INDUKSI MATEMATIK

A

Disusun Oleh:Anida Mawaddah

Asep Indra SudrajatHeri Purwanto

Yeni Normayanti

Pengertian • Induksi matematika adalah sebuah metode

pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat.

• Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

• Induksi matematika merupakan suatu teknik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah.

• Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu

• Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements n A S(n) dengan A N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.

• S(n) adalah fungsi propositional

TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA

• Basis Step (Langkah Basis) : Tunjukkan bahwa S(1) benar. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

• Inductive Step (Langkah Induksi): Sumsikan S(k) benar akan dibuktikan S(k) S(k+1) benar . Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1 .

• Conclusion(Kesimpulan): S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif

PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

• Misalnya terdapat suatu deret tak berhingga seperti berikut :

P(1),P(2),P(3),……• Jika P(1) dapat dibuktikan benar, dan untuk setiap

k є , P(k)→P(k+1) benar (dengan mengasumsikan ℕP(k), akan dibuktikan bahwa P(k+1)).

• Maka P(n) benar untuk setiap n є .ℕ• P(1) benar, dan untuk semua bilangan bulat positif

n 1, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Prinsip Induksi yang Dirampatkan.

• Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat n0 , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut : 1. p (n0) benar, dan2. Untuk semua bilangan bulat n n0, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

• Versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk membuktikan pernyataan mengenai bilangan bulat. Versi induksi yang lebih kuat adalah sebagai berikut :

• 1. p (n0) benar, dan• 2. Untuk semua bilangan bulat n n0, jika

p(n0), p(n0+1),….p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Prinsip Induksi Kuat

• Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan induksi sederhana, kecuali bahwa pada angkah 2 kita mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat bahwa semua pernyataan p(1), p(2), …., p(n) adalah benar daripada hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) benar pada induksi sederhana

• Prinsip induksi kuat memungkinkan kita mencapai kesimpulan yang sama meskipun emberlakukan andaian yang lebih banyak.

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

CONTOH 1

CONTOH 2

CONTOH 4

CONTOH 7

CONTOH 5

CONTOH 6

CONTOH 3

CONTOH 8

CONTOH 1

• Buktikan 1 komputer + 3 komputer + 5 komputer + . . .+ (2n-1 komputer) = n2

komputer, untuk setiap n merupakan komputer yang rusak.

CONTOH 2

• Buktikan bahwa :• N 3 + 2n adalah kelipatan 3• untuk setiap n bilangan bulat positif

CONTOH 3

• Diberikan P(n) ≡ 52n - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n N.∈

CONTOH 4

• Buktikan: 2n ≤ 2k, untuk k N.∈

CONTOH 5

CONTOH 6

CONTOH 7

CONTOH 8

Jawaban 1

• Penyelesaian:• Sn : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n-1)= n2

Harus dibuktikan benar untuk n = 1• S1 : 1 = 12 .............( ternyata benar untuk n = 1)• Andaikan berlaku untuk n=k, harus dibuktikan berlaku untuk n= k+1.• Anggap n =k berlaku, berarti Sk: 1 + 3 + 5 + . . + (2k – 1) = k2

• Untuk n= k+1, berlaku :• 1+3+5+...+2k-1+(2(k+1) – 1 = k2 + 2(k+1) -1 → k2+ 2k+2 – 1•

k2+ 2k+1= (k+1)2, ternyata benar untuk n=k+1• Sehingga Sn berlaku untuk setiap n merupakan komputer yang rusak.

Jawaban 2• Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :• 1 = 13 + 2(1) 1 = 3 , kelipatan 3• • Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x• adib. Untuk n = k + 1 berlaku• (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3• (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2• (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) • (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)• Induksi• 3x + 3 (k 2 + k + 1)• 3 (x + k 2 + k + 1) • Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3• Untuk setiap bilangan bulat positif n

Jawaban 3

• Tulis:• N : himpunan bilangan asli (Natural).• Diberikan P(n) ≡ 52n - 1.• Ditunjukkan P(1) benar.• Jelas P(1) ≡ 52.1 - 1 = 52 - 1 = 25 - 1 = 24• Jelas 24 habis dibagi 8.• Jadi P(1) benar. ... (1*)

• Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#)

• Dipunyai P(k) benar.• Jelas P(k) ≡ 52k - 1 = 8m, untuk suatu m N. ... (2*)∈• Jelas P(k + 1) ≡ 52(k+1) - 1• = 52k+2 - 1• = 52k . 25 - 1• = [(52k - 1).25] + 24 [langkah ini merupakan kunci dari

pembuktian]• = [8m.25] + 8.3 [langkah ini sah karena berdasarkan

(2*), 52k - 1 = 8m]= 8 . (25m + 3)= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p N.∈

• Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p N.∈• Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)• Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n N.∈• Jadi P(N) benar.

Jawaban 4• Bukti:

Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 21 ≡ 2 ≤ 2.Jadi P(1) benar. ... (1*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.Dipunyai P(k) benar.Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2k.Jelas:2k ≤ 2k

≡ 2k + 2 ≤ 2k + 2≡ 2k + 2 ≤ 2k . 2≡ 2(k+1) ≤ 2(k+1).Jadi P(k+1) benar. ... (2*)

Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈N.Jadi P(N) benar.

Jawaban 5

Jawaban 6

Jawaban 7

Jawaban 8

KAMSAHAMNIDA...