Über korrelationen linearer räume in sich selbst

191

[Jber Korrelationen linearer Rgume in sich selbst.

Von Paul Roth in Wien.

Bcgonnen wurden die Studien der Projektivit~ten linearer Raume in sich sdbst in don 80or Jahren des vergangenen Jahr- hunderts yon Segrel)~ dot die damals gerade begrt~ndete Weler- strafische Elementarteilertheorie in ihrer Bedetltung f~ir die Theorie der gomographien darlegte. Einige Jahre sparer hat dann P ro - d e 11 a s) die Hauptsgtze der Kollineationetheorie mit Bentitzung einer Reihc yon Ergebnissen, die S e g r e zu Tage gefSrdert hat~ auf eine rein geometrische Art hergeleitet; er hat dabei den Elementarteiler- begriff explizite nirgends verwendet nnd das wesent]iche Moment seiner Beweisfahrung liegt in dem Satz% da~ jede sogenannte par- tikulgre Homographic aufgeik~t werden kann als Grenzfall einer allgemeinen.

Diese Predellasehe Auffassungsweise hat nun aueh B e r t i n i s) ben~itzt~ um in seinem bekannten Lehrbuch ~tber projektive mehr- dimensionale Geometric die Kollineationstheorie vorzutragen. Er gelangt dort auf einem etwas gekttrzten~ aber prinzipiell yon P rede l l a nicht versehiedenen %u zu ganz derselben kanonisohon Form~ auf die man jedc be]iebigc einer bestimmten Klasse projektiv nieht versehiedener~ nicht degenerierter Homographien durch pas- sonde Wahl des Koordinatensystems bringen kann.

Hat so B e r t i n i in seinem Buohe die Theorie der Kollinea- tionen linearer Raume in sich selbst in ausfiihrlicher~ mit kompletten Beweisen versehener Art durchgeftthrt~ so l ~ t seine Behandlungsweise der parallel gehenden Theorie der Korrelationen~ soweit sic nieht speziell Polarsysteme odor Nullsysteme betrifft~ insofern zu wtinsehen ~brig, als wohl die Hauptsatze der Theorie erwghnt~ abet nicht bewiesen werden. Diesen Umstand glauben wir so erkl~ren zu dttrfen~ dal~ die Arbeit

1) S e g r e : Sulla teoria e sulla classificazione delle omografie in uno spazio ad un numero qualunque di dimensionl (Memorie della R. Academia dei Lincei, Serie III~ Bd. 1% 188~), welters eine erganzende Note: Sugli spazi fondamentali di una omografia (Rendiconti della R. Academia del Lincei~ Serie IV~ Bd. % 1886).

2) P r e d e l l a : Le omograiie in uno spazlo ad un numero qualunque di dlmensioni (Annali di matematica, Bd. 17, 1890).

s) B e r t i n i : Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspaM (Pisa 1907).

192 Paul Roth.

yon 1Kedieil)~ die sich mit diesem Gegenstand besehaftigt and die die Theorie in einer sehr sehSnen und eleganten, auf Predellasehe Resultate fugenden geometrisehen Behandlungsweise zur Dureh- fiihrung bringt, zur Zeit des Erscheinens des Bertinischen Buehes wohl selbst sehon ersehienen war, abet mit ihren komplizierten De~ailausftihrungen nieh~ gut dam doeh e~was elementareren Rahmen der Bertinisehen Darstellungsweise angepagt werden konnte.

Nit den hier ver~ffentlichten Ausftihrungen verfolgen wir. den Zweck~ darzutun, wie diese Lticke des Bertinischen Buehes ausge- ftlllt warden kann. Mit ganz einfaehen Nitteln warden hier die Haupts~tze der Korrelationstheorie bewiesen, freilich tritt bei diesen Beweisen des rein analytisehe Moment etwas mehr in den Vorder- grund, als es sonst in den eben zitierten Arbeiten der Fall ist.

w

Einige rtiekerinnernde Vorbemerkungen aus der allgemeinen KoUineations- und Korrdationstheorie mSgen zun~tehst bier Platz finden. Seien die Gleichungen einer Kollineation ~ zwisehen zwei konlokalen r-dimensionsalen R~umen $7, und S~ gegeben durch

f

(1) k ~ O

wobei die Koordinaten der Punkte & und x~ ( i ~ O, 1 , . . . r) sieh auf die gleiehe Fundamentalpyramide und auf den gleiehen Einheits- punkt des Operationsraumes beziehen, den wir, wenn eine Sehei- dung in zwei ineinander liegende R5ume nicht nStig erseheint~ kurzweg als S~ bezeichnen. Des Hauptproblem der Theorie ist nun die Aufsuehung der sieh selbst entspreehenden Pnnkte, deren Koor- dinaten den r @ 1 linearen Gleichungen

7"

k ~ 0

gentigen mttssen, and die nur dann 15sbar sind, portionalitatsfaktor 9 der eharakteristisehen Gleiehung

(2)

wenn der Pro-

C~O,O - - ~ GtO,1 ~ . . . . . . . (~0,7,

�9 . G t ?,? = o (3)

I C~r,O~ a 7 , , 1 ~ . . . . . . . C~r,7, - -

MSge (3) m versehiedene Wurzeln p'~ p"~ . . . . p(~)~ die alle gen•gt.

1) s. Medici: Sulle omogmfie e correlazioni non singolari in uno spazio ad un aamero qualunque di dimensioni (Giornale di matomatiche, Bd. 44, 1906).

Uber Korrelationen linearer Ri~ume in sich selbst. 193

yon Null versehieden sind, 1) besitzen and bezeiehnet man mit r - - h ( 0 - 1 den Rang der Determinante D (?(0), das heifit also der Determinante / ) (p), naehdem in ihr ? = p(~) eingesetzt wurd% so gehSrt zu 9(i) ein Sl,(z)-_~ ̀ con unierten Punkten. Da ?(') unter diesen Umsta~den eine mindestens h(0-faChe Wurzel ,con D (p)-~-0 ist~ so besteht die Relation

h ' § h " - t - �9 �9 �9 -4- 7~(~ < r § 1. (4)

Von dem m Fundamentalr~umen der ttom0graphie

~,,-1, Xh,,_1,...%~,(~)-1 gilt tier Satz, da6 sie `con einander unabh•ngig sind.

Bekanntlieh leitea sieh aus (1) die Gleiehungen der inversen Homographie to -* zMschen S" und S~ in der Form ab

~ ~ = ~ . a . k~ ~k' (i = 0, 1 , . . . r), (5) k ~ 0

wobei ~i and ~ Hyperebenekoordinaten yon S~ und S; bezeiehnen. Der Substitutionsmodul in (5) ist aus dem gegebenen in (1) dadureh entstanden~ dag Zeilen und Kolonnen vertauscht wurden~ oder~ wie man sieh ausdrtiekt, der Substitutionsmodul yon (5) ist konjugiert zu dem yon ([). In dualer Weise fragt das Hauptproblem naeh den unierten Hyperebenen yon ~ - ~ oder~ was auf dasselbe heraus- kommt; `con u) und man sieht dann unmittelbar~ daft der Proportio- tionalit~ttsfaktor ~ ganz derselben Gleiehmag (B) zu gen~gen hat wie das p yon (1). Es wird dann in leieht verstandlieher Weise m zu den respektiven Zahlen p'~ p"~ . . . p('~) gehSrige Sterne anierter Hyperebenen

~h,-1, Et~,,-~, �9 �9 �9 Eh(,n)-i

geben und zwei Rgume Si,(i)_~ und ~h(~')-l, die zu der gleiehen Wurzel p(o geh~ren~ nennt man konjugiert. Man leitet dann leieht den Segresehen Satz ab~ dag der Tr~iger eines '211~(i)_1~ der ein S,.-h(~') ist~ alle unierten Punktraum% die zu }2h(i)_~ nieht konjugiert sind, enth~lt. Den konjugierten Raum Sh(0-~ enth~lt der S~_h(0 entweder gar nieht oder er enth~tlt ihn teilweise eventuell `collst~tndig. Tritt ft~r alle m Paare yon Fundamentalr~umen Sh(~)-i and '~h(,)_~ der erste Fall ein~ so daft also der S~(,)_a and der Tr~ger S~_~,(o fttr jedes i `con einander unabh~ngig sind~ so sagt man yon der Homographi% sie wSre allgemein, tritt aber wenigstens ftir eine Warzel p(o ( i : 1~ 2 , . . . m) der eharakteristisehen Fun- damentalgleiehung (3) Abhangigkeit der in Rede stehenden Punkt- r/~ame ein~ dana hei6t die Homographie partikul~r. Atlgemeine mad

~) Wtirde D (,~) auch die Wurzel p ' ~ 0 besitzen, so miigte die Detorminante l a~,~l gleich Null sein uncl die Projektlvit~,t witre degeneriert; den Fall tier Degeneration schlie6en wit ab6r aus.

194 Paul Roth.

partikul~tre Homographien sind aueh dadurch nnterseheidbar~ dag ftir jene ia der Relation (4) das Gleiehheitszeichen statthat, wahrend fur diese das Ungleichheitszeichen gilt.

Bei einer allgemeinen Homogralohie ist also der Operations- ranm S,. wegen der erwahnten Eigenschaft und der gtiltigen Un- abMngigkeit genau der Verbindungsraum der Fundamentalr~tume, und wenn man das Koordinatensystem so wahlt~ dal3 die ersten h' Eeken A0~ A 1 . . . An-11) im Sh;-1, die h" Seheitel AI~,~ Aw+~.. . �9 . . Ah,+u,-1 im S u - 1 usw. liegen~ so last sieh eine allgemeine Homographie mit den m Wurzeln p', p " . . . p0~) stets auf die Gestalt bringen

pXo = p'x o p

DXl ~-- D'Xl �9 �9 �9 o ~ �9 �9 �9 , �9

~x)~,_l= p 'xu -1 (6)

?x)e -= p" xa, . . . . . . . . ~ . . . . . . .

p x'r ~ p 0,0 x~.

D 'r p'" p(,0 Nennt man die m - - 1 Verh~ltnisse . . . . . die absoluten

Invarianten der Homographi% da sie sich ja nach bekannten Satzen nicht andern~ wenn man yon einer I-Iomographie ~ durch eine Kollineation zu einer mit ihr projektivisch identisehen m' tibergeht~ so beweisen die eben hingeschriebenen Gleichungen (6)~ dag die ganze Klasse mitdnander projektiviseh identiseher allgemeiner Homo- graphien bestimmt ist durch ihre Charakteristik und durch ihre absoluten Invarianten. Als Charakteristik der allgemeinen Homographi% die die Fundamentalr~ume Sw-l~ Sh,,-l~ . . . $I~(,~)-~ besitzt, wird die Gesamtheit der ganzen Zahlen~ die die Dimensionen dieser Raume bezeiehnen~ definiert und durch

(h"- 1), . , . 1)] symboliseh verdeutlicht.

Wenn wir jetzt in der Rekapitulation welter zn den partikul~tren Kollineationen tibergehen: so mSge beispielsweise ftir die Wurzel p' yon D (p)-----0 der Fall eintreten~ dal3 der Fundamentalraum Sh,-1 den Trgger des konjugierten Fundamentalsternes S,.-le schneider. Der Schnittraum sei ein Sh~,_~, wobei nattirlich h'>h'~ ist. Fa$t man den S~-h,~ der ja dureh die Kollineation to i~n sich selbst ttbergeftihrt wird, als neuen Operationsraum attf~ so wird in ihm dureh die Kollineation r eine subordinierte Homographie induziert, die zur Wurzel p' genau S~,_ 1 zum Fundamentalraum hat. Der Tritger des konjugierten Fundamentalsternes yon Sh~,--~ ist dann

l) Mit Ao, A1, . . . Ar werden stets die ~'-~-1 Ecken der Fundamental- pyramide bezelchnet, so da~ Ai lauter Koordinaten blull besitzt, nut an der (i-~ :t)~ea Stelle steht eine yon Null verschiedene Zahl.

(~ber Korrelationen linearer R~ume in sieh selbst. 195

ein Sr-~,,-Tc, des den $I,~,-~ im allgemeinen in einem S~,v_~ sehneiden wird~ wobei h'~ >/'t'~ ist. Die co induziert dann im unierten Raum S~-I~,-7,~, eine Kollineation~ die den ~l,~,-~ zum der Wurzel p' zugeh~rigen Fundamentalraum ha~ und der S~.-h,-lC-7~, der Trager des konjugierten Ftmdamentalsternes schneider den ~qT~.,-~ in einem Si,~,-z, wobei h'2>]{3 ist. So geht das in Meht verstSndlieher Art for~ bis man - - das lafgt sieh Meht beweisen - - in einem S~-1~,-1,~ . . . . . 14-, eine dnreh m induzierte subordinierte ttomographie erhalt~ deren zu p' gehSriger Fundamentalraum ein S~4_1 ist~ der yore Tr~ger seines konjugierten Fundamentalsternes~ einem S~ _ l~- - ~d . . . . . t4 unabhangig ist.

Die analogen VerMltnisse kSnnen nattirlieh aueh ftir jade des m weiteren Wurze]n statthaben.

P r e d e l l a beweist nun dureh eine passende Wahl des Ko- ordinatensystems~ dal3 jede partikul/~re Kollineation sieh auffassen lglgt als Grenzfall einer allgemeinen, insofern als beispielsweise as immer eine allgemeine Kollineation gibt mit dan Wurzeln p', p~,. . , p~ mit den zugeh~rigen voneinander unabh~tngigen Fundamentalr~umen

(7) ( ] /_>/d >_/~'~ >=. . . G),

ftir die folgendes eintritt: r ! Wenn pp gegen p~_~,' pp_~ gegen p~,_~' und sehliel~lieh p~

gegen p' konvergiert~ so hat das zur Folg% dal3 yon den zugehSrigen Fundamentalr~tumen (7) jeder in den unmitteIbar vorhergehende n zu liegen kommt n, nd der zweite endlieh in den essten~ der dann eigentlieh als einziger Fundamentalranm in Evidenz tritE. Man nennt einen Fundamentalranm S~,,,~: in den in der besehriebenen Art andere nieht effektive, sagen wir vielleieht virtuelle~ Fnndamental- rsume hineingefallen sind~ einen effektiven vielfaehen Raum nnd bezeiehnet dann als Charakteristik eines vielfaehen Fundamental- ramnes die Gesamtheit yon ganzen positiven Zahlen

(~ ' - - 1, G - - I , ,G - - 1 , . . �9 - - 1),

die die Dimensionen des effektiven und der in ihm liegenden~ zu p' gehSrigen virtuellen Fundamentalr~ume bezeiehnen.. Die Charak- teristik tier ganzen Kollineation wird dann die symbolisehe Form haben

[(~' - ~, ~d - 1 , . . . G - ~), q ~ " - ~, ,~;; - - ! , . . . G-- ~), �9 �9 . . . (z,(~176 z ~ ) ~ , . . . ~"~)-- 1)].

Ist eine tier Zahlen p~ q , . . . s gleieh Null~ so heil3t der beztigliehe Fundamentalraum einfaeh~ eine allgemeine Homographie hat also lauter einfaehe Fundamentalr~ume.

Aus dem Umstand% dal~ man jede partikul~re Kollineation als Grenzfall eines allgemeinen auffassen kann~ folgt sofort~ dal3 die

196 Paul Roth.

Sumrae der je ura 1 vermehrten Diraensionenzahl aller effektiven und virtuellen Fundamentalr~ume genau gleieh r @ 1~ also der am 1 vermehrten Diraensionszahl des Operationsrauraes S,.; bezeiehnet man aim mit g', g"~. . , g(,O die Zahlen

/ =1~' +14 + . . . + h ; / ' =J~" +h'; + . . . + h -

. . . . . , . . . . . . . . , �9

v+>- j~c,~>+ /,~,,> + . . . + 7.,,~,,>,

so besteht dig Relation

/ q - / ' + . . . +g'~) = ~ § 1. (9)

Von Wiehtigkeit sind bei einer partikularen Horaographie noeh die m zu den entspreehenden Wurzeln gehSrigen eharakteristisehen R~ume

&_~, S,,,_~,... X,+_,,

die dureh den Grenzubergang yon der allgeraeineu zur partikulgren Homographie sieh aus dea Verbindungsrauraen der zunaehst saratlieh effektiven~ ira Limes aber zura Tell virtuell gewordenen Fundaraental- r~urae ergeben; sie haben ira Vergleieh zu der allgemeinen Horao- graphie teilweise die Rolle der einfaehen Fundamentalr~turae ttber- noramen. Jedenfalls gilt yon ihnen der Satz~ dag sie unabhangig sind und den Operationsraura zum Verbindungsraura haben.

In weiterer Verfolgung der Konsequenzen, die sieh aus dem Grenzttbergang ergeben, findet nun B e r t i n i in einem gegenttber P r e d e 11 a wesentlieh gektirzten Verfahren in jedera dieser eharakteristisehen R~urae Sg(O_, (i ~ 1, 2~ ... m) eharakteristisehe Gruppen yon je g(0 unabMngigen Pankten, so zwar~ dal~ diese als Eeken einer Fundamentalpyraraide genoraraen, zu einera einfaehen Sub- stitutionsraodul der rait der ursprtingliehen Horaographie projektiv identischen Nhren, der direkt wieder einen Beweis "des aueh bier gtfltigen Satzes ergibt~ da[~ die Charakteristik und die absoluten Invarianten die ganze Klasse projektiv identiseher Homographien vollstandig bestiraraen.*) Zuletzt sei noeh erwahnt, dag die in der

�9 Charakteristik. einer Kollineation vorkoraraenden Zahlen beliebige gauze positive Zahlen skin k~nnen nnd ebenso die absoluten In- varianten keiner weiteren Besehr5nkung unterliegen, als endlieh und yon Null versehieden zu sein.

w

Wir wotlen nun in Anlehnung an die in der EinMtung zitierte Arbeit yon ?r e d i ei eine Norraalforra Nr eine Horaographie rait vorgegebener Charakteristik und vorgegebenen absoluten Invarianten aufstellen; damit soll night der Zweek verfolgt werden~ den eben

I) Bertlni, l.e., p. 89.

[ J b e r K o r r e l a t i o n o n l i n e a r e r R ~ u m e in s i c h selbsr 197

erwahnten Satz zu beweisen. Er wird als bewiesen angenommen and die aus Normalform dient zur Anknt~pfung an weitere Folgerungen.

Bevor wir daran gehen, ist es notwendig~ den Segresehen Ge- dankengang der Charakterlsierang einer nicht singutaren Homo-. graphie heranzuziehen. S e g r e Nhrt hieza die Elementarteiler der Determinante

i ~ 0 , 0 - - p ~ 6 ~ 0 , 1 ~ ( ~ 0 , 2 ~ �9 �9 �9 ( g O , r

D(p) =-] (~,,0, a~,~--0, a~,2 , . . , a~,~

also aUgemein die Ausdrt~eke

_ _ _ _ : �9 - - ( i , - e (i)

ein nnd definiert als Charakteristik der Homographie die Exponenten der EIementarteiter und verdeuttieht diese in der Form

[(<% r . . . . . . . ~,~:~), (r ~,~ ~>~.,~, , ~ . . . (~,n), %~,,,),... 4;:))]i (1)

Der unten hingesehriebene Buehstabe S soll zur Bezeiehnung des Umstandes dienen~ dab man es mit der Charakteristik im Segre- sehen Sinne za tun hat, w~thrend wir in Hinknnft die im Predella- sehen Sinne genommene Charakteristik durch ein dem Symbol beigeftigLen Index P bezeiehnen werden. Predellasche und Segresche Charakteristik stehen in der einfaehsten Beziehung zueinander; hat man die Prede]lasche Charakteristik in der Form

[(l~'-- 1, hi - 1 , . . . / 4 - 1 ) , (1<.-- 1 , /d- - 1, . . . l~)-- 1),.. . (2)

. . . (h<~,)- I, z~<,~- i , . . . l~,,~>- i)]~,

so erh~tlt m~n fth" jede einzelne Gruppe~ beispielsweise ftir die erste Wurzel p'~ die Segreseho Charakteristik dadureb~ dag man

h'--h'~ Elementarteiler yore 1 ~ Grad

~ e n hi - - h ~ , ,I ,

h ~ ,, ,, ( ~ ) + 1 7 ~176 ,,

taimmL Aus dieser Beziehung geht unmittelbar laervor~ dal~ eine allgemeine ttomographie lauter Elementarteiler vom ersten Grade besitzt and die Kollineation partikal~r ist, wenn mindestens ein nieht lineaxer Elementarteiler vorkommt.

Mona~sh. s N a t h e m a t i k u, Physik . X X g l I I . ffahrg. 1~

198 Paul Roth.

Hat man als einfaehsten Fall einer Homographie in der Anf- fassung yon S e g r e eine mit einem e i n z i g e n Eiementarteiler~ die also die Charakteristik besitzt

q

[q] [(o, o , . . .

so lal~t sieh der I~[odul dieser Itomographie eines S~_~ in sieh selbst auf Grund der sehon bewiesenen tIauptsatze stets auf die Form bringen

9t~ 6~0,1~ ~0,2~ . . . . a~O,q--1

~ . . . . (~2, q 1

P~I ;cl--~,q--1 p'

die Diagonalglieder sind alle einander gleieh nnd links yon der Hauptdiagonale stehen lauter Nullen, rechts yon ihr stehen irgend welehe Glieder~ die nur der Besehrankung nnterllegen~ dal~ die Glieder~ die in der unmittelbar neben der Hauptdiagonale stehenden ParalMreihe stehen~ alle yon Null versehieden sind. Es mul~ namlieh das Produkt a0.~ . al, 2 �9 �9 . aq_~,q_l H 0~ denn nur in diesem Falle hat die znm Modul gehSrige eharakteristische Fundamentalgleichung D (p)~ wenn man in ihr p ~ p' setzt~ e i n e nieht identiseh ver- sehwindende Unterdeterminante yon der (q-- 1) ~ Ordnung und daher einen einzigen Elementarteiler ( p - - 9 ' ) ~. AbsolnteInvariantenbesitzt die KoUineation nieht.

Eine geometrisehe Interpretation der Normalform a) ware un- sehwer zu geben~ abet es solI hier darauf verzichtet werden.

Gehen wir jetzt zum naehst komplizierteren Fall yon (a') zu der gleiehen Wnrzel 9' gehSrigen Elementarteiler, also zu einer Homographie mit der Charakteristik

[(q, @ = [(x, 1 . . . . 1

(q > r)

q - - r o. o . . . .

t~ber, der Raum~ Man muff den kOnnen

in dem die Kollineation statthat, ist ein S~+, 1. l~Iodul derselben immer auf die Form bringen

Ub~r Korrelationsn l in~re r R~ume in sich solbst. 199

b)

p, ere) .0) ~0)

O)

�9 o . .

r

P

, (2) ~ (2) ~ ) a l , 2 ~ . . . . t b l , r - - 1

. o ~

,

die leergelassenen Felder sind wie im Falle ~) mit Nul[en ztl besetzen; an den punktierten Stellen k~nnen irgend welche Zahlea stehen~ nur mit der einzigen Besehr~tnkung, da~ in der ersten Parallelreihe zur Hauptdiagonale die GrS~en ao) and a(~) yon Hull verschieden sind. Da~ dana D (p) die gewUnsehten beiden Elementar- teller besitzt, sieht man ohne Schwierigkeit. Der Fall b) ergibt sich~ wie leicht einzusehen ist~ aus dem Falle a) so~ dab maa entsprechend den beiden Elementarteilera ( p - p')q~ ( p - p')~" zwei Substitutions- modula vein Typus a) nimmt und sie in der Weise komponiert, dab Diag0nalglieder wieder Diagonalglieder werden.

GehSren die beiden Elementarteiler nieht zu der gleichen t Warzel p'~ sondern zu verschiedenen Wurzeln p~ p", hat man also

eine gomographie mit der Charakteristik

r

[(o, o . . o)' (o, o , . . . t !

and der absolaten I n v a r i a n t e ~ so ~ndert sich an dem Modul b) P

nur das~ daft man fc~r die r Diagonalgtieder der unteren Matrix p" statt p' setzt.

Wie die ~naloge Normalform f[ir eine Homograph[e mit be- beliebig vielen Elementarteilern und beliebigea absoluten Invarianten aufzustellen ist~ ist aus dem eben Gegebenen beinahe unmittelbar klar. Man hat za jedem Elementarteiler ( p - p(0)k einen Substitu- tionsmodul yon der Form a) zu bilden, wobei in der Diagonalreihe natL~rlich die bez~igliehe Wurzel p(0 zu stehen hat and diese verschiedenen Substitationsmoduln in der analog dem Schema b) ont- sprechenden Art so zu komponieren, da~ Diagonalglieder immer

1 F ~

200 Paul Roth.

wieder Diagonalglieder bIeiben~ s o dal~ also, wenn wir mit M~, 2Lff~,... Mx Matrizea yore. Typus a) bezeiehnen~ sich die sehliel~liche Normalform in der tblgenden Art darstelR:

c)

z,

I . I

I " ,

I ,%% I �9 %', I. | "~%,%

C . . . . . . . "-'k:. %,,

I I I I

~'-,o | I %",, I

"% I

t I | I �9 M 1 I I t L . . . . . . .

Die nieht umrahmten Felder enthalten lauter Nullen. Bezt~glich der geometrisehen Interpretation soil die fo]gende

Bemerkung nieht ~mterdrt~ekt werden. Rekurieren wir zt~ diesem Behufe auf den Fall yon nur zwei Elementarteilern, also auf den Modal b)~ so sieht man sofort~ dab die Fundamentalpyramide des Operationsraumes Sq+~_~ so gelegt ist~ dag die ersten q Scheitel derselben

Ao, AI~ �9 .. A~_~

�9 einen Sq-1 zum Verbindungsraum haben~ der dutch die Kollineation in sieh selbt transformier~ wird~ also ein anierter Raum ]st~ wobei der Punkt A 0 der einzige unierte Pankt ist~ wahrend die restliehen r Eckpunkte

einen S t -1 zum in der Homographie uniel'ten Verbindungsraum besitzen, dessert elnziger unierter Punkt der Aq ist. Daraus ergibt sich der allgemeine Satz:

I)ber Korrelationen linearer R~tume in slch selbst. 201

Bei e i n e r H o m o g r a p h i e e i n e s l i n e a r e n R a u m e s in s i e h s e l b s t g i b t es e b e n s o v i e l e n n a b h g n g i g e u n i e r t e R g u m e mi t e i a e m e i n z i g e n u n i e r t e n Pnnk t~ als es E l e m e n t a r t e i l e r g ib t , d e r V e r b i n d u n g s r a u m a l l e r d i e s e r x l n i e r t e n R ~ u m e is t g e n a u d e r u r s p r t i n g l i e h e O p e r a t i o n s r a u m .

Dieser Satz erseheint dureh die bier gegebene Normalform bewiesen, lal~t sieh natttrlieh, wie P r e d e l l a ~) zeigt, in einer ganz independent geometrisehen Art naehweisen.

Zum Sehlusse mbehten wir noeh bemerken, daft der in w 1 erw~hnt% zu einer bestimmten Wnrzel p(o gehiSrige eharakteristisehe Raum Se(r genau der Verbindungsraum jener uaierten R~ume mit einem einzigen nnierten Punkt ist~ die zu den Elementarteilern yon der Form (? ~ p(0)~ gehSren.

w

Hat man nun eine nieht siagul~tre Korrelation eines Raumes S,, in einen anderen~ mit ihm konlokalen S~' gegeben durch die Glei- ehungen ,.

p~;-~-~ai,~xk ( i ~ - 0 , 1 , . . . r ) , ~ (1) k ~ 0

wobei die xi Koordinaten eines Punktes yon Sr and ~ Koordinaten der korrespondierenden Hyperebene bezogen auf die gMehe: Fun- damentalpyramide bedeuten~ dann ist das Hauptproblem der Kor- relationstheorie die Frage nach den involutorischen Elementen~ d.h. naeh denjenigen Punkten und Hyperebenen~ denen sowohl in der gegebenen Korrelation ~; als in ihrer inversen T -1, dieselbe Hyper- ebene resp. der gMche Punkt entspricht. Wenn man die Punkt- paare, die irgend einer beweglichen Hyperebene entsprechen, einander korrespondierend setzt, so ist diese Korrespondenz eine Kollineation. Diese Homographie r yon S,. zu S~ heil~t die zu der Korrelation -; gehSrige Homographie. Die involuWrisehen Elemente yon T sind dana die unierten Elemente yon ~.

Analytisch berechnet sieh c, dadureh~ dais man zun~tchst ~;-1 in der F o r m

p = = 0, 1 , . . . d (2) k = O

ausdrtiekt and die reehten Seiten yon (I) und (2) mit einem auf der Seite der Ver~nderliehen x' versehenen Proportionalit~ttsfaktor einander gleieh setzt; Mso r ist gegeben dureh

9" 9"

2 ~ = 0 k = o

1) Preflella; h c., p. leg.

2 0 2 Paul Roth.

Lt~st man naeh x~. auf, so erhalt man

also

wobei

~ 2 2 ~ 2~i ~ i k 3 ? k

2 , ~ 0 k : o /

v x i = ~ ~xkz~ ( k ~ 0 , 1, . . . r), (4) k~O

~2k-~ ~ A~iaik i ~ O

ist. Rein gruppentheoretisch wird dig Kollineation % insofern sit sich durch zweimalige Anwendung der Korrelation 7 ergibt - - man

hat ja yon einem bestimmten Punkt x des S, zu einer ttyperebene ~' yon S~ tiberzugehen~ ~'--=-~ als Hyperebene des S~. aufzufassen and yon ihr dutch 7 zum entspreehenden Punkt x' zu gelangen - - durch dle Gleiehung

o) - = ~ ~ (5 )

symbolisiert. Aber (5) hat keinesfalls die Bede~tung, als ob der Substitutionsmodul yon (~ dadareh erhalten wird, da{5 der Modul yon 7 mit sieh selbst im Sinne der Produktbildung quadratiseher Matrizen multipliziert wird. Die Gleichungen (4) zeigen vielmehr, dal~ im Sinne der Produktzusammensetzung yon quadratisehen Ma- trizen zwischen dem Modal der Homographie r - - er mSge ~ hei/~en - - lind dem Modul der Korrelation y ~ er heil~e F - - die Relation statthat

= C ' - ~ C. (6)

F '-~ ist dabei die konjugierte der adjangierten Matrix yon F; sie entsteht aus F dadureb~ dal~ man an Stelle jedes Gliedes aik die algebraisehe Unterdeterminante Aik setzt. Wird die zu einer Matrix gehSrige konjugierte dureh einen oberen Strieh bezeiehnet, so ist die in der Gleichung (6) enthaltene Sehreibweise ohne weiteres verst~ndlich. Die I-Iomographie ~ h~ngt mit der Korrelation ~" deshalb auf das innigste zusammen, weil alle prqiektiven Eigen- sehaften der letzteren s~eh in ersterer linden. Denn es besteht der Satz :

D i e n o t w e n d i g e und h i n r e i e h e n d e B e d i n g u n g daf t t r , dal~ z w e i K o r r e l a t i o n e n ~h u n d ";2 p r o j e k t i v m i t e i n a n d e r i d e n t i s e h sind~ is t die, dab d ie i h n e n zu- g e h 6 r i g e n K o l l i n e a t i o n e n (~l u n d ~ p r o j e k t i v i s e h i d e n t i s e h sind. 1)

1) B e r t i n i , l. c., p. 115.

(;her Korrelationen linearer Raume in sich selbst. 2 0 3

Bevor~wir diesen Satz beweisen, haben wir uns tiber die Be- ziehu~gen der Substitutionsmoduln pr0jektiv identischer Kollineationes und Korrelationen Rechenschaft zu geben. :i

h~Sge eine Homographie gegeben~sein dutch die Gleichung

z ' = a (x) (7)

- - s bedeutet den Substitutionsmodul und di% funktionale~Sehreib- weise bedeutet in unmittdbar verst~ndlieher Weise einen Ersatz ftir die r-~-1 linearen Gleichungen - - dann geht eine projektiv identisehe zu dec dutch (7)gegebenen dadurch hervor~ daI] man sowohl ftir x' als auch ftir x eine und dieselbe lineare Transforma- tion ausftihrt~ also setzt

x ' = S(y ' ) , x = S(y).

Dann ergibt sich aus (7)

(y') = a ( s (v)),

daher . y ' = ~(21 (y) = S - ~ 9. S (y) ; (8 )

die neue Matrix ist also aus der alten mittels der Sabstitutionen S -1 and S hervorgegangen. Man nennt Matrizen~ die zueinander in der Beziehung stehen~ dag

P.I~__.S-1QS

ist~ zueinander ahnlieh und hat also das Resultat: P r o j e k t i v i d e n t i s c h e K o l l i n e a t i o n e n s i n d ( l u r ch

~ h n l i e h e S u b s t i t u t i o n s m o d u l n c h a r a k t e r i s i e r t . Haben wir weiter eine Korrelation gegebeu durch die Gleichung

E ' = r (x), (7')

so entsteht eine projektiv identisehe durch EinNhrung neuer Variabeln y und ~' mittels der Gleiehungen

z=B(y), E'= B ' - ~ (~').

Es ergibt sieh also aus (7')

2 ' -~ (~') = r n (y), daher

,~ '= r~ (y) = n ' [' R (V); (8')

die neue Matrix F 1 entsteht also aus F dureh Transformation mittels B ' und R. R ' bedeutet, um alas noeh einmal hervorzuheben~ die konjugierte Matrix ztl /~. Matrizen~ ftir die die Relation gilt: dag

F 1 = _ R ' F _ R

~ 0 4 Paul Roth.

ist, nennt maa zueinander kongruent and daraus entwickelt sieh das Ergebnis :

P r o j e k t i v i d e n t i s e h e K o r r e l a t i o n e n s i n d d u r e h k o n g r u e n t e S u b s t i t u t i o n s m o d u l n g e k e n n z e i e h n e t .

Jetzt gehen wir an den Beweis des oben angegebenen Satzes; seien zu diesem Behnfe 7 nnd "h zwei projektiv identisehe Kor- relationen~ dann i st zunaehst zu zeigen~ dai3 die za ihnen gehSrigen

Kollineationen to = 7 ~ and t% ~ ~ aueh projektiv identiseh sind. In der Tat~ aus der Annahme folgt ftir die Substitutionsmoduln F und r 1 yon 7 and "~1 die Relation

F 1 = l t ' F R (9)

und daher ergibt sieh ftir die Substitutionsmoduln ~q = F ' -~ F a n d "(")1 = F~ -~ 1"~ yon ~ und m 1 die Beziehung

s).~ = t~; -~ r~ = ( ~ ' r _~) ' - ~/~' F R_____/~-1 F ' - ~ FB~

wit behauptet wurde.

Und umgekehrt hat man zwei Homographien cu und ~1, die als zu zwei Korrelationen ~ und ";1 gehtirig aufgefal~t werden k~innen. - - die speziellen Bedingungen, die sit unter dieser Voraussetzung erfctllen mtissen~ werden nattirlieh noah genau besproehen werden - - and sind diese beiden I{omo~ra~ pMen projektiviseh identiseh, so besteht fttr ihre Substitutionsmoduln f.) = ! " - ~ F and P~ ~ Fs F~ eine Relation yon der Form

f.)~ = s - , a x , (9') so daft

F~--I El = ~ - 1 F , _ l F S = k~_ 1 F t _ I K~t_I ~.~ , F S =

= (S' F S ) ' - I . S ' F S~

und sieh die AuflOsung ergibt

F 1 =- S ' F S~ was za beweisen war. l)

I) Der Beweis verl~uft fo]genclermafi~,n: Schreiben wir cu in def. unaufge-. ltisten Form

r (x) = r,(~,) (1) und za~ in der Form

G (x) = r ; @9 (~)

und ist die Substitution, die m in m 1 iiberfiihrt, zun~ehst dmch ae~ Modal Q geffeben, so kann ml in die Form gesetz'~ werden

r Q @) = r , Q (x'). (3)

Die Form (2) ergibt sich aus (3) durch passende Linearverbindungen, die ihren Ausdruck in einer Matrix P finden, so dab

F I = P F Q und F~=I~F'O (4)

t~ber Korrdationen linearer Ri~ume in sich selbst. 205

Aus dem eben Gesagten fblgt nun unmittelbar~ dal~ die gauze Klasse projektivisch identiseher Korrelationea bestimmt ist durch die absoluten Invarianten und die Charakteristik der zu dieser Korrelationsklasse gehSrigen Homographiek]asse. Was man dann unter einer Klasse projektiv identischer Korrelationen nfit vorgegebenen absoluten Invarianten und vorgegebener Charakteristik zu verstehen hat, ist unmittelbar klar.

w

Die n~tchste Frage, die nun zu beantworten ist~ bezieht sieh auf die sehon oben gema~hte Bemerkung, welche speziellen Bedin- gungen eine zu einer Korrelation gehSrige Kollineation zu erftillen hat und diese Frage teilt sich nattirlich in zwei Unterfragen. Die erste bezieht sieh auf die absohten Invarianten und die zweite auf die Charakteristik.

Anstat~ die absohten Invarianten selbst ins Ange zt~ fassen, betraehtet man die Wurzeln der eharakteristischen Fundamental- gleiehung selbst und hat also naeh der Beschaffenheit der Wurzeln zu fragen, ob sie ganz beliebige Zahlen sein kOnnen. Die Besehran- kungen, denen sie faktisch unterliegen~ kSnnen unmittelbar erkannt werden, wenn man den leicht zu beweisenden Satz*) berncksichtigt, daft in unserem Falle die Homographie r mit ihrer inversen ~o -1 h o m o g r a p h i s c h identisch ist, wahrend ja im allgemeinen eine Homographie mit ihrer inversen nur k o r r e I a t i v identisch ist~ wie man aus der Betrachtung der charakteristischen Gleichung yon to geschrieben in Punktkoordinaten und yon m-1 in Hyper- ebenenkoordinaten sofort entnimmt.

Hat man eine Korrela~ion 7 in der Form

~' ( i = O, 1 , . . r), k ~ O

so hat die I-Iomographie m die Gleiohnng

besteht. Also ist die lineare Sehar ),1 Pl-~ k2 Pl: aquivalent mit ),1 F-~ k~ P ', da ja aus (4) die Relation hervorgeht

),~ r ~ + ),.. r~ '= 20,~ r-~-),~ F') O. Diese Voraussetzung geniigt aber: :urn don Schlul~ za ziehen~ daft es ein S gibt derart, daft

P, = S ' PS und dami~

F~'~ S' FS.

Der Beweis hiefiir ist in einfachster Weise yon F r o b eln i u s gegeben worden. [~au vergleiehe ~.ath, Theorie und Anwendung der Elementarteiler, 8eite 142 (Leipzig 1899)].

1) Bertini, I. c, I). 110.

206 Paul goth.

w~hrend m-~ sieh in der Form darstellt

E xk ----- s a ; . x';..

Die eharakteristisehen Fundamentalgleiehungen sind respektive die Gleiehungen

yon (1) und

also

(3)

diese mtissen wegen der projektivischen Identitgt gleiehe Wurzeln haben~ es mug also, falls ~ = % eine Wurzel yon D 1 (~) ist~ aueh

sein~ also gleichzeitig mit einer Wurzel z 1 mul~ aueh ihre rezi-

proke I Wurzel der charakteristisehen Gleichung sein. Es ist weiter

klar, dal~ die Grade yon Elementarteilern reziproker Wurzeln einander gleich sein mtissen~ und damit beantwortet sieh die erste Frage und zum Teil die zweite in dem Satze: 1)

E i n e H o m o g r a l 0 h i e (% d ie zu e i n e r K o r r e l a t i o n "( gehSr t~ h a t e i n e c h a r a k t e r i s t i s c h e F u n d a m e n t a l g l e i - c h u n g m i t r e z i p r o k e n W u r z e l p a a r e n ~ a b g e s e h e n yon d en e v e n t u e l l a u f t r e t e n d e n W u r z e l n @ 1 o d e r - - 1 ; d i e C h a r a k t e r i s t i k e n ~ d ie zu z w e i z u e i n a n d e r rez i - p r o k e n W u r z e l n geh~ren~ s i n d e i n a n d e r g l e i e h . 2)

Die n~tehste Frag% die man zu stellen hat~ heist nattirlieh so: Wenn man davon absieht~ da~ die charakteristischen Gruppen der Gesamtcharakteristik far reziproke Wurzelpaare einander gleich sind~ kSnnen die in den einzelnen Gruppen auftretenden Zahlen h der Predellasehen Charak~eristik respektive die Grade der Elementar- teiler in tier Segresehen Symbolik beliebige positive ganze Zahlen sein oder nieht?

Die Frage ist verneinend zu beantworten und man wird zu einem zweiten Kroneckersehen Theorem gefiihrt~ das yon neuem zu beweisen wit uns jetzt anschicken.

1) B e r t i n i , I. e., p. 111; K r o n e c k e r : Uber die kongruenten Trans- formationen bilinearer Formen, Berliner Monatsberlchr 1874, p. 432.

~) ]~igentllch hat der Satz, genau genommen~ so zu lauten, dag paarwelse Wurzeln p, und pe so auftreten~ dal~ p~. ~2 = / c u ist~ ganz abgesehen yon den eventuell auf~retenden Wurzeln @ lc und - - ~ .

[Tber Korrelationen Iinearer R~ume in sieh selbst. 2 0 7

w

Wir rekurrieren za diesem Behufe auf die Normalform c) des w 2, auf die wir jede belieblge Kollineation bringen konnten, und sahen, dag sie zusammengesetzt ist arts einer endlichen Reihe yon gatrizen M~. ( i - 1, 2, . . . X), die ganz allgemein den Typus hatten, da6 blog auf elne% namheh tier rechten Se~te tier I-Iauptdlagonale yon Null versehiedene Glieder stamen, w~thrend auf der linken Seite sieh lauter Nullen befanden. Der Typus dieser Matrix war als% wenn wir gMeh eine bestimmte Ordnung derselben, z. B. die vierte, fixieren, der folgende:

L ) - - 0, % , ~ , 7 ~ : (1)

O, 0, 0, a 4

dal; wir speziell n - ~ nehmen, hat blo13 den Zweek einer verein- faehten Sehreibweise, das wesentliehe Moment des Rasonnements wird dadureh nieht beeintraehtigt. Soll nun fl die Matrix einer za einer Korrelation 7 geh~rigen Kollineation ~ sein, so mu~ zwisehen ~ und der Matrix F yon 7 die Relation bestehen

- - r ' - ~ V, (2)

Wie kann man nun der Natrix [" in einfaehster Art eine solehe Form geben, dal~ das Matrizenprodukt F ' -~ F genau die dureh (1) gegebene Normalform besitzt, da[~ also die links yon der Haupt- diag'onale stehenden Glieder alle versehwinden? Es ist ganz nahe- liegend, den Versueh zu maehen, in F selbst entweder eine tier beiden Seiten der ttauptdiagonale oder eine der beiden Seiten tier Nebendiagonale mit Nullen zu besetzen. Der Versueh ist, was die Nebendiagonale anlangt, faktiseh yon Erfolg begleitet. Denn~ wenn man F in die Form setzt

F_~_~

so wird

F t - 1

O, O, O, a 1

O, O, as, b 1

O, aa~ b~ e 1

a4, b~ % d 1

C~, B~, A.~, 0 B~, A3, 0, 0

A4~ 0, 0, 0

, (3)

(4)

i tat also eine Matrix F yon irgend einer beliebigen Ordnung links yon tier Nebendiagonale lauter Nullen~ so hat die konjugierte ihrer

~08 Paul Roth.

adjungierten reehts yon der Nebendiagonale lauter Nullen. Denn~ nimmt man eine belieblge Unterdeterminante eines yon Null versehiedenen 7 nieht der Nebendiagonale angehSrenden Gliedes yon (3)~ so hat sie wieder als Matrix die Form yon F; alle Glieder links yon der Nebendiagonal6 versehwinden 7 ihr Determinantenwert ist also genau dureh das Produkt der Nebendiagona]glieder gegeben und unter diesen befindet sieh immer genau eines i das v&sehwindet.

Das Matrizenprodukt F ' -~ F - naeh bekannten S~ttzen der Algebra so ausgeftihrt~ dag man Zeilen des ersten Faktors mit Kolonnen des zweiten multipliziert - - ist dana you der Form

~Q = B~7 C~, A~, 0

C~, An, 0, 0 A~ 0~ 0 7 0

0 7 (~3, b2,~1 0, 0, (~37~3 a~ba~ c~ 0~ 0~ 0~ %

(5)

wie sie yon (1) gefordert wurde. Dal~ diese Endform der reehten Seite bei jedem bdiebigen Grad n der Matrix yon der Form yon F eintritt~ ist unmittelbar einleuchtend. Mit der Gleiehung (4) ist also der folgende Satz bewiesen:

H a t e i n e K o r r e l a t i o n "~ e i n e n S u b s t i t u t i o n s - m o d a l F y o n d e r F o r m (3)~ so h a t d i e z u g e h S r i g e H o m o g r a p h i e ~ e i n e n S a b s t i t u t i o n s m o d u l ~) y o n d e r F o r m (1).

Und jetzt mtissen wir noeh die besehr~tnkte Umkehrung dieses Satzes beweisen.

Gehen wir aus yon der Korrelation ";1 mit einem ganz beliebigen Substitutionsmodul FI~ zu ihr gehSrt eine Kollineation % mit einem Substitutionsmodul 9.~ = F; -1 r l . Gehen wir jetzt za einer mit 71 projektiviseh identisehen Korrelation 7 mit dem Modal F tiber~ so besteht wegen (9)~ w 37 die Beziehang

F = R ' F 1 1~ (6)

wenn/~ der Modul der Projektivit/~t ist. Die zu 7 gehOrige Homo- graphie ~ hat dann den Substitutionsmodul ~7 wo

----- R - 1 ~1 R (7)

ist. Setzt man nun in (6) alle Glieder links yon der Hauptdiagonale gleieh Null~ so versehwinden auf Grand des eben bewiesenen Satzes alle Glieder links yon der Nebendiagonale in (7). Diese Tatsaehe ist doeh offenbar nut so mSglieh~ dal~ die bewul~ten Glieder in (7) Funktionen der ins Auge gefagten Glieder yon (6) sind~ die versehwinden~ wenn die Argumente gleieh Null gesetzt werden. Die Natur dieser Funktionen ist abet nattirlieh sehr leieht za bes t immen; da es sich beim lJbergang yon F zu ~ um rationale algebraisehe Prozesse handelt~ so sind die Funktionen jedenfalls gauze rationale

l%er Korrelafionen linearer R~ume in sich selbst. 209

Funktionen~ die gleichzeitig n i t den Argunenten verschwinden. 1) Und umgekehrt iblg~ dann unmittelbar, setzt nan die Glieder links yon der tIauptdiagonale in (7) gleich Null~ bet raehtet diese als auf- zulSsende algebraische Gleichungen ftir die unbekannten Glieder links yon der Nebendiagonale in (6)~ so sind die Nullwerte dieser Unbekannten sicher imner eine AuflSsung dieser Gleichungen. Man hat also das Resultat:

H a t n a n e i n e H o m o g r a p h i e ~ n i t dam M o d u l ~?~ d ie zu e i n e r K o r r e l a t i o n g e h S r t , u n d h a t fl d i e F o r m (1)7 d a n n ]~tl~t s i c h i n m e r m i n d e s t e n s e i n e i h r zuge- h S r i g e K o r r e l a t i o n 7 f inden~ d e s s e n F d i e F o r n v o n ( 3 ) b e s i t z t .

Dutch diesen Nachweis sind wir in die Lage versetzt~ jede vorgegebene Korrelation in eine Nornalforn zu bringen und die uns interessierenden S~tze tiber die Charakteristik ton Korrelationen daraus abzuleiten.

Nehmen wir als ersten einfachen Fall den einer Korrelation mit zwei zu einander reziproken Wurzeln und der Charakter~stik [(q), (q)]s, so da~ also die zugeh~rige Homographie ~ zu jeder der beiden Wurzeln einen Elenentarteiler yon Grade q besitzt. Der fo]gende Korrelationsmodul leistet dann das GewUnschte

1/? V L

VL . . . . l

V,o' A) C = 1

?' 1,q--1 Vp'

1 �9 C~ r C~' V ~ ' 2,q--9, 2,q--1

1 a' ]/--~, ~-1,1, . . . . a~-,, ~-1

Zu diesem Schema ist nattirlich~ so wie fr~iher~ za benerken, daI3 a n den vollst~ndig leer gelassenen Stellen lauter Nullen stehen~

wahrend an den punktierten Stellen irgend welche Glieder stehen.

i) Far die Glieder rechts yon der Nebendiagonale in P und die Gl~eder rechts yon der Hauptdiagonale in f~ gilt der ganz analoge Satz; wit benStigen ihn hler nicht,

210 Paul Roth.

Was die NebendiagonaIglieder anlangt~ so ist zu bemerken~ dal~ die Quadratwurzel beliebig genommen werden kann~ nut mug sie natttrlich in allen Fallen in der gleichen Weise fixiert werden; ftir die Glieder a und a' bestehen blol~ Beschrankungen insofern~ als zwei zur Hauptdiagonale symmetriseh gelegene Gl ieder der ersten Parallele der Nebendiagonale nicht die Beschaffenheit besitzen dilrfen~ dal~ ai~--pa'~k:O die Wurzel p-~--p' und a',.~--paiz~-~-O nieht

1 die Wurzel p : - p 7 hat. Beispielsweise s aus dieser Forderung~

dal~ a,'k and a' i~ nicht simultan verschwiuden dttrfen.!) Dal~ dann

das zugehSrige f~ die beiden Wurzeln p' and 1 . besitzt und zwei

Elementarteiler (p - - p')~ und P - - ,~r besitzt, kann man direkt ein-

sehen~ wenn man die Determinants

bildet~ wobei ~,'k das allgemeine Glied yon F ist~ oder man bildet f] ~--- F ' - ~ F und sieht unmittelbar ein~ dal~ es yore Typus b)~ w 2, ist. Der Grad q unterliegt also gar keiner Besehrankung~ kann jede beliebige ganze positive Zahl sein.

Hat man jetzt welter eine Korrelation mit einem reziproken

1 and zwei Elementarteilern~ so dal~ die Charak- Wurze]paar P'~ ,7

teristik lautet [(q, r), (q, r)]~,

so hat man zwei Matrizen yon der Form A) zu nehmen~ M ~ and M~.~ sie in e[ner Matrix yon der 2 (g -~- r) ~ in der folgenden Form zusammenzusetzen:

23) F =

. . . . . . . . . -.7

/ " I I

Y I

I ! �9

i | .

1) Die Normalform ffir diesen Fall is~ in der Arbei~ you M e d i c i so, daft nur die eine Halfte der Glieder der ersten Parallelreihe zur Nebendiagona]e, und zwar die indizierten~ yon Null verschieden sind, augerdem 'sind die ersten q Glieder der ~ebendiagonale alle gleich pt die andercn gleieh 1. Die spezlelle Wah l der Nebendiagonalglieder, wle sie bier getroffen wurde, h~ngt mit dem Bestreben zusammen, die Matrix unimodular zu normleren.

Uber Korre]ationen linearer Riiume in slch selbst. 211

Dal~ der Modul B) den Forderungen gentigt~ die man gestellt hat, ist unmittelbar klar; rechnet man aus F den Modul ~ - F ' - I 1"~ so bekommt man Bin Homographiemodul vom Typus c), w 3~ mit zwei Matrizen M1, M 2 yon der Ordnung q und zwei Natrizen Ms~ M~ yon der Ordnung r~ und zwar sind die Diagonalglieder yon M~

und M s alle gleieh p', die yon M~ und M 4 gleiet* 1_ Betraehtet pr" 1

man eine Korrelation mit zwei Paaren reziproker Wurze]n p'~-~-

resp. p"~ 1 und je einem Elementarteiler yon der Ordnung q resp. r~

also eine Korrelation mit der Charakteristik

[(q), (,), so lal~t sieh der Substitutionsmodul immer auf die Form B) bringen~ nur dal~ in der unteren Matrix M2~ anstatt p' die Zahl p" zu stehen hat. Wie man nach diesen Auseinandersetzungen die Normalform

�9 einer Korre]ation mit beIiebig vielen reziproken Wurzelpaaren und beliebiger Charakteristik aufzustellen hat~ ist unmittelbar klar~ man hat so vide Matrizen Msx (X 1~ 2~. �9 ~), als es gleiche Elementar- teilerpaare gibt~ zu nehmen trod sie in einer zum Modul /~) ganz analogen Form zu komponieren. Die Grade der Elementarteiler~ die zu einer einzigen yon :h 1 verschiedenen Wurzel geh~iren~ unterliegen keiner Besehr~nkung und wir haben also den Satz:

D i e e h a r a k t e r i s t i s c h e n G r u p p e n d e r y o n =el ver- s e h i : e d e n e n W u r z e l n e i n e r K o r r e l a t i o n e n t h a l t e n be- l i e b i g e g a n z e p o s i t i v e Z a h l e n .

Gehen wir jetzt tiber zu einer Korrelation mit der einzigen WurzeI @ 1 und dem einzigen Elementarteiler (p - - 1) ~ ; die Korrela- tion 7 mtilate sich in die Normalform F bringen lassen

1

C) r - - 1, a2,~-~, a2,~-~ . . . . . . �9 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . ,

"71~ aq- - l , l ~ a~--1,2~ � 9 Ctq--l,q 1

wo g also eine Matrix qt~ Ordnung ist. Der Charakter der zuge- hSrigen Homographie ~ kann ermittelt werden dureh Untersuchung der eharakteristisehen Fundamentalgleichung

D (p)-- ~ . ~ k ~ " ,

wobei ~'k das allgemeine Glied der Matrix F bedeutet, Setzen wir zungehst voraus ~ daft symmetriseh zur Hauptdiagonale stehende Glieder dee ersten Parallele der Nebendiagonale niemals gleieh sind~ so habea wir zwei F~lle zu unterseheiden:

212 Paul Roth.

1. q ~ 2 k - { - 1 , also eine ungerade Zahl; dann ldstet der Normaltypus U) ohne weiteres dan Geforderte. Die Wurzel ist 1 und die Determinante D (p) hat den einzigen E[ementarteiler (?--1)q.

Wir wollen bier gleieh den Fall zweier oder mehrerer zu -}- 1 gehSriger Elementartdler erledigen. Hat man zwei Elementarteiler yon den beztiglichen Graden q, r~ so hat man dnfaeh zwei Matrizen Mq und 21it,. yore Typus C) herzunehmen und sie so zu komponieren~ wie der Typus B) es klarlegt. Hat man beliebig vide Elementar- teile.r (9 - - 1)1'/~ (,~ ~ 1~ 2~ . . . Q - - alle h~ sind ungerade Zahlen - - , so mmmt man zu jedem eine Natrix MI, yore Typus C) und kom-

�9 . / * ,

poniert sie in analoger Wmse. Es erglbt smh also aus diesen Erwii- gungen des folgende Resultat:

In d e r zu d e r W u r z e l @1 g e h S r i g e n e h a r a k t e r i - s t i s c h e n G r u p p e k a n n u n t e r Z u g r u n d e l e g u n g d e r S e g r e s e h e n S y m b o l i k j e d e b e l i e b i g u n g e r a d e Z a h l v o r k o m m e n . 1)

2. q ~--~-2k, also eine gerado Zahl; dann besitzt die erste Parallele zur Nebendiagonale eine ungerade Anzahl yon Gliedern und das Glied a_~,k ist zu sieh sdbst symmetrisch. In diesem

2

Falle sieht man unmittdbar, dall die Korrdation -( mit dem 3Iodul F yon der Form C) keinen Elementarteiler yore Grade q besitzt. Also des Ergebnis :

I n e i n e r K o r r e l a t i o n -( k a n a es n i e m a l s zur W u r z e l @1 e i n e n e i n z i g e n E l e m e n t a r t e i l e r vom g e r a d e n G r a d g e b e n .

E[ne Korrelation mit zwei zu -~-1 gehSrlgen E[ementarteilern yore geraden Grade gibt es~ wie man sofort sieht~ wenn man im Typus A) in der Diagonale lauter Einser sehreibt.

Da man eine beliebige Zahl yon Elementarteilern yon der Form (p - -1) z, wo ~, eine gerade Zahl ist~ paarweise zusammenfassen und jedem Paare einen Korrelationstypus A) zuordnen kann., di-.~ man dann in der dutch Typus B) angegebenen Weise komponiert, so ergibt sieh~ da[~ zur Wurzel @ 1 immer eine gerade Anzahl yon Elementarteilera geraden Grades m~glieh ist. Eine ungerade Anzahl ist nieht mSglieh, well dann immer noeh eine ganz ftir sich allein untersuehbare subordinierte Korrelation der Gesamtkorrdation tibrig blelbt, die einen einzigen Elementarteiler yon geradem Grade besal~% and das kann eben nieht sein. Zwei oder mehrere ungleiehe Ele- mentarteiler yon geradem Grade sind aus Symmetriegrt~nden aus- gesehlossen. Wir f'assen des Ergebnis in dem Satze zusammen:

E n t h a l t d ie e . h a r a k t e r i s t i s e h e G r u p p e d e r W u r z e l @1 u n t e r V o r a u s s e t z u n g d e r S e g r e s e h e n S y m b o l i k

~) Start des hier verwendeten allgemelnen Typus C) verwendet M e d i c i jenen speziellen, bei dem nur die erste H~lfte der Glleder der ersten ParalleIe zur Nebendlagonttle yon Null verschieclen ist, alle anaeren verschwinden ; er lelstet natiirlich aueh noch das Geforderte.

Uber Korrelationen linearer Ritume in sich" selbst. 213

g e r a d e Zahlen~ so i s t d ie A n z a h l d e r s e l b e n i m m e r g e r a d e .

Gehen wit jetzt za einer Korrelation mit der einzigen Wurzel - - 1 tiber und dem einzigen E]ementarteiler (p-~-1)q, dann mug sieh die Korrelation in die Form bringen lassen

D) F =

�9 " - - 1

- - _ - - - - " ~ " - - - - = - - I

1~ a q - - l , 1 ~ . . . . . . . . . . . . . . . aq--Lq--I

wo also F eine Matrix (]~~ Ordnung ist und q eine gerade Zahl ist. Fiir die ack besteht blog die Beschr~nkung, dab zwei symmetrisch zur Hauptdiagonale stehende Glieder der ersten Parallele zur Neben- diagonale nicht entgegengesetzt gMch sein darfen. ,Anderseits haben wir das Ergebnis:

I n e i n e r K o r r e l a t i o n ~ k a n n es z u r W u r z e l - - 1 n i e m a l s e i n e n e i n z i g e n E l e m e n t a r t e i l e r . u n g e r a d e n G r a d e s geben .

Wenn wit hier analog wie frtiher den Fall zweier oder mehrerer Elementarteiler yore geraden Grad erledigen, so kommen wir dureh Komposition einer entspreehenden Anzahl yon Typen D) zu dem Resultat :

I n d e r z u r W u r z e l - - 1 g e h s r i g e n c h a r a k t e r i s t i - s e h e n G r u p p e k a n n u n t e r Z u g r u n d e l e g u n g d e r S e g r e - s e h e n C h a r a k t e r i s t i k j e d e b e l i e b i g e g e r a d e Z a h l vor - k o m m e n . 1)

Dagegen kSnnen zwei Elementarteiler (p @ 1)~, wo q-~--2h@ 1 ist~ ohne weiteres vorkommen; der beztigliehe Substitutionsmodul ergibt sieh aus dem Typus A), wenn man die Diagonalreihe zur Halfte mit --~ 1 und zur anderen Halfte mit - - 1 besetzt. Ganz analoge ErwKgungen: wie frtiher bei -~- 1~ erffeben das Resultat:

T r e t e n in d e r S e g r e s c h e n C h a r a k t e r i s t i k d e r W u r z e l ~ 1 u n g e r a d e Z a h l e n auf~ d a n n i s t d ie A n z a h l d e r s e l b e n f fe rade .

1) Start des hier verwendeten al lgemeinen Typus D) verwende~ M e di c i den spezlellen, wo alle a~k verschwinaen, mit Ausnahme yon aq- - 1,1, ay- - 2, -2, . . . a q, ~ , und tier die gewiinschten Forderungen auch noeh erfiillt. ~

Mo~a~sh. fiir N~hemafik u, :Physik. XXu ffahrg. 15

214 Paul Roth.

Fassen wit jetzt das Gesamtresultat unter Zugrundelegung der Predellasehen Symbolik noeh einmal zusammen~ so lautet der zweite Kroneckersehe Satz folgendermal~en : 1)

T r e t e n in e i n e r n i c h t s i n g u l ~ t r e n K o r r e l a t i o n

r e z i p r o k e W u r z e l p a a r e auf~ p(0 u n d 1(.), so g e h 6 r t zn

j e d e r y o n i h n e n d i e g l e i c h e C h a r a k t e r i s t i k

[(hi 0 - 1, h(~ O- 1 , . . . h~ O- 1)] 2

u n d d ie Z a h l e n h (~ k S n n e n g a n z b e l i e b i g e p o s i t i v e g a n z e Z a h l e n s e i n ; zu d e r e v e n t u e l l a u f t r e t e n d e n W u r z e l @1 g e h S r t e i n e C h a r a k t e r i s t i k

[(I~#--1,1,~ + - 1 , . . . ~ ? - - 1)]e

u n d d ie h~ k ~ n n e n b e l i e b i g e g a n z e p o s i t i v e Z a h l e n sein~ d ie n u r d e r B e s e h r a n k n n g u n t e r l i e g e n , d a g d ie

h + "+ (k-~---1,2, .i.) u d ev D i f f e r e n z e n ~z--n~;.+~ n e n t n e l l , f a l l s p . g e r a d e ist~ auch h + g e r a d e Z a h l e n s i n d ; t r i t t auch d ie W u r z e l - - 1 auf, d a n n g e h s r t zu i h r e i n e C h a r a k - t e r i s t i k

a n d d ie h~- s i n d b e l i e b i g e g a n z e p o s i t i v e Zah len~ d ie d e r F o r d e r u n g g e n i i g e n mt i s sen , dal~ d i e D i f f e r e n z e n h~.-1--h~ Q.~-I, 2~...), n n d w e n n 2 u n g e r a d e ist , a u c h h~- g e r a d e Z a h [ e n s ind .

.Mit den abgeleiteten beiden Kroneekersehen S~itzen ist die spezielle Beschaffenheit einer zu einer Korrelation gehSrigen Homo- graphie voilkommen gekennzeiehnet.

w Die bier abgeleitete Korrelationstheorie war so dargestellt, dat~

yon dem bewiesenen Haupttheorem~ wodureh die ganze Klasse projektiv identischer ttomographien dutch absolute Invarianten nnd Charakteristik votlkommen bestimmt sind~ ausgegangen wurde und dann ankntipfend daran die S~tze iiber Korre]ationen abgeMtet wurden.

M e d i c i hat in seiner Arbeit in einer rein geometrischen Manier eine yon der Kollineationstheorie independente DarstelluDg gegeben, die freilich ziemlieh kompliziert ist. Vom Standpunkt der Geometric s.ind rein geometrisch gefithrte Beweisftihrungen natUrlieh 1miner yore grSgten Interesse und daher mSehten wit uns es nicht versagen~ in diesem Schlugkapitel unter erleiehternden Voraussetzungen zwei spezielle F~lle yon Korrelationen in einer solchen independenten Art zu behandeln.

1) Kronecker, 1. c.; Bertini~ 1. % p. 114.

i )ber Korrelat ionen l inearer RKume in sich s6lbst. 215

Vorher bringen wir den folgenden allgemeinen und le[cht be- weisbaren Satz uber Korrelationen in Erinnerung: ! :~ ::~:,' Ein eharakteristiseher Raum S / o _ ~ der zu einer Korrelation gehSrigen Homographie % der nieht der Wurzel -~-1 oder - - 1 angehSrt, transformiert sieh ia den charakteristischen Raum E~(o_ ~, der konjt~gier~ ist zum Raum S~(0-~ der zum Raum Se(o_~ asso- ziiert ist und umgekehrt.

Unter assoziierten eharakteristischen R~umen versteht maa solch% die zu reziproken Wurzelpaaren gehSren: Der Inhalt des Satzes besteht also darin~ dag einem Punkt eines eharakteristischen Raumes Sg(O_ ~ eine Hyperebene entspricht, die durch alle anderen charakteristischen R~ume h~ndurchgeht~ nut n~cht den dutch dam S/o_~ assoziierten S~(,)_~.

Aus diesem Satze folgt dann sofort ein6 MSglichkeit~ die gegebene Korrelation: wie M e d i c i es nennt~ zu zerlegen. Faint man die assoziierten lPaare eharakteristischer R~iume zu je einem Ver- bindungsraum S~(0_~ zusammen and ftigt die den Warzeln --~1 a n d - - 1 korrespcndierenden charakter~stischen R~iume hinzu: s o hat diese Reihe yon R~fumen die Eigenschaft, daf~ einem Punkt eines Raumes eine Hyperebene entspricht: die durch ~lle anderen R~tume hindurchgeht~ so dag also in jedem dieser R~tume durch die ursprtingtiche Korrelat~on eine sabordinierte Korrelation induziert wird~ aus der"sie sich zusammensetzt und in die sie zerlegt erscheint. Wenn mail nun die Ecken der Fundamentalpyramide so verteilt: dal3 Ao: A ~ . . . A 2 / o _ ~ im ersten Raum~ A2a(o: A 2 / o + ~ . . .

� 9 Az#0+~(v_~ im zwe~ten u. s. s zu liegen kommen~ so l~il]t sich der Substitutionsmodul in die Form brlngen

a(•) a (D 0, 0 0, 9g( 1 ) - 1

, . . . . . . . �9 . . . �9

Ct(1) aO) 2g( 1 ) -1 ,0" �9 ' 2g(1)--1,2#(1)--1

0, o . . . . . . . o, 2g('2)-- 1

a (2) a (~)

Yon hier aus ist es klar~ dag mail blo13 diese subordinierten Korrelationen za betraohten braucht.

Die beiclen speziellen F~lle sind erstens der Fall~ dal~ alle Fundamentalr~ume einfach sind~ da$ also die Korrelation eino allgemeine ist und zweitens den Fall, da$ nur die den Wurzein ~ 1 und ~ 1 korrespondierenden Fundamentalr~ume einfach sind. Der zweite enthalt den ersten als Spezialfall~ soll aber trotzdem gesondert zum leichteren Verst~ndnis durchgeffihrt warden.

216 Paul Roth.

Wir haben also dementsprechend zun~tebst mit Korrelationen yon der Charakteristik

[(h -- 1), (h-- 1)]

zu tun. Also zwei einfaehe Fundamentalr~ume Sr~-I und S~-1~

die zu reziproken Wurzeln ? und __1 gehi~ren. Dem oben angegebenen ,o

Satze zufolge entsprieht jedem Punkt yon Sh_~ ein S,._1 des Sr ( r - ~ - 2 h ~ l ) ~ der dureh den S1~-1 geht und das gleiche gilt vom S~-1. Legt man die h erstea Eeken der Fundamentalpyramide A0, AI~ .., Al~-i in den Sl~_~ und die weiteren Eeken A~,, ... A~h_~ in den S' ~_~ so bekommt der Korrelatioasmodul die Form

Z) F =

~0~0 . . . . . ~ 0 ~ h - - 1

a h - - l , o �9 �9 . C ~ h - - l , h - - 1 t r

6bO, 0 . . . . . 6b0~h-- 1

6r

wobei, wie tiblich, die leergelassenen Stellen m i t Nullen zu be = setzen sind.

Nun spezialisieren wir das Koordinatensystem noch welter s% dag die Punkte A0, A I ~ . . . Ah_~ irgend welehe beliebige Punkte und ~ 2 h - ~ ~ a 2 ~- 2 ~ �9 . . ~ ~ - - mit a~ wird die Koordinatenhyperebe~a% die dem Punkt Ai gegentiberliegt, bezeiehnet - - die diesen Punkten entspreehenden S~_~. Wenn wir diese Wahl getroffen haben~ so wi rd dem Punkte Ai (h<i<2h- -1 ) , der in den Hyperebenen C(2h--1~ ~2h--2~... ~i+1~ a~--l~_., ah liegt und aul3erdem im S~, 1~ wodureh er vollstandig bestimmt erseheint~ eine Hyperebene ent- spreehen~ die durch die Punkte

A0: Ax~ . . . A 2 h - ~ - i - , , A~h-~-~+l~ �9 . . AI,-1

und selbstverstandlieh dureh alle weiteren Ai geht; dann nimmt die Korrelation die Form an

! h / / ~ ' P'

F ~ f "//' �9

i 1 /

Uber Korrelationen linearer R~ume in sich selbst. 217

Au{~erdem treten noeh subordinierte Korrelationen~ zur Wurzel -~-1 und zur Wurzel - -1 gehSrig~ auf~ die erste ist ein Polarsystem~ die zweite ein Nullsystem. Diese speziellen~ zur Identitgt gehSrigen Korrelationen werden ja imraer gesondert behande]t~ und zwar lal~t sich ein Polarsystem immer auf die Normalform

c) 1

1

"1

und ein Nullsystem immer auf die Normalform

- - t - - 1

~) - - 1 1

1

bringen~ so dab also die Matrix vom Typus d) immer yon gerader Ordnung ist. Hat man also in einer allgemeinen Korrelation k asso- ziierfe Fundamentalpaare und au~erclem je einen zur Wurzel -Jr-1 und -- 1 gohOrigen Fundamentalraum, so komponiert man im Tylous a)

T pen yon der Form b)~ einen vom Typus c)~ einen yore Tyl0US d). Y Gehen wir jetzt zum zweiten Fall ~ber~ wo nut die beiden zu

-~-1 und - - I gehSrigen Fundamentalraume einfach sind~ wtthrend zwei reziproke Wurzeln mit einer ganz allffemeinen Charakteristik korresponclieren~ so dab wir also eine Normalform einer Korrelation mit der Charakteristik

[(l~--1, h i - -1 , 7~,--1,... ,'~,--1) , (h-- 1, 1~1-- 1, 1~-- 1, ... t~,,-- 1)] ~

mit zwei zu einander rcziproken Wurzeln aufzustellen haben.

Zu jeder Warzel o' und 1 geh~rt je ein charakteristischer L pt

Raum Sg_~ und S~_~ wobei y gegeben ist durch

Wenn man die ersten g Ecken der Fundamentalpyramide Ao~A1,...Ag-1 im S r_ l und A ~ A g + I ~ . . . A 2 g _ I im S~-1

~'{8 Paul Roth.

wahlt, so ergibt sich far die Korrdation sofort der Substitutions: rnodul I, wo nattirlich t~, durch g zu ersetzen ist. Nun spezialisieren wit das Koordinatensystem noeh weiter.

Vorher :~oeh eine Bemerkung t~ber den Begriff einer eharakteristischen PunkNr~ppe eines eharakteristisehen Raumes. Man kann in jedem eharakteristischen Raume einer Homographie auf unendlieh vide Arten Gruppen yon je g unabhSmgigen Punkten finden yon folgender Besehaffenheit:

Es gibt h unabhangig% sieh selbst entsprechende Punkte

~0~ 9-I1 �9 �9 gb>- : . . . 9I~s_:_~ . . . 9 i h ~ - : . . . ~Ih,-1 . . . 9 I : _ ~

die natt~rlieh dem Fundamentalraum S'j~_: angehSren~ weiters h~ Punkte

~o~ ~ : .- . ~31~-~... ~31>_:_:... ~h~-~. . . ~1~,-~

yon der Besehaffenheit~ dal? die ihnen entspreehenden Punkte

, ~ . . . 1,~,-: . . . . . ~ ,= -~ . . . 2}~_~

mit den gleich indizierten 9X~ (i = 0,1, . . . h: - - 1) auf elmer geraden Linie liegen~ dann haben weitere h s Punkte

go, : g , - . . g ~ - : . - . g ~ > _ ~ - : . . . ~,~-:

die Eigensehaft, daft ihre entsprechenden Punkte

mit den gleich indizierten ~ (i ~- O, 1~. . . h~ -- 1) auf einer Geraden liegen and so geht das in leicht verst~tndlicher Weise welter. Man hat als% um noeh einmal zusammenzufassen~ g nnabhangige Punkte

~iO "'" ~"~h~)--I "'" ~/,i,__1-- I ... ~]l,--I .', ~/q-- I

~o,- - ~ 5 , - : - " ~ > - : - : --- ~,~-, (:) < d,,;-,; ..........

so daf~ der korrespondierende Punkt eines jeden Punktes dieses Schemas mit dem aber ihm stehenden auf einer Geraden liegt, die Punkte der ersten Zeile aber sich selbst entsprechende Punkte sind.

Jetzt soll die Spezialisierung des Koordinatensystems darin bestehen, dal? die im S.:_: liegenden Eeken des Fundamental- pyramide die q einer eharakteristischen Gruppe (1) yon m = , ; 2 k o r r e s p o n d { e r e n d e n Punkte sind, und zwar sollen die tSnnda- mentalpunkte

[~ber Korrelationen linearer R~ume in slch selbst. 219

A o . . . . . . A h p _ ~ . . . . . . A~,r ~ . . . . . . A~,~_~ . . . . A1~-~ . . . A ~ _ ~

A~ . . . . . . A~+~ _~ . . . . A~+~,_~_ ~ . . . . A~+~, _~ . . Ah+~,,-~ (~)

respektive die Punkte

~do. . . 9I;, _1 . . . 911,i__ -~ . . . gb,~- ~ . - . gb,~-~ - . - gf~-~

�9 �9 �9 �9 �9

(s) ~ o . . ~ S - ~ . . . . h ~ , _ ~ - ~ . . ~,~-~

� 9 h p - - 1

sein. Weiters mSgen als Fundamenta lhyperebenen

~g_ ~ ...... (x$g_hp ...... O~g--hl,_1 ...... ~g--h. .... ~g--ht . , . (X~y--I~

~ 2 y - - h - - 1 . . . . ~ 2 . q - - h - - t ~ . . . . ~ 2 g - - h - - 1 ~ , ~ _ 1 . . . . ( X ~ g - - h - - l ~ . . ~ 2 g - - h - - h t

t ~ 2 ~ - - h - - t h - - I �9 . ~ 2 g - - h - - h t - - l ~ p . �9 ( Z f g - - h - - h l - - h p _ _ l , �9 ~ 2 . f / - - h - - h l - - h 2

~ 2 g - - h - - h t - - . . . - - l t / ~ I 1 - - 1 �9 �9 - ~ 2 g - - ( h ~ q - h . a @ . �9 .4-hp)

die den y Punkten der eharakterist ischen Gruppe (1) entsprechenden Hyperebenen genommen Werden.

Wenn diese Vereinbarungen getroffen sind~ so entsprechen den Fundamenta lpunkten der ersten Zeile yon (2) die Fundamental - hyperebenen der ersten Zeile yon (4), den Fundamenta!punkten d e r zweiten Zeile AI~+~ (i =- 07 17 . . �9 hi - - 1) korrespondieren t type r - 9benen~ die dem Bgschel gebilde b aus ~ s e - l - ~ und ~ s - t , - 1 - ~ (i ~ 0, 1, . . . hi - - 1) angehSren~ den Fundament~lpunkten der dri t ten Zeile A1,+1,~ +~' (i = 0, 1 , . . . h s - - 1) Hyperebenen der Btischel ~ g - I , - 1 - ~ und ~se- l ,=7 ,~- l - i (i = 0, 1, 2 7 . . . h 2 - t ) und sehlie~- lieh den Punkten der letzten Zeile yon (2) At~+h,q .. . . +i,p_1+~ (i ~--- 0~' 1, . . h l, - - 1) I typerebenen der Btisehel ~ 2 ~-- 1, . . . . -~p_~- ~ -,:

Punkt: A i (g - - 1 < i < 2 g) in den(:_Hyperebenen

(4)

~ 2 9 - ~ ~ 2 g _ 2 : ~ �9 �9 - ~ i + ~ ~ , - 1 ~ . �9 �9 a g ( 5 )

220 Paul Roth.

und daher entsprieht ihm eine Hyperebene, die dureh die den Ebenen (5) entspreehenden Punkte

Ao~ A~ . . . A~g_~_~: A~u_~. ~ Ag__~ (6)

hindurehgeht und da sie dureh den S~_~ geht~ aueh ells anderen A~ (g - - 1 < i < 2g) enthalt, Der Korrelationsmodul wird dann die GestaIt annehmen:

�9 ~ e @ ' ~ , ~ �9 �9 �9

�9 . "

-,i.~2,.., ! ..... -~

r y " t....::i: :.: ::'i; "~

I'Y.-" 4.1.:.:::'..-.:..:X;a�9

Dabei sind die GrSgen 1, ~ . . . ~ yon Null verschiedene Zahlen, die beliebig'e Werte annehmen kSnnen~ wenn man den Einheits- punkt passend wahlt.

Wiederholt man dlesen Vorgang ftir a l le assoziierten tlaum- paare und Ngt das eventuell hinzutretende Null- und Polarsystem hinzu~ so erh~tl~ man den Modul der Gesamtkorrelation. Mit den in diesem Paragraphen gegebenen Ersrterungen ist in rein geo- metriseher Form der Beweis geliefert, dag Korrelationen der hier betraehteten speziellen Art durch absolute Invarianten nnd Charak- teristik bis aaf eine Projektiviti~t vollkommen bestimmt sind.

Über korrelationen linearer räume in sich selbst

Documents