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Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011

S. 1FachgebietNachrichtentechnische Systeme

N T SUNIVERSITÄT

D U I S B U R GE S S E N

Theorie linearer SystemeGrundlagen der

Nachrichtentechnik 1

Communications 1

Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik



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Theorie linearer SystemeOrganisatorisches Vorlesung 2 SWS

Übung 2 SWS

Folienkopien sind verfügbar: http://nts.uni-duisburg.de

Prüfung: schriftlich

Forschungsthemen im Fachgebiet Nachrichtentechnische Systeme

Studien- und Diplomarbeiten



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Theorie linearer Systeme Literatur Literatur zur Vorlesung:

R. Unbehauen: Systemtheorie, Oldenbourg-Verlag

H. Marko: Methoden der Systemtheorie, Springer-Verlag



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Theorie linearer Systeme Inhalt1 Einführung2 Testsignale3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme4 Fourier-Transformation5 Laplace-Transformation6 Hilbert-Transformation7 Abtasttheorem8 z-Transformation 9 Lineare zeitdiskrete Systeme



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Inhalt: Theorie linearer Systeme

Begründer der modernen Systemtherorie: Karl Küpfmüller

NT1: Deterministische Signale und Systeme

SystemEingangssignal Ausgangssignal



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Beispiele

Übertragungssysteme

Stabilitätsuntersuchungen in Regelkreisen

Mechanische Schwingungssysteme

Allgemein: lineare Systeme (beschrieben durch lineare Differentialgleichungen)



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung

Beispiel: digitales Mobilfunksystem

passivesFilter

Empfangs-filter

Aufwärts-Mischung

Abwärts-Mischung

Sende-filter

ZuordnungkomplexerSymbole

Ent-zerrungDetektion

Funk

kana

l

Synchronisation

Daten



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Signal

Funktion der Zeit x(t)

Funktion des Ortes v(x)

Beispiele

Musiksignal

Zeitfunktion der Mikrofon-/Lautsprecherspannung

Zeitfunktion der Auslenkung der Mikrofon-/Lautsprechermembran



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Rauschen

Fernsehsignal

Zeitfunktion der Spannung am Ausgang eines RC-Gliedes beim Einschaltvorgang

n(t)

t

u(t)

t



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung System

Allgemeiner Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang:yi(t) = fi(x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))

System

x2(t)

xn(t)

x1(t)

y2(t)

ym(t)

y1(t)

. . . .

. . . .

(1.1)



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Vektorielle Darstellung:y(t) = f(x(t))

mit x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))und y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t) ... ym(t))

Wichtiger Sonderfall: ein Eingang, ein Ausgang

(1.4)(1.3)(1.2)

y = f(x(t))x(t) y(t)



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Klassifizierung von Systemen

System gedächtnislos gedächtnisbehaftet

linear lineare Gleichung (Gerade)

lineare Differential-gleichung

schwach nichtlinear

Taylor-Reihe Volterra-Reihe

nichtlinear nichtlineare Gleichung nichtlineare Differential-gleichung



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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Linearität

Gegeben: y1(t) und y2(t) seien Ausgangssignale für beliebige Eingangssignale x1(t) und x2(t)

Ein System heißt linear, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) folgt:c1 x1(t) + c2 x2(t) → c1 y1(t) + c2 y2(t) mit beliebigen Koeffizienten c1 und c2 .

Lineare Systeme werden durch lineare Differentialgleichungen beschrieben.

(1.5)



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Beispiel: (1.6)xxyyy 5352 +=−+



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Sprungfunktion

Modellierung von Einschalt- und Einschwingvorgängen Problem: nicht differenzierbar!

(2.1) ≥

=sonst0

0für1)(s

tt

s(t)1

t



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Begrenzte Rampenfunktion

Eingesetzt als Näherung der Sprungfunktion, da die begrenzte Rampenfunktion differenzierbar ist:

(2.2)

≥

≤≤−+

−≤

=

2für1

22für

21

2für0

)(s

ε

εεε

ε

ε

t

tt

t

t

)(slim)(s0

tt εε →

= (2.3)

sε(t)1

t2ε

2ε−



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Rechteckfunktion

Darstellung durch Sprungfunktionen:

Rechteckfunktion der Dauer ∆T und mit der Verschiebung T0

(2.4)

(2.5)

≤≤−

=sonst0für1)(rect 2

121 tt

rect(t)

t21

21−

1

( ) ( )21

21 ss)(rect −−+= ttt

t

20TT ∆+20

TT ∆−

1

∆−

TTt 0rect

0T



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Dreieckfunktion

Darstellung durch Sprungfunktionen:

(2.6)

≤≤−≤≤−+

= ≤−=∆

sonst010für1

01fürt1

sonst01für1)( tt

tttt

∆(t)

t

1

−1 1

)1()1(s)2()(s)1()1(s)( −⋅−+−⋅++⋅+=∆ ttttttt (2.7)



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Gauß-Funktion

Fläche:

(2.8)2

0e)(G

−

= Tt

ts

-3 -2 -1 1 2 30Tt

1

2

0e

−

Tt

1e−

0G ded)(

2

0 Tttts Tt

⋅== ∫∫∞

∞−

−∞

∞−

π (2.9)



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Diracsche Delta-Funktion

mit

Darstellung durch Rechteckfunktion:

(2.9) =∞

=sonst0

0für)(

ttδ

1d)(δ =∫∞

∞−tt

δ(t)1

t

(2.10)

=

→ εεδ

ε

tt rect1lim)(0

t2ε

2ε−

ε1

εεtrect1

(2.11)



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale

Andere Definitionen der Delta-Funktion

Ausblendeigenschaft

(2.12)δ(t)

1

t(2.13)

∆=

→ εεδ

ε

tt 1lim)(0

(2.14)

2

e1lim)(0

−

→⋅= ε

ε επδ

t

t

)()()()( 000 TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ

)(d)()( 00 TftTttf =−⋅∫∞

∞−δ (2.15)

f(t)

t

δ(t−T0)

T0



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Zusammenhang der δ-Funktion mit der Sprungfunktion:

Ableitung der δ-Funktion:

Die δ-Funktion und ihre Ableitungen sind verallgemeinerte Funktionen

(2.16))(dds t

tδ=

)(d

(t)d tt

δδ ′= (2.17)

)(tδ ′

t



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Weitere Eigenschaften der δ-Funktion:

(2.18))()( tt −= δδ

)()( ttt δδ =′⋅−

)(1)( ta

at δδ =

ta2ε

a2ε−

ε1

εεtarect1

(2.19)

(2.20)



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Harmonische Schwingungen

(2.21)

(2.22)

)cos()( ttx ω=

(2.23)

)sin()( ttx ω=

ttx ωje)( =



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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Signalparameter:

Momentane Leistung eines Signals x(t)

P(t) = x2(t)

Mittlere Leistung

Energie

∫−∞→

=T

TTttx

TP d)(

21lim 2

∫−∞→

=T

TTttxE d)(lim 2

(2.24)

(2.25)

(2.26)



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Komplexe Signale:

∫−

∞→=

T

TTttx

TP d)(

21lim 2

∫−

∞→=

T

TTttxE d)(lim 2

(2.27)

(2.28)

(2.29)

2)()( txtP =



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-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xtxˆ

)(

πω2

0t

Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Beispiele

Sinusförmiges Signal (leistungsbegrenzt):

(2.30)txtx 0sinˆ)( ω⋅=



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-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Momentane Leistung:

Mittlere Leistung:

2ˆ2sin

41

22ˆ

d)(sinˆ2

d)(21lim

20

0

2

0

02

2

00

2202

0

0

xttx

ttxttxT

PT

TT

=+⋅=

⋅==

∫∫−∞→

ωωπ

ω

ωπ

ω

ωπ

ωπ

(2.31)

(2.32)

txtxtP 0222 sinˆ)()( ω⋅==

2

2

ˆ)(

xtx

πω2

0t



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-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Dreieck-Doppelimpuls (energiebegrenzt):

≤≤−

⋅

≤≤

−⋅

≤≤⋅

=∆∆

sonst0

für 4

ˆ

für 4

2ˆ

0für 4

ˆ

)(

43

43

4

4

TtT

Ttx

tT

tx

tT

tx

tx

T

TT

T

(2.33)

xtx

ˆ)(∆∆

Tt



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-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Energie

Dreieckförmiges Signal

TxtT

xtT

txttxETT

24

0

3

2

2324

0

2 ˆ31

3ˆ4d

4ˆ4d)( =

=

⋅== ∫∫

∞

∞−∆∆∆∆ (2.34)

(2.35)

∑∞

−∞=∆∆ −=

nnTtxtx )()(D

xtx

ˆ)(D

Tt



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-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

2

2D

ˆ)(

xtx

Tt

Momentane Leistung des dreieckförmigen Signals:

Mittlere Leistung des dreieckförmigen Signals:


(2.36)3ˆ1d)(

21lim

22

DxE

Tttx

TP

T

TT=== ∆∆

−∞→∫



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Gaußimpuls (energiebegrenzt):

Energie:

Rechteckimpuls:

Energie

(2.37)

0

22

2GG 2

deded)(

2

0

2

0 TttttsE Tt

Tt

π==

== ∫∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

TttTtE

T

T∆==

∆= ∫∫

∆

∆−

∞

∞−

2

2

22rect d1drect (2.38)



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Kausalität

Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ −∞ ... t0

Ein System heißt kausal, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) sowiex1(t) = x2(t) für t ≤ t0 folgt:y1(t) = y2(t) für t ≤ t0 (3.1)

y = f(x(t))x(t) y(t)



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Zeitinvarianz

Gegeben: System mit Eingangssignal x(t) und Ausgangssignal y(t)

Ein System ist zeitinvariant, wenn gilt:Aus x(t) → y(t) folgt x(t−t0) → y(t−t0). (3.2)

x(t) x(t−t0) y(t) y(t−t0)

t0 t t0 t



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Stabilität

Ein begrenztes Eingangssignal x(t) führt zu einem begrenzten Ausgangssignal y(t) (bounded input bounded output – BIBO)

Für jedes zulässige Eingangssignal x(t)

mit |x(t)| ≤ A < ∞ für alle t gilt

auch |y(t)| ≤ B < ∞ für alle t. (3.3)



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Gedächtnislose und gedächtnisbehaftete (dynamische) Systeme

Gedächtnislose Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt nur vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0ab.

Gedächtnislose Systeme werden durch eine Kennlinie y = f (x) beschrieben.

Gedächtnisbehaftete Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0 und der Vorgeschichte x(t < t0) ab.



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Faltungsintegral

Näherung eines Eingangssignals x(t) durch schmale rechteckförmige Impulse

(3.4)x(t)

t

∆T

∑∞

−∞=

∆∆−

⋅∆≈n T

TntTnxtx rect)()(



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme

Grenzübergang: ∆T → 0

⇒ n∆T → τ ∆T → dτ

Antwort des Systems auf einen einzelnen Recheck-Impuls:(3.5)

)(rect1 tTt

Tδ→

∆∆

Lineares zeitinvariantes

Systemδ(t) h(t)

δ(t−τ) h(t−τ)

∆∆ Tt

Trect1 h∆T(t)



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Allgemeines Eingangssignals x(t):

Ausgangssignal y(t):

Grenzübergang: ∆T → 0

Faltungsintegral, h(t) = Impulsantwort

(3.6)∑∞

−∞=

∆∆−

⋅∆≈n T

TntTnxtx rect)()(

∑∞

−∞=∆ ∆−⋅∆⋅∆≈

nT TnthTTnxty )()()(

)()(d)()()( thtxthxty ∗=−⋅= ∫∞

∞−τττ

(3.7)

(3.8)



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Eigenschaften des Faltungsprodukts:

Kommutativgesetz

Beweis durch Substitution: τ = t − u ⇒ dτ = −du

(3.9)

)()()()()( txththtxty ∗=∗=

ττττττ d)()(d)()()( ∫∫∞

∞−

∞

∞−−⋅=−⋅= txhthxty

(3.10)

(3.11)uutxuhuuhutxty d)()()d()()()( ∫∫∞

∞−

∞−

∞−⋅=−⋅−=



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Kommutativgesetz als Blockschaltbild

Assoziativgesetz

≡

(3.12)

h(t)x(t) y(t)

x(t)h(t) y(t)

)()()()]()([)()()]()([)( 212121 ththtxththtxththtxty ∗∗=∗∗=∗∗=

≡h1(t)x(t) y(t)

h1(t) ∗ h2(t)x(t) y(t)

h2(t)



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Reihenfolge von linearen Teilsystemen kann vertauscht werden:

Linearität

(3.13))()]()([)()]()([)( 1221 ththtxththtxty ∗∗=∗∗=

≡h1(t)x(t) y(t)

h2(t) h2(t)x(t) y(t)

h1(t)

≡h1(t)x(t) y(t)

h1(t) + h2(t)x(t) y(t)

h2(t)

(3.14))]()([)()]()([)]()([)( 2121 ththtxthtxthtxty +∗=∗+∗=



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Faltung mit δ-Funktion:

)(d)()()()()( txtxttxty =−⋅=∗= ∫∞

∞−ττδτδ (3.15)

)(d)()()()()( 000 ttxttxtttxty −=−−⋅=−∗= ∫∞

∞−ττδτδ (3.16)



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Impulsantwort

Ein lineares zeitinvariantes System wird vollständig durch seine Impulsantwort beschrieben.

Bedingung an die Impulsantwort für Stabilität:

Mit |x(t)| ≤ A < ∞ muss auch gelten: |y(t)| ≤ B < ∞

(3.17)

h(t)x(t) y(t)

∞<≤⋅≤−⋅≤−⋅= ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−BAhtxhtxhty ττττττττ d)(d)()(d)()()(

∞<≤⇒ ∫∞

∞−Ch ττ d)(



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Bedingung an die Impulsantwort für Kausalität:

Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ −∞ ... t0

⇒ h(t) = 0 für t < 0 (3.18)

δ(t)

t

h(t)

ττττττ d)()(d)()()(0∫∫∞

∞−−⋅=−⋅= txhthxty

t(3.19)



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Faltung zweier „kausaler“ Funktionen:

h1(t) = 0 für t < 0 und h2(t) = 0 für t < 0

Dimension der Impulsantwort:

(3.20)ττττττ d)()(d)()()()(0

120

2121 ∫∫ −⋅=−⋅=∗tt

thhthhthth

s11)]([Dim :häufig

][Dim1

)]([Dim)]([Dim)]([Dim

⋅=

⋅=

th

ttxtyth



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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Beispiel 1: RC-Glied

Lineare Differentialgleichung:

Impulsantwort: U1(t) = δ(t)

Kausalität: h(t) = 0 für t < 0

(3.23)

U1 U2CR IC

tUCId

d 2C ⋅=

RUUI 21

C−

=

tURCUUd

d 221 ⋅=−

(3.22)

(3.21)



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Zeitnullpunkt: U1 >> U2

Impulsantwort für t > 0 (Ein-Speicher-Netzwerk):

(3.26)

U1 U2CR IC

tURCUd

d 21 ⋅=

(3.25)

(3.24)

RCtt

RCttU

RCU 1d)(1d)(1)0(

00

12 ===+⇒ ∫∫+

∞−

+

∞−δ

RCt

RCtU

−⋅= e1)(2



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Impulsantwort eines RC-Tiefpass-Filters

h(t)

t

RC1



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Berechnung des Ausgangssignals für eine Sprungfunktion als Eingangssignal:

U1(t) = U0 ⋅ s(t)

Praktische Berechnung am besten mit Skizze, die die beiden Faktoren im Integranden zeigt

τττ d)()()()()( 112 ∫∞

∞−−⋅=∗= tUhthtUtU

(3.27)

(3.28)



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Berechnung des Faltungsintegrals

t < 0 :

t ≥ 0 :

h(τ)

τ

RC1

τt > 0t < 0

U1(t−τ)U0

t

RC

tRC

RCRCU

URC

tU

0

0

002

e

de1)(

⋅−⋅=

⋅=

−

−∫

τ

τ

τ

0)(2 =tU (3.29)

(3.30)



N T SUNIVERSITÄT



t ≥ 0 :

]e1[e)( 00

2 RCt

RCt

URCRCRCUtU

−−−⋅=

+⋅−⋅=

t

U2(t)

U0

(3.31)



N T SUNIVERSITÄT


t/∆T−1,5 −0,5

U1(t)U0

−U0

0,5 1,5

Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Beispiel 2: Berechnung des Ausgangssignals auf zwei

Recheckimpulse:

τττ d)()()()()( 112 ∫∞

∞−−⋅=∗= tUhthtUtU

∆∆−

⋅−

∆∆+

⋅=T

TtUT

TtUtU rectrect)( 001 (3.32)

(3.33)



N T SUNIVERSITÄT


τt t + 1,5∆T

U1(t-τ)


Berechnung des Faltungsintegrals

t < −1,5 ∆T :

−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :

h(τ)

τ

RC1

Tt

RC

TtRC

RCRCU

URC

tU

∆+−

∆+ −

⋅−⋅=

⋅= ∫5,1

0

0

5,1

002

e

de1)(

τ

τ

τ

0)(2 =tU (3.34)

(3.35)



N T SUNIVERSITÄT


τt t + 1,5∆T

U1(t-τ)


−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :

−0,5 ∆T ≤ t < 0,5 ∆T :

]e1[)(5,1

02 RCTt

UtU∆+−

−⋅=

]ee[e

de1)(

5,15,0

0

5,1

5.0

0

5,1

5,002

RCTt

RCTtTt

Tt

RC

Tt

Tt

RC

URCRCU

URC

tU

∆+−

∆+−

∆+

∆+

−

∆+

∆+

−

−⋅=

⋅−⋅=

⋅= ∫

τ

τ

τ

(3.36)

(3.37)



N T SUNIVERSITÄT


τt t + 1,5∆T

U1(t-τ)


0,5 ∆T ≤ t < 1,5 ∆T :

]1eee[

ee

d)(e1de1)(

5,05,15,0

0

5,0

0

0

5,1

5.0

0

5,0

00

5,1

5,002

−+−⋅=

⋅−⋅−

⋅−⋅=

−⋅+⋅=

∆−−

∆+−

∆+−

∆−−

∆+

∆+

−

∆− −∆+

∆+

−

∫∫

RCTt

RCTt

RCTt

Tt

RC

Tt

Tt

RC

TtRC

Tt

Tt

RC

U

RCRCURC

RCU

URC

URC

tU

ττ

ττ

ττ

(3.38)



N T SUNIVERSITÄT


τt

U1(t-τ)


t ≥ 1,5 ∆T :

]eeee[

ee

d)(e1de1)(

5,15,05,15,0

0

5,0

5,1

0

5,1

5.0

0

5,0

5,10

5,1

5,002

RCTt

RCTt

RCTt

RCTt

Tt

Tt

RC

Tt

Tt

RC

Tt

Tt

RCTt

Tt

RC

U

RCRCURC

RCU

URC

URC

tU

∆−−

∆−−

∆+−

∆+−

∆−

∆−

−∆+

∆+

−

∆−

∆−

−∆+

∆+

−

−+−⋅=

⋅−⋅−

⋅−⋅=

−⋅+⋅= ∫∫

ττ

ττ

ττ

(3.39)



N T SUNIVERSITÄT



t/∆T−1,5 −0,5

U1(t)U0

−U0

0,5 1,5

t/∆T−1,5 −0,5

U2(t)U0

−U0

0,5 1,5

t/∆T−1,5 −0,5

U2(t)U0

−U0

0,5 1,5

t/∆T−1,5 −0,5

10 U2(t)U0

−U0

0,5 1,5

RC = 0,1 ∆T

RC = 10 ∆TRC = ∆T



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Integrator

Keine BIBO-Stabilität: x(t) = k ⇒ y(t) → ∞

Differenzierer

Keine BIBO-Stabilität: x(t) = s(t) ⇒ y(t) → δ(t)

)(s)(d)()( ttxxtyt

∗== ∫∞−

ττ

)(s)(I tth =

)()(d

)(d)( ttxttxty δ ′∗==

)()(D tth δ ′=

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Sprungantwort

(3.44)

h(t)s(t) a(t)

s(t)δ(t) s(t)

h(t)a(t)

h(t)δ(t) h(t)

s(t)a(t)

)(s)(d)()( tthhtat

∗==⇒ ∫∞−

ττ



N T SUNIVERSITÄT



Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch die Sprungantwort

Annahme: x(t) besitzt einen verschwindenden Anfangswert x(−∞) = 0

Zusammenhang ohne Einschränkung an x(t):

(3.45)

h(t)x(t) y(t)

δ′ (t)x(t) x′ (t)

s(t)

)()()()(d)()()()()( txtaaxtxaaxtyt

′∗+∞⋅−∞=−′⋅+∞⋅−∞= ∫∞−

τττ

x(t)h(t)

y(t)

a(t)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Ableitung: Übertragungsfunktion

Exponentialfunktionen sind Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme (LTI − linear time-invariant systems)

Eingangssignal:

Ausgangssignal:

(4.1)

)(ede)(e

de)(d)()()(

jjj

)(j

ωττ

τττττ

ωωτω

τω

Hh

htxhty

tt

t

⋅=⋅⋅=

⋅=−⋅=

−∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

∫

∫∫

)()()()( EigenEigen txHthtxty ⋅=∗=

ttx ωje)( =

(4.3)

(4.2)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation

Übertragungsfunktion:

Eingangssignal:

Ausgangssignal:

(4.5)

ττω ωτ de)()( j−∞

∞−⋅= ∫hH

(4.6)

(4.4)

( ) eReeecos)( jjj21 tttttx ωωωω =+== −

( )( )

)))((cos()(e)(Re

e)(e)(

e)(e)()(

j

jj21

jj21

ωϕωωω

ωω

ωω

ω

ωω

ωω

HtHH

HH

HHty

t

tt

tt

+⋅=⋅=

⋅+⋅=

⋅−+⋅=∗

−



N T SUNIVERSITÄT



Anwendung von (4.4) auf beliebige Signale/Funktionen ⇒ Fourier-Transformation

FF(ω) = Fourier-Transformierte = Fourier-Spektrum

FF(ω) ist eine komplexwertige Funktion

Fourier-Rücktransformation:

)(de)()( jF tfttfF tωω −

∞

∞−⋅= ∫ (4.7)

)(de)(21)( F

jF ωωω

πω FFtf t+

∞

∞−⋅= ∫ (4.8)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:

(4.10)

( ) ( ))2/(si)2/sin(21

eej1ee

j1

ej1de1)(

2/j2/j2/j2/j

2/

2/

j2/

2/

jF

TTT

tF

TTTT

T

T

tT

T

t

∆⋅∆=∆=

−=−−=

⋅−=⋅=

∆−∆∆∆−

∆

∆−

−∆

∆−

−∫

ωωω

ωω

ωω

ωωωω

ωω

(4.9)

∆=

Tttf rect)(

xxx )(sin)(simit = (4.11)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:

Konvergenz Die Fourier-Transformation konvergiert nicht für konstante

Funktionen oder für x → −∞ oder x → ∞ ansteigende Funktionen

1rect(t/∆T) ∆T si(ω∆T/2)

−∆T/2 ∆T/2 tω

2π /∆T

∆T



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation einer konstanten Funktion:

x1(t) = 1

⇒ Integral konvergiert nicht!

Hilfsfunktion: mit α > 0

Grenzwert:

(4.13)

(4.12)∞

∞−

−−∞

∞−

−=⋅= ∫ tt tX ωω

ωω jj

1 ej1de1)(

)(lim1)(0

1 txtx αα →

==

(4.14)ttx αα

−= e)(

(4.15)



N T SUNIVERSITÄT



Transformation der Hilfsfunktion:

⇒ Glockenkurve mit Maximum bei ω = 0!

(4.16)22

0

)j(0

)j(

0

j0

jj

2j

1j

1

ej

1ej

1

deedeede)()(

ωαα

ωαωα

ωαωα

ω

ωαωα

ωαωαωαα

+=

++

−=

−−

+

−

=

⋅+⋅=⋅=

∞−−

∞−

−

∞−−

∞−

−−∞

∞−∫∫∫

tt

ttttt ttttxX



N T SUNIVERSITÄT


-3 -2 -1 0 1 2 3


Hilfsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich:

0.5

1.0

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3 ω/α

2/α

)(ωαX

1/α

α⋅t

)(txα



N T SUNIVERSITÄT



Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:

⇒ Eigenschaften einer δ -Funktion!

⇒ 1 2π δ (ω)

(4.17)

(4.18)

=∞→=+

≠=+=

→→

→

→ 0für2lim2lim

0für02lim)(lim

0220

2200 ω

αωαα

ωωα

α

ω

αα

αα

αX

πππαω

ααω

ωααωωα 2

222arctg12d2d)( 22 =

+=

=

+=

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−∫∫ X

(4.19)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation der Sprungfunktion:

x2(t) = s(t)

⇒ Integral konvergiert nicht!

Hilfsfunktion: mit α > 0

Grenzwert: (4.23)

(4.20)∞

−−∞

−=⋅= ∫

0

jj

02 e

j1de1)( tt tX ωωω

ω

)(lim)(s)(0

2 txttx αα →

==

(4.21)

tttx αα

−⋅= e)(s)( (4.22)



N T SUNIVERSITÄT



Transformation der Hilfsfunktion:

Unsymmetrie der Zeitfunktion

⇒ zwei Beiträge: Real- und Imaginärteil

(4.24)222222

0

)j(

0

jj

jjj

1

ej

1

deede)()(

ωαω

ωαα

ωαωα

ωα

ωα

ω

ωα

ωαωαα

+−

+=

+

−=

+=

−−

=

⋅=⋅=

∞−−

∞−−−

∞

∞−∫∫

t

ttt tttxX



N T SUNIVERSITÄT


-3 -2 -1 1 2 3 ω/α

1/α )(Im ωαX

1/2α

−1/2α

−1/α


0.5

1.0

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3 α⋅t

)(txα

-3 -2 -1 0 1 2 3ω/α

1/α

)(Re ωαX

1/2α



N T SUNIVERSITÄT



Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:

(4.25)

(4.26)

ωωδπωα

α j1)()(lim

0+=

→X

ωωδπ

j1)()(s +t



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Eigenschaften

Gegeben: f(t) F(ω) , f1/2(t) F1/2(ω)

Linearität:

c1 ⋅ f1(t) + c2 ⋅ f2(t) c1 ⋅ F1(ω) + c2 ⋅ F2(ω)

Beweis:

)()(de)(de)(

de)(de)(de)]()([

2211j

22j

11

j22

j11

j2211

ωωωω

ωωω

FcFcttfcttfc

ttfcttfcttfctfc

tt

ttt

+=⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅+

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

∫∫

∫∫∫

(4.27)

(4.28)

(4.29)



N T SUNIVERSITÄT



Negative Zeitachse:

f(−t) F(−ω)

Beweis:

Konjugiert komplexe Werte:

f*(t) F*(−ω)

Beweis:

(4.30)

(4.31)

(4.32)

)(de)()d(e)(de)( )(jjj ωωωω −=⋅=−⋅=⋅− −−∞

∞−

+∞−

∞

−∞

∞−∫∫∫ Fuufuufttf uut

ttfF t de)()( )(j ωω −+∞

∞−

∗∗ ⋅=− ∫ (4.33)



N T SUNIVERSITÄT



Gerade und ungerade Anteile des Real- und Imaginärteils

f(t) = fRg(t) + fRu(t) + j fIg(t) + j fIu(t)

F(ω) = FRg(ω) + FRu(ω) + j FIg(ω) + j FIu(ω)

Beweis des Zuordnungssatzes für reelle Funktionen:

(4.34)

(4.35)

(4.36)tttfttttfttf t d)cos()(d)]sin(j)[cos()(de)( RgRg

jRg ωωωω ⋅=−⋅=⋅ ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

(4.37)tttfttttfttf t d)sin()(jd)]sin(j)[cos()(de)( RuRu

jRu ωωωω ⋅−=−⋅=⋅ ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−



N T SUNIVERSITÄT



Folgerung für reelle Funktionen f(t)

F(−ω) = F* (ω)

positive Funktionen: f(t) ≥ 0

⇒ |F(ω)| ≤ F(0)

Beweis:

(4.38)

(4.39)ttfttfttfF ttt de)(de)(de)()( 0jjj ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−−∞

∞−⋅=≤⋅= ωωω



N T SUNIVERSITÄT



Symmetrieeigenschaft:

F(t) 2π f(−ω)

Beweis:

Substitution ω → t , t → −ω :

(4.40)

(4.41)

(4.42)

ttfF t de)()( jωω −∞

∞−⋅= ∫

ωωππ

ωω ωω de)(221)d(e)()( jj tt fftF ⋅−=−⋅−= ∫∫

∞

∞−

∞−

∞



N T SUNIVERSITÄT





N T SUNIVERSITÄT



Maßstabsänderung (Ähnlichkeitssatz) (a ist reell):

Beweis von (4.43) mit a > 0:

Substitution: aω = u

(4.43)

(4.44)

(4.45)ωωπ

ω de)(21)( j atFatf +

∞

∞−⋅= ∫

aF

aatf ω1)(

atf

aaF 1)( ω

uaa

uFatf ut d1e21)( j+

∞

∞−⋅

= ∫π

(4.46)



N T SUNIVERSITÄT



Beweis von (4.43) mit a = −b < 0:

Substitution: −bω = u

(4.47)

(4.48)

ωωπ

ω de)(21)()( j btFbtfatf −

∞

∞−⋅=−= ∫

uaa

uFubb

uF

ubb

uFbtfatf

utut

ut

d1e21d1e

21

d1e21)()(

jj

j

−⋅

=⋅

−=

−⋅

−=−=

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞−

∞

∫∫

∫

ππ

π



N T SUNIVERSITÄT


)(e)( 0j0 tfF tωωω −


Zeitverschiebung:

Beweis:

Frequenzverschiebung:

Beweis:

(4.49)

(4.50)

(4.51)

ωωπ

ωωπ

ωωω dee)(21de)(

21)( jj)(j

0 00 tttt FFttf +−∞

∞−

−+∞

∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫

)(e)( 0j0 ωω Fttf t−−

ttfttfF ttt dee)(de)()( jj)(j0 00 ωωωωωω −+

∞

∞−

−−∞

∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫ (4.52)



N T SUNIVERSITÄT


Differentiation im Zeitbereich:

Beweis:

)()j()(dd ωω Ftft

nn

n⋅


(4.53)

(4.54)ωωωπ

ωωπ

ωωπ

ω

ωω

de)j()(21

dedd)(

21de)(

21

dd)(

dd

j

jj

tn

tn

nt

n

n

n

n

F

tFF

ttf

t

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

⋅=

⋅=⋅=

∫

∫∫



N T SUNIVERSITÄT


Differentiation im Frequenzbereich:

Beweis:

)()j()(dd tftF n

n

n⋅−ω

ω


(4.55)

(4.56)tttf

ttfttfF

tn

tn

nt

n

n

n

n

de)j()(

dedd)(de)(

dd)(

dd

j

jj

ω

ωω

ωωω

ω

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−⋅=

⋅=⋅=

∫

∫∫



N T SUNIVERSITÄT


Faltung von Zeitfunktionen:

Beweis:

)()(d)()()()( 212121 ωω FFuutfuftftf ⋅−⋅=∗ ∫∞

∞−


(4.57)

(4.58)

)()(de)()(

ded)()()()(

21j

21

j2121

ωωω ω

ω

FFuFuf

tuutfuftftf

u

t

⋅=⋅=

⋅−⋅∗

∫

∫ ∫∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

h(t)H(ω)

x(t) y(t) = x(t) * h(t)

X(ω) Y(ω) = X(ω) ⋅ H(ω)



N T SUNIVERSITÄT


Multiplikation von Zeitfunktionen:

Beweis:

∫∞

∞−−⋅=∗⋅ uuFuFFFtftf d)()()()()()( 21π2

121π2

121 ωωω


(4.59)

(4.60))()(de)()(

21

ded)()(21

21)()(

21

21j

21

j2121

tftfutfuF

uuFuFFF

ut

t

⋅=⋅=

⋅−⋅⋅∗

∫

∫ ∫∞

∞−

+

∞

∞−

+∞

∞−

π

ωωππ

ωωπ

ω

)()()()( 21π21

21 ωω FFtftf ∗⋅

)()( 11 ωFtf

)()( 22 ωFtf



N T SUNIVERSITÄT


Integration im Zeitbereich:

Beweis:


(4.61)

(4.62)

)(δ)0(πj

)(d)( ωωω FFuuf

t+∫

∞−

)(s)(d)(s)(d)( ttfuutufuuft

∗=−⋅= ∫∫∞

∞−∞−

)(δ)0(πj

)()(δπj1)( ω

ωωω

ωω FFF +=

+⋅ (4.63)



N T SUNIVERSITÄT


Parsevalsches Theorem für reelle Zeitsignale f(t) (Energiesatz)

Beweis: Multiplikation im Zeitbereich

ω = 0:


(4.64)∫∫∞

∞−

∞

∞−= ωω

πd)(

21d)( 22 Fttf

(4.66)

∫∫∞

∞−

∞

∞−

− −⋅=∗=⋅⋅ uuFuFFFttftf t d)()()()(de)()( 21π21

21π21j

21 ωωωω

∫∫∫∞

∞−

∗∞

∞−

∞

∞−⋅=−⋅=⋅ uuFuFuuFuFttftf d)()(d)()(d)()( 21π2

121π2

121



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Wichtige Korrespondenzen

1)(δ t (4.67)

(4.68))(δ2π1 ω

)(δ2πe 0j 0 ωωω −t

)(δjπ)(δjπ)(sin 000 ωωωωω −−+t

)(δπ)(δπ)(cos 000 ωωωωω −++t

(4.69)

(4.70)

(4.71)

)(δπj1)(s ωω

+t

ωj2)(s21)(sgn tt +−=

(4.72)

(4.73)



N T SUNIVERSITÄT



[ ]

=−−+

0000

00 2

rectπ)(s)(sπ)(siωω

ωωωωω

ωω t

220

000j)(δ

2π)(δ

2π)(cos)(s

ωωωωωωωω−

+−++⋅ tt

220

0000 )(δ

2πj)(δ

2πj)(sin)(s

ωωωωωωωω−

+−−+⋅ tt

)(si2)(s)(s2

rect TTTtTtTt ω−−+=

(4.74)

(4.75)

(4.76)(4.77)

)(δjπ1)(s 2 ωω

′+−⋅ tt

(4.78)

(4.79))])((si))((si[)cos()](s)(s[ 000 TTTtTtTt ωωωωω −++⋅−−+



N T SUNIVERSITÄT



aa

ta 4π

22

eeω−−

ωa

taa −

+eπ22

222je)(sgn

ωω+

−⋅ −

at ta

222e

ω+−

aata

(4.80)

(4.81)

(4.82)

(4.83)

(4.84)

(4.85)

ωj1e)(s

+⋅ −

at ta

)sgn(jπ1 ω−t



N T SUNIVERSITÄT



>−

−

<−⋅

aa

aatat

ωω

ωω

fürj

für1

)(J)(s

22

220

<−

sonst 0

für2

)(J22

0

aata

ωω

(4.86)

(4.87)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Beispiele:

Transformation der Dreieckfunktion

∆∗

∆∆=

∆∆

Tt

Tt

TTt rectrect1

∆

∆=

∆

∆⋅

∆

∆⋅∆ 2

si2

si2

si1 2 TTTTTTT

ωωω(4.89)

(4.88)



N T SUNIVERSITÄT



Transformation der Dreieckfunktion

∆

∆

∆∆

2si2 TT

Tt ω

(4.90)

0.5

1.0

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

-3 -2 -1 0 1 2 3t/∆T

∆(t/∆T)

ω∆T/2π

si2(ω∆T/2)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel zum Parsevalschen Theorem:

Berechnung im Zeitbereich:

Berechnung im Frequenzbereich:

ωω

j1)(e)(s)( 1 +

=⋅=−

T

Tt

Fttf (4.91)

(4.92)

(4.93)

2e

2ded)(

0

2

0

22 TTtttf T

tTt

=

−==

∞−∞ −∞

∞−∫∫

[ ]

2222

)(arctg21d1

21d)(

21

212

2

TT

TTF

T

=

+=

⋅=+

= ∞∞−

∞

∞−

∞

∞−∫∫

πππ

ωπ

ωωπ

ωωπ



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Transformation einer periodischen Zeitfunktion: fP(t) = fP(t+T)

Darstellung als Fourier-Reihe:

mit den Koeffizienten:

und

Fourier-Transformierte:

∑∞

−∞=⋅=

n

tnnAtf 0j

P e)( ω (4.94)

∫+

−⋅=Tt

t

tnn ttf

TA

0

0

0 de)(1 jP

ω

Tπω 2

0 =

∑∞

−∞=−⋅⋅=

nn nAF )(2)( 0P ωωδπω

(4.95)

(4.96)

(4.97)



N T SUNIVERSITÄT


∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−⋅=−⋅⋅=

nnn n

TnADtd )(2)(2)()( 00AA ωωδπωωδπω


Beispiel: Transformation einer periodischen δ-Impulsfolge:

∑∞

−∞=−=

nnTttd )()(A δ (4.98)

Ttt

Tttd

TA

T

T

tnT

T

tnn

1de)(1de)(1 2/

2/

j2/

2/

jA 00 =⋅=⋅= ∫∫

−

−

−

− ωω δ (4.99)

(4.100)



N T SUNIVERSITÄT



Periodische δ-Impulsfolge

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−−

nnnnTt )()( 00 ωωδωδ

1

−3 −2 −1 1 2 3 t/T −3 −2 −1 1 2 3 ω/ω0

ω0

DΑ(ω)dΑ(t)

(4.101)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Ideales Tiefpassfilter

Übertragungsfunktion:

Impulsantwort:

Anregung mit einer Sprungfunktion:

Mit der Integralsinusfunktion Si(x):

≤

=sonst0für 1

)( gTP

ωωωH

)(si2)(si)( gggg

TP tftth ωωπ

ω⋅=⋅=

)(Si121d)(si2d)()(s)()( gggTPTPTP tfhtthta

t tω

πττωττ +=⋅==∗= ∫ ∫

∞− ∞−

∫=x

uux0

d)(si)(Si

(4.102)

(4.103)

(4.104)

(4.105)



N T SUNIVERSITÄT



Sprungantwort des idealen Tiefpassfilters

-0.5

0.5

1.0

1.5

g41f g2

1fg4

1f

−

g

TP2

)(f

th)(TP ta

t



N T SUNIVERSITÄT



Gibbssches Phänomen

-0.5

0.5

1.0

1.5

)(TP ta

t

Grenzfrequenz: 5fg

Grenzfrequenz: fg



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Zeitgesetz der Nachrichtentechnik

Annahme: reelles Zeitsignal f(t), dessen Fourier-Transformierte F(ω) rein reell und positiv ist

⇒ f(t) ist gerade und hat sein Maximum an der Stelle t = 0 (vgl. Gl. (4.38)) :

Definition der (mittleren) Zeitdauer:

Definition der (mittleren) zweiseitigen Bandbreite:

)0(d)(21dcos)(

21)( fFtFtf =≤= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−ωω

πωωω

π

ttff

T d)()0(

1∫∞

∞−=

ωωπ d)()0(

12 z ∫∞

∞−= F

FB

(4.106)

(4.108)

(4.107)



N T SUNIVERSITÄT



Einsetzen:

)0()0(

1d)()0(

1 Ff

ttff

T == ∫∞

∞−)0(2

)0(1d)(

)0(12 z f

FF

FB πωωπ ⋅== ∫

∞

∞−

12z =⋅=⋅ TBTB (4.109)

t ω

F(ω)f(t)

T 2πBz

2πB



N T SUNIVERSITÄT



Alternative Definitionen von Zeitdauer und Bandbreite:

Unschärferelation:

ttftE

ttf

ttftT d)(1

d)(

d)(22

2

22

∫∫

∫ ∞

∞−∞

∞−

∞

∞− ==

212z ≥⋅=⋅ TBTB

(4.110)

ωωωπ

ωω

ωωωd)(

21

d)(

d)(22

2

22

z ∫∫

∫ ∞

∞−∞

∞−

∞

∞− == FE

F

FB (4.111)

(4.112)



N T SUNIVERSITÄT



Beweis

Schwarzsche Ungleichung:

∫∫∫ ⋅≤⋅ ∗b

a

b

a

b

attgttgttgtg d)(d)(d)()( 2

22

1

2

21

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

′⋅≤′⋅ ttfttftttftft d)(d)(d)()( 222

(4.113)

(4.114)



N T SUNIVERSITÄT



Linke Seite der Ungleichung:

Partielle Integration:

Rechter Term: Parsevalsches Theorem

2d)(

211)(

21d)()( 22 Ettfttftttftf −=⋅−

⋅=⋅′⋅ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∫ ∫ ′−=′ tuvuvtvu dd

221 fuffu =⇒′⋅=′

1=′⇒= vtv

EBFFttf ⋅=⋅=⋅=′ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

2z

2222 d)(21d)(j

21d)( ωωω

πωωω

π (4.116)

(4.115)



N T SUNIVERSITÄT



Schwarzsche Ungleichung:

Gleichheitszeichen in der Schwarzschen Ungleichung gilt wenn g1 und g2 linear abhängig sind:

Differentialgleichung für einen Gauß-Impuls

21

4 z2z

22

≥⇒⋅≤ TBBETEE

)(d

)(d tftattf

=

2

0e)( 0

−

⋅= Tt

Atf

(4.117)

(4.119)

(4.118)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Motivation und Definition

Problem bei der Fourier-Transformation: konstante oder aufklingende Funktionen: Fourier-Integral konvergiert nicht

Fourier-Integral konvergiert nur für absolut integrierbare Funktionen:

Lösungsmöglichkeit: Einführung eines Dämpfungsterms in das Fourier-Integral:

∞<∫∞

∞−ttf d)( (5.1)

(5.2)ttfttfF ttt de)(dee)()( )j(j ωσωσω +−∞

∞−

−−∞

∞−⋅=⋅⋅= ∫∫



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation

Substitution: p = σ + jω

(Einseitige) Laplace-Transformation

Konvergenz nur für σ ≥ σmin

Rücktransformation:

)(de)()(0

L tfttfpF pt−∞

⋅= ∫

)(de)(j2

1)( L

j

jL pFppFtf pt⋅= ∫

∞+

∞−

σ

σπ

(5.3)

(5.4)

(5.5)



N T SUNIVERSITÄT



Integrationsweg für die Rücktransformation

Fourier- und Laplacetransformation stimmen überein, wenn σ = 0 gewählt werden kann.

Nachteil der Laplace-Transformation: Beschränkung auf kausale Funktionen

Vorteil: auch exponentiell anklingende Funktionen können transformiert werden

σ

ω

p-Ebene

σmin

Konvergenz-bereich



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel 1:

Konvergenzbereich: σ > a

Beispiel 2:

Konvergenzbereich: σ > 0

atttf e)(s)( ⋅=

(5.7)

(5.6)

(5.8)

appattpF tpatpaptat

−=

−

==⋅=∞

−∞

−−∞

∫∫1e1dedee)(

0

)(

0

)(

0L

)(s)( ttf =

pptpF ptpt 1e1de1)(

00L =

−

=⋅=∞

−−∞

∫ (5.9)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel 3:

Konvergenzbereich: σ > 0

tttf 0cos)(s)( ω⋅= (5.10)

(5.11)

( )

20

200

0

)j(

0

)j(

0

0

jj

00L

j1

j1

21

ej

1ej

121

deee21decos)(

00

00

ωωω

ωω

ω

ωω

ωω

+=

+

+−

=

−−

+−

=

+=⋅=

∞−−−

∞−−+−

∞

∫∫

pp

pp

pp

tttpF

tptp

ptttpt



N T SUNIVERSITÄT


atf

apaF 1)(

apF

ataf 1)(

Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Eigenschaften f(t) F(p) , f1/2(t) F1/2(p)

Ableitung der Rechenregeln in der Regel analog zur Fourier-Transformation

Linearität: c1 ⋅ f1(t) + c2 ⋅ f2(t) c1 ⋅ F1(p) + c2 ⋅ F2(p)

Maßstabsänderung (a ist reell und positiv):

(5.12)

(5.13)

(5.14)



N T SUNIVERSITÄT



Zeitverschiebung:

Dämpfung im Zeitbereich:

Integration im Zeitbereich:

(5.15)

(5.16)

(5.17)

)(e)( pFatf ap−−

)(e)( tfapF ta−

)(1d)(0

pFp

uuft∫



N T SUNIVERSITÄT



Differentiation im Zeitbereich:

Differentiation im Frequenzbereich:

Faltung von Zeitfunktionen:

(5.18)

(5.19)

(5.20)

)()(dd pFptft

nn

n⋅

)()()(dd tftpFp

nn

n⋅−

)()(d)()()()( 210

2121 pFpFuutfuftftft

⋅−⋅=∗ ∫



N T SUNIVERSITÄT



Multiplikation von Zeitfunktionen:

(5.21): Integrationsweg (Realteil c) muss rechts von σ1,min liegen und darf nur die Polstellen von F1(z) einschließen

(5.22): Integrationsweg (Realteil c) muss rechts von σ2,min liegen und darf nur die Polstellen von F2(z) einschließen

(5.22)∫

∫

∞+

∞−

∞+

∞−

−⋅=

−⋅⋅

j

j12jπ2

1

j

j21jπ2

121

d)()(

d)()()()(

c

c

c

c

zzpFzF

zzpFzFtftf (5.21)



N T SUNIVERSITÄT



Beweis von (5.21):

(mit Substitution p = z + u, dp = du)

(5.23)pzzpFzF

uzuFzF

uuFzzFtftf

ptp

p

z

z

tuzz

z

u

u

utzt

ded)()(j2

1j2

1

dde)()()j2(

1

de)(j2

1de)(j2

1)()(

j

j

j

j21

)(j

j

j

j212

j

j2

j

j121

21

21

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

⋅−⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∞++=

∞−+=

∞+=

∞−=

+∞+=

∞−=

∞+=

∞−=

∞+

∞−

∞+

∞−

σσ

σσ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

ππ

π

ππ



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel:

Für R → ∞ stimmen die Integrale überein, da der Beitrag auf dem Kreisbogen verschwindet.

(5.24)1

111)(e)(s)( 1

appFttf ta

+=⋅= −

222

1)(e)(s)( 2ap

pFttf ta+

=⋅= − (5.25)

(5.26)∫

∫

+−⋅

+=

+−⋅

+⋅

∞+

∞−

C

c

c

zazpaz

zazpaz

tftf

d11

d11)()(

21jπ21

j

j 21jπ21

21



N T SUNIVERSITÄT



Lösung mit Hilfe des Residuensatzes:

(5.27)∑∫ = CzFzzFC

in )(on Residuen vj2d)( π

σ

ωz-Ebene

σmin= −a1

Konvergenz-bereich

Kontur C

R



N T SUNIVERSITÄT



Lösung mit Hilfe des Residuensatzes:

(5.28)21

21121

1

11)(limjπ2jπ2

1)()(1

aap

azpazaztftf

az

++=

+−⋅

+⋅+⋅⋅⋅

−→

taattftf )(21 21e)(s)()( +−⋅=⋅ (5.29)



N T SUNIVERSITÄT



Anfangswert-Theorem:

Bedingung: Existenz von f(0+)

Beweis:

(5.30)

(5.31)

)(lim)(lim0

pFptfpt

⋅=∞→+→

)0(1)0(lime1)0(lim

de)0(limde)(lim)(lim

0

00

+=⋅+⋅=

−

+⋅=

⋅+⋅=⋅⋅=⋅

∞→

∞−

∞→

∞−

∞→

∞−

∞→∞→∫∫

fp

fpp

fp

tfpttfppFp

ppt

p

ptp

ptpp



N T SUNIVERSITÄT



Endwert-Theorem:

Bedingung: Existenz von f(∞)

Beweis:

(5.32)

(5.33)

)(lim)(lim0

pFptfpt

⋅=→∞→

)()0()(dd

)(d

ded

)(dlim)(lim

0

000

∞=−−∞==

⋅=⋅

∫

∫

∞

−

−∞

−→→

ffftttf

tttfpFp pt

pp



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel:

Anfangswert:

Endwert:

(5.34)

(5.35)

appap

apppFttf at

+

+=

++=+⋅= −

23413)()e3()(s)(

434lim)(lim)0( 2 =+

+⋅=⋅=+

∞→∞→ appapppFpf

pp

334lim)(lim)( 200=

+

+⋅=⋅=∞

→→ appapppFpf

pp(5.36)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Korrespondenzen der Laplace-Transformation

1!)(s +⋅ n

n

pntt

20

20

0 )(sin)(sω

ωω+

⋅p

tt

20

20 )(cos)(sω

ω+

⋅p

ptt

apt ta

+⋅ − 1e)(s

1)(δ t

pt 1)(s

(5.37)

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)



N T SUNIVERSITÄT



220

2

20

20

)()(cos)(s

ωωω

+

−⋅⋅

ppttt

220

20

0)(

2)(sin)(sω

ωω+

⋅⋅p

pttt

20

20)(

)(cose)(sω

ω++

+⋅⋅ −

apaptt ta

20

20

0)(

)(sine)(sω

ωω++

⋅⋅ −

aptt ta

(5.43)

(5.44)

(5.45)

(5.46)

(5.47)

1)(!e)(s +

−

+⋅⋅ n

tan

apntt



N T SUNIVERSITÄT



)4(2)(sin)(s 2

02

20

02

ωωω+

⋅pp

tt

)4(2)(cos)(s 2

02

20

20

2

ωωω

+

+⋅

ppptt

20

20

0 )sinh()(sω

ωω−

⋅p

tt

20

20 )cosh()(sω

ω−

⋅p

ptt

pttt 00 arctan)sin()(s ωω

⋅

(5.48)

(5.49)

(5.50)

(5.51)

(5.52)



N T SUNIVERSITÄT



ptt π1)(s ⋅

220

220

0)2(

)(2)sin(e)(sω

ωω+++

+⋅⋅⋅ −

apapapttt ta

(5.53)

(5.54)

(5.55)

(5.56)

(5.57)

pptt

2π)(s ⋅

paat −− e)(δ

220

22

20

220

)2(2)cos(e)(s

ωωω

+++

−++⋅⋅⋅ −

apapapapttt ta



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Verfahren zur Rücktransformation

Nutzung der Korrespondenzen für rationale Funktionen (Z(p) und N(p) sind teilerfremde Polynome, Zählergrad ≤ Nennergrad)

Partialbruchentwicklung:

Vergleich mit (5.43):

∑ ∑= = −

+==N M

pp

AA

pNpZpF

1 10L

)()()()(

ν µµ

ν

νµν

∑ ∑= =

−

−

⋅+=

N Mtp tA

ttAtf1 1

1

0 )!1(e)(s)()(

ν µ

µνµν

νµ

δ

(5.58)

(5.59)



N T SUNIVERSITÄT



Bestimmung der Koeffizienten:

Restfunktion:

Taylor-Reihenentwicklung der Restfunktion um die Polstellen:

Einfache Polstellen:

(5.60)

(5.61)

)(lim L0 pFAp ∞→

=

)()()()( 0

0L0 pNpZApFpF =−=

+−′++−′+

==))(()())(()(

)()()( 000

0ννν

νννpppNpNpppZpZ

pNpZpF

)()(

))(()(

)()()( 0

100

0ν

νν

νν

νpNpZA

pppNpZ

pNpZpF

′=⇒

−′≈=

(5.62)

(5.63)



N T SUNIVERSITÄT



Mehrfache Polstellen:

für µ = 1, 2, ... Mν

Beispiel:

N = 2

p1 = 0, M1 = 2

p2 = −1, M2 = 1

(5.64)

(5.65)

[ ]ν

νν

ν

νµ

µ

ννµ µ pp

MM

MpppF

pMA =−

−−⋅

−= ))((

dd

)!(1

L)(

)(

)1(1)( 2L

+=

pppF



N T SUNIVERSITÄT



(5.66)

(5.67)

1)1(

1

)1(1

dd

)1(1

dd

)!12(1

02

00

22)12(

)12(11

−=

+

−=

+

=

+⋅

−=

=

==−

−

p

pp

p

ppp

pppA

1)1(

1)1(

1dd

)!22(1

00

22)22(

)22(12 =

+

=

+⋅

−=

==−

−

ppp

pppp

A

11)1()1(

1dd

)!11(1

12

1

12)11(

)11(21 =

=

+

+⋅

−=

−=−=−

−

pp pp

pppA (5.68)



N T SUNIVERSITÄT



Partialbruchzerlegung:

Zeitfunktion:

(5.69)

(5.70)

1111

)1(1)( 22L +

++−=+

=ppppp

pF

[ ]t

Mtp

tt

tAtttf

−

= =

−

++−⋅=

−

⋅+⋅= ∑ ∑

e1)(s

)!1(e)(s)(0)(

2

1 1

1

ν µ

µνµν

νµ

δ



N T SUNIVERSITÄT



Direkte Rücktransformation mit Hilfe des Residuensatzes

Erweiterung des Integrations-wegs zu einem geschlossenen Integrationsweg

Abschätzung des Beitragsdurch den Kreisbogen:

ppFtf pt de)(j2

1)(j

jL ⋅= ∫

∞+

∞−

σ

σπ

∫∫∫ ⋅≤⋅≤⋅ ppFppFppF ptptpt de)(maxde)(de)( LLL

σ

ωp-Ebene

Kontur C = C1 ∪ C2

Rϕ

C0

C2

C1

(5.72)

(5.71)



N T SUNIVERSITÄT



Annahme:

Nachweis, dass auf dem Kreisbogen C2 endlich bleibt:

Polarkoordinaten:

0)(lim L =∞→

pFp

∫ ppt de

ϕϕϕ dejde jj ⋅⋅=⇒⋅= RpRp

( )tRtRtR

tRtR

C

pt

tRR

RRp

⋅−⋅⋅−⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅

−=<=

⋅=⋅=

∫∫

∫∫∫

e1de2de2

dedede

2/

0

2/

0

sin

0

sin2/3

2/

cos

22

πϕϕ

ϕϕ

π ϕπϕ

πϕ

π

π

ϕ

π

(5.73)

(5.75)

(5.74)



N T SUNIVERSITÄT



Rücktransformation mit Residuen-Methode

mit der Laurent-Entwicklung:

Einfacher Pol:

(5.76)∑∫=

=⋅=N

C

pt RppFtf1

L de)(j2

1)(ν

νπ

∑∞

−=−=⋅

νµ

µνµν

M

pt ppapF )(e)( ,L

1, und −= νν aR

(5.77)

(5.78)

tppFRpppFpF νννν

e)()()( 00

L ⋅=⇒−

= (5.79)



N T SUNIVERSITÄT



Einfacher Pol:

Heavisidescher Entwicklungssatz (ausschließlich einfache Polstellen):

(5.80)

(5.81)

(5.82)

tptppp

tppNpZpppFpFR νν

ν

ν

ν

νννν e

)()(e)()(lime)( L0 ⋅

′=⋅−⋅=⋅=

→

))(()(

))(()())(()(

)()()(L

νν

ν

ννν

νννpppN

pZpppNpNpppZpZ

pNpZpF

−′≈

+−′++−′+

==

∑=

⋅′

=N tp

pNpZtf

1e

)()()(

ν ν

ν ν



N T SUNIVERSITÄT



Mehrfache Pole:

Entwicklung von F0(p) und ept in Potenzreihe um die Polstelle:

(5.85)

(5.84)

ννMpp

pFpF)()()( 0

L−

= (5.83)

+−′′+−′+= 20000 ))((

!21))((

!11)()( ννννν pppFpppFpFpF

+−+−+⋅=⋅= − 2

2)( )(

!2)(

!11eeee ννννν pptppttptpptppt



N T SUNIVERSITÄT



Residuum:

(5.86)

−+

−+

+

′−

+−

⋅=

−−

−−

)!1()(

)!2()(

!1

!1)(

)!2()(

)!1(e

)1(0

)2(0

02

01

ν

ν

ν

ν

ν

νν

νν

νν

ννν

MpF

MpFt

pFMtpF

MtR

MM

MMtp



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Zusammenhang zwischen Fourier- und Laplace-Transformation

Fourier-Transformierte: FF(ω)

Laplace-Transformierte: FL(p)

Alle Polstellen liegen in der linken p-Halbebene: Fourier-Transformierte ergeben sich durch die Substitution p = jω

Es liegen auch Polstellen in der rechten p-Halbebene: ⇒ zugehörige Zeitfunktionen klingen exponentiell auf ⇒ Fourier-Transformierte existiert nicht

(5.87))j()( LF ωω FF =



N T SUNIVERSITÄT



Alle Polstellen liegen in der linken p-Halbebene: und einzelne Pole auf der imaginären Achse p = jω

Beispiel: einfacher Pol auf der imaginären Achse

Zeitfunktion:

(5.88)0

L j1)(

ω−=

ppF

tttf 0je)(s)( ω⋅= (5.89)

σ

ω p-Ebene

εω0

ϕ



N T SUNIVERSITÄT



Zeitfunktion:

(5.90)ϕπ

ωωωπ

ϕεωεω

ωωω

ωωωπ

π

π

π

ϕπ

π

ωω

ϕεωϕ

ω

εω

ωεω

ε

σ

σ

de21de

jj1

21

djeejej

1j1

dejj

1dejj

1lim21

de)(j2

1)(

2

2

0

j0

2

2

0

0

jj

0

j)e(j

0j

0

j

0

j

00

j

jL

∫∫

∫

∫∫

∫

−

∞

∞−

+

−

∞

+

−

∞−→

∞+

∞−

+⋅−

=

⋅⋅−+

+

⋅−

+⋅−

=

⋅=

tt

t

tt

pt ppFtf



N T SUNIVERSITÄT



Zeitfunktion:

Fourier-Transformierte

(5.91)ttFtf 0jjL e

21de)j(

21)( ωω ωωπ

+⋅= ∫∞

∞−

)(jj

1)()j()( 00

0LF ωωπδωω

ωωπδωω −+−

=−+= FF(5.92)



N T SUNIVERSITÄT



Allgemeiner Fall: mehrfache Pole auf der imaginären Achse:Die Restfunktion enthalte keine Pole auf der imaginären Achse.

(5.93)

(5.94)

)(~

)j()( L

1L pF

p

apF

N

q +−

= ∑=µ µ

µµω

)()!1(

j)j()( )1(

1

1

LF µµ µ

µ ωωδπ

ωω µµ

−−

+= −

=

−

∑ qN q

qa

FF

)(~L pF



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil der Fourier-

Transformierten einer reellen Zeitfunktion Zerlegung einer reellen Zeitfunktion in geraden und ungeraden

Anteil:

Eigenschaften:

)()()( ug tftftf +=

( ))()()( 21

g tftftf −+=

( ))()()( 21

u tftftf −−=

)()( gg tftf −=

)()( uu tftf −−=

(6.3)

(6.2)

(6.4)

(6.5)

(6.1)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation

Kausalität: f(t) = 0 für t < 0

0für0)()()( ug <=+=⇒ ttftftf

(6.8)

(6.7)

(6.9)

(6.10)

(6.6)

0für)()( ug <−=⇒ ttftf

0für)())(()( uug >=−−=⇒ ttftftf

)()sgn()( gu tfttf ⋅=⇒

)(jj2

21)( ω

ωπω XR ∗⋅=

)()sgn()( ug tfttf ⋅=

)(j2

21)(j ω

ωπω RX ∗⋅=



N T SUNIVERSITÄT



Zusammenhang der Zeitfunktionen:

t

f(t)

t

fg(t)

t

fu(t)



N T SUNIVERSITÄT



Die Hilbert-Transformation verküpft Real- und Imaginärteil der Fourier-Transformierten einer kausalen Zeitfunktion:

f(t) F(ω) = R(ω) + jX(ω)

(6.12)

(6.11)

∫∞

∞− −−= u

uuRX d)(1)(

ωπω

∫∞

∞− −+∞= u

uuXRR d)(1)()(

ωπω (6.13)



N T SUNIVERSITÄT



Grund für den Zusatzterm R(∞) in (6.13): R(∞) gibt in (6.12) keinen Beitrag

Integration über die Polstelle entsprechend dem Cauchyschen Hauptwert

−−

−−= ∫∫

+

−

−∞→→

c

cc

uu

uRuu

uRXεω

εω

ε ωπωπω d)(1d)(1lim)(

0 (6.14)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel:

(6.16)

(6.15)

+⋅

−+

+⋅

−−=

−−=

∫ ∫

∫

−

− +∞→→

∞

∞−

εω

εωε ωωπ

ωπω

c

c

c

uu

Tu

uu

TuT

uu

uRX

d111d1

11lim1

d)(1)(

22

22

0

Tt

ttf−

⋅= e)(s)(

)(j)(1

j1j1

1)( 22

2

22 ωωω

ωωω

ω XRT

TT

T

T

F +=+

−+

=+

=

(6.17)



N T SUNIVERSITÄT



[ ]

22

2

22

2121

2121

21

022

2121

22

2

2121

22

2

0

1220

210

)1(

)arctg()arctg()(arctg)arctg(

)(

)(ln

||||||||lnlim

)1(

)arctg(||ln||ln1

)arctg(||ln||ln1

lim1)(

22

22

2

2

TTT

TT

TcTcTTT

c

c

cc

TT

uTTuuT

T

uTTuuT

TT

X

TT

TT

c

c

T

cT

c

ωωπω

ωπ

εωεωω

εω

εω

εωωε

ωπ

ωωω

ωωωπ

ω

ε

εω

εω

ε

+−=

⋅⋅+⋅+−

+−=

+−+−−−+

++

+

+⋅

−+

+−⋅+

−⋅−

+−=

+++−−

++

+++−−

+−=

∞→→

+

−

−∞→→

(6.18)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Korrespondenzen der Hilbert-Transformation

22

H

22 111

TT

T ωω

ω +−

+

(6.19)

01H

TT ωω sincosH

−

(6.20)

(6.21)

(6.23)

πωωδ 1)(

H−

∫∞

∞− −−= u

uuRXR d)(1)()(

H

ωπωω

(6.22)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Korrespondenzen der Hilbert-Transformation

[ ] 220

H00 )()(

2 ωωωωωδωωδπ−

++− (6.24)

TT

TT

ωω

ωω 1cossin H −

(6.25)

(6.26)

(6.27)0

0H

0ln1

2rect

ωωωω

πωω

+−

[ ])()(2 00

H

220

0 ωωδωωδπωω

ω+−−−

−



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Ableitung der Hilbert-Transformation mit Hilfe der Laplace-

Transformation Annahmen: kausale Zeitfunktion

f(t) FL(p)

Keine Polstellen in der rechten p-Halbebene und auf der imaginären Achse

Integral über die geschlossene Kurve C :

Grenzübergang r1 → 0 ; r2 → ∞

(6.28)0dj

)(0

L =−∫

Cp

ppFω

σ

ω p-Ebene

r1

ω0

ϕ

r2

C1

C0

C2



N T SUNIVERSITÄT



Teilintegrale:

mit

(6.29)

)j(jdjejej

)ej(limdj

)(lim 0L

2

2

j1

0j

10

j10L

00

L0 1

11

ωπϕωω

ωω

π

π

ϕϕ

ϕFr

rrFp

ppF

rCr=⋅⋅

−++

=− ∫∫

−→→

)(j)(j

djeje

)e(limdj

)(lim

L

2

2

j2

0j

2

j2L

0

L

22

2

∞−=∞−=

⋅⋅−

=− ∫∫

−

∞→∞→

RF

rr

rFpp

pFrCr

ππ

ϕωω

π

π

ϕϕ

ϕ

)(de)(lim)(lim0ReRe

∞=⋅= ∫∞

−

∞→∞→RttfpF pt

pL

p

(6.30)

(6.31)



N T SUNIVERSITÄT



Gesamtintegral:

Realteil:

(6.32)0dj

)(lim0

L =−∫

Cp

ppFω

(6.33)

(6.34)

[ ]

0d)(j)(lim

d)(j)(lim)(j)(j)(j

2

1021

10

221

00

0000

=−+

+

−+

+∞−+

∫

∫

+∞→→

−

−∞→→

r

rrr

r

rrr

XR

XRRXR

ω

ω

ωωω

ωω

ωωω

ωωπωωπ

−+

−−= ∫∫

+

−

−∞→→

2

10

10

221

d)(d)(lim1)(0000

r

r

r

rrr

RRXω

ωω

ωωωω

ωωω

πω



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Rationale Übertragungsfunktionen

Z(p) und N(p) sind Polynome

Allpass-Übertragungsfunktionen:

Amplitudenfunktion:

(6.35)

(6.36)

(6.37)

)()()(

pNpZpH =

)()( pNpZ −=

σ

ω p-Ebene

1)j()j(

)j()j(

)j()j()( ==

−==

∗

ωω

ωω

ωωω

NN

NN

NZA



N T SUNIVERSITÄT



Allpass-Übertragungsfunktionen beeinflussen nur die Phase.

Allgemeine Übertragungsfunktionen lassen sich durch eine Allpass-Übertragungsfunktion HA(p) und eine Übertragungsfunktion mit minimaler Phase HM(p) darstellen:

Mindestphasensysteme: keine Pole und keine Nullstellen in der rechten p-Halbebene, Nullstellen auf der imaginären Achse sind möglich

Wichtige Eigenschaft eines Mindestphasensystems: Auch die inverse Übertragungsfunktion ist realisierbar, da die inverse Übertragungsfunktion keine Pole in Re(p) > 0 besitzt.

(6.38))()()( AM pHpHpH ⋅=



N T SUNIVERSITÄT



Zerlegung einer beliebigen Übertragungsfunktion in einen Allpass und ein Mindestphasensystem

σ

ω p-Ebene

σ

ω p-Ebene

σ

ω p-Ebene

= ×



N T SUNIVERSITÄT



Dämpfung a(ω) und Dämpfungsphase b(ω)

Gruppenlaufzeit:

(6.42)

(6.41)|))j(ln(|)( L ωω Ha −=

)()()(ln

2j

))(Re())(Im(arctan)(

F

F

F

F ωϕωω

ωωω −==−= ∗H

HHHb

ωωϕ

ωωωτ

d)(d

d)(d)(gr −==

b(6.43)

(6.39)

(6.40)

)(jF

)(j)(FL e)(e)()j( ωϕωω ωωω ⋅=== −− HHH ba

)(j)())(ln())j(ln( FL ωωωω baHH −−==



N T SUNIVERSITÄT



Allpass-Übertragungsfunktion:

Phasenbeitrag jedes Zählerterms und Nennerterms für ω > 0 und rν < 0:

(6.45)

(6.44)

∑−− ==

−−++

=−+

= ∏∏∏ νν

νω

ν

ω

ν νν

νν

ν ν

νωω

ωωω

)(j)(j

A eejjjj

jj)j(

bb

irir

ppH

0d1

1d1

1

0mit )arctan()arctan(

arctanarctan)(

02

02 >

++

+=

>−++=

−−

++

−=

∫∫−+ βαβα

ν

ν

ν

νν

αβαβα

ωωω

xx

xx

ri

rib



N T SUNIVERSITÄT


α + βx

211x+

α − βα


Phasenbeitrag jedes Zählerterms und Nennerterms für ω > 0 und rν < 0:

Durch rν < 0 sind alle Phasenbeiträge positiv.

Eine Übertragungsfunktion ohne Allpassanteil besitzt die minimale Phase. ⇒ HM(p) ist Mindestphasensystem



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Verknüpfung zwischen Dämpfung und Phase

Hilbert-Transformation als Korrespondenz zwischen Real- und Imaginärteil einer Fourier-Transformierten:

Die Funktion ln(HL(p)) besitzt Pole sowohl an Nullstellen als auch an Polstellen von HL(p).

keine Pole von HL(p)in Rep ≥ 0 )j(Im)j(Re L

HL ωω HH ⇒

keine Pole und keineNullstellen von HL(p)

in Rep ≥ 0 )()(

))j(Imln())j(Reln(

H

LH

L

ωω

ωω

ba

HH

⇒

(6.46)

(6.47)



N T SUNIVERSITÄT



Die Hilbert-Transformation: Verknüpfung zwischen Dämpfung und Dämpfungsphase eines Mindestphasensystems:

h(t) H(ω) = e−a(ω) − jb(ω)

(6.49)

(6.48)

∫∞

∞− −−= u

uuab d)(1)(

ωπω

∫∞

∞− −+∞= u

uubaa d)(1)()(

ωπω (6.50)



N T SUNIVERSITÄT



Ausnutzung der Symmetrie der Funktionen: a(−ω) = a(ω), b(−ω) = −b(ω)

(6.51)∫

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

∞

∞∞∞

∞

∞

∞

∞−

∞

∞−

−−=

−+

+−=

−+

+−=

−+−

+−

−=

−+

−−=

−−=

022

000

0

00

0

d2)(1

d11)(1d)(d)(1

d)()d()(1

d)(d)(1d)(1)(

uu

ua

uuu

uauu

uavv

va

uu

uavvva

uu

uauu

uauu

uab

ωω

π

ωωπωωπ

ωωπ

ωωπωπω



N T SUNIVERSITÄT



Hilbert-Transformation durch einseitige Integration:

(6.52)∫∞

−−=

022 d)(2)( u

uuab

ωπωω

∫∞

−

⋅+∞=

022 d)(2)()( u

uubuaa

ωπω (6.53)



N T SUNIVERSITÄT


ω

|Η(ω)|

H0

1

ω0−ω0


Beispiel: Tiefpass-Übertragungsfunktion

mit H0 > 0

(6.54)

>≤

=000

für für 1)(

ωωωω

ω HH



N T SUNIVERSITÄT


[ ] [ ] [ ][ ]

)()(ln)ln(

))(()()(ln)ln(lim

lnlnln)ln(lim

d)ln(d)ln(d)1ln(d)ln(1lim

d)(1)(

0

00

0

00

0

0

0

000

0

00

0

0

0

0

ωωωω

πεωωωωεωω

π

ωωωπ

ωωωωπ

ωπω

ε

εωεω

ωω

ε

εω

εω

ω

ω

ω

ω

ε

−+

−=−+

−+−=

−−+−−+−−=

−+

−+

−+

−=

−−=

→∞→

+−−

−→

∞→

+

−

−

−

−→∞→

∞

∞−

∫∫∫∫

∫

HK

KH

uuuH

uu

Huu

Huu

uu

H

uu

uab

K

KKK

K

KK


Minimale Phase (ω > ω0):

(6.55)



N T SUNIVERSITÄT



Minimale Phase:

ω

b(ω)

ω0

−ω0



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Paley-Wiener-Kriterium

Realisierbarkeit von Übertragungsfunktionen

Zu einer Amplitudenfunktion |H(ω)| mit

(energiebegrenzte Impulsantwort) gibt es genau dann eine Phasenfunktion eines kausalen Systems, wenn gilt:

∞<∫∞

∞−ωω d|)(| 2H

∞<+

=+

∫∫∞

∞−

∞

∞−ω

ω

ωω

ω

ωd

1)(

d1

|)(|ln22

aH(6.57)

(6.56)



N T SUNIVERSITÄT



Realisierbarbeit von Dämpfungsfunktionen:

Annahme: Die Dämpfung steigt linear mit der Frequenz an a(ω) = k ⋅ |ω|

Paley-Wiener-Kriterium nicht erfüllt:

Idealer Tiefpass nicht realisierbar

Gauß-Tiefpass nicht realisierbar

∞→

+=

+

⋅=

+

∞∞

∞−

∞

∞−∫∫

0

222 )1ln(

212d

1||d

1)( ωω

ωωω

ωω ka (6.59)

(6.58)



N T SUNIVERSITÄT



Für eine Realisierbarkeit muss die Dämpfung für ω → ∞langsamer als linear zunehmen, z. B. proportional zur Wurzel:

[ ]2

2)arctan()arctan(2

2lim

)1(2arctan)1(2arctan2

2lim

12arctan

22

12arctan

22lim

12arctan

21

1212ln

2212d

1||d

1)(

0

0

1

1

00

022

π

εε

εε

ωωωω

ωω

ε

ε

ε

ε

ε

kk

k

xx

xxk

xx

xxxxkka

=−∞−∞=

−

+−

−=

−

+

−

=

−

++−++

−=+⋅

=+

→

→

∞

+

−

→

∞∞

∞−

∞

∞−∫∫

(6.60)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Anwendung des Abtasttheorems

System zur digitalen Verarbeitung analoger Signale:

Signalrekonstruktion mit Bandpass-Filter zur gleichzeitigen Modulation in eine Zwischenfrequenzlage

Tiefpass-Filter

Digital-/Analog-Wandlung mit

Abtast-/Halteglied

digitale Signal-

verarbeitung

Tiefpass-Filtermit Korrektur des

FrequenzgangsAbtaster



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Ableitung des Abtasttheorems für ein bandbegrenztes Signal f(t)

Abgetastetes Signal:

(7.1)∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−⋅=−⋅=

nnnTtnTfTnTtTtftf )()()()()( aaaaaat δδ



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem

Bandbegrenzung des Signals f(t): F(ω) = 0 für |ω| ≥ ωg

Abgetastetes Signal:

mit

(7.2)

∑∞

−∞=−∗=

nnFF )(2)(

21)( aat ωωδπωπ

ω

∑∫ ∑∞

−∞=

∞

∞−

∞

−∞=−=−−⋅=

nnnFyynyF )(d)()( aa ωωωωδ

aa

2Tπω = (7.3)



N T SUNIVERSITÄT



Spektren

Fehlerfreie Rekonstruktion mit Tiefpass möglich, wenn

ga 2ωω ≥ (7.4)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Rekonstruktion des Originalsignals durch Tiefpass-Filterung



N T SUNIVERSITÄT



Rekonstruktion des Originalsignals durch Tiefpass-Filterung

)(si1)()(aa

at tTT

tftf π∗=

∫ ∑∞

∞−

∞

−∞=−⋅−= uut

TTnTunTfT

nd))((si1)()(

aaaaa

πδ

∑∞

−∞=−⋅=

nnTt

TnTftf ))((si)()( a

aa

π

2für 0)(wenn a

a

ωπωω =≥=T

F

(7.6)

(7.5)



N T SUNIVERSITÄT



Rekonstruktion des Originalsignals durch Tiefpass-Filterung

∑∞

−∞=−⋅

nnTt

TnTf ))((si)( a

aa

π



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Symmetriesatz der Fourier-Transformation

⇒ Abtasttheorem für Signale im Frequenzbereich

∑∞

−∞=−⋅=

nnnFF ))((si)()( 0

00 ωω

ωπωω

2für 0)(wenn 0

0

Tttf =≥=ωπ

00

2mit Tπω =

(7.7)

(7.8)



N T SUNIVERSITÄT



Abtasttheorem für Signale im Frequenzbereich



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Fehler durch Unterabtastung bei unvollständiger

Bandbegrenzung:



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Signalrekonstruktion mit Hilfe eines Digital/Analog-Wandlers:

stufenförmiges Ausgangssignal durch Abtast-/Halteglied



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Näherungsverfahren für kontinuierliche Fourier-Transformation:

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

)(tf )(ωF

ωt



N T SUNIVERSITÄT



Abtastung im Zeitbereich:

∑∑∞

−∞=

∞

−∞==−=

n

tnT

ktfkTtkTftf a

a

j1aaat e)()()()( ωδ

t ω

)(at tf )(at ωF

aT aω

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

− −==n

Tk

kT nFkTfF )(e)()( a1j

aata

a ωωω ω

(7.9)

(7.10)



N T SUNIVERSITÄT



Abtastung im Frequenzbereich:

(7.11)

(7.12)∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

− −==in

Tn iiFFF )()(e)()( 000j

af 0 ωωδωωωω ω

ωt

)(af tf )(af ωF

0T 0ω

∑∑∞

−∞=

∞

−∞==−=

i

ti

niFnTtftf 0j

00

0af e)(2

)()( ωωπ

ω



N T SUNIVERSITÄT



Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich:

(7.13)

(7.14)

t ω0ω aω0TaT

)(atf tf )(atf ωF

)()()( aaafatf kTtkTftfk

−⋅= ∑∞

−∞=δ

∑∞

−∞=−⋅=

iiiFF )()()( 000atatf ωωδωωω

0a ωω ⋅= N a0 TNT ⋅=



N T SUNIVERSITÄT



Abtastwerte der periodischen kontinuierlichen Zeitfunktion:

Abtastwerte des periodischen kontinuierlichen Spektrums:

Gleichung (7.15): Substitution i ⇒ (i−nN)

(7.15)

(7.16)∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−==

nk

Nik

nNiFT

kTfiF ))((1e)()( 0a

j2a0at ωω

π

∑∑∞

−∞=

∞

−∞==−=

i

Nik

niFTnNkfkTf

πω

πω j2

00

aaaf e)(2

))(()(

∑ ∑−

=

−∞

−∞=−=

1

0

)(j20

0aaf e))((

2)(

N

i

NknNi

nnNiFkTf

πω

πω (7.17)



N T SUNIVERSITÄT



Vereinfachung der Exponentialfunktion:

Einsetzen von (7.16) in (7.17) liefert die DFT:

Analog: Rücktransformation

(7.19)

(7.20)

Nik

nkNik

NknNi ππππ j2j2j2)(j2

eeee =⋅= −−

∑−

==

1

0

j20ataaf e)(1)(

N

i

Nik

iFN

kTfπ

ω

∑−

=

−=

1

0

j2aaf0at e)()(

N

k

Nik

kTfiFπ

ω

(7.18)



N T SUNIVERSITÄT



Die DFT verknüpft Abtastwerte periodischer Funktionen. Die DFT hat ähnliche Eigenschaften wie die Fourier-

Transformation: Linearität, Faltungssatz, Symmetriesatz, Verschiebungssatz ...

Näherung für die Fourier-Transformation: Einhaltung des Abtast-theorems sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich notwendig

Forderungen an die periodischen Funktionen

Realisierung durch die „Schnelle Fourier-Transformation“ (FFT -Fast Fourier Transform), N = 2m, Komplexität: 2N ldN Multiplikationen

2 für )()( 0

afTttftf <≅

2für )(1)( a

aat

ωωωω <≅ FT

F (7.21)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Finite Signale

t

ω0ω aω

0TaT

)(atf tf

)(atf ωF



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel für die DFT: Transformation eines rechteckförmigen Impulses

DFT:

Die Summation kann über eine beliebige Periode erfolgen:

⋅=

=

2si)(rect)( R

RR

TTFTttf ωω (7.22)

∑−

=

−=≅

1

0

j2aa0DFT0 e)()()(

N

k

Nik

kTfTiFiFπ

ωω (7.23)

∑∑−+

=

−−

=

−==

1 j2aa

1

0

j2aa0DFT

0

0

e)(e)()(Nk

kk

NikN

k

Nik

kTfTkTfTiFππ

ω (7.24)



N T SUNIVERSITÄT



Transformation eines rechteckförmigen Impulses:

00a0aR

216516T

TTTTN πω =⇒===

++⋅=

++++⋅=

−−−

−−

−

)22cos(2)2cos(21

ee1ee)(

a

2j2j2j22j2a0DFT

Ni

NiT

TiF Ni

Ni

Ni

Ni

ππ

ωππππ

(7.25)



N T SUNIVERSITÄT




-0.5

0.5

1.0

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

-0.5

0.5

1.0

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

a/Tt

)(tf

a0aR 16516 TTTTN ===

)(1R

ωFT

0/ωω



N T SUNIVERSITÄT




00a0aR

232932T

TTTTN πω =⇒===

++++⋅=

+++

++++⋅=

−−−−

−−

−−

−−

−−

)42cos(2)32cos(2)22cos(2)2cos(21

eeee

1eeee)(

a

4j23j22j2j2

j22j23j24j2a0DFT

Ni

Ni

Ni

NiT

TiF

Ni

Ni

Ni

Ni

Ni

Ni

Ni

Ni

ππππ

ω

ππππ

ππππ

(7.26)



N T SUNIVERSITÄT




-0.5

0.5

1.0

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

-0.5

0.5

1.0

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

a/Tt

)(tf )(1R

ωFT

0/ωω




N T SUNIVERSITÄT




00a0aR

232532T

TTTTN πω =⇒===

++⋅=

++++⋅=

−−−

−−

−

)22cos(2)2cos(21

ee1ee)(

a

2j2j2j22j2a0DFT

Ni

NiT

TiF Ni

Ni

Ni

Ni

ππ

ωππππ

(7.27)



N T SUNIVERSITÄT




-0.5

0.5

1.0

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

-0.5

0.5

1.0

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

a/Tt

)(tf )(1R

ωFT

0/ωω




N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Fourier-Transformierte eines abgetasteten Zeitsignals

⇒ FF(ω) ist periodisch und hängt nur von den Abtastwerten f(nT) ab

(7.28)

(7.29)

∑∞

−∞=−⋅=

nnTttftf )()()(a δ

∑

∫ ∑∞

−∞=

−

∞

∞−

−∞

−∞=

⋅=

⋅−⋅=

n

Tn

t

n

nTf

tnTtnTfF

ω

ωδω

j

jF

e)(

de)()()(

(7.30)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Laplace-Transformierte eines abgetasteten Zeitsignals

mit f(t) = 0 für t < 0 :

mit z = epT

(8.1)

(8.2)

∑∞

−∞=−⋅=

nnTttftf )()()(a δ

∫ ∑∞

−∞

−∞=⋅−⋅=

0L de)()()( tnTtnTfpF pt

nδ

( ) ∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

− ⋅=⋅=⋅=000

L )(e)(e)()(n

n

n

nTp

n

Tnp znTfnTfnTfpF

(8.3)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation z-Transformation (auch zweiseitig mit n = −∞ ... +∞ ):


´

Transformation der imaginären Achse p = jω in den Einheitskreis |z| = 1

Konvergenz bei kausalen Zeitfunktionen für ρ > ρmin

(8.5)∫=

−⋅=ρπ z

nz zzzFnTf d)(

j21)( 1

∑∞

=

−⋅=0

z )()(n

nznTfzF (8.4)



N T SUNIVERSITÄT


11)(sonst0

0für 1)()( 0

K =⋅= =

== zzFn

nnf zδ

Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Beispiele (Kurzschreibweise f(nT) = f (n) = fn ):

Kronecker-δ-Funktion (zeitdiskreter Einheitsimpuls)

(8.7)

(8.6) =

=sonst0

0für 1)(K

nnδ



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Beispiele (Kurzschreibweise f(nT) = f (n) = fn ):

(Konvergenz der geometrischen Reihe nur für |a⋅z−1| < 1)

(8.8)

( )az

zza

zazazFn

n

n

nn−

=⋅−

=⋅=⋅= −

∞

=

−∞

=

− ∑∑ 10

1

0z

11)(

nn

anna

nf ⋅=

≥

= )(ssonst0

0für )(

(8.9)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Beispiele (Kurzschreibweise f(nT) = f (n) = fn )

1)(s

−zzn

(8.11)

(8.10)

(8.12)1)cos(2

))cos(()cos()(s0

20

0+−

−⋅

TzzTzzTnn

ωωω

TTn

zzn

00

jj

ee)(s ω

ω

−⋅

1)cos(2)sin()sin()(s

02

00

+−⋅

TzzTzTnn

ωωω (8.13)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Eigenschaften der z-Transformation:

Linearität

mit f1(n) F1(z) und f2(n) F2(z)

gilt c1 f1(n) + c2 f2(n) c1 F1(z) + c2 F2(z)

Zeitverschiebung

mit f(n) F(z)

gilt f(n−n0) z−n0 ⋅ F(z)

Beweis:

(8.15)

(8.14)

00 )()()()(~ )(0

nn

n

n zzFzfznnfzF −∞

−∞=

+−∞

−∞=

− ⋅==−= ∑∑ν

νν (8.16)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation

Frequenzverschiebungmit f(n) F(z)

gilt

sowie

(entspricht Drehung der Pol- und Nullstellen um Ω0

Zeitumkehrungmit f(n) F(z) gilt f(−n) F(z−1)Beweis: Definition der z-Transformation und Substitution µ = −n

⋅

00 )(

zzFnfzn

)e()(e 00 jj zFnfn Ω−Ω ⋅ (8.18)

(8.17)

(8.19)



N T SUNIVERSITÄT



Differentiation im z-Bereich:

Beweis:

zzFznfn

d)(d)( −⋅ (8.20)

∑∑

∑

∞

=

−∞

=

−−

∞

=

−

⋅⋅=⋅−⋅⋅−=

⋅⋅−=−

00

1

0

)()()(

)(dd

d)(d

n

n

n

n

n

n

znnfznnfz

znfz

zzzFz

(8.21)



N T SUNIVERSITÄT



Faltung im Zeitbereich:

Beweis (mit Substitution n = ν + µ):

(8.22))()()()()()( 212121 zFzFfnfnff ⋅⋅−=−⋅ ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞= νννννν

∑ ∑∑ ∑

∑∑

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

−==

⋅=⋅

νν

µν

µ

µ

µ

ν

ν

ννµν

µν

n

nznffzff

zfzfzFzF

)()()()(

)()()()(

2121

2121

(8.23)



N T SUNIVERSITÄT



Multiplikation im Zeitbereich:

Beweis:

(8.24)∫

⋅⋅ y

yyzFyFnfnf d1)(

j21)()( 2121 π

∫ ∑

∑ ∫∑

−∞

=

∞

=

−−∞

=

−

⋅=

⋅⋅

⋅=⋅⋅=

yyy

znfyF

znfyyyFznfnfzF

n

n

n

nn

n

n

d1)()(j2

1

)(d)(j2

1)()()(

021

02

11

021

π

π

(8.25)



N T SUNIVERSITÄT



Anfangswertsatz:

Beweis:

(8.26))(lim)0( zFfz ∞→

=

0

0)0()(lim)(lim zfznfzF

n

nzz

⋅=⋅= ∑∞

=

−

∞→∞→(8.27)



N T SUNIVERSITÄT



Zeitliche Spiegelung Voraussetzung: zweiseitige z-Transformation

Spiegelungskorrespondenz:

komplexe Zeitfunktion:

(8.28)

(8.29)

− *

** 1)(z

Fnf

∑∞

−∞=

−⋅=n

nznfzF )()(

−

zFnf 1)(

(8.30)



N T SUNIVERSITÄT



Beweis:

(8.31)

(8.32)

∑∑∑∞

−∞=

−∞−

∞=

∞

−∞=

−

⋅−=⋅−=⋅=

ν

ν

ν

ν ννz

fzfznfzFn

n 1)()()()(

(8.33)

∑∞

−∞=

−⋅−=

ν

νν yfy

F )(1

∑∞

−∞=

−⋅−=

ν

νν zfz

F )(1 **

*



N T SUNIVERSITÄT



Parsevalsches Theorem: Energie eines zeitdiskreten Signals:

Beweis: Faltungssatz und Spiegelungssatz:

n = 0 :

(8.34)

(8.35)

( )∫∑−

∞

−∞===

2/

2/

2j

a

2 a

a

de1)(ω

ω

ω ωω

T

nFnfE

⋅−−⋅∑

∞

−∞=*

*21

*21

1)())(()(z

FzFnffν

νν

∫∑=

−∞

−∞=

⋅=⋅

ρν πνν

zzz

zFzFff d1)(

j21)()( 1

**21

*21 (8.36)



N T SUNIVERSITÄT


∫

∫

∫∑

−

−

−

=

−∞

−∞=

⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅=⋅

2/

2/

j*2

j1

a

/

/

jjj*2

j1

1*

*21

*21

a

a

d)e()e(1

djee)e()e(j2

1

d1)(j2

1)()(

ω

ω

ωω

π

π

ωωωω

ρν

ωω

ωπ

πνν

TT

T

T

TTTT

z

FF

TFF

zzz

FzFff


Integration entlang des Einheitskreises:

mit:

(8.37)

(8.38)

Tzz TT jedde jj ⋅=⇒= ωωω

Tπω 2

a = (8.39)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel für das Parsevalsche Theorem für zeitdiskrete Signale:

(8.40)

(8.41)

==

=sonst0

1für 10für 1

)( nn

nf 11)( −+= zzF

2)sin(121

d)]cos(1[21

de11)(

2/

2/a

2/

2/a

2/

2/

2j

a

2

a

a

a

a

a

a

=

+⋅⋅=

+=

+=

−

−

−

−∞

−∞=

∫

∫∑

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωωω

ωωω

ωω

TT

T

nf T

n



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Lineares zeitinvariantes zeitdiskretes System

Eingangs-/Ausgangsbeschreibung

Zeitbereich:

Frequenzbereich:

Beispiel: Auswertung der Faltungssumme(9.2)

(9.1)

h(n)x(n) y(n)

∑∑∞

=

∞

=−⋅=−⋅=

00)()()()()(

νννννν nxhnhxny

)()()( zHzXzY ⋅=



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme

x(ν)

ν

1

−1

h(ν)

ν

1

h(0 −ν)

ν

1

h(1 −ν)

ν

1

y(0) = 1

y(1) = 0



N T SUNIVERSITÄT



x(ν)

ν

1

−1

h(2 −ν)

ν

1

h(3 −ν)

ν

1

h(4 −ν)

ν

1

y(3) = 2

y(4) = 2

y(2) = 1



N T SUNIVERSITÄT



x(ν)

ν

1

−1

h(5 −ν)

ν

1

h(6 −ν)

ν

1

h(7 −ν)

ν

1

y(6) = 1

y(7) = 0

y(5) = 2



N T SUNIVERSITÄT



x(ν)

ν

1

−1

h(8 −ν)

ν

1y(8) = −1

y(n)

n

1

−1

2



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Berechnung des Ausgangssignals im Frequenzbereich

(9.5)

(9.3)543211)( −−−−− −+++−= zzzzzzX3211)( −−− +++= zzzzH

865432

876543

765432

654321

543210

2221

)()()(

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−

−+++++=

−+++−+

−+++−+

−+++−+

−+++−=

⋅=

zzzzzz

zzzzzz

zzzzzz

zzzzzz

zzzzzz

zHzXzY

(9.4)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Der Frequenzgang ergibt sich durch die Substitution: z = ejωT

Beweis I: Eingangssignal:

Ausgangssignal:

00 jj ee)( Ω== nTnnx ω (9.6)

(9.7)∑

∑

∑

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

⋅⋅=

⋅=

−⋅=

ν

νωω

ν

ων

ν

ν

ν

νν

TTn

Tn

h

h

nxhny

00

0

jj

)j(

e)(e

e)(

)()()(



N T SUNIVERSITÄT



Ausgangssignal:

Frequenzgang =

(9.8)

(9.9)

( )∑

∑

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

⋅⋅=

⋅⋅=

ν

νωω

ν

νωω

ν

ν

TTn

TTn

h

hny

00

00

jj

jj

e)(e

e)(e)(

( )TzH 0je ω=

( )TTn zHny 00 jj ee)( ωω =⋅=



N T SUNIVERSITÄT



Beweis II: Eingangssignal:

Ausgangssignal:

TnTn

zzzXnnnx

000

jjj

e)(e)(se)(s)( ω

ω

−=⋅=⋅= Ω

(9.11)

(9.10)

TzzzHzXzHzY

0je)()()()( ω−⋅=⋅=

∫∫=

−

=

− ⋅−

⋅=⋅=ρ

ωρ ππ z

nT

z

n zzz

zzHzzzYny de

)(j2

1d)(j2

1)( 1j

10

(9.12)



N T SUNIVERSITÄT



Lösung mit dem Residuensatz (einfache Polstellen):

Annahme: stabiles System ⇒ H(z) hat keine Pole auf dem Einheitskreis oder außerhalb

(9.14)

(9.13)

( )Terme flüchtigee)e()(s

Terme flüchtigee)e(j2j2

1)(s

de

)(j2

1)(

00

00

0

jj

jj

j

+⋅⋅=

+⋅⋅⋅⋅=

−⋅= ∫

=

TnT

nTT

zT

n

Hn

Hn

zz

zzHny

ωω

ωω

ρω

ππ

π

∑∑∫ ⋅−=

=→i

izzC

zfzzCzf

dzzfi

)()(limj2 innerhalb )(von

Residuenaller j2)( ππ



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel 1:

Übertragungsfunktion im z-Bereich:

Frequenzgang:

(9.16)

(9.15)zzzzH 11)( 1 +

=+= −

TTzHH ωωω jjF e1)e()( −+===

))cos(1(2))(sin())cos(1(e1)( 222j2F TTTH T ωωωω ω +=++=+= −

(9.17)

z−1

x(n) y(n)



N T SUNIVERSITÄT



Frequenzgang:

1.0

2.0

TH ωω jF e1)( −+=

Tπ

−Tπ2

−Tπ2

Tπ ω



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel 2:


Frequenzgang:

(9.19)

(9.18)z

zzzH 11)( 1 −=−= −

TTzHHTT

TT ωωωωω

ωω je2

sinj2ee1)e()( 2j

2jjj

F ⋅≈⋅=−===−−−

))cos(1(2))(sin())cos(1(e1)( 222j2F TTTH T ωωωω ω −=+−=−= −

(9.20)

z−1

x(n) y(n)



N T SUNIVERSITÄT


1.0

2.0

TH ωω jF e1)( −−=

Tπ

−Tπ2

−Tπ2

Tπ ω

Näherungsweise differenzierendes Verhalten für kleine Frequenzen

Frequenzgang:




N T SUNIVERSITÄT



Beispiel 3:


Frequenzgang:

(9.21)azz

zazXzYzH

−=

−== −11

1)()()(

(9.22)

z−1

x(n) y(n)

a

)()1)(()()()( 11 zXzazYzYzazXzY =⋅−⇒⋅⋅+= −−

azHH T

TT

−=== ω

ωωω j

jj

Fe

e)e()(



N T SUNIVERSITÄT



Frequenzgang für a = 0,5:

1.0

2.0

Tπ

−Tπ2

−Tπ2

Tπ ω

5,0e1)( jF−

= THω

ω



N T SUNIVERSITÄT



FIR-Filter (finite impulse response) – Transversalfilter:


(9.23)NN zazazaa

zXzYzH −−− ++++== 2

21

10)()()(

x(n)

y(n)

a0 aN−1 aN

z−1

a1

z−1

a2

z−1

a3

z−1 z−1



N T SUNIVERSITÄT



IIR-Filter (infinite impulse response) – rückgekoppeltes digitales Filter:

x(n)

y(n)

a0 aN−1 aN

z−1

a1

z−1

a2

z−1

a3

z−1 z−1

z−1 z−1 z−1 z−1 z−1

bN b1bN−1 bN−2 bN−3



N T SUNIVERSITÄT



Übertragungsfunktion des IIR-Filters:

(9.24)NN

NN

zbzbzbzazazaa

zXzYzH −−−

−−−

++++++++

==

2

21

1

22

110

1)()()(



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Stabilität digitaler Filter: Pole von H(z) müssen innerhalb des

Einheitskreises liegen z-Rücktransformation

Annahme: einfache Polstellen zν :

∫=

−⋅=ρπ z

nz zzzFnf d)(

j21)( 1

∑∑

∑

⋅=⋅⋅⋅−=

⋅⋅−=

→

−

→

νννν

ν νν

νν

ν

ν

νπ

π

nn

A

zzz

nz

zz

zAzz

zFzz

zzFzznf

1)()(lim

)()(limj2j2

1)( 1

(9.25)

(9.26)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Entwurf digitaler Filter

Entwurf im Zeitbereich impulsinvariante Transformation: Filterkoeffizienten

entsprechen Abtastwerten der Impulsantwort eines zeitkontinuierlichen Systems

Zeitkontinuierliches System mit einfachen Polstellen im Laplace-Bereich:

∑ −=ν ν

νpp

apH )(k

∑ ⋅=ν

ν ν tpatth e)(s)(k (9.27)

(9.28)



N T SUNIVERSITÄT



Frequenzgang des zeitkontinuierlichen Systems:

Impulsantwort und Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems:

⇒ Transformation der Polstellen entsprechend z = e pT

∑ −===ν

ω ννωω p

apHH jkkF )j()(

( )∑∑ ⋅=⋅==ν

νν

ν ννnTpnTp anannThnh e)(se)(s)()( kd

(9.29)

(9.30)

∑−

=ν

ννTpz

zazHe

)(d (9.31)



N T SUNIVERSITÄT



Frequenzgang des zeitdiskreten Systems:

Grenzfall für sehr dichte Abtastung: T → 0

(9.33)

∑−

===ν

ω

ων

ων

ω TpT

TT azHH

eee)e()( j

jj

ddF

∑

∑

∑

−=

+−+=

−=

→→

ν ν

ν

ν νν

νω

ων

ω

ω

ων

pa

T

TpTa

aH TpT

T

TT

j1

)1(j11

eeelim)(lim j

j

0dF

0

(9.32)



N T SUNIVERSITÄT



⇒ Realisierung durch IIR-FilterMögliche Probleme aufgrund endlicher Wortbreite von

Koeffizienten und Signalen: Instabilität, Grenzzyklen

Entwurf im Zeitbereich als Transversalfilter (FIR-Filter) Problem: praktische Realisierung verlangt eine endliche

Koeffizientenzahl Einfachste Möglichkeit: Koeffizienten außerhalb des

Hauptbereichs t1 ... t2 werden weggelassen (gleich 0 gesetzt) Verwendung einer Gewichtungsfunktion (Fensterfunktion) Nachteil von Transversalfiltern: häufig mehr Koeffizienten als

bei rückgekoppelten digitalen Filtern notwendig



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: idealer Tiefpass Übertragungsfunktion und Impulsantwort des

zeitkontinuierlichen Filters:

≤

=

=

sonst0für1

2rect)( g

gk

ωωωωωH

)(si)( gg

k tth ωπ

ω=

(9.34)

(9.35)

)(si)( gd nTnh ω=

)(si)( gg

k nTnTh ωπ

ω= (9.36)

(9.37)



N T SUNIVERSITÄT


-0.5

0.5

1.0

-1 1 2 3 4 5


Impulsantwort des zeitdiskreten Filters Rechteckfenster, 21 (19) Koeffizienten, ag 5

1ωω =

tgω

−⋅

gk

g

2ωω

π th



N T SUNIVERSITÄT


-60

-40

-20

0

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


Frequenzgang des zeitdiskreten Filters:

)0()(log20

d

dHH ω

a/ωω



N T SUNIVERSITÄT



Fehler gegenüber zeitkontinuierlichem System: Umfalteffekt im Frequenzbereich durch Unterabtastung

Fensterfunktion Zeitbereich: Multiplikation mit Fensterfunktion w(t)

Frequenzbereich: Faltung mit W(ω) w(t)

Rechteck-Fenster im Zeitbereich ⇒ si-Funktion im Frequenzbereichschnell abfallende Funktion im Frequenzbereich, aber langsam abklingende Nebenmaxima (sidelobes)

)()()(~kk twthth ⋅=

)()(21)(~

kk ωωπ

ω WHH ∗= (9.39)

(9.38)



N T SUNIVERSITÄT



Günstigere Fensterfunktionen: cos2-Fensterfunktion (von Hann-Fenster)

(9.40)

(9.41)

≤

+=

≤

=sonst0

2für2cos1

21

sonst02

fürcos)(2 Tt

TtTt

Tt

tw ππ

2

21

4cos

4si

2)(

−

⋅

=

πω

ωωω

T

TTTW



N T SUNIVERSITÄT



Zeitdiskretes cos2-Fensterfunktion (von Hann-Fenster)

(9.42)

−≤≤

−

−+=

−≤≤

−

−=

sonst0

10für21

12cos1

21

sonst0

10für21

1cos)(

2

cos2

NnN

n

NnN

nnw

π

π



N T SUNIVERSITÄT



Zeitdiskretes cos2-Fensterfunktion (von Hann-Fenster)

-0.5

0.5

1.0

-1 1 2 3 4 5 tgω

−⋅

gk

g

2ωω

π th



N T SUNIVERSITÄT



Hamming-Fenster

Weitere Fensterfunktionen

(9.43)

−≤≤

−

−+=

sonst0

10für21

12cos46,054,0)(Hamming

NnN

nnw π



N T SUNIVERSITÄT



Fensterfunktionen

0.5

1.0

-1 0 1 2 3 4 5 tgω

)(twRechteck-Fenster

Hamming-Fenster

Von Hann-Fenster



N T SUNIVERSITÄT



Frequenzgänge mit unterschiedlichen Fensterfunktionen

-80

-60

-40

-20

0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/ωω

)(lg20 ωH

Rechteck-Fenster

Hamming-Fenster

Von Hann-Fenster



N T SUNIVERSITÄT



Grundsätzliche Vorgehensweise bei der Filterentwicklung: 1. Approximation 2. Realisierung

Approximation entweder im Zeit- oder im Frequenzbereich, je nach Aufgabenstellung Beispiele:

Impulsformfilter für die digitale Übertragung Tiefpass-, Bandpass-, Hochpass- und Bandsperrfilter zur

Trennung von Frequenz-Multiplex-Signalen Approximation in der Regel gemäß Toleranzschema



N T SUNIVERSITÄT



Bilineare Transformation Näherung:


Gegeben: Übertragungsfunktion eines analogen Filters

Frequenzgang des analogen Ausgangsfilters:

B2

21

1e z

p

pz T

TpT =

−

+≈=

112

B

B+−

⋅=zz

Tp

)j()( Lanalog ωω == pHH

(9.44)

(9.46)

(9.45)

nn

mm

pbpbpbbpapapaapH

+++

+++= 2

210

2210

L )(

(9.47)



N T SUNIVERSITÄT



Frequenzgang des digitalen Filters nach bilinearer Transformation

⇒ nichtlineare Transformation der Frequenzachse

==

==

+

−==

+

−==

+−

==

−

−

2L

2

2L2/j2/j

2/j2/jL

j

jLLbilinear

tan2j

cos2

sin2j2eeee2

1e1e2

112)(

T

T

T

TT

TT

T

T

TpH

TpH

TpH

TpH

zz

TpHH

ω

ω

ω

ω

ωω

ωω

ω

ω

(9.47)



N T SUNIVERSITÄT



Bilineare Transformation ist erstes Glied einer Reihenentwicklung:

Frequenzgang für endlich viele Glieder der Reihenentwicklung

zT

pz pT ln1e =⇒=

+

+−

+

+−

++−

⋅= 53

11

51

11

31

112

zz

zz

zz

Tp

(9.48)

(9.50)

(9.49)

∑∑=

−

=

−

−⋅=

+

−−

⋅=N

n

nN

n

n

T

T TnTnT 1

12

1

12

j

j

2tanj

1212

1e1e

1212~j ωω ω

ω



N T SUNIVERSITÄT



Frequenztransformationen

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/ωω

a/~ ωω N = 1N = 2N = 3N = 9



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit Modulation

Schmalbandiges Signal x(t): X(ω) = 0 für |ω| > ωg

Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Trägersignal: Multiplikation mit Trägersignal

)()()( Tm txtxtx ⋅=

)()(21)( Tm ωωπ

ω XXX ∗=

(A1.1)

(A1.2)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit

Cosinus-förmiges Trägersignal:

Moduliertes Signal:

)cos()( 0T ttx ω=

( ))()()( 00T ωωδωωδπω ++−=X

(A1.6)

(A1.5))cos()()( 0m ttxtx ω⋅=

( ))()(21)( 00m ωωωωω ++−= XXX

(A1.3)

(A1.4)



N T SUNIVERSITÄT



Übertragung des schmalbandigen modulierten Signals über ein System mit reeller Impulsantwort und Übertragungsfunktion:

Annahme: Der Betrag der Übertragungsfunktion ist näherungsweise konstant um ω0 :

Taylorreihenentwicklung der Übertragungsfunktion um die Trägerfrequenz ω0 :

)(e|)(|)( )(j thHH ωϕωω ⋅= (A1.7)

(A1.8)

−⋅+

⋅≈)(

dd)(j

0

00

0

e|)(|)(ωω

ωϕωϕ

ωωω HH

|)(||)(| 00 ωωω HH =≈

(A1.9)



N T SUNIVERSITÄT



Phasenfunktion ist eine ungerade Funktion:

Betragsfunktion ist gerade Funktion:

Taylorreihenentwicklung der Phasenfunktion um die Trägerfrequenz −ω0 :

(A1.12)

(A1.10)

(A1.11)

+⋅+−

+⋅+−

⋅=

⋅−≈ −

)(dd)(j

0

)(dd)(j

0

00

0

00

0

e|)(|

e|)(|)(

ωωωϕωϕ

ωωωϕωϕ

ω

ω

ω

ωω

H

HH

)()( ωϕωϕ −=−

|)(||)(| ωω HH =−



N T SUNIVERSITÄT



Ausgangssignal des linearen Systems:

(A1.14)

(A1.13)

+⋅+−

−⋅+

⋅⋅++

⋅⋅−≈

⋅=

)(dd)(j

00

)(dd)(j

00

m

00

0

00

0

e|)(|)(21

e|)(|)(21

)()()(

ωωωϕωϕ

ωωωϕωϕ

ω

ω

ωωω

ωωω

ωωω

HX

HX

XHY

)()()( m thtxty ∗=



N T SUNIVERSITÄT


⋅++⋅−⋅

⋅⋅≈

−−

−

−−

00

000

0

0

dd)(j

0dd)(j

0

ddj

0

e)(e)(

e|)(|21)(

ωωϕωϕω

ωϕωϕ

ωωϕ

ωω

ω

ωωωω

ωω

XX

HY



(A1.16)

(A1.15)( )

( )00gr00gr0

00gr00gr0

)()(j))((j0gr0

)()(j))((j0gr0

ee))((|)(|21

ee))((|)(|21)(

ωωτωϕωτω

ωωτωϕωτω

ωτω

ωτω

⋅+−−−

⋅++−+

⋅⋅−⋅+

⋅⋅−⋅≈

t

t

txH

txHty



N T SUNIVERSITÄT




mit der Phasenlaufzeit

und der Gruppenlaufzeit

(A1.17)

( )

( )))((cos))((|)(|

)(cos))((|)(|)(

0ph00gr0

000gr0

ωτωωτω

ωϕωωτω

−⋅−⋅=

+⋅−⋅≈

ttxH

ttxHty

ωωϕ

ωωωτ )()()(ph −==

b

ωωϕ

ωωωτ

d)(d

d)(d)(gr −==

b

(A1.18)

(A1.19)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Dezibel zur Darstellung von Verhältnis-Werten

Beispiele: Verstärkung, Übertragungsfaktor…

Logarithmisches Maß, um großen Wertebereich abzudecken

Pseudo-Einheit dB

Definition: Verhältnis von Leistungs- bzw. Amplituden-Übertragungsfaktoren

dBlg20dBlg20

dBlg10dBlg10dBlg10

1

2

21

22

1

2dB

U

P

VUU

UU

PPVV

=

=

=

==

(A2.1)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Umrechnung dB ⇒ Verhältnisse

20

1

2

10

1

2

dB

dB

10

10

V

U

V

P

UU

V

PPV

==

== (A2.2)

(A2.3)



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Dezibel-Tabelle

Beispiele:

dB 0 10 20 30 60 1 3 6 7P2/P1 1 10 100 1000 106 1,259

1 10 103 1,12210 1010

2≈ 5≈

2≈

4≈

2≈ 5≈

21010

1,21000

1dB3dB30dB27

2100,410000dB6dB40dB46

1

2

1

2dB

1

2

1

2dB

⋅=⋅=⇒+−=−=

⋅=⋅=⇒+==

UU

PPV

UU

PPV

12 UU



N T SUNIVERSITÄT


Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Leistungspegel

Spannungspegel

Beispiele:

dBWW1

lg10

dBmmW1

lg10

dBW

dBm

=

=

PP

PP

dBVV1

lg20

VdBV1

lg20

dBV

VdB

=

=

UU

UU µµµ

V5,0mV500V211000000VdB114

W20mW210000dBm43

VdB

dBm

==⋅=⇒=

=⋅=⇒=

µµµ UU

PP

(A2.4)

(A2.5)

(A2.6)

(A2.7)

theorie linearer systeme - nts.uni-due.dents.uni-due.de/downloads/tls/tls_ws2010.pdf · andreas...

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