

1º Despejar la incógnita en todas las inecuaciones, teniendo en cuenta que si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo hay que cambiar el sentido de la desigualdad.

De esta manera el sistema de inecuaciones se ha transformado en

2º Representar en un mismo sistema de coordenadas las rectas que resultan de cambiar los

símbolos de desigualdad ( o ) por igualdadeds (=). Es decir, representar las rectas

, , .

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3º Cada una de las rectas divide al plano en dos semiplanos. Uno de ellos será el conjunto de soluciones de una inecuación. 4º El conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones es la intersección de los semiplanos solución de todas las inecuaciones. En el ejemplo, el conjunto de soluciones es la zona sombreada. Un ejemplo de solución puede

ser . Si cambiamos estos valores en las incecuaciones comprobaremos que se verifican todas:

Ejercicios propuestos

Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

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2.- FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Las 20 alumnas y los 10 alumnos de un curso necesitan dinero para un viaje. Para conseguirlo piden trabajo en una empresa que contrata dos tipos de equipos: Equipos A, formados por un hombre y una mujer, y equipos B. formados por un hombre y tres mujeres. La empresa paga 30 €/h a cada equipo tipo A y 50 €/h a cada equipo tipo B.

¿Cómo deben organizarse para conseguir la mayor candidad de dinero posible?

Número de equipos tipo A:

Número de equipos tipo B:

En un problema de programación lineal con dos variables se trata de optimizar

(hacer máxima o mínima) un función denominada FUNCIÓN OBJETIVO, .

En el ejemplo lo que se desea es maximizar las ganancias por cada hora de trabajo.

Por tanto la función objetivo es

Dado que el número de personas es limitado, las variables e no puede tomar cualquier valor. El CONJUNTO DE RESTRICCIONES es el conjunto de ecuaciones o inecuaciones que deben verificar las variables.

En el ejemplo son las siguientes: 1º e deben ser números enteros y positivos

2º El número de hombres no puede ser mayor que 10

3º El número de mujeres no puede ser mayor que 20

Resumiendo, el problema de programación lineal consiste en maximizar la función

, con el siguiente conjunto de restricciones:

Las posibles soluciones serán el conjunto de soluciones del anterior sistema de

inecuaciones. Dicho conjunto se denomina REGIÓN FACTIBLE. Entre todas las posibles soluciones, la que optimice la función objetivo será la

SOLUCIÓN ÓPTIMA.

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3.- RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Para resolver un problema de programación lineal se debe proceder de la siguiente forma: 1.- CÁLCULAR LA REGIÓN FACTIBLE o, lo que es lo mismo, resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

2.- CALCULAR LOS VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE

Como los valores de e tienen que ser números enteros, consideraremos .

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3.- VALORAR LA FUNCIÓN OBJETIVO EN LOS VÉRTICES.

4.- SELECCIONAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA

La solución óptima se encuentra en el vértice de la región factible en el que la función objetivo alcanza el mayor valor (si se trata de maximizar).

En el ejemplo la solución óptima está en .

Solución óptima : 5 equipos A y 5 equipos B Valor máximo de la función objetivo: €

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4.- RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Para averiguar el vértice de la región factible en el que se encuentra la solución óptima,

sin necesidad de calcular todos los vértices, puede hacerse lo siguiente: 1º Representar la región factible. 2º Representar la recta . En nuestro ejemplo, representar . 3º Trazar rectas paralelas a la recta pasando por los vértices de la región factible. 4ª La solución óptima se encuentra en el vértice con la recta paralela con mayor ordenada en el origen, si se trata de maximizar, o con menor ordenada en el origen, si se trata de minimizar.

Recta que pasa por

Recta que pasa por

Recta que pasa por

Recta que pasa por

Por consiguiente, la solución óptima se encuentra en el vértice .

No es necesario calcular las ecuaciones de cada una de estas rectas; es suficiente con observar cuál de ellas es la que se encuentra “encima” o “debajo” si se tratase de minimizar la función objetivo.

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5.- ACTIVIDADES DE TUTORÍA

Página 114. Ejercicios 1, 3, 4, 10,11 Página 115. Ejercicios 13, 14, 15, 17 Página 116. Ejercicios 19, 22 Página 117. Ejercicios 1, 2, 4

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6.- PROGRAMACIÓN LINEAL EN PAAU-GALICIA

1.- (2013) Sexa a función suxeita ás restricións: , ,

,

(a) Representa a rexión R do plano determinado polo conxunto de restricións e calcula os seus vértices.

(b) Calcula os puntos de R onde a función alcanza os seus valores máximo e mínimo. 2.- (2013) O dono dunha tenda de fotografía desexa comercializar dous tipos de cámaras de fotos, A e B, cun prezo de venda ao público de 210 e 300 euros a unidade, respectivamente.

Para a compra de ambos os dous tipos dispón dun máximo de 2760 euros e fará o pedido a un almacén que lle cobra 120 euros por cada cámara do tipo A e 180 euros por cada cámara do B. O dono fará o pedido coa condición de que: polo menos 3 cámaras sexan do tipo A, entre 4 e 12 sexan do B e o número de cámaras do tipo A non debe superar en máis de tres unidades ao número de cámaras do tipo B.

(a) Formula o sistema de inecuacións asociado ao problema. Representa a rexión factible, calcula os seus vértices.

(b) ¿Cantas cámaras de cada tipo deberá adquirir para que os beneficios obtidos sexan máximos?

3.- (2012) Consideremos o seguinte sistema de inecuacións , , ,

.

(a) Representa graficamente a rexión factible e calcula os seus vértices.

(b) ¿En que punto ou puntos desa rexión alcanza os valores máximo e mínimo a función

4.- (2012) Considérase a función suxeita ás restricións: , ,

, , .

(a) Representa a rexión R do plano determinada polo conxunto de restricións e calcula os seus vértices.

(b) Calcula os puntos de R onde a función alcanza os seus valores máximo e mínimo. Calcula eses valores.

(c) Responde ao apartado anterior se se elimina a restrición do anterior conxunto de restricións

5.- (2011) Unha asesoría laboral ten na súa carteira de clientes tanto a empresas como a particulares. Para o próximo ano quere conseguir como clientes polo menos a 5 empresas e a un número de particulares que, como mínimo, debe de superar en 4 ao dobre do número de empresas. Ademáis, o número total de clientes anuais non debe superar os 40 clientes. Espera que cada empresa lle produza 800 euros de ingresos anuais e cada particular 600 euros anuais.

(a) Expresa as restriccións do problema. Representa graficamente a rexión factible e calcula os seus vértices.

(b) ¿Que solución lle proporcionaría os maiores ingresos anuais? ¿A canto ascenderían os ditos ingresos?

6.- (2011) Unha tenda de informática vende, entre outros produtos, ordenadores portátiles e impresoras, podendo almacenar un máximo de 150 unidades en total. Para atender a demanda dos seus clientes debe ter en stock polo menos 20 portátiles e polo menos 50 impresoras. Ademais, para lograr un prezo competitivo, o provedor esíxelle que o número de impresoras que merque ten que ser igual ou superior en 20 unidades ao número de portátiles.

(a) Formula o sistema de inecuacións asociado ao problema. Representa a rexión factible e calcula os seus vértices.

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(b) Se na venda de cada portátil obtén un beneficio de 80 € e na de cada impresora de 20 €, ¿cantas unidades de cada tipo debe vender para obter o máximo beneficio? ¿A canto ascende dito beneficio máximo?

7.- (2010) Unha empresa de transportes ten que trasladar bloques de granito dende unha canteira a un serradoiro de pedra. Para iso dispón dun máximo de 8 camións de tipo A e un máximo de 12 camións de tipo B. Cada camión de tipo A necesita un operario e pode transportar 24 toneladas de granito cun gasto de 150 euros, mentres que cada camión de tipo B necesita dous operarios e pode transportar 12 toneladas de granito cun gasto de 300 euros. Sábese que se necesitarán un mínimo de 15 operarios, que se transportarán un mínimo de 108 toneladas de granito e que o número de camións de tipo A utilizados non será superior ao número de camións de tipo B.

(a) Formula o sistema de inecuacións asociado ao problema. Representa a rexión factible e calcula os seus vértices.

(b) Calcula tódalas posibilidades que ten a empresa de distribuir os camións para minimizar o gasto

8.- (2010) Unha pequena empresa desexa contratar traballadores de dúas categorías laborais: I e II. Pretende que o número total de traballadores contratados non sexa inferior a 9 nin superior a 12 e, ademais, o número de traballadores da categoría I non poderá ser inferior ao dobre de traballadores da categoría II. O custo laboral dun traballador da categoría I está estimado en 1400 euros ao mes e o dun da categoría II en 1100 euros ao mes.

(a) Formula o sistema de inecuacións asociado ao enunciado. Representa graficamente a rexión factible e calcula os seusvértices.

(b) Calcula o número de traballadores de cada categoría laboral que a empresa debe contratar para minimizar os custos laborais mensuais.