unidad 2 progamacion numerica
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Ing. Mecatronica IV Semestre
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Vázquez Mendoza Héctor Manolo
Especialidad:
Ingeniería en Mecatronica
Asignatura:
Programación Numérica
Profesor:ISC. César Arnoldo Solís Silva
Título del trabajo:
Funciones Enteras y Diferencias Finitas
Criterio de Evaluación:
Unidad 2
Alumno (a) s:
Héctor Manolo Vázquez Mendoza
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Índice
2. Funciones Enteras y Diferencias Finitas…………………………………….…………….3
2.1. Aplicaciones de Productos……………………………...……………………… .………..5
2.2. Aplicaciones de Sumatorias……………………………………………………… .……...9
2.3. Cálculo Diferencial Aplicado al Cálculo de Diferencias………………………………11
2.4. Operadores en General………………………………………………………………….13
2.5. Operadores……………………………………………………………………………..… 16
2.5.1. Sigma………………………………………………………………………...… ..16
2.5.2. Nabla…………………………………………………………………………… ..17
2.5.3. Delta………………………………………………………………………...…… 18
2.5.4. Corrimiento…………………………………………………………………..…..18
2.6. Ecuaciones Recursivas Homogéneas………………………………………………….19
2.7. Raíces de la Ecuación Característica……….………………………………………….21
Ejersicios………………………………………….…………………………………………….23
Bibliografía………………………………………….………………………………………..…25
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2. FUNCIONES ENTERAS Y DIFERENCIAS FINITAS.
FUNCIONES ENTERAS
Una función w (z ) se dice que es entera si es analítica en todo el plano excepto en
Ejemplos de esta clase de funciones son: y , puesto que tienen derivadas
múltiples en todo el plano excepto en .
Esta clase de funciones tiene propiedades interesantes como la siguiente:
Todas las funciones enteras w (z ) con ceros preestablecidos en los puntos
se escriben de la forma general
donde g (z ) es una función entera arbitraria y P v (z ) se define de la siguiente forma:
y |a v | debe ser dos veces mayor o igual que el círculo de convergencia de P .
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DIFERENCIAS FINITAS
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f (x + b ) − f (x +a ). Si una
diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente
diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales.
La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en
los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de
ecuaciones diferenciales.
Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o
posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se
mantiene constante o se toma el limite h → 0.
Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es
de la forma
Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores.
Viene dada por
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2.1. APLICACIONES DE PRODUCTOS.
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
El producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que esos vectores forman entre sí.
--El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos
por el vector de proyección ortogonal del otro sobre él.
--El módulo de la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a
por b, dividido por el módulo de b, cuando la proyección a y b tienen el mismo sentido.
--Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son
perpendiculares.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
El producto vectorial de a y b se designa por axb y tiene las siguientes características:
--El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos
vectores por el seno del ángulo que forman.
--La dirección de axb es la de la recta perpendicular a los vectores a y b.
--El producto vectorial no es conmutativo.
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PRODUCTO CARTESIANO
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En
particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y , denotado por X × Y , es el
conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X
y el segundo a Y :
Ejemplo
El producto cartesiano del conjunto de trece rangos de la baraja inglesa
con el de los cuatro palos:
conjunto de las 52 cartas de la baraja:
la forma matemática de expresarlo es:
Si los conjuntos involucrados son finitos, la cardinalidad (o número de elementos) del
producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos involucrados:
En el ejemplo anterior, el número de elementos del producto era 52, provenientes de la
multiplicación de los 13 rangos con los 4 palos de la baraja inglesa
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PRODUCTO DE FUNCIONES
Dadas dos funciones f(x) y g(x), denotada por,
es otra función definida por . el dominio de
es la intersección de sus respectivos dominios.
PRODUCTO DE MATRICES
Producto de una Matriz por un Escalar
Dada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:
la multiplicación de A por un escalar k , que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está
definida como:
es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz
multiplicado por dicho escalar.
Gráficament
e, si
y entonces
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Producto de una Matriz por una Matriz
Dadas dos matrices A y B , tales que el número de columnas de la matriz A es igual al
número de filas de la matriz B ; es decir:
y
la multiplicación de A por B , que se denota A·B , A×B o simplemente AB , está definida
como:
Donde cada elemento c i,j está definido por:
Gráficamente, si y
entonces
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2.2. APLICACIONES DE SUMATORIAS.
El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas
de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega
sigma ( Σ ), y se define como :
Algunas de las actividades más comunes que se realizan utilizando ciclos con la
sentencia for son sumatorias y productos repetitivos. Cuando se realizan estas
operaciones generalmente se tiene conocimiento de cuantos elementos tiene la
sumatoria o el producto repetitivo.
Como ejemplo consideremos que se tiene la expresión:
3
1n
nT f F
¿ Como evaluar dicha sumatoria utilizando un ciclo for ?
Las siguientes sentencias nos proporcionarían una forma de representar dicha
sumatoria en C++ :
Double FT, f[3];
int n;
for(n=0; n<3; n++)
cin>>f[n];
/* Lo siguiente es la sumatoria */
FT = 0.0;
for(n=0; n<3; n++)
FT = FT + f[n];
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Los siguientes dos aspectos deberán cuidarse siempre que se desea realizar una
sumatoria o un producto repetitivo:
1) Se declarará una variable a la cual se le asignará el valor de la sumatoria o el
producto. Dicha variable debe inicializarse. Cuando se trata de una sumatoria la
variable generalmente se inicializa con el valor de cero. Cuando se trata de un
producto generalmente se inicializa con el valor de uno.
2) La sumatoria o el producto se logra a partir de una asignación dentro de un ciclo.
Note que, dentro del ciclo, la variable a contener la sumatoria o el producto aparece
en ambos lados de la asignación.
Observe que las mismas reglas aplican para el siguiente ejemplo de un producto
repetitivo:
3
1n
n M V V
Este cálculo se puede realizar a través de las siguientes sentencias en C++:
double VM, V[3];
int n;
for(n=0; n<3; n++)
cin>>V[n];
/* Lo siguiente es la sumatoria */
VM = 1.0;
for(n=0; n<3; n++)
VM = VM * V[n];
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2.3. CALCULO DIFERENCIAL APLICADOO AL CÁLCULO DE
DIFERENCIAS
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables
relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia delvalor de y con los valores de x.
Las derivadas se definen tomando el límite de
la pendiente de las rectas secantes conforme
se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la
recta tangente de una función porque sólo
conocemos un punto de ésta, el punto donde
ha de ser tangente a la función. Por ello,
aproximaremos la recta tangente por rectas
secantes. Cuando tomemos el límite de las
pendientes de las secantes próximas,
obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un
número arbitrariamente pequeño que
llamaremos h . h representa una pequeña variación en x , y puede ser tanto positivo
como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x ,f (x )) y (x + h ,f (x + h )) es
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Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton. La derivada de f en x es el
límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a
la tangente:
Si la derivada de f existe en cada punto x , podemos definir la derivada de f como la
función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x .
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero,
calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el
numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy
sencillo con funciones polinómicas.
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2.4. OPERADORES EN GENERAL
Son elementos que relacionan de forma diferente, los valores de una o mas
variables y/o constantes. Es decir, los operadores nos permiten manipular valores.
Operadores Aritméticos
Los operadores aritméticos permiten la realización de operaciones matemáticas con losvalores (variables y constantes).
Los operadores aritméticos pueden ser utilizados con tipos de datos enteros o reales. Si
ambos son enteros, el resultado es entero; si alguno de ellos es real, el resultado es
real.
Operadores Aritméticos
"+ " Suma
"-" Resta
* Multiplicación
/ División
mod (%)Modulo (residuo de la divisiónentera)
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Prioridad de los Operadores Aritméticos
Todas las expresiones entre paréntesis se evalúan primero. Las expresiones con
paréntesis anidados se evalúan de dentro a fuera, el paréntesis más interno se evalúa
primero.Dentro de una misma expresión los operadores se evalúan en el siguiente orden:
^ Exponenciación
*, /, mod Multiplicación, división, modulo.
+, - Suma y resta.
Los operadores en una misma expresión con igual nivel de prioridad se evalúan de
izquierda a derecha.
Ejemplos:
4 + 2 * 5 = 14 23 * 2 / 5 = 9.2
3 + 5 * (10 - (2 + 4)) = 23 2.1 * (1.5 + 12.3) = 2.1 * 13.8 = 28.98
Operadores Relacionales
Se utilizan para establecer una relación entre dos valores. Luego compara estos valores
entre si y esta comparación produce un resultado de certeza o falsedad (verdadero o
falso).
Los operadores relacionales comparan valores del mismo tipo (numéricos o cadenas).
Estos tienen el mismo nivel de prioridad en su evaluación.
Los operadores relaciónales tiene menor prioridad que los aritméticos.
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Operadores Lógicos
Estos operadores se utilizan para establecer relaciones entre valores lógicos. Estos
valores pueden ser resultado de una expresión relacional.
Tipos de operadoresRelacionales
“>” Mayor que“<” Menor que
“> =” Mayor o igual que
“< =” Menor o igual que
“< >” Diferente
“=” Igual
Tipos de operadores Lógicos
And Y
Or O
Not Negacion
Operador OrOperando1 Operando2 Resultado
T T T
T F T
F T T
F F F
Operador NotOperando Resultado
T F
F T
Operador AndOperando1 Operando2 Resultado
T T T
T F F
F T F
F F F
Prioridad de los Operadores engeneral
()
^
*,/,Mod,Not
+,-,And
>,<,>=,<=,<>,=,or
Prioridad de los OperadoresLógicosNot
And
Or
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2.5. OPERADORES
2.5.1. Sigma (∑)
Sigma (Σ σ ς). La sigma minúscula tiene dos formas: al final de una palabra, se usa la
forma ς; al inicio y en medio de palabra se usa la forma σ.
En el sistema de numeración griega tiene un valor de 200.
USOS
La mayúscula Σ se usa como símbolo para:
Sumatorio. Un cierto alfabeto de un lenguaje, u otro objeto dependiente de un alfabeto.
Expresado en términos matemáticos:
Ejemplo: "el lenguaje definido por el alfabeto Σ = {a, b, c}".
La minúscula σ se usa como símbolo para:
Desviación estándar
Varianza (σ²)
Conductividad eléctrica
La constante de Stefan-Boltzmann
Función sigma
Densidad superficial de carga
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2.5.2. Nabla
En términos de geometría diferencial, nabla o del es un operador diferencial
representado por el símbolo: ∇ | (nabla).
En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:
Siendo , y los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta
base también se representa por: , ,
Este operador puede aplicarse a campos escalares (Φ) o a campos vectoriales F,
dando:
• Gradiente:
• Divergencia:
• Rotacional:
• Laplaciano:
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2.5.3. Delta Δ
La diferencia entre dos valores próximos de una magnitud y varias funciones y
operadores:
Delta de Dirac.
Delta de Kronecker.
Dl operador laplaciano.
USOS
En matemáticas y ciencias aplicadas, delta es utilizada como una variable para
indicar un cambio en el valor de esa variable. Usualmente, la letra delta
mayúscula (por ejemplo, Δx ) es usada para cambios grandes o macroscópicos,
mientras que la minúscula (por ejemplo, δx ) se emplea para cambios pequeños o
microscópicos (infinitesimales). También se usa Δ en matemáticas para referirse
al discriminante de un polinomio.
En Física se utiliza normalmente para indicar el incremento de una variable, así
por ejemplo Δx puede ser x2-x1. Además se puede usar en la ecuación de
aceleración media para indicar un incremento de velocidad.
2.5.4. Corrimiento
Los operadores de corrimiento de bits corren los bits del operando izquierdo la cantidad
de posiciones indicadas por el operando derecho. El corrimiento ocurre en la dirección
indicada por el propio operador.
Operador Uso Operación
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2.6. Ecuaciones Recursivas Homogéneas
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2.7. Raíces de la Ecuación Característica
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EJERSICIOS
FUNCIONES ENTERAS
Problema de selección para el Mathcamp (2010)
Sean r y s dos enteros positivos. Sea F una función del conjunto de todos los números
enteros positivos {1, 2, ...} en sí mismo que reúne las siguientes propiedades:
a) Si dos números n y m son diferentes, entonces F(n) es diferente de F(m).
b) Para todo valor n existe un valor m tal que F(m) = n.
c) Para todo valor n, o bien F(n) = n + r, o bien F(n) = n - s.
Responde a las siguientes cuestiones:
1) Si r = 5 y s = 8, ¿qué vale F(2010)?
2) Encuentra, demostrando que es cierto, el valor k más pequeño que verifica que al
aplicar la función F k veces obtenemos la identidad, es decir, que F(F(...F(n))...) = n
para cualquier valor n, donde aparece repetida k veces la F y los correspondientes
paréntesis. La respuesta, por supuesto, dependerá de r y s.
APLICACIONES DE SUMATORIAS
Escriba las sentencias en C++ (no es necesario que escriba todo el programa, como en
los ejemplos) que representen las siguientes sumatorias y productos repetitivos.
1)
5
1
)3(1n
x A
2) Escriba las sentencias que sumen todos los números pares entre 100 y 200.
3)
10
1k
k
k
xP
4) Escriba las sentencias que obtengan el producto de todos los números entre 37 y
55.
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OPERADORES EN GENERAL
Para cada una de las soluciones debes incluir el resultado así como todo el
procedimiento que realizaste para llegar a la solución.
Ejemplo:
7 * (5 + 4) / 2.0
7 * 9 / 2.0
63 / 2.0
31.5
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. 12 * (5 - 4)
2. 12 / 5 - 4
3. 13.0 / (5 - 2) * 4
4. 4 * (8 - 3 * 2) + (5 / 3 * 2) * 3.0
5. 7 * (5 % 3)
6. (1 + 2 + 3 + 4) * 3
7. (12 / 5) * 5 + 12 % 5
8. 5.0 + (4 / 7)
9. 5 + (4.0 / 7)
10. 165 / 7 + 165 % 7
RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
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BIBLIOGRAFÍA
http://www.buenastareas.com/ensayos/Diferencia-Finitas/797687.html
http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/an2/node8.html
http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node14.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_finita
http://es.wikipedia.org/wiki/Sumatorio
http://www.desarrolloweb.com/articulos/2165.php
http://felip_pedrell.tripod.com/c2.html
http://www.iqcelaya.itc.mx/~vicente/Programacion/EjerciciosAppArreUni.doc
http://problemate.blogspot.com/2011/02/familia-de-funciones-enteras.html
http://www.magusoft.net/compuv/02-1_operaciones.html Instituto de Ingeniería Eléctrica, Guía de Clase-Lenguaje de Programación Java
Ecuacionesdiferencialeslineales.pdf
Matemáticas Discretas—Ecuaciones de Recurrencia
Matemáticas discretas y Combinatoria-Ralph Grimaldi
Calculo Diferencial
Ecuaciones de Recurrencia