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Uber eine Verallgemeinerung des Satzes von PASCAL 1)

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WOr~FOA~rG Bb~r~

In /~lteren Lehrbfiehern fiber Kegelsehnitte finder man einen Satz fiber drei Kegelschnitte, die einem vierten doppe!t berfihrend einbeschrieben shad. Der auf J. PLfrCxE~ 2) zurfickgehende analytisehe Beweis des Satzes l~13t ehae bemerkens- werte, einfache geometrische Deutung zu, fiber die ich hier beriehten mSchte.

Wit ordnen eineindeutig den oo5 Klassenkegelschnitten der Ebene in bekannter Weise die Punkte des p v zu, wobei die Kegelschnitte einer Sehar die Punkte einer Geraden zum Bilde haben usf. ])ann haben etwa zwei Scharen yon Kegelschnitten, die ehaem Gewebe angehSren, also einen Kegelschnitt gemein haben, zwei Geraden zum Bride, die in einer Ebene liegen, also ehaen Punkt gemein haben, und umgekehrt.

Sehon daraus lassen sich durch spezielle Annahmen eine F/ille yon Beziehungen mehrerer Kegelschnitte herleiten3). Man kann nun naeh solehen Beziehungen mehrerer Kegelsehnitte fragen, bei denen die Abbfldung in den p v weniger einfache Figuren, wie etwa die yon PxPPOS oder die von D E S ~ r E S ergeben. Dutch spezielle Annahmen ergeben sieh dann weitere Beziehungen zwischen mehreren Kegelsehnitten.

Wir wollen daffir ein Beispiel geben. Ist ein Kegelschnitt Ki einem anderen Kegel- schnitC K doppelt berfihrend einbeschrieben, dann ist in der Sehar, der beide ange- hSren, ein Doppelpunkt D~ enthalten. Shad nun drei Kegelschnitte K~, K2 and K3 einem vierten Kegelschnitt K einbesehrieben, so liegen im p v die Bilder der drei Kegelschnitte Ks und der drei zugehbrigen Doppelpunkte D~ zum Bild yon K per- spektiv, d.h., es gilt der (r~umliehe) Satz yon DES~a~GUES: Die Sehnitte entsprechen- der Seiten der beiden Dreiecke liegen auf einer Geraden.

Das bedeu~et fiir die Kegelsehnitte: Die Schar yon Kegelschnitten, die die Kegel- sehnitte K~ und Kz enth~lt, und die entartete Schar, die die zugehSrigen Doppel- punkte D1 und D2 enth~lt, haben einen Kegelschnitt P3 gemein. Dieser Kegelsehnitt zerfallt in ein Punktepaar, weft die zweite Sehar nur aus den zu D1 und D2 harmoniseh gelegenen Punktepaaren der Verbhadungsgeraden besteht. Entsprechend den drei Paaren der Ks gibt es drei solehe Punktepaare Ps, die -- well flare Bilder fin p v naeh dem Satz yon DES~_r~GVv.s auf ehaer Geraden liegen -- einer Sehar angehSren, d.b., die P~ sind die Gegeneckenpaare eines vollst~ndigen Vierseits.

1) Auszug aus einem Vortrag, den ich im Herbst 1960 bei der Geometrietagung in Oberwolfach/ Sehwarzwald gehalten habe.

2) Analytiseh-geome~rische Entwicklungen, Essen 1828, p. 261. 3) Vgl. Enzyklop~die III C1, F. DII~GELDV.Y, Leipzig 1903, p. 118--119.

Vol. XV, 1964 Zum Satz yon PASCAL 393

So folg~ der oben erwghnte Satz yon PLUCKER: Sind drei Kegelschnitte Kz, K2, K3 einem Kegelschnitt K einbeschrieben, so haben die drei Tangentenvierseite der Paare Kz K2 usw. je ein Gegeneckenpaar P8 usw. mit einem vollstSndigen Vierseit gemein, dessen Diagonaldreieck aus den Schnittpunlcten Di der 3 Paare von Beri~hrungstangenten der Ki mit K besteht4), und umgekehrt.

Dieses stellt eine Veraltgemeinerung des Satzes yon PASCAL dar, der in vierfacher Weise folgt, werm die K~ in drei Punk tepaare auf K zerfallen. Zerfgllt dazu noch K (als Ordnungskegelschnit t) in ein Geradenpaar , so folgt der Satz yon PAPPos.

Ffihrt man die gleichen Uberlegungen ffir Quadriken im R a u m durch, so folgt der Satz :

Sired drei Quadrilcen Q~ einer vierten Quadrilc Q einbeschrieben, so sind je zwei Q~ zwei Kegeln einbeschrieben. Die Spitzen dieser drei Kegelpaare liegen alle in einer Ebene und bilden dort die Gegenecl~enpaare eines vollst5ndigen Vierseits. Das Diagonaldreieck dieses Vierseits besteht aus den Spitzen der drei BeriAhrungsl~egel der Qi mit Q.

Eingegangen am 14. 6. 1963

Anschrift des Autors: Wolfgang BShm Technische Universit~t Berlin Lehrstuhl und Institut f'tir Geometrie 1 Berlin-Charlottenburg 2 Hardenbergstr. 34, EB-103

4) Einen anderen geometrischen Beweis dieses und des dualen Satzes hat M. CHASL~S in seiner ,,Trait~ des Sections coniques" (Paris 1865, p. 357) gegeben.