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UNIDAD 14
LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la elipse y a la hipérbola en
las soluciones de ejercicios y problemas.
Objetivos específicos:
1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su
ecuación en la forma canónica.
2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico,
su ecuación en la forma canónica.
3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse y de una
hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una elipse o a una hipérbola.
Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Definición. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano,
llamados focos, es una cantidad constante y mayor que la distancia entre los focos.
Se llama eje focal a la recta que pasa por los focos (F y F’) y que corta a la elipse en dos
puntos llamados vértices (V y V’). La porción del eje focal comprendida entre los vértices:
se llama eje mayor y su longitud 'VV se designa como 2a. La longitud del eje focal es
cFF 2' . La recta perpendicular al eje focal en el centro de la elipse se llama eje normal, y
corta a la curva en dos puntos, A y A’. El segmento 'AA es el eje menor de la elipse y su
longitud es 2b.
La posición del eje focal define la posición de la elipse: horizontal, si su eje focal es
paralelo o coincide con el eje x (Figura 6.1a); vertical, si su eje focal es paralelo o coincide
con el eje y (Figura 6.1b); o inclinada. Si la posición de la elipse es inclinada, se recurre a la
rotación de ejes para analizarla.
Figura 1.1a.
Figura 1.1 b.
La elipse es una curva simétrica con respecto a sus dos ejes, que tiene dos lados rectos: las
dos rectas perpendiculares al eje mayor que pasan por los focos y unen dos puntos de la
curva. La elipse tiene dos directrices: las rectas perpendiculares al eje focal que se
encuentran a la misma distancia de los vértices que los focos, pero en el lado opuesto, es
decir fuera de la elipse.
Para determinar la ecuación del lugar geométrico que define a la elipse, en el caso en que la
curva tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x, como los focos se
encuentran sobre el eje de las abscisas, sus coordenadas son F(c, 0), F’(–c, 0), siendo c una
constante positiva. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse, de acuerdo con la
definición de esta curva P debe satisfacer la condición:
aPFFP 2' ; donde a > c
Al sustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento se tiene:
aycxycx 200 2222
Desarrollando:
2222 2 ycxaycx
2 22 22 22x c y a x c y
222222222 2442 ycxcxycxaaycxcx
xcaycxa 444 222
222 2 2a x c y a xc
22242222 22 cxxcaaycxcxa 22242222222 22 cxxcaayacaxcaax
224222222 caayacxax
22222222 caayacax
Como a c , 2 2a c y la expresión 2 2 0a c puede ser reemplazada por un número
positivo 2b : 222 cab
Sustituyendo: 222222 bayaxb
Y dividiendo por 22ba :
12
2
2
2
by
ax
Ésta es la ecuación de una elipse con las siguientes características:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: eje x
Vértices: V(a, 0) y V’(–a, 0)
Focos: F(c, 0), F’(–c, 0)
Distancia focal: 2c
Longitud del eje mayor: 2a
Longitud del eje menor: 2b
Longitud de cada lado recto: ab22
Excentricidad:
aba
ace
22 < 1
En el caso de la elipse la excentricidad siempre será menor a 1 ya que a > c.
Cuando el eje focal de la elipse coincide con el eje y, la curva es vertical, las coordenadas
de los focos serán F(0, c), F’(0, –c) y las de los vértices V(0, a) y V’(0, –a). En este caso su
ecuación es:
12
2
2
2
ay
bx
Y sus elementos son:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: eje y
Vértices: V(0, a) y V’(0, –a)
Focos: F(0, c), F’(0, –c)
Distancia focal: 2c
Longitud del eje mayor: 2a
Longitud del eje menor: 2b
Longitud de cada lado recto: ab22
Excentricidad:
aba
ace
22 < 1
Ejemplos:
1.) Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto
(0, 3) y semieje mayor igual a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje
focal es el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3. Además, a = 5.
La ecuación de la curva es del tipo 12
2
2
2
ay
bx , para la cual se necesita tener el
valor de b, el semieje menor. Puesto que se conocen a y c, b se determina de la
expresión que las relaciona: 222 cab 222 35 b
162 b
Al sustituir estos valores, la ecuación de la elipse es
12516
22
yx
2.) Se pueden determinar todos los elementos que caracterizan a la elipse del ejemplo
anterior y representarla en el plano coordenado:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: eje y
Vértices: V(0, 5) y V’(0, –5)
Focos: F(0, 3), F’(0, –3)
Distancia focal: 2c = 6
Longitud del eje mayor: 2a = 10
Longitud del eje menor: 2b = 8
Longitud de cada lado recto: ab22 =
532
5162
Excentricidad:
aba
ace
22 =
53 < 1
Figura E 1. 1
3.) La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0) y excentricidad 43 se puede
obtener de la siguiente manera:
Por los vértices se sabe que es una elipse con centro en el origen, que su eje focal es
el eje x, y que a = 4.
Por la definición de la excentricidad: ace , por lo tanto,
443 c , y c = 3.
Entonces 222 cab
734 222 b
La ecuación es
1716
22
yx
4.) Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y
(6, 2), al considerar la fórmula
12
2
2
2
by
ax
como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene:
Para (4, 3): 1342
2
2
2
ba
; 191622
ba ..................... (1)
Para (6, 2): 1262
2
2
2
ba
; 143622
ba ..................... (2)
Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a y b. Para resolverlo se puede
despejar b2 de las dos ecuaciones e igualar los valores para determinar el valor de
a2:
De (1): 191622
ba
2222 916 baab
222 916 aab
169
169
2
2
2
22
aa
aab ... (3)
De (2): 143622
ba
2222 436 baab
222 436 aab
364
364
2
2
2
22
aa
aab ... (4)
Igualando (3) y (4):
364
169
2
2
2
2
aa
aa
2 29 36 4 16a a
2 29 324 4 64a a a a
02605 2 a
525
2602 a
Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4):
3652
52436
42
22
aab
13162082 b
La ecuación de la elipse es:
11352
22
yx
Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.
Utilizando la expresión: 222 cab
2 2 2c a b 22 bac
391352 c
Los elementos de la elipse son:
Centro: C(0, 0)
Eje focal: Eje x
Vértices: V( 52 , 0) y V’( 52 , 0)
Focos: F( 39 , 0), F’( 39 , 0)
Distancia focal: 2c = 392
Longitud del eje mayor: 2a = 522
Longitud del eje menor: 2b = 132
Longitud de cada lado recto: ab22 =
21
5226
Excentricidad:
aba
ace
22 =
5239
y su gráfica es:
Figura E 1.2
Cuando una elipse tiene su centro en otro punto cualquiera (h, k) del plano y su eje focal es
paralelo al eje x, la ecuación que la define se encuentra suponiendo que los ejes se trasladan
de manera que el nuevo origen O’ coincida con el centro (h, k) de la curva.
Figura 1.2
0) , 52 (-V' 0) , 52V(
)0,39(F,0)39F'(
Entonces la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes x’ y y’ es
1''2
2
2
2
by
ax
Esta ecuación puede referirse a los ejes originales usando las ecuaciones de transformación
hxx ´ , kyy '
de donde
hxx ' , kyy
Al sustituir estos valores en la expresión de la elipse se obtiene la ecuación referida a los
ejes originales:
12
2
2
2
bky
ahx
En este caso, lo único que se modifica son las coordenadas de los focos y de los vértices,
Centro: C(h, k)
Eje focal: paralelo al eje x
Vértices: V(h + a, k), V’(h – a, k)
Focos: F(h + c, k), F’(h – c, k)
Cuando el eje focal es paralelo al eje y, la elipse es vertical y su ecuación, referida a los ejes
x’ y y’, es:
1''22
ay
bx
Aplicando las ecuaciones de transformación se obtiene
12
2
2
2
aky
bhx
Sus elementos son:
Centro: C(h, k)
Eje focal: paralelo al eje y
Vértices: V(h, k + a), V’(h, k – a)
Focos: F(h, k + c), F’(h, k – c)
En ambos casos los demás elementos de la curva permanecen igual:
Distancia focal: 2c
Longitud del eje mayor: 2a
Longitud del eje menor: 2b
Longitud de cada lado recto: ab22
Excentricidad: ace < 1
Ejemplos:
5.) Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y sus focos los puntos F(5, 4) y
F’(–1, 4), como los vértices y los focos tienen la misma ordenada, la elipse tiene su
eje mayor paralelo al eje x, de manera que la fórmula a utilizar es
12
2
2
2
bky
ahx
El centro de la elipse está en el punto medio de los vértices (y de los focos) por lo
tanto sus coordenadas son
221 xxx
= 22
26
221 yyy
= 42
44
C(2, 4)
La distancia del centro a cualquiera de los vértices es el valor de a, de modo que:
426 a
Y c es la distancia del centro a cualquiera de los focos:
325 c
Para determinar la ecuación es necesario conocer el valor de b: 222 cab
79162 b
7b
Y se toma b > 0 puesto que es una distancia.
Se sustituyen estos valores en la ecuación correspondiente y queda:
17
416
2 22
yx
Para determinar su gráfica se localizan los vértices, los focos y el centro, y se sabe
que su eje mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor, 2b = 2 7 , de manera que los
puntos de intersección de la elipse con su eje menor son 2, 4 2 7B y
' 2, 4 2 7B .
Cada uno de sus lados rectos mide ab22 = 5.3
414
Otros puntos de la elipse, con valores aproximados de la ordenada, son:
Para
x = 0
2 20 2 41
16 7y
;
17
4164 2
y ;
411
74 2
y = 3
4
4211682 yy ;
043324 2 yy ; 2
218 y ;
y1 = 6.3 ; y2 = – 1.7
(0, 6.3)
(0, –1.7)
Para
x = 4 2 24 2 4
116 7
y
17
4164 2
y
(4, 6.3)
(4, –1.7)
y1 = 6.3 ; y2 = – 1.7
Para
x = 2 2 22 2 4
116 7
y ;
240 116 7
y ;
241
7y
;
2 8 16 7y y
4 7y ;
y1 = 6.65 ; y2 = 1.35
(2, 6.65)
(2, 1.35)
Con estos puntos y los demás elementos calculados, se puede graficar de manera
aproximada la elipse.
Figura E 1.3
6.) Si los vértices de una elipse son los puntos (–3, 7) y (–3, –1) y la longitud de cada
lado recto es 2, como los vértices tienen la misma abscisa la elipse es vertical ya que
el eje mayor, y el focal, son paralelos al eje y. La ecuación que le corresponde es:
12
2
2
2
aky
bhx
El centro es el punto medio del eje mayor 'VV : su abscisa es la misma de los
vértices y su ordenada es
221 yyy
= 32
17
→ C(–3, 3)
La longitud de su eje mayor es la distancia entre sus vértices:
8172 a → a = 4
Como la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2, se tiene:
ab22 = 2
422 2 b
4282 b
2b
y la longitud de su eje menor es 2b = 4
La ecuación de esta elipse es:
116
343 22
yx
Para determinar las coordenadas de los focos se calcula el valor de c a partir de la
expresión: 222 cba . 222 bac
124162 c
3212 c
Por lo tanto, los focos son los puntos: 3, 3 2 3F , ' 3, 3 2 3F y su
excentricidad es 23
432
ace
Figura E 1. 4
7.) Para encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2), uno de los focos es
(6, 2) y pasa por el punto (4, 6), se puede proceder de la siguiente manera:
Como el centro y el foco tienen la misma ordenada, el eje focal y el eje mayor son
paralelos al eje x. Por tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:
12
2
2
2
bky
ahx
Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2):
1212
2
2
2
by
ax
Hay que determinar a2 y b2.
Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface su ecuación:
126142
2
2
2
ba
116922
ba
Para obtener una ecuación con una sola incógnita, se hace la sustitución 2 2 2b a c
y, puesto que c es la distancia del centro al foco:
561 c
2 2 2 2 25b a c a
de modo que:
125
16922
aa
Ésta es una ecuación en a, que se puede resolver como sigue:
2 2
2 2
9 25 161
25
a a
a a
2422 2516259 aaaa
022550 24 aa
0545 22 aa
4521 a
522 a
Al sustituir las dos raíces en la expresión para b2 : 2
1 45 25 20b
22 5 25 20b
Sólo la primera raíz es válida ya que b2 no puede ser negativa, por lo tanto a2 = 45,
b2 = 20 y la ecuación de la elipse es:
120
245
1 22
yx
8.) La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno
de los focos. Si se sabe que el semieje mayor de la elipse es de 1.485x108
kilómetros y que la excentricidad es aproximadamente 162 , se pueden encontrar
las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol al considerar que, como ace
entonces:
000,500,148621 c
62000,500,148
c
c = 2,400,000 (aproximado)
Por tano, la distancia máxima es
a + c = 148,500,000 + 2,400,000 = 150,900,000 = 1.509 x 108 kilómetros.
y la distancia mínima es
a – c = 148,500,000 – 2,400,000 = 146,100,000 = 1.461 x 108 kilómetros.
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica.
Definición. La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del
plano llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante menor que la distancia
entre los focos.
Se llama eje focal de la hipérbola a la recta de longitud 2c que pasa por los focos F y F’ y
que corta a la curva en dos puntos V y V’ llamados vértices. La porción 'VV del eje focal
comprendida entre los vértices se llama eje transverso. El punto medio del eje transverso es
el centro de la hipérbola y se denota como C (Fig. 2.1).
También se definen el eje normal, que es la recta perpendicular al eje transverso en C y el
eje conjugado, que es un segmento 'AA del eje normal que tiene a C como punto medio
(más adelante se precisa la localización de los puntos A y A'). La hipérbola tiene dos lados
rectos que son las rectas perpendiculares al eje focal que pasan por los focos y unen dos
puntos de la curva. La hipérbola es una curva simétrica con respecto a sus ejes y tiene dos
asíntotas que se cortan en el centro de la hipérbola. (Fig. 2.2).
Figura 2.1
Figura 2.2
La posición del eje focal define la posición de la hipérbola: es horizontal, si su eje focal es
paralelo o coincide con el eje x; es vertical, si su eje focal es paralelo o coincide con el eje
y. También puede estar inclinada en el plano, en cuyo caso se recurre a la rotación de ejes
para convertirla a uno de los dos casos anteriores.
Para determinar la ecuación del lugar geométrico que define a la hipérbola, en el caso en
que la curva tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje x, como los focos
se encuentran sobre el eje de las abscisas a c unidades a la derecha y a la izquierda del
centro, sus coordenadas son ,0 , ' ,0F c F c , donde c es una constante positiva. Si
,P x y es un punto cualquiera de la hipérbola, por la definición se debe satisfacer la
condición:
' 2FP F P a ; donde a c
Esta expresión es equivalente a
aPFFP 2' y aPFFP 2'
Al sustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento, en ambas
expresiones, se tiene:
aycxycx 200 2222 ...(1)
y
aycxycx 200 2222 ...(2)
Simplificando la expresión (1):
2222 2 ycxaycx
2 22 22 22x c y a x c y
222222222 2442 ycxcxycxaaycxcx
222 444 ycxaxca
2 222 2a xc a x c y
22222224 22 ycxcxacxxcaa
222222224 yacaxacxa 422222222 acayaxacx
22222222 acayaacx
Como a c , 2 2a c y 2 2 0c a puede reemplazarse por un número positivo, b2, que
al sustituirse en la última expresión deja: 222222 bayaxb
Y dividiendo por 22ba :
12
2
2
2
by
ax
Se puede comprobar que a partir de la expresión (2) y siguiendo el procedimiento anterior
la ecuación que se obtiene es la misma: 12
2
2
2
by
ax .
En el caso de la hipérbola, las constantes a, b y c están ligadas por la relación:
b2 = c2 – a2
por lo que 22 bac
Del análisis del lugar geométrico que define la ecuación 12
2
2
2
by
ax , se obtiene que:
1. Es una curva simétrica con respecto a los ejes coordenados y al origen.
2. En el intervalo a x a no existen valores reales para y.
3. La longitud de cada lado recto es ab22
4. La excentricidad, ace , es mayor que la unidad ya que c > a
La hipérbola tiene dos asíntotas. Para el caso que se está presentando, si se despeja a y de
la ecuación 12
2
2
2
by
ax se obtiene:
222222 bayaxb 222222 yabaxb
22
222
ya
axb
22 axaby
2
2
1xax
aby
Si x aumenta indefinidamente, la curva se prolonga hacia el infinito a partir del vértice y el
cociente 2
2
xa tiende a cero, por lo que el radicando tiende al valor de 1 y la curva se acerca
cada vez más a las rectas
xaby , y x
aby
que son las ecuaciones de las dos asíntotas de la hipérbola.
En resumen, la hipérbola cuya ecuación en la forma canónica es
12
2
2
2
by
ax
es horizontal, y tiene las siguientes características y elementos:
Centro C(0, 0)
Eje focal El eje x
Vértices V(a, 0) y V’(–a, 0)
Focos F(c, 0), F’(–c, 0)
Distancia focal 2c
Longitud del eje transverso 2a
Longitud del eje conjugado* 2b
Longitud de cada lado recto ab22
Excentricidad
ace =
aba 22 > 1
Asíntotas xaby ; x
aby
*Aun cuando la hipérbola no intersecta al eje y, los puntos A (0, b) y A’ (0, –b), se toman como extremos del
eje conjugado.
Cuando el eje focal coincide con el eje y la hipérbola es vertical, las coordenadas de los
focos son F(0, c), F’(0, –c), las de los vértices: V(0, a) y V’(0, –a), y su ecuación:
12
2
2
2
bx
ay
Sus características y elementos son:
Centro C(0, 0)
Eje focal el eje y
Vértices V(0, a) y V’(0, –a)
Focos F(0, c), F’(0, –c)
Distancia focal 2c
Longitud del eje transverso 2a
Longitud del eje conjugado* 2b
Longitud de cada lado recto ab22
Excentricidad
ace =
aba 22 > 1
Asíntotas x
bay ; x
bay
*Ahora no hay intersección con el eje x, pero los puntos A (b, 0) y A’ (–b, 0), se consideran los extremos del
eje conjugado.
Ejemplos:
1.) Para encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(3, 0) y V’(–3, 0) y
sus focos F(5, 0), F’(–5, 0) se puede proceder como sigue.
Por las coordenadas de los vértices y los focos se sabe que la hipérbola tiene su
centro en el origen y su eje focal está sobre el eje x, por lo tanto, su ecuación es de
la forma
12
2
2
2
by
ax .
La distancia de los vértices al centro es de 3 unidades, a = 3, y la distancia de los
focos al centro es de 5 unidades, c = 5, por lo que
b2 = c2 – a2
b2 = (5)2 – (3)2 = 25 – 9 = 16
b = 4
La ecuación de la hipérbola es:
1169
22
yx
2.) Los elementos que caracterizan a la hipérbola del ejemplo anterior son:
Distancia focal 2c = 10
Longitud del eje transverso 2a = 6
Longitud del eje conjugado 2b = 8
Longitud de cada lado recto ab22 =
332
3162
Excentricidad ace =
35
Asíntotas x
aby = x
34 ; x
aby
= x34
Figura E 2.1
3.) Si los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0, 3) y (0, –3) y
la longitud de cada lado recto es 6, entonces de las coordenadas dadas (que
corresponden a los puntos A y A') se sabe que la hipérbola tiene su centro en el
origen, que su eje focal está sobre el eje x, y que su semieje conjugado, b, es igual a
3.
Para determinar la ecuación se debe conocer el valor de a, el semieje transverso, que
puede encontrarse con el dato de la longitud del lado recto ya que
abLR
22
LRba
22 =
632 2
= 6
18
a = 3
Entonces la ecuación de la hipérbola es: 199
22
yx
Su excentricidad es: ace =
aab 22 =
399 =
323 = 2
Figura E 2.2
4.) Para una hipérbola con centro en el origen y eje conjugado sobre el eje x, su
ecuación es del tipo 12
2
2
2
bx
ay . Si la longitud de cada lado recto es 2
3 y pasa por
el punto 1, 2 , se puede encontrar su ecuación de la siguiente manera:
El punto 1, 2 pertenece a la curva, por lo tanto satisface su ecuación:
1)1()2(2
2
2
2
ba
11422
ba
Por otra parte,
abLR
22
23
262 ba → 2
3ab
Al sustituir la expresión para b2 en la ecuación de la hipérbola:
13
142
aa
3
1142 aa
= a
a 3
aa 34 2
0432 aa
y resolviendo esta ecuación se obtiene:
14
2
1
aa
El valor negativo de a se descarta dado que a es una longitud. Entonces a = 1 y:
31
32
ab
Con estos valores la ecuación de la hipérbola es:
13
11
22
xy
Figura E 2.3
Dependiendo de la relación entre los ejes transverso y conjugado, se definen dos tipos
particulares de hipérbolas:
a. Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado
tienen la misma longitud, es decir a = b, y su ecuación se reduce a
12
2
2
2
by
ax → 12
2
2
2
ay
ax
222 ayx
Las asíntotas de esta curva: xaby , x
aby , reducen su expresión a:
xy , xy
Como estas rectas son perpendiculares entre sí, la curva también recibe el nombre
de hipérbola rectangular.
b. Se llaman hipérbolas conjugadas a dos hipérbolas en las que el eje transverso de
una es igual al eje conjugado de la otra, por lo que también se dice que cada
hipérbola es conjugada de la otra. Si la ecuación de una hipérbola es
12
2
2
2
by
ax
la ecuación de su hipérbola conjugada es: 2 2
2 21 1
1y xa b
con 1a b y 1b a .
Dos hipérbolas conjugadas tienen un centro común, dos asíntotas comunes y todos
sus focos equidistan del centro.
Ejemplo:
5.) Para la hipérbola 1169
22
yx , su hipérbola conjugada es 1
916
22
xy .
Para 1169
22
yx , que es horizontal, a2 = 9, b2 = 16, y sus asíntotas son
xaby → xy
34
Para 1916
22
xy , que es vertical, 2
1 16a , 21 9b , y sus asíntotas son
1
1
ay xb
→ xy34
que son las mismas asíntotas de la primera hipérbola.
El semieje focal tiene la misma longitud en ambas hipérbolas:
516922 bac
Por lo tanto, los focos de la hipérbola 1169
22
yx son F(5, 0) y F’(–5, 0)
y los de la hipérbola conjugada 1916
22
xy son F(0, 5) y F’(0, –5)
Figura E 2.4
La ecuación de una hipérbola cuyo centro no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a
los ejes coordenados, puede obtenerse mediante traslación de los ejes cartesianos de manera
que el origen del sistema coordenado coincida con el centro de la curva. Si las coordenadas
del centro de la hipérbola son (h, k) y su eje transverso es paralelo al eje x, la ecuación de la
hipérbola con respecto a los nuevos ejes coordenados x’ y y’ es
1)'()'(2
2
2
2
by
ax
y, dado que la traslación de ejes es tal que
hxx ' y kyy '
Al sustituir en la ecuación se obtiene
12
2
2
2
bky
ahx
Ésta es la ecuación de una hipérbola con
Centro C(h, k)
Eje focal paralelo al eje x
Vértices V(h + a, k) y V’(h – a, k)
Focos F(h + c, k), F’(h – c, k)
Distancia focal 2c
Longitud del eje transverso 2a
Longitud del eje conjugado 2b
Longitud de cada lado recto ab22
Excentricidad
ace =
aba 22 > 1
Asíntotas khxaby ; khx
aby
Si el centro de la hipérbola está en (h, k) y el eje focal es paralelo al eje y, la ecuación es
12
2
2
2
bhx
aky
y sus características:
Centro C(h, k)
Eje focal (y eje transverso) paralelo al eje y
Vértices V(h, k + a) y V’(h, k – a)
Focos F(h, k + c), F’(h, k – c)
Distancia focal 2c
Longitud del eje transverso 2a
Longitud del eje conjugado 2b
Longitud de cada lado recto ab22
Excentricidad
ace =
aba 22 > 1
Asíntotas khxbay ; khx
bay
Ejemplos:
6.) Para obtener la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en (–4, 1) un vértice en
(2, 1) y su semieje conjugado es igual a 4, como el centro y el vértice tienen la
misma ordenada, la hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje x, y la ecuación será
12
2
2
2
bky
ahx
Su semieje conjugado es b = 4, y la distancia del centro al vértice es
624 a
De modo que su ecuación es
116
136
4 22
yx
7.) Los demás elementos de la hipérbola del ejemplo anterior se pueden obtener a partir
de que h = –4; k = 1; a = 6, b = 4; c = 36 16 52
Vértices V(2, 1), V’(–10, 1)
Focos F(–4 + 52 , 1), F’(–4 – 52 , 1)
Distancia focal 2 52 = 134
Longitud del eje transverso 12
Longitud del eje conjugado 8
Longitud de cada lado recto ab22 =
632
Excentricidad ace =
652 =
313
Asíntotas 3
1132
xy
8.) Si una hipérbola tiene excentricidad de 32 y sus vértices son los puntos (2, 1) y
2, 3 , como los vértices tienen la misma abscisa, la hipérbola tiene su eje
transverso paralelo al eje y, y su centro está en el punto medio de este segmento:
C(2, –1).
La longitud del semieje transverso es:
2213 a
y, como 23
ace , entonces c = 3.
Con estos valores se puede calcular 54922 acb
La ecuación de la hipérbola es
152
41 22
xy
las coordenadas de los focos son
F(2, 2) y F’(2, –4)
y la longitud del lado recto
52
102 2
abLR
Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse y de
una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.
De la forma canónica de la ecuación de una elipse o de una hipérbola es posible obtener la
forma general desarrollando las operaciones indicadas por los cocientes y los binomios al
cuadrado (si la curva tiene su centro fuera del origen), para después reducir términos
semejantes e igualar a cero la ecuación.
En el caso de una elipse en la que el eje mayor sea horizontal:
12
2
2
2
bky
ahx
1222
22
2
22
bykyy
ahhxx
22222222 22 bakkyyahhxxb
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0b x a y b h x a k y b h a k a b
Comparando esta ecuación con la forma general de una ecuación de segundo grado, en que
no aparezca el término en xy:
022 FEyDxCyAx
se otiene que: 2bA ; 2aC ; hbD 22 ; kaE 22 ; 222222 bakahbF
Un desarrollo similar para la elipse con eje mayor vertical lleva a que: 2aA ; 2bC ; haD 22 ; kbE 22 ; 222222 bakbhaF
Así, la ecuación cuadrática de la forma 022 FEyDxCyAx , con A ≠ C, pero con
el mismo signo, corresponde a una elipse. Si A C la elipse es horizontal y si A C , es
vertical.
Ejemplos:
1.) Para la elipse 061224 22 yxyx :
A = 1; C = 4; D = 2; E = –12; F = 6
Como A y C son diferentes pero del mismo signo y A < C, la elipse es horizontal
tiene, es decir, su eje mayor paralelo al eje x.
Para determinar sus elementos se puede obtener la ecuación en la forma canónica,
para lo cual se completan los trinomios y se iguala a 1 la ecuación.
061224 22 yxyx
916493412 22
yyxx
42341
22
yx
11
23
41
2
2
yx
De aquí se sabe que:
a) Su centro está en 31,2
C
b) Como a2 = 4, a = 2, y los vértices son 31 2,2
V
= 31,2
y
3' 1 2,2
V
= 33,2
c) De 222 bac , 3c , y los focos están en 31 3,2
F
y
3' 1 3,2
F
d) La longitud del eje mayor es 2a = 4; la longitud del eje menor es 2b = 2; y la
longitud de cada lado recto es LR = 22 2 12 12
ba
e) La excentricidad es 23
ace
2.) Dada la ecuación de la elipse 032849 22 yyx , se pueden determinar todos
sus elementos sin pasar por la forma canónica.
Para obtener las coordenadas del centro, los vértices, los focos, las longitudes de sus
ejes y de sus lados rectos, y la excentricidad, se deben conocer los valores de h, k, a,
b y c, a partir de los de A, C, D, E y F.
De la ecuación: 9, 4, 0, 8, 32A C D E F
Como A > C, la elipse tiene su eje mayor vertical por lo que: 2aA = 9, a = 3; 2bC = 4, b = 2
haD 22 ; → 22aDh = 0
180
kbE 22 ; → 22bEk =
88
= 1
222 bac → 5492 c
Con estos valores se determinan:
a) Centro: (h, k) = (0, 1)
b) Vértices: (h, k ± a) → V(0, 1 + 3) = (0, 4) y V’(0, 1 – 3) = (0, –2)
c) Focos: (h, k ± c) → 51,0 F y 51,0' F
d) Eje mayor: 2a = 6
e) Eje menor: 2b = 4
f) Lado recto (cada uno): 382 2
ab
g) Excentricidad: 35
ace
Una ecuación de segundo grado 022 FEyDxCyAx con A ≠ C pero del mismo
signo representa, en general, a una elipse, pero también puede ocurrir que sea sólo un
punto, o incluso que no represente un lugar geométrico real. Esto dependerá del valor de de
la expresión
ACFAECD 422
como se indica:
a) Si ( ACFAECD 422 ) > 0, la ecuación representa una elipse de ejes paralelos a
los coordenados.
b) Si ( ACFAECD 422 ) = 0, representa un punto de coordenadas
CE
AD
2,
2
c) Si ( ACFAECD 422 ) < 0, no representa ningún lugar geométrico real.
Ejemplos:
4.) La ecuación 026344 22 yxyx no representa una elipse puesto que:
Si bien A = 4, C = 1, 4 ≠ 1 y ambos son positivos, como D = –4, E = 3,
26F , entonces
ACFAECD 422 = 261443441 22
= 16 + 36 – 416 = –364 < 0
Este resultado indica que la ecuación no representa un lugar geométrico real.
5.) El lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos
(3, 1) y (-5, 1) sea igual a 10 es una elipse, como se muestra a continuación:
Distancia de P a (3, 1) = 22 13 yx
Distancia de P a (-5, 1) = 22 15 yx
La suma de las distancias es igual a 10:
22 13 yx + 22 15 yx = 10
Para simplificar esta ecuación, se puede pasar un radical al segundo miembro,
elevar al cuadrado toda la ecuación, desarrollar los binomios cuadrados y
reducir términos semejantes:
22 13 yx = 10 – 22 15 yx
22 13 yx = 222 1510 yx
12251015201001296 222222 yyxxyxyyxx
22 152011616 yxx
Se puede dividir por cuatro toda la ecuación, elevar nuevamente al cuadrado
para eliminar el radical, volver a desarrollar los binomios cuadrados y reducir
términos semejantes:
2 24 29 5 5 1x x y
2222 155294 yxx
1225102584123216 222 yyxxxx
01915018259 22 yxyx
Ésta es la ecuación del lugar geométrico. Por las características de A y de C
parece ser una elipse con eje mayor paralelo al eje x (horizontal). Para
comprobarlo se evalúa
ACFAECD 422
como A = 9, C = 25, D = 18, E = –50, F = –191:
ACFAECD 422 = (25) (18)2 + (9) (–50)2 – 4(9) (25) (–191)
= 8100 + 22500 + 171 900 = 202 500 > 0
Por lo tanto el lugar geométrico es una elipse.
Siguiendo un procedimiento similar al que se siguió en el caso de la elipse, para la ecuación
de una hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x:
12
2
2
2
bky
ahx
al desarrollar cuadrados, eliminar denominadores e igualar a cero se obtiene:
1222
22
2
22
bykyy
ahhxx
22222222 22 bakkyyahhxxb
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0b x a y b h x a k y b h a k a b
Al comparar esta ecuación con la forma general de una ecuación de segundo grado, sin el
término en xy:
022 FEyDxCyAx
se obtiene que: 2bA ; 2aC ; hbD 22 ; kaE 22 ; 222222 bakahbF
Para una hipérbola vertical con centro en (h, k), se obtiene que: 2aA ; 2bC ; haD 22 ; kbE 22 ; 222222 bahakbF
En general, si los coeficientes de A y C difieren en signo, una ecuación de segundo grado,
sin término en xy, representará una hipérbola cuyos ejes son paralelos a los coordenados. Si
A es positivo, se tratará de una hipérbola horizontal, si A es negativo será una hipérbola
vertical.
Ejemplos:
6.) En la hipérbola 09101654 22 yxyx , como el término positivo es el de x2,
la hipérbola es horizontal (su eje focal es paralelo al eje x). Para determinar sus
elementos se pueden completar los trinomios cuadrados e igualar a 1 la ecuación:
9)2(5)4(4 22 yyxx
5169)12(5)44(4 22 yyxx
20)1(5)2(4 22 yx
Para igualar a 1 se divide entre 20 la ecuación:
141
52 22
yx
De esta ecuación se obtiene que:
C( 2, –1); a2 = 5; b2 = 4; 345 c
de modo que sus características son:
Centro C(2, –1)
Eje focal Paralelo al eje x
Vértices V(2 + 5 , –1) y V’(2 – 5 , –1)
Focos F(5, –1) y F’(–1, –1)
Distancia focal 6
Longitud del eje transverso 2 5
Longitud del eje conjugado 4
Longitud de cada lado recto ab22 =
58
Excentricidad ace =
53
Asíntotas 125
2 xy
7.) En la hipérbola 02124643 22 yxyx , el coeficiente de y2 es positivo,
por lo tanto la hipérbola es vertical y la relación entre los coeficientes de la ecuación
en la forma canónica y la forma general es: 2aA ; 2bC ; haD 22 ; kbE 22 ; 222222 bahakbF
Entonces:
A = –3 = –a2 → 3a ; C = 4 = b2 → 2b
Longitud del eje transverso: 2a = 2 3 , longitud del eje conjugado: 2b = 4, y:
2 2 3 4 7c a b
Para las coordenadas del centro:
D = –6 = 2a2h; E = –24 = –2b2k;
166
2 2
aDh ; 3
824
2 2
b
Ek
El centro es 1, 3C
Los vértices son: V(–1, 3 + 3 ), V’(–1, 3 – 3 )
Los focos son: F(–1, 3 + 7 ), y F’(–1, 3 – 7 )
Figura E 3.1
En ocasiones, la ecuación 022 FEyDxCyAx con A C y de signos diferentes,
no representa a una hipérbola sino a un par de rectas que se cortan. Si en esta ecuación,
cuando A > 0 y C < 0, se hace 'C C , entonces 'C será positivo. Al completar los
cuadrados perfectos en 2 2' 0Ax C y Dx Ey F
se obtiene
'44'4''
4
22
2
22
2
22
CE
ADF
CEy
CEyC
ADx
ADxA
que es igual a 2 2 2 2
'2 2 ' 4 4 'D E D EA x C y FA C A C
Si el segundo miembro de esta ecuación es positivo o negativo, la ecuación representa una
hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados; pero si el segundo miembro es igual a
cero, la expresión tiene la forma 2 2
' 02 2 'D EA x C yA C
y, como cada uno de los dos términos del primer miembro es positivo, se tiene una
diferencia de cuadrados que se puede factorizar como
' ' 02 2 ' 2 2 'D E D EA x C y A x C yA C A C
Al igualar cada uno de los factores a cero se obtienen dos rectas que se cortan. En ocasiones
a este par de rectas se les llama hipérbola degenerada.
Para el caso en que A < 0 y C > 0, la ecuación 022 FEyDxCyAx representa un
par de rectas que se cruzan cuando 2 2
04 4 'E D FC A , en donde 'A A .
Ejemplo:
8.) En la ecuación 2 24 6 9 0x y y , se tiene que:
4, 1, 0, 6, 9A C D E F
entonces, ' 4A y
2 2 2 26 0 9
4 4 ' 4 1 4 4E D FC A
36 0 9 9 9 04
por lo que la ecuación representa a dos rectas que se cruzan.
Como se sabe, tanto para la circunferencia como para la parábola, se requieren tres
condiciones para determinar su ecuación, porque cada una tiene tres parámetros
independientes que deben conocerse. En el caso de la elipse, de cualquiera de sus
ecuaciones:
12
2
2
2
bky
ahx ó 12
2
2
2
aky
bhx
se observa que son cuatro los parámetros que la definen: h, k, a y b. Por tanto, para
determinar la ecuación de una elipse se necesitan cuatro condiciones, por ejemplo cuatro
puntos de la curva.
De la misma manera, para el caso de la hipérbola se necesitan también cuatro condiciones
para determinar su ecuación puesto que, igualmente, en cualquiera de sus ecuaciones
aparecen cuatro parámetros.
Ejemplo:
9.) La ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados y que pasa
por los puntos (–6, 4), (–8, 1), (2, –4), y (8, –3), por la ubicación de los puntos en el
plano, corresponde a una en la que el eje focal es paralelo al eje x.
Figura E 3.2
Cada uno de los puntos por los que pasa la curva satisface su ecuación. Entonces, en la
ecuación
022 FEyDxCyx
se sustituyen los puntos:
(–6, 8): 08686 22 FEDC
(–8, 1): 01818 22 FEDC
(2, –4): 04242 22 FEDC
(8, –3): 03838 22 FEDC
y se obtiene entonces un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que se
puede resolver con algún paquete de cómputo. La solución es:
C = 4, D = –4, E = –8, y F = –92
por lo que la ecuación de la elipse es:
092844 22 yxyx
y en la forma canónica:
125
1100
2 22
yx