u de 51 b (13) (12) d u h i i d (14)web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hotta/emt2012/emt7.pdf ·...
TRANSCRIPT
2012年度 電磁波工学
)2(00
)1(
ルはソレノイダルベクトなので発散なし･･･
はラメラーベクトルなので渦なし･･･
HHHB
iH
E0EED
0E
あるベクトルwは，その回転と発散が空間の関数として与えられるとラメラー成分uとソレノイダル成分vの和に書ける。
［ヘルムホルツの定理］
)7(0
)6(
][
A
0
ベクトル公式
静電磁界（Static-Electromagnetic Field） → 時間変化の無い(静的)な電磁界
スカラーポテンシャル，ベクトルポテンシャル
0B
0D
ttMaxwell , 間依存性が無い場合 の方程式で電磁界の時
静電界
静磁界
(5));('4
'
)4();('4
'
)3(
ベクトル発散なしダイバージェンスレスソレノイダル
ベクトル渦なしイローテショナルラメラー
dV
dV
r'r
wv
r'r
wu
vuw
0u
0 v
0uu
vvuvuw
AvAv
uvuvuw
0A
)15(0
)14(
)13(
)12(
B
DiD
iH
D
BB
E
jt
jt
vuw
51
2012年度 電磁波工学
)11('4
'4
)10(1
)9('4
'4
1
'4
)8(
dVdV
dVdVdVV
V
r'r
i
r'r
HA
AHw
r'rr'r
D
r'r
E
Ew
なので発散なしソレノイダルベクトル
で渦なしラメラーベクトルなの
)( りヘルムホルツの定理よ一意的に決まる。
を定めるとおよびは，※
ベクトルポテンシャル
スカラーポテンシャル
AAA
A
V
)15(0
)14(
)13(
)12(
B
DiD
iH
D
BB
E
jt
jt
（動）電磁界（Dynamic-Electromagnetic Field）のMaxwellの方程式 → 時間的に変化する電磁界
とする。フェザーを利用して， jt
式(12)の両辺発散をとると，
)16(BE j
HBAHAB
BB
&)17(1
(10)0(15)
ように書ける。の定義を用いると次のルとなり，式はソレノイダルベクトなので，より，式
より，
次のように書ける。へ代入し整理すると，を式式
AAB0AE jjjj )18(
(12)(17)
なので0E
なので0 H
52
2012年度 電磁波工学
)20(VV
)91(V
AEDAE
E
AE
jj
j
よって，
式(17)および(20)を，Maxwellの方程式(14)へ代入すると
)22(
,
)21(1
22
2222
iAAA
iAAA
iAAH
Vjk
kVj
Vjj
。は非常に見やすくなると式が成り立つように置く
義。･･･式に関しては，まだ未定としたが，ここで，
ヘルムホルツの定理まる。を定めれば一意的に決とは，
(22)
)23(0
(17)
)(
VjA
ABA
AAA
ローレンツの条件
この時のＡおよびVを
ローレンツゲージにおける
ベクトルポテンシャルおよびスカラーポテンシャル
と呼ぶ。
i
i
iAAAA
iAA
jVkV
VkjVj
kk
k
1
)23(
(24)
)24(
(22)
22
2
22
22
を用いるととなり，式
の発散をとると，また，式
する。から次の方程式を満足ャルは式するベクトルポテンシローレンツ条件を満足
!V
)(
を同定したと
，ローレンツ条件でを決定し
A
A
式(18)より， は回転(rot)が0なので，ラメラー(渦なし）ベクトルとなり，式(8)の定義と同様に次のように書ける。 AE j
うになる。について解くと次のよ
53
2012年度 電磁波工学 ･について考えると･･i
)25(
t
22
VkV
j
る。電荷密度から次式を得連続の式の時間変化となる。ここで，電流 i
時間変化のあるMaxwellの方程式の解法
)25(22
VkV
)24(22iAA k
上式を満足するベクトルA，
スカラポテンシャルVを求める。
V AE j
AH
1
上式に適用して電界磁界
ベクトルを求める。
式(24)および(25)の一般積分解は次式で与えられる。
)27('4
)26('4
dVe
V
dVe
jk
jk
r'r
r'r
iA
r'r
r'r
ポアソンの方程式
ラプラスの方程式
0
002
k
)'27('
4
cosRe
)'26('4
cosRe
dVkt
Ve
dVkt
e
tj
tj
r'r
r'r
r'r
r'riA
遅延ポテンシャル 波源とｉの影響は|r-r’|だけ離れた点に
だけ遅れて伝わる。
1,
v
v
kt
r'rr'r
54
2012年度 電磁波工学
［補足］
電磁界の双対性(duality)［バビネの原理］
自由空間では，Maxwellの方程式は同形で，一方の式で，電界・磁界および誘電率・透磁率を次の様に
入れ替えると他方の式になる。
EH
HE
問：スカラポテンシャル が，ヘルムホルツ方程式
を満足することを確認しなさい。
2221 , zyxrr
ecV
jkr
022 VkV
O r̂
'r̂'ˆˆ rr
波源
観測点
55
電流分布ｉを与える
ベクトルポテンシャルＡ
を求める
A を計算する。
磁界Ｈを求める。
アンテナの電磁界（後半）
2012年度 電磁波工学
2012年度 電磁波工学
平成24年度 電磁波工学期末試験対策問題
※ 文中の課題を期末試験までに各自でやってみる事。
2012年度 電磁波工学
1. 右図に示す様にx=0面に於いて誘電率0，透磁率0の媒質 I
（空気）と誘電率e1(= r1 0)，透磁率0の媒質 IIが接している。（ここで，0 および0は自由空間
の誘電率及び透磁率）この境界面に，電界に入射面と垂直な成分しか存在しない電磁波（偏波a）と磁界に入射面と垂直な成分
しか存在しない電磁波（偏波ｂ）が共に同じ入射角qi で同時に入
射する場合について以下の問に答えよ。 1-1 入射面とはどの様な面か？
説明しなさい。
境界面の面法線と入射波の伝搬方向が形成する面（xz面）
58
2012年度 電磁波工学
1-2 偏波aと偏波bは，それぞれ，TE波あるいはTM波のどちらか？答えなさい。
偏波a：TE波，偏波b：TM波
1-3 入射角がブリュースタ角の時に反
射波が観測されるのは偏波ａまたは偏波bのどちらか？ 全透過が観測されるのはTM波のみであるので，ブリュースタ角で入射したTE
およびTM波の内，反射波が観測できる
のはTE波 ∴偏波a
59
2012年度 電磁波工学
1-4 媒質IIの比誘電率が r1=5.0，入射角qiが60.0°の場合，偏波aに対する境界面での透過係数を小数点以下３桁目まで計算（４桁目を四捨五入）しなさい。
偏波a，すなわちTE波の透過係数より
iri
i
i
r
ri
i
tri
i
ti
r
i
r
ti
r
i
r
ti
iTE
i
r
i
r
itt
i
r
ttrtii
rti
iTE
T
nn
T
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqq
q
2
12
1
11
1
1
0
0
01
0
01
0
01
1
2
1
2
01
02
1
02
1
121
01
0
1
01
0
00
01
1
sincos
cos2
sin1
1cos
cos2
coscos
cos2
coscos1
cos1
2
coscos
cos2
coscos
cos2
sin1
1sin1sin1sin1cos
sin1
sin,sinsinsin1sin
,,,coscos
cos2
60
2012年度 電磁波工学
390.039038.0
16
1172
117
1172
171
2
41721
2
435
21
1
60sin560cos
60cos2
sincos
cos2
22
1
iri
i
q
［課題］ 媒質Iの比誘電率r1，媒質IIの比誘電率r2として，TEおよびTMモードの反射係数を上記同様に入射角と比誘電率のみで書き表しなさい。
61
2012年度 電磁波工学 62
2. 電界ベクトルが次式で表現される平面波が自由空間中をx方向に伝搬している。
xjkj 0exp2 zyE
2-1 この波の磁界ベクトルの瞬時値を自由空間の特性インピーダンスを0として書きなさい。但し，式中で使用するベクトルは何を表しているかを全て明記の事。
xktxkt
xktjje
xjkjxjkj
tj
00
0
0
0
0
0
0
00
sincos21
exp21
ReRe
exp21
exp211
yzy
zyH
zyzxyxExH
xはx方向の単位ベクトル
xjkj 0exp2 zyH
［課題］ 磁界ベクトルが次式で表現される平面波が自由空間中をx方向に伝搬している。
この電磁波が持つ電界の瞬時値を求めなさい。
2012年度 電磁波工学 63
2-2 この波はどの様な偏波か？その軸比と旋回方向と共に答えなさい。
lr
lr
lr
ljjjjjBAl
rjjjjjBAr
jBA
,8284.5223222112
21
21
21
2,11212
121
2
1
2
1
1,1212
121
2
1
2
1
2,1
2
軸比5.82の左旋楕円偏波