TRIGONOMETRÍA

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Teoría y Práctica

DOCENTE: JUAN RAMÓN VALDEZ MUÑOZ

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

1. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es la reunión de dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes reales.

Ejemplos.

Son sistemas de inecuaciones lineales(o de primer grado) con una incógnita, los siguientes

2x - 5 < 1 4x – 8 ≥ - 4 3x – 2(4 - x) > 6x – 1 (x-3)² ≥ (x+1) (x – 5)

3x+8 > 5 2x – 8 < x - x ≤ 10 1+2(5-x) ≤ -5

x + 1> 0 2x – 3 >7

Como se resuelve un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.

Resolver un sistema de inecuaciones lineales es encontrar el conjunto solución del sistema que agrupa a todos los números reales que satisfacen todas las desigualdades del sistema.

Para encontrar el conjunto solución se siguen los siguientes pasos:

1°.Se halla el conjunto solución de cada inecuación.

2°.Se intersectan los conjuntos solución de esas inecuaciones y el resultado es el conjunto solución (C.S) del sistema.

Ejemplos:

Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:

2x+1 < 9 5+2(1-x) < 13 (2-x)(5-x)+x >3x²-2x(x+1)

1-3x < -2 2x-3(1+3x) ≤ 2(x-10) – 1 4(x-4)(x+4) ≥ (2x+3)² - 1

4x < 6+2(5+3x)

I) II) III) IV)

I) II) III)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:

2x+1 < 9

1-3x < -2

Resolución Resolvemos (I) Resolvemos (II)

2x+1 < 9 1-3x < -2

2x < 8 -3x < -3

x < 4 x > 1

s1 = <-∞;4> s2 = <1;∞>

Hallamos la intersección de s1 con s2:

-∞ 1 4 ∞

5+2(1-x) < 13

2x-3(1+3x) ≤ 2(x-10) – 1

Resolución

(2-x)(5-x)+x >3x²-2x(x+1)

4(x-4)(x+4) ≥ (2x+3)² - 1

4x < 6+2(5+3x)

Resolución

I)

II)

III)

s1 s2

PRÁCTICA N° 1

I. Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:

5 x−9>6 3 x+2<26

3 (1−x )<2−5 x

( x+4 )2>x2−8

x2+3x ≤ (x+1 ) ( x+4 )4 x ( x−2 )>(2 x+8 ) (2x−8 )

2 (5−x )>12

4 (3−2 x )≤2+2 x

−x (x+3 )≤18−x2

4−2 x< 12x+9

7−3 x< x2

x3> x−2

4

x (x−3 )≥ x2−15

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

DEFINICIÓN

Una inecuación lineal con dos incógnitas y coeficientes reales. Puede presentarse en las formas:

ax + by > c ax + by < c

ax + by ≥ c ax + by ≤ c

CONJUNTO SOLUCIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA

El conjunto solución de una inecuación lineal con dos incógnitas está determinado por todos los pares(x; y) de números reales que satisfacen la desigualdad.

Toda recta en el plano lo divide en dos regiones, una a cada lado de la recta, y cada una de estas regiones se llama un semiplano.

Ejemplo: 1. Representar gráficamente y ¿ x .

Resolución:

Primero trazamos la gráfica de la recta y = x. Esta recta es la frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen. La gráfica de y = x se ha trazado en línea punteada, pues, los puntos sobre ella, no se encuentran en el conjunto solución de y¿ x .

Para cualquier punto por encima de la recta como por ejemplo: ( -2; 3) ó ( 2;4) ,y es mayor que x. Para cualquier punto por debajo de la recta como (- 2; - 3) o ( 3 ; - 4), y es menor que x.

Por consiguiente, la gráfica de y < x es el semiplano bajo la recta fronteriza y = x, que se ha señalado coloreando dicho semiplano.

a, b, c є R

- 3 4 -

- 3

4 -

- 3- 20- 2

(2;4)

(-2;3)

(-2;-3)(-3;4)y=x

Y

X

Ejemplo. 2 trazar la gráfica de la desigualdad 2y - x - 6 ¿0

Resolución:

Método 1.

Despejando y obtenemos: y¿12

x + 3.

Trazamos la recta y = 12

x + 3 ; para cualquier punto por encima de la recta, el valor de y es

mayor que 12

x + 3. Por lo tanto, la gráfica de la desigualdad es el semiplano sobre la recta

junto a la frontera.

Método 2.

Trazamos la gráfica de la recta 2y �̶ x D 6¿0, siguiendo cualquier método. Para determinar cuál semiplano es la solución, probamos con algún punto que no se encuentra sobre la recta; el origen de coordenadas es un punto muy fácil de utilizar, entonces hacemos la prueba con ( 0;0 ) . Veamos:

2 y D x D 6 ¿0

2.0 D 0 D 6 ¿0

D 6¿0(falso)

Este enunciado falso nos indica que el par (0,0) no es solución de la desigualdad, por lo tanto, la solución será el semiplano que no contiene a (0;0).

Ejemplo. 3 trazar la gráfica de la desigualdad 6 x +3 y ≤4

Resolución:

-3

-6

Y < 12

+ 3

Y = 12

+ 3

Y > 12

+ 3

0 x

y

Usaremos el segundo método expuesto en el ejemplo anterior.

En primer lugar trazamos la gráfica de 6 x + 3 y =4 con línea continua ya que 6 x + 3 y =4 es parte de la solución.

Vemos que el origen no pertenece a la recta trazada, entonces probamos con (0;0) en la desigualdad .Así:

6 x + 3 y ≤4

6.0 + 3.0 ≤4

0 ≤4 (verdadero)

Este enunciado verdadero nos indica que el par (0;0) sí es solución de la desigualdad y por lo tanto la solución será el semiplano que contiene a (0;0).

Ejemplo. 4 representar gráficamente y ≥ 2

Resolución:

Graficamos la recta y = 2 que es paralela al eje x.

El conjunto solución es el semiplano donde se encuentran todos los pares (x;y) que satisfacen la desigualdad y ≥ 2

2/3

6X + 3y ≤ 4 6X + 3y = 4

y

x

2 Y=2

y

x

4/3

o

o

Ejemplo. 5 representar gráficamente x ¿ 4

Resolución:

Gráficamente la recta x = 4 que es paralela al eje y. Como x = 4 no pertenece al conjunto solución de x ¿ 4.

Ahora buscamos un punto cualquiera que no pertenece a la recta y verificamos si satisface la desigualdad x ¿4.

Por ejemplo, el punto x y

(0;0)

×<¿ 4

0 ¿4 (verdadero)

Entonces el conjunto solución es el semiplano que contiene al punto (0;0).

PRÁCTICA N° 2

1. Representa gráficamente el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

a) x+ y>2

b) y ≥x+3

c) x≥5

d) y−2<4

y

x

X=40

4o

e) x+ y< x− y2

3. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

DEFINICIÓN.

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más inecuaciones de primer grado, con dos incógnitas y coeficientes reales.

Ejemplos:

Son dos sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

I. x-2y > -8 II. y ≥ 3x-6 III. 2x+y ≤ 66x+3y ≥ 4 2x+3y ≤ 6 3x ≥ 4 y+12 y+3 > 0

Cómo se resuelve un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Gráficamente, el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas se obtiene representando la gráfica de cada desigualdad por separado sobre los mismos ejes y hallando luego la región de plano que resulta de intersectar las gráficas de cada una de dichas desigualdades.

Ejemplo: 1 representa gráficamente el conjunto solución del siguiente sistema.

2x + y > 4

3x - y ≥ 3

Resolución:

Primero graficamos los semiplanos correspondientes a cada inecuación, y luego intersectamos los semiplanos o conjuntos solución de las inecuaciones, superponiendo ambos gráficos. De esta forma, determinamos la región solución (S) del sistema.

4

2

-3

1

4

-3

21

2x+y>4

3x-y≥3

Ejemplo: 2 representa gráficamente el conjunto solución (S).Del siguiente sistema. Encuentra las coordenadas de los vértices de la región de plano que se forma.

x+3y ≥3

3y≤2x+ 6

x-5≤0

Resolución:

Vemos que el conjunto solución (S) del sistema es la región triangular ABC. Para encontrar las coordenadas de los vértices se resuelven las ecuaciones siguientes:

Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de C

Resolvemos:

x+3y = 3 3y = 2x+ 6

Se obtiene:

x = -1 ; y = 4/3

Luego:

A = (; )

Resolvemos:

3y = 2x+ 6 x - 5 = 0

Se obtiene:

x = 5 ; y = 16/3

Luego:

B = (; )

Resolvemos:

x - 5 = 0 x+3y = 3

Se obtiene:

x = 5 ; y = - 2/3

Luego:

C = (; )

PRÁCTICA N° 3

1. Determine gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas.

a) x− y ≥3 b) x+ y<3 2 x+ y<4 −2≤x ≤4

4. PROGRAMACIÓN LINEAL.

INTRODUCCIÓN.

Hasta el momento hemos aprendido procedimientos para graficar sistemas de desigualdades lineales. Ahora aplicaremos algo de estos conocimientos a lo que se llama programación lineal, que es una técnica matemática que se utiliza para resolver problemas en que se desea optimizar (al máximo o al mínimo). Las aplicaciones de este procedimiento se encuentran en muchas áreas, incluyendo los negocios. Fuerzas armadas. Por ejemplo, se puede crear un modelo para maximizar ganancias o minimizar costos, dados los límites de producción las restricciones de tiempo, o la ubicación específica de los recursos.

Para resolver un problema mediante esta técnica, es necesario determinar la función objetivo y el conjunto de restricciones lineales.

LA FUNCIÓN OBJETIVO: Es la representación algebraica de la situación que se busca optimizar.

Esta función objetivo se designa como: F(x;y) = ax + by ; a,b ∈IR

.El conjunto de restricciones lineales: Son las variables que intervienen en la función objetivo, asociada a un sistema de inecuaciones lineales.

Cómo resolver un problema de optimización.

Ejemplo:

Supongamos que deseamos hallar los valores (x;y) que optimizan la función objetivo: F(x;y) = x + y

Sujeta al siguiente conjunto de restricciones lineales: - x + y ≤4 y ≥ 2 2x + y ≥ 10 2x + y ≤ 22

Para determinar la solución del problema se siguen los siguientes pasos:

1°.Graficamos las cuatro rectas correspondientes y coloreamos la región R definida por ellas. Esta región se llama región factible.

2°.A continuación determinamos las coordenadas (si es que las hay) de los vértices de la región factible. Veamos:

3°.Para hallar los valores óptimos (máximo y mínimo) aplicamos el siguiente teorema fundamental:

Teorema fundamental

“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse en uno de los vértices de la región factible”.

Entonces se reemplazan los valores (x;y) de cada vértice de la región factible en la función objetivo. Veamos:

4°.Se selecciona el vértice que determine el valor óptimo.

Las coordenadas de este vértice son los valores que optimizan el problema, es decir, el par (x;y) es la solución del problema. Entonces:

El par (4;2) es el que proporciona el valor mínimo de la función, siendo este valor igual a 6.

El par (6;10) es el que proporciona el valor máximo de la función, siendo este valor igual a 16.

Vértice (x;y)

PuntuaciónF(x;y) = x + y.

A(4;2) F(4;2) = 4 + 2 = 6 B (2;6) F (2;6) = 2 + 6 = 8 C (6;10) F (6;10) = 6 + 10 = 16 D(10;2) F (10;2) = 10 + 2 = 12

Valor mínimo

Valor máximo

Problema.1

En una prueba hay preguntas del tipo A que valen 20 puntos y del tipo B que valen 30 puntos. El tiempo para contestar una pregunta del tipo A es 4 minutos y para una del tipo B es 8 minutos. El tiempo máximo permitido para la solución es de 96 minutos, y no se puede contestar más de 18 preguntas. Suponiendo que un alumno contesta sólo respuestas correctas, ¿cuántas preguntas de cada tipo deberá resolver para obtener la calificación máxima?

Resolución:

Sea x = número de preguntas del tipo A.

y = número de preguntas del tipo B.

T(x;y) = puntuación total obtenida por el alumno en función de x e y

Según datos:

T(x;y) = 20x + 30y (esta es la función objetivo)

Número total de respuestas permitidas: no más de 18, entonces:

x + y ≤18

Tiempo, no más de 96 minutos:

4x + 8y ≤ 96

Se sobreentiende que:

Número de preguntas del tipo A: no negativo x≥0

Número de preguntas del tipo B: no negativo y≥0

Ahora representamos gráficamente el sistema de desigualdades (conjunto de restricciones lineales):

x + y ≤ 18 4x + 8y ≤ 96 x ≥ 0 y ≥ 0

Evaluamos los vértices de la región factible. Veamos:

Por lo tanto:La puntuación máxima es 420 puntos y para lograrla deberá resolver 12 preguntas del tipo A Y 6 preguntas del tipo B. Problema. 2Una empresa fabrica dos modelos de cámaras fotográficas: A y B. El modelo A deja ganancias de $ 50 por unidad y el modelo B de $ 40 por unidad. Para cumplir con la demanda diaria, la empresa debe producir un mínimo de 200 cámaras del modelo A y un mínimo de 120 cámaras del modelo B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de 450 cámaras fotográficas, ¿cuántas de cada modelo se deben producir para maximizar las ganancias?

Resolución: Sea x = número de cámaras modelo A, producidas diariamente. y = número de cámaras modelo B, producidas diariamente.

Vértice (x;y)

Puntuación T(x;y) = 20x + 30y.

(0;0) T (0;0) = 20.0 + 30.0 = 0 (0;12) T (0;12) = 20.0 + 30.12 = 360 (12;6) T (12;6) = 20.12 + 30.6 = 420 (18;0) T (18;0) = 20.18 + 30.0 = 360

Como 50x es la ganancia diaria al vender "x" cámaras modelo A y 40y la ganancia diaria alvender "y"cámaras del modelo B, entonces la función objetivo que nos da la ganancia total total por día es: G(x;y) = 50x + 40y

La condición de que el número de modelos A producidos diariamente debe ser como mínimo 200, se traduce en la desigualdad x ≥ 200. Igualmente; y ≥ 120.También; la condición de que la producción diaria total no debe pasar de 450 cámaras se traduce en x + y ≤ 450.

Hemos llegado al siguiente conjunto de restricciones:

x + y ≤ 450

x ≥ 200

y ≥ 120

Para encontrar la región factible R dibujamos primero las tres rectas x = 200; y = 120x +y = 450. A continuación empleamos las desigualdades para determinar el coloreado de R, cuyos vértices tienen las coordenadas que se indican:

Evaluamos los vértices.

Los resultados de la tabla nos muestran que la ganancia diaria máxima es $ 21 300 y se da cuando se producen 330 cámaras de modelo A y 120 del modelo B.