UN MODELO DE LA TEORIA DE COLAS CON

NUMERO VARIABLE DE CAHALES

IOSI~ ROMAN][

Escuela de Organizacidn Induslrial

En la teorfa de colas se han es tudiado diversos modetos que di- f ieren tmos de otros en las d is t r ibuciones de los procesos de llegada y salida, en la discipl ina de la cola y e n el nf imero de canales. U n a exposicidn sistem~.tica de los dis t intos modelos m~s es tudiados esul dada por Kendal l [1] . La t e rmino log ia que empleamos en este tra- ba jo es la que util izamos en nues t ra an te r io r publ icacidn [~], asi como la notacidn, salvo en aquellos casos en que hemos in t roducido notacidn especial por set este modelo m~is general que el es tudiado en [2] .

Todos los modelos de colas es tudiados hasta la fecha suponen fijo el nfimero de canales. Como en la pr~ictica muchas veces este nfimero var ia en realidad, este t rabajo t iene por objeto el p lantear un modelo de cola en el que el ntimero de canales no es prefi jado, sino que varfa depend iendo del nfimero de unidades de cola y estudiar sus pro- piedades.

Casos en los que aumenta el mlmero de canales se p resen tan con frecuencia en oficinas, a lmacenes, etc., y, en general , en todo servicio en el que el nt lmero de canales no est~i suje to a condic iones materiales que no puedan cambiarse f~cilmente, como pistas de a terr izaje en un aeropuer to , por ejemplo.

La dependencia del mlmero de canales del tamafio de la cola, que vamos a considerar , es la s i gu i en t e :

1) Establecer un tope m~ximo a la co l a ; sea M este tope m~ixi- mo, cuando llega el e lemento M + 1 a la cola, inmedia tamente se afiade o t to canal al servicio, en el que se a t iende al p r imer e lemento de la cola, con lo que ~ es s iempre menor o igual que M.

~) Cuando en el momento de t e rmina r una unidad en servicio no ha y n inguna en la cola pa ra ser a tendida , se supr ime el canal co- r respondien te .

176 Jose ROMANI

3) En el caso en que hay un solo canal en servicio y queda 6ste libre, este canal no se supr ime, sino que se conserva l ibre pa ra ser ocupado por el p r imer e lemento que l legue. Es ta flltima condici6n la incluimos para hacer el modelo mgts adecuado a la pr~ictica, aun- que produzca una excepcidn a l a s r eg l a s -dadas en /1) y 9,). Es ta ex- cepcidn se ver~ reflejada en las p rop iedades del_ modelo, dando po t resul tado que las p rop iedades aplicables a un nf imero de canales igual o super ior a dos no lo sean cuando el nf imero de canales es uno.

Con estas tres condiciones tenemos que el nf lmero de canales no s61o no es fijo, sino que es a su vez una var iable aleatoria, como lo es el nfimero de e lementos en cola. Tenemos , pues, un proceso esto- c~istico b id imensional .

Si l tamamos r al nf imero de un idades en cota y s al nf imero de unidades , s iendo a tendidas ( q u e e n este modelo es igual at nf imero de canales, salvo en el caso de no haber unidad a lguna ni en cola ni s iendo atendida), podemos represen ta r los dis t intos es tados del s is tema como pun tos del plano, (r, s). Las posiciones accesibles del p lano (r, s) son todos los pun tos de coordenadas enteras con las

acotaciones : O < r < M , y O<s

las lineas r = M + l y r = - - l , reciben el nombre de bar re ras reflecto- ras, pues cuando el s is tema pasa del es tado (M, s) al (M +1 , s) la ba-

5 ,

I |

I i

�9 i

: _ v

- l O t 2 3 4 ' 5 P

Figura 1

\

M-4 M-2 ~'I .N

rrera r = M + l reflela el pun to representa t ivo del sistema, hac i6ndoto pasar al (M, s + l ) , y angtlogamente ocur re con la ba r re ra r = - l . L a f igura 1 nos da la representacidn gr~ifica de los pun tos accesibles .

Represen tamos el es tado de r un idades en cola y s en servici.o

UN MODELO DE. LA TEORIA DE COLAS 177

po t E(z, s) ; la probabi l idad de q u e e n el i n s t a n t e t el s is tema se halle en el estado E(r, s) es lo que recibe el hombre de p rohab i l idad del estado, y la representamos po t P(r , s; t) . E1 prob lema fundamen ta l de todo modelo de colas es calcular estas probabi l idades , pues, co- nocidas ellas, pueden calcularse otras muchas caracterlst icas intere- santes , como longi tud media de la cola, p robab i l idad de no tener que esperar , etc., comenzaremos, pues, pot calcular estas probabi l i - dades de estado.

Ta l como est'. p lanteado el p rob lema, es demas iado genera l para abordar lo , por lo que nos l imi taremos a es tudiar el caso en que tan- to el proceso de l legada y salida son procesos de Poisson ; es decir, que tanto la l legada como la salida de una un idad al sistema son su- cesos tota lmente aleatorios.

T iene inter6s este caso, pues los modelos con dichos procesos de l legada y salida, y

a) Un nfimero infinito de canales,

b) Un solo canal

son los mejor conocidos y, como veremos , no son ambos mS.s que casos llmites del modelo que es tudiamos , en el que haciendo M = 0 , se obt iene el caso a), y haciendo tender M a infinito se obt iene el caso b) ; pudi6ndose deduc i r todas las p rop iedades de ambos casos de las cor respondien tes de nuestro modelo .

Def in i remos, pues, los procesos de l legada y sal ida del s iguiente m o d o :

I) Cualquiera que sea el es tado E(r, s) en el t iempo t, la probabi l idad de que l legue una nueva unidad al s is tema en el intervalo de t iempo (t, t + h) es ),h, s iendo ~, un factor de p roporc iona l idad constante y caracterfst ico del f en6meno que da lugar a la l legada de unidades .

II) Cualquiera que sea el estado E(r, s) en eI t iempo t la probabi l idad de que t e rmine una un idad el servicio en un canal de terminado (y para todos los canales igual) en el in- tervalo de t iempo (t, ~+h) es i~h, s iendo 0 un factor de pro- porc ional idad constante y caracterfst ico del servicio. La pro- babi l idad de que termine el servicio una unidad cualquiera de l a s s en servicio ser~i st~h.

La probabi l idad de m~is de un cambio en el intervaIo (t, t + h ) es un infini t6simo de orden super ior a h.

S u p o n g a m o s ahora q u e e n el ins tan te t eI s istema est~i en un

3

178 jos~ ROMAm

determinado estado E(r, s) ; en el intervalo (t, t+ h) el sistema podr~i haber cambiado de estado pasando a cualquiera de los cuatro estados de su vecindad. Ahora bien, las probabilidades de pasar de E(r, s) a los estados adyacentes no son todas iguales, existiendo tambi6n algu- nos cambios con probabilidad cero.

I P, ~I+l [

~ [ I I I 1 1 ,_ r-l, ~i

X ~. "-

~176

Figura 2.--Caso general

Distinguiremos cuatro clases de estados, representados en las figuras $ a 5, segfin los posibles cambios de estado que pueden veri- ficarse.

En las figuras, hemos representado los cuatro estados adyacentes

I M,~+i 1

I l~ I ltl-l. ~ . ~- /N', ~I " �9 M+I,ll ~. 0

~ f~

Figura 8.--Barrera derecha

al que se considera, y los factores de proporcionalidad de cada cam- bio. As[ vemos, por ejemplo, en la figura 4 que del estado E(0, s) s61o podemos pasar al estado E (0s - -1 ) con probabilidades /~sh, o al

U N M O D E L O DE, LA T E O R I A D E C O L A S 179

estado E(1, s) con probabi l idad ).h, mient ras que podemos l legar a 61 desde E(0, s + l ) con probabi l idad ~ ( s + l ) h , o desde E(1, s) con probabi l idad ~sh.

S u p o n g a m o s ahora q u e e n el instante ~+h el s istema se halla en el es tado E(r, s), esto puede ocurr i r en los s iguientes casos.

~ 0,~+1 ]

! i ~ I 1 - l , ' a ~ 0,'$ 1,~

*~11 ~

Figura 4.--Barrera izquierda

a) En el i n s t a n t e t el s is tema estaba en este mismo es tado y no ha cambiado en el intervalo (t, t+h).

b) En el i n s t a n t e t el s is tema estaba en el es tado E( r - I1 , s) y lleg6 una unidad en el intervalo (t, t+h).

[ ! ~ -1,1

0,9. [

'~1 t ~

! ! 1 0,1 l , I P },

i" o,o 1 Figura 5.--Caso especial de un solo canal en servicio

c) En el instante t el s is tema estaba en el es tado E ( r + l , s) y una unidad t~rmin6 su servicio en el in tervalo (t, t+h).

180 JOSE ROMANI

C o m o estos tres casos son m u t u a m e n t e exc luyentes , la p robabi l i - dad P(~', s ; t + h) vendrgt d a d a p o t la s u m a de las p robab i l i dades de los tres casos e n u m e r a d o s , y p o d e m o s escribir

P (r,s; t +h) = ( 1 - - ) . h -- s ~ h) P (r~s; t) + ~.h P ( r - - 1, s; t ) +

+ s ~.h P (r + 1, s; t) (1)

cada s u m a n d o del s e g u n d o t6 rmino cor responde a cada uno de los apa r t ados a), b) y c) r e spec t ivamente .

Ecuac iones an~ logas se ob t i enen cons ide rando que en el ins t an te I + h el s i s tema se encuen t ra en c u a l q u i e m de los pun to s r ep resen tados en las f i gu ra s 3, 4 y 5, r e su l t ando :

P ~M,s; t + h) = (1 - k h - s ~ h 3 P ( M , s ; t ) + k h P (M,s - 1;t) +

+ )~ h P (~I - 1, s; t) (2)

P (0, s; t + h) = (1 -- k h -- s ~ h ) P(O,s; t ) + s ~ h P ( 1 , s; t) +

+ (s + 1) ~ h P (0, s + 1; t) (3)

P(0, 1, t + h) = (t - ) . h - - wh) P(0 , 1; t) + k h l ~(0,0; t ) +

+ p.h P (1, 1; t) + 2 p . h P (0, 2; t) (4)

P (0, 0; t + h) = ( t - )~ h) P (0, 0; t) + t~ h P (0, 1; t) (5)

Si ahora en la ecuaci6n (1) res tamos P(z, s ; t) de a m b o s m i e m b r o s v d iv id imos por h nos queda

1 ) (r, s" t + h) - P it , s: t) = - - (k + s p.) P (r, s; t) + k P (r - - 1, s; t) +

h + s ~ P ( r + 1, s; t)

y hac i endo t ende r h a cero resu l ta

P ' ( r , s ; t ) = - - ( k + s p . ) P ( r , s ; t ) + k P ( r - l , s ; t ) + * w P ( r + 1, s; t) (1')

v, a n ~ lo g amen te , se obt iene de las dem/~s ecuac iones

P ' ( M , s ; t ) = - ( k + s ~ ) P [ M , s ; t ) + ) . P ( M , s - 1; t ) + ) . P ( M -- 1, s; t) ('2')

P'(O,s;t) = - - O . + s ~ ) P ( O , s ; t ) + s ~ P ( 1 , s ; t ) + ( s + l ) ~ P ( O , s + l ; t ) (3')

P ' ( 0 , 1 ; t ) = - ( ~ - + v q P ( 0 , 1 ; t ) + ) . P ( 0 , 0 ; t ) + v - P ( 1 , 1 ; t ) + 9 ~ P ( 0 , 2 ; t ) (4')

P ' (0, 0; t) = - ). P (0, 0; t) + ~ P (0, 1; t) (5')

T e n e m o s asl un s i s tema de ecuac iones d i ferencia les que j u n t o con ias cond ic iones iniciales

1 :) (i, j ; 0) = 1, P (r, s; O) = O, r 27 i, s 3: j

U N M O D E L O D E L A T E O R I A D E C O L A S 181

si el s is tema estaba en el es tado E(i, j) en el or igen de t iempos, deter- minan totalmente las probabi l idades de los d is t in tos estados.

Ahora bien, cuando t--+oo, se demues t ra [3] que los l lmites

lira P (r, s" t) = p (r, s) t ~ a o

existen, son finitos, y son imdependientes de las condic iones inicia- les, lo que indica q u e e n un t iempo suf ic ien temente alejado del o r igen de t iempos, el sistema alcanza un estado de qui l ibr io estadfst ico en e i que si bien s iguen realizgmdose cambios de estados, las p robabi - !idades de cada estado permanecen constantes .

Como en real idad es este es tado de equi l ibr io el que interesa cono- cer, podemos hacer P'(r , s ; t ) = 0 en las ecuaciones anter iores , y subs- t i tuir P(r, s ; t) po t p(~', s), ob ten iendo en lugar de un sis tema de ecua- clones diferenciales el s iguiente s is tema de ecuaciones a lgebra icas en p(r, s), en el que hemos l lamado a ) , /~=p po t mot ivos de s implif ica- ci6n en la escritura,

- - pp (r - 1, s) ~ - (p + s ) p (r, s) - s p (r -}- 1, s) ---- 0 (6)

- pp ( l { - 1, s) + (p + s) p (1K, s) -- p p (]K, s - - 1) = 0 (7)

- s p (t, s) + (p + s ) p (0, s) - - (s + 1) p (0, s + 1) = 0 (8)

-- p (1, 1) + (p + 1 )p (0, 1) -- 2 p (0, 2) - - p p (0, 0) = 0 (9)

- - P v (0, 0) + v (0 ,1 ) = 0 (10)

el s is tema anter ior es en real idad un sistema de infinitas ecuaciones, pues s puede tomar cualquier va lor entero, pero si suponemos por un momento s=cons tan te , las ecuaciones (6), (7) y (8) forman un sis tema de M + 1 ecuaciones, si sumamos estas ecuaciones nos resul ta

- (s + 1) p (0 , s § 1) + (p + s) p (O,s) - - sp (1 , s ) = 0

- p p(O,s) + ( p + s ) p ( 1 , s) - s p ( 2 , s) = 0

-- p p (1 , s ) + ( p 4 s )p(2 , s) - - s p ( 3 , s) = 0 . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- p p (r - - 1, s) + (p + s) p (r, s) - sp (r 4 1, s) = 0 , . . ~ . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , , . . . , . . . . . ~ . . . , . . . . . .

-- p p ( 5 l - 3 , s) ~ - ( p + s ) p ( l ~ I - 2 , s ) - - s p ( M - l , s ) = 0

- p p ( S f - 2 , s ) + ( p + s ) p ( ~ - l , s ) - - s v (M, s) = 0

-- p p ( ~ - - l, s) 4- (p + s) p (M, s) - 9 p (M, s - l ) = 0

- ( s ~ - l ) p ( O , s + l ~ - s p ( O , s ) + p p ( M , s ) - - O p ( ~ , s - - 1 ) = O (11)

182 Jose ROMANI

pero si hacemos esta misma operacidn con s = l , para lo cuaI se ha de sust i tuir la ecuacidn (8) por la (9), obtenemos

- 9 p (0, 2) + pp (]g, 1) = 0 (19) y de (11) y (12)

p p (1~, s) = (8 + 1) p (0, s + 1) (13)

con esta reIacidn las ecuaciones (6), (7) y (8) pueden escribirse (orde- nando las ecuaciones con resecto a r)

(p + s) p (0, s) -- sp (1, s) = (s + 1) p (0, s + 1) (14)

- - p p (r - 1, s) + (p + 8 ) p (r, s) - - sp (r + 1, s) = 0 (15)

- p p (M - - l , s) + (p + s ) p (M, s) = sp (0, s) (16)

o bien desarrollando (15) dando valores a r .y escribiendo el sistema en forma matricial

( p + s ) - 8 0 . . . 0 0 0 . . 0 0 0 - p (p+s) - s . . . 0 0 0 . . . 0 0 0

0 - ~ ( p + s ~ . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 o o . ~ o . o o o , o o o . . . o , o , . . o , o o . . o o o . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

0 0 0 . . . - p ( p + s ) - s . . . 0 0 0 o o o . o o o . o o o o o o o o o , ~ o . o o . o . o . . . . . o . . . . . , . . . . . . . . . . o o o

0 0 0 . . . 0 0 0 . . . ( p + s ) - p 0 0 0 0 . . . 0 o 0 . . . - p (~+s) - p 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 - p (p+8)

(s + 1) p (0, s + 1) 0 0

= 0

0 0

sp (0, s)

=uando s = 1 la matriz del s egundo

p (0, s) p (1, ~) p (~, s)

p (r,.s) =

p (N:-2, s) p ( M - - l , s) p (M, s)

2p (0, 2) + p (0, 1) \

) 0 o

0

Si despejamos ahora p(r, s) en t~rminos de p(O, s) y p(O, s + l ) y hacemos r=O, tendremos una relaci6n de recurrencia entre p(O, s) y

t miembro queda t ransformada en

UN MODELO D~ LA TEOR~ DE COLAS 183

p(O, s+L), que nos permitir~ expresar todo p(O, s) en tdrminos de p(0, 0), y pot tanto, toda probabilidad de estado en funci6n de p(0, 0) ; uero la suma de todas las probabilidades de estado debe ser la unidad, y de aqu{ podremos hallar expllcitamente el valor de p(0, 0) teniendo, por tanto, resuelto el problema de hallar Ias probabilidades de los dis- tintos estados.

Veamos, pues, la forma de resolver el sistema (17). Si llamamos A a la matriz cuadrada del primer miembro de (17) y at- ] al elemento de la ilia i, y columna ]'(i, i = 0 , 1, ... M) de la matriz A -1, tenemos que

-1 p (r, 8) = a~ (s + 1) p (0, s + 1) + a t , sp (0, s) (18)

y en particular para s = l

p (r, I) -1 = at0 [~p (0, 2) + p (0, 1)] (19)

l)ero la matriz A es simdtrica respecto de la diagonal secundaria es decir

a i j ~ a M - j , M - I

y Io mismo ocurrir~i con los elementos de la matriz inversa

a -I ~ a -I I, J M-j, M-I

y tendremos a -I ~ a -I

r, M~ 0, M-r

es decir, que para resolver el sistema (17), necesitamos solamente los elementos de la primera fila y primera columna de A -*, (n6tese que la primera illa corresponde al sublndice i=O, y an~logamente la pri- mera columna a ] = 0 ) .

P o r definici6n

-I A~ a-1 AJ ~

a'~ oj-IAi

slendo Ai.j el adjunto de a~.j; necesitamos, pues, hallar tan s61o los valores de

IA[, Ao, i, Aj, o

Es f~cil hallar pot inducci6n que M+I

I A ] = p~+~ + p'~ s + p~-~ : +... + p' s M-~ + p sM+ s '~+~ = p'~+~ ~ 8 z p-K

x=o (20)

184 JOSE ROMANI

M-i Aol = pi (pM-i + pM-l-1 $ + . . . + p 8M-I-! -4- 8 M-I) = pM ~ $K p-K

K=0

M Aj0=sM-j(pi_3[_~-18 ~_ . . . ~_ psi-1 4_$j)_____ pM Z 8K P-K

K=3I-j

y de aqul M-I

sK p-K -1 0 -1

alo = M+I ; aoj --

9 Z S K o-K o

hi ~ sx p-x M-j

M+I PZ sz p-X

0

(2t)

(.02)

sustituyendo estos p(r, s) y p(r, 1)

( 8 + 1 ) p (r, s) = - - P

valores en (18) y (19) resulta como expresi6n de

M-r 2~ s K p-K

0 M+I

sx p-Z 0

M-r Z p-K

p (r, 1) = o M+I

p ~ p-X 0

M+I ~ sK 9-K

p (0, s + 1) + M-r+t M.~ p (0, s) (23)

X' s K p-Z 0

- - [2 p (0, 2) + p (0, 1)] (24)

si ahora hacemos r=O en (23) tenemos

M s K ~-E

s + 1 o sM§ p-(M+0 p (0, S) = - - p (0, s + 1) + p (0, s)

p M+i M+t

Z 8K~-K Z 8K~-K 0 0

[ M+t ) , ( 0 , 8 ) t ~ 0 8K , -K _8M+1D-("+I) s + l M -- o 2 ~ s K p - K p ( o ' s + l )

0

y de aqul

p (0, s) = (s + 1)p (0, s + 1) (25)

UN MODELO DE LA TEORIA DE COLAS t85

haciendo an~.logamente r = 0 en (9,4) ob tenemos

hi hi Zp- Zp-z

o 2 p (0 , 2) + o p (0 , 1) - hi+, ~+~ p (0 , 1)

pep -z pep -K 0 0

p (0, 1) p-Z _ p-~ = 2 p-Kp (0, 2) o

y de aqul

P 2 p ( 0 , 2 ) - M

Z p-K 0

p(o, 1)

l levando ahora el valor de p(0, s + 1) a la ecuacidn (9.3)

resul tando

I hi-r hi+l 1 s ~ p-~ ~ s K p-~

p (r, s) = o -Jr- M-r+1 M+I ~+1 ' p ( O , s )

~] ~ p-~ ~] ~ p-~ 0 0

p (r, s) = p (0, s) (27)

es decir, que las probabi l idades de los dis t intos estados con el mismo mlmero de canales (mayor que 1) son iguales.

L levando ahora el valor de p(0, 9) a (24) se obtiene amt logamente

Zp p+ Ep p(r, 1 ) - o o hi+, M io (0 , I) =

p ~ p - Z ~ p - Z 0 0

hi-r hi hi-r

_ o - ~ o hi hi p (0, 1) - ~ p (0, 1)

-I 0 0

(~

Es tamos ahora en condiciones de hallar la expresidn general de

186 JOS~- ROMANI

p(r, s) en t6rminos de los par~imetros del sistema, es decir, en t6rminos de M p, r y s. Para hallar esta expresi6n hemos de poner p(r, s) en funci6n de p(0, 0), resultando

M - r

Z p-:K 0

p (r, 1) = p ~ p (0, O) (29)

Z p-K 0

p (r, s) = p (0, s) = P 7 : 0 (0, s -- 1) =

i p" i -- s! ~ p ( O ' l ) - s! M p(O,O) (30)

Zp- Zp- 0 0

ahora bien

pero

Z p ( r , s ) = 1 r = 0 , 1 , . . . M

�9 , . s =.0, 1, . . .

r~ $ 8=1 r : O

M

Si l lamamos a Z p (r, s) = p ( . , ~) esta expresidn es la probabi l idad r = 0

de que haya s canales en servicio y de (2-7) y (9~) resulta

p ( . , s) = (M + 1) p (0, s) = (N + 1) P' 1 ! ~ p (0, O) (a l )

M - r

M . ~ UK

Z o p ( . , 1 ) = P M . p ( o , o ) = p r=O Z p-K

o

de donde

1 = p (0, 0)

Z p-K

0

M

~] (~ + 1 - K ) p-K 0

M

Z p-K 0

p(0,0) (32)

l+p ]

UN MODELO DR LA TEORIA DE COLAS 187

= p (o, O) I M M - I

0 -1

= p (0, O)

M

Z p-K 0

( M + l ) e p + Z ( M - K + I ) P-K 1

M

Z p-K o

y nos resulta, por tanto, M

E p-K

o (33) p (0, 0) = M

(M + 1) d + ~_j (M - K + I) p-K 1

y de aqul las expresiones generales M - r

Z p-K P o

p (r, 1) -- 1~- ~t (34)

(3[ + l ) e p + Z ( M - K +1) p-K 1

r 1 (35) p (r, , ) - s I M

(~[ + 1) e p + ~ (M - K + 1) p-K 1

y tenemos asl totalmente resuelto el problema de hallar las probabili- dades de estado.

Como dijimos al principio este modelo incluye los casos particula- tes de un solo canal, cuando M tiende a infinito, y de infinistos cana- les cuando M = O, vamos ahora a determinar las probabilidades de estado de estos dos casos, a partir de nuestro modelo, ecuaciones (34:) y (35)

p" Para M = O , p ( r , s ) = - ~ , e -p

valor que coincide con p, correspondiente a s unidades en servicio, v~ase por ejempIo [4] p. 337.

188 JOSS ROMANI

P a r a M--+ c~, la expresidn para p~ en el caso de un solo se rv idor co- r responde a p ( n - 1 , 1) con nuestra notaci6n y P0 equivale a p(O, 0), y resul tan los valores

l i m p ( 0 , 0 ) = l - - p ; l i m p ( n - - l , 1) = p" (1 - - p)

de acuerdo con [4] p. 379.

U n a vez halladas las p robabj l idades de los dis t intos estados, es in- mediato de terminar otras muchas prop iedades referentes a d is t r ibucio- nes marginales , valores medios, etc., c i taremos tan sSlo la s igu ien te propiedad : el ndmero medio de un idades en servicio es igual al co- ciente de los factores de p roporc iona l idad de los procesos de l legada y salida, en efecto

E (s) = X i p ( . , i) = M

~ ( ~ - K + 1) p-~ o ( N + I ) ,~ pss

( l ~ + l ) e P + ~ _ f l l ~ _ K + l ) p - x ( 1 K + I ) e P + ~ ( I ~ _ K + I ) p - K 1 1

(hi + 1) p-K 1~+ 1 p~-I

= P . . . . . . + ~t = [(1~I-t-1) e § Z ( N - K + 1 ) P - K , (3~+I)eP+Z(3Z[--K+I)p-Ks=2(S--1)']

(51 + 1) + ~ (N~-K + 1) p-s: + ( N + 1) (e ~ - 1) r

= p - - - - - - - - - - . . . . . . p

( M + l ) e ~ + ' ~ ( ~ I - K + I ) O -:K 1

B I B L I O G R A F I A

[1] KENDALL, D. G. : ,Some problems in the theory of queues,,. ]our. Roy. Star. Soc. Series B, vol. 13, 1951, pp. 151.-185.

[91 ROMANI~ ]. : ,La teor/a de las colas aplicadas a un problema de producci6n industrial)>. TgaBAJOS DE ESraDISrlCA. V(>I. VI. Cuad. III, 1955, pp. 259.

[3J F~-~_~r.~R, W. :<cOn the integrodifferential equations on completely dlscontinuos Markoff processes,. Tran. Am. Math. Soc. Vol. 48, 1940, pp. 488~15.

[4] FELLER, W. = r introduction to Probability Theory and its Applications,. Wiley, New York, 1960.

UN MODE.LO DE LA TEOR1A Dk. COLAS 189

S U M M A R Y

In this paper the author gives the state probabilities of the following queue model.

The arrival and departure precess are at random with k = m e a n arrival and /~=mean servicing time in a single channel .

The number of channels is in this model a random number depending upon the length of the queue; when the number of wait ing units is M and it arrives another unit , the number of channels is increased in one, and this channel ser- vices the first unit in queue; when a channel is free and none uni t being in queue, this channel es cancelled. Only in the case of the last channel this should be open. So we have the lenght c.f the queue is never greater than M.

The notation used in the paper i s : r = n u m b e r of units in queue. s = n u m b e r of channels (of number of elements being serviced).

),

P(r, s ; t )= Probability of the state (r, s) on t ime t. p(r s)'= Probability of the state (r, s) in the steady state of the model.

With this notation, we have

P ( r , t ) - o M

+ E ( M - - K + t) ( M + I ) eP p-K

i ( 3 4 )

1 p (r, s ) - -

M

( ~ + 1) r -t- E (M - - ~K-~- 1) p-K

1

This model includes as particular cases the model of a single channel, equi- vale to M--->oo and the model of infinite channels , equivalent to M=O.