i

Teori Permainan dan Aplikasinya Pada Energi

Terbarukan

Tugas Mata Kuliah Riset Operasi

Asrofi

ii

DAFTAR ISI

1. Pendahuluan ........................................................................................................................1

1.1. Pengertian ....................................................................................................................1

1.2. Sejarah .........................................................................................................................1

1.3. Model Teori Permainan .................................................................................................2

1.4. Unsur-unsur Dasar Teori Permainan.............................................................................3

2. PERMAINAN DUA-PEMAIN JUMLAH-NOL .........................................................................5

2.1. Permainan Strategi Murni .................................................................................................5

2.2. Permainan strategi campuran .......................................................................................6

3. Aplikasi Teori Permainan Dalam Sistem Hybrid Antara PLTS (PV) dan Pembangkit Listrik Tenaga Angin............................................................................................................................17

3.1. Strategi Campuran Keseimbangan Nash ....................................................................18

3.2. FORMULASI ...............................................................................................................19

3.3. Jenis Teori Permainan Dalam Sistem Hibrid ...............................................................20

3.4. Keterbatasan Teori Permainan Dalam Sistem Hybrid .................................................21

REFERENSI .............................................................................................................................22

1

1. PENDAHULUAN

1.1. Pengertian

Semua situasi keputusan melibatkan pengambil keputusan. Tidak ada pesaing yang keputusannya dapat merubah analisa situasi keputusan si pengambil keputusan. Walaupun demikian, banyak situasi yang sebenarnya melibatkan beberapa pengambil keputusan yang saling bersaing untuk mencapai hasil terbaik. Jenis situasi yang kompetitif ini adalah pokok permasalahan dari teori permainan. Jadi, teori permainan lebih merupakan perluasan dari

analisa keputusan dari pada merupakan suatu topik baru.

Menurut John von Neumann dan Oskar Morgenstern permainan terdiri atas sekumpulan peraturan yang membangun situasi bersaing dari dua sampai beberapa orang atau kelompok dengan memilih strategi yang dibangun untuk memaksimalkan kemenangan sendiri atau pun untuk meminimalkan kemenangan lawan. Peraturanperaturan menentukan kemungkinan tindakan untuk setiap pemain, sejumlah keterangan diterima setiap pemain sebagai kemajuan bermain, dan sejumlah kemenangan atau kekalahan dalam berbagai situasi.

Sedangkan Kartono menjelaskan bahwa teori permainan (Game Theory) merupakan teori yang menggunakan pendekatan matematis dalam merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan yaitu strategi optimum dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan.

Secara umum teori permainan dapat didefinisikan sebagai sebuah pendekatan terhadap kemungkinan strategi yang akan dipakai, yang disusun secara matematis agar bisa diterima secara logis dan rasional. Serta digunakan untuk mencari strategi terbaik dalam suatu aktivitas, dimana setiap pemain didalamnya sama-sama mencapai utilitas tertinggi.

Ide dasar dari teori permainan dalah tingkah laku strategis dari pemain atau pengambil keputusan. Setiap pemain diasumsikan mempunyai suatu seri rencana atau model tingkah laku dari mana pemain dapat memilih, jika memilih suatu himpunan strategi. Permainan diartikan sebagai gerakan khusus yang harus dipilih dari himpunan strategi yang ada.

Anggapannya bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional.

Teori ini menyediakan suatu bahasa untuk memformulasikan, menstrukturkan, menganalisa dan mengerti skenario strategi serta digunakan untuk pemilihan strategi.

Langkah pertama dalam menggunakan teori permainan adalah menentukan secara eksplisit pemain, strategi-strategi yang ada dan juga menentukan preferensi serta reaksi dari setiap pemain.

1.2. Sejarah

Sejarah teori permainan dimulai dari diskusi awal contoh permainan dua orang yang terjadi jauh sebelum munculnya teori permainan matematika modern. Pembahasan pertama yang diketahui dari teori permainan terjadi dalam surat yang ditulis oleh James Waldegrave pada tahun 1713.

Lalu seorang ahli matematika Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921 membuktikan teorema minimax untuk dua orang zero-sum game matriks hanya jika matriks pay-off adalah simetris.

2

Namun yang paling terkenal adalah teori permainan modern yang dimulai dengan ide tentang adanya campuran strategi keseimbangan oleh John von Neumann. Kemudian ide Von Neumann ini digunakan sebagai landasan teorema Brouwer yang menjadi metode standar

dalam teori permainan dan ekonomi matematika. Makalahnya diikuti dengan dikeluarkannya buku tentang Teori Permainan dan Perilaku Ekonomi pada tahun 1944, dengan Oskar Morgenstern, yang dianggap permainan kooperasi dari beberapa pemain. Edisi kedua dari buku ini memberikan teori aksiomatis dari utilitas yang diharapkan, yang memungkinkan ahli statistik matematika dan ekonom untuk mengobati pengambilan keputusan di bawah ketidakpastian.

Pada tahun 1950, pembahasan pertama dari dilema narapidana muncul, dan percobaan dilakukan pada teori permainan ini di perusahaan RAND. Sekitar waktu yang sama, John Nash

mengembangkan kriteria untuk konsistensi saling strategi pemain, yang dikenal sebagai kesetimbangan Nash, berlaku untuk lebih banyak jenis permainan dari kriteria yang diusulkan oleh Von Neumann dan Morgenstern. Keseimbangan ini cukup umum untuk memungkinkan

analisis permainan non-kooperatif di samping yang kooperatif.

Teori permainan mengalami perkembangan yang pesat pada tahun 1950, selama periode ini, konsep-konsep inti, permainan bentuk yang luas, bermain fiktif, permainan berulang, dan nilai Shapley dikembangkan. Selain itu, aplikasi pertama dari teori permainan ke filsafat dan ilmu politik terjadi dalam periode ini. Pada tahun 1965, Reinhard Selten memperkenalkan konsep solusi dari kesetimbangan subgame sempurna, yang merupakan pengembangan dari kesetimbangan Nash. Pada tahun 1967, John Harsanyi mengembangkan konsep informasi yang lengkap dan permainan Bayes. Nash, Selten dan Harsanyi menjadi pemenang hadiah

Nobel Ekonomi pada tahun 1994 atas kontribusi mereka pada teori permainan ekonomi.

Pada 1970-an, teori permainan secara luas diterapkan dalam biologi, sebagian besar sebagai hasil karya John Maynard Smith dan strateginya evolusi stabil (yang dianugerahi Penghargaan Crafoord ). Pada tahun 2005, teori permainanThomas Schelling dan Robert Aumann mengikuti Nash, Selten dan Harsanyi sebagai pemenang hadiah Nobel. Schelling bekerja pada model dinamis, contoh-contoh awal dari teori permainan evolusi. Aumann memberikan kontribusi

keseimbangan sekolah, memperkenalkan keseimbangan pengkasaran, keseimbangan berkorelasi, dan mengembangkan analisis formal yang tinggi dari asumsi pengetahuan umum dan konsekuensinya. Lalu pada tahun 2007, Leonid Hurwicz, bersama dengan Eric Maskin dan Roger Myerson, dianugerahi Hadiah Nobel di bidang Ekonomi karena telah meletakkan dasar-

dasar teori mekanisme .

Aplikasi-aplikasi nyata yang paling sukses dari teori permainan banyak ditemukan dalam militer. Tetapi dengan berkembangnya dunia usaha (bisnis) yang semakin bersaing dan terbatasnya sumber daya serta saling ketergantunga social, ekonomi, dan ekologi yang semakin besar, akan meningkatkan pentingnya aplikasi-aplikasi teori permainan. Kontrak dan program tawar menawar serta keputusan-keputusan penetapan harga adalah contoh penggunaan teori permainan yang semakin meluas.

1.3. Model Teori Permainan

Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara, seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian dan jumlah strategi yang digunakan dalam permainan. Sebagai contoh, bila jumlah pemain adalah dua, permainan disebut sebagai permainan dua-pemain. Begitu juga, bila jumlah pemain adalah N (dengan N 3 ), permainan disebut permainan N-pemain. Bila jumlah keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan jumlah-nol atau jumlah-konstan. Sebaliknya, bila tidak sama dengan nol, permainan disebut permainan bukan jumlah-nol (non zero-sum game).

3

1.4. Unsur-unsur Dasar Teori Permainan

Berikut ini akan diuraikan beberapa unsur atau elemen dasar yang sangat penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan, dengan mengambil suatu contoh permainan dua-pemain jumlah-nol (2-person zero-zum game), dimana matriks pay off nya tampak dalam tabel 1

Tabel 1 contoh matriks permainan dua- pemain jumlah-nol

Pemain A Pemain B

B1 B2 B3

A1

A2

6

8

9

5

2

4

Dari tabel diatas dapat diuraikan unsur-unsur dasar teori permainan sebagai berikut:

Angka-angka dalam matriks pay off, atau biasanya disebut matriks permainan, menunjukkan hasil-hasil (atau pay offs) dari strategi-strategi permainan yang berbeda-beda. Hasil-hasil ini dinyatakan dalam suatu bentuk ukuran efektivitas, seperti uang, persentase market share, atau kegunaan. Dalam permainan dua pemain jumlah-nol, bilangan-bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pamain baris (atau maximizing players), dan merupakan kerugian bagi pemain kolom (atau minimizing player). Sebagai contoh, bila pemain A mempergunakan strategi A1 dan pemain B memilih strategi B2, maka hasilnya A memperoleh keuntungan 9 dan B kerugian 9. Anggapannya bahwa metrics pay off diketahui oleh kedua pemain.

Strategi permainan adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh dari seorang pemain , sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lain yang menjadi pesaingnya. Dalam hal ini dianggap bahwa suatu strategi tidak dapat dirusak oleh para pesaing atau faktor lain. Dalam tabel 1.1, pemain A mempunyai 2 strategi (A1 dan A2) dan pemain B mempunyai 3 strategi (B1, B2, dan B3).

Aturan-aturan permainan menggambarkan kerangka dengan mana para pemain memilih strategi mereka.

Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan per permainan atau pay off rata-rata dari sepanjang rangkaian permainan, dimana kedua pemain mengikuti atau mempergunakan strategi mereka yang paling baik atau optimal. Suatu permainan dikatakan adil (fair) apabila nilainya nol, dimana tak ada pemain yang memperoleh keuntungan atau kemenangan. Pemain dikatakan tidak adil (unfair) apabila nilainya bukan nol.

Suatu strategi dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif.

Suatu strategi optimal adalah rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh, yang menyebabkan seorang pemain dalam posisi yang paling menguntungkan tanpa

memperhatikan kegiatan-kegiatan para pesaingnya.

Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasikan strategi atau rencana optimal untuk setiap pemain. Dari contoh, di atas, strategi optimal untuk A adalah A2, dan B3 adalah strategi optimal untuk B.

4

Karena banyaknya asumsi-asumsi diatas, maka nilai praktis teori permainan agak terbatas. Tetapi bagaimanapun juga inti keputusan harus dibuat dalam kondisi persaingan (konflik) atau kerjasama. Konsep-konsep teori permainan paling tidak sangat penting untuk beberapa hal berikut ini:

Mengembangkan suatu kerangka untuk menganalisis pengambilan keputusan dalam situasi-situasi persaingan (dan kadang-kadang kerja sama).

Menguraikan suatu metoda kuantitatif yang sistematis yang memungkinkan para pemain yang terlibat persaingan untuk memilih strategi-strategi yang rasional dalam pencapaian tujuan mereka.

Memberikan gambaran dan penjelasan fenomena situasi-situasi persaingan atau konflik, seperti tawar menawar dan perumusan koalisi.

5

2. PERMAINAN DUA-PEMAIN JUMLAH-NOL

Konsep dasar analisis teori permainan dapat dijelaskan dengan model ini. Permainan dua-pemain jumlah-nol adalah model konflik yang paling umum dalam dunia bisnis. Permainan ini

dimainkan oleh 2 orang, 2 kelompok atau 2 organisasi yang secara langsung mempunyai kepentingan yang berhadapan. Disebut permainan jumlah-nol karena keuntungan atau kerugian seseorang adalah sama dengan kerugian atau keuntungan seseorang lainnya, sehingga jumlah total keuntungan dan kerugian adalah nol. Setiap orang mempunyai dua atau lebih kepentingan (keputusan).

Ada 2 tipe permainan 2-pemain jumlah-nol, yaitu permainan strategi murni (setiap pemain mempergunakan strategi tunggal), dan permainan strategi campuran (kedua pemain memakai

campuran dari beberapa strategi yang berbeda).

2.1. Permainan Strategi Murni

Dalam permainan strategi murni (pure strategy), strategi optimal untuk setiap pemain adalah dengan mempergunakan strategi tunggal. Dalam permainan ini, pemain baris (maximizing player) mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin (maximin). Sedangkan pemain kolom (minimizing player) menggunakan kriteria minimaks (minimax) untuk

mengidentifikasikan strategi optimalnya. Dalam hal ini nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dari minimaks dan minimum dari maksimin kolom. Pada kasus tersebut titik equilibrium telah dicapai dan titik ini sering disebut titik pelana (saddle point).

Langkah-langkah penyelesaian dengan pure strategy

1. Terjemahkan setiap kasus ke dalam bentuk matriks segi, dimana satu pemain berperan sebagai pemain baris dan yang lain berperan sebagai pemain kolom.

2. Pay-off bernilai positif berarti keuntungan bagi pemain baris

3. Pay-off bernilai negative berarti keuntungan bagi pemain kolom

4. Tentukan nilai minimum setiap baris

5. Tentukan nilai maksimum dari langkah ke-4

6. Tentukan nilai maksimum setiap kolom

7. Tentukan nilai minimum dari langkah ke-6

If minimaks = maksimin >> there

Bila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, titik pelana tidak akan dicapai, sehingga permainan tidak dapat dipecahkan dengan mempergunakan strategi murni. Jadi, kasus ini harus dipecahkan dengan strategi campuran.

Sebagai contoh lihat tabel 2.

maksimin

minimaks

6

Tabel 2. matriks permainan dan penyelesaian dengan kriteria maksimin dan minimaks

Perusahaan B Minimum

Baris B1 B2 B3

Perusahaan A A1 A2

1 9 2 8 5 4

1 4 maksimin

Maksimum kolom

8 9 4 minimaks

Kriteria maksimin : cari nilai-nilai minimum setiap baris. Maksimum diantara nilai-nilai

minimum tersebut adalah nilai maksimin. Untuk strategi ini, strategi optimal adalah baris dimana terdapat nilai maksimin.

Dari tabel 2, nilai-nilai minimum kedua baris adalah 1 dan 4. maksimum dari nilai-nilai minimum ini adalah 4, sehingga nilai maksimin = 4.

Kriteria minimaks : cari nilai-nilai maksimum setiap kolom. Minimum di antara nilai-nilai

maksimum tersebut adalah nilai minimaks. Untuk permainan strategi-murni, strategi optimal adalah kolom di mana terdapat nilai minimaks.

Dari tabel 2, ada tiga nilai maksimum kolom yaitu 8, 9, dan 4. minimum dari nilai maksimum ini adalah 4, sehingga nilai minimaks = 4.

2.2. Permainan strategi campuran

Strategi campuran (mixed strategy) digunakan untuk mencari solusi optimal dari kasus game theory yang tidak mempunyai saddle point (jika permainan tidak seimbang). Pemilihan strategy dilakukan dengan mengevaluasi kombinasi strategy lawan menggunakan prinsip peluang. Ciri permaian dengan strategy campuran :

1. Nilai maximin tidak sama dengan nilai minimax

2. Tidak ada saddle point

3. Permainan tidak stabil (unstable game)

Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila strategi murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah permainan atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang optimal bagi masing-masing pemain/perusahaan. Dalam strategi ini seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan campuran/lebih dari satu strategi untuk mendapatkan hasil optimal.

Tabel 3 : matriks permainan strategi campuran

Perusahaan B Minimum Baris

B1 B2 B3

Perusahaan A

A1 A2 A3

2 5 7 -1 2 4 6 1 9

2 maksimin -1 1

Maksimum kolom 6 5 9

minimaks

Dari tabel diatas, diketahui bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks. Oleh karena itu, tidak dapat diketemukan titik pelana. Kemudian dengan menerapkan aturan dominan, dalam tabel 3, strategi B3 didominasi oleh B2, sehingga kolom B3 dapat dihilangkan.

7

Setelah kolom B3 dihilangkan, dapat diketahui juga bahwa strategi A2 didominasi oleh strategi A1. strategi A2 dihilangkan dari tabel.

Matriks permainan telah berubah menjadi permainan 22, seperti tabel 4 di bawah ini.

Tabel 4. reduced game matrix

Perusahaan B

Minimum baris B1 B2

Perusahaan A

A1 A2

2 6

5 1

2 maksimin 1

Maksimum kolom

6

5 Minimaks

Pada tabel 4 diatas tidak ada titik pelana maka permainan dapat dipecahkan dengan menerapkan konsep strategi campuran. Penyelesaian permainan dapat dilakukan dengan :

Metoda grafik. Semua permainan 2 n (yaitu, pemain baris mempunyai dua strategi dan pemain kolom mempunyai n strategi) dan permainan m2 (yaitu pemain baris mempunyai m strategi dan pemain kolom mempunyai 2 strategi) dapat diselesaikan secara grafik. Untuk dapat menyelesaikan permainan ini secara grafik , dimensi pertama matriks permainan harus 2.

Metodei grafik dapat digunakan jika paling salah satu pemain mempunyai hanya 2 strategi (2 x n atau m x 2).

Perhatikan matriks payoff untuk dua pemain berikut :

Menghitung x1 dan x2 dengan menganggap pemain B menggunakan strategi murni. Maka ekspektasi perolehan bagi pemain A adalah sbb:

Strategi murni B Ekspektasi perolehan A

1 a11 x1 + a21x2

2 a12 x1 + a22x2 3 . . . n

a13 x1 + a23x2 . . . a1n x1 + a2nx2

Ekspektasi digambarkan dengan sumbu horizontal x1 (0 sampai 1) dan vertikal sebagai ekspektasi perolehan.

Nilai optimum (x1, x2 dan v) akan didapat dari titik perpotongan

Titik perpotongan menunjukkan strategi B yang digunakan, maka y1, y2, ..., yn selanjutnya dapat ditentukan.

B

y1 y2 y3 ... yn

A x1 a11 a12 a13 ... a1n x2 = 1-x1 a21 a22 a23 ... a2n

8

Contoh 1:

Perhatikan matriks payoff permainan di bawah ini:

Pemain B

Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5

Pemain A Strategi 1 2 4 5 -2 -1

Strategi 2 3 -1 -2 6 5

Permainan di atas memiliki nilai minimaks = 3 dan nilai maksimin = -2 permainan tidak seimbang

Dengan solusi grafik:

Pemain B

y1 y2 y3 y4 y5 Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5

Pemain A

x1 Strategi 1 2 4 5 -2 -1

x2 Strategi 2 3 -1 -2 6 5

Bagi Pemain A :

Strategi murni B Ekspektasi perolehan A

1 2x1 + 3x2 =(2-3)x1+3

2 5x1-1

3 4 5

7x1-2 -8x1+6 -6x1+5

9

Ada 6 titik perpotongan yang menjadi kandidat solusi optimal untuk x1 (titik perpotongan garis (1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,4) dan (3,5)). Karena pemain A adalah pemain baris dimana dia akan memaksimumkan ekspektasi perolehan minimumnya, maka solusi optimalnya adalah titik perpotongan ungu (perpotongan garis (2,4)). Dengan demikian x1 = 7/13 dan x2 = 1-7/13 = 6/13.

v = 5x1 -1 = 22/13 diperoleh dengan memasukkan nilai x1 pada pers (2) atau (4).

Bagi Pemain B:

Solusi optimal bagi pemain A di atas merupakan perpotongan garis (2) dan (4), Hal ini menunjukkan bahwa B dapat mengkombinasikan kedua strategi tersebut.

Kombinasi strategi 2 dan 4 menunjukkan bahwa y1 = y3 = y5 = 0.

Pemain B

y2 y4 Strategi 2 Strategi 4

Pemain A x1 Strategi 1 4 -2

x2 Strategi 2 -1 6

Strategi murni A Ekspektasi perolehan B

1 4y2 - 2y4 =(4+2)y2-2=6y2-2

2 -7y2+6

6y2-2=-7y2+6, maka y2 = 8/13 dan y4 = 5/13; y1 = y3 = y5 = 0; v = 22/13 (sama dengan nilai di atas).

Contoh 2:

Perhatikan permainan dengan matriks payoff berikut:

Penyelesaian :

Tidak ada saddle point, dan pemain B memiliki hanya 2 strategi solusi grafik.

Bagi Pemain B:

Strategi murni A Ekspektasi payoff B

1 2 3 4

-2y1+4 -y1+3 y1+2 -8y1+6

A

B

1 2

1 2 4

2 2 3

3 3 2

4 -2 6

10

Ada 3 titik maksimum (perpotongan warna ungu, biru dan hijau). Pemain B sebagai pemain kolom akan meminimumkan ekspektasi perolehan maksimumnya, maka solusi optimalnya adalah titik hijau

y1 = 2/3 dan y2 = 1/3; v = -2*2/3 + 4 =8/3

Pemain A

Titik optimum bagi pemain B merupakan perpotongan strategi 1 dan 3 pemain A.

Strategi murni B Ekspektasi payoff A

1 2

-x1+3 2x1+2

-x1+3 = 2x1+2 x1 = 1/3, x2 = 0, x3 = 2/3, x4 = 0 dan v = 8/3 (sama dengan di atas).

Metoda analisa. Pendekatan ini bertujuan mengembangkan pola strategi-campuran agar keuntungan atau kerugian yang dialami kedua perusahaan adalah sama. Pola ini dikembangkan dengan menentukan suatu distribusi probabilitas untuk strategi-strategi yang berbeda. Nilai-nilai probabilitas ini memungkinkan untuk ditemukannya strategi campuran yang optimum. Nilai-nilai probabilitas dapat dihitung dengan cara berikut ini.

B

1 2

A 1 2 4

3 3 2

11

Untuk perusahaan A

Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan Probabilitas p, dan untuk A3 dengan probabilitas 1-p.

Anggap bahwa B menggunakan strategi B1, maka keuntungan yang diharapkan A adalah:

Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi S1, maka:

2p + 6(1-p) = 2p + 6 6p = 6 4p [persamaan ke-1]

Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi S2, maka:

5p + 1(1-p) = 5p + 1 1p = 1 + 4p [persamaan ke-2]

Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :

6 4p = 1 + 4p

5 = 8p

P = 5/8

= 0,625

Dan apabila nilai p = 0,625, maka nilai (1-p) adalah (1 0,625) = 0,375, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S3 milik perusahaan A sudah diketahui nilainya. Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka keuntungan yang diharapkan oleh perusahaan A adalah :

Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2

= 2p + 6(1-p) = 5p + 1(1-p)

= 2 (0,625) + 6 (0,375) = 5 (0,625) + 1 (0,375)

= 3,5 = 3,5

Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan keuntungan yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi campuran ini keuntungan perusahaan A hanya sebesar 2, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, keuntungan perusahaan A bisa meningkat 1,5 menjadi 3,5.

Bagaimana dengan perusahaan B ?

Untuk perusahaan B

Dengan cara serupa, dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk perusahaan B. probabilitas untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1-q.

Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi S1, maka:

2q + 5(1-q) = 2q + 5 5q = 5 3p [persamaan ke-1]

Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi S3, maka:

6q + 1(1-q) = 6q + 1 1q = 1 + 5p [persamaan ke-2]

12

ijP

16

52

1

111

11

adj

adj

P

P

1

111

11

adj

cof

P

PBoptimalstrategi

1

111

)(

adj

ij

ij

P

P

Boptimal

strategiP

Aoptimal

strategiVPermainanNilai

Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :

5 3q = 1 + 5q

4 = 8q

q= 4/8

= 0,5

Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai (1-p) adalah (1 0,5) = 0,5, sehingga kedua nilai probabilitas untuk strategi S1 dan S2 milik perusahaan B sudah diketahui nilainya.

Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas, maka kerugian minimal yang diharapkan oleh perusahaan B adalah :

Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2

= 2q + 5(1-q) = 6q + 1(1-q)

= 2 (0,5) + 5 (0,5) = 6 (0,5) + 1 (0,5)

= 3,5 = 3,5

Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan kerugian minimal yang diharapkan adalah sama, yakni sebesar 3,5. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi campuran ini kerugian minimal perusahaan B adalah sebesar 5, berarti dengan digunakan strategi campuran ini, kerugian minimal perusahaan B bisa menurun sebesar 1,5 menjadi 3,5.

Metoda aljabar matriks

Metoda aljabar matriks adalah cara lain untuk menyelesaikan suatu permainan yang mempunyai matriks segi empat atau ordo 2 2.

B1 B2

A1

A2

Di mana Pij menunjukkan jumlah pay off dalam baris ke I dan kolom ke j.

Strategi optimal untuk perusahaan A dan B da nilai permainan (V), dapat dicari dengan rumus-rumus berikut :

Strategi optimal A

13

cbdaPac

bdPmatrixadjoP

ab

cdmatrixcofactorP

dc

bamatrixgamePDimana

ij

T

cofadj

cof

ij

..

int

28)65()12(16

52

26

51

25

61

16

52

ij

adj

cof

ij

P

P

P

P

8

35

AoptimalStrategi

8

44

Boptimalstrategi

2

1

8

4

8

4

2

1

8

4

8

4

8

3

8

3

8

5

8

5

21

31

BB

AA

5,38

28

8

16

52

Jadi dapat

diketahui:

Dari hasil pencarian dengan rumus maka didapat :

Jadi, strategi yang optimal adalah

Jadi, nilai permainan (V)

14

2121

2121

,

,

BdanBstrategipemilihanasprobabilitYY

AdanAstrategipemilihanasprobabilitXX

permainannilaiV

)2(15

)1(62

21

21

BstrateginmenggunakaBpemainbilaVXX

BstrateginmenggunakaBpemainbilaVXX

0,

1

21

21

XX

dan

XX

)3(16

)1(52

21

21

AstrateginmenggunakaApemainbilaVYY

AstrateginmenggunakaApemainbilaVYY

0,

1

21

21

YY

dan

YY

Metode Linear Programming

Metoda grafik, analisis, dan aljabar matriks yang dibahas sebelumnya mempunyai ruang lingkup agak terbatas. Untuk menyelesaikan permainan strategi-campuran dengan ordo 3 3 atau dimensi yang lebih besar, dapat mempergunakan linear programming.

Untuk menguraikan teknik dan prosedur linear programming ini, akan kembali digunakan contoh permainan dua-pemain jumlah-nol dalam table 4.

Notasi yang dipergunakan :

Dengan A sebagai maximizing player, maka dapat dinyatakan keuntungan yang diharapkan untuk A dalam tanda ketidaksamaan . Ini berarti bahwa A mungkin meperoleh keuntungan lebih dari V bila B menggunakan strategi yang lemah. Jadi, nilai keuntungan yang diharapkan untuk pemain A adalah sebagai berikut:

Diketahui bahwa:

Dengan B sebagai minimizing player, maka dapat dinyatakan kerugian yang diharapkan B dalam tanda ketidaksamaan . Ini berarti B mungkin mengalami kerugian kurang dari V bila A menggunakan strategi yang lemah. Jadi, nilai kerugian yang diharapkan untuk pemain B adalah sebagai berikut:

Diketahui bahwa :

15

1

115

162

21

21

21

V

X

V

X

V

X

V

X

V

X

V

X

1

116

152

21

21

21

V

Y

V

Y

V

Y

V

Y

V

Y

V

Y

2

2

1

1

22

1

1

,

,

YV

YY

V

Y

XV

XX

V

X

Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V, didapatkan :

Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B

Bila ditentukan variabel-variabel barunya :

Maka didapatkan :

Untuk perusahaan A Untuk perusahaan B

2 X1 + 6 X2 1 2 Y1 + 5 Y2 1

5 X1 + 1 X2 1 6 Y1 + 1 Y2 1

X1 + X2 = 1/V Y1 +Y2 = 1/V

Karena perusahaan A adalah maximizing player, maka tujuannya adalah memaksimumkan V, atau sama dengan meminimumkan 1/V. Dengan X1 + X2 = 1/V, dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan A sebagai berikut:

Minimumkan Z = X1 + X2 Z = 1/V

Batasan-batasan:

2 X1 + 6 X2 1

5 X1 + 1 X2 1

X1 , X2 0

Sedangkan perusahaan B adalah minimizing player, maka tujuannya adalah meminimumkan V, atau ini berarti B harus memaksimalkan 1/V. Dengan Y1 + Y2 = 1/V, dapat dirumuskan masalah linear programming untuk perusahaan B sebagai berikut:

Maksimumkan Z = Y1 + Y2 Z = 1/V

Batasan-batasan:

2 Y1 + 5 Y2 1

6 Y1 + 1 Y2 1

Y1 , Y2 0

Dengan metoda simplex, masalah linear programming primal dapat dipecahkan.

16

28

3

28

5

7

1

7

1

21

21

XX

YY

5,32

7

7

2

28

3

28

5121

V

Jadi

XXV

Z

375,08

3

28

3

2

7.

625,08

5

28

5

2

7.

22

11

XVX

XVX

50,02

1

7

1

2

7.

50,02

1

7

1

2

7.

22

11

YVY

YVY

Penyelesaian optimalnya :

Jadi, dapat ditentukan nilai V-nya

Hasilnya sama dengan metoda-metoda lain. Selanjutnya dapat dicari:

Dan

17

3. APLIKASI TEORI PERMAINAN DALAM SISTEM HYBRID ANTARA PLTS (PV) DAN PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA ANGIN

Sistem Energi Hibrid PV-Angin

Selama siang hari, daya listrik DC yang dihasilkan oleh rangkaian solar PV (array) disimpan di bank baterai melalui controller hibrida, yang memaksimalkan pengisian saat ini dan mencegah debit berlebih/ overcharge. Generator turbin angin mulai menghasilkan listrik ketika kecepatan angin melebihi cut-in kecepatan turbin angin mini (di atas 2.7m / detik). Output dari pengisi daya baterai angin juga disimpan dalam bank baterai melalui pengontrol hibrida.

Turbin angin adalah tipe mandiri dengan proteksi untuk kecepatan lebih. Energi yang tersimpan dalam baterai ditarik oleh beban listrik melalui inverter, yang mengubah arus DC menjadi listrik AC. Inverter memiliki perlindungan built-in untuk sirkuit pendek, polaritas terbalik, tegangan baterai rendah dan beban lebih. Bank baterai memiliki kapasitas untuk mengisi beban hingga dua hari, selama tidak ada matahari / angin. Menurut teori permainan, konsep keadilan yang berlaku dalam sistem hibrida adalah dengan cara berikut.

* Paritas: perlakuan yang sama

Itu berarti kontribusi yang sama dari sistem energi surya dan angin di pembangkit listrik.

* Proporsionalitas: ada beberapa kondisi proporsionalitas diterapkan dalam sistem hybrid. Seperti:

Output panel surya berbanding lurus dengan jumlah radiasi matahari.

Tenaga angin berbanding lurus dengan pangkat tiga dari kecepatan angin

Misalkan n = {1, 2, 3 ... n} menunjukkan sistem energi individu dalam sistem hybrid, n menjadi setara dengan |n| koalisi sistem energi individu dari s yang merupakan himpunan bagian dari n, s n yang berkoordinasi bersama-sama koleksi koalisi di dalam n dinotasikan dengan 2n. Set

PV Array Charge controller DC Load

Rectifier Battery Inverter

Engine Generator Wind Turbine of Grid Back Up AC Load

18

koalisi 2n saling bekerja sama dalam sistem hibrid. Nilai karakteristik c(s) memberikan output maksimum yang dikeluarkan oleh koalisi s karena kerjasama antara sistem energi surya dan angin.

Metode ini terdiri atas penentuan jumlah optimal dari baterai dan Modul fotovoltaik sesuai dengan prinsip optimasi Knowing: keandalan, yang didasarkan pada konsep probabilitas kehilangan energi (Loss of Power Supply Probability _ `LPSP ') dan biaya sistem.

LPSP 'didefinisikan sebagai fraksi dari energi kekurangan dan yang dibutuhkan oleh beban. Ini menjelaskan tingkat ketidakpuasan pada beban, dalam hal keadaan pengisian baterai. LPSP didefinisikan sebagai:

LPSP = P {E (t) E min for T T} r B B

yaitu probabilitas bahwa pernyataan beban, setiap saat T, lebih rendah atau sama dengan titik minimal energi yang diberikan pada baterai E Bmin. EB (t) adalah energi.

3.1. Strategi Campuran Keseimbangan Nash

Strategi campuran adalah kondisi di mana seorang pemain memainkan strategi murni yang tersedia dengan probabilitas tertentu. Strategi campuran paling baik dipahami dalam konteks permainan berulang, di mana tujuan setiap pemain berusaha agar pemain lain untuk menebak. Jika setiap pemain dalam sebuah permainan dengan n-pemain memiliki jumlah terbatas strategi murni, maka ada setidaknya satu kesetimbangan (yang mungkin mungkin) strategi campuran. Jika tidak ada strategi keseimbangan murni, pasti ada kesetimbangan strategi campuran yang unik.

Misalkan P adalah probabilitas bahwa jumlah radiasi matahari mencukupi dan sistem surya bekerja dengan baik. Sehingga 1-P adalah probabilitas ketika jumlah radiasi matahari kurang dan kondisi kecepatan angin lebih baik.

Misalkan Q adalah probabilitas bahwa kondisi kecepatan angin yang lebih baik dan sistem energi angin bekerja dengan baik. Sehingga 1-Q adalah probabilitas ketika kecepatan angin tidak sempurna dan kondisi radiasi matahari lebih baik.

Untuk menemukan strategi campuran kita tambahkan P-mix dan strategi Q-mix dengan matriks payoff.

Tabel 1. Strategi campuran dari matriks payoff

Sistem Energi Angin

Radiasi surya Kecepatan angin Q-mix

Sistem Energi PV

Radiasi surya 50;50 80;20 50Q+80(1-Q) 50Q+20(1-Q)

Kecepatan angin 90;10 20;80 90Q+20(1-Q) 10Q+80(1-Q)

P-mix 50P+90(1-P) 50+10(1-P)

80P+20(1-P) 20P+80(1-P)

Secara aljabar

50P+10(1-P) = 20P+80(1-P) [1]

50P+10-10P = 20P+80-80P [2]

40P+10 = 80-60P [3]

19

100P = 70, dengan demikian [4]

P = 70/100 = 0,70. [5]

Jika radiasi matahari sempurna maka probabilitas keberhasilan sistem energi surya adalah 70% dan tingkat keberhasilan sistem energi angin adalah 30%.

50Q+80(1-Q) = 90Q+20(1-Q) [6]

50Q+80-80Q = 90Q+20-20Q [7]

80-30Q = 70Q+20 [8]

60 = 100Q, dengan demikian [9]

Q = 60/100 = 0,60. [10]

Jika kecepatan angin sempurna maka probabilitas keberhasilan sistem energi angin adalah 60% dan tingkat keberhasilan sistem energi surya adalah 40%. Sebuah strategi ketat campuran kesetimbangan Nash dalam permainan dengan 2 pemain, permainan 2 pilihan (2x2) dengan p> 0 dan q> 0 sedemikian rupa sehingga p adalah respon terbaik oleh pemain baris terhadap pilihan pemain kolom, dan q adalah respon terbaik dari pemain kolom terhadap pilihan pemain baris.

Fungsi respon terbaik sistem energi surya

Fungsi respon terbaik sistem energi angin

Gabungan fungsi respon terbaik, Nash Equilibrium adalah respon optimal bagi keduanya

3.2. FORMULASI

Kita memiliki dua pemain, S dan W yang menunjukkan sistim surya dan sistem angin. Secara

simultan S dan W memilih K [0,] dan L [0,], yang menghasilkan tingkat output dari sistem energi hybrid. Untuk meruuskan gagasan bahwa ada sinergi antara sistem surya dan angin kita

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

20

asumsikan bahwa f adalah 'super modular' pada sembarang K, K ', L, L' dengan K> K 'dan L> L'. Kita punya

f(K,L) f(K,L) > f(K,L) f(K,L) [11]

khususnya, kita akan mengasumsikan bentuk fungsional

f(K,L) = KaLb(a,b,a + b (0,1)) [12]

yang memenuhi kondisi di atas. Kita akan mengasumsikan bahwa sistem energi berbagi output yang sama dan biaya dari input mereka adalah linear sehingga hasil dari S dan W adalah:

US = 0.5 * KaLb K [13]

UW = 0.5 * KaLb L [14]

Kita asumsikan bahwa semua ini adalah kondisi umum, sehingga keduanya memiliki ruang strategi [0,].

Dan fungsi payoff adalah US dan UW.

3.3. Jenis Teori Permainan Dalam Sistem Hibrid

Bentuk normal: permainan normal (atau bentuk strategis) biasanya direpresentasikan oleh matriks yang menunjukkan para pemain, strategi, dan payoff. Lebih umum dapat diwakili oleh fungsi apapun yang mengaitkan payoff untuk masing-masing pemain dengan setiap kombinasi yang mungkin dari tindakan. Dalam sistem hibrid yang menyertainya ada dua sistem individual, salah satu memilih baris dan yang lainnya memilih kolom.

Setiap sistem memiliki dua strategi, yang ditentukan oleh jumlah baris dan jumlah kolom. Payoff disediakan di bagian dalam (interior) matriks. Nomor pertama adalah hasil yang diterima oleh sistem surya, yang kedua adalah payoff untuk sistem angin. Misalkan sistem surya mempertimbangkan Up dan bahwa sistem 2 memainkan Left 3 selanjutnya sistem 1 mendapat payoff 4, dan sistem 2 mendapat 3.

Tabel 2. Sistem matriks Surya dan Angin

Sistem Angin (Left) Sistem Angin (Right)

Sistem surya (Up) 4;3 -1;-1

Sistem surya (Down) 0;0 3;4

Ketika permainan disajikan dalam bentuk normal, dianggap dalam metode ini ukuran generator PV dan angin dihitung di bulan paling tidak baik. Umumnya bulan yang paling tidak baik untuk angin justru baik untuk iradiasi.

Jadi kita diwajibkan untuk mengukur sistem dalam dua bulan yang paling tidak baik (bulan paling tidak baik untuk iradiasi dan bulan yang tidak baik untuk angin). Dengan demikian ketika sistem berfungsi dalam bulan ini otomatis berfungsi juga pada bulan lainnya.

Kooperatif atau non-kooperatif: permainan disebut kooperatif jika pemain mampu membentuk komitmen yang mengikat. Misalnya sistem hukum mengharuskan mereka untuk mematuhi janji-janji mereka. Dalam permainan non koperatif hal ini tidak dimungkinkan. Seringkali diasumsikan bahwa komunikasi antara pemain diperbolehkan dalam permainan kooperatif, tapi tidak dalam yang non kooperatif. Konsep ini juga berlaku dalam sistem energi hibrid karena dalam sistem ini kita mempertimbangkan kerjasama antara dua atau lebih dari dua sistem energi yang lebih baik untuk meningkatkan efisiensi kinerja sistem secara keseluruhan.

Non-kooperatif

21

Efisiensi = 25/100 =25% [15]

Efisiensi = 35/100 =35% [16]

Total efisiensi = (25+35)/200=60/200=30% [17]

Kooperatif

Efisiensi=55/100=55% [18]

Kemudian dari persamaan [3] dan [4] kita mempertimbangkan teori permainan kooperatif juga berlaku dalam sistem energi hibrid.

Simultan dan berurutan: permainan simultan adalah permainan di mana kedua pemain bergerak secara simultan. Dalam sistem hibrida energi surya dan angin, sistem surya dan sistem angin bekerja secara simultan untuk kinerja yang diinginkan.

3.4. Keterbatasan Teori Permainan Dalam Sistem Hybrid

Zero-sum game adalah kasus khusus dari permainan berjumlah konstan, di mana pilihan oleh pemain tidak dapat meningkatkan atau mengurangi sumber daya yang tersedia. Dalam zero-sum game total manfaat bagi semua pemain dalam permainan, untuk setiap kombinasi strategi, selalu menghasilkan angka nol (manfaat bagi satu pemain berarti kerugian bagi pemain lain). Kondisi ini tidak berlaku dalam sistem energi hibrid karena dalam sistem ini sumber daya yang tersedia dapat berkurang atau bertambah sesuai dengan kondisi dan hasilnya memiliki hasil bersih lebih besar atau kurang dari nol. Seperti output matahari tergantung pada jumlah radiasi matahari dan ada variasi yang besar dalam radiasi matahari selama periode waktu sehari (dari pukul 09:00 sampai 17:00). Demikian pula dengan keluaran sistem energi angin yang tergantung pada kecepatan angin, dimana kecepatan angin bervariasi sesuai dengan kondisi musim.

Input 100 Sistem hibrid Output 22+33

Input 100 Sistem Angin Output 35

Input 100 Sistem Surya Output 25

22

REFERENSI

Hendri, Jhon. 2009. Riset Operasional. Universitas Gunadarma.

Khare, Vikas, Savita Nema & Prashant Baredar. Application Of Game Theory In Pv-Wind Hybrid System. International Journal of Electrical and Electronics Engineering Research (IJEEER) Vol. 2 Issue 4 Dec - 2012 25-32

Mustaqim, Kiki. 2013. Aplikasi Konsep Teori Permainan Dalam Pengambilan Keputusan Politik. Skripsi. Universitas Pendidikan Indonesia.

Setyawan, Aris B. Bahan Kuliah Operations Research.