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SupraflüssigkeitenSupraflüssigkeitenDietrich Einzel
Walther-Meißner-Institut für TieftemperaturforschungBayerische Akademie der Wissenschaften
ÜbersichtÜbersicht
• Die Supraflüssigkeiten 4He und 3He• Faszinierende Eigenschaften von Supraflüssigkeiten• Faszinierende Eigenschaften von Supraflüssigkeiten• Klassifizierung: Flüssigkeiten, Festkörper, Entartung • Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik• Quanten-Hydrodynamik und Bose/Fermi-Suprafluidität• Bose-Einstein-Kondensation, WW-Effekte• Fermi-Paarkorrelationen (BCS, Leggett) • Zusammenfassung
1
Die Quantenflüssigkeiten 4He und 3HeDie Quantenflüssigkeiten 4He und 3He
He-IFermi-
He-II
2.17KSource: Dr. D. I. Bradley, Lancaster Univ., UK
Supraflüssige Phase (He-II) [Onnes, Allen, Keesom, Misener,
Supraflüssige Phasen (3He-A,B),[Lee, Osheroff und
y, ,
2
Wolfke, Kapitza,... 1910-1938]Physik-Nobelpreis (Kapitza): 1978
Richardson, 1971]Physik-Nobelpreis: 1996
Faszinierende Eigenschaften von Supraflüssigkeiteng p g
Dauerströme U-Rohr-Schwingungen Thermomech. Effekt
Becherglas-ExperimentSuperleck Krit. Geschwindigkeit
3Source: Dr. D. I. Bradley, Lancaster Univ., UK
Klassifizierung: Flüssigkeiten, Festkörper, Entartungg g , p , g
charakteristische Energien A. mittleres WW-Potential
B h i h E iB. thermische Energie
Kriterium: flüssig/festflüssig
Kriterium: flüssig/festfest
Quantenmechanik: C Nullpunkts-EnergieQuantenmechanik: C. Nullpunkts-Energie
Teilchenzahldichte
Teilchen in mittlerem Volumen
DeBroglie WellenlängeDeBroglie-Wellenlänge
Impuls-Unschärfe
Nullpunkts-Energie4
Klassifizierung von Flüssigkeiten (T*=K0/kB)
A. Klassische Flüssigkeiten
g g ( 0 B)
g
B. Quantenflüssigkeiten
Alternatives Kriterium: thermische DeBroglie-Wellenlänge
A. Klassische Flüssigkeiteng
B. Quantenflüssigkeiten
Die Teilchen werden ununterscheidbar!5
Entartung: Bosonen und Fermionen
N Teilchen der Dichte n=N/V: 4He: n = 4.1021 cm-3
KlassischerQuanten-
0 1 T[K]4a
KlassischerLimes λT < aT > T*
Quantenmechanisch
λT > aT < T*
λΤq.m. klass.T > T
Teilchen sind
T < T
EntartungTeilchen
2a T*q
sind unter-
scheid-bar
Teilchen sind
ununter-scheidbar
abarscheidbar
0 10 000 T[K]0
e- : n = 3.6.1021 cm-3
6
Ein Teilchen in Kubus mit a = 1/n1/3
Klassifizierung von Vielteilchensystemeng y
Photonen, Pionen, Mesonen, 4He-Atome, ...
Elektronen, -Nukleonen, 3He-Atome, ...
Ununterscheidbarkeit von Elementarteilchen: Symmetrie derUnunterscheidbarkeit von Elementarteilchen: Symmetrie der Vielteichen-Wellenfunktion bez. des Austauschs von Teilchen 1 und 2
Bosonen: symmetrische W.F.ganzzahlige Spins
Fermionen: antisymm. W.F.halbzahlige Spins
Pauli-Prinzip: zwei Fermionen können nicht denselben quantenmechanischen Zustand besetzen!
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Klassifizierung von Vielteilchensystemen (ctd.)
Beispiel: zwei Teilchen (1,2) in den beiden Quantenzuständen A und B
g y ( )
Klassisch: vier unterscheidbare MöglichkeitenDoppel Besetzungs Verhältnis: 1/2Doppel-Besetzungs-Verhältnis: 1/2
Bosonen: drei MöglichkeitenDoppel-Besetzungs-Verhältnis: 2/3
Fermionen: eine MöglichkeitDoppel-Besetzungs-Verhältnis: 0
Bosonen: Tendenz zur Besetzung desselben Quantenzustandsg Q
Fermionen: nicht einmal Doppelbesetzung möglich (Pauliprinzip!)8
Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik
Energie-Dispersion
2(freie Teilchen: )
Imp ls erteil ng
2
nImpulsverteilung
Fermi-Dirac
nk
1
Bose Einsteinchemisches Potential Bose-Einstein0
0 μ ε0 μF εk9
Drei Arten von Quantenflüssigkeiteng
Isotopen 3He und 4He, Mischungen 3He in 4He
A. Flüssiges Helium
p gKleine Massen → hohe Entartungs Temp‘n T*geschlossene 1s-Schale → schwaches <V>→ Flüssigkeit bis zu T=0A. Flüssiges Helium Flüssigkeit bis zu T 0→ Verfestigung nur unter Druck4He: Bose-Flüssigkeit (Spin 0)3He: Fermi-Flüssigkeit (Spin 1/2)He: Fermi-Flüssigkeit (Spin 1/2)T* einige K
B. Metall-Elektronen Fermionen mit kleiner Masse, Dichte wie HeT* einige 104 K
C. Kern-MaterieFermionen im Inneren großer Kerne (Raum-T)Inneres von Neutronensternen (Pulsare) extrem hohe Dichten, T* einige 1012 K (!!!)
10
Historische Fakten: 4He
1871 He-Linie im Emmissionspektrum der Sonne1871 He Linie im Emmissionspektrum der Sonne
1895 Erste gasförmige Probe [Ramsay, Cleve and Langlet]
1907 α-Teilchen sind Helium Kerne [Rutherford and Royds]1907 α Teilchen sind Helium Kerne [Rutherford and Royds]
1908 Erste Helium-Verflüssigung [H. Kamerlingh-Onnes]
1910 Dichte-Maximum in 4He bei 2.2 K [H. Kamerlingh Onnes]1910 Dichte Maximum in He bei 2.2 K [H. Kamerlingh Onnes]
1923 λ-förmige riesige Spezifische-Wärme Anomalie bei Tλ=2.2 K[Dana und Onnes]
1925 Vorhersage der Bose-Einstein-Kondensation [Bose & Einstein]
1927 Zwei Phasen: He-I (T>Tλ) und He-II (T<Tλ) [Keesom & Wolfke]
1930 Strömung von He-II durch schmale Schlitze: „Superlecks“[Keesom & van der Ende]
1935 Starker Abfall der Viskosität unterhalb Tλ[Wilhelm, Misener & Clark]
11
Historische Fakten: 4He (ctd.)( )
1938 Verschwindender Strömungswiderstand [Allen and Misener]S fl idi ä “ [K i N b l i 1978]„Suprafluidität“ [Kapitza, Nobel prize 1978]
1938 Experimente mit oszillierenden Scheiben [Keesom & McWood]
1938 hä l i h B h ib [F L d ]1938 phänomenologische qm Beschreibung [F. London]
1940 Phänomenologische Zweiflüssigkeitsbeschreibung [Tisza Landau][Tisza, Landau]
1945 phänomenologische Theorie von He-II [Landau]
1947 Wechselwirkende Bosonen: Phononen [Bogoliubov]1947 Wechselwirkende Bosonen: Phononen [Bogoliubov]
1947 Elementare Anregungen: Phononen und Rotonen [Landau]
1954 Mean-Field-Beschreibung des Transports [Ginzburg and Landau]1954 Mean Field Beschreibung des Transports [Ginzburg and Landau]
1957 Quantitatives Verständnis des Phonon-Roton Spektrums[Feynman, Cohen]
1961 Zeitabhängige Mean-Field-Beschreibung für Bose-Kondensate [Gross and Pitaevskii] 12
Historische Fakten: 3He
1939 Entdeckung des stabilen Isotops 3He [Alvarez & Cornog]
1947 E t E i t it fö i 3H1947 Erste Experimente mit gasförmigen 3He
1949 Erste Kondensation von 3He-Gas [Sydorniak and Co.]
1956 Th d F i Flü i k it [L D L d N b l i 1962]1956 Theory der Fermi-Flüssigkeiten [L. D. Landau, Nobel prize 1962]
1960s Experimente mit Fermi-Flüssigkeit 3He [versch. Experimentatoren]
1963 E t Th i fl id 3H [A d d M l1963 Erste Theorie von superfluidem 3He [Anderson and Morel, Balian and Werthamer]
1971 Entdeckung eines superfluiden Phasenübergangs bei 2 mK1971 Entdeckung eines superfluiden Phasenübergangs bei 2 mK[D. Lee, D. Osheroff & R. Richardson, Nobelpreis 1996]
1971 Erweiterung der BCS-Theorie auf Spin-Triplett-Paarung, SBSOS[A. J. Leggett, Nobel prize 2003]
1977 Erste Experimente mit sf 3He in Deutschalnd [G. Eska et al.]31994 Entdeckung von superfluidem 3He in (Silica-) Aerogel:
Schmutzige Fermi- Supraflüssigkeit [T. Porto & J. M. Parpia]13
Quanten-Hydrodynamik und Bose/Fermi-Suprafluiditäty y p
neutrale qm Teilchen: Bose-Teilchen Fermionen-Paare
M = k m k = 1 k = 2
Kondensat- Wellenfunktion[F. & H. London, 1935;Max von Laue 1938]Max von Laue, 1938]
Superfluide Dichtep
Schrödinger-Gleichung
chemisches Potential 14
Quanten-Hydrodynamik und Bose/Fermi-Suprafluidität (ctd.)
London-Madelung- (1) „Kontinuität“
y y p ( )
o do ade u gGleichungen (quasi-klassischer Limes ħ2 →0)
( ) „
(2) „Hamilton-Jacobi“Limes ħ →0)
T il h S
Jacobi
Teilchen-Supra-Strom-Dichte
Kondensat-Beschleunigung:
→ Euler-Gleichung der Hydrodynamik
Thermomechanische Effekte:15
Bose-Einstein-Kondensation εk
Impuls-VerteilungImpuls Verteilung
Teilchenzahl
k>0k>0„ex“
Dichte angeregter Zustände
nex=n nur für T>TB mit
16k=0
Bose-Einstein-Kondensation (ctd.)( )
33
2
Die Funktion B (μ)Die Funktion B3/2(μ)1
0
17
-2 -1 0μ/kBT0
Bose-Einstein-Kondensation (ctd.) εk( )
kritische Temperatur (μ → 0-)
k>0„ex“μ =0 unterhalb TB
makroskopische Besetzung des Quantenzustands k=0!
18k=0
p g
Bose-Einstein-Kondensation (ctd.)
Anregungs-Dichte (T<TB)
( )
11
n0/n
Kondensat-Dichte
nex/n
0
20
00
1T/TB
Suprafluidität und thermische Anregungen (Lev Landau)p g g ( )
Makroskopisches Objekt (Masse M) wird durchSupraflüssigkeit bewegt Bei welcher GeschwindigkeitSupraflüssigkeit bewegt. Bei welcher Geschwindigkeitwird eine thermische Anregung (Ep,p) erzeugt?
M
Elimination von liefertvv
Landau‘s kritische Geschwindigkeit:
Freie Bosonen: vL=0!21
Wechselwirkungs-Effekte in Bose-Systemen g y
schwache Wechselwirkungen:Phononen
starke Wechselwirkungen:Phononen und RotonenPhononen
[Bogoliubov, 1947]Phononen und Rotonen[Landau, 1947, Feynman, 1953]
EpEp
rotons
Δp2
2mphonons
0phonons
2m
022
0 pp00
p00
Wechselwirkungs-Effekte in Bose-Systemen (ctd.)
Spektrum elementarer Anregungen: Phononen und Rotonen [Feynman & Cohen, 1957]
g y ( )
[ y ]
Allgemeines AnregungsspektrumEp
rotons
PhononenΔ
phononsRotonen
phonons
0
23
p0 p0
Entartete Fermi-Gase
entartetes Fermisystem entartetes Fermisystementartetes FermisystemT>0
entartetes FermisystemT=0
(Fermi-See)
11
E00
00
24
εkEF0εkμ0
Entartete Fermi-Gase (ctd.)
Anregungs-Dichtenex
( )
T
Wärme-Kapazität [Sommerfeld, 1927]
T
CV
Spinsuszeptibiliät [Pauli, 1927]
T
χχs
25
T
Paarformation in Fermiflüssigkeiten (BCS, Leggett)g ( gg )
Energie-Variableg
Paar-Anziehung in der Nähe der FermiflächeCooper, 1957, Leggett, 1972
Gesamt-Spin des Cooper-PaaresGesamt Spin des Cooper Paares
Singulett-Paarung:( öh li h SL)(gewöhnliche SL)
Triplett-PaarungTriplett-Paarung(3He-A, B, exotische SL)
26
3He-A:3He-B: , , , (equal spin pairing)
Paarformation in Fermiflüssigkeiten (ctd.)g ( )
Paarpotential„Bindungs-energie“
Energie wird Matrix im Teilchen-Loch- (Nambu-) Raum für T<TcYoishiro Nambu, 1962
Di li i
Teilchen Mischung
Diagonalisierung
Bogoliubov, 1957g
LöcherMischung
27
Nebendiagonale langreichweitige Ordnung[engl.: off-diagonal long range order, (ODLRO)]
Paarformation in Fermiflüssigkeiten (ctd.)g ( )
Energiedispersion der thermischen Anregungen (Bogoliubov Quasiteilchen
Ek
(Bogoliubov-Quasiteilchen, Bogolonen)
bogolonsbogolons
ΔΔk
028
kF k00
Paarformation in Fermiflüssigkeiten (ctd.)g ( )
Energielücken in den superfluiden Phasen von 3Heg
3He-A axialer Zustand3He-B, pseudo-isotroper Zustand
29
He A, axialer ZustandAnderson, Brinkman, Morel
(ABM), 1961
He B, pseudo isotroper ZustandBalian, Werthamer
(BW), 1963
Massenströme im superfluiden Heliump
Superfluide Geschwindigkeitg
normalfluide Geschwindigkeit
Impulsverteilung(„lokales Gleichgewicht“)
Massenstrom (Zweiflüssigkeits(Zweiflüssigkeits-Beschreibung)
normalfluide Dichte
superfluide Dichte30
Massenströme im superfluiden Helium (ctd.)p ( )
He-II, 3He-B: 3He-A:
Normal- und superfluide Dichte, He-II Normalfluide Dichte, 3He-A,B
ρn(T)/ρ
11
ρρ ss(T)/(T)/ρρ
11
A║
ρ (T)/ρρρ ( )( ) ρρ
A║
BA┴
00
ρρnn(T)/(T)/ρρ
00
31
00 1100
T/Tc00 1100
T/TT/Tλλ
Die Spinmagnetisierung im superfluiden 3He-A, Bp g g p
Magnetfeld führt zur Spinmagnetisierung
Impulsverteilung
Magnetisierung
Spinsuszeptibilität
32
Die Spinmagnetisierung im superfluiden 3He-A, B (ctd.)p g g p ( )
A1(ms=±1)
⅔ ( 1 0)B⅔ (ms=±1,0)
Χ(T)/ΧN
0
ms=0
33T/Tc
00 1
Die Spinmagnetisierung im superfluiden 3He-A, B (ctd.)p g g p ( )
A1
(ms=±1)
( 1 0)23 B (ms=±1,0)3
Χ(T)/Χ
13
Χ(T)/ΧN
0
ms=0
34T/Tc
00 1
Zusammenfassung und Ausblickg
Kleine Massen, qm Nullpunkts Bewegung:qm Nullpunkts-Bewegung:Kondensations-Temperatur
Teilchen Ununterscheidbarkeit → StatistikTeilchen-Ununterscheidbarkeit → Statistik
superfluides Helium-4 superfluides Helium-3
Bose-Gas-ModellBose-Einstein-Kondensation
Fermi-Gas-ModellFermi-SeeBose Einstein Kondensation
WW-Effekte: Landau QT‘sPhononen und Rotonen
Kondensat Fraktion
Fermi SeeWW-Effekte: Landau QT‘s
effektive Masse, ...Triplett Paar KondensationKondensat-Fraktion
Phonon/Roton-Responseeinfaches Zweiflüssigkeits-Bild
Triplett-Paar-KondensationBogolon-Responsekomplexes Zweiflüssigkeits-Bild
35
Bosonische und fermionische Suprafluidität alsmakroskopisches Quantenphänomen
Appendix 1: Wissenswertes über Heliumpp
A: Vorkommen 4He: in der Erdatmosphäre: 2 10-5A: Vorkommen 4He: in der Erdatmosphäre: 2 . 10-5
3He: in der Erdatmosphäre : 10-6 . 2 . 10-5
4H i E d f 10 2
B. Gewinnung: 4He: aus Erdgas (Destillation)
4He: im Erdgas: a few 10-2
g g ( )3He: aus Kernreaktion:
C. Kosten: 4He: 1 m3 € 5.-3He: 10-3 m3 € 200.-
Appendix 2: Typische Quantenflüssigkeitenpp yp g
m[g] n[cm-3] T*[K] Statistik
3He 5.01.10-24 1.63.1022 5.10 Fermi
4He 6.65.0-24 2.18.1022 4.66 Bose
Elektronenin Na 9.11.10-28 2.65.1022 3.88.104 Fermi
Kern-materie 1 67.10-24 1 95.1038 8.1011 Fermimaterie 1.67 10 1.95 10 8 10 Fermi
Appendix 3: Wechselwirkungs-Effekte in Bose-Systemen
0<T<T T=0
pp g y
0<T<TB T=0
Anregungen T>0Anregungen T 0
Anregungen T≥0Kondensat-Fraktion
Appendix 4: Phononen-Responsepp p
Anregungssprektrum
Bose-Einstein-Verteilung
TeilchenzahldichteTeilchenzahldichte
Normalfluide Dichte
Appendix 5: Rotonen-Responsepp p
Anregungssprektrum mr=Rotonen-Masse
Bose-Einstein-Verteilung
Teilchenzahldichte
Normalfluide DichteNormalfluide Dichte
Appendix 6: Bogolonen-Responseg
Anregungssprektrum
Äquivalenz zum Rotonen Spektrum
Fermi-Dirac-Verteilung
Rotonen-Spektrum
g
TeilchenzahldichteTeilchenzahldichte
Yosida-Funktionen
Normalfluide Dichte
Appendix 7: Der Strukturfaktor S(p) von He-IIpp (p)
Richard P Feynman:Richard P. Feynman:(from: „The beat of a different drum“Jagdish Mehra, 1994)
„I cannot remember, how it happened.I was walking along the street... andzing! I understood it!“ ...
... „But of course, that is just what liquids„ u o cou se, a s jus a qu dsmust do. If you measure X-ray diffraction,then because of the spatial structure of the liquid which is almost like a solidthe liquid, which is almost like a solid, there will be a maximum corresponding to the first diffraction ring of the X-ray pattern! That was a terriffic moment!“pattern! That was a terriffic moment!
Appendix 8: Zweiflüssigkeitsbeschreibung vonFermi-Supraflüssigkeiten
ħħωAnregungen Kondensat
EF
quasiklassisch ħω << EF
Δ Paarbrechung ħω ≥ 2ΔPaarschwingung ħω ≈ Δ
stosslos ω >> 1/τ
hi ht h d d i h ħ/τhicht-hydrodynamischω ~ 1/τ makroskopisch ħω << Δ
hydrodynamisch ω << 1/τZweiflüssigkeitsbeschreibung!
Appendix 10: Ein Nambu-Raum, gesehen an einem Deutschen ForschungsinstitutDeutschen Forschungsinstitut
Nambu-RaumN b M t iNambu-Matrizen
Eintritt nur fürTeilchen |k,σ>e c e | ,σLöcher |-k,-σ>
Appendix 11: Die supraleitende Energielücke
Der Limes T → 0:
Der Limes T → Tc:
Gap-Interpolation(x=1-T/Tc):
Appendix 11: Die supraleitende Energielücke (ctd.)
BCS-Mühlschlegel parameter
(pseudo-)isotropeisotrope Paarung