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Una revisión histórica de la ecuación cúbica como reflexión para su enseñanza.
Alma Rosa Fernández ÁngelSADD – Agosto 2012
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A B C D
D Es verdadero!
Profesor:
Alumno:
A
B C
D¿Para qué quiero comprobar?:
¿por qué debo suponer?
¿A quién se le ocurrió pensar que:Implica ?
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¿Cómo aprovechar el desarrollo Histórico de las matemáticas para desarrollar
una clase, buscando mejorar el aprendizaje del tema?
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Al proponer esta forma de manejo de la historia de las matemáticas en el salón de clase, se puede considerar lo que Fauvel (1991) propone :
.
• Anécdotas matemáticas
• Introducción histórica de conceptos
• Problemas históricos que generan nuevos contenidos
• Historia de las matemáticas
.• Idear
ejercicios utilizados en textos del pasado.
• Proyectos con tema matemático local
• Ejemplos del pasado para ilustrar técnicas y métodos..
• Explorar errores del pasado para dificultades de aprendizaje.
• Idear aproximaciones pedagógicas según desarrollo histórico.
• Idear orden y estructura de los temas en programas.
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Enseñanza con
história.
Fauvel
Bishop
Ernest
Freudenthal
Arcavi
NCTM
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ALGEBRA
RIQUEZA
MOV. MERCANTILE
S
COMPRAS DEUDAS
VENTAS
TIERRAS
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SUMERIOS (3000 A.C.)
BABILONIOS (1700 A.C.)
ÁRABES (820 D.C)
GRIEGOS
PERSAS
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Muhammad ibn Musa al-Khwarizmo
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Descartes busca la solución de la ecuación cúbica con la intersección
de una circunferencia (x-h)2+(y-k)2=R2 con la parábola y=x2
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ECUACIONES A LA ITALIANA.
Luca Pacioli
Casos particulares
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Scipione del Ferro
x3 + ax + b = 0
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Antonio del Fiore
x3 + ax2 +b = 0
Scipione del Ferro
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Girolamo CardanoTartaglia
ax3 + bx2 + cx + d = 0
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Ludovico Ferrari
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Ars Magna
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SOLUCIÓN GENERAL.
Consideremos la ecuación general de tercer grado:
Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0
Como A ≠ 0 , no se pierde generalidad si al dividir la ecuación anterior entre A, escribimos:
x3 + bx2 + cx + d = 0
Hacemos la sustitución:
x = y - b/3
( Ψ )
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Obtenemos:
y3 c b2
3
y d
bc
3
2b3
27
0
En consecuencia, resolver la ecuación cúbica ( Ψ ), se reduce a resolver la ecuación:
y3 py q 0
donde:
p c b2
3y q d
bc
3
2b3
27
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Esto implica que:
x1 y1 b
3
x2 y2 b
3
x3 y3 b
3
Ahora escribimos:
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y u v
Tenemos que:
(u v)3 p(u v) q 0
Luego:
u3 v3 q (3uv p)(u v) 0
( λ )
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Cualquiera que sea el valor numérico de la suma de (en este caso una
raíz de la ecuación anterior), siempre podemos determinar a u y v imponiéndoles la condición adicional de que su producto uv
sea un número prefijado.Imponiendo al condición adicional:
uv p
3Sustituyendo en ( λ ) tenemos:
u3 v3 q 0
y u v
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Y de las dos expresiones anteriores se obtiene:
u3v3 p3
27
Puesto que:
(z u3)(z v3) z2 (u3 v3)z u3v3
Entonces por lo anterior u3 y v3 son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:
z2 qz p3
270 ( α )
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Por otro lado, las soluciones de la ecuación ( α ), viene dadas por :
z1 q
2q2
4p3
27y z2
q
2q2
4p3
27
Escribiendo::
y v3 z2
Cada una de las ecuaciones tiene tres raíces tanto para z1 como para z2.
u3 z1
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Las raíces de:
u3 z1son:
u1 u2 wu1, y u3 w
2u1
Y las raíces de:
v3 z2
son:
v1 , v2 wv1 y v3 w2v1
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Ahora denotaremos:
u1 q
2q2
4p3
273 y v1
q
2q2
4p3
273
Entonces las raíces de:
y3 py q 0
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son:
y1 u1 v1
y2 wu1 w2v1
y3 w2u1 wv1
Conocidas como las fórmulas de Cardano.
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RAFAEL BOMBELLI (1526-1572)
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Resolver las ecuaciones cúbicas con las formulas de Cardano, nos encontramos ante un hecho, que el discriminante sea
menor que cero:
entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo.
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Cardano en su Álgebra de 1572 presenta La ecuación:
x3=15x+4 (d)
Resolviendo encontramos que las tres soluciones de la cúbica son
reales. Si aplicamos las fórmulas de Cardano con
p=15 y q=4, como , entonces:
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Con las cuales Cardano no sabe que hacer, y las llama “irreducibles”
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Bombelli hace lo siguiente:
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,
Esto se da si:
Por lo que tiene sentido decir que:
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De la misma forma:
Así, una raíz de la ecuación ( ) d es:
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El razonamiento de Bombelli planteó enormes problemas: ¿Cómo se sabe por adelantado
que va a ser raíz cúbica de ?
Y entonces surge la necesidad de introducir otros elementos.
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François Viète (1540-1603)
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,
Analiza nuevamente la ecuación cúbica:
con
Esto es trabaja con:
con
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Y la identidad trigonométrica:
Llegando a la solución:
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Esto no es real (los imaginarios)
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Propuesta de clase
ContenidosEcuaciones algebraicas
Ecuación cúbica
Solución general
Trigonometría
Teorema fundamental del algebra
Números complejos
actividadesLectura
de artículos históricos
Identificación de problemas
Discusión
Profundizar información
Institucionalizar
(profesor)
Evaluación
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• su contenido, método y significado. Alianza Editorial. Madrid.
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• Moreno, R. (2001) Andanzas y aventuras de las ecuaciones cúbicas y cuárticas a su paso por España. Un capítulo de la historia del álgebra española. Colección “línea 300” Editorial Complutense.
• Madrid. Pérez, J. Sánchez, C. (2007). Historia de las Matemáticas: Ecuaciones Algebraicas. Cursos THALES. Andalucía.
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• Várrilly, J. (1986) La enseñanza de las matemáticas con un énfasis histórico. Revista de Filosofía de la Universidad de Costa Rica, ISSN 0034-8252, Nº. Extra 59, págs. 75-78. Costa Rica.
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