Geometra Analtica.....Unidad 2 Unidad 3 Coordenadas Polares Seccin 3.1 El Sistema de Coordenadas Polares. Se trata de un nuevo sistema de coordenadas, diferente al que hemos empleado hasta ahora. Definicin Hasta el momento hemos fijado la posicin de un punto en el plano cartesiano mediante pares ordenados (x,y) que son las distancias a dos rectas perpendiculares, en ocasiones es preferible, hacerlo en funcin de su distancia a un punto fijo y de la direccin con respecto a una recta fija que pase por este punto. Las coordenadas de un punto en esta referencia, se llaman coordenadas polares. Consideremos la siguiente figura:

Sea un punto fijo del plano O, al cual se le llama polo, y la recta horizontal que pasa por el polo se llama eje polar. Las coordenadas polares de un punto P se representan por (r, ), siendo r = distancia dirigida desde O a P y = ngulo desde el eje polar a OP. El ngulo es positivo cuando se mide sentido antihorario y negativo en caso contrario. Ejemplo 1. Representar los puntos cuyas coordenadas polares son P 1(2, P2(3,

6 ), P3(-2,

) Solucin: 6

4 ),

FJDM..004D..010D..014D 1

Geometra Analtica.....Unidad 2 RELACIN ENTRE LAS COORDENADAS RECTANGULARES Y POLARES Consideremos el punto (r, ) y supongamos que coincide el eje polar con el eje X y el polo O con el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Sean (x , y) las coordenadas rectangulares del mismo punto P, como se indica en la figura siguiente

Del tringulo anterior se obtiene:

Dado un punto de coordenadas polares P(r, ), sus coordenadas rectangulares P(x, y) son: x = r cos e y = r sin . Ejemplo 2. Hallar las coordenadas rectangulares de los puntos con coordenadas polares P1(-2, 5 Solucin: Para P1(-2, 5

6 ) y P2(3,

4 ). 3

6

), tenemos que x = r cos = 2 cos sen

y = r sen = 2

5 = 2 ( ) = 1, por tanto las coordenadas 6

5 =2( 3 )= 2 6

3

rectangulares del punto son P1( 3 ,1). 4 Para P2(3, 4 ), x = 3 cos = 3 () = 3/2

3

3

FJDM..004D..010D..014D 2

Geometra Analtica.....Unidad 24 3 3 = 3 ( 3 ) = , por tanto las coordenadas rectangulares 2 3 23 3 ). 2

Y = 3 sen

del punto son P2( 3/2,

Para pasar de coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, ) han de usarse lasy y r = x2 + y2 x Ejemplo 3. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P(1, - 3 ) , determinar las coordenadas polares del mismo.

ecuaciones: = ang tan

Solucin:r= x2 + y2 = 1+ 3

(

)

2

= 4 =2

= ang tan

y = ang tan 3 = -60 por lo tanto las coordenadas polares del x

punto son P(2,-60 ). Distancia entre dos puntos en coordenadas polares

De la figura conocemos 2 lados del triangulo y el ngulo que forman, el tercer lado lo calculamos usando el teorema del coseno. d2 = (P1P2) 2 = r21 + r22 2r1r2 cos(2 1) Ejemplo 3. Hallar la distancia entre los puntos P1(6, 15) y P2(8, 75) Solucin: d =6 2 +8 2 2(6)( 8) cos( 75 0 15 0 ) = 36 + 64 96 (1 2) = 2 3

4. Dada la ecuacin polar r(3 2 cos ) = 2. Obtener la ecuacin cartesiana de la curva.

FJDM..004D..010D..014D 3

Geometra Analtica.....Unidad 2x 2 + y 2 , si aplicamos estas Solucin: sabemos que x = r cos y r = ecuaciones de cambio a la ecuacin polar dada tenemos: 2 2 r(3 2 cos ) = 2 3r 2r cos = 2 3 x + y = 2x + 2, elevando al cuadrado ambos miembros queda: 9(x2 + y2) = 4x2 + 8x + 4, simplificando y ordenando resulta: 5x2 + 9y2 8x 4 = 0, que es la ecuacin buscada.

5. Obtener la ecuacin polar de la curva cuya ecuacin es 3x + 4y + 1 = 0. Solucin: sabemos que x = r cos e y = r sen sustituyendo en la ecuacin cartesiana dada queda: 3(r cos ) + 4(r sen ) + 1 = 0 3r cos + 4r sen +1 = 0 r(3cos + 4sen ) = -1 Problemas para resolver: Parte I A continuacin se dan los puntos en coordenadas polares calcular sus coordenadas cartesianas. Coordenadas Polares 3 a) P(4, )6 5 b) P(-1, ) 4

Resp en Coordenadas Cartesiana P(0, 4) P( 2 , 2

c) P(4,

3

2

2

)

)

P(2, 2

3)

d) P( 2 , 2,36)

P(-1,004; 0,996)

Parte II A continuacin se proporcionan puntos en coordenadas cartesianas calcular sus correspondientes en coordenadas polares. Coordenadas Cartesianas a) P(1, 1) b) P(-3, 4) c) P ( 3 , 3 ) d) P(4, 6) Res Coordenadas Polares P(

(

2,

4

)

P(5, 2,214 ) P

(

6 , 5

4

)

P( 2 2 , 0,983)

Parte III Calcular la distancia entre los pares de puntos siguientes, expresando el resultado con una cifra decimal.

FJDM..004D..010D..014D 4

Geometra Analtica.....Unidad 2 a) P1(5, 45) b) P1(-5, -120) c) P1(50, 30) d) P1(3, 150) y y y y P2(8, 90) P2(4, 150) P2(50, -90) P2(-2, 60) R: 5,7 R: 6,4 R: 86,6 R: 3,6

Parte IV Determinar las ecuaciones polares correspondientes a las ecuaciones cartesianas que se indican. a) x 2 + y 2 = b b) 2x2 + 2y2 + 2x 6y + 3 = 0 c) x 2 y 2 = b d) x2 + y2 2y = 0 R: r = b R: 2r2 2r cos 6r sen + 3 = 0 R: r2 cos 2 = b R: r = 2 sen correspondientes a las ecuaciones

Parte V Determinar las ecuaciones cartesianas polares que se indican. a) r = 4 sen b) r r cos = 4 c) r = d) r = 2 sec2 (/2)2 2 cos

R: x2 + y2 4y = 0 R: y2 8x 16 = 0 R: 3x2 + 4y2 4x 4 = 0 R: y2 = 4x3

FJDM..004D..010D..014D 5