UDK 51(075.8) Kr242

Rekomendavo spausdinti: Mykolo Romerio universiteto

Ekonomikos ir finansij valdymo fakulteto Matematinio modeliavimo katedra 2015 m. birzelio 5 d. (protokolo Nr. lMMK-5)

Mykolo Romerio universiteto Finansij apskaitos pirmosios pakopos studijij programos,

Finansij valdymo antrosios pakopos studijij programos komitetas 2015 m. birzelio 8 d. (protokolo Nr. 10-380(1.17K-40101))

Mykolo Romerio universiteto Verslo sistemij kiirimo ir valdymo pirmosios pakopos studijij programos,

Tarptautines prekybos antrosios pakopos studijij programos komitetas 2015 m. birzelio 9 d. (protokolo Nr. 10-381(1.17K-40101))

Mykolo Romerio universiteto Finansij ekonomikos pirmosios pakopos studijij programos komitetas

2015 m. birzelio 9 d. (protokolo Nr. 10-383(1.17K-40101)) Mykolo Romerio universiteto

Ekonomikos ir finansij valdymo fakulteto taryba 2015 m. birzelio 18 d. (nutarimo Nr. lEFV-18)

Mykolo Romerio universiteto Moksliniq—mokomijjij leidiniij aprobavimo leidybai komisija

2015 m. liepos 17 d. (protokolo Nr. 2L-12)

Recenzavo: doc. dr. Mecislavas Meilunas

Vilniaus Gedimino technikos universiteto Fundamentiniij mokslij fakulteto Matematinio modeliavimo katedra

doc. dr. Natalja Kosareva Vilniaus Gedimino technikos universiteto

Fundamentiniij mokslij fakulteto Matematinio modeliavimo katedra

© Aleksandras Krylovas, 2015 © Rima Kriauziene, 2015 © Jurate Juozeniene, virselio dailininke, 2015 © Mykolo Romerio universitetas, 2015

ISBN 978-9955-30-176-9 © VJ Registrq centras, 2015

Turinys {vadas 1 1. Tiesine algebra 3

1. Matrices ir determinantai 3 1.1. Matrices s^voka 3 1.2. Veiksmai su matricomis 6 1.3. Matricii daugyba 11 1.4. Determinantas 16 1.5. Atvirkstine matrica 26 1.6. Ekonomines sistemos balanso modelis 33 1.7. Savarankisko darbo uzduotys 38

2. Tiesinin lygciii sistemos 43 2.1. Tiesiniii lygciii sistemos 43 2.2. Tiesinin- lygciij. sistemq, sprendimas atvirkstines

matrices metodu 44 2.3. Tiesiniii lygcinsistemn sprendimas Krameriometodu ...47 2.4. Matrices rangas 51 2.5. Kronekerio ir Kapelio teorema 53 2.6. Tiesiniii lygcin sistemij sprendimas Gauso metodu 54 2.7. Bazinio minoro metodas 62 2.8. Tarptautines prekybos modelis 63 2.9. Savarankisko darbo uzduotys 65

3. Tiesinio programavimo uzdavinin grafinis sprendimas 67 3.1. Savarankisko darbo uzduotys 77

2. Matematine analize 79 1. Aibes, funkcijos ir lygtys 79

1.1. Aibes s^voka 79 1.2. Funkcijos apibrezimas 85

iii

TURINYS 1.3. FunkcijII pavyzdziai 89 1.4. Funkcijos grafikas 90 1.5. Funkcij n grafiku transformacij os 91 1.6. Interpoliacija 95 1.7. Funkcijos ekonomikoje 97

2. Ribos ir tolydumas 101 2.1. Skaiciuseka 101 2.2. Funkcij os riba 108 2.3. Pagrindines ribos 120 2.4. Vienpuses ribos 126 2.5. Funkcijos tolydumas. Trukiii rusys 128 2.6. Savarankisko darbo uzduotys 130

3. Funkcij os isvestine ir diferencialas 131 3.1. Funkcijos isvestines apibrezimas 131 3.2. Funkcijos isvestines geometrine prasme 131 3.3. Isvestines mechanine prasme 133 3.4. Isvestines ekonomine prasme.

Ribines pajamos ir s^naudos 134 3.5. Elementariiyii funkcijii isvestiniii lentele 135 3.6. Elastingumas 137 3.7. Atvirkstines funkcijos isvestine 138 3.8. Sudetiniii funkcijn isvestines 140 3.9. Isvestines radimas taikant logaritmavim^ 144 3.10. Neisreikstiniit funkciju isvestines 146 3.11. AukstesniiuII eiliii isvestines 149 3.12. Teiloro formule 150 3.13. Liopitalio taisykle 152 3.14. Funkcijos diferencialas 155

4. Isvestiniii taikymas 159 4.1. Funkcijos grafiko liestines taske lygtis 159 4.2. Funkcijos didejimo ir mazejimo pozymis 160 4.3. Funkcijos didziausia ir maziausia reiksme

duotame intervale 164 4.4. Funkcijos iskilumo intervalai 165 4.5. Funkcijos grafiko asimptotes 170 4.6. Funkcijq, tyrimas ir grafikii brezimas 172

5. Keliq. kintamiyn funkcijos 178 5.1. Keliit kintamiyn funkcijos apibrezimas 178 5.2. Dalines isvestines 178 5.3. Aukstesniqjq. eiliii dalines isvestines 182

TURINYS V 5.4. Keliij. kintamiyii funkcijos ekstremumas 183 5.5. Maziausiii kvadrati^ metodas 188 5.6. Maziausii}. kvadratit metodo apibendrinimas 191 5.7. Kobo ir Duglo fimkcija 193

6. Neapibreztinis integralas 195 6.1. Pirmykste fimkcija 195 6.2. Neapibreztinio integralo s^voka 196 6.3. Neapibreztinio integralo savybes 197 6.4. Neapibreztiniii integralxi lentele 199 6.5. Tiesioginis integravimas 200 6.6. Integravimas keiciant kintam^i 201 6.7. Integravimas dalimis 205 6.8. Racionaliosios funkcijos 207 6.9. Paprasciausiiyn racionalii]jil trupmenn

integravimas 209 6.10. Kompleksinio skaiciaus s^voka 212 6.11. Racionaliiyij. funkcijvi reiskimas

paprasciausiiyii trupmenn suma 214 6.12. NeapibreztiyII koeficientu metodas 215 6.13. Racionaliiyn funkcijii integravimo pavyzdziai 217 6.14. Integralai

iR(x,.. .;^(^r,.. .)dx 221 6.15. Integralai J R(sin x, cos x)dx 224 6.16. Integralai J R(x, Vax^ + bx + c)dx 227 6.17. Integralai j x™ (a + bx")p dx 229 6.18. Neisreiskiami elementariosiomis funkcijomis

integralai 230 6.19. Savarankisko darbo uzduotys 232

7. Apibreztinis integralas 234 7.1. Apibreztinio integralo s^voka 234 7.2. Apibreztinio integralo savybes 237 7.3. Niutono ir Leibnico formule 242 7.4. Integravimo metodai 246

8. Netiesioginiai integralai 250 8.1. Begalinin reziii atvejis 250 8.2. Konvergavimo pozymiai 253 8.3. Trukiiyn funkcijxt atvejis 257

y. • TURINYS 9. Apytikslis integralit skaiciavimas 260

9.1. Trapecijii formule 260 9.2. Paraboliii formule 262

10. Apibreztinio integralo taikymai 265 10.1. Figurosplotas 265 10.2. Kreives ilgis 267 10.3. Sukinioturis 270 10.4. Kiti taikymai 271 10.5. Integraliitaikymas ekonomikoje 272 10.6. Savarankisko darbo uzduotys 274

3. Matematiniai paketai Maple ir Maxima 275 1. Paketas Ma/jfe 275

1.1. Pagrindines komandos 276 1.2. Matematines analizes uzdaviniii sprendimas 278

2. Paketas M«xi/Mfl 281 2.1. Pagrindines komandos 281 2.2. Matematines analizes uzdaviniii sprendimas 282

3. Tiesines algebros uzdaviniii sprendimas matematiniais paketais 290 3.1. Veiksmai su matricomis 290 3.2. Tiesiniii lygciii sistemii sprendimas matematiniais

paketais 295 Uzduociq atsakymai 309 Literatura 315 Rodykle 317

J v a d a s

Universitetij studentams destomij matematikos dalyk^ turinys priklauso nuo studijij krypties ir daznai turi specifiniii ypatumij. Taciau visais atvejais destomos algebros ir matematines analizes pagrindines temos, sudarancios visii kitij matematinio disciplinii pamatus. Sias temas sujungiantys matema­tikos vadoveliai turi skirtingus pavadinimus ~ aukstoji matematika, tiesine algebra ir analizine geometrija, matematine analize, diferencialinis ir inte-gralinis skaiciavimas, algebra ir analize, ir kt. Nepaisant siij pavadinimij gausos, vadoveliij turinys labai panasus ir is esmes susiformavo jau pries porq, simtmeciij. Kita vertus, matematikos vadoveliai skiriasi destymo sti-liumi, pateikiamtj pavyzdziij bei sprendziamij uzdaviniij sunkumu, aiskinimo issamumu arba atvirksciai - trumpu, scheminiu aiskinimu.

Pastaraisiais desimtmeciais matematiniij tekstij autoriai gali daug lais-viau naudoti matematines formules, o dar pries du tris desimtmecius isleis-tuose vadoveliuose paprastai pateikiama gerokai maziau formuliij ir daugiau ilgxj zodiniij aiskinimq, del to kartais jie maziau patrauklus studentams, negu siuolaikiniai vadoveliai.

Kitas pastariyo desimtmeciij matematikos destymo ypatumas - kompiu-teriniij sistemij, sprendzianciij visus aukstosios matematikos uzdavinius ne tik skaitiniais metodais, bet ir tiksliai simboliniu pavidalu, pletra. Tokios kompiuterines algebros sistemos {Maple, MatLab, Maxima ir kt.) yra gana rimtas issiikis matematikos destymo metodikai, nes praranda prasm§ tradi-cinis mokymas atlikti gremezdiskus pertvarkymus, pavyzdziui, integruojant sudetingus reiskinius. Tokiems veiksmams teisingai atlikti biitini labai stip-riis jgiidziai, atsirandantys ilgq, laik^ sprendziant daug uzdaviniij, o verte siij jgudziij sumenkejo, nes kompiuterines programos daro tai nepalyginti greiciau ir patikimiau uz zmogij. Tai sudaro prielaidas daugiau demesio skirti kiirybiskiems matematikos studijij aspektams, sutrumpinti rutininiam darbui skiriamq, laikq,, nagrineti taikomuosius uzdavinius. Suprantama, kad

1

2 tarn reikia spr^sti netrivialias didaktikos problemas ir siuo metu sukaup-ta universiteto destytojij patirtis gana kukli. Siiilomo skaitytojui vadovelio autoriai bando siuolaikines informacines technologijas panaudoti, kaip pa-pildomas mokymosi galimybes, pavyzdziui, leidziancias studentui efektyviai atlikti savarankiskus darbus kompiuteriu tikrinant, ar teisingai jis sprendzia uzdavinius.

Vadovelio autoriai stengesi atsizvelgti j cia minetas matematikos desty­mo tendencijas ir problemas, taip pat ir j tam tikrq, specifik^, destant ma-tematik^ ekonomikos, vadybos ir kitij socialiniij mokslij studentams. Jiems matematikos destoma maziau, palyginti su inzinerinemis specialybemis, kar­tais tik vien^ semestrq, per kurj reikia ne tik isdestyti privalomus aukstosios matematikos pagrindus, bet ir supazindinti studentus su matematikos taiky-mu socialiniij mokslij srityse. Vadovelyje isdestyti visi pagrindiniai tiesines algebros ir matematines analizes skyriai, taip pat nagrinejamas matematikos taikymas ekonomikos ir socialiniij mokslij dalykams: elastingumas, gamybi-nes funkcijos, matematinio programavimo pradmenys ir kt. Teoriniij klau-simij destymas gausiai iliustruojamas issamiai nagrinejamais pavyzdziais, pateikta uzdaviniij studijij praktiniams uzsiemimams ir savarankisko dar­bo uzduociij. Kiekvieno skyriaus pabaigoje yra testai zinioms pasitikrinti. Skaitytojui pravers issami dalykine rodykle.

Vadovelis skirtas MRU ekonomikos studijij programij studentams, taciau autoriai tikisi, kad bus naudingas jvairioms socialiniij mokslij programoms mokytis.

Autoriai

1 skyrius T i e s i n e a l g e b r a

1. Mat r ices ir de te rminan ta i Raktiniai zodzai: Matrices sf^voka, savybes. Veiksmai su matricomis. Determi­nantas ir jo savybes. Atvirkstine matrica. Ekonomines sistemos balanso lygtis. Literatura: [ApyOl] 129^164 p.; [Pek05] 11-33 p.; [Rum76] X skyrius, 128-140 p • [BiidOS] 183-250 p.

1.1. Matrices sqvoka

Su matricomis susiduriame kiekvien^ dienfj ir daug metij, kol pradedame jas suvokti ir taikyti darbe.

Sudetis Cukrus Kiausiniai Miltai Druska

Kiekis 125 g 5 vnt. 125 g 1 arbat. s.

2015 m. vasaris P A T K Pn S S 2 3 4 5 6 7 1

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

^ _ J „ ^^^^^^^^^ i c i i u c i c , jvui ius e i e m e i skaiciai. Dabar uzrasysime pateikt^ informacijq, matricos pavidalu:

3